Diario di bordo

Anno scolastico 2006/2007

2° Circolo Didattico di Quarrata Scuola Primaria di Catena

Ricerca-Azione P.I.A.

Insegnanti:

Baldi Daniela Barontini Paola

Destinatari

Classe 5^ (24 alunni)

Obiettivi

� Produrre testi scritti/iconici su esperienze significative.

� Enucleare modalità di sintesi utilizzando i documenti e la memoria.

� Definire modalità di classificazione in rapporto al significato degli

aspetti dell’attività.

� Sviluppare la capacità di chiedere e dare spiegazioni.

� Sviluppare le capacità di organizzarsi per lavorare individualmente e

in gruppo.

� Rielaborare informazioni matematiche, ipotizzando possibili percorsi

e valutando il prodotto finale.

� Ricercare strategie risolutive.

� Sviluppare la creatività.

� Utilizzare il computer per la documentazione, appropriandosi di

metodologie sempre più specifiche.

Durata dell’esperienza Ottobre 2006 – Aprile 2007

Descrizione essenziale dell’esperienza

L’esperienza del Diario di Bordo è arrivata al termine, con il terzo anno di stesura. Era naturale continuare l’esperienza degli anni precedenti per portare a conclusione un’attività che, se anche ha evidenziato momenti difficili durante il percorso, ha permesso di rielaborare esperienze fatte focalizzando gli aspetti significativi delle attività sviluppate. Anche quest’anno lo scopo prefissato è stato quello di produrre un documento finale specifico della classe con argomenti tipici matematici affrontati nel corso dell’anno scolastico. Visto che questa è l’ultima parte del Diario, c’è da sottolineare che i vari momenti, portati avanti con modalità operative diversificate, come meglio specificato nell’iter, sono stati caratterizzati da uno sforzo di riflessione e di argomentazione non indifferente, che dimostrano una buon livello di capacità di documentare, sia a livello contenutistico sia a livello formale con la sempre maggiore padronanza del computer:

- utilizzare programmi di videoscrittura e foglio di calcolo (grafici) - trasferire nella documentazione immagini prodotte sul quaderno

Una nota particolare meritano le copertine delle tre puntate, qui riprodotte, che sono state progettate dagli alunni.

Gli alunni, in ogni ambito disciplinare, sono sollecitati a motivare le scelte individuali fatte, in merito ai simboli, ai colori, alle forme usate. Per questo la richiesta della rappresentazione metaforica delle tappe del percorso triennale non li ha colti impreparati, e sono riusciti a motivare così le rappresentazioni: Primo anno. Timone e bussola: sono entrambi elementi importanti, per prendere la rotta giusta e per non perdersi al comando della nave. All’inizio del viaggio è importante avere punti di riferimento certi e strumenti per procedere senza problemi. Secondo anno. L’ancora permette di attraccare e vuole significare un momento di pausa per riflettere. Lungo il percorso sono necessari dei momenti per fare il punto della situazione e verificare se tutto procede nel modo migliore, poi possiamo continuare il viaggio più speditamente. Terzo anno. Il faro rappresenta il porto, il punto di arrivo. Eccoci finalmente alla meta; siamo arrivati, e con le certezze acquisite lungo il viaggio ci lasciamo guidare da questa luce che ci porterà a destinazione. Siamo pronti per la Scuola Media!

Iter di lavoro La documentazione ha previsto due diverse modalità operative, una portata avanti durante tutto l’anno scolastico, l’altra concentratasi nel periodo di marzo – aprile.

Durante tutto l’anno scolastico gli alunni hanno lavorato quasi esclusivamente a livello individuale al termine di un’attività particolarmente significativa o che comunque poteva offrire spunti per riflettere, ipotizzare e/o valutare. Pertanto ogni bambino aveva il compito di elaborare la propria sintesi disponendo di:

� Documentazione sull’argomento da rielaborare

� Indicazioni specifiche dell’insegnante

� Indicazioni generali sulla stesura di pagine del Diario di bordo, ormai assimilate già dallo scorso anno (il “cosa - come - quando . perché” da tenere presente per il resoconto).

Spesso i lavori individuali venivano letti collettivamente per ulteriori specificazioni e chiarimenti. Durante tutto l’anno, inoltre, ci sono stati momenti in cui gli argomenti venivano rielaborati individualmente e subito dopo rivisti nel contesto classe per ottenere un unico elaborato che tenesse conto delle singole individualità.

Nel periodo di marzo – aprile (il periodo più “frenetico” per la formalizzazione del Diario di Bordo) le modalità operative sono cambiate; era necessario dare visibilità a tutto il lavoro svolto durante l’anno scolastico e quindi, dopo una ricognizione delle attività svolte è stato deciso di raggruppare i lavori ritenuti più significativi in tre grandi argomenti (uno di geometria, uno di aritmetica ed uno di statistica), spesso intrecciatisi fra loro a significare l’interconnessione delle conoscenze che quando è stato possibile è stata sempre evidenziata. E’ stato il periodo della formalizzazione vera e propria: gli alunni a coppie o in gruppetti di tre dovevano:

� Rileggere gli elaborati individuali (talvolta già selezionati dall’insegnante) per giungere ad un unico lavoro, che poteva essere il prodotto di un singolo alunno o il frutto di un assemblaggio di più elaborati.

� Ripercorrere l’iter di lavoro per individuare eventuali passaggi da specificare e/o introdurre.

� Organizzare le introduzioni ai vari argomenti proposti.

� Decidere titoli non ancora specificati e la loro forma grafica.

� Valutare l’attività del Diario, a conclusione dell’esperienza triennale.

� Formalizzare al computer tutto il lavoro da pubblicizzare:

o trascrivere i testi, inserendo anche schemi e tabelle

o costruire grafici utilizzando excel

o scannerizzare immagini dai quaderni e inserirle nei testi

o utilizzare la rete per trasferire immagini, testi file da un computer all’altro.

A livello collettivo, oltre alle varie revisioni del Diario, è stato deciso come rappresentare la copertina della terza parte del libro, lavoro che ha comportato impegno e suggerimenti da parte di tutti per poter realizzare un disegno simbolico non ripetitivo, ma significativo dell’ultimo percorso effettuato. L’aiuto dell’insegnante è stato sempre indispensabile ovviamente, ma è doveroso sottolineare che gli alunni si sono sempre dimostrati attivi, impegnati e creativi nelle loro proposte. NOTA Il fascicolo completo è allegato alla documentazione

Punti di “crisi” in itinere La valutazione dell’attività si riferisce all’ultimo anno di esperienza, ma visto la particolarità del lavoro certe affermazioni possono considerarsi validi per il triennio che ha visto gli alunni coinvolti con serietà ed impegno. E’ ovvio che ci sono state difficoltà; sono le difficoltà che i ragazzi incontrano nel verbalizzare un’attività, nello spiegare una procedura o un concetto. Le “crisi” maggiori si sono registrate nell’evidenziare i nessi logici indispensabili per la comprensione e la padronanza di quanto proposto. Si sono potuti notare livelli diversificati:

- alcuni alunni si limitavano ad indicare l’argomento e le azioni fatte; questo modo di procedere è rimasto pressoché invariato, anche se nel corso degli anni le stesure risultavano più ricche e più fruibili linguisticamente

- un gruppo di alunni (con difficoltà più o meno accentuate) dava anche la spiegazione dell’avvio dell’esperienza alla base dei vari concetti matematici; l’invito ad una maggiore riflessione è stato recepito in parte

- un buon gruppo ha evidenziato capacità di riflettere, spiegare, ipotizzare, argomentare.

Preme sottolineare la necessità di reiterare gli interventi, di qualunque tipo essi siano; a maggior ragione quando le richieste si incentrano sulla necessità di spiegare e chiarire ciò che è stato argomento di approfondimento in classe. E’ un lavoro di analisi, sintesi e valutazione che è senza dubbio oneroso per ragazzi di dieci o undici anni, ma è la strada che può offrire a tutti, indipendentemente dalle loro abilità di base, la possibilità di misurarsi e confrontarsi e da questo può scaturire solamente motivo di crescita e di sviluppo intellettivo.

Diario di Bordo: 3^ puntata

Finalmente la meta! Siamo arrivati al termine del ciclo elementare e i ragazzi “sentono” già la Scuola Media come l’approdo definitivo, dopo l’esperienza della Scuola Primaria. Anche quest’anno il Diario di Bordo, perché … è normale concludere un lavoro iniziato con impegno e fatica in classe terza e proseguito con maggiore tranquillità nel corso della quarta; è normale portare a termine un’attività che ha certamente presentato momenti difficili, ma che nel corso degli anni ha visto gli alunni sempre più consapevoli del valore della documentazione, non solo per comunicare nell’immediato ma anche per fissare nel tempo aspetti particolarmente significativi delle varie attività sviluppate. Quest’anno il lavoro è stato svolto, principalmente a livello individuale, durante il periodo scolastico, in momenti importanti delle attività. Solo nell’ultima parte dell’anno è stato privilegiato il lavoro a coppie, per sintetizzare alcuni aspetti, per esprimere valutazioni, per documentare il lavoro. Il Diario inteso quindi come riflessione personale per chiarire e per chiarirsi all’interno dell’attività stessa. Le varie spiegazioni infatti solo alcune volte sono state elaborate sul quadernino appositamente predisposto; il momento della verbalizzazione scritta ha fatto parte dello sviluppo dell’attività e pertanto veniva riportata direttamente sul normale quaderno di lavoro, anche a significare l’importanza del riflettere attentamente sull’argomento trattato. Le attività documentate non sono certo tutte quelle sviluppate durante l’anno; vengono presentate tre attività portanti (una di geometria, una di aritmetica e una di statistica) che hanno dato input per sviluppi riguardanti molti obiettivi previsti nelle unità di apprendimento e che mirano allo sviluppo di competenze non meccaniche e di un metodo di lavoro che privilegia la problematizzazione e la riflessione, in modo da attivare abilità logiche sempre più complesse e connesse tra loro.

Anche quest’anno, da notare, l’uso del computer ha entusiasmato gli alunni, che utilizzano sempre molto volentieri questo strumento (nelle valutazioni del Diario al termine dei tre anni tutti hanno parlato di questo aspetto!) e che mostrano sempre maggiore padronanza nel gestirlo. Un aspetto che ha impegnato i ragazzi è stato anche la copertina, con il disegno simbolico da inserire per l’ultimo anno del Diario. Dal confronto collettivo è emersa una lettura in verticale degli elementi simbolici scelti per ogni anno di attività. E se il primo anno è stato quello del timone e della bussola (per poter subito individuare e seguire la rotta giusta) e il secondo è stato caratterizzato dall’ancora (simbolo della pausa di riflessione) il terzo anno ha avuto come preferenza il faro. Il faro come luce che illumina l’ultima parte del viaggio di una nave e che le permette di attraccare in sicurezza, potendo vedere tutti i possibili impedimenti, e di portare i passeggeri a destinazione, in un porto sicuro; porto che per i ragazzi, adesso, è rappresentato dalla Scuola Secondaria. Al termine, anche una mia valutazione. E’ stato indubbiamente un percorso faticoso, perché ogni tappa ha significato un lavoro di revisione e di assemblaggio non indifferente; ma ho potuto vedere, in tutti, la volontà di procedere ed in un buon gruppo di alunni lo sforzo di riflettere, di spiegare, di ipotizzare, di argomentare. Non è facile dire se con questo tipo di lavoro i ragazzi in difficoltà hanno maggiori opportunità e spazi per comprendere gli argomenti e i concetti sviluppati, perché in un processo di formazione sono tanti e tali gli aspetti che concorrono alla crescita personale ed allo sviluppo intellettivo che è azzardato esprimere un giudizio in tal senso. Mi sento comunque di affermare che l’impegno c’è stato. E quando si vedono ragazzi in grado di ragionare, collegare, ipotizzare e valutare si può pensare che la strada intrapresa possa offrire buone opportunità per tutti, indipendentemente dalle loro abilità di base.

Tutto è partito dalla costruzione delle girandole il primo giorno di scuola, grazie all’esperienza di tutoraggio con la classe 1^ (ognuno di noi di 5^ aveva il compito di essere tutor di un bambino di 1^). Per iniziare la scuola divertendoci le maestre ci hanno fatto costruire due girandole ciascuno (una per i bambini piccoli ed una per noi). Per costruire la girandola abbiamo seguito questa procedura: • Prendere un cartoncino colorato • Ritagliare un quadrato di 20 cm • Tracciare le diagonali • Ritagliare le diagonali quasi fino al centro • Prendere le “punte” delle diagonali e unirle fra loro • Spillare e attaccarci un filo o un bastoncino

Noi da questa esperienza siamo arrivati a parlare dei triangoli.

Sul quaderno abbiamo riprodotto il quadrato con le diagonali e lo abbiamo osservato:

A B Errore.

D C

Osservando attentamente la figura abbiamo fatto una scoperta: in quel quadrato non ci sono soltanto i 4 triangoli che appaiono evidenti, ma nascosti, se si guarda bene, ce ne sono altri 4, quindi in tutto nel quadrato ci sono 8 triangoli:

- quattro di questa misura:

ABD DBC ABC ADC

- quattro di questa misura AOB BOC COD DOA

O

In seguito abbiamo provato a trovare le somiglianze e le differenze tra i triangoli “impliciti” e quelli “espliciti”. Insieme alla maestra abbiamo scoperto che:

� Le diagonali del quadrato formano triangoli rettangoli isosceli, perché hanno un angolo retto (di 90°) e due lati della stessa misura.

� I triangoli piccoli sono esattamente la metà di quelli grandi. Essendo un lavoro nuovo la maestra ci ha insegnato i termini specifici di un triangolo rettangolo: i lati che delimitano questo triangoli sono due cateti e l’ipotenusa I cateti sono i lati perpendicolari di un triangolo rettangolo L’ipotenusa è il lato non perpendicolare del triangolo rettangolo, è opposto all’angolo retto ed è il lato più lungo. Abbiamo scoperto che:

� L’ipotenusa dei triangoli piccoli coincide con uno dei cateti dei triangoli grandi.

� Un cateto del triangolo piccolo è la metà dell’ipotenusa del triangolo grande.

Da questa premessa è scaturito tutto il lavoro

sui TRIANGOLI

- la regola dei 180° - la costruzione dei triangoli con gli strumenti specifici - la manipolazione dei triangoli per ottenere nuove forme geometriche - le classificazioni

… e sui QUADRILATERI:

- costruzione - classificazioni - problematizzazione

Nelle pagine che seguono sono state collocate le sintesi di questi aspetti, qui presentate in modo lineare, ma che nella pratica didattica si sono spesso intrecciate, dando nuovi spunti per approfondire un argomento o fornendo ulteriori modalità operative o di approccio alle forme geometriche.

Una cosa che ci è piaciuta come lavoro è stata la Regola dei 180°. Abbiamo scoperto che i triangoli rettangoli con l’ampiezza dei loro angoli possono formare un angolo piatto. Infatti è stato da noi osservato che il triangolo rettangolo isoscele ha un angolo di 90° (l’angolo retto) e due angoli di 45° ciascuno, perché sono proprio la metà di un angolo retto. E’ per questo triangolo che abbiamo scoperto la “regola dei 180°” cioè che tutti i suoi angoli formano un angolo piatto (180°), se li allineiamo. In pratica, per verificare se la “regola dei 180°” è valida, dobbiamo disegnare un triangolo su un foglio (possibilmente a quadretti ), poi colorarne gli angoli e ritagliare tre pezzi contenenti ciascuno uno degli angoli del triangolo; infine dobbiamo incollare, su una linea tracciata sul quaderno, i tre pezzi in modo che i vertici degli angoli combacino e i lati siano allineati: abbiamo ottenuto un angolo piatto.

In seguito la regola è stata confermata anche per i triangoli rettangoli scaleni.

Provando più volte, con altri triangoli che via via imparavamo a riconoscere e a costruire, abbiamo visto che la “regola dei 180°” è valida anche per gli altri triangoli.

A dire il vero non a tutti le verifiche sono sempre risultate positive, ma dopo varie prove seguendo le indicazioni scaturite durante una discussione collettiva:

- usare strumenti adeguati per disegnare e ritagliare

- stare attenti a non sovrapporre i vertici

- allineare perfettamente gli angoli

gli errori sono diminuiti e dai risultati avuti riteniamo che la regola sia valida per tutti i triangoli.

La maestra ci ha confermato che i matematici hanno dimostrato la validità della regola per tutti i triangoli.

Triangolo equilatero

Triangoli isosceli

Abbiamo imparato a costruire i triangoli isosceli (ottusangoli, rettangoli e acutangoli) con l’altezza cioè facendo la base di un triangolo e poi tracciando questa linea di nome altezza, facendola passare perpendicolare in mezzo alla base e poi disegnando gli altri lati partendo dall’estremo dell’altezza.

La maestra ci ha insegnato a costruire i triangoli equilateri, isosceli e scaleni anche con il compasso, la nostra passione.

Prima abbiamo imparato a costruire il triangolo equilatero.

Ci sono due metodi per costruirlo:

1. Preparare il necessario: foglio, compasso, lapis, righello e procedere così:

- tracciare un segmento, la base, lunga a piacere, se la maestra non ci dà indicazioni

- aprire il compasso quanto il segmento tracciato

- fare con il compasso un semicerchio sia dal vertice A che dal vertice B

- unire il punto di incontro dei due semicerchi sia con A che con B

A questo punto viene fuori il triangolo equilatero.

2. Preparare il necessario: foglio, compasso, lapis, righello.

Procedere seguendo le istruzioni:

- tracciare un cerchio con il compasso

- tracciare una linea, facendola passare dal centro (diametro)

- puntare il compasso ad un estremo del diametro e aprirlo fino al centro (l’altro estremo sarà un vertice del triangolo)

- fare un semicerchio passando dal centro

- unire con un segmento i due punti individuati sulla circonferenza (uno dei lati del triangolo)

- tracciare con il righello gli altri 2 lati, partendo dai due punti individuati sulla circonferenza (C e B) facendoli arrivare al vertice già individuato (A)

Con il compasso sappiamo costruire anche gli altri triangoli, basta conoscere la lunghezza dei lati. Noi ci siamo divertiti a costruirne tanti, scegliendo noi la misura dei lati o seguendo le indicazioni della maestra.

Questi sono solo alcuni esempi

Triangoli isosceli

Triangoli scaleni

Abbiamo scoperto che con i triangoli rettangoli, isosceli e scaleni, si potevano ottenere altre forme usando la simmetria. Abbiamo provato a unire insieme due triangoli isosceli e abbiamo ottenuto: un altro triangolo rettangolo isoscele più grande e un quadrato.

Abbiamo fatto questo lavoro anche con i triangoli rettangoli scaleni e abbiamo ottenuto: un triangolo ottusangolo isoscele, un triangolo acutangolo isoscele e un quadrilatero.

Assemblando triangoli liberamente, invece, possiamo ottenere altre forme geometriche. Utilizzando triangoli uguali, a due a due, abbiamo scoperto poligoni di vario genere.

Per quantificare i poligoni ottenuti, la maestra ci ha fatto predisporre un grafico di sintesi

Un pentagono (con due triangoli rettangoli)

Un rombo

(con due triangoli equilateri)

Un quadrilatero (con due triangoli isosceli)

Unendo due triangoli possiamo ottenere altre forme, così dai triangoli siamo passati a parlare dei quadrilateri. Ci siamo posti alcune domande: come si costruiscono i parallelogrammi? E i rombi? E i trapezi? Prima la maestra ci ha insegnato a disegnare dei parallelogrammi “semplici”, né rettangoli, né quadrati, né rombi.

Successivamente abbiamo imparato a fare anche i rombi, dicendo che se un rombo ha le diagonali della stessa misura diventa un quadrato.

Poi siamo passati ai trapezi osservando che:

� se hanno i due angoli retti sono TRAPEZI RETTANGOLI.

� se hanno i due lati obliqui della stessa misura si chiamano TRAPEZI ISOSCELI.

� se hanno i due lati obliqui di diversa misura si dicono TRAPEZI SCALENI.

Abbiamo imparato a costruire tutte queste forme geometriche tenendo conto che:

I parallelogrammi hanno due coppie di lati paralleli della stessa lunghezza

I rombi hanno i lati della stessa misura ma le diagonali differenti

I trapezi hanno due lati paralleli e ne esistono di tre tipi: isosceli, scaleni e rettangoli.

Possiamo dire che i trapezi sono triangoli senza punta. Per confermare questo abbiamo costruito dei triangoli, gli abbiamo piegato la punta e abbiamo verificato che:

- se il triangolo è isoscele si ottiene un trapezio isoscele

- se il triangolo è scaleno si ottiene un trapezio scaleno

- se il triangolo è rettangolo si ottiene un trapezio rettangolo Questi sono solo due esempi:

Per “concludere” l’argomento abbiamo realizzato tutti insieme due diagrammi di Venn, uno per classificare i quadrilateri, e un altro per i triangoli. La maestra ha predisposto i diagrammi e noi abbiamo costruito quadrilateri e triangoli; poi li abbiamo così classificati:

QUADRILATERI

Legenda

Quadrilateri Trapezi Parallelogrammi Rettangoli

Rombi

Quadrati

Triangoli

Errore. Legenda

Triangoli Tr. Rettangoli

Tr. Isosceli Tr. Equilateri

Abbiamo lavorato maggiormente sulla classificazione dei triangoli, individuando le quantità di forme presenti in ogni spazio del diagramma e spiegando come abbiamo fatto ad individuarne il numero. Le nostre osservazioni sono state fatte sul cartellone realizzato in classe che ha i diagrammi di colore diverso da quello qui riprodotto e che contiene tantissime forme.

Questi sono i risultati:

� Tutti i Triangoli sono 79 perché sommando gi scaleni e gli isosceli li comprendono tutti senza ripetizioni.

� I Triangoli rettangoli sono 30 perché abbiamo contato solo quelli nell’insieme dei rettangoli.

� I Triangoli isosceli sono 48, quelli nell’insieme blu che comprende anche gli equilateri.

� I Triangoli equilateri sono quelli nell’insieme rosso contenuti nel blu e quindi sono 12.

� I Triangoli scaleni sono 31 perché sommando i triangoli rettangoli non nell’insieme intersezione e i triangoli nell’insieme universo si ottiene questo numero.

� I Triangoli acutangoli sono almeno 12 (perché sicuramente gli equilateri sono acutangoli) e non più di 49 (perché togliendo dal totale il numero dei triangoli rettangoli si ottiene 49).

� I Triangoli ottusangoli sono massimo 37 (perché dal totale dobbiamo togliere sia i triangoli rettangoli che quelli equilateri) e minimo 0 (perché non c’è nessuna categoria che comprenda solo ottusangoli).

Abbiamo provato anche ad elencare tutte le possibili combinazioni di quantità degli acutangoli e degli ottusangoli, per esempio:.

- Se gli acutangoli sono 12 (il minimo), allora gli ottusangoli sono 37 (il massimo)

- Se gli acutangoli sono 13, allora gli ottusangoli sono 36 - Se … - Se gli acutangoli sono 21, allora gli ottusangoli sono 28 - Se gli acutangoli sono 30, allora gli ottusangoli sono 19 - Se gli acutangoli sono 41, allora gli ottusangoli sono 8 - Se gli acutangoli sono 45 allora gli ottusangoli sono 4 - Se gli acutangoli sono 49 (il massimo), allora gli ottusangoli sono 0 (il

minimo).

Ci siamo infine divertiti a ipotizzare altre forme di schematizzazione per classificare i triangoli, scoprendone tantissime. Quando le proposte sono state analizzate collettivamente, abbiamo ritenuto corrette quelle che:

- non prevedevano spazi vuoti - collocavano le forme solo in uno spazio

Proposta di Alessandra

Proposta di Sara Ciapetti

T

E

S A

Legenda T triangoli S triangoli scaleni I triangoli isosceli E triangoli equilateri R triangoli rettangoli A triangoli acutangoli O triangoli ottusangoli

E

I A

T

Proposta di Chiara

Proposta di Rachele

Proposta di Costanza

E

S

R

T

A

T

R I A

E

R

T

S

E

O

Proposta di Alice

TRIANGOLI

Rettangoli Acutangoli Ottusangoli Isosceli Scaleni Isosceli Scaleni Isosceli Scaleni Equilateri Non equilateri

Su idea di Ilaria

Ottusangoli

Isosceli Acutangoli Rettangoli Ottusangoli Scaleni Acutangoli Rettangoli Ci sono state tante altre proposte, alcune simili a quelle riportate, altre invece non accettate dalla classe perché non rispondevano ai requisiti espressi all’inizio.

TRIANGOLI

Quest’anno abbiamo iniziato il lavoro sulle frazioni grazie all’attività sulla relazione tra misure e costi.

In particolare abbiamo approfondito questi aspetti:

� Rappresentazione dei problemi con le frazioni

� Calcolo della frazione di un numero

� La frazione complementare: come utilizzarla nei problemi

� Come si individuano le frazioni equivalenti

� Riduzione al minimo delle “catene di operatori” utili per trovare

frazioni equivalenti

� Frazioni ridotte al minimo: procedure

� Scoperta dei multipli e dei divisori.

Come già detto, abbiamo cominciato a calcolare le frazioni nei problemi parlando della relazione fra misure e costi. Nel primo esempio ci siamo chiesti: se 1 kg di pane costa 3,30 €, quanto costano 5 hg? Abbiamo pensato che se 5 hg sono la metà di 1 kg dobbiamo rappresentare una striscia divisa in due parti equivalenti e considerarne una.

Quindi l’operazione che dobbiamo fare è 3,30 : 2 = 1,65 €, il costo di 5 hg. Un altro esempio, tratto dal libro, è: 1 kg di Nutella costa 4,20 €, ma quanto costano 7,5 hg? Discutendo abbiamo notato che 7,5 hg sono i ¾ di un kg; a questo punto abbiamo rappresentato un intero diviso in 4 parti e ne abbiamo considerate 3.

L’operazione fatta è 4,20 : 4 = 1,05 €. Con questo passaggio sapevamo il costo di ¼ di kg, quindi per sapere il costo di ¾ di kg dobbiamo moltiplicare 1,05 x 3 = 3,15 €. In questo caso possiamo togliere da un kg il valore della frazione complementare (1/4): 4,20 - 1,05 = 3,15 €..

A questo punto la maestra ci ha assegnato un problema più semplice rispetto a quelli precedenti, in cui c’era da calcolare la frazione di un numero.

Se in un negozio ci sono 15 maglie a saldo, ma solo sui 2/5 c’è lo sconto, quante maglie avranno lo sconto?

Dopo aver definito i dati, dovevamo provare a rappresentare la situazione, confrontandoci con il nostro compagno di banco. Al momento della discussione collettiva sono state evidenziate due modalità di rappresentazione. La maggioranza di noi ha così rappresentato:

1/5 1/5 1/5 1/5 1/5

perché la frazione si può interpretare come un intero diviso in 5 parti delle quali se ne considerano 2.

Clara ed Alice hanno elaborato invece questa proposta:

motivando così la loro scelta: “Abbiamo pensato che se il 5 sta 3 volte nel 15 (15:5=3) dovevamo rappresentare 3 interi e suddividerli ognuno in 5 parti, così il denominatore 5 fa rappresentare tutte e 15 le maglie (5x3=15)”. Dopo la presentazione della strategia, la maestra ha suggerito di rappresentare le maglie (visto che praticamente Clara ed Alice lo avevano già fatto). Quindi gli elementi sono stati raggruppati per 5 e Sara ha proposto di colorarne 2 ogni 5.

15 : 5 = 3 gruppi di cinque maglie 2 x 3 = 6 maglie maggiormente scontate

Successivamente è stata usata anche un’altra rappresentazione, che corrisponde alla prima strategia proposta. E’ questa: 15 maglie divise in 5 insiemi equipotenti, considerando poi 2 di questi gruppi.

Le operazioni corrispondenti al disegno sono:

15 : 5 = 3 maglie in 1/5 3 x 2 = 6 maglie maggiormente scontate In tutti e due i metodi utilizzati abbiamo calcolato la stessa quantità: potranno essere acquistate 6 maglie ad un prezzo minore.

Possiamo quindi concludere che le strategie di soluzione si equivalgono.

Abbiamo iniziato a parlare delle frazioni equivalenti quando, correggendo un compito, abbiamo scoperto una cosa interessante: le due frazioni 18/24 e 45/60, che all’apparenza sembrano diverse, sono risultate equivalenti dopo aver fatto dei calcoli riferiti alla quantità 120 (infatti in entrambi i casi il risultato era 90). Per un’ulteriore prova siamo andati al computer e costruendo le strisce abbiamo verificato che la nostra affermazione era vera. 18/24

45/60

Usciti dalla stanza del computer la maestra ci ha ricordato come si individuano nuove frazioni equivalenti (ne avevamo già parlato lo scorso anno): dobbiamo moltiplicare o dividere il numeratore e il denominatore per lo stesso numero. Esempio X2

3/6 6/12

Le frazioni equivalenti quindi sono frazioni che si possono collegare fra loro con uno o più operatori. Più operatori collegati tra loro formano delle catene, gli operatori possono avere solo il “x” o “:” e dall’ultima frazione si può tornare alla prima, applicando gli operatori inversi; ad esempio:

: 10 x2 x5

3 6 30

6 12 60 x2 x5

: 10

Visto che sono equivalenti, se la frazione di partenza è propria allora anche tutte le altre saranno proprie, mentre se è impropria tutte le altre saranno improprie.

Abbiamo scoperto che le nostre due frazioni (18/24 e 45/60) anche se equivalenti non si possono collegare con un solo operatore. Ci siamo così divisi il compito di cercare “le catene”; un gruppo di noi lavorava sul numeratore e un altro gruppo lavorava sul denominatore. Alla fine sono venute fuori molte proposte di operatori in sequenza che permettevano il collegamento tra 18/24 e 45/60. Ci sono state proposte per “catene minime” ma non solo.

Proposte per il numeratore (come passare dal 18 al 24):

► : 2 x 5

► x 9 : 3 : 2 x 8 : 3 : 2 x 5 : 4

► x 5 x 2 x 2 : 4 : 2

► x 5 x 2 : 4

► x10 : 2 : 2

► : 3 x 30 : 4

► x 4 : 2 x 5 : 2 : 2

Proposte per il denominatore (come passare dal 45 al 60):

► x 5 : 2

► x 100 : 4 : 10

► x 20 : 8

► : 2 : 2 x 10

Questi operatori (x o :) li abbiamo poi applicati alla frazione 18/24 in modo che si trasformasse in 45/60. Tutte le proposte sono state accettate, tranne una (:2 :2 x10) che portava sì alla frazione 45/60, ma in una delle fasi intermedie il numeratore risultava un numero decimale, e questo non avrebbe rispettato la consegna.

Alcuni esempi Applicazione operatori numeratore: :2 x5

► 18/24 9/48 45/60

Come questa si sono formate altre catene minime ma anche: x9 :3 :2 x8 :3

► 18/24 162/216 54/72 27/36 216/288 72/96 :2

45/60 180/240 36/48 :4 x5

Applicazione operatori denominatore: x5 :2

► 18/24 9/48 45/60 :2 :2 x10

► 18/24 9/12 4,5/6 45/60 Abbiamo fatto delle osservazioni sul lavoro fatto e sono emerse le seguenti

considerazioni:

- Gli stessi risultati intermedi si trovano in più di una catena

- In molte proposte ci sono operatori che si annullano (x2 e :2 o x4 e :2 :2)

- Alcune proposte contengono delle ”prolunghe” rispetto alle proposte ”secche” (minime)

- Le proposte “secche” sono due ed hanno gli operatori invertiti (x5 :2 e :2 x5).

Dopodiché la maestra ci ha posto un problema.

È possibile semplificare le proposte più articolate?

Abbiamo proposto tre strategie che si possono applicare anche tutte in un’unica catena:

• Riunire più operatori: :2 :2 : 4 : 3 : 2 : 6

• Eliminare gli operatori inversi

x2 e :2 x2 x2 e :4 • Scomporre gli operatori per poi eliminare gli operatori inversi:

x9 :3

x3 x3 :3

Con queste informazioni abbiamo ridotto al minimo tutte le catene “prolungate”, cioè tutte le catene che avevano più di 2 operatori

x10 :2 :2 x4 :2 x5 :2 :2 x20 :8

x2 x10 :2 :4 x2 x5 :4

x2 x5 :2 :2 x5 :2 :2 x5 x5 :2

Questi sono alcuni esempi, ma in classe, in questo modo, abbiamo verificato tutte le nostre proposte e abbiamo scoperto che tutte le catene, ridotte al minimo, si equivalgono e quindi l’operatore necessario per passare da una frazione all’altra è un operatore doppio: X5 : 2

18 45 24 60

X5 : 2

Utilizzando un unico operatore, questo sarà un numero decimale: x 2,5

18 45 24 60

x 2,5

In collegamento con l’attività sulle due frazioni equivalenti (18/24 e 45/60) la maestra ci ha posto quest’altro problema:

E’ possibile esprimere il valore delle due frazioni equivalenti (18/24 e 45/60) con altre che abbiano sia il numeratore che il denominatore ridotti al minimo?

Abbiamo iniziato cercando la frazione equivalente minima per i 18/24. Per primi, Alice e Matteo hanno proposto di applicare l’operatore :2 e calcolandolo tornava 9/12. Matteo ha motivato la proposta dicendo che così la frazione ha il denominatore e il numeratore più piccoli della frazione 18/24 e sono anche numeri interi; Alice poi ha aggiunto di non poter nuovamente applicare l’operatore :2 altrimenti sarebbe venuto un risultato decimale, quindi avevamo trovato la frazione minima. Rachele però non era d’accordo e ha proposto di fare 18/24 :3 e poi il risultato (6/8) :2, così da ottenere 3/4, quindi meno di 9/12. Dopodiché Alberto ha proposto di fare :4 per ottenere un risultato ancora più basso, però calcolando, abbiamo verificato che il numeratore tornava decimale (4,5) e quindi, anche se il denominatore risultava intero (6), non potevamo accettare la proposta. Per facilitare il lavoro di ricerca di tutti i possibili divisori, la maestra ci ha suggerito di pensare alle “tabelline” dove sono presenti, come risultato, sia il 18 che il 24; quindi abbiamo fatto questo schema:

18 � 2 – 3 – 6 - 9 24 � 2 – 3 – 6 – 4 - 8

Con questo schema abbiamo visto che potevamo usare gli operatori :2 :3 :6; siccome :2 e :3 li avevamo già utilizzati, abbiamo applicato l’operatore :6 e abbiamo ottenuto la frazione minima 3/4. Infine abbiamo pensato di applicare l’operatore :3 a 9/12 e anche questa prova è risultata ¾.

Abbiamo quindi verificato che il risultato in tutti e 3 i casi è ¾. 18 ÷3 6 ÷2 3 24 8 4 ÷2 ÷6 9 12 ÷3 3 4

3 4 Riduciamo l’altra frazione. Gli operatori possono essere solo ÷3 ÷5 e ÷15; perché le tabelline del 3, del 5 e del 15 hanno come risultati anche il 45 e il 60 e quindi sono DIVISORI di questi numeri. 45 ÷3 15 ÷5 3 60 20 4 ÷5 ÷15 9 12 ÷3 3 4

3 4 In conclusione, quindi, la riduzione al minimo di 18/24 e di 45/60 è ¾, alla quale si può arrivare con vari operatori. Questa è un’ulteriore prova della loro equivalenza.

Come sintesi del lavoro, proponiamo uno schema della procedura utilizzata per ridurre al minimo le frazioni. In pratica dobbiamo trovare l’operatore o gli operatori adatti per ridurre la frazione in modo che:

� il numeratore e il denominatore risultino numeri interi

� non sia possibile applicare ancora uno stesso operatore al numeratore e al denominatore.

Individuiamo l’algoritmo, procedendo con un esempio (ridurre al minimo la frazione 50/75):

1. Individuare le tabelline che hanno come risultati i numeri della frazione.

2. Cercare nelle tabelline i numeri comuni.

50 � 2 – 5 – 10 - 25 - 50 75 � 3 - 5 – 15 – 25 - 75

3. Applicare alle frazioni gli operatori comuni trovati : 5

50 10 75 15

: 25 : 5

2 3 4. Verificare se la frazione individuata è proprio ridotta al minimo

(oppure è possibile applicare un altro operatore). : 5 : 5

50 10 2 75 15 3

: 25 : 5 : 5

2 3

CONCLUSIONE Tutte le strategie portano allo stesso risultato.

Ormai sono due anni che per un certo periodo, durante l’attività motoria, facciamo

esperienza del gioco del minibasket.

Fin dall’inizio dell’anno quindi abbiamo stabilito una gara di tiri a canestro tra maschi (8) e femmine (15); successivamente abbiamo anche registrato i punti di ogni squadra in una tabella e, ogni volta che c’era la gara, a fianco dei dati informativi abbiamo scritto anche la nostra ipotesi su quale era stata la squadra vincitrice in quel giorno, vista la diversità numerica fra le squadre.

Data Prove N°

femmine Canestri fatti

Femmine che hanno fatto can

N° maschi

Canestri fatti

Maschi che hanno

fatto can

Ipotesi Vittoria

25/10/06 3 14 10 7 8 4 3 F

8/11/06 5 15 15 10 7 6 4 F

22/11/06 3 13 7 6 8 5 3 M

22/11 ** x 13 10 5 8 12 4 M

29/11/06 3 15 13 11 7 5 4 x

6/12/06 5 15 23 15 8 14 6 F

13/12/06 3 13 11 8 7 3 3 F

17/01/07 5 15 15 8 8 10 7 M

31/01/07 3 14 13 10 8 13 8 M

28/02/07 3 14 10 8 8 9 7 M

28/03/07 3 15 25 15 8 11 7 F

** Seconda gara

Da questo gioco in palestra è scaturita un’intensa attività matematica

volevamo verificare le nostre ipotesi sui vincitori delle gare

L’attività ci ha permesso di:

� Riflettere sulle motivazioni delle nostre ipotesi

� Trasformare le informazioni della tabella in frazioni

� Confrontare le frazioni

� Trasformare frazioni in altre ad esse equivalenti

� Problematizzare le diverse situazioni

� Sviluppare un lavoro di statistica

o Rielaborare i dati della tabella di rilevazione e sintetizzarli in

altre più adatte per le attività successive

o Approfondire il concetto di media aritmetica

o Trasformare le frazioni in valori percentuali

o Costruire vari tipi di grafici:

� A colonne

� Cartesiani

� A torta (aerogrammi)

o Usare il compasso e il goniometro

o Approfondire conoscenze sul cerchio con l’apprendimento di

termini specifici.

Segue adesso una serie di spiegazioni, scelte fra tutte quelle elaborate da ogni alunno, relative all’ipotesi di vittoria fatta collettivamente. Individualmente gli alunni potevano confermare o no l’ipotesi; alcuni, seguendo una loro precisa logica, hanno cambiato l’ipotesi formulata al termine di ogni gara, spiegando in modo corretto la loro scelta. A titolo esemplificativo ce ne sono tante chiare, precise e complete, altre formulate in maniera più superficiale (anche se corretta), altre ancora rappresentano una semplice lettura dei dati. Ci sono poi quelle ben elaborate ma che motivano ipotesi sbagliate sui vincitori e quelle che contengono informazioni non attinenti alla richiesta.

Ciapetti: Il 25/10 abbiamo ipotizzato che i vincitori sono state le femmine perché i canestri fatti (10) sono minori del numero delle femmine, comunque sono più della metà (14) con la differenza di 4. Invece i canestri fatti dai maschi (4) sono la metà precisa del loro numero.

Alice: Leggendo attentamente i dati della tabella io confermo che abbiamo vinto noi femmine. All’inizio credevo fossimo pari perché, calcolando, avevo visto che mancavano 4 punti per arrivare al numero di partecipanti, maschi o femmine. Però ho notato che le femmine hanno superato la metà mentre i maschi l’hanno appena raggiunta.

Riccardo: La gara dell’8/11 è stata vinta dalle femmine perché essendo 15 ed avendo fatto 15 canestri, in media tutte le femmine hanno fatto un canestro invece i maschi hanno fatto 6 canestri ed erano 7, in media hanno fatto tutti canestro tranne uno.

Alessandra: Nella prima gara del 22/11 noi femmine eravamo 13 e abbiamo fatto 7 canestri, ma i maschi erano 8 e ne hanno fatti 5. La nostra ipotesi su chi ha vinto è stata i maschi e io sono d’accordo per due motivi, il primo è che da 7 per arrivare a 13 ci vuole 6 mentre da 5 a 8 solo 3, e la seconda è che la metà di 13 sarebbe 6,5 e quindi noi abbiamo fatto mezzo punto in più, mentre la metà di 8 è 4 e quindi i maschi hanno fatto un punto in più.

Costanza: Anche nella seconda gara si vede bene che hanno vinto i maschi perché superano di gran lunga se stessi, mentre le femmine non ne hanno nemmeno uno ciascuno di canestri.

Clara: I maschi avevano vinto essendo meno di noi e avendo fatto più canestri.

Costanza: Il 6/12 hanno vinto i maschi, perché hanno fatto un canestro ciascuno più 6 (cioè 14 visto che erano in 8) pari a 1,75 canestri di media ciascuno mentre le femmine che erano in 15 hanno fatto 23 canestri, pari a 1,53 canestri di media ciascuno.

Chiara: questa volta le femmine erano 15 e avevano fatto 23 canestri invece i maschi avevano fatto 14 canestri e in classe avevamo detto che avevano vinto le femmine, però se io calcolo il complementare, 8/23 e 6/14 possiamo vedere che

hanno vinto i maschi.

Ciapetti: Il 13/12 abbiamo ipotizzato che i vincitori sono le femmine perché i canestri fatti sono maggiori del loro numero al contrario dei maschi.

Rachele: Hanno vinto per la quarta volta le femmine perché c’è una dissomiglianza maggiore tra i partecipanti maschi e i loro canestri.

Martina: Il 17/01 hanno vinto i maschi perché le femmine erano 15 e i canestri fatti erano 15 mentre i maschi erano 8 e i canestri fatti erano 10. Infatti 8<10 e 15=15 quindi la vittoria era dei maschi.

Ilaria: Ora possiamo dire che hanno vinto i maschi perché hanno superato il numero dei giocatori, mentre le femmine lo hanno pareggiato.

Rachele: Il 31/01 hanno vinto, come prima, i maschi perché hanno fatto più canestri del loro numero (8), anche noi abbiamo superato il nostro numero di partecipanti, ma purtroppo di poco (1).

Silvia: secondo me anche il 28/02 hanno vinto i maschi perché erano 8 e hanno fatto 9 canestri le femmine invece erano 14 e hanno fatto 10 canestri (numero inferiore a loro stesse).

Ilaria: Possiamo affermare che la partita del 28/03 è stata vinta dalle femmine

perché hanno fatto molti più canestri rispetto ai giocatori.

Martina: Secondo me hanno vinto le femmine, perché le femmine erano 14 e hanno fatto 10 canestri, da 10 a 14 c’ è differenza di 4 però anche i maschi erano 8 e hanno fatto solo 4 canestri e da 4 a 8 c’è differenza di 4 quindi sarebbero pari, ma le femmine che hanno fatto canestro sono 7 e i maschi che hanno fatto canestro sono 3; allora 7>3 quindi le femmine hanno vinto.

Alberto: Secondo me il 25/10 abbiamo pareggiato perché se le femmine sono 14 e i maschi sono 8 e le femmine hanno fatto 10 canestri e i maschi 4, per arrivare al numero dei giocatori (maschi o femmine) c’è sempre la differenza di 4.

Andrea: Il 29/11, per me, abbiamo pareggiato perché le femmine erano 15 e di canestri ne hanno fatti 13, con la differenza di 2; i maschi erano in 7 e di canestri ne hanno fatti 5, sempre con la differenza di 2.

Silvia: non sono riuscita a classificare una classe “vincitrice“ e una “perdente“ perché le femmine erano 15 e i maschi 7; le femmine hanno fatto 13 canestri e i maschi 5. Tra 15 e 13 c’è la differenza di 2; tra 7 e 5 c’è la differenza di 2 .Per me questa partita è finita in pareggio.

Davide: Abbiamo pareggiato perché maschi e femmine hanno fatto 2 canestri in meno del loro numero.

Francesco: abbiamo fatto 3 prove, ed abbiamo fatto pareggio perché la differenza tra il numero dei maschi ed i canestri fatti e il numero delle femmine e i canestri fatti è uguale.

Chiara: Il 31/01 le femmine erano 14 e erano stati fatti 13 canestri, invece i maschi erano 8 e erano stati fatti 13 canestri. Anche questa volta in classe avevamo detto che avevano vinto i maschi ma per me hanno vinto le femmine perché se calcolo il complementare vedo che le femmine hanno fatto più canestri.

Madalina: Il 25/10 hanno vinto le femmine, perché noi eravamo 14 e i canestri fatti erano 10. Invece i maschi erano 8 e i canestri fatti erano 4.

Andrea: L’8/11 hanno vinto le femmine perché hanno fatto 15 canestri invece i maschi solo 6.

Matteo: Il 13/12, 8 femmine su 13 hanno fatto 11 canestri e 3 maschi su 7 hanno fatto 3 canestri, quindi hanno vinto le femmine.

Dopo la gara di fine Marzo, la maestra ci ha chiesto di spiegare quali ragionamenti avevamo fatto per arrivare alla formulazione dell’ipotesi della squadra vincitrice e noi abbiamo detto di aver utilizzato principalmente questi criteri:

1. considerare il numero dei canestri in più o in meno in rapporto al numero dei giocatori.

2. individuare e confrontare le frazioni che potevano essere ricavate dalla tabella

3. confrontare le frazioni complementari individuate

4. calcolare la media dei canestri fatti.

Spesso, pertanto, abbiamo utilizzato il confronto delle frazioni. Le frazioni le abbiamo ricavate dalla tabella, considerando il numero dei giocatori e i canestri fatti. Abbiamo messo in relazione il numero dei canestri fatti in rapporto al numero dei tiratori e abbiamo ricavato tutti i tipi di frazione:

- FRAZIONI APPARENTI: sono le frazioni in cui il numeratore e il denominatore sono uguali oppure il numeratore è multiplo del denominatore. Nella nostra tabella le possiamo vedere nella partita del 17 gennaio, per esempio, quando le femmine erano 15 e hanno fatto 15 canestri (15 su 15 – 15/15)

- FRAZIONI PROPRIE: è la frazione in cui il denominatore è maggiore del numeratore, c’è soltanto un intero e non è “del tutto completo”. Alcuni casi di queste frazioni le vediamo il 22 Novembre (10/13) e il 31 Gennaio (13/14).

- FRAZIONI IMPROPRIE: frazioni che occupano più di un intero come nel caso del 22 Novembre (12/8), del 6 Dicembre (14/8) o del 23 Marzo (25/15)…

La maestra a questo punto ci ha chiesto:

• Sono maggiori le frazioni apparenti o quelle improprie?

• Sono maggiori le frazioni proprie o quelle apparenti?

Dopo alcune riflessioni abbiamo stabilito che:

- Le frazioni apparenti sono maggiori di quelle proprie perché occupano almeno un intero; quelle proprie invece no.

- Le frazioni improprie sono maggiori delle apparenti, almeno quando le apparenti valgono un intero solamente! Quando le frazioni apparenti hanno il numeratore multiplo del denominatore invece possono essere più grandi delle frazioni improprie.

Di seguito, oltre al confronto numerico, proponiamo anche le strisce di uguale lunghezza costruite al computer, come ulteriore verifica. Questa strategia forse sarebbe stata la più veloce per stabilire l’esattezza delle nostre ipotesi, ma così abbiamo scoperto altri metodi.

Questa è la sintesi delle nostre elaborazioni:

1. Quando le due frazioni hanno il numeratore uguale è maggiore la frazione con il denominatore più piccolo, perché l’intero è diviso in parti più grandi. Nel nostro torneo questa situazione si è verificata il 31 Gennaio

- Femmine: 13 canestri su 14 femmine - Maschi: 13 canestri su 8 maschi

13 13 14 8

Hanno vinto i maschi

13\14 13\8

2. Quando due frazioni hanno il denominatore uguale, è maggiore la frazione con il numeratore più grande perché vengono considerate più parti equivalenti. Questa situazione non si è verificata perché le femmine non sono mai state assenti fino ad essere 8.

3. Quando confrontiamo una frazione propria e una impropria è sempre maggiore la frazione impropria perché questa è più grande dell’intero, quella propria è minore. Questa situazione si è verificata nella seconda prova del 22 Novembre, il 28 Febbraio e il 31 Gennaio (già considerato).

22 Novembre


10 12 13 8


10\13 12\8

28 Febbraio


10 9 14 8


10\14 9\8

4. Quando abbiamo una frazione apparente e una propria, è maggiore la frazione apparente che rappresenta uno o più interi, mentre la propria è sempre più piccola dell’intero. Questa situazione si è verificata il giorno 8 Novembre


15 6 15 7

Hanno vinto le femmine

15\15 6\7

5. Se abbiamo una frazione impropria e una frazione apparente (con il numeratore e il denominatore uguali) è maggiore la frazione impropria perché vale più di un intero. Questa situazione si è verificata il 17 Gennaio


15 10 15 8


15\15 10\8

Gli esempi riportati sopra ci hanno permesso la verifica di 5 giorni di gara; per gli altri giorni non è possibile fare una verifica con il confronto tra frazioni a meno che non riusciamo a trasformare le frazioni a disposizione in frazioni ad esse equivalenti in modo che rientrino in uno di questi casi. E’ proprio quello che abbiamo provato a fare! Trasformiamo le frazioni in modo che abbiano il numeratore uguale.

25 Ottobre


?

10 4 14 8

Per trovare il numeratore uguale dobbiamo cercare un multiplo sia di 10 che di 4. Secondo noi è 40; per questo: x 4 x 10

F. 10 40 M. 4 40 14 56 8 80 x 4 x 10

40 40 56 80

Hanno vinto le femmine

10\14 4\8

Nello stesso modo abbiamo verificato le altre ipotesi. Per un’ultima verifica abbiamo provato a trasformare le frazioni in modo da trovarne altre equivalenti, ma con lo stesso denominatore.

Per esempio 28 Marzo

x 8 x 15

F. 25 200 M. 11 165 15 120 8 120 x 8 x 15

200 165 120 120

E’ stata confermata la vittoria delle femmine.

25\15 11\8

CONCLUSIONECONCLUSIONECONCLUSIONECONCLUSIONE

Con questa strategia abbiamo potuto verificare le nostre ipotesi e solo in due casi avevamo sbagliato, alcuni bambini poi nelle loro spiegazioni individuali si erano dissociati dall’elaborazione collettiva ed avevano capito la verità. Insomma ce la siamo cavata piuttosto bene!

A questo punto abbiamo pensato a come poter utilizzare tutti i dati a disposizione e fra le tante proposte abbiamo deciso di rielaborare le informazioni in modo da avere a disposizione anche medie e percentuali e poter costruire tanti grafici, di diverso tipo. A conclusione poi, dopo averli disegnati sul quaderno, i grafici sono stati costruiti utilizzando il computer. Qui riportiamo:

- le tabelle con i risultati delle nostre rielaborazioni - dei grafici, alcuni scannerizzati dal quaderno, altri realizzati

direttamente al computer.

La TABELLA

Canestri fatti

Data F M Totale

N°

prove

MEDIA (arrotondata)

25/10/06 10 4 14 3 4,66 � 4,5

8/11/06 15 6 21 5 4,2 � 4

22/11/06 7 5 12 3 4

22/11/06* 10 12 22 3 7,3 � 7,5

29/11/06 13 5 18 3 6

6/12/06 23 14 37 5 7,4 � 7,5

13/12/06 11 3 14 3 4,66 � 4,5

17/01/07 15 10 25 5 5

31/01/07 13 13 26 3 8,66 � 8,5

28/02/07 10 9 19 3 6,33 � 6,5

28/03/07 25 11 36 3 12

Grafici a colonne

I GRAFICI

Confrontiamo i canestri fatti

Osserviamo i grafici I due grafici cartesiani vogliono mostrare due aspetti paralleli della tabella. Il primo grafico evidenzia la media dei canestri fatti al giro, mentre il secondo evidenzia il totale dei canestri nei vari giorni. I due grafici sono simili tra loro, ma a causa di numeri più elevati e delle differenze di registrazione dei valori, il 2° grafico mostra variazioni molto più evidenti. La prima osservazione che ci viene in mente di fare è il passaggio tra il 29 novembre e il 6 dicembre: nel primo grafico l‘andamento fra queste due date è regolare, invece nel secondo grafico c’è un picco altissimo, motivato dal diverso numero delle prove effettuate. Nel secondo grafico possiamo riscontrare anche altre impennate: il 22/11*, 17/01, 31/01, 28/03; questi picchi sono comuni anche nel primo grafico, anche se in maniera meno evidente.

Grafici cartesiani

Media canestri per prova Canestri realizzati

Il 28/03 in tutti e due i grafici c’è stato un rialzo: nel primo rappresenta il picco maggiore invece nel secondo si nota, certo, un rialzo molto elevato ma questo non è il picco massimo perché abbiamo fatto meno giri in questa gara rispetto a quella del 6/12. Riflettendo, è possibile riconoscere, anche a vista d’occhio, che abbiamo acquisito una maggiore capacità nel realizzare i canestri.

Ed ora al computer…

Media canestri per prova

02468

101214

25/1

0/0

6

08/1

1/0

6

22/1

1/0

6

22/1

1/0

6*

29/1

1/0

6

06/1

2/0

6

13/1

2/0

6

17/0

1/0

7

31/0

1/0

7

28/0

2/0

7

28/0

3/0

7

Media

Canestri fatti

0

10

20

30

40

25/1

0/0

6

22/1

1/0

6

29/1

1/0

6

13/1

2/0

6

31/0

1/0

7

28/0

3/0

7

Canestri fatti

Tra frazioni e percentuali Per procedere nella costruzione dei grafici (ci piaceva costruire quelli a torta) avevamo bisogno delle informazioni in percentuale relative al numero dei maschi e delle femmine che hanno realizzato canestri nei diversi giorni di gara. Per questo abbiamo deciso di:

• trasformare la frazione in numero decimale (la linea di frazione indica l’operatore “diviso”)

• esprimere poi il numero decimale, arrotondato ai centesimi, in frazione decimale con denominatore 100

• esprimere in percentuale la frazione individuata.

Questa è la tabella di sintesi dei nostri calcoli

Femmine Maschi Data Fraz.

Risultato divisione

arrotondato Valore % Fraz.

Risultato divisione

arrotondato Valore %

25/10 7/14 0,5 50 % 3/8 0.375 � 0.38 38 %

8/11 10/15 0,666 � 0,67 67 % 4/7 0,571 � 0,57 57 %

22/11 6/13 0,461 � 0,46 46 % 3/8 0,375 � 0,38 38 %

22/11 5/13 0,384 � 0,38 38 % 4/8 0,5 50 %

29/11 11/15 0,733 � 0,73 73 % 4/7 0,571 � 0,57 57 %

6/12 15/15 1 100 % 6/8 0,75 75 %

13/12 8/13 0,615 � 0,62 62 % 3/7 0,428 � 0,43 43 %

17/01 8/15 0,533 � 0,53 53 % 7/8 0,875 � 0,88 88 %

31/01 10/14 0,714 � 0,71 71 % 8/8 1 100 %

28/02 8/14 0,571 � 0,57 57.% 7/8 0,875 � 0,88 88 %

28/03 15/15 1 100 % 7/8 0,875 � 0,88 88 %

Per costruire le “torte” abbiamo seguito questa procedura:

1. Calcolare la percentuale per scoprire l’ampiezza dell’angolo del settore circolare da individuare

2. Costruire un cerchio

3. Tracciare un raggio

4. Individuare con il goniometro l’ampiezza dell’angolo calcolato

5. Colorare con colori diversi i settori circolari ottenuti

6. Collocare le percentuali nel settore corrispondente. Legenda

Grafici a torta

25/10/06

28/02/07

Alla fine ci siamo divertiti a costruirli al computer

13/12/2006

Il 62% delle femmine e il 43 % dei maschi presenti ha fatto almeno un canestro.

17/01/2007

Il 53% delle femmine e l’88% dei maschi ha fatto almeno un canestro. Le femmine hanno realizzato, tutte, almeno un canestro ciascuna in due occasioni, i maschi una sola volta.

Femmine

53%

47%SI

NO

Maschi

88%

12%

SI

NO

Femmine

100%

0%

SI

NO

6/12/0Maschi

100%

0%

SI

NO

31/01/07

Fe mmine

100%

0%

SI

NO

28/03/07

Maschi

43%

57%

SI

NO

Femmine

62%

38%SI

NO

Al termine di questo lavoro abbiamo capito che tutti i grafici possono essere utilizzati per rappresentare un certo avvenimento, ma ciascun tipo ha una sua specifica utilità:

- I grafici a colonna si usano per confrontare due o più situazioni che riguardano solo un momento; evidenziano le differenze fra diversi valori (per esempio la differenza di canestri tra maschi e femmine).

- I grafici cartesiani ci mostrano le variazioni nel tempo di una

situazione. Con questo tipo di grafico possiamo vedere se nei vari giorni di torneo siamo migliorati nell’esecuzione dei tiri.

- Gli aerogrammi possono evidenziare la percentuale di canestri

realizzati ogni giorno oppure, come nel nostro caso, indicare la percentuali dei giocatori, maschi o femmine, che hanno realizzato canestro nei diversi giorni di torneo.

- Nei grafici a colonna e in quelli cartesiani possiamo evidenziare la

MEDIA, in modo da vedere se siamo “sotto” o “sopra”.

In questi ultimi tre anni abbiamo fatto collettivamente il Diario di bordo; e ora, pare strano che questo lavoro sia iniziato per far vedere ad una nostra compagna ciò che avevamo fatto a scuola. Anche se faticoso, contemporaneamente era divertente, e abbiamo visto che questo ultimo anno è stato ricco di molte nuove scoperte. Per noi il momento più divertente è stato andare al computer, scrivere testi, inventare titoli, fare disegni su Paint e costruire diversi tipi di grafici: a torta, cartesiani e a colonne, su Excel. Rispetto a ora, il lavoro nel primo anno del Diario di bordo era molto più faticoso perché si dovevano scrivere al massimo sintesi di una ventina di righe, mentre ora si può scrivere anche intere pagine; e questo è un aspetto che ha reso meno faticoso il diario; ma è anche vero che ora i lavori sono molto più lunghi e pieni di informazioni!

Alexia & Alessandra Quest’anno il Diario sarà in un unico volume con i tre fascicoli di seguito; il Diario di bordo infatti è un’attività iniziata in 3^ e durata fino in 5^. E’ stato un lavoro molto interessante durante il quale abbiamo riassunto in un fascicolo gli argomenti matematici più importanti fatti nell’anno. Ci è piaciuto perché grazie a questo lavoro abbiamo “rinfrescato” la mente su ciò che avevamo fatto. Ci è piaciuto anche perché grazie a questo lavoro abbiamo potuto allenarci a scrivere al computer, divertendoci insieme.

Martina e Silvia Dopo 3 anni di diario di bordo, ci siamo ricordati di quando non sapevamo nemmeno cos’era. Adesso invece riflettendo ci siamo resi conto che abbiamo imparato un sacco di informazioni legate alla matematica e alla geometria. Niccolò e Sara

Negli ultimi tre anni abbiamo realizzato il DIARIO DI BORDO, un libro con su scritte le più importanti esperienze di matematica. Soprattutto in questo anno ci siamo rese conto dell’utilità di questo lavoro perché abbiamo potuto:

� Imparare a riassumere � Capire meglio alcuni argomenti (a volte un po’ difficili) � Imparare ad esprimersi e spiegarsi meglio (nei testi scritti e

oralmente). Secondo noi questo lavoro è stato utile anche alla maestra per:

� Verificare se avevamo capito � Approfittarne per insegnarci delle nuove cose di informatica.

Clara e Alice Secondo me questo lavoro è stato molto utile; è iniziato che da soli su un quadernino sintetizzavamo alcuni lavori fatti; successivamente però abbiamo costruito sintesi anche collettivamente. E per me è stato utile perché mi sono esercitata in due cose: ♣ Ricordarmi degli argomenti e sintetizzarli ♣ Scrivere al computer. Chiara

☺☺☺☺ Il Diario di bordo, in questi 3 anni, ci ha aiutato a ripassare gli argomenti studiati a matematica.

☺☺☺☺ Abbiamo imparato a sintetizzare ciò che avevamo appreso e ciò che avevamo scritto sul quaderno.

☺☺☺☺ Ci piace molto la raccolta dei nostri elaborati nel Diario di bordo perché è venuto un libro colorato, pieno di immagini e testi interessanti.

☺☺☺☺ Soprattutto nell’ultimo anno abbiamo approfondito l’uso del computer per documentare il lavoro. Ci è piaciuto andare al computer perché abbiamo scoperto come fare i grafici o scannerizzare immagini e inserirle nei diversi elaborati.

☺☺☺☺ Questo lavoro è stato molto divertente perché abbiamo scritto, disegnato, discusso collettivamente scambiandoci le nostre idee e rendendo i nostri elaborati più semplici da costruire.

Rachele e Sara

Il Diario di bordo ci è piaciuto molto, e per diverse ragioni: siamo andati al computer, abbiamo lavorato in coppie, abbiamo disegnato… ma la cosa che ci ha coinvolto di più è stata rivivere, con impressione vera, le emozioni degli anni trascorsi. Le esperienze più allegre le abbiamo vissute al computer, elaborando grafici e testi e scrivendo motivazioni. Diciamo che questa pratica ci ha insegnato anche a scrivere sempre più veloce e ad esplorare molte cose nuove nel computer.

Costanza e Ilaria Il Diario di bordo ci è servito per raccontare le esperienze e gli argomenti più importanti di matematica che abbiamo fatto con la maestra Paola. Questo è l’ultimo anno del Diario perché il prossimo andremo alle Medie.

Alberto e Matteo Il lavoro sul Diario di Bordo è stato molto emozionante e ci ha fatto rivivere delle esperienze fatte in questi tre anni, e se un giorno ci scordassimo gli ultimi anni delle elementari, il Diario di Bordo ce li farebbe ricordare. Il Diario di Bordo è stato bello perché si lavorava anche in gruppi scrivendo le esperienze vissute su un argomento.

Andrea e Francesco

A noi è piaciuto molto lavorare sul Diario di bordo, anche perché alcune volte si lavorava in gruppetti; sicché ci si poteva consultare. Rivedendo il Diario ci salgono alla mente tutte le cose che abbiamo scoperto e pensiamo che potrebbe essere utile se nei prossimi anni vorremo rivedere i lavori fatti alle elementari. Anche i disegni sulle copertine dei tre anni sono significativi:

• la bussola e il timone • l’ancora • il faro

Tutti i simboli indicano il lungo viaggio affrontato. Davide e Riccardo

Diario di bordo

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