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Corso di LABORATORIO DI CALCOLO DI AERODINAMICA

Prof. F.Stella

SVILUPPO DI UN METODO A PANNELLI PER IL CALCOLO DEI COEFFICIENTI AERODINAMICI DI UN PROFILO ALARE

L’idea base dei metodi a pannelli è di tradurre la soluzione dell’equazione di Laplace, in tutto il campo

di moto nella determinazione del potenziale sul contorno del corpo, tramite la soluzione di

un’equazione integrale.

Nel metodo di Hess-Smith si considera, sul contorno del profilo, una distribuzione di sorgenti (σ)

variabili da punto a punto ed una distribuzione di vortici (γ) di uguale intensità lungo tutto il profilo.

Per la soluzione numerica occorre a questo punto tradurre un’equazione integrale in un sistema di

equazione. I passi da svolgere sono pertanto:

1. Discretizzare il contorno del profilo in N tratti rettilinei e conseguentemente in N+1 nodi.

2. Individuare su ciascun pannello il punto medio come punto di controllo (Ci):

𝑥! =𝑥!!! + 𝑥!

2              𝑦! =𝑦!!! + 𝑦!

2            𝑖 = 1,…𝑁

3. Assumere come incognita per ogni pannello la densità σ di sorgenti che si considera costante

lungo ogni pannello ma diversa da pannello a pannello.

4. Assumere come incognita la distribuzione di vortici γ considerata costante su ogni pannello ed

uguale su tutti i pannelli.

Si hanno allora, se N è il numero di pannelli, N+1 incognite, N intensità σi di sorgenti ed il valore di γ.

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Occorre a questo puto imporre N+1 condizioni al contorno rappresentate da:

1. N condizioni di tangenza sul profilo del corpo (velocità normale nulla).

2. La condizione di Kutta che può essere trattata in 2 modi [1]:

2.1 Imponendo la condizione di velocità normale nulla in un punto leggermente esterno al

profilo, posto sulla bisettrice dell’angolo al bordo d’uscita. Tale punto deve trovarsi

sufficientemente vicino al bordo d’uscita ad una distanza paragonabile a metà lunghezza del

pannello posto al bordo d’uscita.

2.2 Imponendo valori uguali di velocità tra i due pannello al bordo d’uscita rispettivamente sul

dorso e sul ventre del pannello.

METODO DI HESS-SMITH

Il potenziale, in un generico punto P (sul profilo del corpo) si esprime come:

Φ 𝑃 = Φ! +Φ! 𝑃 +Φ! 𝑃

Indicando con Φ! 𝑃  la densità di sorgenti e con Φ! 𝑃  la densità di vortici, la velocità (essendo il

gradiente del potenziale) in un generico punto di controllo P, risulta:

𝐕 𝑃 = 𝐔! + ∇Φ! 𝑃 + ∇Φ! 𝑃 = 𝐔! +𝜎 𝑙2𝜋

!

∇!𝑙𝑛 𝑟 𝑑𝑙 + −𝛾2𝜋

!

∇!𝜗 𝑙 𝑑𝑙

Indicando con vs e vv rispettivamente velocità indotta da sorgente e vortice di intensità unitaria, risulta:

𝐕 𝑃 = 𝐔! + 𝜎 𝑙 𝐯𝐬! 𝑑𝑙 + 𝛾 𝐯!! 𝑑𝑙 (1)

Considerando la suddivisione in N pannelli, si ottiene che gli integrali sul contorno sono approssimati

da sommatorie, pertanto indicando con α l’angolo di incidenza e ponendo la

𝐔! = 𝐔!𝑐𝑜𝑠𝛼  𝑖 + 𝐔!𝑠𝑒𝑛𝛼  𝑗  la (1) (nell’i-esimo punto di controllo) può scriversi come:

u! = 𝐔!𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝜎!

!

!!!

u!"! + 𝛾 u!"!!

!!!

v! = 𝐔!𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝜎!

!

!!!

v!"! + 𝛾 v!"!!

!!!

Si nota come le componenti della velocità nell’i-esimo punto di controllo siano influenzate dalla

distribuzione di sorgenti presenti su tutti i pannelli e dal’intensità della γ.

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Le componenti u!"!  e v!"! vengono valutate calcolando, prima la velocità indotta dalle sorgenti di un

pannello in un generico punto di collocazione in un sistema di riferimento locale (u!,!!,! , v!,!

!,!)  ed in

seguito, tramite matrice di rotazione, trasformate in un sistema di riferimento globale.

Le componenti locali della velocità (u!,!!,! , v!,!

!,!) indotta nell’i-esimo punto di controllo dalla

distribuzione di sorgenti del pannello j-esimo possono essere così calcolate:

𝑢!,!!,! =

12𝜋 𝑙𝑜𝑔

𝑟!𝑟!

𝑣!,!!,! =

12𝜋

𝜗! − 𝜗!

Dove r1 ed r2 sono rispettivamente la distanza del punto di controllo i-esimo dal primo e dal secondo

estremo del pannello j-esimo, mentre θ1 e θ2 sono gli angoli tra il pannello e la congiungente del primo

e del secondo estremo al punto di controllo:

𝜗! = 𝑡𝑎𝑛!!𝒓! ∙ 𝒏!𝒓! ∙ 𝒕!

                             𝜗! = 𝑡𝑎𝑛!!𝒓! ∙ 𝒏!𝒓! ∙ 𝒕!

Per l’implementazione, si consiglia di utilizzare la funzione MATLAB: theta = atan2().

Le velocità vengono quindi, come detto, trasformate in un sistema di riferimento globale mediante la

matrice di rotazione:

u!"!

v!"!=

𝑡𝑥! 𝑛𝑥!𝑡𝑦! 𝑛𝑦!

u!,!!,!

v!,!!,!

dove txj, tyj , nxj, nyj sono le componenti dei versori tangenziali e normali del pannello j-esimo

considerato.

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Per quanto riguarda le componenti delle velocità indotte dai vortici, poiché in 2D sorgenti e vortici

sono tra loro ortogonali, si ricava che:

𝑢!"! = 𝑣!"!

𝑣!"! = −𝑢!"!

Imponendo la condizione di tangenza 𝒖! ∙ 𝒏𝒊=0 su ciascun punto di controllo i=1,..N, e come detto,

imponendo la condizione di Kutta su un punto leggermente esterno al profilo (equazione N+1-esima),

equazione che risulta fondamentalmente identica a tutte le altre, si ottiene quindi:

u!𝑛!! + v!𝑛!! = 𝜎!u!"!!

!!!

𝑛!! +  𝛾 u!"! 𝑛!! +!

!!!

𝐔!𝑐𝑜𝑠𝛼  𝑛!! +

                                                         +   𝜎!v!"!!

!!!

𝑛!! + 𝛾 v!"! 𝑛!! +!

!!!

𝐔!𝑠𝑒𝑛𝛼  𝑛!! = 0

𝜎! u!"! 𝑛!! + v!"! 𝑛!!

!

!!!

+  𝛾 u!"! 𝑛!! + v!"! 𝑛!! = −

!

!!!

𝐔! 𝑐𝑜𝑠𝛼  𝑛!! + 𝑠𝑒𝑛𝛼  𝑛!!      𝑖 = 1,… ,𝑁 + 1

Si ottiene pertanto un sistema di N+1 equazioni in N+1 incognite (N sorgenti σ, ed il vortice γ).

Risolvendo tale sistema lineare è possibile quindi calcolare la velocità tangenziale in ciascun punto di

controllo:

𝑉!! = 𝜎! u!"! 𝑡!! + v!"! 𝑡!!

!

!!!

+  𝛾 𝑙 u!"! 𝑡!! + v!"! 𝑡!! +

!

!!!

𝐔! 𝑐𝑜𝑠𝛼  𝑡!! + 𝑠𝑒𝑛𝛼  𝑡!!

Nota la velocità tangenziale si valuta il coefficiente di pressione nel generico punto di controllo:

𝑐!! = 1−𝑉!!

𝑈!

!

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L’implementazione può essere effettuata seguendo i seguenti passi:

1. Generazione di un profilo alare NACA e discretizzazione del profilo in N pannelli.

2. Definizione delle coordinate dei punti di controllo (xc,yc), posizionati al centro del pannello.

3. Generazione delle componenti delle normali ni e tangenti ti, relative ad ogni pannello.

4. Definizione della matrice e del termine noto del sistema che richiede:

4.1 Calcolo delle componenti locali delle velocità locali 𝑢!,!!,! e 𝑣!,!

!,!.

4.2 Calcolo delle componenti delle velocità 𝑢!"! e 𝑣!"! .

5. Risoluzione del sistema e quindi determinazione delle sorgenti σi e del vortice γ, da cui è

possibile calcolare i coefficienti aerodinamici.

Validazione del codice e discussione dei risultati:

Ripetere le analisi fatte nell’esercitazione precedente (“metodo a vortici concentrati”).

Confrontare i risultati con quelli ottenuti in precedenza.

Bibliografia

1) G. Graziani, Aerodinamica, Casa Editrice Universitaria “La Sapienza”, 2008.

2) Katz and Plotkin, Low-Speed Aerodynamics, From Wing Theory to Panel Method, Series in

aeronautical and aerospace engineering, McGraw-Hill Inc. 1991.

3) H. Abbott and A. E. Von Doenhoff, Theory of wing Sections, Dover Pubblication, Inc., New

York 1959.