Induzione elettromagnetica

La scoperta di Oersted (1820) che correnti elettriche sono in grado di generare campi magnetici fu sbalorditiva; altrettanto sorprendente fu scoprire che è vero anche il viceversa, ovvero che i campi magnetici sono in grado di generare campi elettrici e quindi correnti elettriche. Il legame tra campo magnetico e campo elettrico da questo generato è descritto dalla legge di Faraday sull’induzione elettromagnetica (1831)

Michael Faraday (Southwark, UK, 1791 – 1867)

L’induzione magnetica è alla base di moltissime applicazioni che sono parte della nostra esistenza quotidiana: dalla chitarra elettrica agli elettrogeneratori che alimentano di corrente elettrica le città e le linee di trasmissione; dalle piastre da cucina ai grandi forni ad induzione delle fonderie.

Aspetti fenomenologici dell’induzione

si genera corrente solo se spira e magnete sono in moto relativo, ovvero se uno dei due si muove rispetto all’altro; se sono fermi non succede nulla un moto più veloce produce corrente più intensa se ripetiamo l’esperimento invertendo il verso del magnete (col polo sud più vicino alla spira) la corrente nella spira si inverte

1) Consideriamo una spira isolata, con un amperometro inserito per misurare corrente; non c’è generatore né corrente nella spira; 2) Avviciniamo un magnete in modo che le linee di campo del magnete entrino nella spira: l’amperometro segna una corrente nel circuito 3) Manteniamo il magnete immobile vicino alla spira: la corrente cessa 4) Allontaniamo il magnete dalla spira: compare una corrente di verso opposto.

La corrente che compare nella spira è detta corrente indotta, la d.d.p. è detta forza elettromotrice indotta, e il fenomeno induzione elettromagnetica

Flusso del campo magnetico

Faraday capì che la corrente indotta nella spira è generata dalla variazione nel tempo dell’ intensità del campo magnetico attraverso la spira in cui si induce la corrente, ovvero dalla variazione nel tempo del numero di linee di forza che attraversano l’area della spira. Dunque, non è l’intensità del campo (ovvero il numero assoluto di linee forza) che conta, ma il fatto che queste stiano variando nel tempo; quanto più rapida è questa variazione, tanto più forte la corrente indotta

flusso del campo magnetico attraverso la superficie A

Il campo magnetico attraverso la spira è quantificato dal FLUSSO, che dà il numero di linee di campo che attraversano la superficie della spira

A

B AdB

Nel caso più semplice di una spira piana di area A, e di un campo uniforme su tutti i punti della superficie, e perpendicolare alla superficie:

L’unità di misura del flusso magnetico è il Weber (Wb):

BAB 2mTWb

Legge di Faraday

La forza elettromotrice indotta in una spira conduttrice è uguale alla derivata temporale del flusso magnetico attraverso l’area della spira, cambiata di segno.

Se invece di una singola spira si ha una bobina con N spire, le f.e.m. indotte su ciascuna spira si sommano come N batterie collegate in serie; per cui la f.e.m. totale indotta nella bobina è

Il segno (–) indica che la corrente indotta si oppone all’aumento del flusso (legge di Lenz)

Vi sono diversi modi per far variare il flusso attraverso la spira: Utilizzando un campo B variabile nel tempo Variando l’area o deformando la spira Se B è non uniforme variando la posizione della spira rispetto al campo Ruotando la spira, in modo che cambi l’angolo tra B e dA

t

B

E

tN B

E

Legge di Lenz Avvicinandosi o allontanandosi dalla spira, il campo B prodotto dal magnete nel piano della spira aumenta o diminuisce di DB; la corrente i indotta nella spira ha verso tale che il campo magnetico Bi generato dalla corrente è sempre opposto a DB (Heinrich Friedrich Lenz, 1834)

x̂

Problema 30.1 Consideriamo un lungo solenoide composto da n=200 spire/cm, percorso da corrente i0= 5 A, di diametro D=3.2 cm; nel centro del solenoide è inserita una bobina di sezione circolare con N=100 spire, e diametro d=2 cm; la corrente nel solenoide viene diminuita con progressione costante (varia linearmente con t) fino a diventare nulla dopo un tempo Dt=40 ms; calcolare la f.e.m. indotta nella bobina interna mentre la corrente del solenoide varia, ed il verso della corrente indotta nella bobina

ctiti 0)(

Il lungo solenoide può essere considerato ideale, per cui il campo interno è uniforme e vale:

xniB ˆ0

La corrente del solenoide viene ridotta linearmente nel tempo, per cui varia secondo la legge:

La corrente deve annullarsi dopo un tempo Dt per cui: t

i

t

i

t

titi

t

ic

D

D

D 0

00 ;1)(

Problema 30.1 n=200 spire/cm; i0=5 A; N=100 spire; d=2 cm; Dt=40 ms

Vs

Tm

m

Vs

m

s

C

NT

s

CmTAmTN

2

2

Essendo B perpendicolare all’area A della bobina, il flusso di B attraverso l’area è:

Dalla legge di Faraday:

t

inNA

t

inNA

t

BNA

tN B

D

0

00 E

22;

4B

dBA A cm

47 4 2 2 2

3

2 10 54 10 100 10 10

40 10

Tm Am V

A m s

E

Problema 30.1

B è diretto verso l’asse x positivo, ma la corrente del solenoide decresce col tempo, dunque dB/dt è diretto in senso opposto; per la legge di Lenz, la corrente nella bobina deve scorrere in verso tale da generare un campo indotto Bin che si opponga alla variazione del campo esterno; dunque Bin è concorde con B ed opposto a dB/dt. Si noti un altro modo per leggere la legge di Lenz: poiché la corrente del solenoide diminuisce nel tempo, la corrente indotta nella bobina fluisce nello stesso verso in modo da compensarne la riduzione

t

B

B

inB

x̂

Problema 30.2 In figura vediamo una spira di resistenza R connessa ad una batteria; la spira è formata da un semicerchio di raggio r e 3 tratti rettilinei; il semicerchio è immerso in un campo magnetico B variabile nel tempo, perpendicolare e uscente dal piano

21 ; 2 ; 10 ; 4 2 3bat V R r cm B t t T E

a) Calcolare la f.e.m. indotta ed il verso della relativa corrente indotta nella spira all’istante t=10 s

2

;2

B

rBA A

Il flusso magnetico attraverso il semicerchio è:

2 2( )10 8 2

2

Bi

B t TA m t

t t s

E

La f.e.m. indotta dalla variazione del flusso (omettiamo il segno -):

Per t=10 s: 2

2 210 82 1.29 1.292

i

T Tmm V

s s

E

Problema 30.2

1 ; 1.29bat iV V E E

B è uscente dalla pagina e la sua variazione dB/dt positiva e dunque uscente anch’essa; il campo indotto deve essere opposto e dunque entrante nella pagina, dunque iin circola in senso orario

iE

ib) Calcolare la corrente totale nella spira all’istante t=10 s

in batin bat Ri i

R

E EE E

bati ini

0.290.145

2

Vi A

Problema 30.3 La spira rettangolare in figura di lati W ed H giace in un campo magnetico non uniforme e variabile nel tempo, perpendicolare alla pagina, di verso entrante TtxBmHmW 224;2;3

Calcolare la f.e.m. indotta ed il verso della corrente indotta nella spira all’istante t = 0.1 s

23 38 8

3 3

Bi

TmtW H tW H V

t s

E

Per t=0.1 s:

Poiché B è entrante nella pagina e la sua variazione nel tempo positiva, anche DB è entrante; dunque il campo indotto deve essere uscente dalla pagina, e la corrente indotta deve circolare in senso antiorario

x

232

00

22

3

44 TmHWtdyxdxtdABAdB

HW

AA

B

8 / 3 0.1 27 2 14.4i V V E

Induzione e trasferimento di energia Se avviciniamo la barra magnetica alla spira sentiamo una forza repulsiva che tende a repellere la barra e la spira: dobbiamo applicare una forza e dunque spendere una certa energia per avvicinare spira e barra magnetica Se allontaniamo la barra magnetica dalla spira sentiamo una forza attrattiva che tende ad avvicinare la barra e la spira: dobbiamo applicare una forza e dunque spendere una certa energia per allontanarle

A cosa è dovuta questa energia questa necessità di esercitare forza dall’esterno per spostare il magnete ?

B

DiB

Calcolare questa energia nel caso della figura è complicato; consideriamo un caso più semplice

la spira (se non è superconduttiva) ha sempre una sua resistenza, dunque far circolare la corrente indotta richiede un’energia termica da spendere nel circuito: una corrispondente quantità di energia meccanica deve dunque essere fornita dall’esterno

Induzione e trasferimento di energia Consideriamo un campo B uniforme entrante nella pagina all’interno della regione tratteggiata, ed una spira rettangolare immersa nel campo, di resistenza R; estraiamo la spira dal campo muovendola con velocità v costante; durante l’estrazione, il flusso magnetico attraverso la spira ovviamente diminuisce; se x è la porzione di lato orizzontale della spira immersa nel campo, si ha:

Per v costante: x b vt

;Bi

BLvBLv i

t R

E

la corrente indotta deve generare un campo Bi che compensa la diminuzione del flusso, dunque concorde con B; ne segue che i circola in senso orario, come in figura

B BLvt

BLxdABAdBAA

B

x̂

Induzione e trasferimento di energia

A seguito della corrente indotta, sui lati della spira immersi nel campo si generano forze di Lorentz; sui lati orizzontali le forze sono uguali ed opposte in verso, dunque possiamo limitarci a considerare soltanto la forza sul lato verticale F1 :

xR

vBLxLBiF ˆˆ

22

1

Dunque, appena iniziamo ad estrarre la spira, si genera la forza F1 che cerca di risucchiare la spira all’interno del campo (si noti che F1 è costante, essendo v costante)

Per estrarre la spira dal campo è necessario applicare una forza uguale in modulo ed opposta in verso ad F1; il lavoro meccanico necessario ad estrarre un tratto dx della spira è:

1dL F dx

x̂

Induzione e trasferimento di energia

Calcoliamo quindi la potenza meccanica necessaria ad estrarre la spira (sfruttiamo il fatto che F1 non varia nel tempo):

2 2 2

1 1

dL dx L B vP F F v

dt dt R

Calcoliamo la potenza dissipata sulla spira in energia termica:

R

vBLRiP

2222

Come volevasi dimostrare: la potenza dissipata in energia termica dalla corrente indotta è uguale alla potenza meccanica che si deve spendere per estrarre la spira dal campo magnetico

x̂

Il campo elettrico indotto

Se nell’anello esiste una f.e.m. che produce la corrente, ciò vuol dire che deve esistere un campo elettrico indotto E prodotto da dB(t)/dt. Questo porta alla seguente riformulazione della legge di Faraday:

un campo magnetico variabile nel tempo genera un campo elettrico Il campo elettrico indotto da B(t) è tanto reale quanto quello prodotto dalle cariche elettriche, ed esiste a prescindere dall’anello conduttore: se nello spazio sono presenti cariche elettriche mobili, il campo elettrico è in grado di accelerare le cariche elettriche e generare una corrente; in assenza di cariche non c’è alcuna corrente indotta, ma il campo elettrico ESISTE comunque !

Consideriamo un campo magnetico uniforme B(t) variabile nel tempo, all’interno di un volume cilindrico di raggio R, perpendicolare alla pagine in verso entrante. Consideriamo un anello conduttore rosso di raggio r all’interno del campo: la variazione di flusso produce una f.e.m. e dunque una corrente i nell’anello. Se B(t) aumenta nel tempo dB(t)/dt è orientato in verso entrante come B(t), dunque i scorre in senso antiorario, come prescritto da Lenz.

Il campo elettrico indotto Eliminiamo l’anello conduttore e disegniamo idealmente un cerchio di raggio r, concentrico all’asse del cilindro: in ogni punto del cerchio esiste un campo E indotto in grado di generare una corrente di verso antiorario. La f.e.m. indotta lungo i punti della circonferenza è (tralasciamo il segno di Lenz):

2B B BA r

t t t

E

Essendo B uniforme, il flusso e dunque la f.e.m. hanno simmetria cilindrica; di conseguenza, anche E deve avere simmetria cilindrica la f.e.m. e dunque l’intensità di E cresce con r

la direzione di E è tangenziale alla circonferenza come per la corrente indotta, il verso di E è dettato da Lenz le linee di flusso di E sono cerchi concentrici che si addensano allontanandosi dal centro

Linee del campo elettrico indotto

NB: le linee di flusso del campo elettrico generato da cariche elettriche hanno un inizio (dalla carica positiva) ed una fine (nella carica negativa); al contrario, le linee del campo generato da dB(t)/dt devono essere linee chiuse, ovvero non possono né iniziare né finire in alcun punto dello spazio

Riformulazione della legge di Faraday

Consideriamo un circuito chiuso conduttore di forma qualsiasi (ad esempio la curva rossa in figura) all’interno del campo B(t). Possiamo sempre scrivere la f.e.m. che dà origine alla corrente nel circuito come lavoro del campo elettrico lungo il circuito:

(1)V V E ds E

la legge di Faraday può essere riscritta come:

(2)BE dst

Questa formulazione della legge mostra che la variazione nel tempo del flusso magnetico genera un campo elettrico avente circuitazione diversa da zero rispetto ad un QUALSIASI CAMMINO CHIUSO interno a B(t)

NB: se la variazione di flusso è dovuta allo spostamento della spira, anche la forza di Lorentz compie lavoro e contribuisce alla f.e.m, per cui le formule (1) e (2) diventano più complesse

Campo elettrico indotto di simmetria cilindrica

Sfruttando la simmetria cilindrica del problema, possiamo ipotizzare il campo elettrico dipendente dal raggio, e tangenziale alla circonferenza, per cui:

1( )

2

BE r r

t

tsdE B

Applichiamo Faraday al calcolo del campo elettrico indotto da B(t) uniforme all’interno di un volume cilindrico; la variazione di flusso magnetico all’interno di una circonferenza di raggio r è:

2B Br

t t

2E ds E r Dalla legge di Faraday si ricava che l’intensità del campo elettrico in ogni punto del volume cilindrico è data da:

Problema 30.4 Consideriamo un campo magnetico uniforme B(t) variabile nel tempo, all’interno di un volume cilindrico di raggio R = 8 cm, perpendicolare alla pagine in verso entrante. Sia dB(t)/dt = 0.1 T/s a) Calcolare il campo elettrico nel punto r = 5 cm

(interna al cilindro, freccia rossa in figura)

Abbiamo visto che sfruttando la simmetria cilindrica si ottiene:

22 2 21 1 1

( ) 0.1 5 10 0.25 10 0.25 102 2

B T Tm VE r r m

t s s m m

b) Calcolare il campo elettrico in r = 12 cm (fuori dal cilindro, freccia blu)

la circuitazione di E lungo il cerchio di raggio r è: )2( rEsdE

il flusso magnetico attraverso la superficie di raggio r è uguale al flusso attraverso l’intera sezione del cilindro:

2Rt

B

t

B

r

Problema 30.4

Intensità del campo elettrico generato dal campo magnetico uniforme interno ad una regione cilindrica di raggio R: all’interno del cilindro il campo elettrico cresce linearmente; all’esterno il campo elettrico decresce come 1/r

r

R

t

BE

2

2

1

rt

BE

2

1

R

r2

4 22

2

1( )

2

1 64 100.1 0.27 10

2 12 10

B RE r

t r

T m V

s m m

Induttori e induttanze

i

NL B

L’induttore è un dispositivo in grado di generare un campo magnetico di forma specifica. E’ dunque l’analogo magnetico del condensatore, capace di generare un campo elettrico di forma nota nello spazio. Tipici induttori sono solenoidi, toroidi, e bobine. Come i condensatori sono caratterizzati dalla capacità, gli induttori sono caratterizzati dall’INDUTTANZA. Dato un induttore caratterizzato da N spire, corrente i, e flusso magnetico B, si definisce induttanza:

Il prodotto NB si definisce flusso concatenato, e rappresenta il flusso totale del campo magnetico generato dall’induttore attraverso l’intera sezione dell’induttore; l’induttanza è il flusso concatenato per unità di corrente. L’unità di misura dell’induttanza è l’Henry (H), dal nome di Joseph Henry (contemporaneo di Faraday): un Henry è uguale a un Weber su un Ampère:

HA

Wb

A

TmL

2

Induttanza del solenoide Consideriamo un solenoide ideale lungo l, densità di spire n, e corrente i; il campo magnetico interno è

Analogamente alla capacità, anche l’induttanza dipende unicamente da fattori geometrici; anche dal punto di vista concettuale si può cogliere un’analogia: la capacità è il rapporto tra carica del condensatore e la d.d.p. da essa generata all’interno del condensatore; l’induttanza è il rapporto (inverso) tra corrente nel filo e flusso di campo magnetico generato dalla corrente nel solenoide

inB 0

il flusso magnetico attraverso la sezione di area A: inABAB 0

Anl

L 2

0Possiamo considerare l’induttanza per unità di lunghezza:

l’induttanza del solenoide è: 2

0/BL N i n lA

Autoinduzione

Consideriamo un induttore qualsiasi, caratterizzato da N spire, corrente i, e flusso magnetico B; per definizione, flusso e corrente sono legate dalla relazione:

Se il flusso varia nel tempo a causa di una corrente variabile nel tempo, nell’induttore si genera una f.e.m. autoindotta data da:

BNiL

BL

iN L

t t

E

Un campo magnetico variabile nel tempo genera una f.e.m. ed una corrente indotta in un qualsiasi circuito immerso nel campo. Se il campo magnetico è a sua volta generato da una bobina o da un circuito qualsiasi, una f.e.m. indotta verrà generata dal campo magnetico anche nella bobina generatrice del campo: in tal caso si dice che la f.e.m. è autoindotta. Proprio come una qualsiasi f.e.m. indotta, anche la f.e.m. autoindotta obbedisce alla legge di Faraday.

Negli induttori L è tipicamente costante, per cui il flusso varia esclusivamente attraverso la variazione di corrente

Autoinduzione

t

iL

tN B

L

E

In un qualsiasi induttore, ogni volta che la corrente varia nel tempo si genera una f.e.m. autoindotta. Si noti che il valore di i(t) non influenza affatto la f.e.m. autoindotta, conta soltanto la derivata nel tempo di/dt. Il verso della corrente autoindotta è sempre tale da opporsi alla variazione di i(t); consideriamo la bobina gialla in figura, e supponiamo un verso per i(t)

Se i(t) cresce la corrente autoindotta si oppone all’incremento, per cui scorre in verso opposto ad i(t); se i(t) decresce, la corrente indotta è concorde con i(t) in modo da compensarne il decremento

i

B

iBD

iB

ini

i aumenta

i

BD

iB

ini

i diminuisce

Circuito RL: fase di accensione Si dicono RL i circuiti contenenti resistenze e induttanze; analogamente ai circuiti RC, sono caratterizzati da un regime transiente in cui corrente e d.d.p. variano nel tempo; in figura, quando l’interruttore chiude il circuito la corrente inizia a circolare; in assenza di L la corrente raggiungerebbe in un tempo rapidissimo il suo valore stazionario:

Ri

E

t

iLL

E

Di contro, in presenza di L, durante il periodo transiente la corrente genera nell’induttanza un campo B(t) che aumenta nel tempo, e di conseguenza una f.e.m. autoindotta:

e quindi una corrente autoindotta di verso opposto a quella della batteria; l’effetto netto della contrapposizione tra f.e.m. costante della batteria e f.e.m. dovuta all’induzione è una corrente che cresce lentamente, raggiungendo il valore stazionario nel limite asintotico. Una volta raggiunto il regime di corrente stazionaria, la corrente autoindotta si annulla e l’induttanza si comporta come un ordinario segmento di filo conduttore.

Circuito RL: fase di accensione Applichiamo Kirchoff al circuito RL in figura; abbiamo due f.e.m.: quella della batteria, e quella autoindotta nell’induttanza:

Questa è un’equazione differenziale di primo ordine in i(t), con la condizione iniziale: i(0)=0, simile a quella già vista per la carica q(t) nel circuito RC;

iL Ri

t

E

iRi L

t

E

L Ri E E

Il segno – della f.e.m. autoindotta indica chiaramente che, essendo in fase di accensione di(t)/dt > 0, la f.e.m. autoindotta è in opposizione di fase alla batteria; l’equazione di Kirchoff del circuito RL è quindi:

L

iL

t

E

1 qq R

C t

E

Circuito RL: fase di accensione

( ) 1 L

t

i t eR

E

R

LL

L è definita costante di tempo induttiva (ricordiamo che per il circuito RC C = RC) dimostriamo che anche L ha dimensione fisica del tempo:

iRi L

t

E

( )iR

E

è facile dimostrare che questa equazione è soddisfatta dalla soluzione:

come C nel circuito RC, L esprime l’ordine di grandezza del tempo necessario alla corrente per raggiungere il suo valore stazionario

2 2 2

[ ]L

L Tm L Tm Tm LL V s

R A R V s R

E’ facile vedere che all’istante iniziale (t=0) la corrente è nulla: i(0)=0; nel tempo lungo:

/ RE

( )i t

Circuito RL: fase di accensione Dalla corrente ricaviamo la d.d.p. ai capi di R:

DVR è nulla a t=0 e nel tempo lungo tende esponenzialmente alla f.e.m. della batteria.

/ Lt

L y z L

iV V V L e

t

D

E E

/( ) 1 Lt

R x yV V V Ri t e D E

per t=0, DVL è uguale (ed opposta in verso) alla f.e.m. della batteria, cosicché la corrente iniziale è nulla; ovvero, a t=0 l’induttore si comporta come un circuito aperto. Nel regime stazionario DVL si annulla, ovvero l’induttore diventa un cortocircuito.

( ) 0.63R LV D EDopo un tempo t = L:

la d.d.p. ai capi dell’induttanza è:

Circuito RL: fase di spegnimento

Una volta raggiunta la condizione di regime stazionario, spostiamo l’interruttore sul punto b, in modo da escludere la batteria e spegnere il circuito: la corrente non svanisce all’istante poiché l’induttanza compensa la riduzione di corrente con la corrente autoindotta.

La soluzione di questa equazione è:

0i

Ri Lt

/( ) Lti t eR

E

R

LL

Ri

E)0(

L’Equazione di Kirchoff è:

a t = 0 la corrente è uguale a quella a regime:

Nel tempo lungo la corrente decade esponenzialmente

i

Circuito RL: fase di spegnimento

L’equazione di Kirchoff ci dice che ad ogni istante di tempo la tensione ai capi di L compensa la tensione ai capi di R, entrambe diminuendo esponenzialmente nel tempo

/( ) Lti t eR

E

R

LL

/( ) ( ) Lt

RV t Ri t e D E

/( ) Lt

L

diV t L e

dt

D E

La d.d.p. ai capi di R:

La d.d.p. ai capi di L:

i

Problema 30.5 Il circuito in figura contiene tre resistenze uguali, due induttanze uguali, ed una batteria:

a) Calcolare la corrente attraverso il ramo della batteria all’istante iniziale, subito dopo la chiusura del circuito

La corrente scorre in 3 rami paralleli, ai cui capi c’è la stessa d.d.p, uguale alla f.e.m. della batteria; le equazioni per i 3 rami sono:

2131 2; iiiii

VmHLR 18;2;9 E

1i2i

3i

i

t

iLiRiR

t

iLiR

3

321

1 ;; EEE

Chiaramente, primo e terzo ramo sono identici per cui:

All’istante iniziale sappiamo che l’induttanza si comporta come un circuito aperto, dunque:

031 ii AV

Rii 2

9

182

E

Problema 30.5

b) Calcolare la corrente attraverso il ramo della batteria nel regime stazionario, ovvero molto tempo dopo la chiusura del circuito

2131 2; iiiii

1i2i

3i

i

t

iLiRiR

t

iLiR

3

321

1 ;; EEE

A regime la corrente non varia più e l’induzione si annulla; dunque l’induttore diventa un corto circuito: ne deriva che le correnti nei 3 rami devono essere tutte uguali:

Aii 63 2

321 iRiRiR E

Problema 30.6 Consideriamo un solenoide con resistenza interna R e induttanza L, collegato ad una batteria

Calcolare il tempo necessario alla corrente per raggiungere metà del suo valore di equilibrio

0.25 ; 50 ;R L mH

Il solenoide è dotato di una propria resistenza R; a regime diventa quindi un resistore di resistenza R, per cui: R

iE

)(

Dobbiamo determinare l’istante t’ per cui: '/ 1( ') 1

2Lti t e

R R

E E

'/ 1 ' 1 1ln ' ln 0.69

2 2 2Lt

L L

L

te t

500.2

0.25L

L mHs

R

' 0.69 0.14Lt s

sH

s

TmV

A

TmH

2

2

Energia immagazzinata nel campo magnetico Nella fase di accensione del circuito RL (corrente variabile) una porzione dell’energia erogata dal generatore è spesa per ‘caricare’ l’induttanza, ovvero generare il campo magnetico nell’induttore; a regime (corrente stazionaria) questa energia rimane immagazzinata nel campo magnetico dell’induttore, e rilasciata nel circuito durante lo spegnimento.

Torniamo all’equazione di Kirchoff per la fase di accensione, e moltiplichiamo ambo i membri per i:

potenza erogata nel circuito dalla batteria i E

Questa equazione esprime la conservazione dell’energia:

t

iLiRii

2

E

2Ri potenza dissipata in energia termica sulla resistenza R

iLi

t

potenza spesa durante la fase di corrente variabile per generare il campo magnetico dell’induttore

Energia immagazzinata nel campo magnetico

Dimostriamo che la potenza trasferita dalla batteria all’induttore è iLdi/dt; in generale, la potenza associata ad una corrente i che attraversa una ramo di circuito ai cui capi vi è una d.d.p. DV è:

Ai capi dell’induttore: dt

diLiP

Dalla potenza ricaviamo l’energia immagazzinata nell’induttore in un istante di tempo t qualsiasi:

P i V D

L

diV L

dtD

221 1

2 2

qU C V

C D

Notiamo l’analogia con l’energia accumulata nel campo elettrico del condensatore:

2

0

1( ) ( )

2

tdU diP Li U t L i di Li t

dt dt

Nel tempo lungo, l’energia totale immagazzinata è: 21( )

2U Li

Densità di energia del campo magnetico

Consideriamo un solenoide ideale di lunghezza l ed area A. Poiché il campo magnetico nel solenoide (ideale) è uniforme, anche l’energia deve essere distribuita uniformemente. La densità di energia del solenoide è quindi:

valida in generale per qualunque campo magnetico

Nel solenoide l’induttanza per unità di lunghezza è:

Notiamo l’analogia con la densità di energia del campo elettrico (valida in generale per qualunque campo):

lA

A

i

l

LiL

AlAl

Uu

22

12

2

Anl

L 2

0

0

2

0

222

022

022

1

2

1

Bininu

2

02

1Eu

Problema 30.7 Consideriamo una bobina con resistenza interna R e induttanza L:

La bobina viene collegata ad una f.e.m. di 12 V. a) Calcolare l’energia immagazzinata dal campo magnetico della bobina all’equilibrio.

All’equilibrio (regime stazionario) la bobina equivale ad un ramo chiuso di resistenza uguale ad R, per cui:

1220

0.6

Vi A

R

E

L’energia immagazzinata è quindi:

2 2 2125 (20 ) 10 10

2U Li mH A HA J

22Tm V s

H HA V s A V C JA A

0.6 ; 50 ; 12R L mH V E

0L

diV L

dtD

Problema 30.7

b) Calcolare il tempo necessario ad immagazzinare metà dell’energia totale di equilibrio

L’energia immagazzinata ad un generico t è:

Dobbiamo calcolare l’istante t’ in cui U(t’) è uguale alla metà dell’energia totale immagazzinata nel tempo lungo; quest’ultima è data da:

2

21 1 1(2)

2 4 4U Li L

R

E

2

2/21 1

( ) ( ) 1 (1)2 2

LtU t Li t L eR

E

Dobbiamo eguagliare le espressioni (1) e (2), e risolvere l’uguaglianza rispetto al tempo:

2 2

2'/1 1

12 4

LtL e LR R

E E

Problema 30.7

2

'/ '/1 1 ' 11 1 ln 1 1.23

2 2 2

L Lt t

L

te e

' 1.23 102.5Lt ms

5083.3

0.6L

L mHms

R

L’induttore raggiunge metà del carico totale di energia dopo 102 ms dall’accensione del circuito

Problema 30.8

Essendo i cavi molto lunghi, per simmetria all’esterno di ciascun cavo il campo magnetico da essi generato è uguale a quello del filo rettilineo infinito; il campo totale è dato dalla somma dei campi di ciascun cilindro; applicando la legge di Ampére, si vede facilmente che: B = 0 in qualsiasi punto interno al cilindro piccolo, poiché non vi sono correnti che intersecano l’area delimitata dal circuito amperiano; B = 0 in qualsiasi punto esterno al cilindro grande, poiché la corrente dei due cilindri si compensa soltanto nell’intercapedine tra i due cilindri B è diverso da zero

ab

i

i

Consideriamo un lungo cavo coassiale costituito da due cilindri conduttori molto sottili; il cilindro interno ha raggio a = 1.2 mm, quello esterno raggio b = 3.6 mm; la corrente i = 2 A scorre lungo il cilindro interno in un verso e lungo quello esterno (che funge da conduttore di ritorno) nel verso opposto. Calcolare l’energia immagazzinata nel campo magnetico in un tratto l = 1 m di cavo.

Problema 30.8

b

adArulU )(

2dA r dr

Al solito, per integrare nel piano una funzione dipendente dal raggio conviene prendere come area infinitesima una coroncina di raggio r e spessore dr:

2 20 012 ( ) ln

4 4

b b

a a

bU l u r rdr l i dr l i

r a

2

7 2 710 4 ln3 4.4 10Tm

U A JA

JHAATmA

TmH 22

2

B ed u non sono uniformi nel piano; dunque per calcolare l’energia in una sezione finita di cavo è necessario integrare:

2

2

2

0

0

2

0

)2(22

)()(

2)(

r

irBru

r

irB

Correnti di Focault o parassite Le corrente indotte dalla variazione del flusso magnetico non si generano soltanto all’interno di spire conduttive, ma anche in qualsiasi materiale conduttore; se estraiamo una lastra conduttiva dal campo magnetico invece che una spira, sulla lastra si generano vortici di corrente (dette anche ‘eddy currents’, dall’inglese eddy, vortice); lo stesso accade se avviciniamo ad una superficie metallica un campo magnetico variabile nel tempo (come quello prodotto da una bobina percorsa da corrente alternata)

Queste correnti, dette anche correnti di Focault o correnti parassite, possono essere molto grandi: dalla formula:

t

B

E

notiamo che il flusso magnetico può essere anche piccolo, ma se varia rapidissimamente nel tempo (ad esempio mediante un campo magnetico prodotto da una corrente alternata di altissima frequenza) la derivata del flusso, e dunque la f.e.m. indotta, può essere enorme

Riscaldamento per induzione

La generazioni di forti correnti di Focault nei metalli è alla base di alcune importanti applicazioni industriali, come i forni ad induzione per la fusione dei metalli, il riscaldamento rapido dell’acqua, i fornelli da cucina ad induzione; in tutti questi casi vengono generate nei metalli per induzione magnetica correnti di Focault molto elevate, che a loro volta generano grande quantità di calore nel materiale per effetto Joule

La chitarra elettrica

La Fender Stratocaster (Leo Fender, 1954) ha 3 gruppi di 6 microfoni elettrici (uno per corda) che catturano le vibrazioni delle corde, rispettivamente per frequenze alte, medie, e basse.

Ciascun microfono è costituito da una bobina connessa all’amplificatore, arrotolata attorno ad un piccolo magnete. La funzione del magnete è polarizzare il segmento di corda al di sopra del magnete. Far vibrare la corda equivale a far oscillare avanti e indietro una barra magnetica puntata verso la bobina: nella bobina si genera una variazione di flusso magnetico e dunque una corrente indotta il cui verso oscilla con la stessa frequenza della corda che vibra. La frequenza viene quindi trasmessa all’amplificatore e poi alle casse che la traducono in onda sonora.

corda