DIFFUSIONE DELL AIDS ( Modello di Ho - 1994 ) Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia.

DIFFUSIONE

DELL’ AIDS

( Modello di Ho - 1994 )

Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia

Il virus HIV (Human Immunodeficiency Virus) provoca lo sviluppodell’ AIDS (Acquired ImmunoDeficiency Sindrome)

Il virus attacca una classe di linfociti ( CD4 T-Cellule), la cui azione è essenziale nell’ambito della difesa immunitaria.

In condizioni normali la concentrazione di CD4 è circa 1000/ ;quando scende al di sotto di 200/ il paziente è classificato malato.

ll

PRECEDENTI SUPPOSIZIONI

Periodo che intercorre tra l’infezione e lo sviluppo della malattia è un periodo di latenza e inattività del virusLo sviluppo della malattia è lento Tutti i meccanismi

coinvolti sono lenti


Concentrazione plasmatiche

di cellule virali, linfociti CD4 e anticorpi HIV

Nel periodo di pseudo-latenza , la concentrazione di virus e anticorpi è quasi costante, mentre si ha una lenta diminuizione di concentrazione di cellule CD4

Il virus è allora inattivo ?Lucia Della Croce -Matematica

applicata alla biologia

MODELLO DI HO

Esperimento di Ho:(1994)

Per capire se il virus è attivo nella fase di pseudolatenza, Ho

ha perturbato la sua attività somministrando a 20 pazienti un

inibitore della proteasi

)(tV

pc

Virus al tempo t

Cellule virali prodotte nell’unità di tempo

Tasso di eliminazione (azione sistema immunitario, morte etc. )


La variazione nel tempo di cellule virali può essere descritto dalla equazione di bilancio:

)(tcVPdt

dV Equazione differenziale

del I ordine

Soluzione generale )exp()( 0 ctVc

PtV

valore iniziale 0V )( 0tV

Per t = 0, cioè nella fase di pseudo-latenza (equilibrio) si ha:

0dt

dV

e quindi cVP c

PV 0


La proteasi è stata bloccata

non ci sono nuove cellule prodotte

0P

)(tcVdt

dV

)exp()( 0 ctVtV

Il modello è più semplice:


Dunque la variazione di cellule virali è stata modellizzata dall’equazione

)exp()( ctc

PtV

Occorre calcolare c


Procedimento di fittingper identificare il parametro c

)exp()( 0 ctVtV

))exp(ln())(ln( 0 ctVtV ))ln(exp()ln( 0 ctV

ctV )ln( 0y

b

ctby

I parametri c be Sono identificati con un procedimento di regressione lineare


-10 0 10 20 3010

2

103

104

105

106

107

giorni

con

cent

razi

one

HIV

paziente 1

curva fitting

-10 0 10 20 3010

2

103

104

105

106

107

giorni

con

cent

razi

one

HIV

paziente 2

curva fitting

Diminuizione della concentrazione di cellule virali in 2 pazienti trattati con inibitore della proteasi


Per ogni paziente si ottiene una valutazione diversa dei parametri c e b

Si esegue una media

Ho trovò: 06.033.0 c

La conoscenza di c permette di approssimare P:

c

PV 0 0cVP

760 1010 V )1010(*33.0 76 P

Il virus non è affatto quiescente !

( dal fitting)

Questa scoperta ha cambiato la comprensione dei meccanismi di infezione dell’AIDS dando avvio a nuove terapie.


Sistema dinamico:

Sistema discreto:

Sistema lineare:

Sistema che evolve nel tempo

L’intervallo temporale è discretizzato

MODELLI DINAMICI DISCRETI LINEARI

la legge che determina l’evoluzione è lineare

11Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia

è una funzione che misura la quantità

che varia nel tempo

sono i valori in corrispondenza ai tempi

0t 1t it NtT

0y 1y iy Ny

DISCRETIZZAZIONEDISCRETIZZAZIONE

TEMPORALETEMPORALE

12Lucia Della Croce -Matematica

applicata alla biologia

sono definiti per ricorrenzasono definiti per ricorrenza

)(1 nn

yfy

f è una funzione lineare

EVOLUZIONE

LINEARE

byayf )(


0 1, ,... ny y y

MODELLO DI MALTHUS

PROBLEMA

studiare come varia nel tempo

una popolazione di batteri

immersa in un liquido di cui si

nutrono(1766 -1834)

Sociologo e matematico inglese

Thomas Robert Malthus


IPOTESI DEL MODELLO

1. Nascita di nuovi batteri

2. Morte di alcuni batteri

3. Il numero di nati è proporzionale al numero di batteri presenti

4. Il numero di morti è proporzionale al numero di batteri presenti


MODELLO

coefficiente di natalità

nnnn yyyy 1

nn yy )1(1

nn yry )1(1

tasso di crescita

coefficiente di mortalità


nnyy

1yyf )(

nn yry

)1(1

Il modello è lineare


Come si calcola l’abbondanza della popolazione al tempo t ?

Iteriamo l’equazione:

0yy n

n

0

2 y

)(0

2 y0

3 y


Se interviene anche un’immigrazione …

byyn

n

n

1

101

byy nn 1

byy 12 ))( 0 bby bby 02

byy 01

2 10 ...n n

ny y b b b b 2 1

0 (1 ... )n ny b


3 SITUAZIONI POSSIBILI

• la popolazione è in declino

• I morti superano i nati

1

1 0


EVOLUZIONE DI UNA POPOLAZIONE DI BATTERI IN DECLINO


Si stabilizza al valoreSi stabilizza al valore 1

b

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

tempo

popola

zio

ne

Yn = 0.8 * Yn-1 + 0.2

Con immigrazione:


1 EVOLUZIONE DI UNA POPOLAZIONE DI

BATTERI IN CRESCITA


1 1nnyy

Lo stato della popolazione è STAZIONARIO


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