Didattica Trasformazioni Di Lorentz

11
Michele Antenucci SSIS Fisica - Matematica - Informatica (A049 – A038) VII ciclo, II Anno, II Semestre Relazione sul modulo: Lab. S. C. Fisica moderna (Prof. Giannelli) Progetto di Unità di Apprendimento Introduzione alla Relatività ristretta: le trasformazioni di Lorentz1

Transcript of Didattica Trasformazioni Di Lorentz

Page 1: Didattica Trasformazioni Di Lorentz

Michele Antenucci SSIS Fisica - Matematica - Informatica (A049 – A038) VII ciclo, II Anno, II SemestreRelazione sul modulo: Lab. S. C. Fisica moderna (Prof. Giannelli)

Progetto di Unità di Apprendimento

“Introduzione alla Relatività ristretta: le trasformazioni di Lorentz”

1

Page 2: Didattica Trasformazioni Di Lorentz

Michele Antenucci SSIS Fisica - Matematica - Informatica (A049 – A038) VII ciclo, II Anno, II SemestreRelazione sul modulo: Lab. S. C. Fisica moderna (Prof. Giannelli)

Indice

Introduzione alle Trasformazioni di Lorentz..................................................................................31 Introduzione..................................................................................................................................42 Le trasformazioni.........................................................................................................................43 Considerazioni brevi di didattica..................................................................................................74 Bibliografia...................................................................................................................................9

Progetto di Unità di Apprendimento

2

Page 3: Didattica Trasformazioni Di Lorentz

Michele Antenucci SSIS Fisica - Matematica - Informatica (A049 – A038) VII ciclo, II Anno, II SemestreRelazione sul modulo: Lab. S. C. Fisica moderna (Prof. Giannelli)

Trasformazioni generali di coordinate: le trasformazioni di Lorentz e di Galilei

Progetto di U. A a favore di una V classe di Liceo Scientifico di Ordinamento

Argomento: Le Trasformazioni di Lorentz come introduzione alla Relatività ristretta Materia: Fisica Tempo previsto : 5 ore

Prerequisiti Matematici: (tutti da richiamare al momento opportuno)- Funzioni a più variabili (solo cenni ed esempi concreti)- Incrementi di variabili (differenziali o incrementi finiti)- Derivate (le parziali si possono introdurre al momento in modo intuitivo)

Prerequisiti Fisici: (tutti da richiamare al momento opportuno)- Cinematica del “punto” materiale- Trasformazioni di Galileo -

OSA di interesse:- “Trasformazioni di Galilei e di Lorentz” (V anno)

Obiettivi Formativi (O.F.)- Collocare le “naturali” trasformazioni di Galileo all’ interno di un più ampio contesto di

trasformazioni dello spazio-tempo dedotte imponendo condizioni fisiche minime accettabili (omogeneità – isotropia)

- Impostazione del problema fondamentale: la non “intuitività” delle T. di Galileo, non più di quella delle T. di Lorentz. Riconoscere come l’ ipotesi da inserire per derivare le T di Galileo sia potentemente ad hoc. E quindi da giustificare con considerazioni fisiche stringenti.

Bibliografia di interesse (per il docente):[1] J.D. Cresser, MACQUARIE University, Sydney, The Special Theory of Relativity (Lecture

Notes)[1] E. Amaldi, R.Bizzarri, G.Pizzella, Fisica Generale, Zanichelli Editore, 1994

Strumenti: Lavagna per lezione interattiva.

PERCORSO DIDATTICO E CONTENUTI

Metodo e strategia generaleApproccio costruttivista. Sensibile peso alla formulazione di “congetture” esplicative di fenomenologie varie. Presentazione di modelli interpretativi classici e fondanti (ad esempio il principio di inerzia presentato da Galilei nel Dialogo)

1 IntroduzioneNella presente relazione, voglio giustificare (o semplicemente proporre come interessante tentativo) un approccio

didattico, e non solo, alle trasformazioni di coordinate spazio temporali , che potrei titolare provocatoriamente: “ sono le

trasformazioni di Galileo, in primis, a dover essere giustificate!” Nella realtà suggerisco come il tentativo di giustificare le

trasformazioni galileiane possa portare a considerazioni estremamente congeniali ad un percorso didattico, ma non solo,

di introduzione alla Relatività Speciale. Ciò che scriverò costituisce di fatto una serie di ipotesi didattiche “in libertà”.

3

Page 4: Didattica Trasformazioni Di Lorentz

Michele Antenucci SSIS Fisica - Matematica - Informatica (A049 – A038) VII ciclo, II Anno, II SemestreRelazione sul modulo: Lab. S. C. Fisica moderna (Prof. Giannelli)

Il tentativo è sempre quello di rendere abbastanza lineare e scorrevole l’ azione didattica su un tale capitale argomento

ma anche quello di suggerire una traccia di rilettura, certo non originalissima nei contenuti “fisici” (ovvio!), ma forse in

qualche piccolo aspetto della sua presentazione .

Nella pratica didattica standard, le trasformazioni di Lorentz (tdL da qui in avanti) sono generalmente introdotte come

dato, o, quando derivate, (in classi dove ciò è possibile), lo sono attraverso il procedimento classico di postulare l’

invarianza di c, studio quindi della “sfera luminosa” di raggio ct (e ct’) ecc…..Soprattutto, e opportunamente, si arriva ad

esse mediante due possibili “usi” delle trasformazioni di Galileo (tdG da qui in avanti):- si procede “perturbando” queste

ultime, - le si usa per verificare a posteriori che sotto “opportune” condizioni fisiche le nuove relazioni si riducono a quelle

galileiane.

Ora, ciò da cui normalmente partiamo (nello studiare e nello spiegare) le tdL è la ragionevole certezza che le tdG siano

“intuitivamente” ovvie e ben verificate sperimentalmente . E tutto ciò è assolutamente vero. Una loro analisi approfondita

risulta estremamente fertile dal punto di vista fisico (invarianza della forma delle equazioni di Newton!) e matematico (si

può partire da queste (…con aggiunte adeguate…) come primo esempio di “gruppo” concreto in fisica se e quando si sia

affrontato in classe il concetto più astratto di gruppo in matematica). La naturalezza (basata sul senso comune) delle tdG

è nettamente superiore a quella delle tdL anche quando abbiamo ricavato queste ultime alla fine del lavoro. A ben

riflettere le tdL continuano a soffrire, nella nostra mente, del loro peccato originale: le si trova solo al prezzo di imporre la

costanza di c (cosa questa tutt’ altro che intuitivamente soddisfacente o ovvia).

Ma le tdG sono immuni da tale “colpa” ? Possiamo dire che non richiedono assunzioni esplicite (e soprattutto implicite )?

Se sì, quali?

Tale oggetto di riflessione ritengo sia utile per una rivisitazione personale del significato e ruolo dei postulati “impliciti”

nella fisica che pratichiamo; postulati che accettiamo ma le cui conseguenze “formali” spesso non approfondiamo (da un

punto di vista fisico).

Proprio nell’ ottica della “naturalezza “ e “ovvietà” delle tdG , l’assunzione di ovvi e naturali requisiti dello spazio ci

conduce a relazioni di trasformazione NON immediatamente galileiane, nel senso che le tdG si dovranno dedurre da ciò

che troveremo imponendo ulteriori proprietà. Tali nuove relazioni (che chiamo per semplicità “trasformazioni generali”)

possono usarsi in didattica come punto di partenza per introdurre la Relatività Ristretta.

Ritengo che la proposta sia valida. Si crea “dissonanza” forte tra ciò che lo studente si aspetta e ciò che trova.

2 Le trasformazioni

La letteratura da proporre su tali aspetti è virtualmente sterminata. Molto interessante a mio avviso un articolo di

Franco Selleri1 dove al di là della tesi sostenuta (tra tutte le teorie equivalenti alla Relatività speciale, cioè con

identico potere predittivo, l’ unica a non implicare l’ esistenza di un sistema di riferimento privilegiato è la Relatività di

Einstein con le tdL), ottimo per la sua chiarezza è il percorso di derivazione di generali trasformazioni di coordinate

tra sistemi inerziali. Nella derivazione delle trasformazioni generali (non ancora di Lorentz) mi sono attenuto

principalmente a [1]…Anche alcune considerazioni di [2] sono da tener presenti. Questo per dire sin d’ora che non

sto ovviamente anticipando nulla di nuovo. Ma la affermazione che ne segue e cioè che le tdG abbiano bisogno di

“giustificazione” almeno tanto quanto le tdL (e anche più), didatticamente efficace, non l’ ho trovata formulata in

nessun testo da me consultato. E neanche uno schema di percorso didattico che sia centrato proprio su queste

“trasformazioni generali”. Perciò lo propongo.

Il suggerimento è questo: assumiamo proprietà (il minor numero possibile) dello spazio e del tempo che siano

naturali (il più possibile) e vediamo dove queste ci conducono…

1 F.Selleri, Teorie equivalenti alla relatività speciale, in Vincenzo Fano (a cura di) , Fondamenti e Filosofia della Fisica, Società Editrice “Il Ponte Vecchio”, 1994, p. 179

4

Page 5: Didattica Trasformazioni Di Lorentz

Michele Antenucci SSIS Fisica - Matematica - Informatica (A049 – A038) VII ciclo, II Anno, II SemestreRelazione sul modulo: Lab. S. C. Fisica moderna (Prof. Giannelli)

Primo punto essenziale: cerchiamo leggi di trasformazione di coordinate da un sistema inerziale S(O,x,y,z,t) ad un

sistema inerziale S’(O’,x’,y’,z’,t’) che siano le più generali possibili, ovvero del tipo:

x’ = f(x,y,z,t) 1)

y’ = g(x,y,z,t)

z’ = h(x,y,z,t)

t’ = k(x,y,z,t)

Queste, sotto opportune condizioni matematiche di regolarità, sono il nostro punto di partenza.

Nessun postulato fisico è fin qui assunto.

Ora, specializziamo il nostro caso a quello in cui il sistema S’ si muove con velocità vx lungo l’ asse x del sistema S.

Assumiamo anche che le terne spaziali siano ortogonali, e che nel momento in cui O’ si sovrappone ad O nel suo

moto traslatorio, gli orologi siano sincronizzati (t’ = t =0). Il moto, relativo, avviene dunque solo lungo l’asse x.

Ora, se consideriamo in S’ i punti del piano y’ = a’ (che è parallelo a (z’,x’)) dato il movimento traslatorio di S’

rispetto a S solo lungo l’ asse x di S, tale piano avrà equazione y = a in S. Ora non possiamo imporre quello che

intuitivamente ci sembra ragionevole e cioè a = a’.

Un piccolo intermezzo.

Iniziamo ad esigere ciò che ci sembra naturale, ma nulla più:

- Lo spazio è omogeneo (ovvero non esistono punti privilegiati)

- Il tempo è omogeneo (non esistono istanti privilegiati)

- Lo spazio è isotropo (ovvero non esistono direzioni privilegiate)

Tali assunti, pure nella loro semplicità, sono di una profondità eccezionale. Non è qui il luogo per affrontare una

discussione su tali aspetti che inevitabilmente porterebbe a considerazioni al limite del filosofico. Su un piano più

strettamente fisico non occorrerà ricordare i risultati che legano tali assunti ai principi di conservazione di momento

ecc….

Ora, tornando ai nostri due piani, le distanze a’ e a di tali piani rispetto ai piani y’ = 0 e y = 0 rispettivamente, sono a

priori differenti. Diciamo che a’/a = k e’ diverso, a priori, da 1. E tale rapporto può dipendere solo dallo stato di moto

relativo con velocità vx. Usando l’ isotropia (seguendo, nella giustificazione, Selleri) dello spazio proviamo ad

invertire i segni degli assi (x’,z’) e (x,z) . Succede banalmente che stavolta il ruolo di S’ è assunto da S e viceversa! Il

calcolo di k darà un k* = a/a’ ,stavolta. Tuttavia lo stato di moto relativo è rimasto invariato, e quindi: k = k * . Allora

moltiplicando, k2 = 1 e cioè k = ± 1. Non avendo però mutato le direzioni di y’ e y sarà a’ = a. Stesso discorso per

dimostrare che z’ = z.

Rimangono da considerare le relazioni

x’ = f(x,y,z,t) 2)

t’ = k(x,y,z,t)

Possiamo imporre

x’ = f(x,t) e t’ = k(x,t) 3)

per ragioni analoghe a quanto visto sopra.

Scegliamo un” punto” (evento) ben preciso (x0, y0, z0, t0) in S. A questo punto corrisponderà in S’ un punto con

coordinata x’ = x0’. Un piccolo incremento di x’ si potrà ottenere differenziando (in classi dove ciò non è possibile si

può passare a incrementi finiti)

dx’ = (x0, y0, z0, t0) dx + (x0, y0, z0, t0) dt

Stesso discorso per un incremento di tempo:

dt’ = (x0, y0, z0, t0) dx + (x0, y0, z0, t0) dt

5

Page 6: Didattica Trasformazioni Di Lorentz

Michele Antenucci SSIS Fisica - Matematica - Informatica (A049 – A038) VII ciclo, II Anno, II SemestreRelazione sul modulo: Lab. S. C. Fisica moderna (Prof. Giannelli)

Stavolta, l’ omogeneità di spazio e tempo, nostri assunti fondamentali, ci dice che dx’ sarà lo stesso

indipendentemente dal punto (x0, y0, z0, t0) . Stesso discorso per dt’. Ciò è equivalente a dire che le derivate

parziali scritte sono costanti! Potente la conclusione che possiamo trarre : le funzioni f e k sono lineari.

Precisamente x’ = A x + B t 4)

t’ = C x + D t

Una notevolissima relazione. E le tdG sono lineari infatti……Proseguiamo “osservando” meglio questi due sistemi in

moto relativo per dedurre qualche legame tra i coefficienti di 4). Ora, l’ origine O’ ha sicuramente x’ = 0. Le

coordinate (x,t) di O’ in S saranno quindi date da 0 = A x + B t il che implicherà sempre

vx

cioè a dire B = - vx A. Sostituiamola pure in 4) per avere

x’ = A( x - vx t)

Per via algebrica ricaviamo da 4) (x,t) in termini di (x’,t’)

e 5)

E scambiamo i ruoli di O e O’. Porremo x = 0; O si muoverà stavolta rispetto a O’ con velocità - vx.. Il ragionamento

procederà come sopra per condurci a

e cioè A = D. A questo punto le 5) diventano (leggiamole come trasformazioni da S in S’)

6)

Ma avevamo

(leggiamole come trasformazioni da S in S’)

Abbiamo leggi di trasformazioni differenti! Una considerazione: l’ unica differenza tra i due sistemi, S’ e S, sta

unicamente nel fatto che S’ si muove rispetto a S con velocità vx (e S rispetto a S’ con velocità - vx)

Ancora per isotropia dello spazio, a parte il segno, siamo autorizzati ad affermare che le trasformazioni debbano

mutarsi l’ una nell’ altra semplicemente scambiando gli apici. Ciò porta direttamente a

= 1

Cioè ancora

=1

ossia

7)

Inoltre il cambio di segno nelle seconde equazioni della 6) ci indica come opportuno considerare C/A ~ vx (osservare

il cambio di segno in quelle equazioni).

6

Page 7: Didattica Trasformazioni Di Lorentz

Michele Antenucci SSIS Fisica - Matematica - Informatica (A049 – A038) VII ciclo, II Anno, II SemestreRelazione sul modulo: Lab. S. C. Fisica moderna (Prof. Giannelli)

Prendiamo una quantità positiva V2 e specifichiamo meglio la proporzionalità sopra affermata, nei seguenti termini:

C/A = - vx / V2

Chiaramente V dovrà avere le dimensioni di una velocità.

Non ci rimane che riassumere i nostri risultati:

3 Considerazioni brevi di didattica

Quelle appena scritte sono trasformazioni del tutto generali, direttamente figlie dei nostri postulati di isotropia dello

spazio e omogeneità dello spazio-tempo. Non sono le trasformazioni di Galileo che conosciamo! Un modo

immediato di ottenere le tdG è quello di considerare infinita la grandezza V (che ricordiamo è opportuno considerare

una velocità). Quale significato ha questa grandezza? Abbiamo bisogno di altri postulati oltre quelli introdotti per

arrivare con “naturalezza” alle tdG invece che alle precedenti trasformazioni? Da un punto di vista didattico

suggerisco tali riflessioni perchè fertili. E’ sempre opportuno riflettere per trovare l’ “errore” in un ragionamento che

doveva portarci a risultati “ovvi” a priori e che in ciò ha fallito. Ma l’errore non c’è !. Per quanto ci sforziamo, non

riusciamo a trovare il motivo per cui l’ omogeneità e l’ isotropia non siano sufficienti a ricavare le tdG. Siamo costretti

a porre V=∞. Ma nessuna ragione formale implica ciò. Esistono infiniti spazi-tempi omogenei e isotropi, dipendenti

da questo parametro. Le considerazioni che seguono mostrano l ‘artificiosità della derivazione formale delle tdG

dalle trasformazioni generali in riquadro (considerazioni da sviluppare in classe e di cui riporto solo la traccia

esenziale. Ogni passaggio determina un ‘intera traccia per una lezione)

Poniamo V=∞. Bene. Perché lo facciamo? Imponiamo formalmente un valore ad un parametro, e di fatto

stiamo introducendo un nuovo postulato ancora senza alcun senso

Non possiamo non riconoscere tuttavia a V un ruolo “profondo” , “strutturale” nello spazio – tempo.

V è ineliminabile. Non è zero.

La seconda osservazione assieme alla prima può e deve condurci alla proposta: V è una grandezza fisica

“fondamentale”. Va individuata. Abbiamo proposto V come una velocità. Di cosa? Se di velocità si tratta,

che suggerimento può darci il fatto che V=∞ per le tdG, cioè per le trasformazioni usate nella vita

quotidiana? Cosa è che ha una velocità infinita? O sembra tale?

E se V non variasse ma fosse elevatissima (in accordo con un senso comune per cui V=∞):

Cioè V = costante? Anzitutto avrei che le tdG tenderebbero a “dileguarsi” quanto più grande è v x (ossia,

più la velocità relativa di due sistemi di riferimento è elevata tanto più le trasformazioni di spazio e tempo

non si comportano secondo il senso comune).

A tal punto giunti, una intera situazione “problematica” ci è davanti. Un “rompicapo” (non esattamente visto che qui è

un vero punto di rottura paradigmatica che si tocca) di cui tentare la soluzione per tentativi ed errori, certo, ma

partendo altrettanto certamente da ciò che si sa. Le equazioni di Maxwell ad esempio. In esse, troviamo da sempre

un risultato fondamentale: le onde elettromagnetiche si propagano ad una velocità uguale a quella della luce (non

sto qui neanche affermando che la luce sia una onda elettromagnetica!). Tale velocità, che indichiamo con c, già ha

due buone caratteristiche per il nostro problema

1. è molto elevata (tanto da confortarci sulle tdG qualora……)

2. è comune (in un modo inaspettato) a due fenomeni: onde e.m. e luce!

7

Page 8: Didattica Trasformazioni Di Lorentz

Michele Antenucci SSIS Fisica - Matematica - Informatica (A049 – A038) VII ciclo, II Anno, II SemestreRelazione sul modulo: Lab. S. C. Fisica moderna (Prof. Giannelli)

La tentazione di porre V = c non è debole. Scegliamo cioè una precisa linea di ragionamento suggerita

precedentemente. Il punto di arrivo (almeno in questa trattazione) può essere costituito dal sottoporre all’ attenzione

il seguente fatto

1. Le equazioni di Maxwell cambiano forma per trasformazioni galileiane (banale a dimostrarsi)

2. Le stesse equazioni rimangono inalterate per trasformazioni generali che per V = c chiamiamo di Lorentz!

(tdL)(impossibile da proporre a scuola, ma si può affermare a questo punto con ragionevole certezza che

venga accettata)

3. Tali trasformazioni sono più generali delle tdG (le comprendono come caso limite…per basse velocità

rispetto a…..c!)

E’ qui che un ragionamento formale si può unire ad un criterio di “economicità” di pensiero.

Precisamente ha senso a tale punto arrivati esprimere i seguenti desiderata:

1. Vogliamo che le equazioni della fisica (tutte!) non cambino forma (siano cioè covarianti) al cambiare dei

sistemi di riferimento inerziali in cui i fenomeni descritti da tali equazioni avvengono (che non esistano, in

particolare ,sistemi privilegiati)

2. Proponiamo c come costante, e costante in tutti i sistemi di riferimento!

In sintesi, se trasformiamo queste due richieste in postulati (e il primo lo ereditiamo direttamente dalla invarianza cui

siamo abituati in Meccanica rispetto alle tdG) e a questi aggiungiamo l’ omogeneità dello spazio tempo e la isotropia

dello spazio, abbiamo un set minimo di assunti che abbiamo in ogni caso fortemente corroborato come ragionevoli

da assumere.

L’ analisi condotta sino ad ora è stata, certo, piuttosto formale. Il vero contributo di Einstein è quello di aver

individuato il profondo significato “fisico” che in relazione alla struttura dello spazio e del tempo veniva ad assumere

il postulato su c . Non da meno comunque è la profondità del primo postulato sopra esposto: quasi “metafisico”,

“estetico” ma in fondo sempre basato su un criterio di minima complicazione…(Ogni testo di Einstein riporta quasi

ovunque frasi del tipo..”il sistema piu’ semplice di relazioni…”, oppure…”il numero minimo di parametri…”).

Michele Antenucci

8