Lezioni di Scienza delle Costruzioni · La determinazione del centro di taglio si ricava calcolando...

386 La sezione in parete sottile

5 2

67,

6936

t

a

M

6 2

5,

6936

t

a

M

'

3

121.

41616

t

G a

M (10)

La rigidezza torsionale della sezione pluri-connessa vale:

341616

.121

tC G a (11)

$$$

9.2.3 Spostamenti da ingobbimento, sezioni chiuse

Per le sezioni pluri-connesse gli spostamenti lungo l’asse x3 possono essere scomposti in due aliquote. I primi spostamenti sono calcolati sulla sezione resa

mono-connessa con l’ausilio di tagli opportuni e angolo specifico pari a ’ fornisce uno scorrimento nullo sulla linea media, mentre, i secondi tengono conte delle condizioni di congruenza e riportano il campo di spostamenti a quelli della sezione chiusa e sono costanti lungo lo spessore. A titolo di esempio si esamini la sezione a corona circolare di raggio R e spessore δ, la relativa sezione aperta è riportata in Figura 9.2.5 ed è ottenuta operando il taglio nella sezione AB. Giacché la sezione aperta non rispetta la congruenza della sezione bi-connessa, è necessario imporre che in corrispondenza del taglio AB lo scorrimento dovrà essere nullo. Difatti, quando si taglia la sezione nella seziono AB le tensioni variano linearmente lungo lo spessore e risultano nulle su tutta la linea media, lo spostamento relativo dovuto agli spostamenti da ingobbimento sono dati dalla (7.4.15) :

3 2 'aAB ABu S . (9.2.26)

Auciello 387

A questi bisogna aggiungere lo spostamento nella direzione x3 dovuto allo

scorrimento lungo la linea media dipendente dalla tensione aggiuntiva t ,

33

1B B

bAB t

A A

uu ds ds

s G

, (9.2.27)

E’ opportuno esprimere tale relazione rispetto al prodotto t :

3

B

b tAB

A

dsu

G

, (9.2.28)

da cui appare evidente che alla distribuzione t è associato un angolo

specifico di torsione ’=0. Lo spostamento totale vale:

x1

Figura 9.2.5

R

Mt

A

B

x2

3b t

AB

A

dsu

G

t

t

A B


3 3 3( )T a bAB AB ABu u u , (9.2.29)

e per la condizione di congruenza deve aversi

3( ) 0TABu . (9.2.30)

Nello specifico, per la sezione considerata:

22 ' 2 0tR RG

, (9.2.31)

L’equazione, affiancata all’equazione di equilibrio alla rotazione intorno

all’asse x3, fornisce il sistema lineare nelle incognite ’ e t . Le due

equazioni sono state ricavate in generale e valgono per la sezione bi-connessa (formule di Bredt),

2

2

2 ' 2 0

2

t

t t

R RG

M R

, (9.2.32)

Risolvendo:

3

2

'2

'2

t

tt

M

G R

MG R

R

. (9.2.33)

Si ritrova il risultato dato dalle formule di Bredt. Si noti come il teorema di Stokes, applicato alla generica maglia chiusa, esprime l’equazione di congruenza in corrispondenza dei punti i cui si è operato il taglio.

9.3 Taglio nelle sezioni mono-connesse.

Per le sezioni sottili la trattazione di Jourawsky fornisce, così come evidenziato in precedenza, una soluzione esatta. Sulla corda generica lo stato tensionale si

riduce alla sola componente tangenziale 3t diretta lungo la tangente alla linea

Auciello 389

media. Nel caso di sollecitazione di taglio puro, ’=0, il rotore del campo vettoriale del vettore tensione è nullo:

3 30.σcurl (9.3.1)

Il diagramma delle tensioni è funzione della posizione dell’asse neutro riferito alla flessione che si accompagna alla sollecitazione di taglio. Se l’asse neutro

coincide con l’asse x1 sulla corda di spessore costante la tensione tagliante vale:

'2 1

1

t

T S

b I , (9.3.2)

Mentre, la sua derivata rispetto ad s vale:

2 1 2 1 21

1 1 1

td T dS T ds d Td

ds I ds I ds I

, (9.3.3)

dove d1 è la distanza della corda generica rispetto all’asse neutro. Utilizzando le espressioni (9.3.2) e (9,3,3) è possibile tracciare le tensioni di taglio al variare dell’ascissa curvilinea e di conseguenza determinare la forza risultante delle tensioni taglianti corrispondenti alla sollecitazione di taglio puro

(’=0). Difatti dalla (9.3.2) la tensione dipende dall’asse neutro considerato e non dalla posizione della forza tagliante nel piano. La distribuzione delle tensioni è indipendente dal punto d’applicazione di T2 nel piano che, invece, provoca solo tensioni di torsione. Dunque, esiste un punto appartenente al piano della sezione per cui tutte le forze passanti per esso sono rappresentative di

sollecitazioni di taglio puro (’=0). Questo punto è noto come centro di taglio e, come si vedrà nel seguito, dipende solo dalle caratteristiche geometriche della sezione. La sezione sollecitata dalla forza T2 passante per il centro di taglio, subisce solo traslazioni nel piano e non ruota intorno al centro di torsione.

9.3.1 Il centro di taglio

La determinazione del centro di taglio si ricava calcolando la risultante delle tensioni taglianti date dalla (9.3.2) assumendo due assi neutri generici. Al fine di analizzare la distribuzione delle tensioni, si consideri la sezione sottile riportata in Fig. 9.3.1. Queste sono utilizzate di frequente nelle costruzioni metalliche. Si ipotizzi un verso di percorrenza lungo la linea media e per ogni punto si consideri un sistema di riferimento n,t in cui l’asse t è tangente alla linea media. La distribuzione delle tensioni dovute al taglio è determinata attraverso le (9.3.2) e (9.3.3). Per ogni punto appartenete al generico tratto, la tensione si


riporta a destra di un ipotetico osservatore che percorre la linea media lungo la direzione concorde a t.

Preliminarmente si calcolano le caratteristiche geometriche e d’inezia delle sezione. A tal scopo, dividendo la sezione in 4 rettangoli, si determinano le aree,

momenti statici e momenti d’inerzia rispetto al sistema di riferimento 1x , 2x .

Le aree

1 2 3 4

1 2 3 4

3, , 2 , ,

2

11,

2

A a A a A a A a

A A A A A a

(9.3.4)

momenti statici,

21 2 3 41

21 2 3 42

3 472 2 0 ,

4 8

50 ,

2 2 2

S A a a A a A a A a

a aS A a A A A a

(9.3.5)

x2 Figura 9.3.1

a

511

a

x1

δ

n

4744

a

t n

n

1x

2x

2 a 3/2 a

Auciello 391

momenti d’inerzia,

323 3 33

2 221 2 3 41

( ) 232 2 0

12 4 12 12 12

a aI A a a a A a A a a A

2 23 3 3 32

1 2 3 42

21 2 3 412

32 0 ,

2 12 12 2 12 12 2

32 0 0,

2

a a a aI a A a A a A A

I A a a a A a A A

da cui, svolgendo

3 31

3 32

312

1223 4 ,

24

152 7 ,

24

23.

8

I a a

I a a

I a

(9.3.6)

Dalle (9.3.5), si ricavano le coordinate del baricentro:

2 11 2

5 47, .

11 44G G

S Sx a x a

A A (9.3.7)

Per determinare la posizione del centro di taglio si può considerare la distribuzione delle tensioni corrispondenti a due assi generici, una volta determinata la posizione delle risultanti, il centro di taglio risulta dato dall’intersezione delle rette di applicazione.


Prendendo come asse neutro l’asse x1, Fig. 9.3.2a) , i momenti statici dei tratti si scrivono:

' '111 1 12 2

' 2 213 3 3

'14 4

25 1, 12 41 ,

44 2 44

153 41 22 ,

44

47.

44

S a S a a

S a a

S a a

(9.3.8)

Mentre, assumendo x2 come asse neutro la distribuzione delle tensioni i momenti statici sono, Fig. 9.3.2b):

Figura 9.3.2

2

1

x2

3

4

x1

5

11a

6

11a

241

44 2a

b)

45

11 2a

1

x2

2

3

4

x1

41

44a

25 144 2

a

341

44 2a

47

44a

a)

Auciello 393

'21 1

' 2 222 2

' 223 3

' 2 424 4

6,

11

9 6,

11 11 2

19 5,

22 11

1 5.

22 11 2

S a

S a a

S a a

S a a

(9.3.9)

Il diagramma delle tensioni dipendono dai momenti statici cambiati di segno ed

a meno di un termine costante 1 valgono

'

'2 11 1

1

t

T SS

I

. (9.3.10)

Rispetto a x1 la distribuzione delle tensioni è riportato in Fig. 9.3.3. Le risultanti delle forze sono applicate lungo i tratti e dirette secondo quanto ipotizzato rispetto al riferimento locale, (a destra di ipotetico osservatore che percorre il tratto nel verso positivo di percorrenza):

32

(1) 311 1 1 11

0

25 27,

44 2 352

a

F a d a

(1) 31 2 2 12

0

1 6512 41 ,

44 88

a

F a a d a

2

(1) 2 2 31 3 3 3 13

0

1 9753 41 22 ,

44 33

a

F a a d a (9.3.11)


(1) 31 4 4 14

0

47 47.

44 88

a

F a a d a

La risultante di queste forze ha componenti:

(1) (1) (1) 311 2 4

(1) (1) (1) 312 1 3

9,

44

3185,

1056

R F F a

R F F a

(9.3.12)

ed il momento risultante rispetto al baricentro

(1) (1) (1) (1)

1 2 1 21 2 3 4( ) (2 ) ,G G G G GM F a x F a x F x F x (9.3.13)

semplificando:

Figura 9.3.3

1

12 2

44a

53 21 44

a

1

47 2

44a

1

21, 639 a

1

20,161 a

x2

x1

x2

x1 (1)1

F

(1)2

F

(1)3

F

(1)4

F

Auciello 395

(1) 4

1

337,

132GM a (9.3.14)

e tenendo conto delle (9.3.12) si ricava l’equazione della retta della risultante,

(1) (1)2 11 2

3 3 41 2 1 1 1

,

9 3185 3370,

44 1056 132

GR x R x M

a x a x a

(9.3.15)

da cui, ordinando:

1 2

3185 9 3370.

1056 44 132x x a (9.3.16)

Per l’asse x2, le tensioni sono date in Fig. 9.3.4, e le risultanti valgono,

Figura 9.3.4

x2

1

9 2

11a

1

19 2

22a

1

1 2

22a

1

117 2

121a

1

18 2

121a

x1

x2

x1

(2)4

F

(2)1

F

(2)2

F

(2)3

F


32

(2) 31 1 1 11

0

6 27,

11 44

a

F a d a

(2) 2 32

1 2 2 12

0

9 6 61,

11 11 2 66

a

F a a d a

(9.3.17)

2

(2) 2 31 3 3 13

0

19 5 9,

22 11 11

a

F a a d a

(2) 2 34

1 4 4 14

0

1 5 7.

22 11 2 66

a

F a a d a

La risultante ha componenti:

(2) (2) (2) 311 2 4

(2) (2) (2) 312 1 3

34,

33

9,

44

R F F a

R F F a

(9.3.18)

ed il momento rispetto al baricentro

(2) 4

1

16.

11GM a (9.3.19)

Analogamente a quanto esposto in precedenza, la risultante agisce lungo la retta di equazione,

1 2

9 34 160.

44 33 11x x a (9.3.20)

Il centro di taglio è dato dall’intersezione delle due rette:

Auciello 397

1 2

1 2

3185 9 3370.

1056 44 132

9 34 160

44 33 11

x x a

x x a

, (9.3.21)

che fornisce la posizione del cercata,

1

2

0.7609 ,

1.2607 .

C

C

x a

x a

(9.3.22)

Il momento torcente è calcolato rispetto al centro di taglio CT. Per completezza si riportano i momenti del secondo ordine rispetto agli assi baricentrici, ricordando il teorema del trasporto e considerando il segno sulla distanza di un punto rispetto ad un asse orientato si ha:

3

2 31 21

3185,

1056 6G

aI I A x a

2 3 32 12

34 7,

33 24GI I Ax a a (9.3.23)

312 1 212

9.

44G GI I Ax x a

Nella Fig.9.3.5 si riportano i risultati per a=100 mm, δ=a/10, in tal caso:

2 2 2 2

1 2 3 4

2

1500 , 1000 , 2000 , 1000 ,

5500 ,

A mm A mm A mm A mm

A mm

e la posizione del baricentro rispetto al sistema soprassegnato 1 2( , )x x ,

1 245,4545 , 106,818 ,G Gx mm x mm

e le relazioni (9.3.23) forniscono i momenti d’inerzia baricentrici,


7 4 7 41 2

6 412

3,01777 *10 , 1,03322 *10 ,

2,04545 *10 .

I mm I mm

I mm

I momenti d’inerzia principali valgono

7 4

221 2

1 2 12

7 4

3,03863*10 ,1

42 2

1,01236*10 ,

I mmII I

I I I

I I mm

(9.3.24)

da cui si ricava il parametro fondamentale che regola le proprietà di coniugio.

I

mI

(9.3.25)

per cui le direzioni s ed n, tra loro coniugate, devono rispettare la condizione:

Figura 9.3.5 x2

x1

CT

-5,824

a=100 mm, δ=a/10;

ρξ=0,7433 a

ρη=0,429 a

ρξ

ρη

x2

2x-5,824

Auciello 399

tan( , ) tan( , ) .s n m (9.3.26)

Le due direzioni principali ξ ed η sono inclinate, rispetto al sistema di riferimento baricentrico, degli angoli;

12

2 1

2 1tan 2 0,206138 arctan 0,206138 5,8238 ,

2

I

I I

gli assi a cui corrispondono momento massimo e minimo sono le direzioni ξ ed η, inclinati rispetto all’asse x1 rispettivamente di

1( , ) 5,824 ,x

(9.3.25)

1( , ) 5,824 90 84,17 .x

I semiassi principali sono:

0,7433 , 0,4290I I

a aA A

. (9.3.26)

9.3.2 Il fattore di taglio nelle sezioni sottili.

Come espresso al paragrafo 8.2 riguardante un tronco infinitesimo del corpo, per il teorema di Clapeyron, il lavoro di deformazione di può essere scritto tramite la relazione

2 2 2 3

1 1,

2 2dL T du T dx (9.3.27)

dove il termine è lo scorrimento medio.

Questi rappresenta il parametro globale di deformazione associato alla forza tagliante T2. Per la relazione energetica (8.2.3), visto che nel caso di sezioni

sottili la tensione si riduce alla sola componente 't costante sullo spessore, il

lavoro di deformazione dovuta al teglio si scrive:


3 ' 3 '2'2 2Tag t t

A s

dx dxU dA ds

G , (9.3.28)

e ricordando la (8.2.8),

21

T

G A ,

eguagliando le precedenti espressioni, si ha:

2

'21 1

2 2

f

n t

s

Tds

G A G (9.3.29)

da cui si ricava il fattore di taglio

'22n tf

s

Ads

T . (9.3.30)

L’espressione consente, alla luce di quanto ricavato nel precedente paragrafo di determinare il fattore di taglio corrispondente ad un generico asse neutro. Il procedimento è del tutto generale e, nel caso di sezioni sottili, fissato un asse neutro è semplice determianre il corrispondente fattore di taglio. A titolo di esempio, per la sezione mono-connessa della figura 9.3.1, è possibile utilizzare i risultati ricavati per le distribuzioni delle tensioni riferite agli assi x1 ed x2 del paragrafo 9.3.1. Prendendo come riferimento l’asse neutro x1, le forze taglianti Riguardo l’asse x1 la procedura di calcolo utilizzata, naturalmente attraverso un programma di calcolo simbolico, fornisce un fattore di taglio pari a:

1 3,2585. (9.3.31)

Detto valore è riferito all’asse neutro x1 e quindi la forza tagliante da considerare è quella diretta lungo un suo asse coniugato.

9.4 Taglio nelle sezioni pluriconnesse.

Nel caso di sezioni pluri-connesse, a differenza di quanto accade nelle sezioni aperte, non esiste nessun punto della sezione in cui è nota la tensione tagliante da cui è possibile partire per disegnare le tensioni. Così come evidenziato nel

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