Il campo magnetico generato da correnti

Siamo in Danimarca nel 1820: durante alcuni esperimenti all’Università di Copenhagen, il fisico danese Hans Christian Oersted si accorge che l'ago di un compasso magnetico viene deflesso se avvicinato ad un circuito elettrico, ovvero il circuito elettrico è in grado di generare un campo magnetico, così come i poli di un magnete !! E’ un momento storico, che segna l’unificazione di due fenomeni fino ad allora considerati totalmente distinti, ovvero elettricità e magnetismo. Nasce l’elettromagnetismo.

Hans Christian Ørsted (1777 –1851)

Legge di Biot-Savart

3

0

4 r

rsdiBd

Biot e Savart stabilirono la legge che lega un filo percorso da corrente col campo magnetico da esso generato. Sia ds una porzione infinitesima di filo percorso da corrente i; il campo magnetico dB generato da ds in un punto P dello spazio è dato da:

Il campo dB è quindi perpendicolare al piano individuato dall’elemento di filo ds e dalla distanza r tra ds ed il punto P; nel caso in figura, se ds ed r sono entrambe paralleli alla pagina, dB è perpendicolare ed entrante nella pagina. dB dipende dal quadrato della distanza dal filo, in analogia con campo elettrico che dipende dal quadrato della distanza dalla carica che lo genera; 0 è una costante detta permeabilità magnetica del vuoto, il cui valore è:

P

A

mT

A

mT 67

0 1026.1104 NB: 0 non ha la dimensione fisica del dipolo magnetico

Campo magnetico generato da una filo rettilineo percorso da corrente

Applicando Biot-Savart, il campo dB generato da ds nel punto P è entrante in figura, ed in modulo:

Definiamo lo zero del filo il punto più vicino a P, ed integriamo lungo il filo tra 0 ed (ovvero sulla metà superiore del filo):

2

0

4 r

sendsidB

0 2

0

4 r

sends

iB

r

R

Rrr

sin

sinsin

222 Rsr

0 2/322

0

4 Rs

dsR

iB

Soluzione dell’integrale

Operiamo la sostituzione di variabile s t:

22

)sin(tanRs

st

R

st

)(cos)tan(

2 t

dtRdstRs

2/322 Rs

dsI

2/32222/32222 1)(tan)(cos

1

)(tan)(cos tt

dt

RRtRt

dtRI

)sin(

1)cos(

1

)(cos)(cos

1222/3222

tR

dttRtt

dt

RI

22222 )/(1

1

sRRRsR

sI

Campo magnetico generato da una filo rettilineo percorso da corrente

Consideriamo che a ciascun elemento infinitesimo ds nella metà superiore del filo corrisponde un ds nella metà inferiore, disposto alla stessa distanza r da P, il quale genera lo stesso campo dB in modulo, direzione e verso; dunque il campo generato da un filo rettilineo infinito è dato da:

0 2/322

0

4 Rs

dsR

iB

R

i

sRR

i

4)/(1

1

4

0

0

2/12

0

r

222 Rsr

sd

R

iB

2

0

Campo magnetico di un filo infinito

Spargendo limatura di ferro su una superficie perpendicolare al filo si può osservare la simmetria del campo magnetico generato dal filo percorso da corrente

il modulo di B in un punto qualsiasi dipende solo da R, dunque le sue linee di forza (linee verdi in figura) sono circonferenze concentriche; la densità delle linee si riduce allontanandoci dal filo, ovvero per R la direzione di B è sempre perpendicolare al filo e alla distanza R dal filo regola della mano destra: tenendo il pollice nel verso di i, le 4 dita indicano il verso di B (in figura la croce indica che la corrente è entrante nella pagina)

R

iB

2

0

Campo magnetico di un filo piegato ad arco Calcoliamo il campo magnetico generato da un arco nel suo centro di curvatura (C). Chiaramente in questo caso ds ed r sono sempre perpendicolari, per cui applicando Biot-Savart il modulo del campo dovuto a ds è semplicemente

La direzione di B è perpendicolare ed uscente dalla pagina, come dettato dalla regola della mano destra. Per ottenere il campo dell’intero arco è necessario integrare in ds; poiché l’integrando non dipende da s si ha:

Nell’ultima espressione abbiamo espresso la lunghezza dell’arco in termini dell’angolo sotteso f, espresso in radianti. Un caso particolarmente rilevante è il campo generato da una spira lungo il proprio asse, che si ottiene semplicemente ponendo f = 2:

2

0

4 R

dsidB

R

i

R

Ri

R

siB

ff

444

0

2

0

2

0

R

iB

2

0

Campo magnetico dovuto all’attività cerebrale Applicazione importante del campo magnetico generato da circuiti elettrici è la magnetoencefalografia (MEG), ovvero il monitoraggio del campo magnetico generato dalle correnti elettriche cerebrali. Una qualsiasi attività cerebrale genera impulsi elettrici che connettono le cellule cerebrali viaggiando attraverso canali conduttivi. Stimiamo il campo magnetico prodotto dalle correnti cerebrali in un punto P distante r=2 cm dalla corteccia; ipotizziamo che la corrente sia perpendicolare ad r; un tipico impulso cerebrale è caratterizzato da correnti i= 10 A, che viaggiano per distanze del mm; dunque assumo ds=1 mm, e da Biot-Savart ottengo:

E’ un campo piccolissimo, non certo rivelabile avvicinando una bussola alla testa… esistono però strumenti molto sofisticati detti SQUID (superconducting quantum interference device) usati per la MEG, capaci di rivelare campi magnetici inferiori al pT

pTTm

mA

A

mT

r

dsidB 5.21025.0

104

101010

4

11

24

37

2

0

Problema 29.1 Consideriamo il filo in figura, parallelo al piano della figura. Si calcoli il campo magnetico nel punto C.

Possiamo applicare il principio di sovrapposizione, e calcolare B come somma dei campi dovuti a 3 elementi distinti: i due tratti rettilinei è l’arco di curva nel mezzo

Per l’arco applichiamo la formula:

I tratti rettilinei non contribuiscono al campo, poiché per ogni tratto infinitesimo del filo i vettori ds ed r sono paralleli, dunque il corrispondente dB è nullo.

R

iB

f

4

0

Dalla figura si vede chiaramente che l’angolo sotteso è f = /2: per cui: R

iB

8

0

Infine dalla regola della mano destra si ha che il campo è diretto in verso entrante nella pagina.

Problema 29.2 In figura è mostrata la sezione di due lunghi fili paralleli, in cui scorrono correnti i1 = 15 A e i2 =32 A dirette in verso opposto. Determinare il campo magnetico totale nel punto P; sia d=5.3 cm (si noti che i segmenti R sono tra loro perpendicolari)

La direzione di B1, B2 è tangenziale alle linee di flusso circolari del campo di ciascun filo; il verso è dato dalla regola della mano destra. Inoltre, dall’analisi degli angoli risulta che B1, B2 sono entrambe orientati con un angolo a=45° rispetto all’asse x; il modulo di B1, B2 è dato dalla legge di Biot-Savart per il filo rettilineo:

Tm

A

A

Tm

R

iB 5

2

7101 108

1075.3

15102

2

Tm

A

A

Tm

R

iB 5

2

7202 1006.17

1075.3

32102

2

cmdR 75.32/ o45ao45a

Problema 29.2 Dalle componenti lungo x ed y dei campi B1, B2

)cos(11 aBB x

01.7076.2)tan( x

y

B

B

)sin(11 aBB y

)cos(22 aBB x )sin(22 aBB y

ricaviamo le componenti del campo risultante B

TBBBx

5

12 104.6)cos( a

TBBBy

5

12 107.17)sin( a

TBBB xx

522 108.18

Infine da queste ricavo modulo e direzione del campo lungo l’asse x:

o45ao45a

Forze tra due fili conduttori paralleli Calcoliamo la forza esercitata tra due fili conduttori paralleli a, b, percorsi da correnti ia, ib di verso concorde.

Applicando Biot-Savart e la regola della mano destra si ha che il campo generato dal filo a in un qualunque punto del filo b è:

zd

iB a

aˆ

2

0

Consideriamo un sistema di riferimento cartesiano con l’asse x parallelo ai fili, e l’asse z perpendicolare al piano dei fili; chiamiamo Ba il campo generato da ia, e Bb il campo generato da ib

Applicando Lorentz, calcoliamo la forza che agisce su una sezione L del filo b:

yd

LiiyLBiBLiF ba

ababbaˆ

2ˆ 0

Viceversa, il campo generato dal filo b in un qualunque punto del filo a è:

zd

iB b

bˆ

2

0

La forza che agisce su una sezione L del filo a:

baba

babaab Fyd

LiiyLBiBLiF

ˆ

2ˆ 0

x

y

zbB

abF

Dunque, due fili percorsi da correnti concordi si attraggono con una forza uguale in modulo e direzione ed opposta in verso (principio di azione e reazione)

Forze tra due fili conduttori paralleli

campo generato dal filo a in un qualunque punto del filo b:

zd

iB a

aˆ

2

0

Invertiamo il verso di ib e ricalcoliamo le forze per le due correnti discordi

la forza che agisce su una sezione L del filo b: (si noti che L ha cambiato verso, e dunque anche la forza cambia verso)

yd

LiiyLBiBLiF ba

ababbaˆ

2ˆ 0

il campo generato dal filo b: zd

iB b

bˆ

2

0

La forza che agisce sul filo a: baba

babaab Fyd

LiiyLBiBLiF

ˆ

2ˆ 0

x

y

z

bB

abF

Due fili percorsi da correnti discordi si respingono con una forza uguale in modulo e direzione ed opposta in verso (principio di azione e reazione); Aspetto curioso: l’interazione magnetica tra fili percorsi da corrente segue una logica opposta all’interazione Coulombiana tra cariche elettriche

ai

bi

aB

L

baF

Legge di Ampère La legge di Ampère è l’analogo magnetico della legge di Gauss per l’elettrostatica: sfruttando principi di simmetria, essa permette il calcolo del campo magnetico generato da correnti in modo semplificato rispetto alla formulazione di Biot-Savart. La legge prende il nome dal fisico francese André-Marie Ampère, a cui è storicamente attribuita. In realtà la formulazione rigorosa si deve al grande fisico e matematico scozzese James Clerk Maxwell, il vero fondatore della teoria classica dell’elettromagnetismo.

Legge di Ampère: l’integrale di linea (curvilineo) del campo magnetico lungo un cammino chiuso è uguale alla corrente complessiva che attraversa la superficie delimitata dal circuito chiuso, moltiplicata per la permeabilità magnetica del vuoto

int0isdB

André-Marie Ampere (Lione 1775-1836). Il suo nome è inciso sulla Torre Eiffel

James Clerk Maxwell (Edimburgo 1831-1879). Al pari di Newton ed Einstein, è tra i più grandi fisici teorici della storia

A

mT7

0 104

Legge di Ampère

Consideriamo il campo B generato da 3 correnti, perpendicolari al piano della figura, ed il cammino chiuso disegnato; tutte e 3 le correnti contribuiscono a generare B, ma per la legge di Ampère, soltanto le correnti i1 e i2 che attraversano la superficie interna al circuito contribuiscono all’integrale di linea

Con che segno ciascuna corrente contribuisce all’integrale? Il segno dipende dal verso di integrazione: Supponiamo che il verso di integrazione (ovvero ds) sia data dalla freccia lungo il percorso: orientando le 4 dita della mano destra nel verso d’integrazione, sono positive le correnti con verso concorde col pollice, negative quelle opposte al pollice. Dunque:

210int0 iiisdB

Campo magnetico all’esterno di un filo infinito Utilizziamo la legge di Ampère per calcolare il campo magnetico generato da un filo rettilineo infinito in cui scorre corrente i

Sfruttiamo un principio di simmetria: sappiamo da Biot-Savart che il campo magnetico è perpendicolare alla direzione del filo e al vettore r, e che in modulo dipende soltanto dalla distanza r, ovvero il campo ha simmetria cilindrica.

La scelta più semplice per risolvere l’integrale sul circuito è quindi quella di prendere un circuito circolare centrato attorno al filo, poiché lungo il cerchio il campo è costante in modulo e sempre parallelo al vettore spostamento ds. Dunque, l’integrale si risolve facilmente come:

rBdsBdsBsdB 2

r

iBirB

22 0

0

Applicando quindi la legge di Ampère, si trova (molto più semplicemente di quanto fatto in precedenza integrando la formula di Biot-Savart):

r

Campo magnetico all’interno di un filo infinito Calcoliamo il campo magnetico generato dal filo rettilineo infinito in un punto interno alla sezione del filo (sia R il raggio della sezione). Si supponga la corrente i distribuita uniformemente nel filo.

Il campo magnetico ha ancora simmetria cilindrica, e stessa direzione e verso che all’esterno del filo; dunque consideriamo di nuovo l’integrale lungo un cerchio centrato sull’asse del filo, con r< R:

rBdsBdsBsdB 2

rR

i

r

iB in

2

00

22

Nella legge di Ampère dobbiamo però considerare non tutta la corrente i del filo, ma solo quella che scorre internamente al cilindro di raggio r. Dall’ipotesi di corrente uniforme si deduce che, se A è l’area della sezione, la densità di corrente J = i/A è costante in ogni punto dell’area. Dunque, la corrente interna al cilindro di raggio r è:

2

2

2

222

R

ri

R

rir

A

irJiin

Campo magnetico di un filo carico

B(r) ha stesso andamento del campo elettrico E(r) di un cilindro isolante uniformemente carico: all’interno crescono linearmente, all’esterno decadono come 1/r; per la sfera isolante uniformemente carica E(r) è ancora lineare all’interno, mentre all’esterno decade come 1/r2.

esterno al filo

rR

iB

2

0

2

r

iB

2

0

r

B sd

R

B

interno al filo

Problema 29.3 Consideriamo cilindro cavo, di raggio interno a=2 cm ed esterno b=4 cm; nel cilindro scorre una corrente uscente dal piano di densità non uniforme J = cr2, con c=3106 A/m4; calcolare il campo magnetico B in un punto distante r=3 cm dall’asse del cilindro.

Sfruttiamo la simmetria cilindrica del campo magnetico e calcoliamo l’integrale di linea su un cerchio di raggio r centrato sull’asse del cilindro:

rBsdB 2

Dalla legge di Ampère si ricava:

r

riBrirB in

in

2

)()(2 0

0

r

Problema 29.3

r

ain AdrJri

)'()(

La corrente è perpendicolare all’area della sezione, per cui il prodotto scalare si può eliminare; inoltre come area infinitesima possiamo prendere la corona di raggio r’ e spessore dr’ disegnata in giallo in figura:

''2 drrdA

essendo la densità di corrente non uniforme, la corrente interna al cerchio chiuso di raggio r deve essere calcolata dalla formula generale:

42'2'')'(2)(

443 ar

cdrrcdrrrJrir

a

r

ain

'r 'dr

TTmm

A

A

mT

r

arcB 4736

44

4

6744

0 102.01065103

2310310

4

Il Solenoide Un caso estremamente importante in cui la legge di Ampère è utile è il solenoide, ovvero un filo di corrente estremamente lungo, avvolto in spire molto strette. In pratica il solenoide è una bobina cilindrica in cui la lunghezza del filo avvolto è molto maggiore del diametro della bobina

Un solenoide infinitamente lungo e formato da spire strettamente unite si dice ideale. Nel solenoide ideale il campo magnetico è nullo al di fuori del solenoide, uniforme e parallelo all’asse del solenoide all’interno. In pratica il solenoide è lo strumento più comune per generare campi magnetici uniformi; dunque è l’analogo del condensatore per i campi elettrici.

Considerare il campo nullo all’esterno del solenoide è ragionevole anche per un solenoide reale, purché la sua lunghezza sia molto maggiore del diametro, ed i punti in cui consideriamo il campo sufficientemente lontani dai bordi. All’interno del solenoide l’assunzione di campo uniforme è realistica se non si considerano punti troppo vicini alle spire

Campo magnetico del solenoide reale Il campo magnetico del solenoide è la somma vettoriale dei campi prodotti da ciascuna spira. Per ottenere un’idea qualitativa del campo generato dal solenoide, ‘stiriamo’ il solenoide, in modo da visualizzare più distintamente le linee di campo.

Vicino a ciascuna spira le linee del campo sono cerchi concentrici poiché il campo tende ad assomigliare a quello prodotto dal filo rettilineo. Nel mezzo di due spire adiacenti il campo tende a cancellarsi, poiché i cerchi concentrici di ciascuna spira hanno verso opposto e si elidono. Al di fuori del solenoide (ad es. nel punto P) il campo tende ad annullarsi poiché i contributi delle spire superiori (corrente uscente dal foglio) ed inferiori (entrante nel foglio) si compensano Internamente al solenoide, a distanza ragionevolmente lontana dal filo, il campo è circa uniforme, con linee parallele all’asse del solenoide

Campo magnetico del solenoide ideale

Orientando le 4 dita nel verso della corrente, il pollice dà la direzione del campo interno al solenoide. Applichiamo Ampère: calcoliamo l’integrale di linea del campo lungo il circuito chiuso rettangolare abcd in figura.

a

d

c

d

c

b

b

asdBsdBsdBsdBsdB

Solo l’integrale tra a e b contribuisce: sui lati verticali B e ds sono perpendicolari ed il prodotto scalare è nullo, mentre sul lato orizzontale superiore B è nullo.

BhdsBsdBb

a

Se i è la corrente nel solenoide ed n il numero di spire per unità di lunghezza, la corrente totale che attraversa la superficie del circuito è ovviamente i(nh), per cui:

inBinhBh 00

Campo magnetico del toroide

Calcoliamo il campo magnetico interno al toroide utilizzando Ampère; consideriamo come circuito d’integrazione la circonferenza arancione di raggio r, percorsa in senso orario (si noti che le spire interne alla circonferenza sono entranti nel foglio). Per simmetria circolare, il campo è costante e tangenziale ad ogni punto del circuito, per cui:

Il toroide è un solenoide ripiegato a ciambella; si intuisce che le linee di campo magnetico interne al toroide debbano essere circonferenze centrate nel centro del toroide.

Il numero di spire che attraversa la superficie delimitata dal circuito sono tutte le N spire del toroide, per cui:

)2( rBsdB

r

NiBNirB

1

2)2( 0

0

Esternamente alla ciambella il campo è nullo in tutti i punti

Problema 29.4 Consideriamo un solenoide lungo L=1.23 m, e diametro interno d=3.55 cm, composto da 5 strati di spire, ciascuno con 850 spire, in cui scorre una corrente i=5.57 A. Calcolare B nel centro del solenoide.

Nh è il numero di spire di un singolo strato contenute all’interno del segmento h; ipotizzando la densità di spire n uniforme, si ha

La lunghezza del solenoide è molto maggiore del diametro; si può quindi supporre il solenoide ideale. Dall’integrale di linea sul circuito chiuso in rosso ricaviamo:

hL

hnNL

n h

850850

NB: d non entra nell’espressione di B, serve soltanto a definire il carattere ideale del solenoide

L

d

h

B

h

b

aNiBhdsBsdB 50

Tm

AA

Tm

LiB 27

0 104.223.1

425057.5104

8505

Campo magnetico generato dalla bobina Abbiamo visto che la bobina in campo magnetico si comporta come un dipolo magnetico di momento = NiA n, la cui direzione dipende dal verso della corrente, come stabilito dalla regola della mano destra (in figura). Analogamente ad un dipolo magnetico e ad ogni circuito percorso da corrente, anche la bobina produce il suo campo magnetico; il problema però non ha simmetria così elevata da poter applicare la legge di Ampère, per cui il calcolo di B necessita l’uso della formula generale di Biot-Savart.

Il campo prodotto dalla spira lungo l’asse è effettivamente simile a quello di un dipolo magnetico, con la faccia superiore della spira che funge da polo nord, e quella inferiore da polo sud

Nei dintorni della spira il campo si discosta totalmente da quello tipico del dipolo magnetico, e approssima piuttosto quello del filo rettilineo, con centri concentrici che si diradano allontanandosi dal filo

Campo magnetico generato dalla bobina

z

zR

iRzB ˆ

2)(

2/322

2

0

Per una singola spira circolare il campo B generato lungo l’asse z perpendicolare al piano della spira e passante per il centro è (diamo il risultato senza dimostrazione):

Per punti lontani dalla spira: (z >> R)

zz

iRz

zRz

iRzB ˆ

2ˆ

1)/(2)(

3

2

0

2/323

2

0

Se sostituiamo l’area Ar2 e consideriamo N spire: z

z

NiAzB ˆ

2)(

3

0

R

z

i

B

Nel centro della spira (z=0): zR

iB ˆ

2)0( 0

Riscriviamo il campo in termini di momento di dipolo della bobina:

3

02

1)(;

z

pzEdqp

3

0

2)(;ˆ

zzBzNiA

risultato ottenuto in precedenza applicando Biot-Savart nel centro di curvatura dell’arco

In forte analogia col campo del dipolo elettrico lungo l’asse del dipolo:

Sommario: campi magnetici generati da correnti

3

0

4 r

rsdiBd

Legge di Biot e Savart

P

R

iB

2

0

Filo rettilineo infinito: simmetria cilindrica

A

mT7

0 104Permeabilità magnetica del vuoto

R

iB

f

4

0

Nel centro di curvatura dell’arco:

x

y

zbB

abF

d

LiiF ba

2

0

Forza tra fili paralleli

Sommario: campi magnetici generati da correnti

Legge di Ampère

210int0 iiisdB

esterno al filo:

interno al filo:

r

iB

2

0

r

rR

iB

2

0

2

inB 0Nel solenoide ideale:

r

NiB

1

2

0

Nel toroide

z

zR

iRzB ˆ

2)(

2/322

2

0

Lungo l’asse della bobina:

lontano dalla bobina (anche per un qualsiasi dipolo magnetico):

3

0

2)(

zzB