Corrente alternata La corrente si dice alternata se il suo verso di percorrenza nel circuito cambia periodicamente nel tempo; dunque a differenza della corrente continua la corrente alternata non ha una polarità definita e un verso definito La corrente alternata si indica col simbolo AC (‘alternate current’); la corrente continua si indica con DC (‘direct current’). Molti usi comuni dell’energia elettrica si basano sulla corrente AC; ad esempio la corrente proveniente dalle centrali elettriche che alimenta abitazioni, uffici, industrie, luoghi di lavoro è sempre AC; l’intensità varia sinusoidalmente nel tempo, e cambia verso con una frequenza che per le reti europee è di 50 Hz (dunque inverte il segno 50 volte al secondo); negli USA la frequenza è 60 Hz.

Quali vantaggi ha la corrente alternata rispetto a quella continua? Si adatta meglio a meccanismi rotanti, quali generatori e motori elettrici Con la corrente, anche il campo magnetico da essa generato cambia verso: ciò permette applicazioni pratiche basate sull’induzione magnetica E’ funzionale all’utilizzo del trasformatore, uno strumento estremamente importante nell’elettronica moderna, in particolare per quanto riguarda il trasporto di energia elettrica a grandi distanze

Il circuito LC Il circuito LC è strumento fondamentale per la generazione, manipolazione, e l’utilizzo di correnti alternate. Nei circuiti LC sono presenti induttori e condensatori (in realtà la resistenza è ineliminabile, per cui sono di fatto RLC). A differenza dei circuiti RC ed RL, caratterizzati da un regime transiente concluso il quale le grandezza fondamentali tornano ad essere costanti, negli LC le grandezze fondamentali variano indefinitamente nel tempo. L’andamento temporale è sinusoidale, caratterizzato da un periodo (T) e una frequenza (w) di oscillazione caratteristica del circuito. Di conseguenza, anche il campo elettrico all’interno del condensatore e campo magnetico nell’induttore non sono costanti, ma oscillano nel tempo, dando origine a oscillazioni elettromagnetiche. Vedremo che:

22

2

1

2

1Li

C

qUU LC

Negli LC valgono in ogni istante le leggi di Kirchoff e, in assenza di resistenze, vale la conservazione dell’energia totale:

COSTANTE NEL TEMPO

LC

1w LCT

w

2

2

Il circuito LC: primo semiperiodo

)(a )(b )(c )(d )(e

a) C totalmente carico, UE è massima; L è scarico, ovvero i=0, UL =0 b) C inizia a scaricarsi, la corrente fluisce in senso antiorario attraversando L; l’energia si trasferisce da C ad L: UE decresce ed UL cresce ma UE + UL è costante c) C è scarico, i è massima, il campo magnetico in L è anch’esso al suo massimo valore; l’energia è totalmente accumulata in L. d) la corrente inizia a decrescere: L reagisce compensando la diminuzione con la corrente indotta; i continua a fluire nello stesso verso, caricando i piatti di C con cariche opposte a quelle iniziali e) C è di nuovo totalmente carico, ma con campo elettrico opposto a quello iniziale; corrente e campo magnetico in L sono nulli, tutta l’energia è in UE

Il circuito LC: secondo semiperiodo

f) Inizia il processo inverso, caratterizzato da una corrente di verso orario: C si scarica, cresce la corrente ed il campo magnetico in L g) corrente e campo magnetico sono di nuovo al loro massimo, C è scarico h) la corrente diminuisce, inizia il processo di ricarica del condensatore che riporta il sistema allo stato di partenza (a). In assenza di resistenze che dissipano energia, il processo si ripete indefinitamente con una frequenza caratteristica.

)(h ( )a)( f )(g

Il circuito LC: periodo completo

)( f)(g)(h

)(a )(e)(b )(d)(c

Equazioni del circuito oscillatore LC Consideriamo il circuito LC in figura; nei circuiti AC non esiste un verso assoluto della corrente positiva; assumiamo convenzionalmente che la corrente positiva scorra in verso orario

Si dimostra facilmente che questa equazione è soddisfatta dalla funzione sinusoidale:

si ottiene un’equazione differenziale del 2° ordine in q(t), detta anche equazione dell’oscillatore:

( ) cos( )q t Q tw

2

2

di d q

dt dt

2

20 (1)

d q qL

dt C

0q di

LC dt

i a

bc

d a b C c d L

q diV V V V V V L

C dt

l’equazione di Kirchoff è:

sostituendo

ove è una fase arbitraria, Q il valore massimo della carica sui piatti del condensatore, ed w la frequenza caratteristica del circuito

Equazioni dell’oscillatore LC

)cos( ww tQdt

dq

2 1cos( ) cos( ) 0L Q t Q t

Cw w w

)cos(2

2

2

ww tQdt

qd

1

LCw

Dimostrazione: calcoliamo le derivate della carica:

( ) cos( )q t Q tw

derivata 1° derivata 2°

Sostituiamo nell’equazione dell’oscillatore:

2 10L

Cw

Chiaramente l’equazione è soddisfatta per: frequenza dell’oscillatore LC

( ) sin( ) sin( )i t Q t I tw w w

I e Q sono i valori massimi di corrente e carica durante l’oscillazione

Carica del condensatore:

Corrente nel circuito:

Il circuito LC è il prototipo di circuito a corrente alternata: il verso della corrente non è costante, ma varia continuamente con una frequenza caratteristica del circuito data da w

Equazioni dell’oscillatore LC: fase arbitraria Nella soluzione dell’oscillatore vi è una fase indeterminata , per cui qualsiasi valore di soddisfa allo stesso modo l’equazione di 2° ordine; il valore di è fissato dalla condizione iniziale; ad esempio scegliendo =0 stabiliamo che per t = 0, C è totalmente carico e la corrente nulla:

QqtQtq )0()cos()( w

0)0()sin()( itQti ww)(tq

I

)(ti

Q

q(t) e i(t) differiscono, oltre che per ampiezza dell’oscillazione, per una fase uguale ad ¼ di periodo: quando q(t) = Q la corrente è nulla quando i(t) = I la carica sui piatti è nulla

Avendo definito positiva la corrente di verso orario, il segno – implica che all’inizio la corrente scorre in verso antiorario

=0 t = 0

Oscillatore LC: carica e corrente

Scegliere 0 significa traslare i(t) e q(t) lungo l’asse del tempo, ovvero iniziare il processo oscillatorio da un’altra situazione; ad esempio per l’istante t = 0 corrisponde alla configurazione (e)

)(a ( )c ( )e ( )g ( )a

( )q t

( )i t

I

Q

t

t

4

T

2

T T3

4

T

LCT w

2

22

w

w3

2

w

2

w

Oscillatore LC: potenziali

Le d.d.p. ai capi di C ed L sono uguali in ampiezza ma di segno opposto, ovvero differiscono per una fase uguale ad ½ di periodo. In questo modo ad ogni istante la loro somma è sempre nulla, come imposto dall’equazione di Kirchoff

)(a ( )c ( )e ( )g ( )a

( )( ) cos( )C

q t QV t t

C Cw

Q

C

t

4

T

2

T T3

4

T

( ) cos( )L

di QV t L t

dt Cw

t

Q

C

Oscillatore LC: energia

L’energia totale è conservata, infatti in qualsiasi istante t:

2 22( )

( ) cos ( )2 2

C

q t QU t t

C Cw

2 2 2 22 2( )

( ) sin ( ) sin ( )2 2 2

L

Li t Q L QU t t t

C

ww w

l’ampiezza delle oscillazioni Q2/(2C) è la stessa per UC e UL; quando UC è massima UL è nulla, e viceversa

2

( ) ( )2

C L

QU t U t

C

Energia elettrica:

Energia magnetica:

( )CU t

( )LU t

Problema 31.1 Un condensatore con C =2 mF viene caricato ad una tensione V = 50 V; una volta scollegato dalla batteria, viene connesso ad una bobina di L =20 mH, così da generare oscillazioni LC (si assume resistenza nulla)

22Tm C

H F sA V

corrente massima:

22 21

10 (0.5 ) 2.52 2

QU L I mH A mJ

C

4110 100 0.5

2I Q C V Hz C Aw w m

a) Calcolare la frequenza caratteristica, la carica massima, la corrente massima, e l’energia immagazzinata nel circuito:

4

8 2

1 1 10.5 10

20 2 4 10Hz

LC mH F sw

m

40.0796 10 7962

Hz Hzw

frequenza angolare:

frequenza:

Energia:

2 50 100Q C V F V Cm m carica massima:

Problema 31.1

orario

5000 radianti corrispondono a 5000/ 2 =795.77 oscillazioni; eliminando le oscillazioni complete, si ottiene 0.77 oscillazioni, corrispondenti ad una fase 0.772 = 1.55 ; siamo quindi vicini alla condizione i(t) massima e positiva (verso orario) e carica ai piatti nulla (la fase “g” dell’oscillazione); 25000/ 2 =3978+0.87, corrispondente alla fase 0.872 = 1.75 ; siamo tra 3/2 e 2, nella fase “h” dell’oscillazione 40000/ 2 =6366.2, corrispondente alla fase 0.22 = 0.4 ; dunque poco prima di /2; la corrente è vicina al suo massimo negativo, fase “c” dell’oscillazione

( ) sin( ) sin( )i t Q t I tw w w

b) Calcolare intensità e verso (orario o antiorario) della corrente nel circuito agli istanti t= 1 s, 5 s, 8 s

1 0.5 sin 5000 0.5 ( 0.987) 0.49 0

5 0.5 sin 25000 0.5 ( 0.71) 0.36 0

8 0.5 sin 40000 0.5 (0.94) 0.47 0

t s i A rad A A

t s i A rad A A

t s i A rad A A

orario

antiorario

i a

bc

d

Problema 31.1

concorde con i

NB: per t =1s, t =3s i(t) è positiva, di/dt è negativa: la corrente si riduce, per cui la corrente autoindotta è concorde con i(t); per t = 8s i(t) è negativa, di/dt è negativa: ciò significa che i(t) in valore assoluto è in aumento per cui la corrente autoindotta deve essere discorde da i(t)

c) Calcolare la f.e.m. autoindotta agli istanti t= 1 s, 5 s, 8 s; ad ogni istante indicare se la corrente autoindotta è concorde o discorde con la corrente presente in quegli istanti nel circuito

1 50 cos 5000 50 0.155 7.73

5 50 cos 25000 50 0.70 35

8 50 cos 40000 50 0.32 16.13

L

L

L

t s V rad V V

t s V rad V V

t s V rad V V

E

E

E

cos( ) 50 cos( )L

di QL t V t

dt Cw w E

2 cos( )di

Q tdt

w w i a

bc

d

concorde con i

discorde da i

Il circuito ‘reale’ RLC

Nel circuito LC, l’energia oscilla sinusoidalmente, trasferendosi continuamente da condensatore ed induttore. Ovviamente nei circuiti reali c’è sempre una seppur piccola resistenza. Dunque, un LC in realtà è sempre RLC.

Le resistenze dissipano energia, per cui l’effettivo andamento è oscillatorio smorzato, come nel grafico della corrente in figura: dopo alcune oscillazioni l’energia iniziale del circuito è totalmente dissipata e la corrente si estingue. Per avere oscillazioni durevoli nel tempo è necessario inserire nel circuito un generatore di corrente alternata, variabile sinusoidalmente nel tempo, che compensi la perdita di energia dovuta alla resistenza del circuito.

LCg /1 ww

Al fine di avere la massima ampiezza di corrente è necessario che il generatore eroghi una corrente di frequenza (wg) uguale alla frequenza caratteristica del circuito LC, ovvero che sia:

condizione di risonanza

Il generatore di corrente alternata In figura è illustrato il funzionamento di un generatore di corrente alternata. Supponiamo di mettere in rotazione uniforme, mediante forza meccanica applicata dall’esterno, una spira conduttiva, immersa in un campo magnetico uniforme. La variazione del flusso genera una f.e.m. indotta e dunque una corrente nella spira.

La f.e.m. indotta dalla rotazione della spira è alternata, con frequenza uguale a quella di rotazione della spira:

Gli estremi della spira terminano con due anelli conduttori connessi mediante delle spazzole metalliche al circuito esterno: durante la rotazione della spira le spazzole restano in contatto col resto del circuito, permettendo alla corrente prodotta di trasferirsi all’esterno; la corrente generata è:

)sin( tgm wEE

mE : f.e.m. massima gw : frequenza di rotazione della spira

)sin( w tIi g

La differenza di fase tra f.e.m. e corrente dipende dal circuito esterno

Potenza nel circuito RLC Nel circuito RLC l’energia media del campo magnetico e del campo elettrico sono costanti, per cui non causano dissipazione di energia; l’energia prodotta dal generatore è interamente consumata su R, dunque il trasferimento di energia netta avviene tra il generatore e la resistenza. La potenza istantanea dissipata su R è (dimentichiamo la fase):

2 2 2( ) ( ) sin ( )gP t Ri t RI tw

Dalla potenza istantanea calcoliamo la potenza media dissipata su R in un periodo (consideriamo che il valor medio di sin2 è 1/2):

22 2 2sin ( )

2g

IP Ri RI t Rw

2

1sin2

22 ( )

2 2qm

I II i t

Possiamo riscrivere questo risultato in modo più compatto utilizzando il concetto di valore quadratico medio: per la corrente:

Il valore quadratico medio di una grandezza variabile nel tempo corrisponde al valore massimo diviso radice di 2 (questa definizione vale per qualsiasi grandezza variabile in modo sinusoidale nel tempo)

Potenza nel circuito RLC

Possiamo quindi riscrivere la potenza media dissipata su R:

/ 2qm mV V 2/mqm EE

qm qm qm qmP I V I E

Si ha che la potenza media erogata dal generatore è:

2

qmP R I

Se si considerano valori quadratici medi, le relazioni fondamentali tra le grandezze di un circuito AC hanno la stessa forma di quelle di un circuito DC; i valori tipici di tensione e corrente negli AC sono sempre riferiti a valori qm; per esempio, nelle abitazioni Vqm=220 V; Iqm = 16 A

Dunque considerando valori quadratici medi al posto di quelli istantanei, la formula della potenza media dissipata riacquista un aspetto del tutto simile a quella utilizzata in precedenza per le correnti costanti nel tempo. Lo stesso concetto vale per tutte le altre grandezze dipendenti dal tempo; ad esempio, definiamo f.e.m. e d.d.p. quadratica media:

Trasmissione di Energia

Per ragioni di sicurezza ed efficienza, è preferibile avere, sia nell’impianto di produzione (la centrale termoelettrica o idroelettrica), sia nel luogo di utilizzo (l’abitazione o l’ufficio), basse differenze di potenziale e alte correnti. Di contro, se l’energia deve essere trasportata attraverso grandi distanze, per la legge di Joule è molto sconveniente avere alte correnti, poiché la potenza dissipata lungo il cavo dipende dal quadrato della corrente. Si preferisce dunque trasportare piccole correnti ad alta tensione (fino a 500 KV !).

Si è visto che, nei circuiti AC (in seguito omettiamo il pedice ‘qm’, dando per scontato che correnti e tensioni siano valori qm):

P V I

Ovviamente la stessa potenza media può essere erogata da correnti elevate a basso voltaggio, oppure basse correnti ad alta tensione.

Il problema è risolto mediante l’uso del trasformatore, uno strumento in grado di trasformare potenze elettriche di alta tensione e basso voltaggio in bassa tensione ed alto voltaggio, e viceversa.

Il trasformatore è costituito da 2 bobine avvolte attorno ad un nucleo di ferro; la bobina primaria ha Np spire, quella secondaria Ns spire. La primaria è connessa con un generatore di corrente alternata, la secondaria è chiusa su un carico resistivo. La corrente alternata nel circuito primario produce un campo magnetico ed un flusso variabile FB nella bobina primaria; poiché il ferro è un materiale ferromagnetico, il flusso FB si trasmette uniformemente in tutto il nucleo di ferro; dunque nella regione della bobina secondaria è presente lo stesso flusso FB; ne deriva che su ogni singola spira delle due bobine agisce la stessa f.e.m.

Il funzionamento del trasformatore si basa sull’induzione magnetica e funziona soltanto per correnti alternate (AC); di contro, trasformare correnti continue (DC) richiede metodi molto più complessi

Il trasformatore

Il trasformatore: trasformazione della tensione Dall’uguaglianza del flusso magnetico attraverso ciascuna spira delle due bobine, segue che le d.d.p. ai capi della bobina nel circuito primario (Vp) e secondario (Vs) sono:

Bp p

dV N

dt

F B

s s

dV N

dt

F

p s ss p

p s p

V V NV V

N N N

Vp è fissato dal generatore, per cui possiamo considerarla la tensione di input; Vs è la tensione di output ottenuta dalla trasformazione, e dipende dal rapporto tra le spire delle bobine; per Ns > Np il trasformatore è detto elevatore, poiché eleva la tensione d’ingresso Vp ad un valore più alto; se invece Np > Ns il trasformatore riduce la tensione d’ingresso ed è detto riduttore. Nel disegno è chiaramente riportato lo schema di un elevatore.

Legge di trasformazione della tensione

Il trasformatore: trasformazione della corrente Determiniamo le correnti nel circuito primario (Ip) e secondario (Is) utilizzando il principio di conservazione dell’energia. Sappiamo che le induttanze non dissipano energia se supponiamo trascurabili le loro resistenze interne rispetto al carico R; dunque, tutta la potenza erogata dal generatore nel circuito primario deve essere dissipata sulla resistenza del circuito secondario.

g p pP I V

p p

s p p

s s

V NI I I

V N

Legge di trasformazione della corrente

2

d s s sP I R I V

p p s sI V I V

potenza erogata nel primario:

potenza dissipata nel secondario:

conservazione dell’energia: