SANDRO RONCA

Correnti alternate

Estratto omaggio

lulu.com

© 2012 Sandro Ronca

Proprietà letteraria riservata

Prima edizione: febbraio 2012

INDICE 1 GRANDEZZE ELETTRICHE SINUSOIDALI 1

1.1 La corrente alternata 1 1.2 Sinusoide 1 1.3 Origine della corrente alternata sinusoidale 2 1.4 Generare una fem sinusoidale: spira rotante in un campo magnetico 2

1.4.1 Valore massimo della fem sui lati attivi 3 1.4.2 La forza di Lorentz e la legge e =Blv sin ωt 3 1.4.3 Casi particolari: fem massima, fem nulla 4 1.4.4 Massima differenza di potenziale ai capi della spira 5 1.4.5 Da legge e = Blv sin ωt alla legge di Faraday con calcolo differenziale 5 1.4.6 Da e = Blv sin ωt alla legge di Faraday senza il calcolo differenziale 7 1.5 Quantità di carica elettrica e valor medio di una corrente alternata sin. 11 1.5.1 Media sul semiperiodo 11 1.5.2 Valor medio della corrente alternata sul semiperiodo 12 1.6 Valore efficace di una tensione o corrente alternata sinusoidale 13 1.6.1 Ricavare il valore efficace dalla definizione 15 1.6.2 Il fattore di forma 16 1.7 Correnti alternate non sinusoidali 16 1.7.1 Valore medio, efficace e fattore di forma per funzioni non sinusoidali 17 1.8 Fase di una corrente o tensione alternata 18 Problemi 19

2 SINUSOIDI, VETTORI E NUMERI COMPLESSI 21

2.1 Operazioni con correnti o tensioni alternate sinusoidali 21 2.2 Vettori rotanti e sinusoidi. Diagramma vettoriale 21 2.3 Utilità della rappresentazione vettoriale delle sinusoidi 23 2.4 Prodotto e divisione tra sinusoidi 24 2.5 Effetti sulla fase delle sinusoidi 24 2.6 Fasori 24 2.7 Dai fasori ai numeri complessi 26 2.8 Numeri complessi 26 2.9 Corrispondenza tra numeri complessi e sinusoidi 28 2.10 Forma esponenziale di un vettore rotante. Forma polare di un fasore 29 2.11 Utilità della rappresentazione esponenziale o polare dei numeri complessi 30

2.12 Significato geometrico di 33

Problemi 34

II

3 IMPEDENZA E REATTANZA 37 3.1 Legge di Ohm per un resistore percorso da corrente alternata sinusoidale 37 3.2 Nel resistore tensione e corrente sono in fase 37 3.3 Componenti reattivi 40 3.4 Induttore e induttanza 40 3.5 Induttore percorso da una corrente alternata 41

3.5.1 Induttanza e autoinduzione, brevi richiami teorici 41 3.5.2 Significato fisico dell’anticipo della tensione sulla corrente nell’induttore 45 3.5.3 Induttore reale in regime sinusoidale 46 3.5.4 La potenza reattiva induttiva istantanea 50 3.5.5 La reattanza induttiva è un numero immaginario 51

3.6 Condensatore sottoposto ad una tensione alternata 53 3.6.1 Il condensatore è un componente reattivo 56 3.6.2 La reattanza capacitiva è un numero immaginario 57 3.6.3 La potenza istantanea capacitiva è di tipo reattivo 59

3.7 Reattanza senza il calcolo differenziale 61 3.8 L’impedenza 64

3.8.1 Impedenza di un resistore R e un induttore L collegati in serie 65 3.8.2 Triangolo delle tensioni e il triangolo dell’impedenza 68 3.8.3 Resistore R e condensatore C in serie 69 3.8.4 Resistore R, induttore L e condensatore C in serie 71

Problemi 74

4 AMMETTENZA E PARALLELO 75

4.1 Resistore R, induttore L e condensatore C in parallelo 75 4.2 Ammettenza e impedenza equivalenti del parallelo R-L 78 4.3 Ammettenza e impedenza equivalenti di due impedenze in parallelo 80 4.4 Versi convenzionali delle correnti e delle tensioni 83 4.5 I metodi di soluzione sono gli stessi dei circuiti in corrente continua 83 4.6 Esempio di soluzione applicando i principi di Kirchhoff 87 Problemi 89

5 RISONANZA 91

5.1 Risonanza 91 5.2 Risonanza e frequenza di oscillazione propria 91 5.3 Conservazione della carica elettrica e considerazioni sui segni 96 5.4 Risonanza serie (risonanza di tensione) 96

5.4.1 Fattore di merito dell’induttore e del condensatore 98 5.4.2 Frequenze di taglio e banda passante 99 5.4.3 Il decibel 102

5.5 Risonanza parallelo (risonanza di corrente) 103 5.6 Risonanza per due rami qualsiasi in parallelo 105

6 POTENZA E RIFASAMENTO 109

6.1 Definizione di potenza 109 6.2 La potenza elettrica 109 6.3 La potenza istantanea con tensioni e correnti sinusoidali 110 6.4 Il segno della potenza istantanea: significato fisico 113

III

6.5 La potenza media 113 6.6 Espressione del valor medio della potenza 114 6.7 La potenza apparente 116 6.8 La potenza reattiva e il triangolo delle potenze 117 6.9 Il segno della potenza reattiva 119 6.10 Sintesi 119 6.11 Esempi 120 6.12 La potenza complessa 122 6.13 Potenza nel caso di più utilizzatori 123 6.14 Additività delle potenze 123 6.15 Esempi di calcolo con più utilizzatori 126 6.16 Rifasamento degli impianti utilizzatori 131 6.17 Conseguenze del rifasamento sul funzionamento degli utilizzatori 135 6.17.1 La formula della caduta di tensione industriale 139 6.18 Rifasamento totale 140 6.19 Sovratensione all’arrivo di una linea con carico capacitivo (Effetto Ferranti) 141 Problemi 142

Simboli e abbreviazioni Le grandezze complesse o vettoriali sono indicata con lettere in grassetto: es. , , , ecc.

Le stesse lettere in carattere normale indicano il modulo:

L’unità immaginaria è indicata con ( ), es. .

Un numero complesso in forma polare è indicato con la notazione , in

cui è il modulo, precede il simbolo dell’angolo. Il complesso coniugato di un numero complesso è indicato con l’asterisco: ,

.

I valori massimi delle grandezze (ampiezze) sono indicati con il pedice M: , , ecc. Valori continui o efficaci sono rappresentati da lettere senza pedici , , ecc. Abbreviazioni comuni ddp differenza di potenziale fem forza elettromotrice cdt caduta di tensione fdp fattore di potenza

IV

V

PRESENTAZIONE

L’argomento “correnti alternate” è parte irrinunciabile della base di conoscenze necessaria per affrontare lo studio delle tecnologie elettriche: dall’elettrotecnica all’ elettronica, alle telecomunicazioni, all’automazione. La valenza formativa, per i concetti fisici e matematici coinvolti, è altrettanto rilevante e da questo punto di vista si è cercato di insistere su alcuni aspetti particolarmente significativi privilegiando appunto l’aspetto formativo rispetto a quello semplicemente informativo (si veda ad esempio la trattazione di alcuni argomenti quali la legge di faraday, le reattanze, ecc.). In alcuni casi si è svolta una trattazione “pre-differenziale”, se ci è consentita l’espressione, nel senso che si è evitato di ricorrere al comodo automatismo delle derivate, per ripercorrere con pazienza gli istruttivi passaggi che portano da un lato a concepire le tecniche del calcolo differenziale stesso, dall’altro a renderne più concrete e comprensibili le conclusioni. Il testo è stato quindi pensato per chi ha necessità di comprendere, rivedere approfondire i concetti che stanno alla base del funzionamento dei circuiti elettrici in corrente alternata sinusoidale a livello di formazione tecnica, riunendo e sviluppando i concetti necessari, nella forma più agile possibile. Si dà per acquisita la conoscenza dei concetti relativi alle reti in corrente continua, ma per quanto riguarda l’argomento correnti alternate il testo è sostanzialmente autosufficiente. Vi è per ogni capitolo un certo numero di esempi e per quasi tutti sono presenti problemi di verifica. Il presente viene pubblicato come ebook (pdf), oltre che in forma cartacea, con lo scopo di rendere accessibili le conoscenze a costi particolarmente contenuti.

Sandro Ronca gennaio 2012

VI

1 GRANDEZZE ELETTRICHE SINUSOIDALI

1.1 La corrente alternata

La corrente elettrica è generata dallo spostamento di cariche elettriche mobili, che nei conduttori sono gli elettroni. La quantità di carica Q che fluisce attraverso una certa superficie, osservata per un intervallo tempo t, permette di definire l’intensit{ della corrente elettrica come:

Questo flusso di cariche può essere unidirezionale e costante nel tempo, nel qual caso si ha una

corrente continua. Se invece l’insieme delle cariche mobili oscilla attorno ad una posizione di equilibrio, si parla di corrente alternata. In tal caso le cariche, mediamente, non si spostano significativamente dalla posizione originale. Se l’oscillazione delle cariche può essere globalmente descritta in termini di moto armonico, si dice che la corrente alternata è sinusoidale dal momento che può essere matematicamente descritta da una sinusoide.

1.2 Sinusoide

La sinusoide è la rappresentazione grafica della funzione seno di un angolo α al variare dell’angolo stesso. Se l’angolo dipende linearmente dal tempo, ad esempio secondo la relazione:

con ω costante, la sinusoide si presta molto bene a descrivere le oscillazioni armoniche. Per questo motivo una corrente alternata sinusoidale può essere espressa da una funzione del tipo:

dove la funzione seno è moltiplicata per una costante A, l’ampiezza, in modo da poter rappresentare grandezze anche con valori superiori a 1 o inferiori a −1. La grandezza ω prende il nome di pulsazione. Essendo ω concettualmente una velocità angolare si ha, detto T il periodo (tempo necessario per compiere un giro o per una oscillazione completa):

2

1.3 Differenza di potenziale alternata sinusoidale

Le cariche elettriche, come ogni sistema fisico, si muovono se, tra la posizione nello spazio in cui si trovano e quella che occuperanno in un istante successivo, esiste una differenza di energia potenziale. Le cariche positive si spostano verso regioni a energia (potenziale) minore, le cariche negative verso regioni a energia (potenziale) maggiore.

Per spostare cariche elettriche è allora necessario creare una differenza di energia potenziale EP tra due posizioni nello spazio.

Invece di EP, misurata in joule, si preferisce usare una grandezza ad essa correlata e direttamente misurabile: la differenza di potenziale elettrico, indicata genericamente con la lettera V (oppure U) e a volte anche con la lettera E, quando ci si riferisce ad una caratteristica dei generatori detta forza elettromotrice (fem).

Se si indica con EP la differenza di energia potenziale tra due punti e con Q la quantità di carica che viene spostata tra quei due punti, la differenza di potenziale, misurata in volt, è:

Se la differenza di potenziale ha andamento sinusoidale:

anche il moto delle cariche sarà di tipo oscillatorio sinusoidale.

1.4 Generare una fem sinusoidale: spira rotante in un campo magnetico

Un moto relativo tra un conduttore e un campo magnetico è all'origine della differenza di potenziale o forza elettromotrice (fem) indotta che si manifesta sul conduttore stesso. Rispetto a un dato sistema di riferimento è del tutto indifferente chi sia a muoversi. Ciò che importa è che esista una velocità relativa tra campo e conduttore.

L’esempio che segue offre una buona partenza per comprendere i meccanismi di formazione della forza elettromotrice, le sue caratteristiche e alcuni aspetti teorici.

Una spira rettangolare ABCDEF aperta, di dimensioni BC =40 cm,

CD = 50 cm, ruota attorno all'asse parallelo al lato minore, con una frequenza di 50 Hz all'interno di un campo magnetico costante di intensità B = 0.8 T (fig.1.1).

Fig. 1.1 - Spira rotante in un campo magnetico

o magnetico costante

3

1.4.1 Valore massimo della fem sui lati attivi

Con il termine lati attivi indichiamo quelle parti della spira, nel nostro caso i conduttori BC e DE, che diventano sede di forza elettromotrice (fem) indotta. Le altre parti della spira non danno alcun contributo alla fem poiché il loro moto nel campo magnetico avviene senza tagliare linee di campo, ovvero non ha nessuna componente della velocità che sia trasversale al campo magnetico.

La fem indotta in ciascuno dei lati attivi può essere calcolata applicando la legge:

nella quale ωt è l’angolo che la spira forma con un asse x di riferimento e ω coincide quindi con la velocità angolare della spira.

Nell’esempio: rad/s La velocità periferica, essendo r il raggio del moto circolare,

è data da:

m/s

Per ogni lato attivo si ha una fem indotta:

Concludiamo che su ogni lato attivo è presente una fem

sinusoidale:

che assume il valore massimo di 25,2 V per , ovvero

quando .

1.4.2 Forza elettromotrice indotta e forza di Lorentz

L'espressione della fem indotta deriva dalla particolare struttura della forza di Lorentz, espressa dal prodotto vettoriale:

(1.4)

Questa forza agisce sulle cariche elettriche che attraversano un campo magnetico con velocità . Il suo modulo, per definizione di prodotto vettoriale è:

(1.5)

se è l’angolo formato dai due vettori e .

Fig. 1.2 - Scomposizione della velocità periferica del lato attivo

4

Per effetto della forza di Lorentz, le cariche mobili, cioè gli elettroni, vengono spinti lungo il conduttore attivo, provocando un accumulo ad una delle due estremità. All'altra estremità restano scoperte cariche positive (fisse) in quantità corrispondente a quelle negative spostate, realizzando di fatto una separazione tra cariche di segno opposto.

La separazione delle cariche produce un campo elettrico , che, all'equilibrio, genera una forza:

(1.6)

uguale ed opposta alla forza di Lorentz. Da qui il segno meno che compare nella formula. Il vettore campo elettrico e il suo modulo avranno allora espressione:

(1.7)

(1.8)

e supponendo per semplicità che le due distribuzioni di carica siano concentrate agli estremi del conduttore di lunghezza , possiamo calcolare la differenza di potenziale dovuta all'esistenza del campo elettrico:

(1.9) Si può poi facilmente dedurre dalla figura 1.2 che , prendendo come riferimento

per gli angoli l'asse x. Poiché si conclude che: (1.10) Data la geometria del sistema (fig. 1.2), si individua la componente secondo l’asse x della

velocità (componente trasversale rispetto al campo magnetico): (1.11) Il confronto con la (1.10) permette di affermare che solamente la componente della velocità

perpendicolare alle linee di campo ha effetto ai fini della produzione di fem indotta.

1.4.3 Casi particolari: fem massima, fem nulla

Da quanto precedentemente detto si deduce che la fem indotta assume il massimo valore quando è massima la componente trasversale della velocità:

cosa che avviene quando l’angolo che la spira forma con l’asse x assume i valori:

5

La fem indotta è nulla negli istanti in cui la componente trasversale della velocità ha valore zero. Ciò avviene quando:

Si osservi che in questa situazione la velocità periferica dei lati attivi è parallela o antiparallela

rispetto alle linee del campo magnetico

1.4.4 Massima differenza di potenziale ai capi della spira

Tra i terminali A ed F della spira si misura una differenza di potenziale che, istante per istante, è la somma delle fem indotte nei singoli lati attivi. Il valore dipende dai versi delle fem. I versi sono determinabili empiricamente con la regola della mano destra (pollice → velocit{, indice → campo, medio → fem).

In figura 1.3 sono rappresentati i versi istantanei delle fem nella situazione in cui si hanno i valori massimi: la fem è uscente (verso il lettore) per il lato attivo superiore, entrante per quello inferiore. Percorrendo la spira si osserva che i versi sono concordi e quindi i valori vanno sommati. Poiché le due fem sono uguali, eM1 = eM2 , ai terminali della spira si avrà una fem doppia rispetto ad una qualsiasi delle due:

V

dove abbiamo usato gli indici 1 e 2 per distinguere le due fem. Su ogni lato attivo la fem si invertirà 2 volte per ogni rotazione, ma i versi reciproci non cambieranno e le due fem andranno quindi sempre sommate.

1.4.5 Da e(t) = Blv sin(ωt) alla legge di Faraday, con il calcolo differenziale

L’espressione della legge di Faraday dell’induzione elettromagnetica è: (1.12)

Fig.1.4 – La fem è nulla. Fig. 1.3 – La fem è massima

6

Ora vediamo se, trasformando opportunamente la formula , se ne possa

dedurre la discendenza dalla legge di Faraday. Intanto osserviamo che la spira possiede due lati attivi e quindi per tutta la spira:

(1.13)

Alla velocità possiamo sostituire: , ottenendo:

Notiamo però che il prodotto 2rl è la superficie S della spira, allora:

ma è il massimo valore del flusso concatenato, che si ha quando la spira è in posizione orizzontale (fig. 1.5), quindi:

(1.14) Il massimo valore del flusso si ha quando la fem indotta è

nulla, (fig. 1.5) invece il flusso è nullo quando la spira è in posizione verticale, fig.1.6, situazione in cui la fem è massima.

Il flusso che attraversa la spira è determinato dalla sezione retta ( fig. 1.7), , proiezione della superficie su un piano perpendicolare alle linee di campo. Essendo quindi , concludiamo che anche il flusso ha andamento sinusoidale:

(1.15) Si riconosce subito nell’espressione la derivata

rispetto al tempo t della funzione :

Fig. 1.5 - Flusso massimo, fem nulla Fig. 1.6 – Flusso nullo, fem massima

Fig. 1.7 - Per il calcolo del flusso

7

Moltiplicando a destra e a sinistra per l’ampiezza del flusso e cambiando segno:

Alla fine, a seguito delle equazioni (1.14) e (1.15), otteniamo proprio l’espressione della legge

di Faraday:

1.4.6 Dalla e(t) = Blv sin(ωt) alla legge di Faraday, senza il calcolo differenziale

Una dimostrazione rigorosa richiede necessariamente il calcolo differenziale, tuttavia si possono comprendere le conclusioni precedenti con ragionamenti che comportano un certo grado di approssimazione.

La legge di Faraday può essere espressa in forma approssimata come equazione alle differenze finite:

in cui il simbolo Δ ha il significato di “variazione delle grandezza”. Ad esempio se t rappresenta un istante di tempo e t’ un istante successivo, avremo:

Se il flusso varia nel tempo, nel passare dall’istante t al successivo t’, vi è stata una variazione:

la dipendenza dal tempo della funzione flusso è data (1.15) da:

quindi, essendo costante:

e ci possiamo dunque occupare solamente della variazione di :

e del rapporto:

anzi, per maggiore generalità, possiamo porre da cui e quindi:

8

per conservare il valore del rapporto precedente, eseguiamo la sostituzione osservando che al

denominatore al avremo allora:

Se, ad esempio, fig. 1.8, consideriamo i punti P0 (iniziale) e P1 (finale) della curva del coseno, il

rapporto è dato da che rappresenta la pendenza (negativa) del segmento ,.

All’inizio questa pendenza è modesta essendo i punti poco distanti dal massimo della funzione coseno, ma allontanandosi la pendenza cresce progressivamente.

Rappresentando sullo stesso grafico i valori che assume la pendenza nei vari intervalli

AP1, BP2, CP3, … otteniamo una curva a gradini, come quella di fig. 1.8. Quest’ultima costituisce una

rappresentazione (molto) approssimativa del rapporto .

Osserviamo che essa presenta un valore (relativamente) vicino allo zero laddove la funzione coseno assume il valore massimo, mentre raggiunge un valore massimo nell’intervallo di passaggio per lo zero del coseno.

L’operazione concettuale che va compiuta a questo punto è quella di immaginare che l’ampiezza degli intervalli si riduca progressivamente, aumentandone nel contempo il numero.

I punti P0, P1, P2, P3, ... sono allora più vicini e i segmenti , , , ... si avvicinano alla curva e la approssimano meglio.

In altre parole, con questa procedura tentiamo di approssimare la curva della funzione mediante numerosi piccoli segmenti rettilinei. L’approssimazione è tanto migliore quanto più piccoli sono i segmenti e quando i segmenti si riducono a punti la curva è rappresentata esattamente.

Fig. 1.8 – Un tratto della curva cos(x) con un’approssimazione delle pendenze e loro rappresentazione con una curva a gradini

9

Nella figura 1.9 gli intervalli hanno ampiezza pari al 40% di quelli utilizzati nella fig. 1.8. Si nota

subito come la curva a gradini si avvicini sensibilmente alla funzione – (tratteggiata).

La figura 1.10 mostra come, riducendo ancora l’intervallo (al 20%), la tendenza diventi ormai

evidente.

Fig. 1.9 Riducendo l’ampiezza degli intervalli Δx, migliora l’approssimazione.

Fig. 1.10 L’intervallo è ulteriormente ridotto. La curva a gradini è molto vicina alla funzione – .

10

Si può allora concludere che, facendo tendere l’intervallo a valori molto piccoli:

Il rapporto a sinistra tende ad approssimare la funzione . Per questo abbiamo usato la

freccia piuttosto che il segno “=”. L’espressione matematicamente corretta sarebbe:

con la quale si afferma che il limite a cui tende il rapporto incrementale , facendo avvicinare

infinitamente allo zero l’ampiezza di , è proprio la funzione . Ora però serve un ulteriore passaggio per tornare al discorso sulle correnti alternate.

Ricordiamo che, con la sostituzione , avevamo: = . Tornando quindi

alla originale variabile t si ha:

Il tutto si può poi esprimere in forma abbreviata:

dove l’operatore (derivata di… rispetto a t) riassume il concetto di limite del rapporto

incrementale espresso sopra. L’operazione rappresentata dal membro sinistro della equazione precedente è allora la “derivata rispetto al tempo della funzione ”.

Se si moltiplica l’espressione precedente per l’ampiezza del flusso si ha (v. 1.14):

che altro non è se non la formulazione della legge di Faraday per questa specifica situazione:

1.5 Quantità di carica elettrica e valor medio di una corrente alternata

Per quanto strano possa sembrare, una corrente alternata, in media, non comporta alcun trasferimento netto di carica da una parte all’altra del circuito elettrico, contrariamente a quanto avviene con la corrente continua. Per comprendere questa affermazione è necessario ragionare sulla rappresentazione della grandezza corrente e sul valore medio di una sinusoide.

Una corrente elettrica di intensità , comporta che, nell'intervallo di tempo Δt, vi sia

una variazione di carica

11

In una rappresentazione grafica della corrente in funzione del tempo, fig.1.11, l'area del rettangolo tratteggiato sotto la sinusoide ha le dimensioni di una carica elettrica: [ampere] x [secondi].

L'area sottesa dalla sinusoide può essere calcolata, in via approssimata, sommando le aree di vari rettangoli ottenuti suddividendo il periodo T in N intervalli Δt identici. L'approssimazione è tanto migliore quanto maggiore è il numero N e minore l'ampiezza degli intervalli.

L'area così calcolata rappresenta la quantità di carica trasportata dalla corrente i(t) nell'arco di un periodo T. Notiamo però che algebricamente l'area corrispondente al primo semi-periodo della sinusoide ha segno opposto rispetto a quella relativa al secondo semi-periodo. Fisicamente la diversità di segno è legata al verso della corrente: stabilito un verso positivo, sarà negativa la corrente che fluisce nel verso opposto.

Che significato diamo all'area negativa? Dato che in questo caso l'area corrisponde ad una

quantità di carica elettrica, è logico interpretare il valore negativo dell'area come un flusso di carica dello stesso segno, ma in verso opposto, rispetto a quello rappresentato dall'area positiva. Peraltro è evidente che l'area positiva e quella negativa hanno uguale valore. L'area totale sottesa dalla sinusoide è allora nulla. Questo fatto ha la seguente interpretazione fisica: la quantità di carica che fluisce in un senso è esattamente uguale a quella che fluisce in senso opposto nei due semi-periodi. La carica totale che fluisce attraverso una qualsiasi sezione di un conduttore è nulla.

1.5.1 Media sul semiperiodo

La quantità di carica che fluisce in un senso o nell’altro può essere determinata calcolando l’area della sinusoide intensità di corrente su mezzo periodo.

Il problema della determinazione dell'area può essere risolto esattamente solo con l'ausilio del calcolo differenziale. Se non si possiedono sufficienti competenze in questo campo conviene almeno memorizzare il risultato finale.

La carica trasportata in un semi-periodo dalla corrente è data dall’area sottesa dalla sinusoide che rappresenta la corrente:

Tale area si calcola mediante una processo detto di integrazione (1.16)

(1.16)

L'ampiezza IM è costante in questo caso e può essere portata fuori dal segno di integrale. Inoltre

è opportuno che la variabile di integrazione sia ωt, perciò moltiplichiamo e dividiamo per la costante ω, così da rendere possibile la sostituzione di variabile t → : ωt.

Fig.1.11 – Calcolo dell'area sotto la sinusoide

12

Poiché d(ωt) = ωdt, grazie al fatto che ω è una costante, l'integrale (1.16) diviene:

Ovviamente la sostituzione di variabile comporta anche la modifica dei limiti di integrazione. Dato che la variabile di integrazione è ora un angolo (ωt) in luogo di un tempo, i limiti di

integrazione vanno così modificati: 0 → 0, → π

Una primitiva di è , quindi:

(1.17)

Geometricamente la (1.17) rappresenta l'area sottesa dalla sinusoide in un semi-periodo,

fisicamente la carica elettrica trasportata nello stesso semiperiodo.

1.5.2 Valor medio della corrente alternata sul semiperiodo Avendo già stabilito che l'area totale sotto la sinusoide è

nulla, possiamo affermare che sarà nullo anche il valor medio di calcolato sull'intero periodo.

Il valor medio di una grandezza sinusoidale, come di tutte le grandezze alternate, viene quindi calcolato sul semi-periodo. Ci chiediamo allora quale corrente costante (continua) possa trasportare, nel tempo equivalente a un semi-periodo, la medesima quantità di carica Q. Ciò equivale a ricercare un rettangolo di base pari a T/2 e altezza Im tale da avere un'area uguale a Q. Cioè:

Sostituendo a Q il valore precedentemente trovato:

ed essendo , il valor medio sul semiperiodo è:

(1.18)

Il precedente risultato è generalizzabile a qualsiasi grandezza sinusoidale rappresentata in

funzione del tempo secondo una legge:

Fig.1.12 – Valore medio sul semiperiodo

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Se invece la rappresentazione è in funzione dell'angolo ωt:

l'area ha valore diverso rispetto a (1.17), essendo semplicemente il doppio dell’ampiezza:

tuttavia non cambia l’espressione del valor medio:

(1.19)

1.6 Valore efficace di una corrente o tensione alternata sinusoidale

I valori efficaci di una corrente o tensione alternata sono grandezze legate alla potenza media e all’energia trasferita in un periodo. Energia e potenza dipendono dalle tensioni e/o correnti elevate al quadrato. Ad esempio la potenza istantanea dissipata da una resistenza R percorsa da una corrente sinusoidale può essere espressa da:

Tecnicamente il valore efficace, o valore RMS (Root Mean Square), è la radice quadrata del

valor medio sul periodo del quadrato della grandezza. Una sinusoide elevata al quadrato, come si vede in fig.1.13 nel caso di , è sempre positiva e

di frequenza doppia rispetto alla sinusoide di partenza, fatto facilmente dimostrabile grazie a note relazioni trigonometriche.

Dalla formula di duplicazione del coseno:

ricaviamo il seno al quadrato:

Invece dalla relazione fondamentale della trigonometria

otteniamo il quadrato del coseno:

Sostituendo:

Con un ulteriore semplice passaggio:

Fig.1.13 – Per il calcolo del valore efficace

14

(1.20)

Moltiplicando per l’ampiezza della corrente e separando la frazione:

(1.21)

che rappresenta una cosinusoide, , traslata della quantità costante ,

corrispondente a quanto si osserva nella fig.1.13. La potenza si può ottenere moltiplicando il quadrato della corrente (1.21) per R:

(1.22)

La media di questa potenza sul periodo T è data da:

(1.23)

questo perché la media sul periodo di è nulla, come per qualsiasi grandezza alternata sinusoidale.

Definiamo allora il valore efficace I di una corrente alternata sinusoidale di ampiezza IM come:

(1.24)

così che la potenza media già scritta nella (1.23) può esprimersi come il prodotto della resistenza per il quadrato del valore efficace:

(1.25)

L'altezza del rettangolo rappresentato in fig.1.13 è il valore quadratico medio della corrente.

L'area del rettangolo è uguale a quella sottesa dalla curva . Questo valore, moltiplicato per R fornisce la potenza media. Se si rappresenta la funzione , in ordinata si ha la potenza. L'area del rettangolo ha allora dimensioni [watt] x [tempo] = [joule], cioè quelle di un'energia. Ciò conduce ad interpretare il valore efficace della corrente come quel valore di corrente continua che, nell'arco di un periodo, produce gli stessi effetti energetici medi della corrente alternata.

1.6.1 Ricavare il valore efficace dalla definizione Si deve ricorrere al calcolo differenziale e alla definizione di media di una funzione sul periodo

T. Come si è detto il valore efficace è la radice del valore medio di

15

(1.26)

Calcoliamo dapprima l'integrale con la sostituzione della variabile di integrazione t → ωt:

e dopo alcuni passaggi, utilizzando l'espressione (1.20) per sin2(ωt):

Si ottiene il risultato:

Quindi, sulla base della definizione (1.26),ricordando che :

(1.27)

1.6.2 Il fattore di forma

Il fattore di forma è definito come il rapporto tra valore efficace e valor medio nel semi-periodo di una grandezza alternata, ad esempio una corrente:

(1.28)

Il valore tipico che si ottiene se la grandezza alternata è sinusoidale, è:

(1.29)

16

Quanto più ci si discosta da questo valore tanto più la grandezza si allontanerà dalla forma sinusoidale. Per scopi pratici e di misura una grandezza è considerata sinusoidale se:

1.7 Correnti alternate non sinusoidali

Alternata e sinusoidale si riferiscono a diverse caratteristiche, la seconda più restrittiva della prima.

Nello studio e nella pratica dei circuiti elettrici si ha spesso a che fare con grandezze, o forme d'onda, periodiche e alternate, queste ultime non necessariamente sinusoidali.

Le funzioni periodiche di periodo T obbediscono alla condizione:

(1.30)

le funzioni alternative o alternate alla più restrittiva condizione:

(1.31)

A causa della (1.31) le grandezze alternative hanno valore medio nullo sul periodo. Le definizioni di valor medio, efficace e fattore di forma restano comunque valide anche per

queste funzioni.

1.7.1 Valore medio, valore efficace e fattore di forma per funzioni non sinusoidali

I valori medi in questi casi si calcolano applicando le definizioni, ricordando anche che gli integrali,

come ad esempio , rappresentano aree

sotto le curve. Per chiarire la procedura da seguire, cerchiamo

di calcolare il valore medio, il valore efficace e il fattore di forma della funzione y(t) rappresentata in fig. 1.14.

Dal grafico ricaviamo alcune informazioni importanti. La funzione è periodica, non alternativa, con periodo T di 20 ms, valore massimo 2, valore minimo −1.

La funzione y(t) rappresenta una grandezza generica per cui non interessano qui le unità di misura.

1.7.1.1 Valore medio di y(t)

Sulla base di quanto discusso in precedenza, possiamo determinare il valor medio come rapporto tra l'area compresa tra curva e asse delle ascisse e il periodo T. Calcoliamo il valore sull’intero periodo poiché la funzione è periodica, ma non alternativa:

Fig.1.14 – Una funzione periodica non alternata

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Nel primo semi-periodo l'area è positiva, nel secondo negativa. Il calcolo, data la forma della

funzione è semplice. Indichiamo con A+ l'area positiva e con A− l'area negativa: A+ = 2 ∙ T/2 = 2 ∙ 0,010 = 0,020 A− = −1 ∙ T/2 = −1 ∙ 0.010 = − 0.010 Area totale: A = A+ + A− = 0.020 − 0.010 = 0.010 Il calcolo del valore medio secondo la precedente definizione dà allora:

1.7.1.2 Valore efficace di y(t)

Per ottenere il valore efficace dobbiamo prima tracciare la curva y2(t) e calcolare quindi l'area sottostante, che, come si vede, è tutta positiva:

Area = 4 x T/2 + 1 x T/2 = 2T + 0.5T = 2.5T =

0.05 Calcoliamo ora il valore efficace secondo

l'espressione già trovata, ricordando ancora una volta che l'integrale sotto radice rappresenta l'area:

1.7.1.3 Fattore di forma di y(t)

Il fattore di forma è il rapporto tra valore efficace e valor medio calcolato qui su tutto il periodo (funzione periodica non alternata):

Fig. 1.15 – Per il calcolo del valore efficace

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1.8 Fase di una corrente o di una tensione alternata

Il concetto di fase, o più propriamente angolo di

fase, è particolarmente importante nello studio dei circuiti elettrici in corrente alternata.

La fase, assieme ad ampiezza e frequenza, identifica univocamente la sinusoide.

Sull'angolo di fase hanno effetto i componenti reattivi, cioè quelli che sono in grado di accumulare energia, come induttori e condensatori.

Il significato di angolo di fase si comprende bene se si pone t = 0 nell'espressione della generica grandezza sinusoidale:

In tal caso si ha:

che rappresenta il valore assunto dalla sinusoide all'istante iniziale. Ad esempio, se la sinusoide all’istante iniziale presenta un valore che corrisponde alla met{ del suo valore massimo, si può porre:

da cui si deduce che l’angolo di fase deve avere un valore tale da soddisfare la relazione:

l’equazione completa della grandezza è allora:

Si noti che in fig.1.16 le sinusoidi sono rappresentate in funzione dell'angolo ωt. Le rispettive

fasi φ corrispondono allora agli angoli evidenziati. In una rappresentazione grafica standard (versi positivi verso destra), la variazione di fase per

valori positivi crescenti comporta una traslazione della sinusoide verso sinistra (verso degli anticipi), una variazione per valori crescenti negativi comporta invece una traslazione verso destra (verso dei ritardi)

Fig. 1.16 – Angolo di fase φ di una sinusoide

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PROBLEMI

1.1 - Una spira rettangolare aperta, di dimensioni 30 x 40 cm, ruota attorno all'asse parallelo al lato minore. La spira compie una rotazione completa in 31.25 ms all'interno di un campo magnetico costante di intensità B = 0.8 T. Quanto vale la differenza di potenziale massima che si misura tra i terminali aperti della spira?

[19,3 V]

1.2 - Il campo magnetico, nel problema precedente, viene ridotto a 0.7 T. Si vuole fare in modo di mantenere invariata la fem totale agendo sulla frequenza di rotazione. Con quale frequenza deve ruotare la spira per mantenere invariata la ddp ai terminali?

[36,5 Hz]

1.3 - Una spira rettangolare aperta ruota con velocità costante in un campo magnetico anch'esso costante di intensità 1 T. Nell'istante in cui la fem sui lati attivi è nulla, la spira è attraversata da un flusso magnetico pari a 0.24 Wb. I lati attivi della spira sono lunghi 40 cm e ai terminali aperti della spira si misura una tensione massima di 45.24 V. Determinare:

a. la distanza del lato attivo dall'asse di rotazione; b. la velocità periferica dei lati attivi; c. la frequenza della tensione indotta.

[30 cm; 56,6 m/s; 30 Hz]

1.4 - Una spira rettangolare aperta ha i lati attivi lunghi 30 cm posti a distanza di 28 cm dall'asse di rotazione. La spira è immersa in un campo magnetico costante e compie una rotazione completa in 12,5 ms. Quando la spira forma un angolo di 45° col piano orizzontale, la fem che si misura ai suoi terminali è pari a 50 V. Determinare:

a. la frequenza di rotazione; b. la frequenza della fem; c. il valore massimo del flusso concatenato; d. l'intensità del campo magnetic.

[80 Hz; 80 Hz; 0,141 Wb; 0,84 T]

1.5 - Data una tensione sinusoidale di ampiezza VM = 100 V, a. determinare il valor medio;

b. calcolare il valore efficace e dimostrare che si ha : ;

[63.7 V; 70.7 V, Suggerimento: , con v(t) tensione ai terminali di R]

1.6 - Una tensione viene raddrizzata da un ponte a doppia semionda. La

tensione raddrizzata ha la forma rappresentata in figura. Determinare: a. Il valore medio; b. Il valore efficace; c. il fattore di forma.

[31,85 V; 35,35 V;. 1,1098]

Fig. 1.17 – Sinusoide raddrizzata (doppia semionda)

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1.7 - Una tensione viene raddrizzata da un ponte a singola semionda. La tensione raddrizzata ha la forma rappresentata in figura.

Determinare: a. Il valore medio; b. Il valore efficace; c. il fattore di forma.

[15,9 V; 25 V; 1,572]

1.8 - Per la funzione a dente di sega rappresentata in figura determinare: a. Il valore medio; b. Il valore efficace; c. il fattore di forma.

[1 V; 1,155 V; 1,155 V]

1.9 - Relativamente al problema proposto 1.1, si inizia a contare il tempo quando la spira forma un angolo di 20 gradi con il piano orizzontale.

a. Quanto vale la fem totale trascorsi 10 ms dall'istante iniziale? b. Dopo quanto tempo si ha il primo massimo positivo della fem?

[13,6 V; 6,08 ms]

Fig. 1.18 – Sinusoide raddrizzata (singola semionda)

Fig. 1.19 – Onda a 'dente di sega' e suo quadrato