INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO

Strutture realizzative di una FdTStrutture realizzative di una FdT

Prof. Carlo RossiDEIS - Università di Bologna

Tel: 051 2093020email: crossi@deis.unibo.it

Strutture FdT

Introduzione

• Un sistema tempo discreto LSI è completamente specificato dalla sua risposta all’impulso o equivalentemente dalla sua FdT (Z-trasformata della risposta all’impulso)

• Per realizzazione di una FdT intendiamo un algoritmo che applicato alla sequenza di ingresso produce la sequenza di uscita

• Esistono infinite realizzazioni, tutte idealmente equivalenti• Quando l’algoritmo viene implementato su un processore

digitale, esistono anche altri criteri da considerare– occupazione di memoria– tempo di esecuzione– sensibilità alla quantizzazione di coefficienti e variabili

• Da questo punto di vista, le differenti realizzazioni non sono più equivalenti

Strutture FdT

Rappresentazione tramite schema a blocchi

• Le differenti strutture saranno presentate utilizzando schemi a blocchi, che risultano comodi

• I blocchi di base sono

• Ad una rappresentazione tramite schemi a blocchi corrisponde univocamente una equazione alle differenze– ogni elemento di ritardo richiede una memorizzazione– ogni giunzione sommante richiede una somma– ogni guadagno richiede una moltiplicazione

+

( )nx1

( )nx2

( ) ( )nxnx 21 +

a( )nx ( )nxa

1−z( )nx ( )1−nx

Giunzionesommante

Moltiplicazioneper costante

Ritardounitario

Strutture FdT

Sistemi FIR (Finite Impulse Response)

• Sono i sistemi LSI caratterizzati da una risposta all’impulso con un numero finito di campioni diversi da zero

• La sequenza di uscita è calcolata come combinazione lineare del campione corrente e degli M campioni passati dell’ingresso

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Mnxbnxbnxbbknxny

MnMnb

nh

MM

kk

n

−++−+=−=

≥≤≤

=

∑=

…1

00

100

Strutture FdT

Realizzazione dei sistemi FIR

• La struttura realizzativa più semplice implementa direttamente la somma di convoluzione

– M + 1 moltiplicazioni– M celle di memoria– M addizioni

+b0

z-1

+b1

z-1

+b2

z-1

bM

( )nx ( )ny

Strutture FdT

Realizzazione dei sistemi FIR

• E’ possibile definire anche una forma trasposta

• Si ottiene invertendo il flusso di segnale

– M + 1 moltiplicazioni– M celle di memoria– M addizioni

+b0

z-1

+b1

z-1

+b2

z-1

bM

( )nx ( )ny

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )nxbnx

nxnxbnx

nxnxbnxnxnxbny

MM

MMM=

−+=

−+=−+=

−− 1

11

11

211

10

Strutture FdT

Realizzazione di FdT a fase lineare

• FdT con andamento di fase lineare sono caratterizzate da avere la risposta impulsiva simmetrica o antisimetrica

• Può essere sfruttato per ridurre il numero delle moltiplicazioninecessari

• Per una FdT con risposta impulsiva simmetrica si può ricavare

a cui è possibile associare lo schema a blocchi corrispondente• E’ anche possibile definire la forma trasposta associata

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] …

…++−+−+−+=

++−+−+−+= −11

11

10

110MnxnxbMnxnxb

MnxbnxbMnxbnxbny MM

Strutture FdT

Realizzazione di sistemi IIR

• Nel seguito si parlerà di realizzazioni o forme canoniche. Definiscono delle regola standard per la realizzazione di FdT

• Si considereranno inizialmente le forme canoniche basate sull’equazione alle differenze corrispondente alla FdT

• Successivamente si introdurranno anche forme canoniche nello spazio di stato

• Si parlerà di sistemi SISO. Estensione a sistemi MISO, SIMO e MIMO sono possibili per alcune delle forme canoniche

Strutture FdT

Forme dirette

• Si ricavano direttamente a partire dall’equazione alle differenze

• Può essere vista come l’insieme di un filtro ricorsivo ed uno non ricorsivo

• Le due parti possono essere combinate insieme unendo le giunzioni sommanti

( ) ( ) ( )∑∑==

−+−−=M

ik

N

ii knybinyany

01

-a1

+b0

z-1

+b1

z-1

+b2

z-1

bM

( )nx ( )ny1+

+

+ -a2

z-1

z-1

z-1

-aN

Strutture FdT

Forme dirette

-a1

+b0

z-1

+b1

z-1

+b2

z-1

bN

( )nx ( )ny1

-a2

z-1

z-1

z-1

-aN+

Nel caso di M < N, i coefficienti bk con M < k < N si intendono nulli

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )NnyaNnxbnr

nrNnyaNnxbnr

nrnyanxbnrnrnxbny

NNN

NNNN−−−=

++−−+−=

+−−−=

+=

−−− 11

11

111

2111

10

Forma diretta I

Strutture FdT

Forme dirette

Non particolarmente interessante

Forma diretta Itrasposta

-a1

b0

z-1

b1

z-1

b2

z-1

bN

( )nx ( )ny1

-a2

z-1

z-1

z-1

-aN

+ +

+

+

+

+

Strutture FdT

Forme dirette

• Sempre a partire dallo schema elementare, le due sezioni ricorsiva e non possono essere scambiate tra di loro. In questo caso si ottengono due sezioni in cui gli elementi di ritardo hanno lo stesso ingresso e quindi possono unite. Si ottengono così delle forme canoniche con il numero minimo di celle di memoria

-a1

+b0

z-1

+b1

z-1

+b2

z-1

bM

( )nx ( )ny1+

+

+ -a2

z-1

z-1

z-1

-aN

Strutture FdT

Forme dirette

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )Nnranranxnr

Nnrbnrbnrbny

N

N−−−−−=

−++−+=……

11

1

10

Forma diretta IIseconda forma canonica -a1

b0

z-1

b1

z-1

b2

z-1

bN

( )nx ( )ny1

-a2

-aN

+ +

+

+

+

+• Si estende facilmente a sistemi SIMO• Non può essere espressa con una

struttura standard nello spazio di stato

Strutture FdT

Forme dirette

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )11

111

111

111

2111

10

−−−=−+−−−=

−+−−−=+=

−−−nyanxbnr

nrnyanxbnr

nrnyanxbnrnrnxbny

NNN

NNNN

Forma diretta II traspostaprima forma canonica

• Si estende facilmente a sistemi MISO• Non può essere espressa con una

struttura standard nello spazio di stato

-a1

1

z-1

b1

z-1

b2

z-1

bN

( )nx ( )nyb0

-a2

-aN

+

+

+

+

Strutture FdT

Forme dirette

• Le forme dirette finora considerate hanno la caratteristica che non esiste una rappresentazione diretta nello spazio di stato. – ciò deriva dal fatto che il valore corrente dell’ingresso viene

combinato con valori passati di altre variabili prima di essere applicato all’uscita

– Nel caso in cui il coefficiente b0 sia nullo e cioè non esiste un termine diretto tra ingresso ed uscita, si ha una struttura che può essere rappresentata nello spazio di stato

– Nel caso di b0 diverso da zero, si può sempre scomporre la FdT in somma di due termini, uno costante pari a b0, ed uno con grado relativo > 1

( ) ( ) ( )

( ) ( )N

NNNN

N

NN

NNN

azazababzbabb

zazaazbabzbabbzH

+++

−++−+=

+++

−++−+=

−

−

−−

−−

……

……

110

01

0110

110

01

0110

Strutture FdT

Forme dirette

• Si ottengono così due nuove forme dirette II che ammettono una rappresentazione nello spazio di stato

-a1

b0

z-1

b’1

z-1

b’2

z-1

b’N

( )nx ( )ny

-a2

-aN

+ +

+

+

+

+

Forma diretta IITerza forma canonica

Nibabb iii ,,1' 0 …=−=

Strutture FdT

Forme dirette

Forma diretta II traspostaquarta forma canonica

-a1

z-1

b’1

z-1

b’2

z-1

b’N

( )nx ( )ny

b0

-a2

-aN

+

+

+

+

Nibabb iii ,,1' 0 …=−=

Strutture FdT

Forme dirette

• Tutte le forme dirette hanno la caratteristica di richiedere un numero di moltiplicazioni pari al massimo a 2N+1

• Scegliendo poi una forma canonica, si hanno N elementi di memoria

• Tra tutte le possibili rappresentazioni, sono quelle a costo minimo

• Dato che non forniscono gradi di libertà nella scelta dei coefficienti, non è comunque possibile ottimizzare il comportamento rispetto ad altri criteri, in particolare rispetto agli effetti indotti dalla rappresentazione con precisione finita deicoefficienti e della variabili in una implementazione digitale– sensitività della risposta rispetto ad imprecisione dei coefficienti– rumore di quantizzazione– comportamenti intabili e cicli limite

Strutture FdT

Strutture nello spazio di stato

• Offrono una flessibilità maggiore, ottenuta aumentando il costo della realizzazione

• Anche nel caso delle realizzazioni nello spazio di stato si ricercano delle forme canoniche

• L’espressione generale è data da

dove l’ingresso è indicato con u, lo stato con x e l’uscita con y. Nel caso MIMO sono tutti vettori di dimensioni appropriate, mentre nel caso SISO sia u che y sono scalari ed x è un vettore di dimensione N pari all’ordine della FdT.

• Nel seguito si farà riferimento di nuovo al caso SISO

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )nuDnxCny

nuBnxAnx+=

+=+1

Strutture FdT

FdT e forma di stato

• Data una rappresentazione in forma di stato, ad essa è associata una FdT univoca

• Il contrario non è vero: data una FdT esistono infinite rappresentazioni nello spazio di stato che le corrispondono

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )zUDBAzICzYzUBAzIzX

zUDzXCzYzUBzXAzXz

nuDnxCnynuBnxAnx

+−=⇒−=

+=+=

⇒

+=+=+

−− 11

1

( ) ( ) DBAzICzH +−= −1

Strutture FdT

Trasformazioni di coordinate

• Data una rappresentazione in forma di stato

si effettua un cambiamento di coordinate lineare nello spazio distato descritto da una matrice T non singolare

• La FdT associata rimane ovviamente inalterata; si può verificare

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )nuDnxCny

nuBnxAnx+=

+=+1

xTwwTx 1−==

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

+=+=+

+=+=+ −−

nuDnwTCnynuBTnwTATnw

nuDnwTCnynuBnwTAnwT 1111

( ) ( )( ) ( ) DBAIzCDBTTATIzTTTC

DBTTATIzTCzH

+−=+−=

+−=

−−−−−

−−−

11111

111

Strutture FdT

Realizzazione

• Data una realizzazione in forma di stato, si può passare ad una equivalente (stessa FdT) tramite una trasformazione T

• Si può sfruttare tale grado di libertà per ottimizzare qualche altro criterio– numero minimo di parametri: corrisponderà alle forme canoniche

viste per la FdT– sensibilità rispetto ai parametri– . . .

• In realtà non affronteremo tali problemi, ma si presenteranno alcune forme canoniche nello spazio di stato e se ne presenteranno le caratteristiche

Strutture FdT

Strutture canoniche in forma compagna

• Data la FdT

una rappresentazione nello stato che la realizza è data dalle matrici

• la matrice A è in forma compagna; corrisponde alla terza forma canonica; si estende facilmente ai SIMO

( )NN

NNNN

N

azazazbzbzbzH++++

+++=

−−

−

11

1

10…

…

( ) ( )00110110

121 10

00

1000

01000010

bDbabbabbabC

B

aaaa

A

NNNN

NNN=−−−=

=

−−−−

=

−−

−−

………

……

Strutture FdT

Strutture canoniche in forma compagna

• Una forma alternativa è data da

• la matrice A è in forma compagna; corrisponde alla quarta forma canonica; si estende facilmente ai MISO

• Non c’è differenza tra l’utilizzo di una forma compagna e la rispettiva forma canonica della FdT, anche in termini di costo

( ) ( )0

011022

0110

12

1

1000100000

001000

bDCbabbab

babbab

B

aa

aa

ANNNN

NN

==

−−

−−

=

−−

−−

=−−−

………

……

Strutture FdT

Forma modale reale

• Se la trasformazione lineare identificata da A possiede N autovettori distinti (possibilmente complessi) è possibile trasformare A nella forma

con le matrici sulla diagonale del primo o secondo ordine• Se A ha autovalori distinti, ad ogni autovalore reale corrisponde

una matrice del primo ordine, ad ogni coppia di autovalori complessi coniugati una matrice del secondo ordine

=

KA

AA

A

…

……

000000000

21

−==

iiii

iii AA λλλλλ ReIm

ImRe

Strutture FdT

Forma modale reale

• Le corrispondenti matrici B e C non hanno una forma particolare, e presentano tutti elementi diversi da zero

• La forma reale modale corrisponde alla rappresentazione in parallelo della FdT

• E’ estendibile la caso di sistemi MIMO• Nel caso di autovalori multipli, la forma reale modale di A può

ancora esistere se esistono N autovettori linearmente indipendenti

Strutture FdT

Dalla forma compagna alla reale

• Per un termine elementare del secondo ordine, dato dalla FdT

la forma compagna presenta matrici

e per passare alla forma modale reale si applica la trasformazione di coordinate

Si noti che essa dipende solo dalla matrice A

( )21

221

azazbzbzH++

+=

( ) ( )01010

1212==

−−= DbbCBaaA

0ImRe

11 >==

−+−== λβ

λααβαβTTxz

Strutture FdT

Dalla forma compagna alla reale

• Si ottengono quindi le matrici

( ) ( )( )1212

21

bbbbC

BA

r

rr

++−−=

+−−−=

−=

αβαβ

βαβα

βαββα

Strutture FdT

Forma di Schur

• Ogni matrice A è trasformabile nella forma di Schur

in cui le sottomatrici sulla diagonale sono le stesse della forma modale. E’ una forma applicabile al caso generico MIMO

=

KAXXAXXA

A

…

……

0000

0 21

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