POLITECNICO DI BARI C.d.L. ingegneria CIVILE - AMBIENTALE

CORSO DI DISEGNO

Geometria descrittiva

Le diapositive costituiscono unicamente una base per lo sviluppo della lezione e, come tali, non sostituiscono

in alcun modo i testi consigliati.

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1. GEOMETRIA PROIETTIVA Introduzione

Le sperimentazioni sulle tecniche di rappresentazione si sono evolute sul concetto positivista che corrispondeva allidea di scienza, come concetto di ordine e che quindi la geometria una scelta convenzionale che permette di esprimere le leggi della natura nel modo pi semplice.

J.V.PONCELET, tavola XVI dal Trait de Mcanique industrielle. Bruges 1844

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1.1. Fondamenti della geometria proiettiva . Operazioni fondamentali

Lintroduzione della geometria proiettiva favor la scientifizzazione dei metodi di rappresentazione, mediante il disegno su un piano dei corpi tridimensionali. Con tale assunto nacque la geometria descrittiva di Gaspare Monge che svilupp i procedimenti e i metodi della rappresentazione sul piano. Quindi i metodi propri della moderna scienza della rappresentazione di corpi solidi e dello spazio si basano essenzialmente sui principi teorici della geometria proiettiva e particolarmente sulle operazioni di proiezione e sezione. La geometria proiettiva si occupa in particolare, dello studio sistematico delle propriet delle figure piane

che hanno carattere proiettivo, ossia quelle propriet che rimangono inalterate nelle operazioni di proiezione e sezione. Queste operazioni non dipendono solo dai principi della geometria euclidea, ma comportano concetti pi generali, che fanno della geometria proiettiva una scienza molto ampia.

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Introduzione

La geometria descrittiva di Gaspare Monge svilupp i procedimenti e i metodi della rappresentazione sul piano.

Diremo, inoltre, che lo scopo della geometria descrittiva non solo quello di rappresentare oggetti tridimensionali su un piano a due dimensioni, ma soprattutto quello di descrivere analiticamente le forme geometriche e le relazioni reciproche degli oggetti disposti nello spazio. In altre parole pi che uno strumento di rappresentazione, essa prevalentemente un mezzo formativo per sviluppare quella capacit di vedere nello spazio e che

consente di controllare le immagini mentali.

B. Tajlors,

New principles

of linear

perspective. Londra 1719

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Le operazioni fondamentali della geometria proiettiva sono quelle di proiezione e sezione. Consideriamo, nello spazio, un punto C, detto centro di proiezione, e un piano , detto quadro, non appartenente a C, e un punto P, non coincidente con gli elementi citati, si definisce proiezione, loperazione di costruzione della retta CP passante per il centro di proiezione C e per un punto P. La retta cos definita dicesi retta proiettante. Di conseguenza, tutte le rette proiettanti sono caratterizzate dal fatto di passare dal centro di proiezione C. Si definisce sezione, loperazione di intersezione del raggio proiettante CP con il piano da cui si ottiene il punto di intersezione P. In definitiva, proiettando da un centro C sul piano , il punto P, si ottiene, nel punto di intersezione del raggio proiettante CP con il piano , il punto P, immagine del punto P sul quadro.

Le operazioni fondamentali della geometria proiettiva.

P I

P

c

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Le operazioni fondamentali della geometria proiettiva sono quelle di proiezione e sezione. Per punti e rette

Le operazioni fondamentali della geometria proiettiva.

P I

P

c

IA

A

B I

B

IP

P

c

P

IEE c

P I

r I

r

cB

A

Proiezione di un punto

Proiezione di tre punti

Proiezione di una retta

passante per due punti

complanari , quindi giacenti

sullo stesso piano.

Proiezione di una retta passante per due punti

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Analogamente avviene per la proiezione di una retta. Dato un punto C, nello spazio, quale centro di proiezione, un piano distinto da C e una retta r non passante per C e non appartenente a , si definisce proiezione loperazione di costruzione del piano Cr passante per il centro di proiezione C e per la retta r. Il piano cos definito prende il nome di piano proiettante; ne segue che tutti i piani proiettanti hanno la caratteristica di passare per il centro di proiezione C. Si definisce sezione loperazione di intersezione del piano proiettante Cr con il piano , da cui si ottiene una retta di intersezione r. Le due operazioni sono congiunte, quindi proiettando dal centro C, sul piano , la retta r, si ottiene, sulla retta di intersezione del piano proiettante Cr con il piano , la retta r immagine di r sul piano quadro.

Le operazioni fondamentali della geometria proiettiva.

r Pr

E IE c

I

IP

Cr

piano proiettante

sezione

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Il piano quadro pu assumere varie posizioni rispetto agli altri elementi: In questi esempi il punto C posto al finito. 1. Pu essere situato fra il centro di

proiezione C e il punto P da proiettare, condizione che si verifica nel caso della rappresentazione prospettica.

2. Pu essere disposto dietro il centro di proiezione C, come succede nella ripresa fotografica (C il centro dellobiettivo, la superficie sensibile dove si forma

limmagine!);

3. Pu essere posto oltre il punto da

proiettare, questo caso corrisponde a quello della proiezione dellombra i un oggetto su un piano.

Le operazioni fondamentali della geometria proiettiva.

P

P I

c

cPIP

M

NIN

c

IM

M

Nc

IM

NI

QIB

B c

A

AI

QI

B c

Q

A

IA

QI

B I

Vista assonometrica Vista laterale

A

Q

B

AI

IQ

B IIB

ccB

IQ

AI

Q

A

oo

oo

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La posizione del centro di proiezione C rispetto al quadro, pu essere a distanza finita oppure a distanza infinita. Se tre punti A Q ed B sono allineati anche le corrispondenti immagini A, Q, B sono allineate; Il punto C, centro della proiezione, in questo caso si trova allinfinito.

Le operazioni fondamentali della geometria proiettiva.

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LE PROIEZIONI

I metodi di rappresentazione sono: la PROIEZIONE CONICA la PROIEZIONE CILINDRICA

Proiezione conica

In S simmagina posto locchio dellosservatore; P un piano ordinariamente verticale. I raggi visuali VA, VB condotti dallocchio ai vari punti A, B.. intersecano il piano nei punti A1 B1, immagini prospettiche di A e B . Il segmento A1 B1 limmagine prospettica del segmento A B. Dove S detto centro di proiezione.

Proiezione cilindrica

Se il centro di proiezione S si immagina a distanza infinita, i raggi visuali diventano paralleli fra loro e la proiezione da conica diventa cilindrica.

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Se i raggi proiettanti sono inclinati rispetto al piano P, la proiezione detta obliqua e normalmente applicata alla ricerca delle ombre a luce solare.

Se i raggi proiettanti sono perpendicolari al piano P, la proiezione ortogonale o retta.

PUNTO DI PROIEZIONE S ALLINFINITO RAGGI PROIETTANTI INCLINATI

RISPETTO AL PIANO

PUNTO DI PROIEZIONE S ALLINFINITO RAGGI PROIETTANTI

ORTOGONALI AL PIANOI

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Esempio di raggi proiettanti inclinati rispetto al piano , la proiezione obliqua ed applicata alla ricerca delle ombre.

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Esempio di raggi proiettanti perpendicolari al piano, la proiezione ortogonale o retta. In questo caso il solido proiettato ha le facce parallele ai piani, quindi la sua immagine in vera grandezza (ossia non deformata e misurabile).

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LE PROIEZIONI ORTOGONALI

Nel 1794 Gaspard Monge pubblic i suoi studi, e fu subito chiara la rilevanza storica e loriginalit dellopera. In precedenza, il problema, era stato quello di rappresentare sulla carta oggetti a tre dimensioni in modo che si potesse sulle loro parvenze (adumbrationes, come diceva Vitruvio) compiere varie operazioni di misura. Quando si pose lesigenza di riferire lo spazio

a tre dimensioni della rappresentazione, in quello che ne ha due soltanto, il problema era legare, bloccare i corpi in una posizione nota

nello spazio, nel quale si dispone anche la loro rappresentazione, che li individua senza incertezza; rappresentazione che misurabile con estrema precisione.

GASPARD MONGE, tavola XXIV da Gometrie descriptive.

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Questo modo di procedere la pi importante invenzione mongiana, ed ci che distingue la moderna geometria della rappresentazione, dallOttocento in poi,

dalla geometria antica. Questa, e in grado di caratterizzare quei disegni che chiamiamo rappresentazioni

rispetto a quelli che chiamiamo semplicemente immagini. I primi restituiscono oggetti rappresentati nello spazio, quelle che Monge definisce: operazioni di ricostruzione nello spazio. Le immagini possono evocare qualsivoglia suggestione o piacere estetico, ma non hanno rapporti geometrici con lo spazio reale e n consentono di ricostruirlo (non sono misurabili!).

GASPARD MONGE, tavola XXV da Gometrie descriptive.

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Proiezioni ortogonali: IL PUNTO

Una sola proiezione non sufficiente a definire la posizione di un punto dello spazio a meno che non sia quotata.

La proiezione ortogonale di un punto P, dello