CORRETTA RAPPRESENTAZIONE DI UN RISULTATO: LE CIFRE SIGNIFICATIVE

CORRETTA RAPPRESENTAZIONE DI UN RISULTATO: LE CIFRE SIGNIFICATIVE

Definiamo cifre significative quelle cifre che esprimono realmente il risultato di una misura, o del suo errore, cioè che non sono completamente incluse nell’intervallo di incertezza dovuto all’errore. In altri termini non risultano significative le cifre che sono “piccole” rispetto al valore dell’errore.Benché esistano regole più o meno pratiche per definire se una cifra può essere considerata significativa, è innanzitutto bene usare il buon senso.

Esempio:

Supponiamo che il risultato di una serie di misure dia come risultato:

12459 ± 6740Essendo l’errore dell’ordine delle migliaia, le cifre indicanti le centinaia, le decine e le unità non sono significative e non vanno pertanto esplicitate. Di conseguenza il valore 6740 diverrà 7000 e analogamente anche il valore 12459 dovrà essere approssimato alle migliaia diventando così 12000. Presenteremo allora il risultato nella forma:

12000 ± 7000

CORRETTA RAPPRESENTAZIONE DI UN RISULTATO: LE CIFRE SIGNIFICATIVE

Esempi:

112859 ± 6240 113000 ± 6000

731 ± 23 730 ± 20

1096 ± 364 1100 ± 400

7.853 ± 0.482 7.9 ± 0.5

2.95 ± 0.06268 2.95 ± 0.06

3.05 ± 0.034 3.05 ± 0.03

3.05 ± 0.0034 3.050 ± 0.003 (facendo i pignoli …)

96456.87 ± 503.02

0.457 ± 0.073

23.11 ± 2.3

0.00459 ±0.00077

4.15 ± 0.0482

1304 ± 38

44.568 ± 0.022

Esercizio

Esprimere i risultati seguenti con il corretto numero di cifre significative

96456.87 ± 503.02 96500 ± 500

0.457 ± 0.073 0.46 ± 0.07

23.11 ± 2.3 23 ± 2

0.00459 ±0.00077 0.0046 ± 0.0008

4.15 ± 0.0482 4.15 ± 0.05

1304 ± 38 1300 ± 40

44.568 ± 0.022 44.57 ± 0.02

Esercizio

Esprimere i risultati seguenti con il corretto numero di cifre significative

Esercizio

Si misura la lunghezza d’onda di una riga spettrale nell’intervallo delle microonde e si trovano i seguenti valori, espressi in nanometri:

36400 36300 36400 36200 36100 36710Trovare la miglior stima della lunghezza d’onda con il suo errore, utilizzando il corretto numero di cifre significative. Stimare inoltre la precisione dell’apparato di misura usato.

i xi

1 36400 2336.079

2 36300 2669.479

3 36400 2336.079

4 36200 23002.879

5 36100 63336.279

6 36710 128402.539

218110 222083.334

Applicando le formule della media, troviamo:

667.363516

218110x

L’errore sulla media :

75.2105

334.222083

)1(

)(1

2

N

xxS

N

ii

x

La deviazione standard, che fornisce la stima della precisione, si ricava come:

2)( xxi

N

i 1

866

75.210

N

SS xx

La miglior stima della lunghezza d’onda quindi è:

36350 ± 90 nanometri

Esercizio

Due sperimentatori misurano la stessa grandezza usando due metodi differenti, e facendo ognuno 8 misure:A) 35.3 35.6 34.9 35.3 35.2 35.4 35.2 34.8B) 34.9 35.1 35 35.2 35.1 34.9 35 35Trovare le precisioni SA, SB dei due metodi, e specificare il numero di misure che bisogna fare col metodo meno preciso per avere un errore sulla media uguale o migliore a quello trovato in 8 misure col metodo più preciso.

Per avere un errore sulla media uguale o migliore con il metodo A è necessario effettuare un numero N’ di misure tale da avere:

2588.0)1(

)(1

2

N

xxS

N

ii

A

La precisione è data dalla deviazione standard:

8

1035.0

N

SS BB

Dal confronto tra le due precisioni si vede che il metodo B è quello più preciso. L’errore sulla media ottenuto con il metodo B facendo 8 misure è pari a:

1035.0)1(

)(1

2

N

xxS

N

ii

B

8'BA

BA

S

N

SSS

2

8'

B

A

S

SN 50'N

Esercizio

Due sperimentatori misurano la stessa grandezza usando due metodi differenti, e facendo ognuno 8 misure:A) 35.3 35.6 34.9 35.3 35.2 35.4 35.2 34.8B) 34.9 35.1 35 35.2 35.1 34.9 35 35Trovare le precisioni SA, SB dei due metodi, e specificare il numero di misure che bisogna fare col metodo meno preciso per avere un errore sulla media uguale o migliore a quello trovato in 8 misure col metodo più preciso.

Per avere un errore sulla media uguale o migliore con il metodo A è necessario effettuare un numero N’ di misure tale da avere:

2588.0)1(

)(1

2

N

xxS

N

ii

A

La precisione è data dalla deviazione standard:

8

1035.0

N

SS BB

Dal confronto tra le due precisioni si vede che il metodo B è quello più preciso. L’errore sulla media ottenuto con il metodo B facendo 8 misure è pari a:

1035.0)1(

)(1

2

N

xxS

N

ii

B

8'BA

BA

S

N

SSS

2

8'

B

A

S

SN 50'N

ATTENZIONE ALLE APPROSSIMAZIONI: se avessimo calcolato N’ utilizzando come precisioni 0.3 e 0.1 (cioè la rappresentazione delle precisioni SA e SB con le corrette cifre significative) avremmo trovato un numero N’ maggiore o uguale a 72!

Esercizio

Uno studente cronometra il lasso di tempo che intercorre tra due eventi ripetendo la misura 6 volte trovando i seguenti valori:

7.6 s 7.9 s 8.1 s 7.8 s 8.3 s 7.9 sDopo aver calcolato la media e il suo errore dire quante misure si dovrebbero eseguire per ottenere un errore 3 volte più piccolo.

i xi

1 7.6 0.1111

2 7.9 0.0011

3 8.1 0.0278

4 7.8 0.0178

5 8.3 0.1344

6 7.9 0.0011

47.6 0.2933

N

i 1

2)( xxi Applicando le formule della media, troviamo:

9333.76

6.47x

2422.05

2933.0

)1(

)(1

2

N

xxS

N

ii

x

La deviazione standard è:

0989.06

2422.0

N

SS xx

La miglior stima dell’intervallo di tempo quindi è: 7.9 ± 0.1 s

La deviazione standard della media è:

Per avere un errore sulla media 3 volte più piccolo, visto che la precisione resta la stessa, è necessario un maggior numero di misure N’ tale per cui:

54699'3

1

'3' NN

N

S

N

SSS xxxx

LE MEDIE PESATE:

Spesso una grandezza può essere misurata con metodi differenti (aventi precisioni diverse), oppure da diversi sperimentatori mediante misure ripetute. Si avranno pertanto a disposizione vari risultati nella forma:

NNx

x

x

x

...

...33

22

11Si può dimostrare che la miglior stima della grandezza si ricava considerando tutte queste determinazioni come:

Errore della media pesata:

N

i i

N

i i

i

best

x

X

12

12

1

N

i i

X best

12

11

Media pesata:

LE MEDIE PESATE:

Esplicitiamo la formula della media pesata:

223

22

21

223

322

221

1

12

12

1....

111

....

1

N

N

N

N

i

N

i

i

best

xxxxx

X

i

i

Esplicitiamo la formula dell’errore della media pesata:

223

22

21

1.....

111

1

N

X best

LE MEDIE PESATE:

Il valore della media pesata (così come quello della media aritmetica) è sempre compreso tra il minimo e il massimo delle misure considerate

Osservazioni:

L’errore della media pesata è sempre minore del più piccolo degli errori delle misure considerate

La formula della media pesata si riduce a quella della media aritmetica nel caso in cui gli errori sono tutti uguali tra loro

LE MEDIE PESATE:

Quattro gruppi di studenti misurano con quattro differenti metodi la massa di rame depositata sul catodo in seguito ad una elettrolisi con solfato di rame, e trovano i seguenti valori, espressi in mg:

Esempio:

Calcoliamo la miglior stima della massa e la sua incertezza

xi i

10.3 0.3 11.11 114.433

9.8 0.1 100 980

10.5 0.5 4 42

9.9 0.4 6.25 6.1875

121.36 1198.308

4.09.95.05.101.08.93.03.10

N

i i

N

i i

i

best

x

X

12

12

1

N

i i

X best

12

11

2

1

i2i

ix

N

i 1

874.936.121

308.1198bestX 091.0

36.121

1

bestX

09.087.9 Tenendo conto delle cifre significative:

LE MEDIE PESATE:

Esempio:

Media pesata:4.09.95.05.101.08.93.03.10 Se si trascurano gli errori e si calcola la media aritmetica e la deviazione standard della media:

09.087.9

i xi

1 10.3 0.030625

2 9.8 0.105625

3 10.5 0.140625

4 9.9 0.050625

40.5 0.3275

2)( xxi

N

i 1

Applicando le formule della media: 125.104

5.40x

165.034

3275.0

xS

La deviazione standard della media:

Media pesata

Media aritmetica

Media aritmetica: 2.01.10

Esercizi

In una esperienza di laboratorio viene condotto un esperimento al fine di trovare il valore della carica depositata sulle armature di un condensatore. Tre gruppi di studenti, dotati di strumentazione con diversa precisione trovano i seguenti valori:gruppo 1: carica = (1.54 ± 1.2) 10–19 Cgruppo 2: carica = (1.62 ± 0.8) 10–19 Cgruppo 3: carica = (1.61 ± 0.8) 10–19 CQuale è la miglior stima della carica depositata? E quale la sua incertezza?

Si tratta semplicemente di applicare le formule della media pesata. Per comodità è meglio tralasciare nei conti il termine 10-19 e considerarlo solo alla fine.

xi i

1.54 1.2 0.6944 1.0694

1.62 0.8 1.5625 2.5312

1.61 0.8 1.5625 2.5156

3.8194 6.1162

N

i i

N

i i

i

best

x

X

12

12

1

N

i i

X best

12

11

2

1

i2i

ix

N

i 1

6014.18194.3

1162.6bestX 5117.0

8194.3

1

bestX

C1910)5.060.1(

Tenendo conto delle cifre significative:

Esercizi

Tre biologi, attraverso tre differenti tecniche di misura, calcolano il tasso di riproduzione di una colonia di batteri, cioè misurano il tempo necessario affinché la popolazione della colonia di batteri raddoppia. I tempi registrati sono:biologo 1: tempo = 11.4 ± 0.6 giornibiologo 2: tempo = 11.8 ± 0.2 giornibiologo 3: tempo = 12.2 ± 0.6 giorniTrovare la miglior stima del tempo e la sua incertezza.

Si tratta semplicemente di applicare le formule della media pesata.

xi i

11.4 0.6 2.778 31.67

11.8 0.2 25 295

12.2 0.6 2.778 33.89

30.556 360.56

N

i i

N

i i

i

best

x

X

12

12

1

N

i i

X best

12

11

2

1

i2i

ix

N

i 1

79998.11556.30

56.360bestX

1809.0556.30

1

bestX

giorni)2.08.11(

Tenendo conto delle cifre significative: