LA PROIEZIONE STEREOGRAFICA (PARTE II) «Una proiezione cristallina è un metodo di rappresentazione dei cristalli tridimensionali su di un piano bidimensionale. Sono possibili diversi tipi di proiezioni, tali che per ognuna sono definite regole precise e riproducibili rispetto al cristallo. Il metodo migliore per esprimere la forma di un cristallo ed è generalmente migliore di qualsiasi immagine fotografica di cristalli reali è la proiezione clinografica»

Docente: Ernesto Mesto e-mail: ernesto.mesto@uniba.it Website: www.geo.uniba.it/mesto.html Gruppo facebook: http://www.facebook.com/groups/esercitazioni.mineralogia/

Corso di laurea triennale in Scienze Naturali a.a. 2012-2013

E’ possibile definire gli indici delle facce di un cristallo come un rapporto di rapporti parametrici.

Essi saranno una terna di numeri (h,k,l) primi fra loro (generalmente piccoli).

Siano A, B e C i lati di cella della maglia fondamentale o parametrica, mentre A’, B’ e C’ siano i parametri staccati da una qualunque altra faccia dello stesso cristallo. E’ allora possibile definire gli indice di una faccia generica come:

INDICIZZAZIONE DELLE FACCE

a

b

c

A

C B

A’

B’

C’

l:k:hC'C:

B'B:

A'A

=

l:k:h3:4:641:

31:

21

⇔=

a ≠ b ≠ c

x y z

INDICIZZAZIONE DELLE FACCE

Se ad esempio come in figura A’=2, B’=3 e C’=4 allora avremo:

41:

31:

21

Si preferisce, però usare numeri interi, ottenibili tramite il minimo comune multiplo.

Quindi, gli indici saranno inversamente proporzionali alle intercette della faccia (o piano cristallografico) con gli assi.

a

b

c

A

C B

A’

B’

C’

l:k:h3:4:641:

31:

21

⇔=

a = b = c

Sistema Monometrico Nel caso del sistema cubico, poiché il

periodo di ripetizione degli assi cristallografici è lo stesso,

dall’inclinazione della faccia possiamo avere idea dei rapporti degli indici h,

k, l,

Anche se gli indici sono uguali in valore a quelli del caso precedente, il fatto che a=b=c, ci dice che la faccia (643) del cristallo dovrà per forza avere l’inclinazione riportata in figura. (Questo tipo di valutazione è possibile solo quando almeno due dei tre periodi di ripetizione sono uguali tra loro.)

Sistema Monometrico Solo per il sistema cubico vale la regola:

h > k > l

Gli indici sono inversamente proporzionali all’intercetta sull’asse, quindi:

chiamerò h l’indice sul cui asse la faccia stacca l’intercetta più piccola

Chiamerò l l’indice sul cui asse la faccia stacca l’intercetta più grande

Assegnerà l’indice k all’ultimo asse

(QUESTO VALE SOLO PER IL SISTEMA MONOMETRICO)

I nodi di un reticolo tm = m1a + m2b + m3c, sono caratterizzati da numeri razionali (interi se la cella elementare è primitiva). Le proprietà dei reticoli connesse ai nodi sono quindi dette razionali. Si parlerà di direzioni razionali per intendere direzioni definite da due nodi reticolari e di piani razionali per intendere piani definiti da tre nodi reticolari.

Direzioni cristallografiche. Come abbiamo visto, i cristalli sono anisotropi: sarà quindi necessario specificare in modo semplice le direzioni nelle quali si manifestano determinate proprietà fisiche.

nodali, che sono caratterizzati da uno stesso periodo di ripetizione. I filari definiscono una direzione cristallografica. Se un filare passa per l’origine la sua direzione sarà definita dai valori mi di uno qualunque dei nodi del filare. La direzione viene indicata con [m1 m2 m3].

Piani cristallografici, direzioni e indici

La stessa direzione è indicata anche da un multiplo del tipo [nm1 nm2 nm3].

In un reticolo esistono infiniti filari paralleli, ciascuno definito da due punti

Per una cella primitiva la direzione [222] è quella della diagonale di corpo, ma lo è anche [111]. Per convenzione si dividono i valori mi per il massimo comune divisore, ottenendo così sempre il set più piccolo. La direzione [936] diventa quindi [312].

Filari che non passano per l’origine hanno sempre un filare parallelo centrale, passante cioè per l’origine. Se la cella non è primitiva i valori mi sono numeri razionali, esprimibili cioè come rapporti di numeri interi. La direzione corrispondente ad una diagonale di faccia in un reticolo F può essere [½½0].

Direzioni cristallografiche

L’orientazione di un piano cristallografico è definita in termini di indici di Miller (hkl). Tre nodi individuano un piano cristallografico. Se un piano incontra i tre assi cristallografici nei tre nodi (m1, 0, 0), (0, m2, 0) e (0, 0, m3), gli indici (m1, m2, m3) forniscono l’orientazione del piano. Si preferiscono però gli indici di Miller del piano, che sono numeri interi e primi fra loro, inversamente proporzionali alle intercette del piano con gli assi, cioè:

h : k : l = m1

-1 : m2-1: m3

-1

Spesso con la terna di Miller si indica una famiglia di piani. I piani di una stessa famiglia sono: 1. Paralleli tra lori 2. Equalmente spazialti Esempi di famiglie di piani

cristallografici

Piani cristallografici

Esiste una interpretazione semplice degli indici di Miller h, k e l. I piani della famiglia (hkl) dividono i lati della cella elementare: a in h parti uguali, b in k parti uguali e c in l parti uguali.

Famiglia di piani (2 3 6) a è diviso in 2 parti uguali b è diviso in 3 parti uguali c è diviso in 6 parti uguali

L’equazione della famiglia di piani è

h(x/a) + k(y/b) + l(z/c) = n. Gli indici di Miller (hkl) specificano l’orientazione del piano ed n la sua posizione rispetto all’origine.

Famiglia di piani (100) Famiglia di piani (200)

Piani cristallografici

Piani cristallografici

Gli indici di Miller di un piano cristallino sono definiti come i reciproci delle intersezioni frazionarie (con le frazioni normalizzate a numeri interi) del piano con gli assi cristallografici x, y, z.

1. Scegliere un piano che non passa per l’origine (0,0,0)

2. Determinare le intersezioni del piano rispetto agli assi cristallografici, tali intersezioni potrebbero essere anche delle frazioni.

3. Fare i reciproci di queste intersezioni 4. Normalizzare le frazioni agli interi e

determinare gli interi più piccoli

Determinazione degli indici (hkl) di Miller

010

100

230

1/2

1/3

Piani cristallografici

230

Famiglie di piani cristallografici

230

Famiglie di piani cristallografici

230

Famiglie di piani cristallografici

Facce in posizione speciale

Per quanto detto sino ad ora è possibile individuare alcune zone all’interno del piano di proiezione dove andranno a cadere facce con indici “particolari”.

Polo della faccia coincidente con l’ asse x

Quando il polo della faccia è attraversata dall’asse x, nel caso dei sistemi ortonormali (cubico, tetragonale e ortorombico) si ha che la faccia stessa sarà parallela agli assi y e z (ossia li interceterrà all’infinito).

Poiché gli indici sono inversamente proporzionali alle intercette della faccia sugli assi, ne risulta che la faccia in questione sia del tipo (h00).

A noi comunque interessa il rapporto tra gli indici è possibile quindi divere tutto per h in modo da ottenere:

(h/h 0/h 0/h) = (100)

Analogamente quando il polo della faccia sarà attraversata dall’asse y o z avremo le facce del tipo (010) e (001).

x

y

z

x

y

z

X (100)

x

y X (010)

x

y X (001)

Faccia parallela all’ asse z

x

y

z

x

y

z

In questo caso la faccia non sarà più parallela a y ma la sua intercetta con z sarà ancora infinito. Quindi potremo assegnarle i seguenti indici:

(hk0) o (kh0)

Ricordiamo che nel caso del sistema cubico vale la regola h>k>l. L’indice h va assegnato all’asse su cui la faccia stacca l’intercetta minore, in questo caso l’asse x. Quindi gli indici giusti saranno (hk0)

Se immaginiamo di inclinare leggermente la faccia verso l’asse y in modo che rimanga ancora parallela all’asse z avremo al situazione seguente:

α<45°

Faccia parallela all’ asse z

x

y

z

La faccia potrà avere sempre indici del tipo:

(hk0) o (kh0)

Ma solo nel caso del sistema cubico poiché l’indice h va assegnato all’asse che ha l’intercetta minore con la faccia, che in questo caso è l’asse y, dovremo assegnare alla faccia gli indici (kh0)

x

y

z

Se avviciniamo di molto la faccia all’asse y in modo che rimanga comunque sempre parallela all’asse z avremo al situazione seguente:

α>45°

Faccia parallela all’ asse z

x

y

z

In questo caso la faccia staccherà le stesse intercette su x e y mentre continuerà ad avere intercetta infinito su z. Quindi essa avrà indici del tipo (hh0) che potremo anche scrivere come:

(h/h h/h 0/h) = (110)

Se il polo della faccia cade su una linea equidistante dall’asse x e y:

x

y

z

α=45°

x

y

z

X (hk0)

x

y

z

X (kh0)

x

y

z

X (110)

Da quanto detto è facile capire che la circonferenza del cerchio rappresenta il luogo dove trovare le facce parallele all’asse z.

Con un analogo ragionamento si può comprendere che sull’asse x troveremo le facce parallele all’asse y, mentre sull’asse y quelle parallele all’asse x.

Altre posizioni speciali Nel caso del sistema monometrico è possibile

individuare altre posizioni speciali nella proiezione stereografica.

La circonferenza è il luogo dei punti delle facce che hanno il terzo indice uguale a zero (es. hk0, kh0, etc.).

L’asse X è il luogo dei punti con il secondo indice uguale a zero (es. h0l, l0h, etc.)

L’asse Y è il luogo dei punti con il primo indice uguale a zero (es. 0kl, 0kl, etc.)

I piani a 45° tra due assi saranno le zone dove trovare le faccie con due indici uguali. Ad es. sul piano a 45° tra x e y le facce saranno del tipo (hhk) o (kkh), sul piano a 45° tra x e z le facce saranno del tipo (hkh) o (khk), infine sul piano a 45° tra y e z le facce saranno del tipo (hkk) o (kkh).

Se il polo della faccia è attraversato da un asse ternario essa staccherà la stessa intercetta su i tre assi XYZ, quindi sarà del tipo (111).

Sistema Monometrico

X {hkl}

X {lhk}

X {klh}

Regole di permutazioni degli indici per l’asse ternario

{hkl} {lhk} {klh} {hkl} Solo per le facce nel quadrante sud-est ruotate in senso antiorario

Permutazione piano di simmetria a 45° tra l’asse X e Y

X {hlk}

X

Y

X {lhk}

Y

X

Il piano di simmetria a 45° tra l’asse X e l’asse Y scambia gli indici relativi all’asse x e y (il primo e il secondo indice).

a1

a2

Il piano a 45° tra l’asse X e l’asse Y scambia gli indici relativi all’asse X e all’asse Y (il primo e il secondo indice)

Il piano a 45° tra l’asse Y e l’asse Z scambia gli indici relativi all’asse Y e all’asse Z (il secondo e il terzo indice)

Il piano a 45° tra l’asse X e l’asse Z scambia gli indici relativi all’asse X e all’asse Z (il primo e il terzo indice)

Permutazione piani di simmetria obliqui

Permutazione piani di simmetria perpendicolare ad un asse cristallografico

Il piano perpendicolare all’asse X invertirà il segno dell’indice relativo all’asse X (il primo indice)

Il piano perpendicolare all’asse Y invertirà il segno dell’indice relativo all’asse Y (il secondo indice)

Il piano perpendicolare all’asse Z invertirà il segno dell’indice relativo all’asse Z (il terzo indice)

Operazioni per eseguire correttamente una proiezione stereografica

1. Identificare tutti gli elementi di simmetria del solido 2. Determinare la classe di simmetria e quindi il sistema cristallino.

Per es. • 4 assi ternari = cubico • Solo 1 asse quaternario = tetragonale • 3 assi binari o piani di simmetria ortogonali tra loro = ortorombico

3. Disegnare il piano di proiezione. • Nel caso del sistema cubico riportare tutti i piani di simmetria fittizi (a

tratto intermittente). 4. Orientare in maniera opportuna il solido nel piano di proiezione.

(N.B. stare attenti a non cambiare l’orientazione del solido durante l’esercizio)

5. Proiettare gli elementi di simmetria (assi a tratto intermittente e piani a tratto continuo)

6. Proiettare la prima faccia (di solito nel quadrante sud-est) 7. Usare gli elementi di simmetria per ricavare le altre facce 8. Verificare che il numero delle facce proiettate e la loro posizione

coincida con quelle del solido correttamente orientato. 9. Indicizzare le facce. Utilizzando le regole di permutazione e gli

elementi di simmetria. • Per il sistema cubico verificare le intercette delle facce con gli assi per

capire quale è l’indice maggiore, intermedio e minore in modo da poter correttamente assegnare nel giusto ordine gli indici h,k,l.

Regole di coesistenza degli elementi di simmetria morfologica

Un asse di rotazione di ordine pari, un piano di simmetria perpendicolare ad esso ed il centro di simmetria sono elementi di simmetria tali per cui la presenza di due di essi implica la presenza del terzo. Se esiste un asse binario normale ad un asse di ordine N, allora esistono altri N-1 assi binari ad angoli pari a 2p\n.

Se su di un piano di riflessione giace un asse di ordine N, allora esistono altri N-1 piani ad angoli 2π\N. Le combinazioni di assi diverse da quelle stabilite al punto b) sono solo di due tipi ed entrambi implicano la presenza di quattro assi ternari disposti ad angoli di 109°28’; in un caso essi sono combinati con tre assi binari tra loro perpendicolari e nell’altro con tre assi quaternari tra loro perpendicolari e sei assi binari.

Permutazione asse ternario su piani di simmetria perpendicolari agli assi a1, a2, a3

Permutazione asse ternario su assi di rotazione coincidenti con agli assi a1, a2, a3

(010)

(001)

(100) (001)

(100)

(010)

Permutazione asse ternario su facce perpendicolari a due degli assi a1, a2, a3

(h0l) (lh0)

(0lh)

Permutazione asse ternario su facce perpendicolari a uno degli assi a1, a2, a3

Permutazione asse ternario su piani di simmetria obliqui agli assi a1, a2, a3

Permutazione asse ternario su assi di rotazione obliqui agli assi a1, a2, a3

(101)

(110)

(011)

Permutazione asse ternario su alcune facce in posizione speciale

(hlh)

(hhl)

(lhh)

Permutazione asse ternario su alcune facce in posizione speciale

(hkl)

(lhk) (khl)

Permutazione asse ternario su facce in posizione generale

FORMA CRISTALLINA

Un cristallo è delimitato da facce appartenenti a forme geometriche semplici:

CHIUSE - cubo, ottaedro, rombododecaedro, …… APERTE - prisma, pinacoide, piramide, …..

Un cristallo può essere costituito da una sola o dalla combinazione di più forme semplici

Una forma semplice consiste di un gruppo di facce di un cristallo tra loro tutte equivalenti (su cui si misurano identici valori di una proprietà fisica), cioè tutte le facce che vengono generate dalla combinazione degli elementi di simmetria presenti nel cristallo.

Forma semplice Forma semplice Forma complessa

+ =

+ =

1 m3m

+a3

+a1

+a2

111

111

111

111

111

111

111

111

c+

a+

b+

111

111

Sviluppo di una forma semplice nelle classi cristalline 1 e m3m

Pinacoide {111}

b

a

c

Ottaedro {111}

111

a1

a2

a3

111

111 111

Forma semplice Il numero delle facce (molteplicità) che appartengono ad una

forma semplice viene determinato dalla simmetria della classe

Gli indici di Miller vengono anche usati come simboli delle forma semplice, in questo caso sono inclusi tra parentesi graffe come {hkl}, {111} ... etc. (si preferisce avere tutti gli indici positivi!).

In ognuna delle classi cristalline è presente almeno una forma che tagli tutti gli assi cristallografici con lunghezze differenti, questa è la forma generale {hkl}. Tutte le altre sono forme speciali.

Nel sistema triclino, monoclino e ortorombico la forma generale è la {111}, perchè tutti gli assi cristallografici hanno lunghezza differente.

Forma semplice Una faccia (hkl) non sarà mai

parallela o perpendicolare ad un asse o ad un piano di simmetria, indipendentemente dalla classe di simmetria.

Una forma speciale, invece consisite in facce che sono parallele o perpendicolari a qualcuno degli elementi di simmetria.

I 33 tipi di forme non cubiche Nome* N. Di Facce Nome N. Di Facce

Pedione 1 Bipiramide rombica 8

Pinacoide 2 Bipiramide trigonale 3

Doma 2 Bipiramide ditrigonale 6

Sfenoide 2 Bipiramide tetragonale 8

Prisma rombico 4 Bipiramide ditetragonale 16

Prisma trigonale 3 Bipiramide esagonale 12

Prisma ditrigonale 6 Bipiramide diesagonale 24

Prisma tetragonale 4 Trapezoedro trigonale 6

Prisma ditetragonale 4 Trapezoedro tetragonale 8

Prisma esagonale 6 Trapezoedro esagonale 12

Prisma diesagonale 12 Scalenoedro tetragonale 8

Piramide rombica 4 Scalenoedri esagonale 12

Piramide trigonale 3 Romboedro 6

Piramide ditrigonale 6 Bisfenoide rombico 4

Piramide tetragonale 4 Bisfenoide tetragonale 4

Piramide ditetragonale 8

Piramide esagonale 6

Piramide diesagonale 12

*Secondo il sistema di Groth-Rogers

Pedione: forma aperta costituita da una sola faccia

Pinacoide: forma apera costituita da due facce parallele

Forme semplici non cubiche

Doma: forma aperta costituita da due facce non parallele, simmetriche rispetto ad un piano m

Sfenoide: forma aperta costituita da due facce non parallele, simmetriche rispetto ad asse binario

Forme semplici non cubiche

Forme semplici non cubiche

Prisma: forma aperta composta da 3, 4, 6 , 8 o 12 facce, tutte parallele allo

stesso asse.

Prisma: forma aperta composta da 3, 4, 6 , 8 o 12 facce, tutte parallele allo

stesso asse.

Forme semplici non cubiche

Piramide: forma aperta composta da 3, 4, 6, 8 o 12 facce, non parallele fra

loro che si incontrano in un punto.

Forme semplici non cubiche

Bipiramide: forma chiusa composta da 6, 8, 12, 16 o 24 facce, non parallele. Si può

considerare formata da due piramidi simmetriche rispetto ad un piano di

riflessione orizzontale

Forme semplici non cubiche

Trapezoedro: forma chiusa costituita da 6, 8 o 12 facce, con le 3, 4, o 6 facce

superiori spostate rispetto alla 3, 4, o 6 facce inferiori.

Forme semplici non cubiche

Nome dell forme

Scalenoedro: forma chiusa composta da 8 o 12 facce raggruppate in coppie

simmetriche.

Romboedro: forma chiusa composta da 6

facce, con tre nella parte superiore che si

alternano con altre 3 nella parte inferiore. Le due serie sono rotate di

60°.

Forme semplici non cubiche

Bisfenoide: forma chiusa costituita da due facce superiore alternate rispetto a due

facce inferiori, ruotate di 90°.

Forme semplici non cubiche

L’ABITO di un cristallo è dato dalla forma semplice più sviluppata

Habitus cristallino e aggregati

Il primo si riferisce all’aspetto che assume il minerale in base allo sviluppo delle forme cristalline che lo compongono. Sappiamo però che i minerali sono quasi sempre costituiti da aggregati di cristalli con morfologia da euedrale a subedrale fino ad anedrale. Se le facce sono ben definite, l'abito è ben riconoscibile e si parla di abito euedrale (o idiomorfo); se le facce, invece, sono parzialmente sviluppate e l'abito è ancora riconoscibile si tratta di abito subedrale (o ipidiomorfo); se, infine, le facce non sono ben sviluppate e l'abito è completamente irregolare, l'abito prende il nome di anedrale (o allotriomorfo).

ABITO CRISTALLINO Ci sono vari tipi di abiti: - abito equidimensionale (o equante, o isometrico): se il minerale ha simmetria cubica (es. granato); - abito colonnare (o prismatico): se il minerale è abbastanza allungato in una dimensione (es. pirosseni, anfiboli, tormalina); - abito aciculare: se il minerale è esageratamente allungato in una dimensione (es. tormalina, anfiboli); - abito tabulare (o "a libro"): se il minerale è abbastanza appiattito in una dimensione (es. feldspati); - abito lamellare: se l'abito è esageratamente appiattito in una dimensione (es. miche); - abito fibroso (o asbestiforme): è una variante dell'abito tabulare (es. Serpentino); - abito a forma di lama (es. cianite); - abito "a barilotto": è poco comune (es. corindone); - abito bipiramidale (es. zolfo): consiste in due piramidi, una sopra l'altra; - cristalli "a tramoggia": quando la velocità di crescita del minerale è molto marcata (es. quarzo); - abito spatico: è caratterizzato da un'ottima sfaldatura, cioè la capacità del minerale di rompersi lungo superfici nette (es. calcite)

Letture consigliate

“Trattato di mineralogia” Carobbi - 3a edizione

Assi Cristallografici Proiezione dei cristalli La simmetria nei cristalli

Leggere: pag 21 - 85

C. KLEIN - Mineralogia, Zanichelli 2004

Morfologia cristallina Notazione cristallografica per i piani Abito cristallino Forma Nomi delle forme Pag: 180-197

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