⊕ Matricola: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A B C D≥7: . . . . . . 1 2 3 4≥8: . . . . . . Voto: . . . . . .

Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cognome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Algebra 1 – Esame 08.05.14

Rispondere alle domande su questo foglio usando gli appositi spazi e giustificando brevementema esaurientemente tutte le risposte.

A Sia U un insieme non vuoto. Siano S e T sottoinsiemi non vuoti di U .

1. E vero che (U \ T ) \ S = U \ (S \ T ) ? [ ] 1

2. E vero che se esiste f : U \ S → U \ T bigettiva allora S ∩ T $= ∅ ? [ ] 2

3. E vero che se S ∩ T = ∅ allora (U \ S) ∩ (U \ T ) = ∅ ? [ ] 2

B Stabilire se la congruenza lineare 12568 X ≡20 14356 e risolubile. Determinarne tutte le soluzionifra loro non congrue modulo 20. 2

C Provare per induzione.

Se n ≥ 1 si ha che 23 + 43 + 63 + ....... + (2n)3 = 2n2(n + 1)2 2

D Supponiamo di avere una struttura di monoide (M, ◦, e) su un insieme finito M .

1. Esistono f : (N,+, 0) → (M, ◦, e) omomorfismi iniettivi ? [ ] surgettivi ? [ ] 4

2. Esistono f : (M, ◦, e) → (N,+, 0) omomorfismi non nulli ? [ ] 2

1. Si considerino gli anelli A = Z5[X]/(X3 + 1) e B = Z5[X]/(X2 + X + 1).

(a) Si ha che |A| = [ ] e |B| = [ ] 2

(b) Mostrare se A e B sono dominii e/o campi. 4

2. Sia S = {a, b, c} e sia consideri la legge ⊥ : S ×S → S cosı definita x⊥y = c per ogni x, y ∈ S.

(a) (S,⊥) e un semigruppo ? [ ] 2

(b) (S,⊥, e) e un monoide per qualche e ∈ S ? [ ] 1

3. Consideriamo l’anello dei polinomi Z[X].

(a) Il polinomio 2X + 1 e irriducibile ? [ ] 2

(b) E vero che l’anello A = Z[X]/(2X + 1) e un dominio ? [ ] 2

(c) La classe del polinomio X e invertibile in A ? [ ] 2

(d) E vero che la classe di 3 non e invertibile in A ? [ ] 2