Corso di Dinamica delle Strutture

Dispense - parte #4

A.A. 2015∼2016

Versione 1.0.1

Indice

1 Il Modello di Trave 1D ad Asse Rettilineo. 21.1 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Velocita e Deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Relazioni Costitutive 52.1 Equazioni di bilancio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Bilancio negli spostamenti: le equazioni della linea elastica 73.0.1 Vincolo elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1 Energia elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Vibrazioni longitudinali nella trave 104.0.1 Propagazione di onde armoniche assiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.0.2 Analisi modale per le vibrazioni assiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5 La trave indeformabile a taglio ed a rigidezza costante 125.1 Indeformabilita a taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.2 Propagazione di onde armoniche flessionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.3 Analisi modale per le vibrazioni flessionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.3.1 Doppia cerniera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.3.2 Trave libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.3.3 Doppio incastro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.3.4 Mensola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.4 Ortogonalita dei modi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.5 Il problema ai valori iniziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.6 Vibrazioni forzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.6.1 Impatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.6.2 Carico mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

z z z

1

1 Il Modello di Trave 1D ad Asse Rettilineo.

Nel modello di trave che verra presentato, il corpo materiale trave e un segmento rettilineo:B = (0, L); il suo bordo e costituito da due punti, gli estremi del segmento. Il ‘volume’ e dunquela lunghezza del segmento, mentre il bordo non ha area. Scelta un’ascissa lungo il segmento,ogni punto della trave risulta individuato da una sola coordinata scalare, che indicheremo conil simbolo s, vedi Fig. (1).

A B

L

s = 0 s s = L

Figura 1: Trave 1D ad asse rettilineo. Il bordo della trave, evidenziato con due punti neri, ecostituito dai punti A e B; la trave e lunga L, ed e stata scelta un’ascissa orientata da sinistra adestra. Si noti che l’ascissa s orienta la trave; con questa scelta: A e il primo punto, B l’ultimo.

1.1 Cinematica

Il modello di trave deformabile che presentiamo considera ogni singolo punto della trave comeun corpo rigido: dunque, ogni punto e dotato di 6 gradi di liberta, 3 traslazioni e 3 rotazioni,che ne descrivono l’assetto. Per meglio comprendere il significato cinematico della rotazione,conviene pensare al corpo trave come ad un corpo composto da una linea d’asse e da sezioniortogonali all’asse; il campo di spostamento serve per posizionare l’asse, quello di rotazione perorientare le sezioni in modo indipendente dall’asse; la Fig. 2 illustra quanto detto per un casopiano.

Nel seguito, ci limitiamo a considerare sistemi piani, ed i gradi di liberta si riducono a 3: perdescrivere la configurazione della trave avremo dunque bisogno di tre campi scalari, due per ilcampo di spostamento ed uno per la rotazione; e importante aggiungere che i 3 campi dovrannoessere campi continui: questa richiesta rende il nostro modello di trave una cosa diversa daun collezione di infiniti corpi rigidi (zero-dimensionali) allineati uno accanto all’altro. Inoltre,tratteremo solo spostamenti e rotazioni elementari (detti anche ‘piccoli’), ossia, realizzati da unatto di moto durante un intervallo di tempo elementare: indicati con v e ω una velocita ed unavelocita angolare, rispettivamente, la cinematica elementare e definita da

du = v dt , spostamento elementare dϕ = ω dt , rotazione elementare ; (1)

nel seguito, per semplificare la notazione, ometteremo sistematicamente il simbolo d. E utileconsiderare una base locale formata dai versori n e ?n, rispettivamente trasversale e tangentealla trave; le rotazioni sono sempre considerate positive se antiorarie. Fissata la base locale, la

2

asse

fibra

A B

xA xB

Figura 2: il corpo materiale trave. Poiche ogni punto e visto come un corpo rigido, esso oltreche una posizione avra anche un assetto. Tale informazione puo essere visualizzata pensandoalla trave come ad un corpo costituito da un’asse e da fibre ortogonali ad esso. In alto, con lineatratteggiata, abbiamo la configurazione di riferimento; in basso, con linea continua, abbiamouna possibile configurazione deformata: l’asse e rimasto rettilineo, ma si e allungato; le fibrenon sono piu ortogonali all’asse. I punti A e B occupano le posizioni xA e xB; si noti anche chela distanza tra i punti evidenziati e variata in modo non uniforme.

cinematica della trave viene descritta dai campi

u(s, t) , spostamento assiale;

v(s, t) , spostamento flessionale o trasversale;

ϕ(s, t) , rotazione.

(2)

Per effetto del moto, il punto dell’asse s occupera al tempo t una posizione x data da

x = s+ u(s, t) ? n + v(s, t)n . (3)

?n

n

ϕ

A Bs

x

uB

vB

ϕB

u(s, t)

v(s, t)

ϕ(s, t)

Figura 3: cinematica delle trave: ogni punto s puo subire uno spostamento; la fibra per spuo inoltre ruotare.

1.2 Velocita e Deformazione

Denotiamo come al solito con il punto la derivata rispetto al tempo; la derivazione rispetto ads sara indicata con l’apice; a partire dalle (2) si definiscono le seguenti velocita

u(s, t) , velocita assiale; v(s, t) , velocita trasversale; ϕ(s, t) , velocita di rotazione. (4)

3

Si definiscono inoltre le seguenti misure di deformazione, dette anche equazioni di congruenza:

ε(s) = u′(s) , deformazione assiale;

γ(s) = v′(s) + ϕ(s) , deformazione di taglio o scorrimento;

χ(s) = ϕ′(s) , incurvamento.

(5)

La deformazione assiale descrive l’allungamento dell’asse nella direzione tangente all’asse stesso;ad esempio, consideriamo una trave di lunghezza Lo soggetta ad una deformazione ε costante:possiamo scrivere

u′(s) = ε ⇒∫ Lo

0u′(s) ds =

∫ Lo

0ε ds ⇒ u(Lo)− u(0) = εLo . (6)

Dunque, la trave deformata avra una nuova lunghezza L data da

L = Lo + u(Lo)− u(0) = Lo (1 + ε) . (7)

Dalla (7) discende la seguente interpretazione di ε

ε =L− LoLo

=variazione di lunghezza

lunghezza iniziale. (8)

La deformazione assiale viene anche misurata dal rapporto tra L e Lo

λ = 1 + ε =L

Lo=

lunghezza finale

lunghezza iniziale. (9)

Per interpretare la deformazione di taglio, notiamo che le scelte fatte per il sistema di riferimentolocale implicano che, data una trave orizzontale, v > 0 corrisponde ad uno spostamento versoil basso, e v′ > 0 ad una rotazione oraria della tangente. Dunque, la deformazione di taglioconfronta la rotazione ϕ della fibra verticale (positiva se antioraria), con la rotazione v′ dellatangente all’asse della trave (positiva se oraria): γ misura di quanto l’angolo tra fibra e tangentee variato rispetto alla configurazione di riferimento. In particolare se fibra e tangente rimangonoa π/2, abbiamo ϕ = −v′ e γ = 0, vedi Fig. 4.

s

v

v′ > 0

ϕ < 0

s

v

v′ > 0

ϕ = −v′

Figura 4: scorrimento: a sinistra la fibra e piazzata con una rotazione ϕ qualsiasi, e risultanon piu ortogonale all’asse; a destra la rotazione e subordinata allo spostamento trasversale,ossia, ϕ = −v′, e ruota dunque come la tangente all’asse.

Infine, l’incurvamento χ = ϕ′ misura la rotazione relative tra le fibre; nel caso in cui tutte lefibre ruotassero uniformemente si avrebbe χ = 0. Se il moto e rigido, abbiamo ε = γ = χ = 0.Per quanto riguarda le dimensioni fisiche, ricordiamo che

[u ] = [ v ] = L , [ϕ ] = 1 , [d

ds] =

1

L; [

d

dt] =

1

T; (10)

dunque, dalle (4, 5) discende

[ u ] = [ v ] = [ ϕ ] =L

T, [ ε ] = 1 , [ γ ] = 1 , [χ ] =

1

L. (11)

4

2 Relazioni Costitutive

Come al solito, le azioni agenti sul corpo possono essere suddivise in: azioni interne, esternee d’inerzia. Poiche il modello di trave considerato ha tre descrittori cinematici, ci saranno treazioni esterne (tre tipi di carichi), tre interne (dette caratteristiche della sollecitazione), e treazioni di inerzia; abbiamo:

Azioni Nome Analisi dimensionale

Esterne: Forze: p(s, t) , carico assiale, [p] = F/L ;

q(s, t) , carico trasversale, [q] = F/L ;

Coppia: m(s, t) , coppia distribuita, [m] = F L/L = F ;

Interne: Forze: N(s, t) , sforzo normale, [N ] = F ;

T (s, t) , sforzo di taglio, [T ] = F ;

Coppia: M(s, t) , momento flettente, [M ] = F L ;

Inerzia: Forze: f ineu , inerzia assiale, [f ineu ] = F/L ;

f inev , inerzia trasversale, [f inev ] = F/L ;

Coppia: cineϕ , inerzia rotazionale, [cineϕ ] = F ;

(12)

Si noti che le azioni esterne e quelle d’inerzia sono delle azioni specifiche, ossia, azioni per unitadi lunghezza; dunque i carichi di tipo forza sono delle forze per unita di lunghezza (dimensionefisica F/L), mentre i carichi di tipo coppia sono delle coppie per unita di lunghezza (dimensionefisica F).

Le azioni esterne rappresentano i carichi e possono essere controllate a piacere; le azioniinterne e quelle d’inerzia non possono essere controllate ma dipendono sia dal moto che dalmateriale di cui e fatta la trave.

Le relazioni costitutive forniscono le relazioni tra quantita cinematiche e dinamiche; nelnostro caso abbiamo bisogno di tre relazioni per le azioni interne e tre per quelle d’inerzia. Perquanto riguarda le azioni interne, si assume un materiale elastico lineare e si consideriamo dellerelazioni lineari che legano, punto per punto, le tre misure di deformazione (ε, γ, χ) alle tresollecitazioni (N,T,M):

N(s, t) = C(s) ε(s, t) , T (s, t) = G(s) γ(s, t) , M(s, t) = B(s)χ(s, t) . (13)

Le tre funzioni C(s), G(s), e B(s), vengono dette rispettivamente rigidezza assiale, rigidezza altaglio e rigidezza flessionale. Per quanto riguarda le dimensioni fisiche, essendo ε e γ adimensio-nali, e χ l’inverso di una lunghezza, le prime due rigidezze avranno le stesse dimensioni fisichedelle rispettive sollecitazioni, mentre la rigidezza flessionale avra le dimensioni di una coppia peruna lunghezza:

[C ] = F , [G ] = F , [B ] = F L2 . (14)

L’inverso della rigidezza viene detta flessibilita, e fornisce la deformazione a partire dalla solle-citazione; dalla (13) si ottiene

ε(s, t) =1

C(s)N(s, t) , γ(s, t) =

1

G(s)T (s, t) , χ(s, t) =

1

B(s)M(s, t) . (15)

5

Per quanto riguarda le azioni d’inerzia, sappiamo che le forze e coppie inerziali dipendono dalladerivata seconda dello spostamento e della rotazione, rispettivamente:

f ineu (s, t) = µ(s) u(s, t) , f inev (s, t) = µ(s) v(s, t) , cineϕ (s, t) = J ϕ(s, t) . (16)

Le funzioni µ(s), J(s) vengono dette rispettivamente massa inerziale e momento inerziale. Lesei funzioni costitutive appena introdotte possono essere ricavate a partire dalla caratteristi-che materiali e geometriche di un solido 3D a forma di trave, ossia, la cui geometria sia benrappresentata da un asse ed una sezione.

Caratteristiche Materiali: E modulo elastico, [E] = F/L2 = E/L3 ;

ρ densita, [ρ] = M/L3 ;

Caratteristiche Geometriche: A area sezione, [A] = L2 ;

I momento d’inerzia, [I] = L4 ;

κ fattore di forma, [κ] = 1

(17)

A partire dalle caratteristiche materiali e geometriche indicate, abbiamo:

C(s) = E(s)A(s) , G(s) = κE(s)A(s) , B(s) = E(s) I(s) ;

µ(s) = ρ(s)A(s) , J(s) = ρ(s) I(s) .(18)

2.1 Equazioni di bilancio

Le equazioni di bilancio sono di due tipi: un gruppo di equazioni differenziali , valide in ogni puntointerno di B, ed un gruppo di equazioni algebriche valide al bordo. Le equazioni differenziali,dette anche equazioni indefinite di equilibrio o equazioni di bilancio locali, sono le seguenti tre:

N ′(s, t) + p(s, t) = f ineu bilancio delle forze specifiche assiali;

T ′(s, t) + q(s, t) = f inev bilancio delle forze specifiche trasversali;

M ′(s)− T (s) +m(s) = cineϕ bilancio delle coppie specifiche .

(19)

Osservazione Le equazioni di bilancio delle forze specifiche trasversali e delle coppie specifichesono accoppiate tra loro: il taglio T compare in entrambe le equazioni; per tale motivo, esse vannorisolte contemporaneamente. Al contrario, il bilancio delle forze specifiche assiale e indipendentedalle altre equazioni e puo essere trattato da solo. �Alle equazioni di bilancio differenziali vanno aggiunte le seguenti equazioni di bilancio algebrichevalide sui due punti del bordo:

NB = nB , NA = −nA bilancio delle forze assiali;

TB = tb , TA = −tA bilancio delle forze trasversali;

MB = cb , MA = −cA bilancio delle coppie;

(20)

Il segno negativo nel punto A discende dal fatto che le azioni esterne vengono rappresentatesempre nella stessa base, coincidente con quella usata per le azioni interne agenti in B, ultimopunto del bordo; per le azioni interne agenti in A, primo punto del bordo, si usa una base conorientamento opposto, vedi Fig. 5, dove le sollecitazioni al bordo sono state disegnate accantoalle corrispondenti azioni.

6

?n

n

ϕ

A B

q(s)

m(s)

p(s)

cA

tA

nA

MA

TA

NA

cB

nB

tB

MB

NB

TB

Figura 5: Azioni specifiche e azioni al bordo agenti su una trave di estremi A e B. In alto adestra e riportato il sistema di riferimento per le forze e le coppie.

3 Bilancio negli spostamenti: le equazioni della linea elastica

Inserendo le relazioni costitutive (13, 16) nelle equazioni di bilancio (19) e (20), si ottengono lecosı dette equazioni della linea elastica, ossia, delle equazioni di bilancio formulate in terminidelle variabili cinematiche. Le equazioni di bilancio locali diventano:

[C(s)u′(s, t)]′ + p(s, t) = µ(s) u(s, t) forze specifiche assiali;

[G(s) (v′(s, t) + ϕ(s, t))]′ + q(s, t) = µ(s) v(s, t) forze specifiche trasversali;

[B(s)ϕ′(s, t)]′ −G(s) [v′(s, t) + ϕ(s, t)] +m(s, t) = J(s) ϕ(s, t) coppie specifiche;(21)

sui punti del bordo si hanno sempre informazioni cinematiche, oppure dinamiche; le equazioni(21) sono quindi corredate da condizioni al bordo sul moto o sulle azioni in cui compaiono sempree solo variabili cinematiche:

informazioni cinematiche informazioni dinamiche

uA = uA(t) , uB = uB(t) CA u′A = −nA(t) , CB u

′B = nB(t)

vA = vA(t) , vB = vB(t) GA (v′A + ϕA) = −tA(t) , GB (v′B + ϕB) = tB(t)

ϕA = ϕA(t) , ϕB = ϕB(t) BA ϕ′A = −cA(t) , BB ϕ

′B = cB(t) .

(22)

Infine, alle condizioni al contorno (22) vanno aggiunte le condizioni iniziali sui campi cinematici:

u(s, 0) = uo(s) , v(s, 0) = vo(s) , ϕ(s, 0) = ϕo(s) configurazione iniziale;

u(s, 0) = uo(s) , v(s, 0) = vo(s) , ϕ(s, 0) = ϕo(s) velocita iniziale;(23)

3.0.1 Vincolo elastico

Un tipo di vincolo importante, che accoppia cinematica e dinamica, e il vincolo elastico, ossia,un vincolo in grado di erogare un’azione proporzionale al moto:

ni = −Ku ui , ti = −Kv vi , ci = −Kφ ϕi , (24)

7

dove i = A,B indica il punto del bordo, e Ku, Kv e Kφ sono le rigidezze del vincolo elastico. Inquesto caso la condizione al bordo sara una combinazione lineare dei due tipi visti in (22):

Vincolo in A Vincolo in B

nA = −Ku uA ⇒ CA u′A = Ku uA , nB = −Ku uB ⇒ CB u

′B = −Ku uB ;

tA = −Kv vA ⇒ GA (v′A + ϕA) = Kv vA , tB = −Kv vB ⇒ GB (v′B + ϕB) = −Kv vB ;

cA = −Kφ ϕA ⇒ BA ϕ′A = KA ϕA , cB = −Kφ ϕB ⇒ BB ϕ

′B = −Kφ ϕB .

(25)

Osservazione #1 E’ di fondamentale importanza notare che le equazioni della linea elastica, siaquelle differenziali (21) che quelle algebriche al bordo (22), sono equazioni lineari: la soluzione,ossia, il moto, dipende linearmente dai dati, ossia, dai carichi e dalle condizioni al bordo.

Cio deriva dal fatto che sono lineari i tre gruppi di equazioni che abbiamo concatenatotra loro: le equazioni di bilancio (sollecitazioni 7→ carichi), quelle costitutive (deformazioni 7→sollecitazioni) e quelle di congruenza (moto 7→ deformazioni):

Congruenza Costitutive Bilanciomoto 7→ deformazioni ↔ sollecitazioni 7→ carichi .

(26)

Il problema tipico della linea elastica e invertire il percorso: partire dai carichi e trovare il moto.La relazione costitutiva e facilmente invertibile (si tratta di una relazione algebrica); le altrerelazioni sono differenziali (sono derivazioni) e invertirle e piu complicato (occorre integrare). Ilproblema e comunque lineare, e cio implica che la soluzione corrispondente ad una combinazionelineare di dati e costituita dalla combinazione lineare delle soluzioni: sia di il dato ed si lacorrispondente soluzione; allora, al dato α1 d1 + α2 d2 + · · · + αn dn corrisponde la soluzioneα1 s1 + α2 s2 + · · · + αn sn. Questa importante proprieta, tipica dei problemi lineari, consentedi calcolare gli effetti di varie combinazioni di dati agenti su un dato sistema, risolvendo unproblema semplice per volta e sommando le soluzioni. Tale proprieta e detta anche principio disovrapposizione egli effetti.

Osservazione #2 Il problema della linea elastica viene risolto con il consueto algoritmo giavisto per i sistemi discreti, con la differenza che ora va considerata anche la propagazione deidisturbi e vanno soddisfatte le condizioni al contorno:

1. Discussione dell’equazione omogenea;

2. Propagazione onde armoniche;

3. Ricerca dei modi (o forme modali) compatibili con le condizioni al contorno;

4. Rappresentazione della soluzione come prodotto dei modi per la modulazione temporale;

5. Uso delle condizioni iniziali;

6. Discussione dell’equazione non omogenea e proiezione dei carichi sui modi.

8

3.1 Energia elastica

Le relazioni costitutive lineari che abbiamo scelto garantiscono l’esistenza di una energia elasticaspecifica, ossia, di una energia elastica per unita di lunghezza, che indicheremo con ψ; una travecaratterizzata da questa risposta costitutiva viene detta trave elastica. Dalle (13) discende laseguente rappresentazione della funzione energia

ψ(s) =1

2(C(s) ε2(s) +G(s) γ2(s) +B(s)χ2(s) ) . (27)

Verifichiamo ora che la funzione proposta soddisfi i requisiti definitori dell’energia: la derivatatemporale di ψ deve eguagliare la potenza spesa dalle azioni interne lungo un moto effettivamenterealizzato; abbiamo:

ψ(s) = C(s) ε(s) ε(s) +G(s) γ(s) γ(s) +B(s)χ(s) χ(s)

= N(s) ε(s) + T (s) γ(s) +M(s) χ(s)

= potenza specifica spesa da (N,T,M) su (ε, γ, χ) .

(28)

Si noti che l’energia elastica appare composta da tre parti indipendenti tra loro; in realta, gliultimi due addendi sono accoppiati: ricordando che γ = v′ + ϕ si ottiene

T (s) γ(s) +M(s) χ(s) = T (s) v′(s) + T (s) ϕ(s) +M(s) ϕ′(s) . (29)

Dunque, il taglio contribuisce all’energia elastica associato al moto rotatorio delle sezioni ϕ.

9

4 Vibrazioni longitudinali nella trave

Come gia detto, le equazioni del bilancio trasversale e delle coppie sono sempre accoppiate traloro e vanno risolte insieme; le equazioni di bilancio assiali sono invece disaccoppiate dalle altredue e possono essere risolte separatamente dalle altre. Ci occuperemo ora del solo problemaassiale che riscriviamo per comodita.

[C(s)u′(s, t)]′ + p(s, t) = µ(s) u(s, t) bilancio forze specifiche assiali;

CA u′A = −nA(t) , CB u

′B = nB(t) condizioni al bordo dinamiche;

uA = uA(t) , uB = uB(t) condizioni al bordo cinematiche;

u(s, 0) = uo(s) , u(s, 0) = uo(s) condizioni iniziali.

(30)

Consideriamo una trave con rigidezza assiale C e densita µ costante; il bilancio delle forzespecifiche si riscrive

C u′′ + p = µ u ⇒ C

µu′′ +

p

µ= u . (31)

L’equazione (31) e l’equazione delle onde; il rapporto C/µ fornisce la velocita di propagazionedelle onde longitudinali. Usando le relazioni (18), abbiamo

C

µ=E A

ρA=E

ρ= c2o , [co] =

F

L2/M

L3=M L

T 2

1

L2

L3

M=

(L

T

)2

. (32)

L’equazione (31) si riscrive in genere nel seguente modo

c2o u′′ + p = u , con p = p/µ carico riscalato (33)

4.0.1 Propagazione di onde armoniche assiali

La versione omogenea dell’equazione (31) puo essere riscritta come segue

u′′(s, t) =1

c2ou(s, t) , (34)

La (34) e l’equazione delle onde, e co ha le dimensioni di una velocita. Per stabilire quali sianole condizioni per avere propagazione di onde armoniche, usiamo la rappresentazione

u(s, t) = A exp[i(γ s− ω t)] = A exp[iγ (s− ω

γt)] , (35)

che corrisponde ad un’onda armonica con velocita di fase c = ω/γ. Le derivate rispetto ad s e tsono immediate da calcolare:

v′ = (i γ) v , v′′ = (i γ)2 v , v = (−i ω) v , v = (−i ω)2 v . (36)

Sostituendo queste derivate nella (49) si ottiene

γ2 − ω2

c2o= 0 ⇒ γ = ± ω

co⇒ c =

ω

γ= ± co . (37)

Ai valori reali di γ corrispondono delle onde che viaggiano nei due versi ±s con velocita costanteco; essendo co costante, onde con numeri d’onda diversi viaggiano alla stessa velocita senzadispersione.

10

4.0.2 Analisi modale per le vibrazioni assiali

Si cercano soluzioni della (33) del tipo:

u(s, t) = U(s)T (t) con U(s) forma e T (t) modulazione nel tempo (38)

Inserendo questa ipotesi nella versione omogenea (con carichi nulli) della (33), si ottiene:

c2o U′′(s)T (t) = U(s) T (t) ⇒ c2o

U ′′(s)

U(s)=T (t)

T (t). (39)

La relazione (40) deve valere per ogni punto s e in ogni tempo t; cio e possibile solo se i duerapporti sono pari ad una costante; tale costante rappresenta una pulsazione al quadrato e siindica con il simbolo −ω2:

c2oU ′′(s)

U(s)=T (t)

T (t)= cost = −ω2 ⇒ U ′′(s) +

(ω

co

)2

U(s) = 0 , T (t) + ω2 T (t) = 0 . (40)

Il rapporto ω/co rappresenta la ‘pulsazione spaziale’, in quanto ha per la funzione U(s) lo stessoruolo che ha la pulsazione ω per la funzione T (t); tale rapporto viene chiamato numero d’onda:

γ =ω

co, numero d’onda; ω = co γ , equazione di dispersione. (41)

11

5 La trave indeformabile a taglio ed a rigidezza costante

5.1 Indeformabilita a taglio

Molto spesso l’energia associata all’incurvamento χ e molto maggiore di quella associata allealtre due deformazioni ε e γ:

1

2B(s)χ2(s) >>

1

2G(s) γ2(s) ∼ 1

2C(s) ε2(s) ; (42)

inoltre, il contributo all’energia delle deformazioni assiali e sempre disaccoppiato dagli altridue contributi, ossia, possiamo caricare una trave in modo da far comparire solo sollecitazioniassiali, ma non e possibile realizzare solo taglio senza momento flettente o viceversa: taglio emomento sono sempre accoppiati. Per tali motivi, in presenza di taglio e momento, e possibiletrascurare il contributo della deformazione di taglio rispetto a quello dell’incurvamento; taleipotesi viene resa esplicita definendo la trave indeformabile al taglio, e richiedendo γ = 0. Taleipotesi semplificativa ha alcune notevoli conseguenze, sia cinematiche che dinamiche:

1. γ = v′ + ϕ = 0 implica v′ = −ϕ: lo spostamento trasversale v e la rotazione ϕ non sonopiu due descrittori cinematici indipendenti, ma sono legati uno all’altro, vedi Fig. (4); lefibre rimangono ortogonali alla linea d’asse;

2. la relazione T = Gγ tra taglio e scorrimento perde di significato: uno scorrimento chetende a zero, γ → 0, implica una rigidezza al taglio che diventa infinita, G =→ ∞. Iltaglio T diventerebbe allora il prodotto tra zero e infinito.

3. Il taglio T e diverso da zero, e non e piu legato al moto; esso assume il ruolo di reazionevincolare: e proprio il taglio l’azione dinamica che garantisce il mantenimento del vincolocinematico γ = 0.

4. χ = ϕ′ = −v′′: l’incuvamento χ risulta direttamente legato allo spostamento v.

5. M = B χ = −B v′′: ll momento flettente dipende dallo spostamento trasversale.

Riassumendo quanto detto, abbiamo

G→∞ , γ → 0 ⇒ v′ = −ϕ , χ = −v′′ , M = −B v′′ , T e una reazione vincolare.(43)

Nel caso di trave indeformabile al taglio non e possibile calcolare la sollecitazione di taglio apartire dalle deformazioni, e non si possono riscrivere le equazioni di bilancio (19)2,3 in terminidelle variabili cinematica come fatto per ottenere le (21). Il modo di procedere e il seguente: sirappresenta T ′ in termine delle altre azioni usando l’equazione di bilancio delle forze trasversali,e si deriva la equazione di bilancio del momento per far comparare T ′ e .

T ′(s, t) = f inev − q(s, t) bilancio delle forze specifiche trasversali;

M ′′(s)− T ′(s) +m′(s) = (cineϕ )′ derivata del bilancio delle coppie specifiche.

⇒ M ′′(s) +m′(s) = f inev − q(s, t) + (cineϕ )′ . (44)

L’ultima equazione puo essere riscritta in termini del solo spostamento v

[−B v′′]′′ +m′(s) = µ v − q(s, t)− (J v′)′ . (45)

12

Ci occuperemo ora del problema semplificato assumendo B e µ costanti, m′ = 0 e (J v′)′ = 0; siottiene il classico problema flessionale della linea elastica:

B viv(s, t) + µ v(s, t) = q(s, t) , in (A,B)× (0, T ) , (46)

corredata dalle condizioni al bordo su v e le sue derivate fino al terzo ordine:

informazioni cinematiche informazioni dinamiche

vA = vA(t) , vB = vB(t) −B v′′′A = −tA(t) , −B v′′′B = tB(t)

ϕA = −v′A(t) , ϕB = −v′B(t) −B v′′A = −cA(t) , −B v′′B = cB(t) .

(47)

e dalle condizioni iniziali su v e su v:

v(s, 0) = vo(s) , v(s, 0) = vo(s) . (48)

5.2 Propagazione di onde armoniche flessionali

La versione omogenea dell’equazione (46) puo essere riscritta come segue

viv(s, t) +1

a2v(s, t) = 0 , with a2 =

B

µ=E I

ρA, [a] =

L2

T. (49)

La (49) non e l’equazione delle onde ed a non ha le dimensioni di una velocita. Per stabilirequali siano le condizioni per avere propagazione di onde armoniche, usiamo la rappresentazione

v(s, t) = A exp[i(γ s− ω t)] = A exp[iγ (s− ω

γt)] , (50)

che corrisponde ad un’onda armonica con velocita di fase c = ω/γ. Le derivate rispetto ad s e tsono immediate da calcolare:

viv = (i γ)4 v , v = (−i ω)2 v . (51)

Sostituendo queste derivate nella (49) si ottiene

γ4 − ω2

a2= 0 ⇒ γ = ±

√ω

aor γ = ± i

√ω

a⇒ c =

ω

γ= ± a γ . (52)

Ai valori reali di γ corrispondono delle onde che viaggiano nei due versi ±s, mentre ai valoriimmaginari corrispondono vibrazioni che non si propagano; la relazione c = ± a γ e detta curvadi dispersione e mostra che onde con numero d’onda diverso viaggiano a velocita diversa. Pertale motivo, la forma di una generica perturbazione iniziale viene dispersa nel tempo; in Fig. 6si vede come lo stesso disturbo iniziale viaggia non distorto nel caso dell’equazione delle onde,mentre si disperde subito nel caso dell’equazione flessionale. La relazione di dispersione trovataimplica che la velocita di propagazione c cresca indefinitamente al crescere del numero d’onda;cio non avviene negli esperimenti reali e dipende dalle semplificazioni introdotte nel modello ditrave.

13

Figura 6: Propagazione di un disturbo iniziale gaussiano u(s, 0) = exp(−s2) nel caso dell’equa-zione delle onde (sinistra) e della trave flessionale (destra). Nel primo caso il disturbo viaggiainvariato, nel secondo la sua forma e subito dispersa in quanto ogni componente viaggia condiversa velocita.

5.3 Analisi modale per le vibrazioni flessionali

Si cercano soluzioni della (46) del tipo:

v(s, t) = V (s)T (t) con U(s) forma e T (t) modulazione nel tempo (53)

Inserendo questa ipotesi nell’equazione omogenea (49), si ottiene:

a2V iv(s)

V (s)= − T (t)

T (t)= ω2 . (54)

La relazione (54) deve valere per ogni punto s e in ogni tempo t; cio e possibile solo se i duerapporti sono pari ad una costante; tale costante rappresenta una pulsazione al quadrato e siindica con il simbolo ω2, dalla relazione precedente si ricavano due equazioni disaccoppiate, unaper la V (s) e l’altra per la T (t):

V iv(s) + γ4 V (s) = 0 , + 4 condizioni al contorno,

T (t) + ω2 T (t) = 0 , + 2 condizioni iniziali,

con γ4 =ω2

a2, relazione tra numero d’onda e pulsazione.

(55)

Le due equazioni per V (s) e T (t) hanno come soluzione generale le ormai note combinazionilineari di funzioni armoniche:

V (s) = c1 sin(γ s) + c2 cos(γ s) + c3 sinh(γ s) + c4 cosh(γ s) ,

T (t) = A cos(ω t) +B sin(ω t) .(56)

La V (s) ammette anche una rappresentazione alternativa:

V (s) = d1 (cos(γ s) + cosh(γ s)) + d2 (cos(γ s)− cosh(γ s))

+d3 (sin(γ s) + sinh(γ s)) + d4 (sin(γ s)− sinh(γ s)) .(57)

Le condizioni al bordo consentono di determinare il numero d’onda γ e tre delle quattro costantici, o di; le condizioni iniziali forniscono il valore delle rimanenti costanti. Nei prossimi paragrafirisolveremo in modo esplicito alcuni casi notevoli di condizioni al contorno.

14

5.3.1 Doppia cerniera

Indichiamo con L la lunghezza della trave; nel caso di cerniera a destra e sinistra, abbiamo

c.c. cinematiche: V (0) = 0 , V (L) = 0 ; c.c. dinamiche: V ′′(0) = 0 , V ′′(L) = 0 . (58)

Le 4 condizioni al contorno costituiscono un sistema di 4 equazioni nelle 4 incognite ci:sin(γ 0) cos(γ 0) sinh(γ 0) cosh(γ 0)

sin(γ L) cos(γ L) sinh(γ L) cosh(γ L)

−γ2 sin(γ 0) −γ2 cos(γ 0) γ2 sinh(γ 0) γ2 cosh(γ 0)

−γ2 sin(γ L) −γ2 cos(γ L) γ2 sinh(γ L) γ2 cosh(γ L)

c1

c2

c3

c4

=

0

0

0

0

(59)

Il sistema precedente determina tre costanti in modo univoco, c2 = c3 = c4 = 0, e si riduce aduna sola equazione che fornisce la soluzione banale c1 = 0, oppure la soluzione non banale perdeterminati valori di γ: γ

c1 sin(γ L) = 0 ⇒ c1 = 0 OR γ = nπ

L. (60)

Per la trave con doppia cerniera abbiamo infiniti modi (o forme modali) Vn e modulazionitemporali Tn date da

Vn(s) = sin(γn s) , γn = nπ

L, Tn(s) = An cos(ωn t) +Bn sin(ωn t) , ωn = a

(nπL

)2, (61)

La soluzione generale e data da

v(s, t) =∑n

sin(γn s) [An cos(ωn t) +Bn sin(ωn t) ] . (62)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−2

−1

0

1

2

s/L

Vi(s)

=si

n(γis)

I modeII mode

III mode��� ��� ��� ��� ���

-�

�

�

�

Figura 7: Primi modi flessionali per la trave su doppio appoggio; i puntini denotano i puntinodali (sinistra). Primi modi flessionali per la mensola (destra).

5.3.2 Trave libera

Nel caso di trave libera a destra e sinistra, abbiamo

c.c. dinamiche: V ′′(0) = 0 , V ′′(L) = 0 , V ′′′(0) = 0 , V ′′′(L) = 0 . (63)

15

Con queste condizioni al contorno la forma (57) e piu utile e fornisce immediatamente d2 = d4 =0; le rimanenti 2 condizioni al contorno costituiscono un sistema di 2 equazioni nelle 2 incognited1 e d3: (

cos(γ L)− cosh(γ L) sin(γ L)− sinh(γ L)

sin(γ L) + sinh(γ L) − cos(γ L) + cosh(γ L)

) (d1

d3

)=

(0

0

)(64)

Per avere una soluzione non banale, il determinante del sistema precedente deve essere nullo,ossia

[cos(γ L)− cosh(γ L)]2 + [sin2(γ L)− sinh2(γ L)] = 0 ⇒ cos(γ L) cosh(γ L) = 1 . (65)

Tale equazione non ammette soluzione esplicite (eccetto quella γ0 = 0) ma va risolta numerica-mente: in Fig.?? sono mostrate le prime tre radici γ0 L = 0, γ1 L = 4.73, γ2 L = 7.85; la primaradice γ0 corrisponde ad un moto rigido traslatorio. Le forme modali Vn(s) si ottengono dalla(57), ponendo d2 = d4 = 0 e ricavando il rapporto d3/d1 dal sistema (64), reso singolare conγ = γn; si ottiene

Vn(s) = d1n

((cos(γn s) + cosh(γn s)) +

d3nd1n

( sin(γn s) + sinh(γn s) )

), n = 0, 1, 2, . . . , (66)

La costante indeterminata d1n viene inglobata nelle costanti An, Bn che dipendono dalle condi-zioni iniziali.

0 2 4 6 8 10−20

−10

0

10

20

γ L

cos(γL

)co

sh(γL

)

Figura 8: Prime tre radici dell’equazione cos(γ L) cosh(γ L) = 1 (punti blu) e dell’equazionecos(γ L) cosh(γ L) = −1 (punti rossi).

5.3.3 Doppio incastro

Nel caso di trave incastrata a destra e sinistra, abbiamo

c.c. cinematiche: V (0) = 0 , V ′(0) = 0 , V (L) = 0 , V ′(L) = 0 . (67)

Con queste condizioni al contorno la forma (57) e piu utile e fornisce immediatamente d1 = d3 =0; le rimanenti 2 condizioni al contorno costituiscono un sistema di 2 equazioni nelle 2 incognited2 e d4: (

cos(γ L)− cosh(γ L) sin(γ L)− sinh(γ L)

sin(γ L) + sinh(γ L) − cos(γ L) + cosh(γ L)

) (d2

d4

)=

(0

0

)(68)

16

questo sistema e identico al precedente e valgono le stesse considerazioni; le radici γn L sono lestesse di prima, eccetto la radice nulla γ0 che non e piu ammissibile. Le forme modali Vn(s) sonoovviamente diverse da quelle del caso precedente e si ottengono dalla (57), ponendo d1 = d3 = 0e ricavando il rapporto d4/d2 come gia detto.

5.3.4 Mensola

Consideriamo una mensola incastrata a sinistra e libera a destra; abbiamo

c.c. cinematiche: V (0) = 0 , V ′(0) = 0 , V ′′(L) = 0 , V ′′′(L) = 0 . (69)

Con queste condizioni al contorno la forma (57) e piu utile e fornisce immediatamente d1 = d3 =0; le rimanenti 2 condizioni al contorno costituiscono un sistema di 2 equazioni nelle 2 incognited2 e d4. Procedendo come prima si trova l’equazione caratteristica

cos(γ L) cosh(γ L) = −1 . (70)

Tale equazione non ammette soluzione esplicite ma va risolta numericamente; in Fig.8 sonomostrate le prime tre radici γ1 L = 1.87, γ2 L = 4.69, γ3 L = 7.85. A titolo di esempio, scriviamoesplicitamente le forme modali

Vi(s) =

[cos(γi s)− cosh(γi s)−

cos(γi L) + cosh(γi L)

sin(γi L) + sinh(γi L)(sin(γi s)− sinh(γi s))

]. (71)

5.4 Ortogonalita dei modi

Le forme modali sono determinate dalle condizioni al contorno; cerchiamo ora le condizioni piugenerali che garantiscono l’ortogonalita dei modi. Consideriamo due modi qualsiasi Vi e Vm; peressi valgono le relazioni

V ivi − γ4i Vi = 0 , V iv

m − γ4m Vm = 0 . (72)

Moltiplichiamo la prima per Vm, la seconda per Vi, facciamo la differenza tra le due e integriamolungo la trave cosı da far comparire il prodotto scalare tra i due modi:

(γ4m − γ4i )

∫ L

0Vm Vi ds =

∫ L

0(Vm V

ivi − Vi V iv

m ) ds . (73)

Per modi diversi, γm 6= γi, e dunque si ha ortogonalita se l’integrale di destra e nullo; una seriedi integrazioni per parti permette di scrivere tale integrale come combinazione lineare di valorial bordo: per il primo addendo abbiamo∫ L

0Vm V

ivi ds = [Vm V

′′′i − V ′m V ′′i + V ′′m V

′i − V ′′′m Vi ]L0 +

∫ L

0Vi V

ivm ds . (74)

Inserendo questo risultato nella (73) si ottiene

(γ4m − γ4i )

∫ L

0Ym Yi ds = [Vm V

′′′i − V ′m V ′′i + V ′′m V

′i − V ′′′m Vi ]L0 . (75)

Si scopre dunque che ogni insieme di condizioni al contorno per cui, sia a destra che a sinistrasi verifica la a V + b V ′ + c V ′′ + d V ′′′ = 0 fornisce modi ortogonali:

a V + b V ′ + c V ′′ + d V ′′′ = 0 ⇒∫ L

0Ym Yi ds = 0 ,∀ i 6= m. (76)

17

Le condizioni esaminate prima (doppia cerniera, libera, doppio incastro, mensola) soddisfanotutte questo requisito; anche altre condizioni al contorno, tipo molle flessionali o torsionali,garantiscono la (76), mentre condizioni al bordo che dipendono dal tempo non producono modiortogonali.

5.5 Il problema ai valori iniziali

Una volta che siano state trovate le forme modali Vn(s), la soluzione del problema omogeneopuo essere scritta come combinazione lineare dei modi e delle modulazioni temporali

v(s, t) =∑n

[An cos(ωn t) +Bn sin(ωn t) ]Vn(s) . (77)

Note le condizioni inizialiv(s, 0) = vo(s) , v(s, 0) = vo(s) , (78)

e possibile ricavare le costanti An e Bn utilizzando la proporieta di ortogonalita dei modi. Dalla(77) si ricava

v(s, 0) =∑n

An Vn(s) = vo(s) , v(s, 0) =∑n

Bn ωn Vn(s) = vo(s) . (79)

Proiettando le condizioni iniziali sui modi si ottengo i valori delle costanti; indichiamo con N ilvalore assunto dal prodotto scalare di due modi qualsiasi

N = Vn(s) · Vn(s) =

∫ L

0V 2n (s) ds . (80)

Allora∫ L

0

(∑n

An Vn(s)

)Vi(s) ds =

∫ L

0vo(s)Vi(s) ds , ⇒ Ai =

1

N

∫ L

0vo(s)Vi(s) ds . (81)

Analogamente∫ L

0

(∑n

Bn ωn Vn(s)

)Vi(s) ds =

∫ L

0vo(s)Vi(s) ds , ⇒ Bi =

1

N ωn

∫ L

0vo(s)Vi(s) ds .

(82)

5.6 Vibrazioni forzate

Consideriamo il caso delle vibrazioni forzate riscrivendo l’equazione (46) come segue

a2 viv(s, t) + v(s, t) =q(s, t)

µ, in (0, L)× (0, T ) , + condizioni contorno + condizioni iniziali.

(83)Assumiamo che le condizioni al contorno siano tali da garantire l’ortogonalita dei modi, eindichiamo con Vn(s) le forme modali; si cerca allora una soluzione generale nella forma

v(s, t) =∑n

Vn(s) qn(t) . (84)

18

Inserendo questa ipotesi nella equazione di bilancio (83) si ottiene∑n

[a2 V iv

n (s) qn(t) + Vn(s) qn(t)]

=q(s, t)

µ. (85)

Poiche Vn(s) sono forme modali, abbiamo V ivn (s) = γ4n Vn(s); questa uguaglianza consente di

mettere a fattore comune i modi Vn(s) che compaiono nella (85) e riscrivere∑n

[qn(t) + a2 γ4n qn(t)

]Vn(s) =

q(s, t)

µ. (86)

A questo punto possiamo utilizzare la proprieta di ortogonlaita dei modi per selezionare un soloaddendo dalla sommatoria: il prodotto scalare di ambo i membri per Vi(s) fornisce

qi(t) + a2 γ4i qi(t) =1

µN

∫ L

0q(s, t)Vi(s) ds = qi(t) , (87)

dove

N =

∫ L

0V 2i (s) ds , qi(t) =

1

µN

∫ L

0q(s, t)Vi(s) ds. (88)

Il problema della vibrazioni forzate si riconduce ad una sequenza di oscillatori semplici per i qualisono note le tecniche di soluzione; la (87) si riscrive in genere facendo comparire la pulsazioneωi = a γ2i come segue:

qi(t) + ω2i qi(t) = qi(t) , in (0, T ) , + condizioni iniziali. (89)

5.6.1 Impatto

Consideriamo il caso di una trave vincolata con doppia cerniera soggetta ad un carico q(s, t) dinatura impulsiva, ossia, un carico di intensita P , concentrato in un punto ξ della trave, e agenteper un solo istante; un carico di tale tipo si rappresenta come il prodotto di una funzione diDirac nello spazio ed una nel tempo: q(s, t) = P δ(s− ξ) δ(t). Il problema da risolvere e:

a2 viv(s, t) + v(s, t) =P

µδ(s− ξ) δ(t) in (0, L)× (0, T ) , + doppia cerniera + c.i. omogenee.

(90)Il vincolo di doppia cerniera determina i modi Vi(s) = sin(γi s), il numero d’onda γi = i π/L eil fattore N = L/2; la soluzione generale sara data da

v(s, t) =∑n

sin(γn s) qn(t) . (91)

La proiezione del carico sui modi fornisce

qi(t) =1

µN

∫ L

0q(s, t)Vi(s) ds =

2P

µL

(∫ L

0δ(s− ξ) sin(γi s) ds

)δ(t) =

2P

µLsin(γi ξ) δ(t) ,

(92)e l’equazione (89) si riscrive nel seguente modo

qi(t) + ω2i qi(t) =

2P

µLsin(γi ξ) δ(t) , in (0, T ) , + c.i. omogenee. (93)

19

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-0.10

-0.05

0.05

0.10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-0.10

-0.05

0.05

0.10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-0.10

-0.05

0.05

0.10

Figura 9: Forma assunta della trave in risposta ad un impatto in L/10, L/4 e L/2; la posizionedell’impatto e segnalata dal punto rosso.

Il problema della risposta della trave ad un impatto si riconduce al problema dell’oscillatoresemplice soggetto ad impulsi di varia intensita. Ricordando quanto visto nel paragrafo 4.9 dellaprima parte delle dispense, la risposta gi(t) all’impulso i-esimo e data da:

gi(t) =2P

µLωisin(γi ξ) sin(ωi t) , in (0, T ) , (94)

e dunque il moto della trave sara dato da

v(s, t) =∑n

sin(γn s) gn(t) =2P

µL

∑n

sin(γi ξ) sin(γn s)

ωnsin(ωn t) . (95)

Esaminiamo il caso di impatto al centro della trave, ξ = L/2; abbiamo

γi ξ = iπ

2⇒ sin(γi ξ) = sin(i

π

2) = 1, 0,−1, 0, . . . (96)

In questo caso la (95) fornisce

v(s, t) =2P

µL

∑n

(−1)(n−1)/2 sin(γn s)

an2 π2/L2sin(ωn t) . (97)

La precedente espressione e abbastanza semplice e puo essere commentata senza dover valutarela serie: 1) sono presenti solo le armoniche dispari; 2) l’ampiezza delle varie componenti decrescecon n2.

5.6.2 Carico mobile

Consideriamo il caso di una trave vincolata con doppia cerniera soggetta ad un carico q(s, t) diintensita P , che si muove con velocita V

q(s, t) =

{P δ(s− V t) , 0 < V t < L

0 , L < V t(98)

Il problema da risolvere e:

a2 viv(s, t) + v(s, t) =P

µδ(s− V t) in (0, L)× (0, T ) , + doppia cerniera + c.i. omogenee.

(99)La soluzione generale si rappresenta come prima, vedi (91); la proiezione del carico sui modifornisce

qi(t) =1

µN

∫ L

0q(s, t)Vi(s) ds =

2P

µL

(∫ L

0δ(s− V t) sin(γi s) ds

)=

2P

µLsin(γi V t) , (100)

20

e l’equazione (99) si riscrive nel seguente modo

qi(t) + ω2i qi(t) =

2P

µLsin(γi V t) , in (0, T ) , + c.i. omogenee. (101)

Il problema della risposta della trave ad un carico mobile si riconduce al problema dell’oscillatoresemplice soggetto ad un carico armonico con pulsazione γi V . Riscriviamo quanto visto nelparagrafo 4.1 della prima parte delle dispense:

x(t) + ω2 x(t) = ω2A sin(α t) , + c.i. omogenee, ⇒ x(t) =A

1− (α/ω)2sin(α t− φ3(α)) ,

(102)con φ3(α) = 0, π a seconda che α < 1 oppure α > 1. La soluzione (102)2 puo facilmente adattarsial caso (101) ponendo A = (2P )/(µLω2

i ); si ottiene

qi(t) =2P

µL

1

ω2i − (γi V )2

sin(γi V t− φ3(γi V )) , (103)

e dunque il moto della trave sara dato da

v(s, t) =∑n

sin(γn s) qn(t) =2P

µL

∑n

sin(γn s)

ω2n − (γn V )2

sin(γn V t− φ3(γi V )) . (104)

Tale soluzione ha alcune caratteristiche interessanti:

1. Ci sono delle velocita critiche che mandano la trave in risonanza, ossia, che amplificanoenormemente l’ampiezza delle oscillazioni; ricordando che ωi = a γ2i , abbiamo:

Vcr =ωiγi

= a γi ⇒ ‖v(s, t)‖ → ∞ . (105)

2. La velocita critica puo essere messa in relazione con il tempo critico Tcr di attraversamentodella trave:

Tcr,i =L

Vcr=

L

aγi=

L2

i a π. (106)

3. Il tempo critico Tcr,i di attraversamento puo essere messo in relazione con i periodi proprıdella trave:

Ti =2π

ωi=

2π

a γ2i=

2L2

a π i2⇒ T1 = 2Tcr,1 ; T2 = Tcr,2 ; T3 =

2

3Tcr,3 ; . . . (107)

21