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Q4 - LE TECNICHE DI PROGRAMMAZIONE DEI LAVORI EDILICorso di Organizzazione del Cantiere

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FACOLTA’ DI INGEGNERIA

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA STRUTTURALE

Piazza d’Armi - 09123 Cagliari - tel. 070 67554025

CORSO DI ORGANIZZAZIONE DEL CANTIEREaannnnoo aaccccaaddeemmiiccoo 22000077--22000088

BBOOZZZZAA oottttoobbrree 22000077

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PremessaLe attività di un processo produttivo hanno necessità di essere coordinati in una successione logica ed ordinata che si identifica nel programma di lavoro. Per eseguire un programma di lavoro è necessaria una analisi approfondita al fine di permettere di prevedere tutte le attività ed i vincoli connessi con gli approvvigionamenti, con la progettazione, con la costruzione ed il collaudo dell’opera.Tanto maggiore sarà l’impegno profuso nell’eseguire la programmazione, tanto maggiore sarà la sua attendibilità e le economie possibili in fase esecutiva.

La programmazione è la base di qualsiasi azione organizzativa

La programmazione è unValido strumento gestionale attraverso la simulazione di alternative decisionali

Valido strumento operativo per una pianificazione preventiva degli interventi necessari per un controllo attivo dell’avanzamento dei lavori e creazione di un linguaggio comune a diversi utenti di un medesimo progettoValido strumento amministrativo per valutare preventivamente il costo globale dell’opera, per controllare l’avanzamento del lavoro, predisporre piani di investimento e di remunerazione parziale e totale dei lavori eseguiti.

Quando la marina degli U.S.A. cominciò il progetto Polaris si trovò a dover coordinare il lavoro di 250 appaltatori e 9000 subappaltatori, e quindi le loro innumerevoli risorse. Le ditte Booz, Allen ed Hamilton idearono il sistema PERT (Program Evaluation and Review Technique) che fece loro risparmiare 2 anni di lavoro sui cinque anni preventivati.

Il PERT risolve la programmazione, satura la durata di ciascuna attività basandosi su un livello di costo.

Nel 1957, la soc. EI DU PONT sviluppò una tecnica che collegava direttamente la durata con il costo, derivando una diversità di durata di ogni attività e la scelta di una durata tale da rendere minimo il costo totale del progetto.Prima di procedere ulteriormente, necessita conoscere cosa sia il significato di “gestione” ovvero “management”. Entrambi i termini sono sinonimo di direzione, quale organo esecutivo dell’impresa che deve avere le seguenti caratteristiche:

1. il responsabile deve scegliere o conoscere l’obiettivo del lavoro;2. deve organizzare le risorse di cui dispone al fine di raggiungere gli obiettivi prefissati

mediante un progetto o piano di realizzazione;3. deve modificare e controllare il progetto iniziale quando questo subisce variazioni nelle sue

condizioni iniziali.Pertanto le funzioni della direzione sono quelle di assumere decisioni che hanno una componente di incertezza che viene contenuta entro termini probabilistici accettabili attraverso tecniche di programmazione che dipendono dai processi produttivi ai quali si applicano (a) processi iterativi e (b) processi unitari.

a. Il processo iterativo è caratterizzato da una quantità di oggetti perfettamente individuati dove la produzione, e quindi il processo produttivo, è costituito da una successione ordinata, nello spazio e nel tempo, di episodi produttivi staccati. Un processo iterativo è una produzione in serie di un oggetto.

b. I processi unitari sono esecuzioni non ripetitive che implicano una sequenza di molte operazioni concatenate tra loro, dove il flusso del lavoro è costituito dalla successione delle


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singole lavorazioni, sempre individuabili nel tempo, su di un unico prodotto che ne permettono la realizzazione secondo un ben determinato progetto.

Di seguito verrà trattata la programmazione di progetti unitari e di questi quelli attuativi per la costruzione di un’opera, sia essa pubblica che privata,appartenenti alla sfera delle opere di ingegneria civile ed eseguita da una azienda detta ”impresa di costruzioni”.

La programmazioneIl processo attuativo di un’opera è costituito da una serie di fasi costruttive che una tecnica di programmazione deve analizzare e correlare. Ciascuna fase costruttiva è a sua volta costituita da una serie di attività, correlate tra loro, che impegnano soggetti diversi aventi tutti un medesimo obiettivo: la realizzazione dell’intervento nel rispetto dei suoi vincoli di compatibilità, delle sue caratteristiche qualitative e delle sue finalità, al fine di poter procedere alla valutazione di scelte appropriate per una migliore qualità ed il miglior costo del prodotto finale e nel rispetto del tempo di esecuzione (tempo di contratto).In sintesi:“la programmazione di un lavoro rappresenta l’evoluzione logica e ragionata delle fasi che costituiscono un progetto, formato da una

progressione ordinata di lavori”

Una buona programmazione rappresenta per la gestione aziendale :Uno strumento direzionale

Uno strumento operativoUno strumento amministrativo

La gestione aziendale rappresenta l’organo esecutivo dell’impresa che sceglie e conosce l’obiettivodel lavoro da eseguire, organizza le risorse per il raggiungimento dello stesso, progetto aziendale, ed esegue un controllo e verifica delle condizioni necessarie per il raggiungimento dell’obiettivo.Pertanto la tecnica di programmazione che si adotta dovrà permettere:

a. una migliore utilizzazione delle risorse (economiche, macchine, uomini);b. tempestivo approvvigionamento di materie prime;

c. rispetto dei tempi di consegna;d. eliminazione e/o riduzione dei tempi morti;

e. minimizzazione del tempo di realizzazione = minimizzazione del costo di esecuzione.La tecnica di programmazione che si adotta rende possibile la simulazione di diverse alternative decisionali per una migliore utilizzazione e distribuzione delle risorse, per una ottimizzazione dei tempi di esecuzione, per il controllo dinamico ed attivo dei lavori in corso e dei suoi costi.

Programmare significa operare in modo economico

Il fattore tempo è quindi un elemento fondamentale nella programmazione di un processo unitario come ad esempio quello del lavoro di costruzione di un fabbricato di civile abitazione di una impresa di costruzione:

il cliente lo ritiene un elemento fondamentale per l’accordo o il contratto;il tempo richiama la durata di un lavoro che a sua volta è legata al costo con una semplice equazione:

C=•(t)•


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In una impresa di prefabbricati che costruisce elementi in serie, esempio travi da ponte, il tempo di esecuzione di una trave è praticamente un dato certo una volta che la prefabbricazione è a regime in quanto questa trave verrà costruita all’interno di un capannone al riparo dai rigori dell’inverno, dalle piogge, dalla calura estiva e pertanto una volta appurato che per costruire una trave di 30 m necessitano 5 gg, e per un costo di 2500 €, il tempo ed il costo diventano dati certi ed inalterabili se non per fatti eccezionali (es: scioperi). Ben altra cosa è costruire una trave (la stessa trave!) da ponte in un luogo ben determinato- il cantiere- dove il tempo di esecuzione dipende dalle condizioni orografiche del sito, dal tempo meteorologico, dalle maestranze, etc., e che pertanto il tempo di esecuzione diviene una variabile con un livello di incertezza nella sua determinazione che risulta dipendente da vari fattori sui quali non sempre si riesce ad incidere.Ad es. quella trave per costruirla in un cantiere posizionato in un sito pianeggiante e in primavera può necessitare di 8 gg per un costo 2800 €, ma se il sito è in una località impervia ne necessita 10 gg ed il suo costo sarà di 3200€ e durante l’inverno può stimarsene 12 di gg per un costo di 3500€. Nella stima c’è sempre un livello di incertezza perché se è vero che sono in un cantiere piano ed in primavera e quindi stimo che necessitino 8 gg per costruirla, può succedere che in quel periodo si abbiano più giornate piovose. Ben altra cosa è costruire la trave dentro un capannone industriale!Inoltre poiché ogni giornata lavorativa ha un costo per l’impresa, la costruzione di quella trave avrà un costo diverso per ciascuno dei casi menzionati.

Per quanto sopra esposto, appare quindi necessario avere opportune conoscenze delle più usuali tecniche di analisi delle correlazioni utilizzabili per lo studio e la razionalizzazione di un processo che impegni tempi e risorse.

Le tecniche di programmazione del PERT e del CPM permettono di controllare le produzioni per unità delle imprese e non per le produzioni in serie, poiché nelle prime ben altro è il livello di incertezza nella determinazione del tempo.Le varie tecniche di organizzazione hanno alcuni contenuti comuni:

Analisi delle attività lavorative necessarie per l’esecuzione dell’operaCodificazione delle attività con sistemi alfa-numerici per poterle ordinare e gestire

Pianificazione delle precedenze per la destinazione delle sequenze in modo logicoProgrammazione di ciascuna attività con determinazione della durata, della data di inizio e di fine di ciascuna di esse

Metodi di organizzazione dei progetti unitariLe tecniche di programmazione che si sono sviluppate richiamano quelle che si basano su due tecniche di rappresentazione grafica:

BAR-CHARTS: grafico a barre orizzontali, sviluppata da GANTT, da utilizzarsi prevalentemente per progetti di bassa e media complessità, e con un numero di attività contenuto (< 60). La tecnica ha un costo di gestione contenuto, facilmente controllabile ed aggiornabile durante il processo costruttivo, di immediato utilizzo: un rapido colpo d’occhio al grafico permette di conoscere l’andamento del lavoro. Della tecnica bar-charts si analizzerà il metodo di Gantt.NET-WORKS: grafico a diagramma reticolare, la cui tecnica si basa su un modello matematico-statistico che deriva dalla teoria dei grafi. Il modello è gestibile con il calcolatore e quindi è in grado di gestire un elevato numero di attività. Della tecnica reticolare dei net-works si analizzano i metodi del Pert (originale e modificato) e CPM.

Nella tecnica del GANTT il processo di pianificazione e di programmazione si realizzano contemporaneamente e nel diagramma ogni attività viene rappresentata da una barra la cui


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lunghezza è proporzionale al tempo necessario per eseguirla (espresso in ore/h, giorni/gg, settimane/ww, mesi/mm….)

ES(1)0 1 2 3 4 5 6

Scavo di fondazione

Formazione della fondazione

Dal grafico si può dedurre che:1. l’attività di scavo dura 5gg;

2. l’attività del getto del calcestruzzo dura 4 gg;3. l’attività di getto deve iniziare dopo che lo scavo è iniziato da 2 gg;

4. il lavoro costituito da due attività durerà 6 gg.la tecnica del PERT si concentra in quelle attività dove esiste incertezza nella determinazione dei tempi di attuazione, e pertanto la “programmazione” nel PERT è stimare la durata delle attività sia nel senso probabilistico sia in quello deterministico. Inoltre il processo di pianificazione è separato e precede quello di programmazione.La tecnica del CPM si applica quando esperienze precedenti annullano l’incertezza del tempo e quella dei costi delle singole attività, cioè il tempo ed il costo sono legati in un progetto, mentre esiste quella del costo totale che si ricerca, che deve essere quello minimo. Anche con questa tecnica il processo di pianificazione è separato e precede quello di programmazione.I vantaggi di queste tecniche sono di fornire alla direzione (potere decisionale) le seguenti informazioni:

1. quali sono i lavori che devono essere eseguiti prima;

2. quali sono i materiali da approvvigionare e quando;3. quali sono i lavori che si dovranno trovare in esecuzione in un determinato momento;

4. quale è la situazione del progetto in rapporto alla previsione finale;5. quali sono le attività critiche che possono provocare il ritardo generale del progetto;

6. quali sono le attività non critiche che possono slittare nel tempo senza che per questo si incida nel tempo ultimo di esecuzione del progetto;

7. se il progetto è in ritardo dove si può operare per ridurre tale ritardo e quale ne è il costo;8. quale è la pianificazione e programmazione di un progetto che consente il costo totale

minimo e durata ottimale.

Concetto di “attività”Prima di procedere con lo studio delle tecniche è necessario sviluppare alcuni concetti fondamentali per il significato di “attività”: atto necessario per il raggiungimento di un obiettivo nell’ambito di un programma, ciascuno dei quali è caratterizzato da una “durata”, e più attività sono vincolate da “relazioni di immediata precedenza”.

Il numero di attività che si devono considerare per descrivere il processo costruttivo dipende dal livello di analisi che si vuole raggiungere. Un numero maggiore di attività analizzeranno con maggiori dettagli il processo costruttivo che si vuole programmare. Così il processo elementare


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rappresentato nell’Es1, può essere descritto attraverso un n° maggiore di attività, e ciò necessiterà di una analisi più approfondita. Per contro, maggiore è il controllo del processo.

ES(2)0 1 2 3 4 5 6

Scavo di fondazione

Confezionamento del cls

Formazione dell’armatura

Posiz.to armatura nello scavo

Getto del cls nello scavo

In questo caso le attività che descrivono il processo sono più che raddoppiate e le considerazioni che possono dedurre sono certamente maggiori:

1. l’attività di scavo dura 5gg;2. l’attività di confezionamento del calcestruzzo dura 2 gg, e dovrà iniziarsi dopo il 3° giorno

di scavo;3. dopo due giorni dall’inizio dello scavo dovrà attivarsi la formazione dell’armatura di

fondazione, e questa durerà 3 gg;4. all’inizio del 3 giorno le armature dovranno essere posizionale all’interno dello scavo ed

impegneranno 2 gg lavorativi;5. l’attività di getto deve iniziare dopo che lo scavo è iniziato da 4 gg, parte delle armature

sono già state posizionate nello scavo;6. il lavoro costituito da due attività durerà 6 gg.

Inoltre, per una buona programmazione necessita che le attività siano elementari ed omogenee:attività elementare: essa riguarda operazioni che possono svolgersi con continuità temporale lavorativa, senza dover prevedere intervalli di attesa dipendenti da cause esterne;

attività omogenea: è quella caratterizzata dalla costanza del materiale adoperato, dei mezzi e mano d’opera utilizzati nell’attività stessa.

Es(3)La costruzione di un pilastro in c.a. è una attività semplice, ma non elementare perchè costituita da più attività:

1. costruzione della cassaforma;2. costruzione dell’armatura in ferro;3. posa dell’armatura entro la cassaforma;4. getto del calcestruzzo ed attesa della sua maturazione (14 gg);5. scasseratura.

e non omogenea perchè vi concorrono materiali diversi (calcestruzzo, ferro, etc), macchine diverse (betoniera, piegatrici, etc.) e mano d’opera differente (carpentieri, ferraioli, etc.).


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La durata di ciascuna attività si esprime in unità di tempo: ora, giorno settimana, mese, anno. Questa unità sarà la più consona al tipo di programmazione del lavoro che si intende attuare , ma anche alle condizioni di esecuzione delle attività che costituiscono il lavoro.

Es(4)Così se necessita stilare una programmazione preliminare (cronoprogramma preliminare) per la costruzione di una strada extraurbana, probabilmente è opportuno adottare come unità di tempo la settimana perché serve individuare il tempo globale per il lavoro e non il tempo intermedio di ciascuna fase. Successivamente si ha la necessità di una analisi più dettagliata (cronoprogramma definitivo), in questo caso l’unità di tempo da adottarsi sarà il giorno. Questo perché nella seconda fase di programmazione abbiamo bisogno di più dettagli e dovremo controllare le fasi intermedie con più cura: ad es., si dovrà stimare il tempo in dipendenza delle condizioni di esecuzione: eseguire una attività lavorativa necessita di 3 gg se eseguita da due operai, ma ne potrò impiegare 2 se utilizzerò tre operai.

Concetto di “progetto”Il progetto è un insieme di lavori od operazioni elementari che si susseguono in un modo predeterminato e con una sequenza logica

Per programmare i lavori che compongono un progetto necessita conoscere le operazioninecessarie per poterlo compiere, effettuando una analisi delle fasi principali e quindi i blocchirappresentanti le connessioni fra queste. Ogni blocco sarà quindi suddiviso in attività.Si dovrà procedere quindi alla codificazione delle attività mediante un codice numerico che dovrà rispettare la successione temporale con il quale le stesse si dovranno esplicare, e quindi implicitamente dovranno evidenziarsi le dipendenze logiche tra le varie attività, coiè i vincoli di precedenza di ciascuna attività con le altre attività che risultano condizionate o che possono condizionare quella analizzata

Es(5)Nell’Es3 le attività sono state codificate con una numerazione crescente che rispetta l’evoluzione temporale di ciascuna di esse e quindi rispettosa delle dipendenze poiché, ed es., la posa dell’armatura entro la cassaforma non potrà avvenire se la cassaforma non è stata costruita e se l’armatura non è stata confezionata

Ora, nei metodi net-works gli eventi di inizio e di fine della attività permettono di collegare il successione le operazioni, mentre nel Gantt i vincoli di dipendenza non sono espliciti, ma si evidenziano nel programma mediante riferimenti grafici.


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LA TECNICA DI PROGRAMMAZIONE LINEARE “GANTT”La tecnica Gantt di programmazione lineare è la più in uso perché di facile comprensione da parte dell’utilizzatore, ma anche dei non addetti ai lavori, perché consente una visualizzazione dello svolgimento delle attività e della sua collocazione temporale relativa alle altre attività che la precedono o seguono, nell’ambito di una rappresentazione grafica che contiene l’intero elenco delle attività che compongono il lavoro, la data di inizio e di fine e la durata di ciascuna attività.La rappresentazione grafica a barre, dove la lunghezza della barra è proporzionale alla durata temporale per eseguirla, offre una chiara visione dell’intero processo attuativo e del suo svolgimento temporale e quindi un agevole controllo della scadenza programmata del lavoro.

Per programmare un lavoro occorre:1. elencare tutte le operazioni necessarie per poter portare a compimento il progetto;

2. determinare il tempo necessario per eseguire ciascuna operazione;3. realizzare un programma logico costituito da una successione logica delle operazioni

considerate.Dalla elaborazione dei dati si ottiene il tempo necessario per l’esecuzione dell’intero progetto e come ogni operazione si colloca nel tempo di esecuzione.Come rilevabile dal grafico illustrativo allegato, riguardante il programma esecutivo della realizzazione di opere infrastrutturali, le varie fasi procedurali sono riportate nella colonna iniziale e ordinate, dall’alto verso il basso, secondo la successione temporale della relativa esecuzione(riquadro rosso).

ID Lavorazioni gg1 ANALISI DEL SITO 3d

2 Ricerca residui bellici 3d

3 Ricerca impianti 2d

4 ORGANIZZAZIONE DEL CANTIERE FASE 1 4d

5 Recinzione e cartellonistica 2d

6 Servizi igienico-assistenziali 2d

7 Impianto elettrico, di messa a terra e idrico 2d

8 SCAVI E MAGRONI DI FONDAZIONE 13d

9 Scorticamento 1d

10 Tracciamento e delimitazione della zona di scavo 1d

11 Splateamento, stoccaggioe trasporto terra. 10d

12 Aggottamentoe scarico acquereflue 2d

13 Scavo di trincee 3d

14 Getto del magrone 1d

15 REALIZZAZIONE DI STRUTTURE IN C.A. FINO AL PRIMO IMPALCATO 30d

16 Montaggio gabbiedelle fondazionie del muro di contenimento 5d

17 Carpenteria,casseraturagetto,disarmo del muro e base gru 8d

18 Cavedi per scarichi e adduzioni 2d

19 Carpenteriacasseraturagetto e disarmo travi rovesce 2d

20 Vespaioe massetto conrete elettrosaldata 5d

21 Montaggio ponteggio 1d

22 Armatura casseraturagetto e disarmo dei pilastri e delle scale P.I. 7d

23 Impermeabilizzazione e drenaggiodel muro di contenimento 2d

24 Casseratura, arrmatura travi e montaggio del solaio 7d

25 Rinterro dei muri di contenimento 1d

26 Getto solaio e travi primo impalcato 1d

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M1


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Sul margine orizzontale superiore sono riportati i riferimenti temporali, rappresentativi di intervalli annuali, mensili e/o quotidiani, a seconda della scala adottata in relazione all’ampiezza dei tempi dell’intervento e al grado di approssimazione che si vuole ottenere (riquadro blu).

ID Lavorazioni gg27 ORGANIZZAZIONE DEL CANTIERE FASE 2 5d

28 Viabilità internaal cantieree completamento impianti 1d

29 Montaggio gru a torre 2d

30 Montaggio altre attrezzature 2d

31 Allestimento aree di stoccaggiomateriali e inerti 2d


33 REALIZZAZIONE DI STRUTTURE IN C.A. FINO A COPERTURA 57d

34 Armatura casseraturagetto e disarmo dei pilastri e delle scale P.T. 3d

35 Casseratura, arrmatura travi, terrazzi e montaggio del solaio 7d

36 Getto solaio, terrazzi e travi secondoimpalcato 1d


38 Armatura casseraturagetto e disarmo dei pilastri e delle scale P.1°. 3d

39 Casseratura, arrmatura travi, grondae montaggio del solaio 7d

40 Getto solaio e travi terzo impalcato 1d

41 Montaggio della copertura 7d

42 Getto della copertura 1d

43 Disarmo solai, scale e terrazzi 5d

44 FINITURA DELLA COPERTURA 3d

45 Coibentazionee impermeabilizzazione e mantelline 3d

46 Manto di coperturatetto e scala esterna 1d

47 Gronde e pluviali 2d

48 TAMPONAMENTI, TRAMEZZI E INTONACI 58d

49 Tamponamenti muri esterni 15d

50 Tramezzature stanze e intercapedini 15d

51 Tracce per impianti (elettrico, TV, idro-termo-sanitarioe fognario) 4d

52 Soglie per portee finestre 6d

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M1

Il tratto di linea rappresentativo di ogni fase di attività è compreso tra le rispettive date di inizio e di fine (riquadro verde) mentre concatenamenti e precedenze sono indicate con frecce.

ID Lavorazioni gg53 Posa e muratura degli impianti 10d

54 Intonaciesterni 15d

55 Intonaciinterni 18d

56 RIFINITURE, IMPIANTI E ALLACCIAMENTI 44d

57 Impianto elettrico e TV: linee e accessori 3d

58 Massetti sui solai 4d

59 Tinteggiature esterne1° mano e interne1° e 2°mano 6d

60 Rivestimenti a parete 4d

61 Montaggio pavimenti e scale 10d

62 Montaggio ringhiere,porte, finestre e montaggio sanitari 4d

63 Impianto TV con parabola 1d

64 Trattamento del cotto 2d

65 Trattamento del parquet 3d

66 Tinteggiatura est. di 2° mano e int. di ultima mano, montaggiodel battiscopa. 5d

67 Montaggio gruppi termici 2d

68 Smontaggiodel ponteggio 2d

69 Costruzione del loggiato 2d

70 Pozzetti, fosse e allacciamenti 3d

71 Smontaggiodella gru 1d

72 Smontaggioservizi e attrezzature di cantiere 2d

73 Aree a verde e riaperturapozzo 2d

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M1

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37M7 M8 M9


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Vediamo un esempio: si tratta dell’esecuzione di un tratto di strada.

Per prima cosa occorre individuare tutte le attività che si renderanno necessarie per i lavori, definendone le durate e le precedenze. Così si individuerà tra le attività la realizzazione del manto d’usura, fissandone la durata e la “necessità” che prima si provveda alla realizzazione della sezione, con la rimozione del manto vegetale, allo scavo del terreno in esubero (poniamo sia una sezione in trincea), all’esecuzione del sottofondo, dello strato di base, dello strato di collegamento ed infine alla pavimentazione (strato d’usura).

Nome Attività Codice Durata (gg) Precedenze

A Allestimento del cantiere:Recinzione A1 4 NessunaViabilità A2 2 A1Costruzione delle Baracche A3 2 A2Costruzione dei Servizi igenici A4 2 A2Impianto idrico A5 2 A4Deposito Materiali A6 4 A2Impianto elettrico di cantiere A7 2 A3Impianto di messa a terra A8 2 A7

B Lavori Stradali:Pulizia dello strato vegetale dei terreno B1 8 A8Lavori di scavo di sbancamento B2 10 B1Lavori di scavo a sezione obbligata B3 8 B2Esecuzione sottofondo B4 4 B3Lavori di posa e costipazione del tout venant B5 5 B4Lavori di posa e costipazione del binder B6 4 B5,D2,C2Realizzazione strato di manto d'usura B7 2 B6

C Lavori Edili:Realizzazione pozzetti acque meteoriche C1 3 E1Esecuzione cordoli laterali sede stradale C2 4 B2Realizzazione plinti per i pali della luce C3 4 B3Realizzazione pavimentazione marciapiede C4 8 C3, C1Posizionamento segnaletica stradale C5 2 B10, E2

D Lavori elettrici:Posizionamento pali della luce D1 3 C3Realizzazione nuovo impianto elettrico D2 2 D1Allaccio dell'impianto con l'impianto esistente D3 1 D2

E Lavori Idraulici:Posa Tubi E1 2 B4Allaccio collettori E2 2 E1Opere terminali di finitura E3 1 E2

Andiamo a rappresentare in un grafico i lavori appena descritti.

Si può osservare così come una prima pianificazione dei lavori metta in evidenza la necessità, ad esempio, di riprogrammare alcuni lavori prevedendo, ad esempio nel caso delle attività B2 e B3, la parziale esecuzione della prima e contemporaneo inizio della seconda, in modo tale da ridurre i tempi morti e lo spreco di risorse.

Tali due attività ricadono in quello che, nell’illustrare il PERT, sarà definito “percorso critico”, edunque, a maggior ragione, necessitano di particolare attenzione.


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Dia

gram

ma

di G

antt


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Dia

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di G

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L’individuazione di tale percorso consente di determinare le attività il cui ritardo nel completamento si ripercuote direttamente sulla durata complessiva del lavoro. Vediamo quali dati possiamo estrapolare:

1. La durata complessiva del lavoro, individuata dal percorso critico A.1-A.2-A.4-A.7-A.8-B.1-B.2-B.3-B.4-E.1-E.2-E.3-C.1-C.4, comporta un tempo minimo per l’esecuzione dei lavori pari a 58 giorni lavorativi consecutivi;

2. La durata delle attività della tipologia A è pari a 12 gg, quella della tipologia B 41 gg, della C 28 gg, della D e della E 6 gg ciascuna;

3. Nella parte bassa del grafico le connessioni tra le attività comportano una certa difficoltà nel capire a colpo d’occhio le dipendenze.

Critiche ed inconvenienti del diagramma di Gantta. Il grave limite del Gantt, nella sua elaborazione tradizionale, è costituito dal fatto che

qualsiasi variazione temporale di una o più attività comporta l'esigenza di ridisegnare il grafico per tenere conto sia dello loro variata lunghezza in scala, sia degli effetti di tali variazioni sulle attività correlate.

b. Inoltre si può osservare come sia difficilmente gestibile un diagramma con più di 50 attività così come può succedere che più attività inizino dove finisce una che le precede graficamente pur non essendo dipendenti da essa: se non si provvede a riportare le attività secondo le immediate precedenze secondo la logica di realizzazione del progetto, si corre il rischio di fare confusione.

c. Impossibilità di ottimizzare il programma. Risulta difficoltoso individuare dove poter intervenire per ottenere economie di tempi di realizzazione. Ciò è dovuto alla rigidezza dei “tempi” rappresentati dalle barrette. Inoltre, poiché per poter rappresentare un lavoro costituito da molteplici attività si tende a sommare in una attività che non è semplice, si rimane impossibilitati ad intervenire su tale attività composita, da cui si evidenzia la rigidità della tecnica.

d. La mancanza di tempestività nel controllo dello stato di avanzamento del lavoro. A lavoro concluso si capisce quale sia stata l’attività che conteneva il problema ma ormai siamo a consultivo e ciò potrà servire come esperienza in lavori simili.

Una soluzione ottimale è costituita dalla possibilità di utilizzare i dati scaturiti da un'analisi effettuata attraverso un PERT per la compilazione di un Gantt mediante software, attualmente reperibili sul mercato che, sulla base dei vincoli di correlazione esistenti tra le varie attività, consentano:

1. l’inserimento dei dati presunti di inizio e svolgimento temporale delle varie attività e la stampa automatica della relativa graficizzazione, con la indicazione delle rispettive date di inizio e fine;

2. l’inserimento dei dati di effettivo inizio e ultimazione delle varie attività e la relativa graficizzazione, con segno diverso, al disotto del grafico di previsione, onde consentire un immediato confronto tra dati presunti e dati effettivi;

3. la stampa di un nuovo file, ottenuto sostituendo nel file originario i dati di previsione con i dati effettivi, che consenta l'aggiornamento automatico del Gantt iniziale e la conoscenza degli effetti di eventuali anticipi o ritardi.

Tali software rispondono anche alla ulteriore esigenza di stampare il Gantt con riferimento, non a date specifiche, ma al numero di mesi successivi ad un tempo di decorrenza iniziale: situazione che si verifica tutte le volte che tale decorrenza non possa essere ancora esattamente predeterminata,


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perché subordinata a specifici adempimenti (esecutività, approvazioni, disponibilità di finanziamenti o di aree, consegna lavori, etc.).Il programma consente, una volta nota la data della decorrenza iniziale, di procedere automaticamente alla stampa di un Gantt che riporti le date effettive.

Net-Works: tecniche di programmazione RETICOLARELe tecniche di programmazione reticolare consentono di rappresentare fedelmente e razionalmente i programmi di attività, in maniera adeguata alla loro natura complessa e dinamica, e di esprimere le durate semplicemente con dei numeri, in modo tale da poter dedurre agevolmente informazioni e previsioni essenziali, adatte a fornire le basi scientifiche su cui sviluppare le decisioni imprenditoriali.Tra queste i metodi Pert e C.P.M. studiano lo sviluppo di un progetto attraverso la programmazione delle attività di cui si compone. Entrambi i metodi si occupano soprattutto degli aspetti temporali e quindi vanno visti come metodi di ottimizzazione del tempo di realizzazione di un progetto.

Il C.P.M. utilizza stime deterministiche delle durate delle attività senza considerare incertezze relative a tali stime. Inoltre questo metodo considera anche gli aspetti relativi ai costi delle varie attività.Il Pert, invece, si occupa solo della minimizzazione del tempo. Questo metodo fu infatti inventato ai tempi della guerra fredda in occasione del progetto “Polaris” (un missile strategico bistadio a testata nucleare), che dovette essere realizzato dagli Stati Uniti nel minor tempo possibile, trascurando i problemi relativi ai costi. Nel Pert le durate delle varie attività sono rappresentate da variabili aleatorie di cui occorre stimare la distribuzione di probabilità.

Sebbene quindi, vi siano delle differenze sostanziali tra i due metodi, spesso il Pert e il C.P.M. vengono confusi o chiamati entrambi con il nome di Pert. I seguenti passi sono comunque comuni ai due metodi. Più avanti, quando parleremo della stima dei parametri, tratteremo diversamente il Pert e il C.P.M.

1° Passo: individuazione delle attività

Il primo passo per entrambi i metodi è quello di scomporre il progetto in varie attività, cercando di mantenere nella scomposizione un grado di dettaglio omogeneo. Infatti ogni attività si potrà poi scomporre in varie sotto-attività, e quindi potrà a sua volta essere ottimizzata. Ovviamente ad ogni attività in cui si è suddiviso il progetto si devono poter attribuire dei parametri di tempo (nel Pert) o di tempo e di costo (nel C.P.M.).

2° Passo:determinazione dei vincoli

Una volta individuate le varie attività bisogna valutare l’ordine temporale con il quale queste attività devono essere completate. Devo cioè sapere quali attività devono essere già state completate prima di poterne iniziare un’altra. Ad esempio nella costruzione di un palazzo non potrò iniziare a costruire i muri esterni se prima non avrò costruito le fondamenta. Devo cioè fissare i “vincoli di sequenza”. La determinazione dei vincoli può essere un’operazione molto complicata ed è difondamentale importanza per poter applicare i metodi di ottimizzazione con successo.Sia nel Pert che nel C.P.M. i vincoli sono sottoposti a logica AND. Questo vuol dire che potrò iniziare un’attività solo dopo che tutte (AND) quelle che la precedevano nella sequenza siano già state realizzate.

I vincoli nei casi pratici sono determinati oltre che da condizioni logiche e tecniche che impediscono la realizzazione di un’attività se non è stata completata la precedente anche da problemi relativi alla “disponibilità di risorse”. Ad esempio dei macchinari non potrebbero essere


1447

disponibili contemporaneamente per più attività e quindi bisognerà aspettare che una sia terminata per poterne iniziare un’altra.

3° Passo:Costruzione del diagramma

Una volta suddiviso il progetto in attività e individuati i vincoli si può procedere alla costruzione del reticolo delle attività. Per convenzione nel reticolo le attività sono rappresentate con archi continui orientati, mentre i cerchi (nodi) rappresentano gli istanti “inizio” e “fine” di ogni attività. Noi diremo che ogni nodo è un evento, definito come l’istante di tempo in cui tutte le attività entranti nel nodo stesso siano state completate. Inoltre in ogni reticolo devono essere distinguibili gli eventi di inizio e fine dell’intero progetto. Un arco tratteggiato indica un vincolo di “precedenza” tra due attività e può essere inteso come un’attività fittizia (dummy) di durata nulla.

Quando si costruisce il reticolo è bene tener presenti le seguenti regole:a. Tutti i vincoli di “sequenzialità” devono essere rispettati

b. Non si devono mai creare loops (cioè cammini chiusi) all’interno del reticolo.c. Non è possibile definire due o più attività aventi gli stessi istanti di inizio e fine.

L’ultima regola è dovuta soprattutto alla difficoltà di implementare al calcolatore un algoritmo che preveda la definizione di più di una variabile tra due stessi nodi.

E’ possibile anche definire il reticolo in un altro modo, cioè rappresentando le attività con i nodi e i vincoli di sequenza con gli archi orientati. Questo tipo di notazione, meno usata, presenta il vantaggio di non dover fare ricorso alle attività fittizie. Il reticolo ci consente di calcolare il tempo di realizzazione di un progetto, nonché di tutte le fasi intermedie della sua realizzazione.Prima di vedere come costruire un PERT, sia originale che modificato, vediamo alcune brevi nozioni sulla teoria dei grafi.


1547

La teoria dei grafiSi definisce “grafo” G(X,U) un insieme X di elementi unitamente ad un altro insieme U costituito da coppie (x,y) di tali elementi non necessariamente distinti.

X = {x1, x2, x3, x4, x5}

U = {(x1,x2); (x1,x5); (x1,x6); (x2,x3); (x3,x4); (x3,x5); (x4,x2); (x5,x3); (x6,x4); (x4,x4)}

Un grafo G(X,U) si dice orientato quando le coppie (x,y) appartenenti ad U devono considerarsi ordinate.

Un grafo G(X,U) è costituito dai nodi o vertici del grafo e che rappresentano gli elementi x∈X e dalle connessioni (x,y)∈U che uniscono un nodo ad uno o più nodi.Se una coppia di punti x1,x2 appartiene ad U, la linea continua che li collega, orientata da x1 a x2, si dice “arco del grafo”.

Si dice cammino, percorso od itinerario una sequenza di archi (u1,u2…) di un grafo G(X,U) tale che il vertice terminale di ciascun arco coincide con il vertice iniziale dell’arco successivo.

Un cammino si dice semplice se nessun arco è percorso per più di una volta; composto se qualche arco è percorso più volte. Ad esempio il percorso (x1,x6,x4) è semplice, mentre quello (x1,x5,x3,x4,x5,x3).La lunghezza di un cammino è dato dal numero di archi in sequenza.

Il circuito si verifica quando il vertice iniziale coincide con quello finale (u1,u2,u3,u4,u5,u6).

Si dice cappio un circuito di lunghezza unitaria, costituito da un arco che inizia e termina nello stesso nodo (u10 e u11).

x1 x2 x3

x6 x5 x4

u1 u6

u8 u7

u3

u6

u9

u2

u10

u11

x yARCO DEL GRAFO

u12u5

u4

x1 x2 x3

x6 x5 x4

u1 u6

u6 u7

u3

u8

u9

u2

u10

u11

u12u5

u4

x1 x2 x3

x6 x5 x4

u1 u6

u6 u7

u3

u8

u9

u2

u10

u11

u12u5

u4


1647

Un grafo simmetrico presenta tutti i suoi vertici adiacenti connessi da due archi orientati in senso opposto.

Un grafo è detto antisimmetrico se ciascuna coppia di nodi è connessa in una sola direzione:

(x,y)∈U ⇒ (y,x)∉U

Un grafo si dice completo se ciascuna coppia di nodi è connessa in almeno una delle due possibili direzioni:

(x,y)∉U ⇒ (y,x)∈UIn altre parole, ciascun nodo è collegato ad un qualunque altro nodo in modo diverso.

Un grafo si dice valutato se, nell’insieme dei nodi o degli archi, sono depositate informazioni quantitative, dette valutazioni.

Un reticolo si dice connesso se ciascun nodo è origine di almeno un itinerario che termina in un qualsiasi altro nodo, ovvero non vi sono nodi isolati.

x4

x1 x3 x5

u1

u3

u5

u6u2

u4

u7

u8

x2

x4

x1 x3 x5

u1 u3

u2 u4

x2

SS

NU

CA

km 122

x1

x3u3

u5

u6

u4x2 u2

u1

km 255

km 186


1747

Dunque un reticolo è un grafo finito, orientato, valutato, connesso, senza circuiti, antisimmetrico e chiuso

Nelle applicazioni PERT e CPM che interessano il nostro campo di applicazione i reticoli che si adottano non hanno circuiti, pertanto:il RETICOLO che si adotta è un grafo finito, orientato, valutato,

connesso, senza circuiti, antisimmetrico e chiuso

Il PERT originaleSecondo la teoria dei grafi qualunque programma di lavoro può essere rappresentato tramite un reticolo di nodi ed archi, avente le caratteristiche di grafo finito, orientato, valutato, connesso, senza circuiti, antisimmetrico, chiuso, con orientamento degli archi secondo la sequenza logica con cui il progetto si evolve.NODO INIZIALE. Deve esistere un solo nodo x0 che non è terminale di arco: se ne esiste più di uno si pone un nodo fittizio al quale si collegano i nodi non terminali.

NODO FINALE. Deve esistere un solo nodo xn che non è iniziale di archi: se ne esiste più di uno si pone un nodo fittizio al quale devono collegarsi.

La rappresentazione può essere condotta attraverso

PERT originale • orientato per attività (Aij)

Aiji jtij

x4

x1 x3 x5u1

u4 u2x2

u5

u3u6

x4

x1 x3 x5u1

u3

u4

Dy

x2

u5

x4

x1 x3 x5u1

Dy

u4u2x2

u5

u3 u6

xn

u2

Dy

x4

x1 x3 x5u1

u4 u2x2

u5

u3u6

x0 u6

Dy


1847

PERT modificato • orientato per eventi

I due metodi sono duali poiché utilizzano le informazioni di uno si può costruire l’altro. Il PERT originale è meno intuitivo di quello modificato, il primo si presta per una elaborazione al calcolatore, il secondo si adatta meglio ad una elaborazione manuale.

In un diagramma reticolare orientata per attività si verifica che una relazione di precedenza fra due attività non sia supportata da una relazione di lavoro, tempo o risorse, tra di esse, in tal caso si deve creare una attività fittizia di durata nulla DUMMY (Dy).Queste attività possono essere di tre tipi:

1. attività fittizia necessaria per facilitare la stesura del reticolo, ma non indispensabile alla sequenza logica del programma. Tali attività possono essere eliminate senza che la sequenza logica del reticolo perda in logicità.

2. attività fittizia necessaria per l’identificazione delle attività reali mediante gli eventi. Si presenta quando si hanno diverse attività fra un evento iniziale ed uno finale.

3. Attività fittizia necessaria per il rispetto della sequenza logica durante la costruzione del reticolo. Questo tipo di attività non può essere eliminata.

Generalmente in un PERT originale ci sono un 30% di attività fittizie.

Entrambe le tipologie di PERT (originario e modificato) seguono nel loro svolgimento l’impostazione dello schema seguente, dove si esemplificano le varie fasi. Il reticolo diviene un modello esauriente del fenomeno reale quando sia anche corredato dalla durata prevedibile di ogni attività.

Ai ti

TPBi TUi

Aj tj

TPBj TUj

1 2 3u1 4u5

u3

u2

u4

1 2

3

u1 6u5u2

u4

4

5

u3

Dy

Dy


1947

Nello studio del problema (F.1.a) nasce subito l’esigenza di definire un limite entro cui spingersi nella definizione delle singole fasi o raggruppamenti delle stesse. Occorre fare attenzione all’uso di attività eterogenee, specie se numerose, per la valutazione della durata di un processo. Queste sfuggono, nel loro complesso, ad una rappresentazione intuitiva, immediata e precisa, sia per la varietà delle singole caratteristiche sia per la molteplicità e complessità delle interconnessioni.Le attività elementari (sono operazioni che possono svolgersi con continuità senza richiedere intervalli di attesa dipendenti da cause esterne, sensibili spostamenti di luogo, cambiamenti di macchine, attrezzature, manodopera, etc) ed omogenee (uguaglianza del materiale usato e dei trattamenti su di esso adoperati) sono ben definite come difficoltà, dimensioni e mezzi necessari, e per esse sarà possibile poter formulare delle previsioni attendibili sulle durate.

Appare evidente come la mole di lavoro cresca in funzione dell’infittirsi della discretizzazione. Se si individua un punto di ragionevole equilibrio, oltre che poter formulare migliori previsioni di durata, si ha la possibilità di valutare meglio le attività di conoscere bene le caratteristiche, i legami di interdipendenza con le altre componenti il reticolo e di usufruire di un maggior numero di informazioni utili per eventuali interventi più vantaggiosi e tempestivi.Una volta terminata la fase della pianificazione si può passare a quella della programmazione, attraverso l’assegnazione della durata prevedibile di ciascuna attività.Le previsioni di durata (F.1.b) si basano, ovviamente, sulla conoscenza di quanto ogni attività definita nel reticolo comporta e necessita per essere svolta, di quale sia la reale od ipotetica “forza” delle varie risorse e, più in generale, delle circostanze reali che influenzano e governano lo svolgimento di ogni attività.Le maggiori difficoltà sono individuabili nella fase di raccolta dei dati, perché è li che si manifestano problemi variabili da caso a caso. Sarà pertanto opportuno verificare attentamente che il reticolo risultante, corredato dalle durate parziali stimate, rappresenti un modello fedele e realistico del vero programma di attività, atto a simulare ogni effetto che sia esprimibile in termini di variazioni temporali.

Per poter meglio capire la fase 2 utilizziamo un esempio tratto da un compito d’esame col quale si svolgeranno i calcoli di un PERT originale.

FASI

F.1 Raccolta dei dati

F.1.a Analisi del problema

F.1.b Stesura del reticolo e previsione delle durate

F.2.a Calcolo della data minima: TPB

F.2.b Calcolo della data massima:TU

F.2 Calcolo

F.3.a Scorrimento degli eventi

F.3.b Eventi critici

F.3.c Scorrimento libero delle attività

F.3.d Scorrimento totale delle attività

F.3.e Attività critiche

F.3.f Scorrimento svincolato

F.3 Esame dei risultati

F.4.a Variazione nella distribuzione delle risorse

F.4.b Attività ipercritiche (data prefissata)

F.4 Uso dei risultati


2047

UN LAVORO PER LA COSTRUZIONE DI UNA PIAZZA CIRCOLARE, SI COMPIE ATTRAVERSO UNA SEQUENZA DI ATTIVITA' CHE VENGONO ELENCATE IN MODO CASUALE CON TEMPI DI ESECUZIONE ESPRESSI INGIORNI CONSECUTIVI.LO STUDENTE ESEGUA UNA PROGRAMMAZIONE DEL LAVORO MEDIANTE IL PERT ORIGINALE. Inoltre, posto che il TU=TPB si determinino il cammino critico e gli scorrimenti

CODICE ATTIVITA’ GG PRECEDENZEA.1 Certificato di ultimazione dei lavori 1

A.2 Massetti in calcestruzzo armati 15

A.3 Formazione dei vespai e dei dreni 25

A.4 Sbancamento in larga sezione del sedime della piazza 4

A.5 Formazione delle canalizzazioni elettriche 3

A.6 Formazione delle aiuole 18

A.7 Fornitura e posa di panchine in ferro battuto e legno 5

A.8 Formazione delle cunette laterali alla francese in calcestruzzo lungo il perimetro della piazza 14

A.9 Massicciata in tout venant di cava 13

A.10 Consegna dei lavori 1

A.11 Fornitura e posa delle pavimentazioni in trachite 62

A.12 Fornitura e posa di terra vegetale nelle aiuole 8

A.13 Fornitura e posa della cordolatura perimetrale in blocchi di granito 23

A.14 Fornitura e posa dei pali luce dell’illuminazione alta, infilaggio dei cavi elettrici, allacci elettrici alla rete di illuminzione cittadina. 45

A.15 Nomina del collaudatore, collaudo dei lavori 3

Completiamo per prima cosa la fase 1, ovvero individuiamo le precedenze e costruiamo il reticolo.CODICE ATTIVITA’ GG PRECEDENZEA.1 Certificato di ultimazione dei lavori 1 A.7 A.12

A.2 Massetti in calcestruzzo armati 15 A.5

A.3 Formazione dei vespai e dei dreni 25 A.4

A.4 Sbancamento in larga sezione del sedime della piazza 4 A.10

A.5 Formazione delle canalizzazioni elettriche 3 A.9

A.6 Formazione delle aiuole 18 A.2 A.8

A.7 Fornitura e posa di panchine in ferro battuto e legno 5 A.11 A.13

A.8 Formazione delle cunette laterali alla francese in calcestruzzo lungo il perimetro della piazza 14 A.5

A.9 Massicciata in tout venant di cava 13 A.3

A.10 Consegna dei lavori 1 -

A.11 Fornitura e posa delle pavimentazioni in trachite 62 A.2 A.8

A.12 Fornitura e posa di terra vegetale nelle aiuole 8 A.6 A.14

A.13 Fornitura e posa della cordolatura perimetrale in blocchi di granito 23 A.2 A.8

A.14 Fornitura e posa dei pali luce dell’illuminazione alta, infilaggio dei cavi elettrici, allacci elettrici alla rete di illuminzione cittadina. 45 A.5

A.15 Nomina del collaudatore, collaudo dei lavori 3 A.1


2147

A.10

1

Si osservi la numerazione dei nodi: anche se in un PERT originale e modificato non è condizione necessaria, si è scelto di collegare le attività tra due nodi che avessero quello di inizio con indice più basso rispetto a quello di termine. Tale numerazione è vantaggiosa (e necessaria) nel calcolo automatico.

In tal modo è possibile passare alla determinazione del TPB (F.2.a) dell’evento di inizio di un’attività, data in cui questa può essere «al più presto» iniziata, in funzione di ciò che le sta a monte o la precede, ricollegandola all’evento di inizio della rete. Si procede sommando le durate al TPB dell’evento iniziale e scegliendo, come TPB dell’evento di termine, la massima fra le date calcolate lungo tutti i possibili archi che vi fanno capo, cioè il massimo fra tutti i possibili TPB.Passando ai calcoli si avrà (indicando i TPB tra parentesi tonde):

(TPB)1 = 0(TPB)2 = (TPB)1 + t1,2 = 0+1=1(TPB)3 = (TPB)2 + t2,3 =1+4=5(TPB)4 = (TPB)3 + t3,4 =5+25=30(TPB)5 = (TPB)4 + t4,5 =30+13=43(TPB)6 = (TPB)5 + t5,6 =43+3=46(TPB)7 = (TPB)6 + t6,7 =46+14=60(TPB)8

’ = (TPB)6 + t6,8 =46+15=61(TPB)8

’’ = (TPB)7 + t7,8 =60+0=60(TPB)8 =max{(TPB)8

’+(TPB)8’’}

(TPB)8 = 61(TPB)9 = (TPB)6 + t6,9 =46+45=91

(TPB)10 = (TPB)8 + t8,10 =61+23=84(TPB)11

’ = (TPB)8 + t8,11 =61+62=123(TPB)11

’’ = (TPB)10 + t10,11 =84+0=84(TPB)11 = max{(TPB)11

’+(TPB)11’’}

(TPB)11 = 123(TPB)12

’ = (TPB)8 + t8,12 =61+18=79(TPB)12

’’ = (TPB)9 + t9,12 =91+0=91(TPB)12 = max{(TPB)12

’+(TPB)12’’}

(TPB)12 = 91

(TPB)13’ = (TPB)11 + t11,13 =123+5=128

(TPB)13’’ = (TPB)12 + t12,13 =91+8=99

(TPB)13 = max{(TPB)14’+(TPB)14

’’}=128(TPB)14 = (TPB)14 + t14,15 =128+1=129(TPB)15 = (TPB)15 + t15,16 =129+3=132

(123)

A.10

1

DyA.13 23

A.6 18A.14 45

A.8 14 Dy

A.5 3A.3 25

A.4 4

Dy

A.2

15

A.11

62

A.9

13

1 2

3

4 5

6

7

8

9

10

11

13

A.7

5

A.12

812

DyA.13 23

A.6 18A.14 45

A.8 14

A.1 1

Dy

A.5 3A.3 25

A.4 4

Dy

A.15

3

A.2

15

A.9

13

1 2

3

4 5

6

7

8

9

10

11

15

13

A.7

5

A.12

812

(0)

(1)

(5)

(30)

(43)

(46)

(60)

(91)

(61)

(84)

(91)

(128)

(129)14(132)

A.1 1

A.15

315 14


2247

A.10

1

(132) [132]

A questo punto è possibile individuare il tempo più breve (di seguito indicato TPB) dell’intero progetto, corrispondente al minor tempo necessario alla conclusione dei lavori. Si ha:

TPB = 132 gg. consecutiviOra è possibile calcolare la TU (F.2.b), ovvero quella data in cui ogni attività potrebbe essere «al più tardi» iniziata, ovvero completata, rispettando le condizioni di non causare, così facendo, dei ritardi nella data finale del progetto. Infatti se è vero che non è possibile iniziare il lavoro prima del TPB non è detto che si debbano assolutamente cominciare i lavori proprio in quel giorno. Può anziesser possibile (e talvolta conveniente) ritardare quell’attività di qualche settimana (definiremo più avanti gli scorrimenti) senza, per questo, pregiudicare la data di termine del lavoro.

Occorre allora definire la data ultima dei lavori: questa potrebbe essere fissata dalla committenza (stazione appaltante, nei LL.PP.) in misura inferiore, uguale o superiore a quanto stabilito nella nostra pianificazione prima, e programmazione poi.Poniamo per adesso che il tempo ultimo (di seguito indicato TU) sia uguale al TPB. Passiamo a calcolare i TU: si procede togliendo (procedendo a ritroso) le durate al TU dell’evento finale e scegliendo, come TU dell’evento di inizio, la minima fra le date calcolate lungo tutti i possibili archi che vi si diramano, cioè il minimo fra tutti i possibili TU.Passando ai calcoli si avrà (indicando i TU tra parentesi quadre):

[TU]15 = 132[TU]14 = [TU]15 – t15,14 = 132-3 = 129[TU]13 = [TU]14 - t14,13 = 129-1 = 128[TU]12 = [TU]13 - t13,12 = 128-8 = 120[TU]11 = [TU]13 - t13,11 = 128-5 = 123[TU]10 = [TU]11 - t11,10 = 123-0 = 123[TU]9 = [TU]12 – t12,9 = 120-0 = 120[TU]8

’ = [TU]12 – t12,8 = 120-18 = 102[TU]8

’’ = [TU]11 – t11,8 = 123-62 = 61[TU]8

’’’ = [TU]10 – t10,8 = 123-23 = 120[TU]8 = min{[TU]8

’,[TU]8’’,[TU]8

’’’}=61

[TU]7 = [TU]8 – t8,7 = 61-0 = 61[TU]6

’ = [TU]9 – t9,6 = 120-45 = 75[TU]6

’’= [TU]8 – t8,6 = 61-15= 46[TU]6

’’’= [TU]7 – t7,6 = 61-14= 47[TU]6=min{[TU]6

’,[TU]6’’,[TU]6

’’’}[TU]6 = 46[TU]5 = [TU]6 – t6,5 = 46-3 = 43

[TU]4 = [TU]5 – t5,4 = 43-13 = 30[TU]3 = [TU]4 – t4,3 = 30-25 = 5[TU]2 = [TU]3 – t3,2 = 5-4 = 1[TU]1 = [TU]2 – t2,1 = 1-1 = 0

Ora possiamo passare alla terza fase, quella dell’esame dei risultati.

Iniziamo col definire l’intervallo di tempo entro i cui limiti si è liberi di fare iniziare le attività che partono da esso o di fare terminare quelle che vi convergono, certi che ciò sia compatibile con quanto segue e che non saranno indotti ritardi nella data finale, in altre parole lo scorrimento(F.3.a).

[123]

[120]

(128)

[128]

[129]

(61) [61] (123)

DyA.13 23

A.6 18A.14 45

A.8 14

A.1 1

Dy

A.5 3A.3 25

A.4 4

Dy

A.15

3

A.2

15

A.11

62

A.9

13

1 2

3

4 5

6

7

8

9

10

11

15

13

A.7

5

A.12

812

(0)

(1)

(5)

(30)

(43)

(46)

(60)

(91) (91)

(129)14

(84)

[0][1]

[5]

[30]

[43]

[46]

[61]

[123]

[120]


2347

Per cui lo scorrimento dell’evento j-esimo sarà pari a:

(Sc)j = [TU]j – (TPB)j

Si ottiene:(Sc)1 = [TU]1 – (TPB)1 = 0

(Sc)2 = [TU]2 – (TPB)2 = 0

(Sc)3 = [TU]3 – (TPB)3 = 0

(Sc)4 = [TU]4 – (TPB)4 = 0

(Sc)5 = [TU]5 – (TPB)5 = 0

(Sc)6 = [TU]6 – (TPB)6 = 0

(Sc)7 = [TU]7 – (TPB)7 = 1

(Sc)8 = [TU]8 – (TPB)8 = 0

(Sc)9 = [TU]9 – (TPB)9 = 29

(Sc)10 = [TU]10 – (TPB)10 = 39

(Sc)11 = [TU]11 – (TPB)11 = 0

(Sc)12 = [TU]12 – (TPB)12 = 29

(Sc)13 = [TU]13 – (TPB)13 = 0

(Sc)14 = [TU]14 – (TPB)14 = 0

(Sc)15 = [TU]15 – (TPB)15 = 0

Si osserva come alcuni eventi presentino lo scorrimento nullo: tali eventi sono detti critici (F.3.b)ed in ogni diagramma reticolare di programmazione esiste almeno un itinerario che collega l’evento iniziale con quello finale, interamente formato da attività critiche, denominato cammino critico.

Ma cosa sono le attività critiche? Non è sufficiente la sola conoscenza dello scorrimento legato agli eventi per definirle, ma è necessario conoscerne degli altri: vediamoli.

Nella definizione del TPB di un evento si è visto come sia la più grande tra le date determinate tra le attività che vi concorrono. Dunque esiste la possibilità che le altre attività, diverse da quella del TPB, possano ritardare il loro inizio: questo scorrimento, che è tipico e solo dell’attività che lo possiede, può essere liberamente ed arbitrariamente sfruttato senza alcun rischio di indurre disturbi nelle altre date della rete: è lo (Sl)ij scorrimento libero dell’attività Aij(F.3.c).

(Sl)ij = (TPB)j – (TPB)i - tij

Quando per una generica attività Aij esiste uno scorrimento del suo evento finale, questo le compete, a rigore, solo se comporta il massimo contributo alla determinazione del TPB di quell’evento di termine: è lo scorrimento concatenato (Sc)ij.

(Sc)ij = [TU]j – (TPB)j

Noti tali due scorrimenti è possibile definire la condizione di criticità (F.3.e) di una generica attività Aij tra gli eventi i e j, noti il (TPB)i, il [TU]j e la durata tij.

Infatti se accade che:

[TU]j – (TPB)i - tij = 0l’attività è critica. Nel caso non sia verificata tale differenza, il risultato definisce lo scorrimento totale (St)ij dell’attività (F.3.d), somma di quello libero e quello concatenato. Infatti:

(St)ij = (Sl)ij + (Sc)ij = (TPB)j – (TPB)i - tij + [TU]j – (TPB)j

(St)ij = [TU]j – (TPB)i - tij

Passando ai calcoli si avrà:Scorrimento libero (Sl)ij

(Sl)1,2 = (TPB)2 – (TPB)1 – t1,2 = 0

(Sl)2,3 = (TPB)3 – (TPB)2 – t2,3 = 0

(Sl)3,4 = (TPB)4 – (TPB)3 – t3,4 = 0

(Sl)4,5 = (TPB)5 – (TPB)4 – t4,5 = 0

(Sl)5,6 = (TPB)6 – (TPB)5 – t5,6 = 0

(Sl)6,7 = (TPB)7 – (TPB)6 – t6,7 = 0

(Sl)6,8 = (TPB)8 – (TPB)6 – t6,8 = 0

(Sl)6,9 = (TPB)9 – (TPB)6 – t6,9 = 0

(Sl)7,8 = (TPB)8 – (TPB)7 – t7,8 = 1

(Sl)8,10 = (TPB)10 – (TPB)8 – t8,10 = 0

(Sl)8,11 = (TPB)11 – (TPB)8 – t8,11 = 0

(Sl)8,12 = (TPB)12 – (TPB)8 – t8,12 =12

(Sl)9,12 = (TPB)12 – (TPB)9 – t9,12 = 0

(Sl)10,11 = (TPB)11 – (TPB)10 – t10,11 = 39

(Sl)11,13 = (TPB)13 – (TPB)11 – t11,13 = 0

(Sl)12,13 = (TPB)13 – (TPB)12 – t12,13 = 29

(Sl)13,14 = (TPB)14 – (TPB)13 – t14,13 = 0

(Sl)14,15 = (TPB)15 – (TPB)14 – t15,14 = 0


2447

A.10

1

(132) [132]

Scorrimento totale (St)ij

(St)1,2 = [TU]2 – (TPB)1 – t1,2 = 0

(St)2,3 = [TU]3 – (TPB)2 – t2,3 = 0

(St)3,4 = [TU]4 – (TPB)3 – t3,4 = 0

(St)4,5 = [TU]5 – (TPB)4 – t4,5 = 0

(St)5,6 = [TU]6 – (TPB)5 – t5,6 = 0

(St)6,7 = [TU]7 – (TPB)6 – t6,7 = 1

(St)6,8 = [TU]8 – (TPB)6 – t6,8 = 0

(St)6,9 = [TU]9 – (TPB)6 – t6,9 = 29

(St)7,8 = [TU]8 – (TPB)7 – t7,8 = 1

(St)8,10 = [TU]10 – (TPB)8 – t8,10 = 39

(St)8,11 = [TU]11 – (TPB)8 – t8,11 = 0

(St)8,12 = [TU]12 – (TPB)8 – t8,12 = 41

(St)9,12 = [TU]12 – (TPB)9 – t9,12 = 29

(St)10,11 = [TU]11 – (TPB) 10 – t10,11 = 39

(St)11,13 = [TU]13 – (TPB)11 – t11,13 = 0

(St)12,13 = [TU]13 – (TPB)12 – t12,13 = 29

(St)13,14 = [TU]14 – (TPB)13 – t14,13 = 0

(St)14,15 = [TU]15 – (TPB)14 – t15,14 = 0

Ora possiamo definire il percorso critico:

P.C. : A.10 – A.4 – A.3 – A.9 – A.5 – A.2 – A.11 – A.7 – A.1 – A.15

Un’ultima considerazione sulle attività critiche: mentre è sempre vero che sono limitate da eventi critici, la definizione di questi ultimi non basta per individuare le prime. Infatti se gli estremi di un’attività sono critici implica che la stessa non abbia scorrimento concatenato ma potrebbe benissimo avere quello libero!

Tra gli scorrimenti viene definito anche quello svincolato, di scarso interesse pratico (F.3.f):(Ss)ij = (TPB)j – [TU]i - tij

In generale è negative. Se >0 indica la possibilità di assoluta indipendenza dell’attività entro i limiti di Ss dalle vicende o variazioni delle altre attività della rete, purché non superino i limiti del loro St.

A questo punto si può passare ad analizzare quanto ottenuto (Fase 4). Abbiamo finora supposto che il TPB ed il TU coincidessero, ma ciò non accade necessariamente. Se per esempio il TU fosse maggiore del TPB significherebbe che le risorse rese disponibili per le varie attività hanno consentito durate parziali tali che la data finale calcolata è inferiore alla data desiderata. Se non è accettato un anticipo della data finale, o il mantenere un certo margine di sicurezza, si possono aumentare certe durate con possibile riduzione delle spese preventivate per

A.1 1

[123]

[123]

[120]

(128)[128]

[129]

(61) [61] (123)

DyA.13 23

A.6 18A.14 45

A.8 14 Dy

A.5 3A.3 25

A.4 4

Dy

A.2

15

A.11

62

A.9

13

1 2

3

4 5

6

7

8

9

10

11

13

A.7

5

A.12

812

(0)

(1)

(5)

(30)

(43)

(46)

(60)

(91) (91)

(129)

(84)

[0][1]

[5]

[30]

[43]

[46]

[61]

[120]

A.15

315 14


2547

quel programma (F.4.a). Occorre controllare che gli incrementi di durata •tij = tij’ – tij di ogni attività siano inferiori al valore del relativo (St)ij altrimenti la catena di cui fa parte l’Aijdiventerebbe critica, non apportando nessun miglioramento alla durata complessiva.

Risorse umane Risorse materiali Durata

Prima

Dopo

L’altra possibilità è quella che preveda un anticipo della conclusione dei lavori rispetto alla programmazione da noi definita. In tal caso si verificheranno degli scorrimenti totali negativi. Le attività che li possiedono sono dette ipercritiche (F.4.b) e risultano di estremo interesse perché si sa dove e in quale misura (si sottolinea questo valore quantitativo delle informazioni che il PERT fornisce) si deve o è più opportuno intervenire, concentrando gli sforzi organizzativi e finanziari per rendere possibile il raggiungimento della data di completamento desiderata.

Ma in realtà come si può agire? Gli interventi che possono attuarsi sono di due tipi:1. di carattere organizzativo, che consentono di organizzare meglio le attività, in modo da

ridurre le durate parziali e quindi anche le totali di esecuzione;2. di carattere finanziario, valutando la convenienza di un eventuale sforzo finanziario che

porti un aumento di risorse tale da consentire un’opportuna riduzione delle durate.Risorse umane Risorse materiali Durata Costo

Prima

Dopo

La bontà della soluzione che il tecnico è chiamato a formulare dipenderà dalle variazioni che i diversi provvedimenti provocheranno sulle durate delle attività su cui si è agito, e dal loro riflesso sul programma complessivo.


2647

PERT modificatoSi applica ad un reticolo orientato per eventi, dove nei cerchi si rappresentano le attività e con l’arco la sola dipendenza logica che le lega. La stesura risulta più semplice rispetto al P. originale perché mancano le attività fittizie, ma non è possibile desume in maniera semplice lo scorrimento libero.Prendiamo lo stesso esempio di progetto visto in precedenza. Come prima costruiamo prima il reticolo e passiamo poi alla fase di calcolo (già fatta precedentemente).

Ed evidenziando il percorso critico:

A.10 1

1 1

A.4 4

5 5

A.3 25

30 30

A.9 13

43 43

A.8 14

60 61

A.5 3

46 46

A.14 45

91 120

A.2 15

61 61

A7 5

128 128

A.11 62

123 123

A.13 23

84 123

A.12 8

99 128

A.6 18

79 120

A.15 3

132 132

A.1 1

129 129

A.10 1

1 1

A.4 4

5 5

A.3 25

30 30

A.9 13

43 43

A.8 14

60 61

A.5 3

46 46A.14 45

91 120

A.2 15

61 61

A7 5

128 128

A.11 62

123 123

A.13 23

84 123

A.12 8

99 128

A.6 18

79 120

A.15 3

132 132

A.1 1

129 129


2747

Si osserva la mancanza delle attività fittizie necessarie per un legame logico-sequenziale del programma. Il metodo modificato non necessita di tali attività, a parte il caso in cui si abbiano piùattività iniziali e/o finali.

PERT matricePer poter essere calcolato mediante matrice, il PERT deve:

essere orientato per attività (cioè deriva da un PERT originale);avere gli eventi codificati mediante numeri crescenti in modo continuo;

avere il codice dell’evento iniziale inferiore a quello dell’evento di termine;non devono esserci cappi.

Per prima cosa occorre tabellare le attività del programma. Si riporteranno le attività ordinate per codice evento iniziale crescente e, a parità di questo, con il codice finale crescente. Riportiamo l’elenco delle attività ed impostiamo la tabella.In alternativa si può impostare il reticolo del PERT originale e passare alla compilazione della matrice. Questo metodo richiede una buona capacità nell’individuare le precedenze logiche delle attività, cosa che esercizio ed esperienza possono dare.

CODICE ATTIVITA’ GG PRECEDENZEA.1 Certificato di ultimazione dei lavori 1 A.7 A.12

A.2 Massetti in calcestruzzo armati 15 A.5

A.3 Formazione dei vespai e dei dreni 25 A.4

A.4 Sbancamento in larga sezione del sedime della piazza 4 A.10

A.5 Formazione delle canalizzazioni elettriche 3 A.9

A.6 Formazione delle aiuole 18 A.2 A.8

A.7 Fornitura e posa di panchine in ferro battuto e legno 5 A.11 A.13

A.8 Formazione delle cunette laterali alla francese in calcestruzzo lungo il perimetro della piazza 14 A.5

A.9 Massicciata in tout venant di cava 13 A.3

A.10 Consegna dei lavori 1 -

A.11 Fornitura e posa delle pavimentazioni in trachite 62 A.2 A.8

A.12 Fornitura e posa di terra vegetale nelle aiuole 8 A.6 A.14

A.13 Fornitura e posa della cordolatura perimetrale in blocchi di granito 23 A.2 A.8

A.14 Fornitura e posa dei pali luce dell’illuminazione alta, infilaggio dei cavi elettrici, allacci elettrici alla rete di illuminzione cittadina. 45 A.5

A.15 Nomina del collaudatore, collaudo dei lavori 3 A.1


2847

Eventi ScorrimentoCodiceAttività Iniziale Finale

DurataLibero Totale

Cammino critico

A.10 1 2 1

A.4 2 3 4

A.3 3 4 25

A.9 4 5 13

A.5 5 6 3

A.8 6 7 14

A.2 6 8 15

A.14 6 9 45

Dy 7 8 0

A.13 8 10 23

A.11 8 11 62

A.6 8 12 18

Dy 9 12 0

Dy 10 11 0

A.7 11 13 5

A.12 12 13 8

A.1 13 14 1

A.15 14 15 3

Per completare la tabella si costruisce una matrice quadrata pari al n° degli elementi, ponendo gli eventi iniziali (originari) delle attività sulle ascisse e quelli finali (terminali) sulle ordinate.Per ciascuna attività Aij le date d’inizio e termine vengono riportate nei quadretti all’incrocio tra la i-esima colonna con la j-esima riga: in tal modo si costruirà il triangolo inferiore della matrice (rispetto alla diagonale principale), dove compariranno i tempi minimi degli eventi.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 0

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Nella parte superiore della matrice dovranno comparire i tempi massimi ed il calcolo procede dal TU in basso, poiché quel che prima era un evento di termine ora è iniziale.

Indice evento iniziale

Indice evento finale

[TU]

(TPB)


2947

Il calcolo procede in questo modo:

a. Si pone 0 (zero) nella casella (1,1) corrispondente al TPB dell’evento iniziale, e si costruisce la diagonale che annulla la possibilità che possano considerarsi cappi (gli elementi della diagonale principale appunto).

b. Si passa alle attività aventi origine in 1 e si pone, nelle caselle di coordinate (1,j) il TPB ottenuto come somma del numero più alto della riga dell’evento di partenza dell’attività (in questo caso è la prima riga) e della durata dell’attività A1,j.

c. Si passa alle attività con origine in 2, procedendo come sopra. Analogamente per le altre.d. Mentre per quegli eventi che sono terminali di una sola attività il TPB risulta univocamente

determinato, per quelli che sono terminali di più attività dovrà prendersi il maggiore e questo dovrà essere evidenziato (sottolineandolo, per es.). Si badi che il discorso è del tutto analogo a quello che si era detto nella definizione del TPB del PERT originale, solo che qui in più lo evidenzia.

e. Terminato il calcolo del TPB si passa alla determinazione del [TU], partendo dall’ultima attività per arrivare alla prima: ne consegue che gli eventi finali diventano iniziali. Si impone il tempo finale [Tp]f che può essere posto uguale al (TPB)n o altra data, ed inserito nella casella in basso a destra.

La prima attività che si considera è la A15,14 il cui evento iniziale è il 15 e quello finale il 14. Il valore di [TU] è dato dalla differenza tra il tempo più basso scritto sopra la diagonale della riga corrispondente all’evento iniziale (15) e la durata dell’attività (3):

[TU]15,14 = 132-3 = 129

Si prosegue allo stesso modo per le altre attività.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 0

2 1

3 5

4 30

5 43

6 46

7 60

8 61 60

9 91

10 84

11 123 84

12 79 91

13 128 99

14 129

15 132

f. Il tempo ultimo di un evento j-esimo che presenta un solo dato nella riga avente come numero il codice dell’evento, sarà quello da sottolinearsi.


3047

g. Qualora ci siano più tempi rappresentativi di più attività che hanno come evento iniziale quell’evento con quel codice, il [TU] sarà il minore e solo quello dovrà essere sottolineato e considerato nel prosieguo del calcolo.

Per esempio le attività A10,8, A11,8 e A12,8 avranno dei [TU] riportati nella riga 8 ed il più piccolo corrisponde al [TU]11,8 pari a 61 u.t.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 0 0

2 1 1

3 5 5

4 30 30

5 43 43

6 46 47 46 75

7 60 61

8 61 60 100 61 102

9 91 120

10 84 123

11 123 84 123

12 79 91 120

13 128 99 128

14 129 129

15 132 132

h. Gli eventi che presentano [TU]j = (TPB)j sono critici, poiché il loro scorrimento è nullo.i. Se la differenza [TU]j - (TPB)j • 0, l’evento è dotato di uno scorrimento concatenato come

l’attività in cui esso si completa. Lo scorrimento libero vale:(Sl)ij = (TPB)j – (TPB)ij = (TPB)j – (TPB)i - tij

e la matrice fornisce tale dato per ogni attività.Infatti se in una riga j-esima sotto la diagonale vi sono più numeri, ciò implica che l’evento può essere raggiunto da tante attività quanti sono i numeri della riga. La data minima entro la quale l’attività Aij dovrà essere completata viene letta nella casella (j,i).

Ora poiché il (TPB)j è quello sottolineato nella j-esima riga, basterà fare la differenza tra questo e quello trovato prima per ottenere lo scorrimento libero.

Ad esempio lo (Sl)8,12 è pari alla differenza tra (TPB)12 = 91 e (TPB)8,12 = 79, ovvero 12.j. Lo scorrimento totale di un’attività sarà dato dalla differenza tra il [TU] del suo evento

finale, letto nella rispettiva riga e facilmente individuabile perché sottolineato, e il(TPB)ijche si troverà nella semimatrice inferiore in corrispondenza delle caselle ij.

Ad esempio lo scorrimento totale dell’A12,13 sarà pari a [128] – (99) = 29 u.t.Le attività con scorrimento totale nullo sappiamo essere critiche ed individuano il CAMMINO CRITICO.


3147

Pertanto dalla matrice si ricavano:

a. Tempi minimi;b. Tempi massimi;

c. Scorrimenti liberi;

d. Scorrimenti totali;e. Attività critiche;

f. Cammino critico.Riportiamo infine la tabella completata.


DurataLibero Totale

Cammino critico

A.10 1 2 1 0 0

A.4 2 3 4 0 0

A.3 3 4 25 0 0

A.9 4 5 13 0 0

A.5 5 6 3 0 0

A.8 6 7 14 0 1

A.2 6 8 15 0 0

A.14 6 9 45 0 29

Dy 7 8 0 1 1

A.13 8 10 23 0 39

A.11 8 11 62 0 0

A.6 8 12 18 12 29

Dy 9 12 0 0 29

Dy 10 11 0 39 39

A.7 11 13 5 0 0

A.12 12 13 8 29 29

A.1 13 14 1 0 0

A.15 14 15 3 0 0


3247

Vediamo adesso un altro esempio di Pert relativo alla realizzazione di un’opera edile.

UN LAVORO PER LA COSTRUZIONE DI UN MUNICIPIO, SI COMPIE ATTRAVERSO UNA SEQUENZA DI ATTIVITA' CHE VENGONO ELENCATE IN MODO CASUALE CON TEMPI DI ESECUZIONE ESPRESSI IN GIORNI CONSECUTIVI.LO STUDENTE ESEGUA UNA PROGRAMMAZIONE DEL LAVORO MEDIANTE IL PERT ORIGINALE. Inoltre, posto che il TU=TPB si determinino il cammino critico e gli scorrimenti

CODICE ATTIVITA’ GG PRECEDENZEA SCOTICAMENTO DELL’AREA DI SEDIME 1B FORNITURA E POSA IN OPERA DI SOLAIO INCLINATO DI COPERTURA

COMPLETO DI TRAVI, MASSETTI E SOVRASTRUTTURA DI FINITURA E DI ISOLAMENTO E TEGOLE

8

C ACCANTIERAMENTO 3D ESECUZIONE DELLA RECINZIONE ESTERNA COMPLETA DI CANCELLI E

CAMMINAMENTI ESTERNI NONCHE’ DEI PRATI16

E CONSEGNA LAVORI 1F COLLAUDO TECNICO AMINISTRATIVO 3G PICCHETTAMENTO DELLE FONDAZIONI 1H SCAVO IN SEZIONE RISTRETTA PER LE FONDAZIONI 9I ESECUZIONE DEGLI INTONACI INTERNI ED ESTERNI 6L FORNITURA E POSA DI MASSETTO DI CEMENTO RETINATO DELLO

SPESSORE DI CM.102

M FORNITURA E POSA IN OPERA DEGLI INFISSI INTERNI ED ESTERNI 40N FORMAZIONE DI TUTTE LE MURATURE PORTANTI IN MURO BLOCCO DA

CM. 3014

O FORMAZIONE E POSA DI TUTTA L’IMPIANTISTICA ELETTRICA 10P ESECUZIONE DI TUTTE LE TINTEGGIATURE 4Q FORMAZIONE DI FONDAZIONE CONTINUA ESEGUITA IN C.A., COMPRESA

LA GUAINA SUGLI SPICCATI10

R COLLAUDO STATICO 1S ESECUZIONE DEI RIVESTIMENTI DEI BAGNI 2T POSA IN OPERA DEGLI APPARECCHI IGIENICO-SANITARI COMPLETI DI

RUBINETTERIA E RACCORDERIA8

U FORMAZIONE DEL VESPAIO CON SOVRASTANTE STRATO DI MISTO GRANULATO

2

V POSA IN OPERA DEI PAVIMENTI E BATTISCOPA A COLLA 11Z CERTIFICATO DI FINE LAVORI 1J FORNITURA DI MURO BLOCCO SPESSORE CM.30 PER MURATURA

PORTANTE5

Y FORMAZIONE E POSA DI TUTTA L’IMPIANTISTICA IDRICA INTERNA 6W FORNITURA DEGLI APPARECCHI IGIENICO-SANITARI COMPLETI DI

RUBINETTERIA E RACCORDERIA11


3347

Completiamo per prima cosa la fase 1, ovvero individuiamo le precedenze e costruiamo il reticolo.

CODICE ATTIVITA’ GG PRECEDENZEA SCOTICAMENTO DELL’AREA DI SEDIME 1 EB FORNITURA E POSA IN OPERA DI SOLAIO INCLINATO DI COPERTURA COMPLETO

DI TRAVI, MASSETTI E SOVRASTRUTTURA DI FINITURA E DI ISOLAMENTO E TEGOLE

18 N

C ACCANTIERAMENTO 3 ED ESECUZIONE DELLA RECINZIONE ESTERNA COMPLETA DI CANCELLI E

CAMMINAMENTI ESTERNI NONCHE’ DEI PRATI16 U

E CONSEGNA LAVORI 1 -F COLLAUDO TECNICO AMINISTRATIVO 3 RG PICCHETTAMENTO DELLE FONDAZIONI 1 A CH SCAVO IN SEZIONE RISTRETTA PER LE FONDAZIONI 9 GI ESECUZIONE DEGLI INTONACI INTERNI ED ESTERNI 6 O YL FORNITURA E POSA DI MASSETTO DI CEMENTO RETINATO DELLO

SPESSORE DI CM.102 U

M FORNITURA E POSA IN OPERA DEGLI INFISSI INTERNI ED ESTERNI 40 PN FORMAZIONE DI TUTTE LE MURATURE PORTANTI IN MURO BLOCCO DA

CM. 3014 L J

O FORMAZIONE E POSA DI TUTTA L’IMPIANTISTICA ELETTRICA 10 B NP ESECUZIONE DI TUTTE LE TINTEGGIATURE 4 TQ FORMAZIONE DI FONDAZIONE CONTINUA ESEGUITA IN C.A., COMPRESA

LA GUAINA SUGLI SPICCATI10 H

R COLLAUDO STATICO 1 ZS ESECUZIONE DEI RIVESTIMENTI DEI BAGNI 2 VT POSA IN OPERA DEGLI APPARECCHI IGIENICO-SANITARI COMPLETI DI

RUBINETTERIA E RACCORDERIA8 S W

U FORMAZIONE DEL VESPAIO CON SOVRASTANTE STRATO DI MISTO GRANULATO

2 Q

V POSA IN OPERA DEI PAVIMENTI E BATTISCOPA A COLLA 11 IZ CERTIFICATO DI FINE LAVORI 1 M D PJ FORNITURA DI MURO BLOCCO SPESSORE CM.30 PER MURATURA

PORTANTE5 C A

Y FORMAZIONE E POSA DI TUTTA L’IMPIANTISTICA IDRICA INTERNA 6 B NW FORNITURA DEGLI APPARECCHI IGIENICO-SANITARI COMPLETI DI

RUBINETTERIA E RACCORDERIA11 C A

In questa prima stesura riportiamo una definizione del programma grossolana, che poi successivamente andremo a raffinare.


3447

Questo reticolo viene ora “ripulito” ad esempio dalle Dy di primo tipo che, come visto nella teoria,possono essere eliminate per renderlo più facilmente leggibile, riducendo così ulteriormente il numero dei nodi da 26 a 20. Iniziamo ora a calcolare TPB e TU.

1 2 3

4

8

5 6

7 10 1211

18 9 13

1415

161719

20

21

2322

24 25 26

E

1

A

1

C 3Dy

J 5 Dy

Dy N

14

Dy

Dy

Dy

J 5

U 2L 2

B

22

Y

6

0 10

Dy

I

6V

11

S

2

T 8

P 4

Dy

Dy

Z 1

R

1

F

1

D 16

Dy

Dy

M 40

W

11G 1

H

9

Q 10


3547

CALCOLO DEI (TPB)

(TPB)1 = 0(TPB)2 = (TPB)1 + t1,2 = 0+1=1(TPB)3 = (TPB)2 + t2,3 =1+1=2(TPB)4

’ = (TPB)3 + t3,4 =2+0=2(TPB)4

’’ = (TPB)2 + t2,4 =1+3=4

1 2 3

4

5 6

7 9

8 10

1112

131415

16

17

18 19 20

E

1

A

1

C 3Dy

J 5

Dy

Dy

J 5

U 2L 2

B

22

Y

6

0 10

Dy

I

6

A

1

V

11

S

2

T 8

P 4

Z 1

R

1

F

1

D 16

M 40

W

11

G 1

H

9

Q 10

(0)(1)

(2)

(4)

(5)(14)

(24)(28)

(26) (48)

(54)(58)

(64)(75)(77)

(85)

(89)

(90) (91) (92)

[92][91][90]

[89]

[85]

[26]

[77] [75] [64]

[58] [58]

[48]

[34]

[24]

[14][5]

[1] [4]

[4]

[0]

N

14


3647

(TPB)4 =max{(TPB)4’, (TPB)4

’’}=4

(TPB)5 = (TPB)4 + t4,5= 4+1=5

(TPB)6 = (TPB)5 + t5,6 =5+9=14(TPB)7 = (TPB)6 + t6,7 =14+10=24(TPB)8 = (TPB)7 + t7,8=24+2=26

(TPB)9’ = (TPB)4 + t6,9 =4+5=9

(TPB)9’’ = (TPB)7 + t7,9 =24+0=24

(TPB)9’’’ = (TPB)8 + t7,9 =26+2=28


’’ , (TPB)9’’’ }=28

(TPB)10’ = (TPB)8 + t8,10 =26+22=48

(TPB)10’’ = (TPB)9 + t9,10 =28+14=42


’’}=48

(TPB)11 = (TPB)10 + t10,11=48+6=54

(TPB)12’ = (TPB)10 + t10,12 =48+10=58

(TPB)12’’ = (TPB)11 + t11,12 =54+0=54

(TPB)12 = max{(TPB)12’, (TPB)12

’’}=58

(TPB)13 = (TPB)12 + t12,13=58+6=64(TPB)14 = (TPB)13 + t13,14=64+11=75

(TPB)15 ’ = (TPB)14 + t14,15=75+2=77(TPB) 15’’= (TPB) 4 + t4,15=4+11=15(TPB)15 = max{(TPB)15

’, (TPB)15’’}=77

(TPB)16 = (TPB)15 + t15,16=77+8=85

(TPB)17’ = (TPB)4 + t4,17 =4+40=44

(TPB)17’’ = (TPB)8 + t8,17 =26+16=42

(TPB)17’’’ = (TPB)16 + t16,17 =85+4=89


’’ , (TPB)17’’’ }=89

(TPB)18 = (TPB)17 + t17,18=89+1=90(TPB)19 = (TPB)18 + t18,19 =90+1=91(TPB)20 = (TPB)19 + t19,20=91+1=92

CALCOLO DEI [TU]

[TU]20 = 92[TU]19 = [TU]20 – t20,19= 92-1 = 91[TU]18 = [TU]19 – t19,18= 91-1 = 90[TU]17 = [TU]18 – t18,17= 90-1 = 89[TU]16 = [TU]17 – t17,16= 89-4 = 85[TU]15 = [TU]16 – t16,15= 85-8 = 77[TU]14 = [TU]15 – t15,14 = 77-2 = 75[TU]13 = [TU]14 – t14,13= 75-11 = 64[TU]12 = [TU]13 – t13,12= 64-6 = 58[TU]11 = [TU]12 – t12,11= 58-0 = 58

[TU]10’ = [TU]12 – t12,10 = 58-10 = 48[TU]10’’ = [TU]11 – t11, 10= 58-6 = 52[TU]10 = min{[TU]10’,[TU]10’’}=48


3747

[TU]9 = [TU]10 – t10,9= 48-14=34

[TU]’8 = [TU]17 – t17,8= 89-16=83[TU]8’’ = [TU]10 – t10, 8= 48-22 = 26[TU]8’’’ = [TU]9 – t9, 8= 34-2 = 32[TU]8 = min{[TU]8’,[TU]8’’,[TU]8’’’}=26[TU] 7’ = [TU]9 – t9,,7= 34-0=34[TU]7’’ = [TU]8 – t8, 7= 26-2 = 24[TU]7 = min{[TU]7’,[TU]7’’}=24[TU]6 = [TU]7 – t7,6= 24-10=14[TU]5 = [TU]6 – t6,5= 14-9=5[TU]4’ = [TU]17 – t17,4= 89-40=49[TU]4’’ = [TU]15 – t15,4= 77-11=66[TU]4’’’ = [TU]9 – t9,4= 34-5=29[TU]4’’’’ = [TU]5 – t5,4= 5-1=4[TU]4 = min{[TU]4’,[TU]4’’ , [TU]4’’’,[TU]4’’’’}=4

[TU]3 = [TU]4 – t4,3= 4-0=4[TU]’2 = [TU]4 – t4,,2= 4-3=1[TU]2’’ = [TU]3 – t3,2= 4-1=3[TU]2 = min{[TU]2’,[TU]2’’}=1[TU]1 = [TU]2 – t2,1= 1-1=0

CALCOLO DEGLI SCORRIMENTI

Scorrimento Concatenato(Sc)3 = [TU]3 – (TPB)3 = 4-2=2

(Sc)9 = [TU]9 – (TPB)9 = 34-28=6

(Sc)11 = [TU]11 – (TPB)11 = 58-54=4

Scorrimento Libero(Sl)3,4 = (TPB)4 – (TPB)3 – t3,4 = 2

(Sl)4,9 = (TPB)9 – (TPB)4 – t4,9 = 19

(Sl)4,15= (TPB)15 – (TPB)4 – t4,15 = 62

(Sl)4,17= (TPB)17 – (TPB)4 – t4,17 = 45

(Sl)7,9= (TPB)9 – (TPB)7 – t7,9 = 4

(Sl)8,17= (TPB)17 – (TPB) – t8,17 = 47

(Sl)9,10= (TPB)10 – (TPB)9 – t9,10 = 6

(Sl)11,12= (TPB)12 – (TPB)11 – t11,12 = 4

Scorrimento Totale(St)2,3 = [TU]3 – (TPB)2 – t2,3 = 2

(St)3,4 = [TU]4 – (TPB)3 – t3,4 = 2

(St)4,9 = [TU]9 – (TPB)4 – t4,9 = 25

(St)4,15 = [TU]15 – (TPB)4 – t4,15 = 62

(St)4,17 = [TU]17 – (TPB)4 – t4,17 = 45

(St)7,9 = [TU]9 – (TPB)7 – t7,9 = 10


3847

(St)8,9 = [TU]9 – (TPB)8 – t8,9 = 6

(St)8,17 = [TU]17 – (TPB)8 – t8,17 = 47

(St)9,10 = [TU]10 – (TPB)9 – t9,10 = 6

(St)10,11 = [TU]11 – (TPB)10 – t10,11 = 4

(St)11,12 = [TU]12 – (TPB)11 – t11,12 = 4

CAMMINO CRITICOUna volta calcolati gli scorrimenti liberi, vincolati e quindi quelli totali come visto nell’esempio della piazza è possibile definire il cammino critico seguente:E-C-G-H-Q-U-B-O-I-V-S-T-P-Z-R-F


3947

PERT modificatoSi procede di seguito a stendere il pert modificato relativo all’opera edile in precedenza analizzata.

C 3

4 4

E 1

1 1

A 1

2 4

G 1

5 5

H 9

14 14Q 10

24 24

U 2

26 26

L 2

28 28

N 14

42 50

B 22

50 50

Y 6

56 60

O 10

60 60

J 5

9 26

I 6

66 66

P 4

89 89

S 2

68 77

T 8

85 85

Z 1

90 90

R 1

91 91

F 1

92 92

W 11

15 17

M 40

44 89

V 11

77 77


4047

PERT matriceCostruiamo la prima tabella che compone il pert e di seguito iniziamo a disegnare la matrice quadrata 20x20.


DurataLibero Totale

Cammino critico

E 1 2 1 0 0 xA 2 3 1 0 2

C 2 4 3 0 0 xDy 3 4 0 2 2

G 4 5 1 0 0 xJ 4 9 5 19 25

W 4 15 11 62 62

M 4 17 40 45 45

H 5 6 9 0 0 xQ 6 7 10 0 0 xU 7 8 2 0 0 xDy 7 9 0 4 10

L 8 9 2 0 6

B 8 10 22 0 0 xD 8 17 16 47 47

N 9 10 14 6 6

Y 10 11 6 0 4

O 10 12 10 0 0 xDy 11 12 0 4 4

I 12 13 6 0 0 xV 13 14 11 0 0 xS 14 15 2 0 0 xT 15 16 8 0 0 xP 16 17 4 0 0 xZ 17 18 1 0 0 xR 18 19 1 0 0 xF 19 20 1 0 0 x


4147

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 0 0

2 1 3 1

3 2 4

4 4 2 4 29 66 49

5 5 5

6 14 14

7 24 24 34

8 26 32 26 73

9 9 24 28 34

10 48 42 52 48

11 54 58

12 58 54 58

13 64 64

14 75 75

15 15 77 77

16 85 85

17 44 42 89 89

18 90 90

19 91 91

20 92 92

Una volta calcolati gli scorrimenti liberi, vincolati e quindi quelli totali come visto nell’esempio della piazza è possibile definire il cammino critico seguente:

E-C-G-H-Q-U-B-O-I-V-S-T-P-Z-R-F


4247

PERT costiAnche se il livello di analisi principale della programmazione reticolare è quello temporale sono stati sviluppati procedimenti che consentono di prendere in considerazione anche altri aspetti la cui analisi non può essere scissa dalla articolazione temporale del processo.In particolare sono state proposte estensioni che consentono di gestire la minimizzazione dei costi o il livellamento delle risorse.Il PERT costi considera con attenzione anche i centri di spesa, applicando le opportune tecniche per la stesura dei costi e per la previsione delle necessità di manodopera.Con raffinate elaborazioni dei dati raccolti si può razionalmente individuare e scegliere quel piano di azione che combini, nel modo più conveniente, i tempi ed i costi, e si è in grado di aver segnalata poi, nel corso dei lavori, con aggiornamento e rielaborazioni tempestive, tutte le variazioni.

Il PERT costi si sviluppa in due fasi:a. la prima fase risulta analoga a quella del PERT-tempi

1. esame analitico del progetto (attività elementari ed omogenee);2. costruzione del reticolo (dipendenze);

3. stima (deterministica o probabilistica) dei tempi di durata;4. calcolo per l’individuazione del cammino critico (o subcritico/i);

5. esame della rete, prime modifiche e aggiustamenti;6. determinazione degli slittamenti;

7. determinazione delle date effettivamente previste per le varie fasi di esecuzione.b. La seconda fase prevede la stima dei costi diretti delle risorse necessarie per eseguire le

attività nel tempo stimato.Per una data attività l’andamento dei costi diretti è di tipo parabolico che evidenzia l’esistenza di una durata ottimale t0dell’esecuzione dell’i-esima attività Ai, alla quale corrisponde un costo minimo normale.

Volendo diminuire la durata siamo costretti ad investire in risorse con costi che crescono con legge quadratica e, comunque, fino ad un tempo limite tl, fisiologicamente invalicabile a cui corrisponde un costo massimo.Con la tecnica del PERT-costi è possibile distribuire economicamente le risorse fra le varie attività e ricercare, fra le possibili soluzioni, quella a più basso costocompatibile con la durata del progetto.

ESAME RISORSE DURATA ∪ MINORE COSTO DELLE RISORSE

t0 titl

Ci

Ci,min

Andamento dei costi diretti attività Ai

Ci,max


4347

Metodologia:

8. definizione delle stime alternative durata-costo per ogni Ai;9. si adotta per ogni attività la durata relativa al costo più basso (programmazione tutto-

normale);10. si calcola il cammino critico e la sua durata viene confrontata con quella di progetto;

11. se la durata è maggiore si selezionano tempi più bassi a costi maggiori di ogni attività critica e si riducono i tempi di quelle per cui •C/•t è il minore, cioè risulta minimo il rapporto tra la differenza del costo e la differenza di durata;

Tra le due attività critiche si osserva come, a parità di aumento di costo •C, l’attività critica a destra consenta un risparmio di tempo (•t’’) superiore rispetto all’altra(•t’), ragion per cui è da preferire.

12. si interviene su tutte le attività critiche fino ad ottenere un tempo inferiore a quello di progetto, procedendo verso valori crescenti di •C/•t;

13. se ciò non fosse sufficiente si ripete il passo 11-12 estendendo l’analisi alle:

a. attività sub-critiche primarie;b. attività sub-critiche secondarie;

c. attività sub-critiche secondarie;…e così via, fino all’ottenimento del risultato cercato.

Nella pratica il rapporto •C/•t viene ottenuto sostituendo, alla curva parabolica, una retta tangente o secante come riportato in figura:

La secante passa per i punto Pn e Pl ed avrà legge di variazione (del costo) del tipo:

Ci = •i+•i·ti

dove:

ti = variabile (durata di Ai)

ln

lni tt

CC−−

=β coefficiente angolare

rappresentante l’incremento del costo diretto per unità di tempo

•i = costante (•0)

tl t1 t0

C1

Ci,max

Ci,min

•C

•t’

tl t1 t0

C1,max

Ci,max

Ci,min

•C

•t’’

Andamento dei costi diretti attività critica Aj

Andamento dei costi diretti attività critica Ai

tl t1 tn

C1

Cl

Cn

Andamento dei costi diretti attività critica Ai

Pl

Pn


4447

C.P.M. : Critical Path MathodIl C.P.M., come già accennato in precedenza, usa stime deterministiche per le durate delle attività. In alcuni casi, infatti, la durata di un’attività può essere valutata senza alcuna incertezza (ad esempio un’attività del progetto potrebbe essere il rilascio di un certificato che richiede il suo tempo burocratico, noto con esattezza). Il C.P.M. però al contrario del PERT prende in considerazione anche i costi delle attività. Questo viene fatto tracciando per ogni attività una curva che rappresenti il costo dell’attività stessa in funzione del tempo.

In particolare per ogni attività si fissa un punto normale che ha come coordinate il tempo e il costo normali dell’attività (indicati con tij e Cij rispettivamente), questo punto rappresenta nel grafico il caso in cui l’attività sia realizzata senza costi aggiuntivi rispetto al previsto e senza “incidenti”. Quindi si fissa anche un punto di crash che ha come coordinate il tempo e il costo di crash (o limite); il tempo di crash rappresenta il minimo tempo in cui posso realizzare l’attività senza badare a spese. E’ chiaro quindi che il costo di crash sarà più alto del costo normale.

Il C.P.M. si sviluppa nel seguente modo:1. si realizza il reticolo delle attività come un PERT e si assegna ad ogni attività una durata t*

compresa tra quella normale tn e quella limite tl, desunte dal grafico durata/costi di ogni singola attività;

2. si calcola la durata del progetto;3. si calcola il costo del progetto relativo a tale programmazione.

Il costo totale del progetto (CT)V è anch’esso rappresentato in un piano tempi/costi da una parabola, perché somma dei costi elementari (delle singole attività) rappresentati anch’essi da parabole: C1, C2, …Ci…Cn.La (CT)V può essere ottenuta graficamente mentre analiticamente risulta più economico ottenerlo come:

( ) ( ) ∑ ∑∑∑ ⋅+=⋅+==n n

iii

n

iii

n

iVT ttCC1 111

βαβα

Una programmazione economica deve considerare oltre che i costi diretti (materiali, manodopera, macchine, impianti, prestazioni esterne) anche quelli fissi o indiretti (spese generali, perdite di produzione..etc) considerati distribuiti lungo tutto il tempo di esecuzione del progetto, partendo dalla determinazione di un costo fisso giornaliero, valore medio ragionato: Kf

Questo costo giornaliero medio del costo fisso di un lavoro viene applicato,

linearmente crescente, lungo l’intera durata del progetto:(CT)F = C0+Kf ·TF

t2,n

Cl

C2*

t2,l t2*t1,l

C1,l

C1,n

C2,l C2

t2,n

Cl

Andamento del costototale (CT)V

C2,n

t2,lt1,nt1,l

C1,l

C1,n

C2,l C2

Ci

Cn

t1,n

C2,n

t1*

C1*


4547

essendo:

(CT)F = costo indiretto finale totale

C0 = costo, al tempo zero, delle spese indirette sostenute per poter partecipare alla gara e che comunque avrebbe speso anche se non avrebbe vinto l’appalto

TF = tempo finalePer semplificare ulteriormente il problema C0può essere ripartito lungo l’intero TF , pertanto si può scrivere anche:

(CT)F* = Kf ·TF

dove il Kf è differente dal precedente.

Qualora il contratto di appalto preveda una penale per ritardata conclusione dei lavori(TF> TC), questa deve essere considerata nei costi. Se invece è previsto un premio per anticipata conclusione (TF < TC), questo deve essere detratto. Ovvero:

Pe = P[(TF)R - TC]Pr = P[TC -(TF)A]

dove:TC = tempo di contratto(TF)R = tempo finale ritardato(TF)A = tempo finale anticipato

Entrambe sono legate al tempo in maniera lineare e solitamente la quota giornaliera della penale è maggiore di quella del premio.

Se si conviene di considerare ±P come positiva se si tratta di penale, negativa se si tratta di premio, si può scrivere questa relazione:

(CT)P = P(TF - TC)Il costo totale assume dunque la seguente forma:

( ) ( ) ( ) ( )CFFF

n n

iiiPTFTVTT TTPTKtCCCC −⋅+⋅+⋅+=++= ∑ ∑×

1 1βα

C

TF • TC

t

Retta degli immobilizzi(CT)F

C0

Andamento dei costi indiretti

TC

t

Pe

(TF)A

(TF)RPr

Pe, Pr


4647

Graficamente il tutto è rappresentabile in un piano tempi/costi con unaCURVA DEI COSTI TOTALI, parabolica, con concavità verso l’alto.Da una lettura del diagramma si deduce:

esiste un costo al quale corrisponde il valore del costo minimo cercato

(CT)min

per un tempo di esecuzione ottimo del progetto

(T0)

ciascuna attività dovrà avere un tempo di esecuzione ti tale che, sommando quelli del cammino critico, si ottenga un tempo di esecuzione , se non proprio coincidente con T0, compreso in un intervallo IT di T0.Le incognite del progetto sono le ti delle singole attività, con la sola condizione che

0 < tl • ti • tn

Gli altri coefficienti sono noti:•i e •i si desumono dalle curve dei costi diretti delle singole Ai

Kf viene desunto da passate e consolidate esperienzeP sono quote che si desumono dal CapitolatoTC è la data contrattuale di conclusione dei lavoriTF è la data finale del progetto come desunto dal calcolo del reticolo.

Per il calcolo delle ti si dovrebbe risolvere un sistema di n equazioni in n incognite, ma più semplicemente si preferisce utilizzare modelli matematici semplificati che consentano di ottenere combinazioni durata-costo tali che il costo totale minimo rientri nel tempo di consegna prefissato.

I modelli di calcolo possono essere di tipo:1. semplificato (metodo del Simplesso, del Simplesso simmetrico, etc. );

2. algoritmico per l’utilizzo con il calcolo automatico (algoritmo di Fulkerson).

Algoritmo di Fulkerson

Le condizioni sono:

1. la durata di ogni attività deve essere compresa tra valori finiti della durata normale e limite

T0

C

Costi diretti

CT,min

Andamento dei costi totali Costi totali

Costi indiretti (1)

Costi indiretti (2)

Premi

Penali

tTC

T0

C

CT,min

t

CT,C

IT


4747

0 < tl • ti • tn

2. la prima attività inizia al tempo 0 (zero)t(Ai) = 0

3. l’attività Aj che segue l’attività Ai è sempre eseguita in una data uguale o maggiore dell’Ai

t(j) • t(i) + t(Ai)

4. il tempo finale, durata complessiva del programma, non deve essere maggiore del tempo prefissato

TF • TC

Le quattro condizioni sopra esposte possono essere riscritte in questi termini (del tutto equivalenti):

1. (TPB)i • ti • [TU]i 2. (TPB)1 = 03. (TPB)j • (TPB)i + ti,j 4. TF • TC

ovvero le stesse del calcolo del PERT.L’algoritmo di Fulkerson fornisce le durate ti che permettono di ottimizzare il costo totale con un precisione del ±5÷6%. Per effetto di compensazioni che effettuano nel calcolo, tale errore si riduce al 2÷3%.

PERT statisticoI dati su cui opera la tecnica PERT dipendono da variabili aleatorie. La forma dei legami che concatenano le attività con la stessa sequenza logico-temporale del fenomeno reale, non presenta incertezze rilevanti. La durata delle varie attività, invece, è un dato che può essere influenzato da diversi fattori non facilmente prevedibili, per cui essa è affetta da un errore di valutazione (incertezza), in eccesso o in difetto, che può costituire un “grave ostacolo” alla corretta applicazione del metodo PERT.In questa fase, perché la stima risulti attendibile, si ricorre alla statistica, la quale ci permette di proiettare nel futuro i dati storici di cui si dispone a seguito di indagini e raccolte di risultati consuntivi di precedenti (simili) esperienze di lavoro.

In quest’ottica la durata delle varie attività può essere definita come “quel dato che trae origine da una previsione, cioè dalla scelta di un valore più probabile in un campo di valori possibili” per la stima del valore più probabile della durata.

Il procedimento prevede l’individuazione di una serie di “durate di eventi simili” (simili per categoria, quantità, qualità, collocazione spazio-temporale, disponibilità di risorse…) e la trascrizione di queste su un diagramma a barre (istogramma) nel quale in ascisse compaiono i valori delle durate ed in ordinate le frequenze con le quali tali valori si sono ripetuti.

Nell’istogramma si evidenziano:t0: durata caratterizzata dalla frequenza max f0, detta “normale”;f0: frequenza massima della durata “normale”

Dalle considerazioni eseguibili sugli istogrammi, si può passare a quelle di tipo “statistico”. Infatti se il numero delle osservazioni è sufficientemente elevato, è possibile, con i metodi del calcolo

ff0

t


4847

numerico, risalire alla curva di frequenza che è una curva continua che interpola l’istogramma a barre.

L’esperienza ha mostrato che le curve costruite con un numero abbastanza alto di osservazioni su fenomeni di questo tipo, possono considerarsi appartenenti alla famiglia delle curve caratteristiche della distribuzione statistica “BETA”.

Si definisce:“moda” il valore più frequentemente (M0) registrato;

“mediana” il valore raggiunto dal 50% delle osservazioni.

Qualora si intenda migliorare la qualità della programmazione, si passa da constatazioni di tipo

statistico a quelle di tipo probabilistico assegnando ad ogni durata dell’attività sotto osservazione, una certa probabilità p(t).

La probabilità di un evento è data dal rapporto p=n/N, fra il numero di eventi favorevoli (n) e quello degli eventi totali (N) osservati.

Considerando la durata t di una certa attività come una variabile aleatoria, la sua distribuzione di probabilità p(t) è quella nota con il nome di “BETA”:

a. essa costituisce un modello probabilistico che ci consente di proiettare nel futuro i dati storici osservati per la data attività e stimarne quindi la durata più probabile;

b. la curva suddetta è unimodale, cioè presenta un solo valore di durata cui compete il valore più alto per la frequenza;

c. è continua per tutto il campo di definizione [0,+•[ (non hanno senso durate negative per un’attività);

d. è in generale asimmetrica, cioè la moda (il valore più frequente) non coincide con la mediana (valore della durata che viene raggiunto dal 50% delle osservazioni);

e. tende asintoticamente a zero per t••.

Nella pratica però si hanno due osservazioni estreme all’esterno delle quali non ci si spinge se non per eventi di carattere del tutto eccezionale. Questi due estremi sono “a” e “b” rispettivamente “durata più breve” e “durata più lunga”: pertanto ci si limita allo studio della curva nell’intervallo [a,b]. Pertanto la curva beta è unimodale (o uniformale), continua e anche limitata

M0

a

ff0

t

t0

M0

ff0

b

tM0a

ff0

b

ta

b


4947

tra due valori a e b che, pur avendo qualche percento di probabilità di verificarsi, vengono considerati a probabilità nulla.Il valore M0, che presenta la massima probabilità nell’intervallo [a,b], è detto norma o moda della distribuzione. Si potrebbe fare un approssimazione ricorrendo ad altri tipi di curve (ad es. una curva triangolare), la quale presenta le caratteristiche su enumerate ma manca completamente di flessibilità in quanto completamente determinata dai tre valori a, b, M0.Questo fatto è evidenziato dall’analisi dell’espressione analitica della curva beta

Dove • e • sono due parametri maggiori di “-1”.

Si capisce quindi che al variare di • e • otteniamo curve differenti (a parità di a e b).

Nelle figure seguenti il primo parametro è • mentre il secondo è • (ad es. p(t,1,0) •=1 e •=0).

Nel campo della programmazione dei lavori civili si considerano le curve con valori positivi di • e •. Le curve simmetriche hanno • = •. Le curve • sono univocamente determinate quando sono noti: a, b, • e •.

Detta x una variabile aleatoria, si definisce valore medio di x e lo indichiamo con M(x), la quantità dedotta dalla

( ) ∑∑

∑⋅⋅=

⋅=

+++⋅++⋅+⋅

=r

iir

i

r

ii

r

rr xnNn

xn

nnnxnxnxnxM

1

1

1

21

2211 1...

...

dove: ni rappresenta il peso di xi (ad es. il numero di osservazioni)N rappresenta il numero totale dei pesi (delle osservazioni) della variabile xi

Chiamiamo scarto di xi rispetto alla media, il termine

( ) ( )xMxxS ii −=

Chiamiamo varianza di x e la indichiamo con •(x)2, la media dei quadrati degli scarti, ossia

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]222 xsMxMxMx i =−=σ

( ) ( ) ( )

( )

++

⋅−

−⋅−=

++

)!1(!!1

γαγαγα

γα

ab

tbattp per a<t<b

( ) 0=tp per 0<t•a e b•t<+•

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.5

1

1.5

2

2.5

p t 1, 0,( )

p t 0, 1,( )

p t 1, 1,( )

t

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1

2

3

4

p t 6, 2,( )

p t 2, 6,( )

p t 10, 10,( )

t


5047

Viene indicata anche come var(x).

Chiamiamo scarto quadratico medio di x e lo indichiamo con •(x) o SQM, il termine

( ) ( )2xx σσ =

cioè la radice quadrata della varianza.La varianza è la misura dell’affidabilità dei risultati

Riscrivendo la relazione della varianza per esteso si ha:

( ) ( )( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]{ }22222

2111

22 ...1rrri xMxnxMxnxMxn

NxMxMx −⋅++−⋅+−⋅⋅=−=σ

( ) ( )[ ]∑ −⋅⋅=r

iii xMxnN

x1

22 1σ

La varianza è un indice di precisione o meglio dell’attendibilità della determinazione di M(x). Le espressioni viste sono valide per una variabile casuale discreta, tale cioè da assumere un numero finito di valori xi. Nel caso di una distribuzione continua, qual è quella che noi consideriamo, la variabile aleatoria “t” (durata dell’attività), può assumere tutti i valori tra a e b, per cui le espressioni della media e della varianza di “t” sono (ricordando che la probabilità vale p(t)=n/N)

( ) ( )dtttptMb

a∫= MEDIA

( ) ( )[ ] ( )dttptMttb

a∫ −= 22σ VARIANZA

che danno M(t) e •(t)2 in funzione di a, b, •, •. Per il calcolo di M(t) e •(t)2 si può ricorrere a delle espressioni approssimate che danno dei risultati con una precisione sufficiente per i nostri scopi, in particolare, per ottenere la distribuzione beta normalizzata o in forma standard, possiamo eseguire il cambio di variabile da t ad x, con la relazione:

abatx

−−

=

che fornisce l’intervallo generico (t-a) in unità di (b-a), ovvero adimensionalizziamo l’intervallo della variabile (t-a) rispetto al suo campo di variazione [a,b].In questo modo la distribuzione beta normalizzata, con le opportune sostituzioni, ha equazione:

( ) ( )

++

−⋅=

)!1(!!

1

γαγα

γα xxxp per 0<x<1

( ) 0=xp per x•0 e 1•x<+•

Kendall ha dimostrato che per la beta normalizzata la media e la varianza sono:

( )2

1++

+=

γααtM MEDIA

( ) ( ) ( )( ) ( )2

2

2311

++⋅+++⋅+

=γαγα

γασ t VARIANZA

Le espressioni M(x) e •(t)2 sono espresse in funzione dei parametri •, •. Il valore modale della beta standard, sempre in base ai due parametri anzidetti, è


5147

γαα+

=0m valore modale della variabile x

Nelle applicazioni PERT serve poter determinare M(x) e, quindi, M(t) senza che siano necessariamente noti •, •. Si dimostra che, essendo

abatx

−−

= allora ( )abxat −+=

si può scrivere la media e la varianza in funzione di “a” e “b”( ) ( ) )( abxMatM −⋅+= MEDIA

( ) ( ) 222 )( abxt −⋅= σσ VARIANZA

Esprimendo in un piano cartesiano M(x) in funzione di m0, i punti corrispondenti alle coppie [m0,M(x)] possono essere interpolati con buona approssimazione da una retta di equazione

( )6

14 0 +⋅=

mxM

Se quanto detto finora è accettabile per il grado delle nostre approssimazioni, si può anche scrivere che

( ) )(6

14 0 abmatM −⋅+⋅

+=

che rappresenta l’espressione della media in funzione del valore modale m0 e degli estremi di variabilità di t.Per il cambio di variabile effettuato è possibile definire il valore modale della variabile x come

( )abaMm x −

−= 0

0

e quindi possiamo scrivere

( )

+

−−

⋅⋅−

+= 146

)( 0

abaMabatM

ovvero

( )6

4 0 bMatM

+⋅+=

Allo stesso modo per la varianza di t si dimostra che

( )2

2

6

−

=abtσ ovvero ( )

−

=6

abtσ

Le formule appena ricavate sono valide, a rigore, soltanto per i seguenti valori di • e •.


5247

−=

+=

22

22

γ

αse

20baM +

>

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.5

1

1.5

2

2.5

p t( )

t

+=

−=

22

22

γ

αse

20baM +

<

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.5

1

1.5

2

2.5

p t( )

t

==

33

γα

se 20

baM +=

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.5

1

1.5

2

2.5

p t( )

t

Per valori diversi di • e • si hanno risultati leggermente differenti ma comunque accettabili per i nostri fini.Molta parte del successo che il PERT ha avuto dipende proprio dalla forma del calcolo della durata delle attività.Questo sistema consiste nel domandare al responsabile di una data attività (ufficio di produzione, persona o gruppo di persone competenti, etc.) la stima della sua durata. Il responsabile dovrà fornire tre valori:

1. una durata ottimistica “a” (tempo più breve)2. una durata normale “M0” (tempo in condizioni normali)


5347

3. una durata pessimistica “b” (tempo massimo)

Vediamole nel dettaglio:1. La durata ottimistica a è il tempo minimo richiesto per il completamento dell’attività se le

circostanze del lavoro si presentano particolarmente favorevoli. La probabilità che si ottenga questa durata è dell’ordine dell’1%.

2. La durata normale M0 è quell’intervallo di tempo (normale) nel quale l’attività può compiersi ed il cui risultato si ottiene con maggior frequenza quando si ripete l’attività molte volte nelle stesse condizioni normali.

3. La durata pessimistica “b” è il tempo massimo che può essere necessaria per il completamento del lavoro qualora esso si svolga nelle condizioni più sfavorevoli.

In fase preventiva si preferisce escludere situazioni del tutto eccezionali, altrimenti b potrebbe tendere a valori molto alti, portando ad un intervallo (b-a) non più ragionevolmente limitato.Può capitare che l’esperto stimi una durata unica in quanto esiste una certezza meccanica del risultato. In tal caso siamo in condizioni deterministiche e la probabilità che il valore dato sia quello che effettivamente si verificherà a consuntivo è del 100%.

A questo punto è opportuno rilevare che in una distribuzione asimmetrica quale è la curva beta, il valore medio M(t) non coincide, in generale, con il valore più probabile (moda M0), ma è quello che divide la distribuzione di probabilità in due aree uguali che rappresentano ognuna il 50% di probabilità.Ciò significa che M(t) approssima quel valore della durata che gode della proprietà che vi sia il 50% di probabilità che la durata effettiva risulti ad esso inferiore ed il 50% che sia invece superiore.La durata più probabile invece coincide sempre con la moda M0 della distribuzione.La durata media M(t) è quella più attendibile, per cui è la

durata che utilizziamo nella stesura del reticolo PERT.Dal punto di vista matematico M(t) è una media aritmetica ponderata e, poiché la distribuzione è asimmetrica, essa non coincide con la mediana (M(t)•½(a+b)).Se la distribuzione dovesse essere simmetrica M(t)=½(a+b).

Con questo approccio si perviene al calcolo di M(t) per via diversa da quella prima esposta. Infatti M(t) viene eguagliato ad una media ponderata della moda M0 e del punto medio ½(a+b), attribuendo, rispettivamente, peso 2 e peso 1. Si ottiene così

( )12

212 0

+

+

⋅+⋅=

baMtM

da cui

( )6

4 0 bMatM +⋅+=

che è esattamente il valore trovato precedentemente.

M(t)

A1 = A2

½(a+b)a M0

A1

A2

b


5447

Il peso maggiore compete al valore modale perché è quello che ha la probabilità più alta di verificarsi. In particolare si vede che M0 ha peso 4 mentre a e b peso 1.

Nota:la varianza •(t)2 della distribuzione p(t) è la misura adeguata per esprimere l’incertezza. In altri termini essa rappresenta il rischio di non centrare la durata media calcolata dell’attività.Si noti che consideriamo la varianza e non lo scarto quadratico medio, per il fatto che la prima esalta gli scostamenti dalla media ed inoltre non ci interessa conoscere il loro segno.E’ evidente che i risultati dell’analisi della prima distribuzione sono più attendibili, essendo per essa (a parità di M0) inferiore il valore di •(t)2.Si percepisce che vi sono più valori di “t” prossimi ad M0 nella prima piuttosto che nella seconda.

EsempioSupponiamo di dover stimare le durate di 3 attività: A1, A2, A3. Otterremo un quadro del tipo:

Attività a M0 b M(t) •(t)2 Osservazioni

A1 2 15,5 20 14 9 Asimmetrica a dx

A2 8 14 20 14 4 Simmetrica

A3 14 14 14 14 0 Stima deterministica

0 5 10 15 20

0.05

0.1

0.15

0.2

p 2 20, t,( )

t

Come si vede, malgrado le tre attività abbiamo la stessa durata media, nella A1 (curva azzurra) c’è un maggior rischio di non centrare la durata media di realizzazione.

Nella A2 (curva verde) si ha una distribuzione dei valori attorno al valor medio.Nella A3, invece, il rischio è nullo. In questo caso la distribuzione p(t) si riduce ad un unico valore: il 100%.

8 10 12 14 16 18 20

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

p 8 20, t,( )

t

0 5 10 15 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

p 14 14, t,( )

t

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1

2

3

4

p t( )

t

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.5

1

1.5

p t( )

t


5547

Se volessimo sapere dove cade la durata M(t) nella distribuzione, si può dimostrare come essa sia situata nel primo terzo di un intervallo “k” che misura la distanza tra la durata più probabile M0 e la media tra “a” e “b”.Infatti:

( )6

4 0 bMatM +⋅+=

si può scrivere:

( )

⋅+

+= 02

231 MbatM

ovvero

( ) 00000 231332

231 MMbaMMMbatM +

−

+=

⋅+⋅−⋅+

+=

( ) kMbaMtM ⋅=

−

+=−

31

231

00

A questo punto si deve stimare la durata totale di progetto e diventa di fondamentale importanza conoscere il livello di attendibilità dell’intera stima,e valutare quindi il rischio di non rispettare tale durata.

Ricordiamo che il cammino critico è il cammino più lungo del progetto, sicché la durata totale calcolata è data dalla somma delle durate delle attività critiche:

M(TF)= M0(t)+ M1(t)+…+ Mh(t)Coincide col (TPB)F dove le Mi(t) sono le durate delle attività critiche con valori che possono essere deterministici o probabilistici (•(t)2=0 e •(t)2•0).Teorema centrale del limite: la varianza totale del progetto sarà la somma delle varianze parziali delle attività critiche

e cioè:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑=+++=h

iFFhFFF TTTTTcrit

1

22222 ...10

σσσσσ

da cui

( ) ( )[ ]∑=h

iFF TTcrit

1

2σσ

che rappresenta lo scarto quadratico medio del tempo previsto per il completamento del progetto.Per l’applicazione del teorema centrale del limite al calcolo della varianza totale è necessariosupporre che le realizzazioni delle attività critiche siano statisticamente indipendenti (ovvero le altre attività possono influenzare solo la data di inizio di una generica attività ma non la sua durata). Inoltre è indispensabile che il numero “h” di attività critiche sia sufficientemente elevato (h>15).In queste condizioni è valido il

Teorema asintotico di Laplace-Tschebycheff: se il numero delle attività del cammino critico è sufficientemente alto si può

M(t) ½(a+b)

k/3

M0 b

INTERVALLO DI INCERTEZZA

K

a


5647

approssimativamente considerare “normale” la distribuzione dei valori modali M0 rispetto alla media di “a” e “b”

Questo conduce a poter considerare in prima approssimazione che “la somma di un numero sufficientemente grande di distribuzioni può essere considerata come una distribuzione normale gaussiana, nella quale il valore modale M0 coincida con la media”.

p1(t) p2(t) p(t)= p1(t)+ p2(t)+…+ ph(t)Dopo aver mostrato che la durata totale effettiva di un progetto è una variabile casuale TF che segue asintoticamente la distribuzione normale di media M(TF) (che rappresenta il valore calcolato lungo il cammino critico, cioè il (TPB)F) e varianza •(TF)2, è possibile individuare degli intervalli di fiducia, ciascuno caratterizzato da un certo valore della probabilità che il tempo finale effettivo del progetto (TF) ricada al suo interno.

Ricordiamo che l’area compresa fra la curva a campana e l’asse delle TF:

( ) ( )FFF TPdTTp =∫+∞

∞−

è pari a 1, cioè la probabilità che TF ricada all’interno dell’intervallo è pari al 100%.

Allo stesso modo si avrà che la probabilità che TF ricada all’interno dell’intervallo di ampiezza:2•(TF) è pari al 68,27%;

4•(TF) è pari al 95,45%;6•(TF) è pari al 99,73%;

etc…

M(t)•M0 baM(t)M0 ba M(t) M0 ba


5747

M(T

F)-2

•(T F

)

M(T

F)-3

•(T F

)

M(T

F)-2

•(T F

)

M(T

F)-3

•(T F

)

t )

t

Nella pratica si procede nel modo seguente.1. si calcola la durata media M(t) e la corrispondente varianza di tutte le attività che

comportano l’esecuzione di un lavoro;2. mediante un PERT si determina il cammino critico;

3. si determina il tempo medio totale (TPB)F • M(TF);4. si sommano le varianze delle durate delle attività critiche e si ricava la varianza totale

•(TF)2;5. si ottiene infine s• •(TF).

Conosciamo la probabilità di ricadere nei tre intervalli ± •, ± 2•, ± 3•.A questo punto la conoscenza del fatto che la variabile aleatoria TF ha una distribuzione della densità di probabilità che segue la legge normale, ci consente di calcolare la probabilità che un tempo finale prefissato si verifichi.

Ciò è di estrema utilità quando il contratto od il capitolato speciale d’appalto fissano una data limite per la consegna dei lavori.

Per il calcolo della probabilità che la data prefissata (TP)F sia maggiore o minore di M(TF), si ricorre alle tabelle della distribuzione normale standard che sono di validità generale per il fatto che mediante un opportuno cambio di variabile ci si rende indipendenti dal valore di M(TF) e •(TF)2.

Infatti ponendo:( )

( )[ ] sTPBT

T

TMTz FFh

iF

FF

crit

)(

1

2

−=

−=

∑ σ

si ha che la distribuzione normale standard ha media pari a zero (per (TP)F =M(TF), z =0) e la varianza pari ad1(per (TP)F =M(TF)+ •(TF), z =1).La variabile z, standardizzata, è il dato di ingresso delle tabelle ed è chiamata fattore di probabilità o scarto ridotto.

)

t z-•

6•(TF)

2•(TF)4•(TF)

p(TF)

M(T

F)-•

(TF)

M(T

F)-•

(TF)

TF

f(z)

0 +• z


5847

Solitamente le tabelle hanno due colonne:in una c’è il valore z che la variabile Z assume al variare di TF;

nell’altra c’è il valore di f(z) che assume la probabilità corrispondente al verificarsi di quel TF.

( ) ( )dzzpzfz

∫∞−

=

f(z) rappresenta la probabilità che TF, o un tempo inferiore, si verifichi. Rappresenta dunque l’area compresa tra la curva f(z), l’asse delle z e la retta z = cost.

La stessa tabella si può utilizzare anche per valutare il grado di attendibilità di un valore prefissatodella data finale del progetto (TP)F. In questo caso

( )s

TPBTz FFP )(−

=

Si noti che se si vuole anticipare la data di completamento del progetto ((TP)F <M(TF)) si avrà z<0. Viceversa se si vuole ritardare la conclusione dei lavori si avrà z>0.

E’ chiaro che se si vuole anticipare la data, alcune durate reali di attività dovranno cadere negli intervalli [a,M(TF)], ovvero in campo ottimistico.

Chiariamo tutto con un esempio:Supponiamo di svolgere un calcolo riferendoci all’esercizio riproposto nel PERT originale, dove il (TPB)F =132 giorni. Supponiamo che coincida col valor medio, dunque: M(TF) =132 giorni

Valutando la varianza totale del progetto si ottenga: •(TF)2 = 15 giorni2

Si otterrà: s = •(TF) = 3,87 giorni

Supponiamo di voler conoscere la probabilità che il progetto finisca in 125, 130 e 135 gg.Ricaviamo le z e entrando in tabella (la si trova nei manuali tecnici) ed interpolando, avremo:z(125) = -1,809 • f(z) = 0,0358 • 3,58% di probabilità che venga completato entro il 125° giornoz(130) = -0,517 • f(z) = 0,3047 • 30,47% di probabilità che venga completato entro il 130° giorno

z(135) = 0,775 • f(z) = 0,7795 • 77,95% di probabilità che venga completato entro il 135° giorno

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