Corso di Chimica Fisica II

2011

Prof. Marina Brustolon

5. La particella libera. I postulati della MQ. La sovrapposizione di stati.

L’equazione di Schrödinger per la particella libera

Si abbia una particella (per es. un elettrone) che si muove in assenza di potenziale. L’equazione è allora:

)()(

2 2

22

xEdx

xd

m

Una funzione che soddisfa questa equazione è: 2/1

2

2 sincos)(

mE

kkxikxex ikx

come si può facilmente verificare:

ikxikx

em

k

dx

ed

m 22

22

2

22

ikxikx

em

k

dx

ed

m 22

22

2

22

Operatore Hamiltoniano

Funzione Funzione (inalterata)

Valore costante

)()(

2 2

22

xEdx

xd

m

m

kE

2

22

L’operatore hamiltoniano agisce sulla funzione solo moltiplicandola per una costante: questo significa che l’energia in quello stato è costante, e ha proprio il valore:

La funzione si dice autofunzione dell’Hamiltoniano, e il valore dell’energia, autovalore

ikxeLa funzione rappresenta quindi uno stato che ha energia totale ( e solo cinetica)

m

kE

2

22

ikxikx BeAex )(

Ma questa funzione non è l’unica a rappresentare uno stato con questa energia: tutte le funzioni che hanno la forma

sono autofunzioni dell’Hamiltoniano con la stessa energia. A e B sono due numeri, che possono anche essere complessi.

Consideriamo la funzione con i valori di A e B :

iA

2

1

iB

2

1

i

e

i

ex

ikxikx

22)(

i

eex

eex

xixe

xixe

ixix

ixix

ix

ix

2sin

2cos

sincos

sincos

Usiamo le formule di Eulero:

kxi

eex

ikxikx

sin2

)(

)2sin()(

xx

Questa funzione abbiamo visto che descrive un’onda stazionaria:

Quindi: 2

k

e che d’altronde l’energia totale è solo cinetica, si ha: m

p

m

kE

22

222

Si ha quindi222 pk

Ricordando che: m

kE

2

22

2

kAbbiamo visto d’altronde che

2

2

2p

hp

hp

Relazione di de Broglie!

e possiamo allora ricavare una relazione tra p e

Abbiamo ritrovato la relazione di de Broglie considerando l’elettrone in moto libero sia come onda che come particella: come onda, trovandone la funzione d’onda che è soluzione dell’equazione di S. , come particella, considerando che la sua energia cinetica deve essere data dal quadrato del momento lineare diviso due volte la massa.

k si chiama “vettore d’onda”

E se c’è un potenziale non nullo?

)()()(

2 2

22

xExVdx

xd

m

m

kVE

2

22Ora quindi si

ha: 2/1

2

)(2

VEm

k

2

k e quindi : 2/1))(2( VEm

h

Quindi, se una particella attraversa una zona nella quale il potenziale aumenta, la sua lunghezza d’onda diventa sempre più grande.

Ritroviamo anche qui la relazione di de Broglie

Impariamo a guardare la forma delle funzioni d’onda: l’energia cinetica

corrisponde alla curvatura!

)()()(

2 2

22

xExVdx

xd

m

Energia cinetica, ma anche flesso della funzione

Più rapido del signor Bianco Coniglio, più imprevedibile delle collere della Regina di Cuori, più elusivo del sorriso del Gatto del Cheshire è il mondo dei quanti che la fisica del Novecento ha rivelato a ricercatori che confessavano di "non credere ai propri occhi", cioè a quello che con formule ed esperimenti stavano dimostrando. In questo libro, ricalcando le orme del grande Carroll, Robert Gilmore, docente di Fisica all'Università di Bristol, ci presenta una moderna Alice anch'essa sospesa tra piccolo e grande, capace di guidarci con straordinaria abilità nel paese delle meraviglie della fisica dei quanti

Mr. Tompkins è il famoso impiegato di banca inglese che è appassionato di fisica moderna e che nei suoi sogni si ritrova a vivere divertenti avventure nel bizzarro mondo della meccanica quantistica e della relatività generale. Le sue palle da bigliardo si comportano come particelle libere quantistiche, perché nel suo mondo la costante di Planck è circa eguale a 1…

I postulati della Meccanica Quantistica

• E’ venuto il momento di raccogliere in modo sistematico i postulati sui quali si basa la Meccanica Quantistica. Alcuni li abbiamo già incontrati.

• Essendo dei postulati, non possono essere dimostrati: la loro validità permane finché non ci sarà un risultato sperimentale che darà dei risultati in contrasto con quelli previsti dalla teoria.

• Finora tutti i risultati ottenuti in innumerevoli esperimenti sono stati trovati in accordo con la teoria quantistica. Cosa possa riservare il futuro non lo sappiamo…

I postulati della Meccanica Quantistica

1. Lo stato di un sistema è completamente descritto da una funzione (d’onda) ),...,,( 21 trr

r1, r2, ecc. sono le coordinate delle particelle che appartengono al sistema, e t è il tempo.

Le funzioni d’onda che descrivono un oggetto fisico hanno delle caratteristiche particolari, che sono mostrate nella prossima diapositiva. Quindi, quando si ottengono le funzioni d’onda risolvendo l’eq. di Schroedinger, si deve controllare che le funzioni ottenute abbiano una forma adatta, ed escludere quelle che non vanno bene (coem vedremo in seguito).

Non tutte le funzioni possono descrivere uno stato fisico reale!

Qui sono esemplificate graficamente funzioni che non possono rappresentare stati fisici.

E’ infinita in una regione finita

Non è a valore singolo

La sua pendenza è discontinua

La funzione è discontinua

Nota: Due operatori agiscono su una funzione nell’ordine nel quale sono scritti: supponiamo di avere due operatoriBA ˆ,ˆ

2. Gli osservabili sono rappresentati da operatori Una possibile scelta è:

dx

d

ipx

ˆ xx ˆ

Facciamoli agire su una funzione : 'ˆˆ BA

Questa espressione significa: facciamo agire l’operatore sulla funzione, e su quello che otteniamo facciamo agire .A

B

L’espressione : significa invece che facciamo agire prima e poi .

''ˆˆ ABA B

Si dice che i due operatori commutano quando ABBA ˆˆˆˆ

ABBABA ˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[ L’operatore si chiama commutatore ; i due operatori commutano quando il loro commutatore agendo su una funzione dà zero.

Evidentemente i due operatori e non commutano. xxp

Esercizio• Qual è il commutatore degli operatori e ? xxp

dx

d

ipx

ˆ

dx

d

ipx

ˆ

xx ˆ

xx ˆdx

d

ixpx x

ˆ ˆ

dx

dx

idx

xd

ixpx

)( ˆˆ

idx

d

ix

dx

dx

ipxxp xx

)ˆ ˆˆˆ(

)ˆ ˆˆˆ( xx pxxp Il commutatore è l’operatore

Il commutatore è ii

3. Quando un sistema è descritto da una funzione d’onda , il valore medio di un osservabile O ottenuto in una serie di misure è dato dal valore

d

dOO

*

ˆ*Operatore associato ad O

L’integrale d* è eguale a 1 se la funzione è normalizzata.

In questo caso: dOO ˆ*

detto “valore di attesa” o “valore di aspettazione” (expectation value)

Se l’osservabile O ha un valore costante O1 nello stato descritto dalla funzione d’onda , qualunque misura dell’osservabile O darà sempre O1, e è in questo caso autofunzione dell’operatore con autovalore O1:

O

1ˆ OO

Ogni misura darà allora uno degli autovalori On . La probabilità di trovare uno dei valori di On (per esempio Ok ) è eguale a .

2kc

Se la funzione non è autofunzione di , possiamo scriverla come combinazione lineare di autofunzioni dell’operatore:

O

nn

nc nnn OO ˆdove

nn

nOcO 2Il valore di attesa per la grandezza O è in questo caso:

4. La probabilità che una particella descritta dalla funzione d’onda si trovi nell’elemento di volume d centrato in r è: drr )()(

La funzione d’onda può essere reale o contenere parti complesse. Per questo motivo, quando si vuole indicare in generale il quadrato della funzione d’onda, si usa la forma *, dove l’asterisco indica la complessa coniugata (tutte le parti immaginarie con i cambiato di segno).

d = dx dy dz Se il moto della particella è descritto nelle tre dimensioni da (xyz), la probabilità che la particella si trovi in un punto r con coordinate xyz è (xyz)*(xyz) d.

Se la funzione d’onda è in coordinate sferiche (r,,), la probabilità che la particella si trovi in un punto r è * r2 sin dr d d .

cos sinsin cossin rzryrx

d = r2 sin drdd

d è l’elemento di volume

La funzione d’onda e la probabilità

dove l’integrale è esteso a tutto il campo di definizione della funzione d’onda, e rappresenta quindi la probabilità totale di trovare la particella nell’universo.

Questa probabilità deve essere = 1 .

1* d

Supponiamo sempre di lavorare con funzioni d’onda normalizzate, cioè per le quali valga :

Normalizzazione delle funzioni d’onda

Se (xyz)*(xyz) d è la probabilità di trovare la particella nell’elemento di volume, l’integrale di questa probabilità su tutto lo spazio deve dare la certezza della presenza della particella, quindi deve essere:

1* d

Quando il suo integrale su tutto lo spazio in cui è definita è uguale a 1, la funzione si dice normalizzata.

Se è una soluzione dell’equazione di Schrodinger, lo è anche N . La funzione in questo caso va normalizzata:

2/1

2

*

1 1*

d

NdN costante di normalizzazione

Estraiamo informazioni dalla funzione d’onda:

il momento lineare

)()(

2 2

22

xEdx

xd

m

2

k

dx

d

ipx

ˆ

Per trovare il momento lineare della particella possiamo applicare l’operatore momento sulla funzione d’onda:

Particella libera

dx

de

idx

d

ixp

ikx

x

)(ˆ

ikxikxikx

ekikeidx

de

i

Quindi quando il moto della

particella è descritto dalla funzione eikx il momento lineare della particella è costante e eguale a

Equazione di Schrödinger

kxikxex ikx sincos)( Una soluzione dell’equazione

kp La funzione è autofunzione dell’operatore momento

)()(

2 2

22

xEdx

xd

m

Equazione di Schrödinger

kxikxex ikx sincos)( Un’altra soluzione dell’equazione

Quale sarà il momento lineare in questo caso?

dx

de

idx

d

ixp

ikx

x

)(ˆ

ikxikxikx

ekikeidx

de

i

Anche questa funzione è autofunzione dell’operatore momento

Quindi quando il moto della particella è descritto dalla funzione e-ikx il momento lineare della particella è kp

Un’altra funzione d’onda con la stessa energia cinetica ma diverso momento lineare

x

kp

ikxe

ikxe kp

Le due funzioni rappresentano due moti con momento lineare costante.

Il modulo del momento è lo stesso per le due funzioni, ma il segno è diverso. Quindi una rappresenta un moto verso x, l’altra verso –x.

Sappiamo che la soluzione generale per la particella libera può essere scritta come:

ikxikx BeAex )(

dove A e B sono due costanti.

Prendiamo adesso in considerazione la funzione ikxikx eex )(

i

eex

eex

xixe

xixe

ixix

ixix

ix

ix

2sin

2cos

sincos

sincos

Quindi kxeex ikxikx cos2)(

Qual è il momento lineare per questo stato?

xi

k

dx

kxd

idx

d

ixpx sin

2)cos2()(ˆ

Quindi questa funzione non è autofunzione del momento!

L’operatore agendo sulla funziona la modifica (non dà la stessa funzione moltiplicata per una costante).

Cosa troviamo allora quando misuriamo p nello stato kxeex ikxikx cos2)( ?

Potremo trovare

kp kp

Quando una funzione non è un’autofunzione di un operatore, la grandezza fisica che corrisponde all’operatore non è definita, ma si definisce quando la andiamo a misurare!

con la stessa probabilità!

In altri termini, facendo molte misure troveremo il 50% delle volte e il 50% delle volte .

kp kp

La funzione eikx + e-ikx si dice che è una sovrapposizione lineare di due autostati dell’operatore momento. Ogni misura darà uno dei due autovalori, a caso.

Per una funzione troveremmo:ikxikx BeAex )(

kp

22

2

BA

A

con probabilità kp

22

2

BA

B

con probabilità

Se la funzione è normalizzata

A 2 + B 2 = 1

La sovrapposizione (o coerenza) degli stati

ikxikx eex )(Questo è uno stato in cui il momento lineare è indeterminato.

Diciamo che è una sovrapposizione degli stati con e con Ma quando misuriamo il momento, troviamo

kp kp o

kp kp

e la nostra misura determina lo stato.

La funzione d’onda dopo la misura è ora rispettivamente :ikxex )( ikxex )(o

Ricordate l’esperimento delle due fenditure?? La funzione d’onda dell’elettrone era la sovrapposizione di due onde, finché noi determinavamo da che fenditura passava, riducendo ad una sola onda.

“Credo che il secondo passaggio vada precisato meglio”

La “misura” di una proprietà distrugge la coerenza degli stati.

La misura consiste in una perturbazione inviata sul sistema per misurarne una proprietà. Perché uno stato di coerenza si mantenga bisogna allora che il sistema resti isolato dalle perturbazioni esterne.

In un sistema macroscopico le interazioni tra le particelle sono sempre presenti, e le perturbazioni non permettono la persistenza di stati sovrapposti (o coerenti).

Questo spiega il paradosso del “gatto di Schroedinger”.

Stato = Gatto vivo + Gatto morto

L’atomo radioattivo ha il 50% di probabilità di decadimento. Se decade, la fiala di cianuro si rompe e il gatto sarà ucciso. Se non decade, la fiala non si rompe e il gatto resta vivo. Finché non lo osserviamo, il gatto è in uno stato di sovrapposizione gattovivo + gattomorto….

Atomo radioattivo

Sovrapposizione o “entanglement”

• La sovrapposizione degli stati quantistici, detta “entanglement” in inglese, è alla base degli studi sui “computer quantici” (Quantum computing).

• Si stanno studiando dei computer nei quali le “porte logiche” siano costituite da pochi atomi. Per gli atomi valgono le leggi della MQ.

• Supponiamo di essere in grado di creare uno stato quantico che sia “sovrapposto” da due stati con valore diverso di una proprietà fisica, come nell’esempio del momento lineare della particella libera.

• I due stati potrebbero essere per esempio i due stati di uno spin, o due stati dell’atomo di H, o altro.

kp 22

2

BA

A

con probabilità

kp 22

2

BA

B

con probabilità

ikxikx BeAex )(

Possiamo comunque usare l’esempio che abbiamo fatto per le funzioni della particella. Abbiamo visto che se la particella è nello stato

la misura di p darà il valore

e il valore

I computers classici che tutti conosciamo utilizzano come unita' di informazione di base il cosiddetto bit. Da un punto di vista fisico il bit e' un sistema a 2 stati: puo' infatti essere indotto in uno dei due stati distinti rappresentanti 2 valori logici - no o si', falso o vero, o semplicemente 0 o 1. Ma se i due stati sono stati quantistici, il bit (detto qubit) puo' anche esistere in una loro sovrapposizione coerente. E’ quindi evidente che può contenere più informazioni del classico bit, nell’esempio le coppie di numeri A e B. Se misurassimo l'informazione quantistica direttamente distruggeremmo

lo stato coerente. Ma è possibile misurare il contenuto dello stato applicandovi un’operazione che diffonde l’informazione ad altri stati, recuperando l'informazione senza distruggere lo stato.

“Siamo proprio sicuri che si tratti di un gatto ipotetico?”