Calcolando derivate dentro una pompa

Gianluca Argentini

Research & Development Dept.

Riello Burners - Legnago (Verona)

Seminari divulgativi di Matematica

Dipartimento di Informatica

26 aprile 2006

Università degli Studi di Verona

1. Scopo di un bruciatore:

• trasformare energia potenziale e meccanica in energia termica tramite il fenomeno fisico-chimico della combustione

2. Metodi per raggiungere lo scopo:

• prelievo del combustibile tramite opportuni strumenti

• immissione forzata di comburente e combustibile in una apposita camera (testa di combustione)

• mantenimento e controllo della combustione

• ottimizzazione dei processi per efficienza e rispetto normative

Introduzione

Il bruciatore come oggetto fisico

• una pompa presenta problematiche di progettazione della geometria dei rotismi interni e aspetti fisici descrivibili con strumenti matematici avanzati

• la testa di combustione può offrire drastiche variazioni di efficienza a seconda delle sue caratteristiche geometriche e strutturali

• la fluidodinamica di comburente e combustibile all’interno dei singoli componenti è (al momento) affrontabile quasi esclusivamente con metodi numerici

• il controllo e regolazione di un bruciatore si basano su meccanismi di feedback descrivibili con strumenti matematici sofisticati

Un bruciatore è (anche) un problema matematico

E’ il principale dei problemi:

trovare i campi di temperatura, pressione, quantità e velocità dei singoli elementi chimici che partecipano al fenomeno della combustione

Non esiste al momento una soluzione analitica (esprimibile mediante formule), si trovano solo soluzioni numeriche approssimate mediante l’uso di computers

Una simulazione completa (caso metano-aria) richiederebbe l’uso di circa 250 specie chimiche, quindi più di 500 incognite: al momento, già una simulazione numerica con 3 specie chimiche (metano, ossigeno, anidride carbonica) risulta difficile

Simulare la fiamma: un problema differenziale

Simulazione numerica di una fiamma premixata metano-aria in dominio bidimensionale rettangolare:

• trovare le isoterme e le velocità di flusso di metano e ossigeno

• confronto coi dati sperimentali (figura accanto)

(accordo UniVR-Riello, prof. De Marchi e collaboratori, da marzo 2006)

Una collaborazione con l’Università di Verona

La testa di combustione determina qualità energetica e forma geometrica della fiamma

Combustibile e comburente vengono incanalati in vie geometriche separate fino al loro incontro nella zona di sviluppo della fiamma (camera di combustione)

Battere in testa - 1

Testa per gas con iniezione tramite canali convergenti su angolatura discretizzata

Battere in testa - 2

Testa per combustibile liquido con iniezione tramite ugello centrale

Battere in testa - 3

Testa con alette direzionali per un flusso d’aria a simmetria circolare

Battere in testa - 4

Testa a geometria variabile, disco fiamma forato per l’apporto d’aria

Battere in testa - 5

La fiamma riscalda il disco-fiamma da cui si propaga, per cui sorgono (anche) problemi di deformazione da stress termico

Lo studio di tale problematica comporta conoscenze di tipo tecnico-strutturale (resistenza dei materiali) e fisico (rapporto deformazione-temperatura), ma una comprensione completa del fenomeno richiede la soluzione di un problema matematico:

l’analisi matematica è lo strumento strettamente necessario

Un problema col disco fiamma

Lo stress termico induce comparsa di cricche nel disco-fiamma

Prima di uno studio analitico del problema, conviene sempre eseguire una simulazione (informatizzata) per ottenere i dati numerici da sottoporre all’analisi simbolica

Disco fiamma - 1

La simulazione riproduce la formazione della cricca ed evidenzia i valori numerici critici che legano temperatura e caratteristiche fisiche del materiale usato

Viene formulata una ipotesi costruttiva per favorire una

dilatazione non vincolata del disco (ing. De Luca, 2006)

Disco fiamma - 2

Analisi matematica sulla bontà dell’ipotesi costruttiva:

• scelta di un opportuno dominio in cui eseguire l’analisi

• scelta dell’opportuno sistema di riferimento (spesso le coordinate cartesiane non sono le migliori)

• uso di eventuali simmetrie (aiutano la formulazione delle condizioni al contorno)

• semplificazione realistica ma senza alterazione dei dati sperimentali o conosciuti

Disco fiamma - 3

• il dominio geometrico: considerazioni di simmetria inducono alla scelta di un settore circolare centrato nell’asse mediano dell’elemento progettuale sporgente dal bordo del disco

• per lo stesso motivo, il sistema di riferimento opportuno è quello delle coordinate polari (r,) con r distanza dal centro geometrico del disco e sfasamento angolare rispetto all’asse mediano

• Fisica del problema:

equazione di diffusione della temperatura

equazioni della deformazione termica

Disco fiamma - 4

Temperatura: dipende dalle due coordinate polari e dal tempo, nell’equazione si considerano derivate parziali

per cui l’equazione è

dove il secondo membro è l’operatore di Laplace o laplaciano

0

),,(),,( 00

000 rrdr

rtdTrt

r

T

2

2

22

2 111

T

rr

T

rr

T

t

T

k

2

2

2

2

yx

Disco fiamma - 5

Deformazione: è un vettore (u,con le due componenti radiale e angolare

• il legame tra deformazione e temperatura è fornito dallo stress termico, dato dalla differenza tra valore corrente e valore iniziale di riferimento per T: T = T - Ti

• si applica la Legge di Hooke, per cui le equazioni per le deformazioni sono

r

uTT

r

ui

,)(

Disco fiamma - 6

• la risoluzione analitica esatta di un problema differenziale è (con gli strumenti matematici attuali) possibile solo in pochi casi

• il problema del disco-fiamma può essere risolto in modo esatto col metodo (classico) della separazione delle variabili

che disaccoppia le variabili nella soluzione e trasforma l’equazione a derivate parziali in tre equazioni differenziali ordinarie

che si risolvono con metodi analitici classici, imponendo le condizioni al contorno

)()()(),,( rRtfrtT

0'',0''',0' 22 cbRrrRRraff

Disco fiamma - 7

• si perviene a soluzioni esprimibili in forma analitica:

• con successiva facile visualizzazione grafica di particolari aspetti fisici:

BrAti eeTTTT

1)(

DCrerTTu Ati

2)(

vettore deformazione lungo il bordo del disco-fiamma

deformazione fisica del bordo

Disco fiamma - 8

Poi c’è la ricaduta applicativa:

• l’elemento aggiuntivo sul bordo si deforma praticamente solo in senso radiale

• la presenza di deformazione angolare a destra e a sinistra dell’elemento consiglia di spostare verso il basso i due fori per le sonde fiamma

Disco fiamma - 9

Insegnamenti ricavati dallo studio del modello:

• possibilità di conoscere come una grandezza di interesse applicativo (es. u) dipenda analiticamente dai parametri fisico-geometrici (es. t, r,) (cosa non facile da ottenere con software simulativo)

• l’impostazione del modello matematico di un problema fisico-ingegneristico si basa in modo essenziale sulla conoscenza di concetti fisici e tecnici

• la sua eventuale risoluzione è competenza quasi esclusiva del matematico (applicativo), che si avvale di concetti e metodi propri della Matematica pura (es. un aspetto particolarmente delicato è la questione dell’unicità di soluzione)

Disco fiamma - 10

Pompa a lobi (tipo gerotor) per gasolio:

• determinare la pressione del liquido nei vani tra corona esterna e pignone interno

Alcuni software di fluidodinamica

computazionale (CFD) riescono a simularne il comportamento, ma in base a quali equazioni funziona una pompa?

Derivate dentro una pompa

E’ un problema di stretta correlazione tra

• geometria delle curve piane parametrizzabili: un punto cartesiano del pignone o della corona è dato da

• algebra delle matrici: la rotazione indotta dal pignone sulla corona viene espressa da una matrice di rotazione di angolo

)()(

)()(

cossin

sincosM

Pompa - 1

)(),()(),( tsintcosBtsinAryx

• analisi in serie di Taylor : i punti di contatto geometrico virtuale tra corona e pignone possono essere trovati tramite espansione locale dell’equazione di intersezione tra le due curve

• elaborato un metodo che tramite espansioni fino al 6° grado permette di ottenere risultati molto accurati circa le coordinate del punto di contatto

• usuali software matematici si sono rivelati meno precisi nel calcolo dei contatti e presentano il rumore di fondo dato dalle soluzione complesse

Pompa - 2

• analisi di Gauss-Green: il calcolo del volume di un vano viene ricondotto da un integrale di superficie ad uno di linea, molto più facile da calcolare per via numerica

dsyxxydtyxxyydxxdydxdyAs

sD

t

tD

0

1

1

0

''''2

1

D

1D

2D

P0

P1 Le quantità del tipo x’dt possono essere discretizzate come

xk+1 - xk = x(tk+dt) - x(tk)

che è una espressione del Teorema di Lagrange e fornisce la derivata come differenza finita (in avanti)

Pompa - 3

• fisica dei fluidi reali: l’olio in pompa viene compresso nella zona intermedia tra quella di aspirazione e quella di mandata, per cui la sua pressione aumenta in modo notevole (ing.i De Luca, Lovato, 2005)

d

dVQ

V

K

d

dp

= velocità angolare pignone

Q = portata istantanea nel vano

K = coefficiente di comprimibilità olio

Ma in certe situazioni, per una migliore modellazione, si usa la Legge di Van der Waals dei fluidi reali

Pompa - 4

Simulazione computazionale:

• calcolo dei volumi istantanei dei vani con passo angolare di 1°, quindi calcolo della pressione istantanea

• su CPU Xeon 3.2 GHz: 360 configurazioni calcolate in circa 20 minuti con 1.5 GB di allocazione RAM (Mathematica 5.2)

• i risultati ottenuti concordano con quelli ottenuti con software fluidodinamico o con metodi sperimentali (Politecnico TORINO)

Pompa - 5

Conclusioni dallo studio eseguito:

• la convergenza di conoscenze da più discipline permette la costruzione di un modello simbolico e computazionale che descrive in modo soddisfacente un complesso processo reale

• anche in questo caso l’aspetto computazionale si basa in modo essenziale nell’applicazione di strumenti e metodi della Matematica pura (Algebra, Analisi, Geometria)

• (software commerciali di fluidodinamica danno gli stessi risultati di software matematici molto meno costosi)

Pompa - 6

Cavitazione: uno dei principali problemi nel funzionamento di macchine a fluido

• bolle d’aria possono formarsi all’interno dei vani di una pompa per problemi di tenuta, per anomalie di aspirazione, per geometria non ottimizzata

• tre principali conseguenze negative:

minore efficienza

danni fisici su superfici

aumento rumorosità

Un problema di bolle

Si vuole costruire un modello matematico che

• possa calcolare il tempo di collasso impiegato da una bolla di gas per implodere dentro un vano di una pompa

• possa stimare il massimo numero di giri del rotore interno per evitare che la bolla impedisca la lubrificazione tra corona e pignone, con loro contatto fisico

Per avere attinenza col caso ingegneristico reale, si usa la geometria effettiva a 8 lobi (ia - fm = 2/9) con liquido a viscosità non nulla

Collasso di una bolla - 1

• tempo massimo di permanenza in pompa per una bolla:

9

1692

2

0

• tempo teorico di collasso per una bolla:

se tc = 0 sec, la bolla collassa subito

se tc = 0 sec, la bolla collassa all’ultimo istante utile

in prima approssimazione, si può usare come tempo teorico di collasso una media pesata dei due precedenti:

(da confrontare con quello effettivo calcolato col modello, in modo da avere una stima massima per )

3

4

4

30

4

10tc

Collasso di una bolla - 2

La bolla viene modellata come una sfera, con raggio R = R(t) variabile nel tempo con velocità radiale v = v(R, t)

Usando le equazioni di Navier-Stokes della fluidodinamica, trattando il problema con coordinate polari si perviene all’equazione differenziale ordinaria

032 )0(,02 RRaRRRR

= densità del fluido in pompa

= viscosità del fluido

a = coefficiente dipendente dalla pressione del fluido

Collasso di una bolla - 3

• la precedente equazione è non lineare e non esiste una soluzione esprimibile in forma simbolica

• la sua risoluzione numerica, usando differenze finite all’indietro (backward differentiation, Mathematica 5.2), dà il seguente risultato per il tempo di collasso:

• ma si vuole ottenere una soluzione simbolica per vederne la dipendenza dai parametri fisico-geometrici: si usa il Teorema della Funzione Implicita di Dini (1883) (è un caso generale del metodo della linearizzazione) e l’equazione diventa

sec0014.0c

02 20

20 RaRRRR

Collasso di una bolla - 4

• la soluzione al problema può essere così calcolata con metodi analitici:

• il tempo di collasso calcolato mediante la formula R(tc) = 0 è

che quindi differisce da quello numerico per un termine dell’ordine del decimo di millisecondo

020

2)( Rt

aRtR

sec00128.02

c a

t

Collasso di una bolla - 5

Considerazioni :

• il modello matematico permette di ottenere la dipendenza analitica del tempo di collasso dalla densità e dalla pressione del fluido in pompa

• il tempo effettivo di collasso, calcolato col metodo analitico da una equazione approssimata, è in ottimo accordo con quello calcolato col metodo numerico dall’equazione originale

• il modello si basa solo sull’applicazione di metodi strettamente matematici e non dipende da metodi computazionali

• un classico teorema di Analisi matematica pura risulta fondamentale nel risolvere un problema concreto di Ingegneria strutturale

Collasso di una bolla - 6

Data l’equazione (non polinomiale)

esiste una sua soluzione nell’intervallo (-1,1) ?

• il primo membro è la derivata f ’(x) di

• f è continua in [-1,1] e derivabile in (-1,1), inoltre f(-1) = f(1)

• per il Teorema di Rolle, esiste un valore x0 in (-1,1) tale che f ’(x0) = 0, per cui l’equazione di partenza ha soluzione

xsine

e

exf x

2

2

1

4)(

2

021

42

xcose

e

e x

Per finire: Monsieur Rolle (1652-1679) ...

Data l’equazione (non lineare)

esiste una sua soluzione non nulla nello spazio C2([0,tc], ) delle funzioni con derivata seconda continua?

02 32 auuuu

• In analogia con Rolle, il primo membro potrebbe essere la derivata (differenziale di Fréchet) di un funzionale F definito su C2([0,tc], )

• esiste una funzione u0 in C2([0,tc], ) tale che F’(u0) = 0? (è un esempio, in generale molto difficile da risolvere, di un problema di esistenza in Matematica pura)

… e Monsieur Fréchet (1878-1973)

• la Matematica applicata, quando usata in problemi concreti, è Matematica di cui si applicano metodi e concetti (v. studio e risoluzione di equazioni differenziali)

• l’applicazione deve prevedere in generale l’uso di metodi e concetti provenienti da altre discipline (v. in questo caso Fisica, Chimica, Ingegneria), per cui il matematico è tenuto a interagire con altre risorse e competenze

• spesso questioni apparentemente astratte (v. esistenza) hanno ricadute applicative molto significative (vale anche il viceversa, come ha insegnato Newton)

Grazie per l’attenzionegianluca.argentini@rielloburners.com

Applicando la Matematica