LA PROIEZIONE STEREOGRAFICA (PARTE I)

«Una proiezione cristallina è un metodo di rappresentazione dei cristalli tridimensionali su di un piano bidimensionale. Sono possibili diversi tipi di proiezioni, tali che per ognuna sono definite regole precise e riproducibili rispetto al cristallo. Il metodo migliore per esprimere la forma di un cristallo ed è generalmente migliore di qualsiasi immagine fotografica di cristalli reali è la proiezione clinografica»

Docente: Ernesto Mesto e-mail: ernesto.mesto@uniba.it Website: www.geo.uniba.it/mesto.html Gruppo facebook: http://www.facebook.com/groups/esercitazioni.mineralogia/

Corso di laurea triennale in Scienze Naturali a.a. 2012-2013

Morfologia dei Cristalli

La maggior parte dei minerali presenti nella crosta terrestre si trovano allo stato solido cristallino, caratterizzato da regolare ordinamento atomico, discontinuo e periodico. Pochi sono, infatti, i minerali cosiddetti amorfi, ossia privi di regolare ordinamento atomico.

Nelle sostanze allo stato cristallino, la distribuzione atomica varia con la direzione; si tratta quindi di corpi anisotropi, cioè che non

presentano nelle loro diverse direzioni le medesime proprietà fisiche (conducibilità elettrica, rifrazione ecc.).

Le possibili forme macroscopiche del cristallo dipendono dalla periodictà reticolare

Morfologia dei Cristalli

In particolare, un'importante proprietà fisica, la velocità d'accrescimento, varia con la direzione in modo discontinuo: per

questo motivo le sostanze solidificandosi possono assumere, in favorevoli condizioni di genesi, forme poliedriche più o meno regolari,

costituendo quei corpi detti cristalli.

Tutti i cristalli sono corpi anisotropi mentre le sostanze amorfe (che non producono cristalli), i gas e la quasi totalità dei liquidi sono corpi

isotropi (con caratteristiche fisiche costanti in ogni direzione).

Quartz Anthophyllite Pyrite

I cristalli in genere si presentano come poliedri naturali che possiedono tipiche forme geometriche costituite da superfici piane, delle facce.

Morfologia dei Cristalli NaCl

L’accrescimento regolare, dei cristalli richiede uniformità e costanza delle condizioni ambientali, presupposti che raramente si realizzano. Infatti, molto spesso si trovano cristalli con facce diversamente sviluppate, che non possiedo-

cristallografico, questi cristalli sono considerati regolari poiché è possibile ricondurli a cristalli modello, grazie a un'ideale traslazione delle

facce parallelamente a se stesse (vedi legge della costanza dell'angolo diedro), in cui rimarrà costante il valore angolare tra le facce.

no le forme tipiche di solidi geometrici regolari. Comunque, dal punto di vista

Esaminando il diverso aspetto o àbito cristallino (habitus) è possibile ricercare delle caratteristiche particolari che rendano possibile il riconoscimento del tipo di cristallo di un minerale e la determinazione di una specifica simmetria. Il riconoscimento di una certa simmetria cristallina consente di individuare le varie specie mineralogiche, a livello morfologico. Sulla simmetria si fonda lo studio macroscopico dei cristalli. L’abito e la simmetria cristallina sono definiti in base alla disposizione spaziale di un certo numero di elementi reali (facce, spigoli e vertici) o ideali (centro, assi e piani di simmetria). La faccia di un poliedro è una porzione di piano, delimitata da una linea spezzata chiusa (poligonale). I lati del poligono (regolare o irregolare) saranno gli spigoli del poliedro solido. Il vertice di un poliedro è un punto dello spazio, individuato dall’intersezione di almeno tre facce (o di almeno tre spigoli) concorrenti.

Morfologia dei Cristalli

Morfologia dei Cristalli Relazione tra facce (F), vertici (V) e spigoli (S) di un

poliedro qualsiasi F + V = S + 2

4 + 4 = 6 +2 6 + 8 = 12 +2 5 + 5 = 8 +2

6 + 6 = 10 +2 7 + 7 = 12 +2 8 + 12 = 18 +2

Simmetria morfologia

Rotazione Riflessione Centro di simmetria Rotoinversione

Elementi di simmetria

Rotazione Riflessione

Centro di Simmetria

Rotoinversione

Il centro del solido è il punto interno al cristallo che si trova ad essere equidistante dagli elementi equivalenti del cristallo stesso (centri di facce, punti medi di spigoli, vertici). Il centro del solido può eventualmente essere anche centro di simmetria.

Centro del solido

Nel caso del tetraedro regolare il centro del solido (C) non è centro di simmetria.

Centro di simmetria Il centro di simmetria è il punto interno al cristallo che si trova ad essere equidistante dagli elementi reali equivalenti ed opposti del cristallo stesso (centri di facce opposte, punti medi di spigoli opposti, vertici opposti). Esso è sempre unico e si indica con la lettera «i». Il centro di simmetria è sempre e comunque anche centro del solido.

i

i

Nel caso del cubo e del parallelepipedo il centro del solido (C) è anche centro di simmetria (i).

Assi di rotazione Sono rette ideali che attraversano il poliedro, passano per il suo centro.Se facciamo ruotare un poliedro per 360° attorno al suo asse di rotazione, esso potrà assumere N posizioni uguali a quella di partenza, ovvero avrà un asse di ordine N.

In un cristallo gli ordini n permessi sono: 1, 2, 3, 4 e 6, per via delle limitazioni dovute alla traslazione delle cella unitaria.

Assi di rotazione

Assi di rotazione o simmetria in alcuni poliedri.

A2: Asse binario, in cui il solido si ricopre due volte in 360° di rotazione sull’asse (una ogni 180°) A3: Asse ternario, in cui il solido si ricopre tre volte in 360° di rotazione sull’asse (una ogni 120°) A4: Asse quaternario, in cui il solido si ricopre quattro volte in 360° di rotazione sull’asse (una ogni 90°) A6: Asse senario, in cui il solido si ricopre sei volte in 360° di rotazione sull’asse (una ogni 60°)

Tutti gli assi di simmetria passano per il centro del solido.

Rotoinversione (Talvolta è equivalente a altri operatori di simmetria)

Equivalente al centro di simmetria

I piani di simmetria: sono piani ideali che dividono il cristallo in due parti simmetriche, speculari l’una rispetto all’altra e che hanno lo stesso

volume. Il piano di simmetria contiene sempre il centro del solido.

Il piano di simmetria si indica con la lettera m (mirror, specchio).

Piani di simmetria

Il piano passante per i punti GDE è un piano di simmetria

Il piano passante per i punti ABED non è un piano di simmetria

La proiezione stereografica è il metodo più comune per dare una rappresentazione grafica

bidimensionale della morfologia di un cristallo

Introdotto per la prima volta da Neumann nel

1823

Proiezione stereografica

N

S

x

y

z

Piano di proiezione

Sfera di proiezione

X

y 0

-y

-X

L’asse z punta verso l’osservatore

Semi assi positivi

Semi assi negativi

Per comodità è possibile riferirsi ai 4 quadranti del piano di proiezione (cerchio di proiezione stereografica) usando i 4 punti cardinali. Quindi si avranno i quadranti NO, NE, SE e SO.

N

S

X

x

y

z Polo in proiezione

sferica

Polo in proiezione stereografica

Piano di proiezione

Sfera di proiezione

1) Si tracciano dal centro della sfera delle semirette perpendicolare ad ogni faccia e le si proietta in modo da intersecare un punto sulla superficie della sfera (polo della faccia in proiezione sferica)

2) Si proietta il punto in proiezione sferica verso il polo opposto della sfera. L’intercetta del segmento proiettato con il piano di proiezione è detto polo in proiezione sterografica.

Circonferenza massima: diametro uguale a quello della sfera

1a proprietà di una proiezione stereografica

Ogni circonferenza sulla superficie sferica rimane ancora una circonferenza sulla proiezione stereografica

Se la circonferenza si estende su entrambi gli emisferi nord e sud, essa risulta rappresentata entro il cerchio di proiezione stereografica da una coppia di archi di circonferenza

Ogni circonferenza massima sulla superficie sferica si manifesta in proiezione stereografica in uno dei tre modi: • Come circonferenza delimitante la proiezione stereografica (quella derivante

dall’intersezione della superficie sferica col piano equatoriale di proiezione). • Come coppie di archi di circonferenza, simmetrici rispetto al centro di

proiezione (così appaiono le circonferenze massime che si originano dall’intersezione della superficie sferica con un piano comune inclinato rispetto all’asse nord-sud).

• Come diametro del cerchio di proiezione stereografica (ogni circonferenza massima determinata dall’intersezione della superficie sferica con i piani passanti per l’asse nord-sud).

N

S

z

X

Y Y

X

Cerchio in proiezione stereografica

La proiezione stereografica di un cerchio sarà ancora un cerchio.

r=Rtang (α/2)

α

N

S

z

y

x

y

x

All’aumentare dell’angolo α il raggio, r, del cerchio proiettato aumenta. Esso avrà il valore massimo quando α sarà pari a 90°.

Piani di simmetria in proiezione

Un piano di simmetria coincidente col piano XY portato in proiezione coinciderà con la circonferenza del cerchio stereografico. Quando il piano è presente la circonferenza del cerchio sarà disegnato a tratto continuo, contrariamente quando esso è assente la circonferenza sarà segnata con una linea tratteggiata.

(South)

(North)

z

y

x

y

x

Piani di simmetria in proiezione sterografica

y

(South)

(North)

z

x

Un piano di simmetria coincidente col piano ZX portato in proiezione coinciderà con l’asse X del cerchio stereografico. Quando il piano è presente l’asse sarà disegnato a tratto continuo, contrariamente quando esso è assente l’asse sarà segnato con una linea tratteggiata.

y

x

Piani di simmetria in proiezione sterografica

y

(South)

(North)

z

x

Un piano di simmetria coincidente col piano ZY portato in proiezione coinciderà con l’asse Y del cerchio stereografico. Quando il piano è presente l’asse sarà disegnato a tratto continuo, contrariamente quando esso è assente l’asse sarà segnato con una linea tratteggiata.

y

x

Piani di simmetria in proiezione sterografica

y

(South)

(North)

z

x

Un piano di simmetria parallelo all’asse z e a 45° tra l’asse X e Y portato in proiezione coinciderà con una retta che dividerà in due parti uguali il piano di proiezione. A seconda di come il piano è orientato rispetto agli assi XY, la retta dividerà a metà i quadranti NE (o NO) e SO (o SE) del cerchio stereografico. Quando il piano è presente la linea sarà disegnata a tratto continuo, contrariamente quando esso è assente la linea sarà tratteggiata.

y

x

45°

x

y

x N

S x

Un cerchio che si estende tra l’emisfero settentrionale e quello meridionale della sfera di proiezione, formerà un arco di cerchio quando portato in proiezione stereografica.

X

Y

Un piano a 45° tra gli assi z e y forma un lente in proiezione stereografica. La parte del piano uscente dall’emisfero nord della sfera di proiezione è stata segnata con tratto continuo nella piano di proiezione, quella uscente dall’emisfero sud con una linea tratteggiata. La situazione sarà invertita nel caso in cui il piano di simmetria sarà orientato in modo tale che la parte presente nell’emisfero nord, una volta proiettata, cada nei quadranti NE e SE del cerchio.

PIANI DI SIMMETRIA IN PROIEZIONE STEREOGRAFICA

(south)

(north)

Y

X

(south) X

Y

Un piano parallelo all’asse Y e a 45° tra gli assi X e Z forma un lente in proiezione stereografica. La parte del piano uscente dall’emisfero nord della sfera di proiezione è stata segnato con tratto continuo nella proiezione stereografica, quello nell’emisfero sud con una linea tratteggiata. Analogamente al caso precedente la situazione risulterà invertita nel caso in cui la parte del piano di simmetria uscente dall’emisfero settentrionale fosse proiettata nei quadranti NE e NO del cerchio di proiezione.

PIANI DI SIMMETRIA IN PROIEZIONE STEREOGRAFICA (north)

Y

X

L’angolo che fanno due archi di circonferenza sulla superficie viene proiettato in grandezza sul piano di proiezione: questo significa che se tracciamo sulla superficie sferica le tangenti ai due archi di circonferenza nel loro punto d’incontro e lo stesso facciamo per i corrispondenti archi in proiezione stereografica, gli angoli tra le coppie di tangenti sono uguali.

2a Proprietà di una proiezione stereografica

(south)

(north)

Y

X

α

α

2a Proprietà delle Proiezioni Sterogtafiche

L’angolo diedro tra due punti rimane inalterato quando gli stessi sono portati in proiezione sterografica, ovvero gli angoli tra le coppie di

tangenti sono uguali

Elementi di simmetria del sistema cubico

Assi di rotazione 9 piani di simmetria perpendicolari

agli assi di ordine pari

Notare come le regole di coesistenza degli elementi di simmetria sono rispettate.

Proiezione stereografica

Piani di simmetria presenti nel cubo

Assi di rotazione

+Y -Y

+X

-X

Orientamento del solido all’interno della sfera di proiezione SISTEMA CUBICO (a = b = c, α=β=γ= 90°)

Caratterizzato da 3 assi di lunghezza uguale e ortogonali tra loro

Il solido deve essere allineato in modo che i tre assi di ordine 4 (classe di simmetria: 432, 43m, 4/m32/m) o di ordine 2 (classe di simmetria: 23, 2/m3) coincidano con la terna di riferimento della sfera di proiezione.

+a3 = +z

+a2 = +y +a1 = +z

-a1 = -z -a2 = -y

-a3 = -z

SISTEMA TETRAGONALE (a = b ≠ c, α=β=γ= 90°)

Caratterizzato da 1 asse lungo o corto (c) e 2 assi di lunghezza uguale (a1, a2). Tutti gli assi sono ortogonali tra loro.

L’asse di ordine 4 deve coincidere con l’asse z della sfera di proiezione; gli assi di ordine 2 o i piani di simmetria devono rispettivamente coincidere o essere paralleli agli assi x e y della sfera di proiezione.

Orientamento del solido all’interno della sfera di proiezione

SISTEMA ORTOROMBICO (a ≠ b ≠ c, α=β=γ= 90°)

Caratterizzato da tre assi di lunghezza diversa (a, b, c); tutti ortogonali tra loro.

I tre assi devono coincidere con la terna di riferimento della sfera di proiezione; per il gruppo puntuale mm2, l’asse z della sfera di proiezione deve coincidere con l’asse di ordine 2, mentre gli assi x e y devo essere normali ai piani m.

Orientamento del solido all’interno della sfera di proiezione

Letture consigliate

“Trattato di mineralogia” Carobbi - 3a edizione

Assi Cristallografici Proiezione dei cristalli La simmetria nei cristalli

Leggere: pag 21 - 85

C. KLEIN - Mineralogia, Zanichelli 2004

Morfologia cristallina Notazione cristallografica per i piani Abito cristallino Forma Nomi delle forme Pag: 180-197

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