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I webinar per gli insegnanti di matematica e scienze

Insegnare la relatività

Parte I

17 febbraio 2016

Vincenzo Barone(Università del Piemonte Orientale e INFN)

• Approfondimento di alcuni argomenti classici:definizioni operative, misura del tempo, sistemi di riferimento,moti relativi, principio di inerzia, struttura logica della meccanicanewtoniana, forze apparenti, ...

• Anticipazioni di risultati relativistici:velocità limite, azione e reazione in relatività, dinamica relativistica,.....

• Presentazione moderna di alcuni temi:simmetrie, leggi di conservazione, interazioni e campi, .....

Preparare la relatività

• Approfondimento di alcuni argomenti classici:definizioni operative, misura del tempo, sistemi di riferimento,moti relativi, principio di inerzia, struttura logica della meccanicanewtoniana, forze apparenti, ...

• Anticipazioni di risultati relativistici:velocità limite, azione e reazione in relatività, dinamica relativistica,.....

• Presentazione moderna di alcuni temi:simmetrie, leggi di conservazione, interazioni e campi, .....

• La relatività speciale, o ristretta, considera solo una particolareclasse di osservatori, quelli inerziali

È un formalismo teorico che si applica a un’ampia varietà difenomeni fisici fondamentali. Il suo spazio-tempo è statico e piatto

Osservatori diversi forniscono descrizioni diverse dei fenomeni fisiciChe relazione c‘è tra queste descrizioni? Che cosa cambia eche cosa non cambia passando da un osservatore a un altro?La teoria della relatività risponde a queste domande

Che cos’è la relatività

• La relatività generale considera anche osservatori accelerati esoggetti a gravità

È la teoria di campo dell’interazione gravitazionale.Il suo spazio-tempo è dinamico e curvo

• La relatività speciale, o ristretta, considera solo una particolareclasse di osservatori, quelli inerziali

È un formalismo teorico che si applica a un’ampia varietà difenomeni fisici fondamentali. Il suo spazio-tempo è statico e piatto

1. Principio di relatività:Le leggi fisiche hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali.[Tutti gli osservatori inerziali sono fisicamente equivalenti]

2. Postulato di invarianza della velocità della luce:La velocità della luce nel vuoto (c) ha lo stesso valore in tutti i sistemi diriferimento inerziali, indipendentemente dal moto della sorgente.

I due postulati della relatività

1. Principio di relatività:Le leggi fisiche hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali.[Tutti gli osservatori inerziali sono fisicamente equivalenti]

2. Postulato di invarianza della velocità della luce:La velocità della luce nel vuoto (c) ha lo stesso valore in tutti i sistemi diriferimento inerziali, indipendentemente dal moto della sorgente.

Un altro postulato sottinteso: il principio di inerziaEsistono dei sistemi di riferimento in cui i corpi non soggetti a forzesi muovono di moto rettilineo uniforme

Difficoltà della teoria: mancanza di una definizione operativadi sistema inerziale

Una simmetria fisica è una trasformazione che lasciainvariate le leggi fisiche («invarianza»)

La relatività rappresenta il primo caso di applicazione in fisicadi un principio di simmetria

Il principio di relatività come simmetria

Una simmetria fisica è una trasformazione che lasciainvariate le leggi fisiche («invarianza»)

Simmetria relativistica (o di Lorentz)rispetto a trasformazioni del sistemadi riferimento

Simmetrie

Leggi

governano

governano

I princìpi di simmetria si situanoal di sopra delle leggi fisiche:sono `meta-leggi‘ che stabilisconocome devono essere fattele leggi fisiche.

Principio di relatività

Leggi dinamiche

Eventi

governano

I princìpi di simmetria si situanoal di sopra delle leggi fisiche:sono `meta-leggi‘ che stabilisconocome devono essere fattele leggi fisiche.

A ogni simmetria continua è associata una legge di conservazione

Moto dei corpi

Sistema di riferimento: un oggetto materiale cui sonoassociati una terna di assi e un insieme di orologi identicie sincronizzati posti in ogni punto dello spazio

La dilatazione degli intervalli temporali

Un orologio a riposo in un sistema di riferimento K0 misura un intervallo

di tempo (proprio) tra due eventi che si verificano nello stesso punto.

In un sistema di riferimento K in moto rispetto a K0 l’intervallo di tempo

(non proprio) è dilatato:

22

0

/1 cv

tt

Un orologio a riposo in un sistema di riferimento K0 misura un intervallo

di tempo (proprio) tra due eventi che si verificano nello stesso punto.

In un sistema di riferimento K in moto rispetto a K0 l’intervallo di tempo

(non proprio) è dilatato:

In K i due eventi si verificano in punti diversi e sono necessari

due orologi per misurare l’intervallo temporale

Nel sistema di riposo dello specchio K0 il tempo di andata e ritorno del raggioluminoso è

Orologio a luce

Nel sistema di riposo dello specchio K0 il tempo di andata e ritorno del raggioluminoso è

cLt /20

Nel sistema K in cui lo specchio è in moto, applicando il teorema di Pitagoraal triangolo OSH: 2

22

22

tv

Ltc

da cui:

22

0

/1 cv

tt

Nel sistema di riposo dello specchio K0 la luce ha una velocità c diretta lungo y

Nel sistema K, secondo la legge galileiana di addizione della velocità, la velocitàdella luce acquista una componente v lungo x, mentre la componente lungo yrimane invariata

Rifacendo il conto:

E’ istruttivo vedere che cosa succede in un contesto galileiano

Rifacendo il conto:

22

222

22

tvL

tvc

da cui:

0tt

Decadimento dei muoni cosmici (Rossi e Hall, 1941)

«Paradosso» degli orologi (o dei gemelli)

Verifica sperimentale del «paradosso» degli orologi

Hafele e Keating, 1971

Due orologi atomici su aerei che volano attorno alla Terra in

direzioni opposte per 50 ore

tc

vut

c

vu

2

2

2

2

2,1 2

11

)(1

st

smv

smu

5108,1

/200

/465

nstc

uv400

2212 12

1

12 10

Velocità della Terra all’equatoreVelocità degli aereiTempo misurato in un sistema inerziale

La precisione attuale degli orologi atomici è dell’ordine di 10-17

E’ possibile rilevare effetti relativistici per velocità di circa 10 m/s

Le trasformazioni delle coordinate spazio-temporali dei sistemidi riferimento (trasformazioni di Galileo e di Lorentz) si ottengonoimponendo:

• il principio di relatività(l’equivalenza dei sistemi di riferimento implica che,data la trasformazione da K a K’, in moto con velocità vrispetto a K, la trasformazione da K’ a K si ottienecambiando semplicemente v in –v)

• un postulato riguardante il tempo

Trasformazioni dei sistemi di riferimento

Le trasformazioni delle coordinate spazio-temporali dei sistemidi riferimento (trasformazioni di Galileo e di Lorentz) si ottengonoimponendo:

• il principio di relatività(l’equivalenza dei sistemi di riferimento implica che,data la trasformazione da K a K’, in moto con velocità vrispetto a K, la trasformazione da K’ a K si ottienecambiando semplicemente v in –v)

• un postulato riguardante il tempo

Trasformazioni di Galileo

• postulato (implicito) del tempo assoluto

Mentre le equazioni della meccanica newtoniana sono invariantirispetto alle trasformazioni di Galileo, le equazioni di Maxwelldell'elettromagnetismo non sono invarianti rispetto alle trasformazionidi Galileo.

Se richiediamo che tutte le leggi della fisica siano consistenti colprincipio di relatività, cioè siano invarianti rispetto alle trasformazioniche fanno passare da un riferimento all'altro, dobbiamo abbandonarele trasformazioni di Galileo e la soggiacente ipotesi sul tempo, ecercare nuove trasformazioni delle coordinate spazio-temporali

Mentre le equazioni della meccanica newtoniana sono invariantirispetto alle trasformazioni di Galileo, le equazioni di Maxwelldell'elettromagnetismo non sono invarianti rispetto alle trasformazionidi Galileo.

Se richiediamo che tutte le leggi della fisica siano consistenti colprincipio di relatività, cioè siano invarianti rispetto alle trasformazioniche fanno passare da un riferimento all'altro, dobbiamo abbandonarele trasformazioni di Galileo e la soggiacente ipotesi sul tempo, ecercare nuove trasformazioni delle coordinate spazio-temporali

Trasformazioni di Lorentz

• Postulato di invarianza della velocità della luce

Derivazione delle trasformazioni di Lorentz

tvxx

vtxx

0

0

• Linearità delle trasformazioni (un moto rettilineo uniformedeve trasformarsi in un moto rettilineo uniforme)

• Simmetria delle trasformazioni (principio di relatività)

Moto uniforme dell’origine

)(

)(

tvxax

vtxax

• Segnale luminoso emesso da una sorgente nell’origine(usiamo il postulato di invarianza della velocità della luce)

ctx

tcx

• Sostituendo:

)'(

)(

tvctact

vtctatc

• Si ricava infine la costante a, che risulta essere ilfattore lorentziano

22 /1

1

cva

Ripetendo la derivazione con t=t’ si trova a=1 (T. di Galileo)

Relatività della simultaneità

Eventi A e B simultanei in K:

ttt BA

BBAA x

c

vttx

c

vtt

22,

Tempi in K’

BBAA x

c

vttx

c

vtt

22,

)(2 BAAB xx

c

vttt

Intervallo temporale tra i due eventi in K’

Sottigliezza: il limite galileiano rigoroso è c →∞

Successione temporale degli eventi

)( ABAB ttuxx

Eventi A e B connessi causalmente in K:un segnale di velocità u viene inviato da A a B

In un altro sistema inerziale K’

tc

vuxx

c

vttttt ABABAB

221

In un altro sistema inerziale K’

Se la velocità del segnale e la velocità relativa dei sistemidi riferimento sono inferiori a c, l’ordinamento temporaledegli eventi è preservato

I punti dello spazio-tempo sono eventi ),,,( tzyx

Ciò che contraddistingue lo spazio-tempo e lo differenzia dauna semplice estensione 4d dello spazio euclideo è la metrica,cioè la distanza o intervallo tra gli eventi

Se il tempo dipende dal sistema di riferimento, allora ha lo stessostatus delle tre dimensioni spaziali.

Il tempo è la quarta dimensione di un continuo quadridimensionalein cui si svolgono i fenomeni fisici, lo spazio-tempo

Lo spazio-tempo

222222 )()()()()( zyxtcs

Ciò che contraddistingue lo spazio-tempo e lo differenzia dauna semplice estensione 4d dello spazio euclideo è la metrica,cioè la distanza o intervallo tra gli eventi

L’intervallo è una quantità invariante. Le trasformazioni di Lorentzsono le isometrie dello spazio-tempo

Classificazione degli eventi

0)( 2 s

0)( 2 s

Eventi connessi causalmente da un segnale subluminaleEventi che avvengono nello stesso punto dello spazio

Intervallo di tipo tempo

Intervallo di tipo luce

0)( 2 s

0)( 2 s Intervallo di tipo luce

Eventi connessi causalmente da un segnale luminoso

Intervallo di tipo spazio

Eventi non connessi causalmenteEventi distinti simultanei

I diagrammi di Minkowski

Passato, presente e futuro

Trasformazioni di Lorentz nei diagrammi di Minkowski

ctxx

xctt

0

0Asse x’Asse t’

1tan

Relatività della simultaneità

Illustrata con i diagrammi di Minkowski

Attenzione: le scale sui due sistemi di assi sono diverse!

Dilatazione del tempo e contrazione delle lunghezze

Illustrate con i diagrammi di Minkowski

Principio di Relatività (o di Covarianza) Generale:Invarianza delle leggi fisiche rispetto a una qualunque trasformazionedel sistema di riferimento (cioè a una trasformazione arbitrariadelle coordinate)

222 ))(,(),())(,()( xtxgxttxgttxgs xxtxtt

Da uno spazio-tempo piatto a uno spazio-tempo curvo (e dinamico)

Le g sono il campo gravitazionale

Bibliografia: i classici

• A. Einstein, Le due relatività, Bollati Boringhieri, 2015 (contiene la memoriaoriginale del 1905)

• A. Einstein, Relatività: esposizione divulgativa, Bollati Boringhieri, 2015

• M. Born, La sintesi einsteiniana, Bollati Boringhieri, 1976

• A. Einstein, Le due relatività, Bollati Boringhieri, 2015 (contiene la memoriaoriginale del 1905)

• A. Einstein, Relatività: esposizione divulgativa, Bollati Boringhieri, 2015

• M. Born, La sintesi einsteiniana, Bollati Boringhieri, 1976

• V. Barone, Relatività. Principi e applicazioni, Bollati Boringhieri, 2004(i primi 4 capitoli)

• V. Barone, Approfondimenti didattici sulla relatività, in La matematica e lafisica nella scuola e nella formazione degli insegnanti, a cura di O. Robuttie M. Mosca, Ghisetti e Corvi, 2006, pp. 150-162

• T. Roberts, What is the experimental basis of Special Relativity? (in rete)

• S. Bais, Relatività, Dedalo, 2008 (per i diagrammi di Minkowski)

• C. Durell, La relatività con le quattro operazioni, Bollati Boringhieri, 2016

Bibliografia: altri riferimenti

• V. Barone, Relatività. Principi e applicazioni, Bollati Boringhieri, 2004(i primi 4 capitoli)

• V. Barone, Approfondimenti didattici sulla relatività, in La matematica e lafisica nella scuola e nella formazione degli insegnanti, a cura di O. Robuttie M. Mosca, Ghisetti e Corvi, 2006, pp. 150-162

• T. Roberts, What is the experimental basis of Special Relativity? (in rete)

• S. Bais, Relatività, Dedalo, 2008 (per i diagrammi di Minkowski)

• C. Durell, La relatività con le quattro operazioni, Bollati Boringhieri, 2016

Informazioni utili

• Gli attestati di partecipazione vi saranno inviati via e-mail

• Riceverete nella medesima e-mail le istruzioni perscaricare, dal sito Pearson, i materiali presentati oggi

Prossimi appuntamenti

3 marzo 2016

Insegnare la relatività II.

Nodi concettuali e questioni didattiche

Relatore: Vincenzo Barone

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