Paolo Rocco Dispense ad uso degli studenti delPolitecnico di Milanoper i corsi da cinque crediti didattici Automatica Ingegneria Aerospaziale E vietato luso commerciale di questo materiale Avvertenza Questadispensaraccoglie,sottoformadiappuntisintetici,ilmaterialedidatticoperi corsiintroduttividiAutomaticadacinquecreditididatticitenutidallautoreal PolitecnicodiMilano,nellambitodelnuovoordinamentodidatticodeglistudi universitari. Illavorovuoleessereunausilioaglistudentiperrivedereipropriappuntioperun rapidoripassodellamateria,manonsostituisce,nvuolesostituire,almenonella presenteforma,untestoorganico1sullAutomatica,alqualesiraccomandadifare riferimento per un apprendimento pi consapevole della materia. Milano, Ottobre 2001 1 Si segnala in particolare il testo: Fondamenti di Controlli Automatici di P.Bolzern, N.Schiavoni e R.Scattolini, Mc-Graw Hill Italia. Sommario Lezione 1:Introduzione Lezione 2:Sistemi dinamici nel dominio del tempo Lezione 3:Funzione di trasferimento Lezione 4:Risposte canoniche dei sistemi del primo e secondo ordine Lezione 5:Schemi a blocchi Lezione 6:Risposta in frequenza Lezione 7:Requisiti di un sistema di controllo Lezione 8:Stabilit dei sistemi di controllo Lezione 9:Prestazioni dinamiche dei sistemi di controllo Lezione 10:Prestazioni statiche dei sistemi di controllo Lezione 11:Progetto del controllore Lezione 12:Regolatori PID Lezione 1IntroduzioneP. Rocco - Dispense di AutomaticaLez. 1 - 1LautomaticaConiltermineautomaticasifariferimentoadunadisciplinachestudiatuttigliaspettimetodologici e concettuali che stanno alla base dellautomazione, ossia del trasferimento allemacchinedioperazionidigovernoecontrollodidispositivi,processiesistemidisvariatanatura. Si parla di automazione ogniqualvolta unoperazione viene eseguita da una macchinasenza, o con ridotto, intervento delluomo.I comparti applicativi in cui si presenta lautomazione sono i pi svariati e toccano da vicinolavitaquotidiana:sipensiaglielettrodomestici(frigoriferi,lavatrici,condizionatori),aisistemi di frenatura e sterzo servoassistiti, alle sospensioni attive o al controllo della velocitdicrocieranelleautomobili,alpilotaautomaticonegliaerei,aiprocessimanifatturieriautomatizzati (fabbrica automatica), al controllo di motori elettrici, al controllo degli impiantiper la generazione di energia, e cos via.Una tale vastit di applicazioni in cui lautomazione riveste un ruolo rilevante pu far nascereillegittimodubbiochelautomaticasiriducaadunarassegnaotuttalpiadunaclassificazione delle applicazioni pi significative.Ineffettiinizialmente(alprincipiodelventesimosecolo)nonvieraalcunaconsapevolezzadelcaratterecomunedelleapplicazionidicontrollo.Leapplicazioni,chepuresistevano(controllodilivelloinserbatoi,controllodivelocitdellemacchineavapore,controllodelmoto delle pale di mulini a vento), evolvevano in modo pionieristico e del tutto indipendentetra loro.Estatosoloconilformarsi,equindiconilconsolidarsi,diunateoriamatematicachelautomaticahacominciatoaprendereleformediunadisciplinascientifica.Taleteoriamatematica va sotto il nome di teoria dei sistemi. Il suo indubbio pregio risiede nel fornire glistrumentiperlostudiodellecaratteristichedelsistema,oggettodiautomazione,inmodosostanzialmenteindipendentedalcontestoapplicativo.Grazieallateoriadeisistemi,tuttiisistemi di automazione elencati sommariamente in precedenza possono essere studiati con lastessa metodologia matematica.Lo studio dei fondamenti della teoria dei sistemi, che occuper la prima parte di questo corso,consentirdaunlatodidotarsidistrumentimoltoefficaciperlanalisidisistemi(nonsolotecnologici,maancheeconomici,ecologiciobiologici)incuiimportanteformalizzarelevoluzione nel tempo delle variabili, dallaltro preparerlastradaallostudiodeisistemidicontrolloautomatico,cheoccuperlasecondapartedelcorso.Lobiettivoprimariodellostudiosarlavalutazioneoggettivadelleprestazionideisistemidicontrollo,permezzodiparametricheformalizzanoconcettiintuitivi,qualilastabilit,lavelocitdirisposta,laprecisionedelsistemadicontrollo.Sarannofornitiancheelementiperlaprogettazionedeldispositivo che esegue il controllo automatico e per la sua realizzazione in tecnologia digitale.P. Rocco - Dispense di AutomaticaLez. 1 - 2Il problema del controlloUn problema di controllo nasce nel momento in cui si vuole imporre ad un oggetto (la cuinaturavadivoltainvoltaprecisata)uncomportamentodesiderato,permezzodiopportuneazioni esercitate sulloggetto stesso. Operiamo la seguente distinzione:Controlloautomatico:lazionedicontrollovieneesercitatadadispositivicheoperanoinmodo autonomo senza, o con ridotto, intervento umano;Controllo manuale: lazione di controllo viene esercitata dalloperatore umano.Quali sono gli elementi di un problema di controllo?A) Il sistema sotto controlloEilsistemaoggettodellazionedicontrollo.Sudiessoagisconodellevariabilimanipolabili,odicontrollo(u),edeidisturbi(d)(variabiliindipendentiedincerte),mentrelesueuscite(y)costituisconolevariabilicontrollate(dicuiinteressaciocontrollare landamento nel tempo).B) Landamento desiderato delle variabili controllateSono le variabili(y) che esprimono landamento che le variabili controllate dovrebberoassumere per garantire un corretto funzionamento del sistema controllato. Verranno anchechiamate riferimenti o setpoint.Sy u ydFig. 1 : Elementi di un problema di controlloProblema di controllo: determinare, ad ogni istante, il valore delle variabili di controllo u inmodotalechelevariabilicontrollateyassumanounandamentoquantopipossibilesimileallandamentodesideratoy,qualunquesiano, tra quelli ritenuti ragionevoli, gli andamenti dei riferimenti ye dei disturbi d.Controllore: oggetto che determina ed esercita lazione di controllo.Legge di controllo: criterio secondo il quale agisce il controllore.P. Rocco - Dispense di AutomaticaLez. 1 - 3Un esempio: il frigoriferoTM Cutermometromotore compressoreFig. 2 : Un frigoriferoObiettivo del controllo: Mantenereapprossimativamentecostantelatemperaturaallinterno del frigo.Riferimento: valore desiderato per la temperatura allinterno del frigo (losi imposta con una manopola).Variabile di controllo: u posizionedellinterruttoredialimentazionedelmotoredelcompressore.Disturbi: d1temperatura dellambiente esterno;d2temperatura degli oggetti inseriti.Variabile controllata: temperaturaallinternodelfrigorifero(puesseremisuratao no).STRATEGIA DI CONTROLLO 1Sicalcolalaquantitdicalorechedeveessereestrattapermantenereunacertatemperaturadesiderata . Servendosi di un timer, si accende e spegne il motore ad intervalli regolari.P. Rocco - Dispense di AutomaticaLez. 1 - 4SuCdcontrollore sistemaFig. 3 : Strategia di controllo 1Tipico andamento temporale della variabile di controllo u:ut 01Fig. 4 : Posizione dellinterruttoreOsservazioniLa legge di controllo si basa esclusivamente sul modello (bilancio termico)Non richiesto luso di un termometroGlieventualidisturbi(portadelfrigolasciataalungoaperta,oggettiinseritiparticolarmente caldi, ecc.) compromettono lefficacia della regolazione della temperatura.STRATEGIA DI CONTROLLO 2Si utilizza la misura m della temperatura , fornita da un termometro.SuCdTmFig. 5 : Strategia di controllo 2Sialimentailmotorequandoladifferenzamsuperaunacertasogliaelosispegnequando tale differenza scende al di sotto di unaltra soglia (controllo a rel).P. Rocco - Dispense di AutomaticaLez. 1 - 5u01 mFig. 6 : Controllore a relOsservazioniLa legge di controllo non si basa sul modelloE richiesto luso di un termometroIn presenza di eventuali disturbi la temperatura viene comunque regolata efficacemente.P. Rocco - Dispense di AutomaticaLez. 1 - 6Controllo in anello aperto ed in anello chiusoControllo in anello aperto (feedforward control)Nonvieneeseguitaalcunamisurasullevariabilidelsistema,oppureleeventualivariabilimisurate, ed utilizzate nella legge di controllo, non dipendono dai valori assunti dalla variabiledi controllo u (strategia 1 nellesempio precedente).Sy u ydC Sy u ydCMd(a) (b)Fig. 7 : Schemi di controllo in anello apertoLoschemadiFig.7bprendeilnomedicompensazionedeldisturbo:seildisturbomisurabile, si esercita unazione di controllo dipende dalla misura del disturbo stessoControllo in anello chiuso (feedback control)Lazione di controllo viene esercitata sulla base di misure di grandezzeilcuivaloredipendeanchedalvaloreassuntodallavariabileu(strategia2nellesempioprecedente).Inquestomodo si viene a chiudere un anello nel rapporto di causa ed effetto tra le variabili (la variabiley dipende da u che, a sua volta, dipende da y ...).Sy u ydCymMyFig. 8 : Schemi di controllo in anello chiusoAnello aperto Anello chiusoMisura di y No SModello matematico accurato S NoSensibilit ai disturbi Elevata BassaP. Rocco - Dispense di AutomaticaLez. 1 - 7StrumentazioneLastrumentazionecostituitadaidispositivi(trasduttoreeattuatore)cheinterfaccianoilprocesso sotto controllo con il controllore.Trasduttori: misuranounagrandezzafisicadelsistemasottocontrollo(tipicamentelavariabilecontrollata)eneinvianolamisuraalcontrolloreinunaformacompatibile con la sua tecnologia.Attuatori: traduconolazionedicontrollodeterminatadalcontrolloreinunazioneefficacesulsistema,operandosullesuevariabilimanipolabili(tipicamentecon stadi intermedi di amplificazione e conversione di potenza).Sy u ydCcATmFig. 9 : Schema di controllo completo di strumentazioneSiosservichenelloschemasioperataladistinzionetralavariabiledicontrollouelavariabile manipolabile m e tra la variabile controllata y e la sua misura c.Lezione 2Sistemi dinamicinel dominio del tempoP. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 2 - 1Un esempio: il nastro trasportatore1uypvlsabbiaFig. 1 : Un nastro trasportatore di sabbiau: portata di sabbia allinizio del nastroy: portata di sabbia alla fine del nastrop: perdite di sabbia lungo il nastrov: velocit (costante) del nastrol: lunghezza del nastroProblema di controlloFare in modo che la portata y in uscita al nastro sia quantopipossibilesimileadunvalorecostante prefissato y, nonostante le perdite p, agendo sulla portata u di sabbia allingresso delnastro.Sy u ypFig. 2 : Il problema di controlloModello matematicoIlmodellomatematicotraduceinunequazioneilfattoche,adogniistanteditempot,laportata in uscita uguaglia, a meno delle perdite,la portata manifestatasi in ingresso, istantiprima, dove il tempo di percorrenza del nastro:( ) ( ) ( )y t u t p t lv , :

1Da Modellistica e Controllo, S. Bittanti, N. Schiavoni, CLUP, 1979.P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 2 - 2Si suppone inoltre che le perdite siano calcolabili come la somma di un valore medio costantenotope di uno scostamento impredicibile p:( ) ( ) p t p p t+ .Strategia di controllo in anello apertoLa pi ovvia strategia di controllo in anello aperto consiste nellimporreunvalorediportatainingressocostante,ugualeallasommadelvaloredesideratoinuscitaedelvaloremediodelle perdite:( )u t y p+ .Risulta per:( ) ( ) ( ) ( ) y t y p p p t y p t+ + ,ossia:( ) ( )y y t p t .Pertantoilsistemadicontrollocompletamenteindifesorispettoaldisturbop(tuttoildisturbo si traduce in errore).Strategia di controllo in anello chiusoSelaportatainuscitamisurabile,sisommaallaprecedenteazionedicontrolloinanelloaperto un termine correttivo, proporzionale allerrore tra valore desiderato ed effettivo di y:( ) ( ) ( ) u t y p y y t+ + ,dove un parametro di progetto.Sy u ypCTpFig. 3 : Strategia di controllo in anello chiusoRisulta allora:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y t y p y y t p p t y y t p t+ + ++ 1 .Studiamoanzituttoilcomportamentoaregime(analisistatica),supponendocostantileperdite ( ( ) p t p). Tutte le variabili risulteranno allora costanti, ed in particolare si avr:( ) ( )y t y t y .Facendo i conti si ottiene:P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 2 - 3y yp +1 .Sembra quindi che purdiscegliereilparametropositivosufficientementegrande,sipossaridurre arbitrariamente lerrore.Il problema risolto? Non proprio...Studiamountransitorio,ossiailpassaggiodaunacondizionediregimeadunaltra(analisidinamica).Inparticolare,ipotizziamochelandamentoneltempodelleperditesiarappresentato dal grafico di Fig. 4.ptp0Fig. 4 : Andamento temporale delle perdite di sabbiaFacendoiconti,sitrovacheilparametroinfluenzapesantementelandamentotemporaledella portata in uscita y, come mostrano i seguenti grafici:tyy2 3 4y+p < 1Fig. 5 : Andamento temporale della portata in uscita: 1Fig. 7 :Andamento temporale della portata in uscita: >1Tipo di transitorio1 Oscillazioni divergenti(*) Sipudimostrarecheleoscillazioniconvergonoalvalore( ) y po+ + 1 ,coerenteconlanalisi statica, tenendo conto che nel nuovo punto di equilibriop p .ConclusioniLanalisi statica non sufficiente per lo studio delle prestazioni dei sistemi di controllo. Avolte (vedi i casi 1 e >1) pu dare risultati addirittura errati.E allora indispensabile unanalisi dinamica del sistema di controllo.Unmodellomatematicochedescrivelevoluzioneneltempodellevariabilidelsistemaprende il nome di modello dinamico.Lo strumento matematico che useremo per formulare i modelli matematici sar quello delleequazioni differenziali.P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 2 - 5Modelli dinamici di sistemi elementariResistoreR: resistenzai: correntev: tensione( ) ( )v t Ri t InduttoreL: induttanzai: correntev: tensione( )( )v t L di tdt

CondensatoreC: capaciti: correntev: tensione( )( )i t C dv tdt

MassaM: massap: posizionev: velocita: accelerazioneF: forzaRi vLi vCi v( )( )( )( )( ) ( )v tdp tdta tdv tdtFt Ma t

MFpP. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 2 - 6Oscillatore meccanicoM: massaK: costante elasticaD: coefficiente di attritop: posizionev: velocita: accelerazioneF: forzaPendolol: lunghezza dellasta (priva di massa)m: massa concentratag: accelerazione di gravit: posizione angolare: velocit angolare: accelerazione angolare: coppiaSerbatoio cilindricoAS: area sezione serbatoioh: livello liquidoqi: portata di liquido entranteSerbatoio cilindrico con valvola defflussoAS: area sezione serbatoioAv: area di efflusso della valvolak:coefficientecaratteristicodella valvolah: livello liquidoqi: portata di liquido entranteMFpKD( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )v tdp tdta tdv tdtFt Kp t Dv t Ma t

+ +mgl( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) td tdttd tdtt ml t mgl t

+2sinhqiAS( )( )q t Adh tdti S

hqqiuASAv( )( )( )q t Adh tdtkA h ti S v +P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 2 - 7Sistemi dinamiciUnsistemadinamicosiinterfacciaconilrestodelmondopermezzodiunaseriedivariabili, che definiremo di ingresso, ed altre che definiremo di uscita.Definiamodiingressolevariabilicheinfluenzanoilcomportamentodelsistema,diuscitaquelle che caratterizzano il sistema e sulle quali soffermiamo il nostro interesse (tipicamenteperch costituiscono lobiettivo del controllo).Su yvariabilidi ingressovariabilidi uscitaFig. 8 : Ingressi e uscite di un sistemaLa relazione che sussiste tra variabili di ingresso e di uscita di causa-effetto e non ha nulla ache vedere con relazioni di afflusso ed efflusso di materia o energia (la portata di uscita in unserbatoio puesserevariabilediingressoperilsistema,seperesempiocomandatadaunapompa).Esufficientedescrivereilcomportamentodinamicodiunsistemamedianterelazionialgebrichetraisuoiingressielesueuscite?Quasisempreno(neinostriesempi,soloperilresistore),perduemotivi:occorreconoscereivaloriassuntidallevariabilidiingressoapartire dallistante iniziale ed occorre conoscere una o pi condizioni iniziali.Consideriamo a titolo di esempio il condensatore, in cui lingresso costituito dalla corrente(u(t) = i(t)), luscita dalla tensione (y(t) = v(t)). Avremo quindi:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cy t u t y t y tCu dtt&+010 .Occorrequindiconoscereilvaloreinizialedellatensioneelandamentodellacorrentedallistanteiniziale.Ilnumerominimodicondizioniinizialicheoccorreassegnareperdeterminaretutteleuscitedelsistema,notigliandamentidegliingressiapartiredallistanteiniziale, prende il nome di ordine del sistema: lo indicheremo con n.Perdescriverelevoluzionedinamicadelsistemaquindisufficienteassegnare,istanteperistante, n valori, ovvero dare landamento nel tempo di n variabili: indicheremo con x1, x2, ... ,xn queste variabili e le definiremo variabili di stato.Note le variabili di stato ad un dato istante e landamento degli ingressi da quellistante in poi,sarquindipossibiledeterminarelandamentoditutteleuscitedallistanteconsiderato.Laformalizzazione matematica del sistema dinamico passa allora per la scrittura delle equazionidifferenziali di cui le variabili di stato sono le soluzioni, noti gli ingressi esterni, e del legametra le variabili di uscita e quelle di stato e di ingresso.Sia m il numero delle variabili di ingresso e p il numero di variabili di uscita:P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 2 - 8( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )& , ,..., , , ,...,& , ,..., , , ,...,& , ,..., , , ,...,, ,..., , , ,...,, ,...,x t f x t x t x t u t u t u tx t f x t x t x t u t u t u tx t f x t x t x t u t u t u ty t g x t x t x t u t u t u ty t g x t x tn mn mn n n mn m1 1 1 2 1 22 2 1 2 1 21 2 1 21 1 1 2 1 22 2 1 2

,

Mequazioni di stato( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t u t u t u ty t g x t x t x t u t u t u tn mp p n m, , ,...,, ,..., , , ,...,1 21 2 1 2M

, trasformazioni di uscitaQueste sono le equazioni di un sistema dinamico.Introduciamo i vettori:( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )x u y tx tx tx ttu tu tu tty ty ty tn m p

1]11111

1]11111

1]11111121212M M M, ,.e le funzioni vettoriali:( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f x ug x ut tf x t x t x t u t u t u tf x t x t x t u t u t u tf x t x t x t u t u t u tt tg x t x t x t u t u t u tg x t x t x t un mn mn n mn mn,, ,..., , , ,...,, ,..., , , ,...,, ,..., , , ,...,,,, ,..., , , ,...,, ,..., ,

1]11111

1 1 2 1 22 1 2 1 21 2 1 21 1 2 1 22 1 2M( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 21 2 1 2t u t u tg x t x t x t u t u t u tmp n m, ,...,, ,..., , , ,...,M

1]11111Possiamo riscrivere le equazioni del sistema dinamico in forma compatta vettoriale:( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )& ,,x f x uy g x ut t tt t t

.Si osservi che il sistema tempo invariante ossia le equazioni del sistema non si modificanonel tempo: ci comporta che la scelta dellasse dei tempi del tutto convenzionale, ossia checome istante iniziale sar sempre possibile scegliere listante t=0.DefiniremopoicomesistemiSISO(SingleInputSingleOutput)isistemipercuim=p=1,MIMO (Multiple Input Multiple Output) gli altri.Infine si dir strettamente proprio un sistema in cui la funzione g non dipende dallingresso u,genericamente proprio un sistema in cui ci non accade.P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 2 - 9Torniamo ai nostri esempi:Resistoreingresso: u = vuscita: y = ivariabili di stato: nessunaInduttoreingresso: u = vuscita: y = ivariabili di stato: x1 = iCondensatoreingresso: u = iuscita: y = vvariabili di stato: x1 = vMassaingresso: u = Fuscita: y = pvariabili di stato: x1 = p, x2 = vRi v( ) ( )y tR u t 1Li v( ) ( )( ) ( )& x tL u ty t x t111

Ci v( ) ( )( ) ( )& x tC u ty t x t111

MFp( ) ( )( ) ( )( ) ( )&&x t x tx tM u ty t x t1 2211

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 2 - 10Oscillatore meccanicoingresso: u = Fuscita: y = pvariabili di stato: x1 = p, x2 = vPendoloingresso: u = uscita: y = variabili di stato: x1 = , x2 = Serbatoio cilindricoingresso: u = qiuscita: y = hvariabili di stato: x1 = hSerbatoio cilindrico con valvola defflussoingresso: u = qiuscita: y = hvariabili di stato: x1 = hGliesempievidenzianoche,dinorma,levariabilidistatosonoassociateafenomenidiaccumulo (di energia elettrica, di energia potenziale, di energia cinetica, di massa...).( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )&&x t x tx tMKx t Dx t u ty t x t1 22 1 211

+

MFpKDmgl ( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )&& sinx t x tx tglx tmlu ty t x t1 22 1211

+

( ) ( )( ) ( )& x tAu ty t x tS111

hqiAShqqiuASAv( ) ( ) ( )( ) ( )& x t kAAx tAu ty t x tvS S1 111 +

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 2 - 11Sistemi dinamici lineariNeisistemidinamicilinearileequazionidistatoeletrasformazionidiuscitasonolinearinelle variabili di stato e nelle variabili di ingresso:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )& ... ...& ... ...& ... ...x t a x t a x t a x t b u t b u t b u tx t a x t a x t a x t b u t b u t b u tx t a x t a x t a x t b u t b u t b u ty t c x t c x tn n mmn n mmn n n nn n n n nmm1 11 1 12 2 1 11 1 12 2 12 21 1 22 2 2 21 1 22 2 21 1 2 2 1 1 2 21 11 1 12 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +, + +Mequazioni di stato( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... ...... ...... ...+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +,c x t d u t d u t d u ty t c x t c x t c x t d u t d u t d u ty t c x t c x t c x t d u t d u t d u tn n mmn n mmp p p pn n p p pmm1 11 1 12 2 12 21 1 22 2 2 21 1 22 2 21 1 2 2 1 1 2 2M trasformazioni di uscitaIntroduciamo le matrici:A BC D

1]1111

1]1111

1]1111

1]1111a a aa a aa a ab b bb b bb b bc c cc c cc c cd d dd d dd d dnnn n nnmmn n nmnnp p pnmmp p pm11 12 121 22 21 211 12 121 22 21 211 12 121 22 21 211 12 121 22 21 2LLM M O MLLLM M O MLLLM M O MLLLM M O ML,,Ilsistemadinamicolinearepotralloraessereriscrittoinformacompattavettorialecomesegue:( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )& x Ax Buy Cx Dut t tt t t + + .Tutti i precedenti esempi sono descritti da sistemi dinamici lineari, tranne il pendolo (a causadellafunzionetrigonometrica)edilserbatoioconvalvoladiefflusso(perviadellaradicequadrata).P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 2 - 12MovimentoInunsistemadinamicoilmovimento(omoto)dellostatodefinitocomelevoluzioneneltempo del vettore delle variabili di stato, a partire da un istante iniziale in cui sia dato il valoredellostatostesso,enotigliandamentidegliingressidaquellistanteinpoi.Analogadefinizionesidperilmovimentodelluscita.Difattoquindiilmovimentodellostatocostituisce la soluzione del sistema di equazioni differenziali che forma il sistema dinamico.Per un sistema dinamico lineare, il movimento dello stato e quello duscita sono scomponibiliinduetermini:motoliberoemotoforzato.Ilmotoliberodipendesolodallacondizioneinizialesullostatodelsistema(enondagliingressi),ilmotoforzatodipendesolodagliingressi (e non dalla condizione iniziale):( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )x x xy y yt t tt t tl fl f + +.Considerando per semplicit un sistema del primo ordine (n = 1), con un ingresso ed unuscita(m = p = 1):( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )& x t ax t bu tx xy t cx t du t +

+00(incuituttelevariabilisonoquindiscalari)facileverificarecheilmotoliberoedilmotoforzato assumono le seguenti espressioni:Moto libero( )( )x t e xy t ce xlatlat

00Moto forzato( )( )( )( )( )( ) ( )x t e bu dx t ce bu d du tfa ttfa tt

+ 00Le formule possono essere generalizzate (formula di Lagrange) a sistemi di ordine superioree con pi ingressi e/o uscite, introducendo il concetto di esponenziale di matrice.P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 2 - 13Sovrapposizione degli effettiSi consideri un sistema dinamico lineare.Si eseguano sul sistema tre esperimenti:1.Lo stato iniziale valga x0 e si assegni lingresso( ) u t , pert 0 .Siano( ) x te( ) y ti corrispondenti movimenti di stato e uscita.2.Lo stato iniziale valga x0 e si assegni lingresso( ) u t , pert 0 .Siano( ) x te( ) y ti corrispondenti movimenti di stato e uscita.3.Lo stato iniziale valga + x x x0 0 0 e si assegni lingresso( ) ( ) ( ) + u u u t t t , pert 0 , essendo e due arbitrari numeri reali.Siano( ) x te( ) y ti corrispondenti movimenti di stato e uscita.Il principio di sovrapposizione degli effetti, valido solo per sistemi lineari, afferma che:( ) ( ) ( ) + x x x t t t ,( ) ( ) ( ) + y y y t t t .Equindipossibilestudiareseparatamenteleffettosulmotodellecause(statoinizialeedifferenti ingressi) che lo generano, e quindi sovrapporre (combinare linearmente) gli effetti.P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 2 - 14EquilibrioSi supponga che lingresso (o gli ingressi) del sistema dinamico (lineare o no) siano costanti.Un punto di equilibrio caratterizzato dal fatto che tutte le variabili di stato (e quindi anche lavariabile di uscita) del sistema rimangono costanti nel tempo.Consideriamo lequazione di stato (vettoriale):( ) ( ) ( ) ( )& , x f x u t t t,ed assumiamo lingresso costante:( ) u u t.Se il sistema si trova allequilibrio,( )x x t, e la derivata di x nulla. Pertanto:( ) f x u ,0.Questa equazione, nellincognitax, consente di trovare il punto di equilibrio del sistema. Lacorrispondente uscita di equilibrio sar data da:( ) y g x u,.Non detto che lo stato di equilibrio esista e, se esiste, non detto che sia unico.EsempioSi consideri il sistema, non lineare, del secondo ordine:&&x x ux x xy x x u1 132 1 221 2 + + +Si vogliono individuare eventuali punti di equilibrio in corrispondenza dellingresso costante( )u t u 1 .Annullando le derivate si ottiene:xx x131 221 00+ + Dallaprimaequazionesiricava,comeunicasoluzionereale,x11 ,che,sostituitanellaseconda, comporta le due soluzioni:x21ex21.Pertanto il sistema soggetto allingresso costante assegnato ammette due punti di equilibrio:( ) x x1 21 1 ; , ( ) x x1 21 1; .In corrispondenza del primo punto di equilibrio luscita di equilibrio vale:y x x u+ 1 22mentre in corrispondenza del secondo:y x x u+ 1 20.P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 2 - 15LinearizzazioneConsiderandopiccoliscostamentidellevariabiliattornoavaloridiequilibrio,possibileapprossimare il comportamento di un sistema dinamico non lineare con quellodiunsistemadinamico lineare.Consideriamo un generico sistema non lineare in forma vettoriale:( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )& ,,x f x uy g x ut t tt t t

soggettoallingressocostante( ) u u t.Supponiamocheesistailpuntodiequilibrio(eventualmente non unico) caratterizzato dal valorexdellevariabilidistatoedalvaloreydelluscita di equilibrio.Per definizione di equilibrio sar quindi:( ) f x u ,0.( ) y g x u,.Si supponga ora che lo stato iniziale (allistantet=0) sia costituito dal valore di equilibrioxcui si somma un piccolo scostamento:x x x0 0 + ,eche,apartiredallistanteiniziale,lingressosipossaesprimerecomelasommadelvaloreallequilibrio e di un piccolo scostamento:( ) ( ) u u u t t t+ , 0 .Esenzaltrolecitoesprimereancheimovimentidistatoeuscitacheneconseguonocomesomma dei valori di equilibrio e di scostamenti:( ) ( ) x x x t t+ ( ) ( ) y y y t t+ .Essendo le espressioni precedenti movimenti del sistema devono soddisfarne le equazioni. Siottiene quindi:( ) ( ) ( ) ( ) x f x x u u t t t.,+ +( ) x x 00

( ) ( ) ( ) ( ) y y g x x u u ++ + t t t ,Il sistema linearizzato si ottiene sviluppando in serie di Taylor intorno al punto di equilibrioleequazionidistatoeletrasformazionidiuscitadelsistemaoriginarioedarrestandolosviluppoaiterminidiprimogrado.Nellosviluppocomparirannolederivateparzialidellefunzioni vettoriali f e g rispetto agli argomenti vettoriali x e u (matrici Jacobiane), valutate nelpunto di equilibrio:P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 2 - 16( ) ( ) ( ) ( ) x f x ufxxfuux u x ut t t.,, , + +( ) x x 00

( ) ( ) ( ) ( ) y y g x ugxxguux u x u++ + t t t ,, ,Ponendo ora:AfxBfux u x u , ,, ,CgxDgux u x u , ,, ,e ricordando le relazioni valide tra le variabili che caratterizzano lequilibrio, otteniamo:( ) ( ) ( ) x A x B u t t t. +( ) x x 00

( ) ( ) ( ) y C x D u t t t+ ,che un sistema lineare.Perilsistemalinearizzatovalgonoquindileproprietdeisistemilineari(nonvalideperilsistema non lineare di partenza), limitatamente a piccole variazioni intorno alla condizione diequilibrio.EsempioSi consideri nuovamente il sistema del secondo ordine:&&x x ux x xy x x u1 132 1 221 2 + + +Sivoglionodeterminareleespressionideisistemilinearizzatiintornoaiduepuntidiequilibrio corrispondenti allingresso costante( )u t u 1.Abbiamo gi calcolato i due punti di equilibrio:( ) x x1 21 1 , , ( ) x x1 21 1, .Le equazioni del sistema linearizzato sono le seguenti:P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 2 - 17 &&x x x ux x x xy x x x xuu1 1212 1 2 22 1 1 232121 + + + + .In particolare, il sistema linearizzato intorno al primo punto di equilibrio risulta: &&x x ux x xy x x u1 12 1 21 23212 + + ,mentre quello linearizzato intorno al secondo punto: &&x x ux x xy x x u1 12 1 21 23212 + + + .P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 2 - 18EserciziEsercizio 2.1Scrivereleequazionichedescrivono(neldominiodeltempo)ilcomportamentodinamicodella rete elettrica di figura:R LCRu yEsercizio 2.2Scrivereleequazionichedescrivono(neldominiodeltempo)ilcomportamentodinamicodella rete elettrica di figura:R=1 L=1C=1u yivNLdove il blocco NL impone la relazionev i 3 tra la corrente i che lo percorre e la tensione v aisuoi capi.Esercizio 2.3Senza scriverne le equazioni, si dica di che ordineilsistemadinamicochedescrivelareteelettrica di figura:R LCRu yR LCRCRRLP. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 2 - 19Esercizio 2.4Senzascriverneleequazioni,sidicadicheordineilsistemadinamicochedescriveilsistema meccanico di figura:Esercizio 2.5Con riferimento al sistema dinamico:( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )&&x t x t x t u tx t x ty t x t x t1 1222 11 2 + +

si calcoli il punto di equilibrio corrispondente allingresso costanteu u 2, e si scrivano leequazioni del sistema linearizzato intorno a tale punto di equilibrio.Esercizio 2.6Con riferimento al sistema dinamico:( )( )( )( ) ( )& x tx tu ty t x t

1si calcoli il punto di equilibrio corrispondente allingresso costanteu u 1, e si scrivano leequazioni del sistema linearizzato intorno a tale punto di equilibrio.P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 2 - 20Traccia delle soluzioniEsercizio 2.1Dette x1 la tensione sul condensatore e x2 la corrente nellinduttore:R LCRu yxxLxCx..1212si scrivono le leggi delle tensioni alle due maglie:( )x Lx Rxu x Rx Cx1 2 21 2 1 + + +&&da cui si ricavano le equazioni del sistema dinamico:&&xRC xC xRC uxL xRL xy Rx1 1 22 1 221 1 11 +

Esercizio 2.2Dette x1 la tensione sul condensatore e x2 la corrente nellinduttore:1 11u yivNLxxxx..1212si scrivono le leggi delle tensioni alle due maglie:( )x x xu x x x1 2 231 2 1 + + +&&da cui si ricavano le equazioni del sistema dinamico:P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 2 - 21&&x x x ux x xy x1 1 22 1 231 +

Esercizio 2.3Poich sono presenti 6 elementi di accumulo di energia (condensatori ed induttori), il sistema di ordine 6.Esercizio 2.4Poich sono presenti 2 masse (ciascuna delle quali costituisce un sistema del secondo ordine)il sistema di ordine 4.Esercizio 2.5Annullando le derivate e ponendou u 2, si ottiene:x x1 20 2 ,,da cui seguono le equazioni del sistema linearizzato:( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) &&x t x t u tx t x ty t x t1 22 112 +

Esercizio 2.6Annullando la derivata e ponendou u 1, si ottiene:x1 ,da cui seguono le equazioni del sistema linearizzato:( ) ( )( ) ( ) & x t x ty t x t

Lezione 3Funzione di trasferimentoP. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 3 - 1Calcolo della risposta di un sistema dinamico linearePerilcalcolodellarisposta(uscita)diunsistemadinamicolinearesoggettoadingressiassegnati, si possono seguire due strade.Calcolo nel dominio del tempoConimetodidellanalisimatematica,siintegrailsistemadiequazionidifferenziali(equazionidistato)forzatodallefunzionideltempoassegnate(gliingressi).Dallatrasformazione di uscita si ricava quindi lespressione delluscita.Calcolo nel dominio delle trasformateAlla funzione del tempo u(t) si associa, con i metodi matematici che vedremo, una funzione Ucheprendeilnomeditrasformatadelsegnale1diingresso.Dalleequazionidelsistemadinamico poi possibile ricavare facilmente il legame tra la trasformata U e la trasformata Ydel segnale di uscita. Ricavata quindi la trasformata Y, le si associa la funzione del tempo y(t),che ne costituisce lantitrasformata, e che rappresenta la risposta del sistema cercata.u(t)y(t)U(s)Y(s)eq. differenziali eq. algebrichetrasformataantitrasformataFig. 1 : Calcolo della risposta di un sistema dinamico lineareQual il vantaggio del metodo di calcolo nel dominio delle trasformate ?Ilvantaggio,notevolissimo,cheillegametralatrasformatadellingressoelatrasformatadelluscitadinaturaalgebricaenondifferenziale,comeaccadeinvecetralerispettivefunzioni del tempo.

1Con il termine segnale intendiamo una variabile, scalare, funzione del tempo.P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 3 - 2Trasformata di LaplaceSi consideri una funzione reale f(t) della variabile reale t, definita per t 0.La funzione della variabile complessa s:( ) ( ) Fs f te dtst 0sidicetrasformatadiLaplacedif(t)esiindicaconL[f(t)].Latrasformataesiste,ingenerale, solo per un insieme di valori di s.EsempioSi consideri la funzione scalino:( ) ( )f t sca ttt

,0 01 0tsca(t)1Fig. 2 : La funzione scalino( ) [ ] L sca t e dtes sstst

1]1 001Si noti che lultima eguaglianza vera quando s un numero complesso a parte reale positiva(cio nel semipiano destro del piano complesso).EsempioSi consideri la funzione impulso:( ) ( )( )f t t tf tdt +imp , 0 01Tale funzione pu essere vista come il limite, per 0, della seguente funzione:( )f ttt

>,1 00P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 3 - 3tf(t)1/Fig. 3 : La funzione di cui limpulso costituisce il limite( )[ ]( ) ( )L imp imp lim limlim lim limt te dt f te dt e dtesessesst st stst s s

1]1 00000000 011 11 Propriet notevoli della trasformataLinearit ( ) ( )[ ]( )[ ]( )[ ] L L L 1 1 2 2 1 1 2 2f t f t f t f t ++ .Traslazione nel dominio della variabile complessa Se( )[ ]( )L f t Fs, allora( )[ ]( )Le f t Fs aat .Traslazione nel dominio del tempo Se( )[ ]( )L f t Fs, allora( )[ ]( )L f t e Fss , per 0.Derivazione nel dominio del tempo Se( )[ ]( )L f t Fs, allora ( )( )( )Ldf tdtsF s f

1]1+0 .Derivazione nel dominio della variabile complessa Se( )[ ]( )L f t Fs, allora ( )[ ]( )Ltf tdFsds .P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 3 - 4Trasformate notevolif(t), t 0 F(s)imp(t) 1sca(t) 1/sram(t) 1/s2par(t) 1/s3eat1/(sa)sin(t) /(s2+2)cos(t) s/(s2+2)dove:( ) ( ) ram par tt tttt tt

0 1.P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 3 - 14Calcolo delle risposte temporaliDatounsistemadinamicolineareeduningressotrasformabilesecondoLaplace,possibilericavarelespressioneanaliticadelluscitadelsistemadinamicoforzatadataleingresso.Occorre:1.Ricavare, se non gi data, la funzione di trasferimento G(s) del sistema2.Ricavare la trasformata U(s) dellingresso3.Calcolare la trasformata delluscita Y(s) = G(s)U(s)4.AntitrasformareSia ad esempio:( ) ( ) ( ) Gsss su t t ++ +

2 15 42, sca .Sappiamo allora che:( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )UssYs G s Usss s sss s s

++ +

++ +1 2 15 42 11 42,Applichiamo il metodo di Heaviside per lantitrasformazione di Y(s):( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )Yss s ss s s s s ss s sss s s ++++

+ + + + + ++ +

++ + 1 2 3 1 2 31 41 4 4 11 42 11 4 .Imponendo luguaglianza dei due numeratori, in particolare nei punti s = 0, s = 1, s = 4, siottiene:4 13 12 71 41 37 12123123

,

,Pertanto:( ) ( )y t t e e e e tt t t t + + 1413712141371204 4sca , .P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 3 - 15StabilitSia dato un sistema lineare, allequilibrio allistante t=0.Siapplichiquindi,allistantet=0unimpulsoallingressodelsistema(ossiaunaperturbazione di ampiezza molto elevata e di durata brevissima).Si possono presentare tre tipologie di comportamenti per landamento temporale delluscita y,riportate in figura:t(a)(b)(c)yFig. 6 : Differenti comportamenti della risposta allimpulso(a) luscita converge al valore iniziale (supposto nullo);(b) luscita non converge al valore iniziale, ma non diverge;(c) luscita diverge.Questi comportamenti corrispondono, rispettivamente, a un sistema:(a) asintoticamente stabile;(b) semplicemente stabile (o stabile, ma non asintoticamente);(c) instabile.Perisistemidinamicilineari,dicuicistiamooccupando,lastabilitnonlegataalparticolare punto di equilibrio in cui si trova il sistema nel momento in cui si d limpulso iningresso (tutti i punti di equilibrio sono equivalenti tra di loro). Ci non evidentemente veroper un sistema non lineare (si pensi ad un pendolo e ai suoi differenti punti di equilibrio).Neconseguecheperunsistemalinearelaproprietdistabilitdeveesserededucibiledallespressionematematicadelsistemadinamico,edinparticolaredallasuafunzioneditrasferimento.Limitiamoci,perbrevit,alcasodisistemiconpolisemplici(ossiaradicinonmultipledeldenominatore). Ricordando che la trasformata dellimpulso vale 1, si ottiene:P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 3 - 16( ) ( ) ( ) ( )( )( )Ys G s Us G ss zs p s piiiiiii

++

+ .Antitrasformando, si ricava lespressione analitica della risposta allimpulso:( ) y t e tip tii , 0.Se pi complesso, ossia pi = i + ji, risulta:( ) ( ) ( )e e t j tp t ti ii i cos sin .Naturalmente sar presente anche il termine coniugato e i contributi immaginari allo svilupposi elideranno.Ora, se tutti i poli sono reali negativi (pi>0) o complessi a parte reale negativa (i>0), tutti gliesponenzialiconvergonoazeroe,inbasealladefinizione,ilsistemaasintoticamentestabile;setuttiipolisononegativi,amenodiunochenullo(pi=0)odiunacoppiacheimmaginaria(i=0),lesponenzialeconesponentenullodluogoadunterminecostantementrequelliconesponenteimmaginariodannoluogoaterminisinusoidali,equindilarisposta non converge a zero, ma non diverge: il sistema pertanto semplicemente stabile; se,infine,almenounpolorealepositivo(pi0 e T0, la risposta y si assesta su un valore finito, mentre quando T0, instabile per T 0 T < 0Fig. 3 : Posizione del polo per T>0 e T0), si pu calcolare il valore limite (pert) della risposta allo scalino con il teorema del valore finale:( ) ( ) [ ] lim lim limt s sy t sY s ssT s +

1]1

0 0 11 .Pertanto la risposta allo scalino tende al guadagno del sistema: in altre parole il rapporto trail valore limite delluscita ed il valore limite dellingresso (che in questo caso vale 1, essendolingressounoscalino),parialguadagnodelsistema.Cicostituisceunacircostanzagenerale.LaformadeltransitoriodipendeinvecesolodallacostanteditempoT.Allistanteiniziale(t=0) la derivata di y vale /T: pertanto inizialmente la curva tangente alla retta che passa perlorigineecheintercettalarettaorizzontalediordinata(ossialarettaacuitendelarisposta), in corrispondenza dellistante t=T (fig. 1). Ne consegue che il transitorio tanto pivelocequantopipiccoloilvaloredellacostanteditempoT.Sipuverificarechelarisposta y raggiunge praticamente (al 9899%) il valore di regime dopo un tempo pari a 45volte la costante di tempo T. Si osservi che da queste considerazioni emerge anche con moltaevidenza un metodo grafico per tracciare landamento approssimato della risposta allo scalino.Studiamo anche la risposta allimpulso ( ( ) ( ) ( ) u t t U simp 1 ):( ) ( ) ( ) Y s G s U ssT T s T +

+ 111/.Antitrasformando:( ) y tTe tt T , 0 .Si noti che la risposta allimpulso risulta uguale alla derivatarispettoaltempodellarispostaallo scalino (circostanza generale).A seconda del segno di T si ottiene:P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 4tyT/TT > 0t yT < 0Fig. 4 : Risposta allimpulso per T>0 e T0(sistemaasintoticamentestabile),larisposta converge a zero, per T0):P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 6ImRe1/T0 < < T1/yt T/TFig. 7 : Risposta allo scalino per 0 T2Sistemi con poli reali e uno zero( )( )( )G sssT sT

++ + 11 11 2.Assumiamo T1 e T2 positivi, ossia il sistema asintoticamente stabile.La trasformata di Laplace della risposta allo scalino data da:( )( )( )Y sss sT sT

++ + 11 11 2 .In base al teorema del valore iniziale, otteniamo:P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 10( ) ( )[ ]( )( )y sY sssT sT s s011 101 2 ++ +

1]1 lim lim( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( )[ ]( )( ) limlim lim lim y s y s sY s y s Y s sssT sTT T s s s s0 011 121 21 2++ +

1]1 L mentre in base al teorema del valore finale:( ) ( ) [ ]( )( )y sY sssT sT s s ++ +

1]1 lim lim0 01 211 1 .La rispostapartequindidazero,contangenterivoltaversolaltoper>0,versoilbassoper0ty < 0Fig. 16 : Risposta allo scalino con 0: due poli nel semipiano sinistro sistema asintoticamente stabile0: due poli sullasse immaginario sistema semplicemente stabile L mentre, per >0, in base al teorema del valore finale:( ) ( )[ ] y sY ss s s snn n + +

lim lim0 022 22 .Lespressioneanaliticadellarispostaalloscalino,ottenibileperantitrasformazione,laseguente:P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 12( )( )y t e tntn +

1]11 111122sin,dove cos().Per =0, si ha:( )( )[ ]y t tn 1 cosossia una cosinusoide di pulsazione n:2ytT = 2/nFig. 18 : Risposta allo scalino per =0Per0,larispostahalandamentodiunasinusoideinviluppatadadueesponenziali(convergenti nel caso asintoticamente stabile, >0, divergenti nel caso instabile, 0 ( n n1* 2 )Sipudimostrareche,nelcasoasintoticamentestabile,lasovraelongazionepercentualemassima, ossia il rapporto percentuale tra lescursione del primo picco della risposta rispettoalvalorediregimeedilvalorediregimestesso,dipendeesclusivamentedalfattoredismorzamento :P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 13SyeEM

100 10012 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10102030405060708090100SEFig. 19 : Sovraelongazione percentuale massima rispetto al fattore di smorzamentoPerfareinmodochelasovraelongazionepercentualemassimasiainferioreadunvaloreassegnato, occorrer quindi che i poli del sistema appartengano ad un determinato settore delsemipiano sinistro del piano complesso (come quello tratteggiato in figura):ImReFig. 20 : Settore del piano complesso per limitare la sovraelongazioneIltempodiassestamentopuinveceesseredeterminatoconbuonaapprossimazione(pereccesso)facendoriferimentoanzichallarispostaadunodeisuoiinviluppi.Volendoquindicalcolare ad esempio il tempo di assestamento al 99% (Ta1) , si imporr:( ) 1 0 99 0 01 1001 11 e e Tn a n aT Tn a. . lne quindi:Tan n1100 4 6 ln . .Iltempodiassestamentorisultaquindiinversamenteproporzionalealmodulodellaparterealedeipoli.Perlimitareiltempodiassestamentooccorrerquindicheipolidelsistemasiano caratterizzati da un prodotto n sufficientemente grande, ossia che appartengano ad unP. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 14semipianoinclusonelsemipianosinistrodelpianocomplessosufficientementelontanodallasse immaginario (come quello tratteggiato in figura):ImReFig. 21 : Semipiano del piano complesso per limitare il tempo di assestamentoVolendo contenere sia la sovraelongazione sia il tempo di assestamento, i poli della funzionedi trasferimento dovranno trovarsi in una regione del piano complesso intersezione delle dueregioni tratteggiate nelle precedenti figure.P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 15EserciziEsercizio 4.1Sitraccilandamentoqualitativodellarispostaalloscalinodelsistemadescrittodallaseguente funzione di trasferimento:( )G ss

+42Esercizio 4.2Sitraccilandamentoqualitativodellarispostaalloscalinodelsistemadescrittodallaseguente funzione di trasferimento:( ) G sss

+1 051.Esercizio 4.3Sitraccilandamentoqualitativodellarispostaalloscalinodelsistemadescrittodallaseguente funzione di trasferimento:( )( )( )G ss s

+ +101 1 01 .Esercizio 4.4Sitraccilandamentoqualitativodellarispostaalloscalinodelsistemadescrittodallaseguente funzione di trasferimento:( ) G ss

+1892P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 16Traccia delle soluzioniEsercizio 4.1G(s) della forma:( ) G ssT

+1con 2, T = 0.5. Pertanto:0 1 2 3 4 500.511.522.53t (s)yTEsercizio 4.2G(s) della forma:( ) G sssT

++ 11con 1, T = 1, = 0.5. Pertanto:0 1 2 3 4 5 6 7 8-1-0.500.511.5t (s)yTP. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 17Esercizio 4.3G(s) della forma:( )( )( )G ssT sT

+ +1 11 2con10,T1=1,T2=0.1.Pertantolarispostaalloscalinodominatadallacostanteditempo T1:0 1 2 3 4 5024681012t (s)yT1Esercizio 4.4G(s) della forma:( ) G ss snn n

+ + 22 22con 2, n =3, =0. Pertanto:0 2 4 6 8 1000.511.522.533.544.55t (s)yTIl periodo T delloscillazione permanente vale:T sn 22 094.Lezione 5Schemi a blocchiP. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 5 - 1Elementi costitutivi di uno schema a blocchiGlischemiablocchicostituisconounformalismoperrappresentaregraficamenteleinterazioni tra sistemi dinamici.Vediamone gli elementi costitutivi:Il bloccoIl blocco non altro che un simbolo indicantelapresenzadiunsistemadinamico,aventelafunzioneditrasferimentoriportatanelsimbolodelblocco,elingressoeluscitariportatirispettivamente sulla freccia entrante e sulla freccia uscente dal blocco:G(s)U YFig. 1 : Un bloccoIl nodo sommatoreLuscitadelnododatadallasommaalgebricadeisegnalicheentranonelnodo,ciascunopresoconilpropriosegno(senonindicatoilsegno,siassumeperconvenzioneilsegnopositivo).++XYZWW = X+YZFig. 2 : Un nodo sommatoreIl punto di diramazioneTutti i segnali uscenti da un punto di diramazione sono uguali al segnale entrante nel punto.XYZWY = XW = XZ = XFig. 3 : Un punto di diramazioneP. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 5 - 2Schemi di interconnessioneSistemi in cascata (o serie)Due sistemi si dicono in cascata (o in serie) se luscita di uno lingresso dellaltro.Graficamente si ha la seguente situazione:G (s)1U=U Y = UG (s)2Y = Y1 1 2 2Fig. 4 : Blocchi in cascataLa funzione di trasferimento dallingresso del primo sistema alluscita del secondo si ottienecome segue:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y s Y s G s U s G s Y s G s G s U s G s G s U s = = = = =2 2 2 2 1 2 1 1 2 1Pertanto:( )( )( ) ( )Y sU sG s G s =1 2Lafunzioneditrasferimentodelsistemacostituitodallacascatadiduesottosistemiquindidata dal prodotto delle due funzioni di trasferimento parziali.Sistemi in paralleloDuesistemisidiconoinparallelosehannolostessoingresso,mentrelelorouscitesisommano (algebricamente) per determinare luscita del sistema risultante.Graficamente si ha la seguente situazione:G (s)1UYG (s)2Y12Y++Fig. 5 : Blocchi in paralleloLafunzioneditrasferimentodallingressocomuneaiduesistemialluscitasiottienecomesegue:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )Y s Y s Y s G s U s G s U s G s G s U s = + = + = +1 2 1 2 1 2Pertanto:P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 5 - 3( )( )( ) ( )Y sU sG s G s = +1 2Lafunzioneditrasferimentodelsistemacostituitodalparallelodiduesottosistemiquindidata dalla somma algebrica delle due funzioni di trasferimento parziali, ciascuna presa con ilsegno con cui la sua uscita entra nel nodo sommatore.Sistemi in retroazioneDuesistemisidiconoconnessiinretroazionequandoluscitadelprimolingressodelsecondo,mentreluscitadelsecondosisommaosisottraeaduningressoesternoperdeterminare lingresso del primo sistema.Si hanno quindi due possibili schemi di connessione:G (s)1U YG (s)2Y12++U1U2YFig. 6 : Blocchi in retroazione positivaG (s)1U YG (s)2Y12+U1U2YFig. 7 : Blocchi in retroazione negativaIn entrambi i casi:G1: funzione di trasferimento della linea di andataG2: funzione di trasferimento della linea di retroazioneConsideriamoilcasodiretroazionepositivaecalcoliamolafunzioneditrasferimentodallingresso U alluscita Y:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y s Y s G s U s G s U s Y s G s U s G s U sG s U s G s Y s G s U s G s G s Y s= = = + = + == + = +1 1 1 1 2 1 2 21 2 1 1 2P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 5 - 4Pertanto:( )( )( )( ) ( )Y sU sG sG s G s=11 21Analogamente, nel caso di retroazione negativa:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y s Y s G s U s G s U s Y s G s U s G s U sG s U s G s Y s G s U s G s G s Y s= = = = == = 1 1 1 1 2 1 2 21 2 1 1 2e quindi:( )( )( )( ) ( )Y sU sG sG s G s=+11 21LafunzioneditrasferimentoG1(s)G2(s)prendeilnomedifunzioneditrasferimentodanello.La regola per trovare la funzione d trasferimento del sistema complessivo (sistema in anellochiuso) quindi la seguente :( )( )Y sU s=+f.d. t.linea di andataf.d. t.d' anello :retroazione positiva :retroazione negativa 1mP. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 5 - 5Stabilit degli schemi di interconnessioneSistemi in cascataSiano:( )( )( )( )( )( )G sN sD sG sN sD s111222= = ,,le funzioni di trasferimento dei due sistemi in cascata, espresse come rapporti di polinomi.La funzione di trasferimento del sistema complessivo sar quindi:( ) ( ) ( )( )( )( )( )G s G s G sN sD sN sD s= =1 21122 .IldenominatorediG(s)datodalprodottodeidenominatoridellefunzioniditrasferimentoparziali:neconseguecheipolidelsistemacomplessivosonolariunionedeipolideiduesottosistemi in cascata. Pertanto:Unsistemacostituitodallacascatadidueopisottosistemiasintoticamentestabileseesolo se lo sono tutti i sottosistemi che compongono la cascata.Il precedente ragionamento non prevede la possibilit che vi siano radici di N1 uguali a radicidi D2, o radici di N2 uguali a radici di D1, ossia che intervengano cancellazioni tra poli di unafunzione di trasferimento e zeri dellaltra. Se viceversa tali cancellazioni avvengono, occorreporreattenzionealfattocheipolicancellatisianoomenoaparterealenegativa(ossianelsemipiano sinistro).Seinfattituttiipolicancellatisononelsemipianosinistro,essinonhannoalcunruoloneldeterminarelasintoticastabilitdelsistemacomplessivo,chevieneovviamenteadipenderedai poli non cancellati. Se invece almeno uno dei poli cancellati non nel semipiano sinistro,mentre tutti i poli non cancellati lo sono, si sarebbe indotti a ritenere che il sistema risultantesia asintoticamente stabile (il denominatore della funzione di trasferimento ottenuto a seguitodelle cancellazioni presenterebbe tutteradicinelsemipianosinistro).Inrealtunasituazionediquestotipocorrisponderebbeallapresenzadiunainstabilit(o,comunque,nonasintoticastabilit) interna: a seguito di una sollecitazione impulsiva allingresso, seppure la variabile diuscitadelsistemasiriporta,esauritoiltransitorio,alvalorediriposo,altrevariabiliinternepossono crescere indefinitamente, o comunque non ritornare al valore di riposo.Concludiamoquindichelaprecedenteaffermazionesullastabilitdeisistemiconnessiincascatainrealtvalida,facendoriferimentoalconcettodistabilitinterna,ancheinpresenza di cancellazioni tra poli e zeri.P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 5 - 6Sistemi in paralleloSiano:( )( )( )( )( )( )G sN sD sG sN sD s111222= = ,,lefunzioniditrasferimentodeiduesistemiinparallelo.Lafunzioneditrasferimentodelsistemacomplessivosarquindi(isegniconcuiavvienelasommasonoirrilevantiaifinidella stabilit):( ) ( ) ( )( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )G s G s G sN sD sN sD sN s D s N s D sD s D s= + = + =+1 211221 2 2 11 2 .Ancheinquestocaso,ildenominatorediG(s)datodalprodottodeidenominatoridellefunzioniditrasferimentoparziali:neconseguecheipolidelsistemacomplessivosonolariunione dei poli dei due sottosistemi in cascata. Pertanto:Un sistema costituito dal parallelo di due o pi sottosistemi asintoticamente stabile se e solose lo sono tutti i sottosistemi che compongono il parallelo.Un ragionamento analogo a quello sviluppato per i sistemi in cascata consente di concludereche laffermazione valida, con riferimento al concetto pi generale di stabilit interna, anchein presenza di poli comuni tra le due funzioni di trasferimento (ovvero radici comuni di D1 eD2, che comportano cancellazioni).Sistemi in retroazioneSiano:( )( )( )( )( )( )G sN sD sG sN sD s111222= = ,,lefunzioniditrasferimentodeiduesistemiinretroazione.Lafunzioneditrasferimentodelsistema complessivo sar quindi:( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )G sG sG s G sN sD sN sD sN sD sN s D sD s D s N s N s= = =11 21111221 21 2 1 211mmm ,con lopportuno segno a seconda che si tratti di retroazione positiva o negativa.Pertanto i poli del sistema in anello chiuso sono le radici del denominatore:( ) ( ) ( ) ( )D s D s N s N s1 2 1 2me non hanno nessuna relazione precisa con le radici dei polinomi D1 e D2, ossia con i poli deidue sottosistemi interconnessi. Pertanto:Perunsistemacostituitodallaretroazionediduesottosisteminonsipuaffermarenullasullaasintoticastabilitdelsistemainanellochiusoapartiredallaasintoticastabilitomeno dei due sistemi interconnessi.P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 5 - 7EserciziEsercizio 5.1Si calcoli la funzione di trasferimento da u a y per il sistema descritto dal seguente schema ablocchi:G(s)1G(s)2G(s)3G(s)4UYEsercizio 5.2Si calcoli il legame, in termini di funzioni di trasferimento dagli ingressi u e w alluscita y peril sistema descritto dal seguente schema a blocchi:G(s)3UYWG(s)1G(s)2P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 5 - 8Traccia delle soluzioniEsercizio 5.1Risolvendo lo schema a blocchi si ottiene:( )( )( )( )( )( )( )( )Y sU sG sG sG sG sG sG s=+++1223441 1Esercizio 5.2Risolvendo lo schema a blocchi si ottiene:( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) Y sG s G sG s G sU sG sG s G sW s =++ +++ +1 21 231 21 1Lezione 6Risposta in frequenzaP. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 6 - 1Risposta sinusoidaleConsideriamo un generico sistema dinamico lineare, di funzione di trasferimento G(s):G(s)U YFig. 1 : Un sistema dinamico lineareed imponiamo il seguente andamento sinusoidale allingresso u( ) ( ) u t A tA + sin: ampiezza:pulsazione:fase (iniziale)T = 2//tuFig. 2 : Ingresso sinusoidaleTeorema della risposta in frequenzaSeilsistemaasintoticamentestabile,esauritountransitorioiniziale,ancheluscitasinusoidale, con la stessa pulsazione della sinusoide in ingresso, e risulta in particolare:( ) ( ) y t B t+ sin con( )( )B AG jG j

+ , .dove j lunit immaginaria.Risposta in frequenzaSi definisce risposta in frequenza la seguente funzione complessa della variabile reale :( ) G j , > 0.P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 6 - 2Apartiredallespressionedellafunzioneditrasferimento,lespressionedellarispostainfrequenzasiottienesemplicementesostituendoasilprodottoj,elimitandoilcampodivariabilit di ai valori positivi.Perlapplicazionedelteoremadellarispostainfrequenza,perisistemiasintoticamentestabili, occorre poi valutare il numero complesso G(j) (e quindi il suo modulo e la sua fase)in corrispondenza ad un particolare valore di (ossia in corrispondenza alla pulsazione dellasinusoideiningresso).Coerentementeconilsignificatoassuntonelteorema,lavariabileprende il nome di pulsazione.Siosservicheladefinizionedirispostainfrequenzasidpertuttiisistemilineari,indipendentemente dalla stabilit.EsempioSia:( ) ( ) ( )G ssu t t + +1012 5 0 3 , sin .Ilsistemaasintoticamentestabile,percuiilteoremaapplicabile.Lespressionedellarisposta in frequenza la seguente:( ) G jj

+101 .Siamo interessati a valutare la rispostainfrequenzaincorrispondenzadellapulsazione=5,ed in particolare il modulo e la fase del numero complesso risultante:( )( ) ( ) ( )G jjjG jjj5101 5101 5101 25102619615101 510 1 5 0 5 1373

+

+

+ + +.arctan .In base al teorema della risposta in frequenza, risulter quindi, a transitorio esaurito:( ) ( ) ( ) ( )( ) y t G j t G j t+ + 2 5 5 0 3 5 3922 5 1073 sin . . sin ..P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 6 - 3Rappresentazione grafica della risposta in frequenzaCometuttelefunzioni,larispostainfrequenzasuscettibiledirappresentazionegrafica.Occorre tuttavia considerare la risposta in frequenza una funzione complessa della variabilereale . Sono allora utilizzabili varie forme di rappresentazione grafica, tra le quali assumonorilevanza le seguenti due:Diagrammi polariPerognivaloredisiriportailpuntonelpianocomplessoG(j).Congiungendoipuntisiottiene una linea che prende il nome di diagramma polare.ImReG(j1)G(j2)Fig. 3 : Diagramma polareDiagrammi CartesianiSitrattadiunacoppiadidiagrammi,cherappresentanoilmoduloelafasedellarispostainfrequenza rispetto alla pulsazione :|G(j)|arg G(j)Fig. 4 : Diagrammi CartesianiP. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 6 - 4Diagrammi di BodeI diagrammi di Bode sono una coppia di diagrammi Cartesiani della risposta in frequenza, incuilescaledegliassidellascissaedellordinatasonosceltesecondounopportunocriterioche facilita il tracciamento dei diagrammi.Sia nel diagramma del modulo che nel diagramma della fase lasse delle ascisse (ossia lassedelle pulsazioni) in scala logaritmica. La distanza tra due generici punti che rappresentanole pulsazioni 1 e 2 proporzionale alla differenza tra i logaritmi di 1 e 2. In altre parole,date quattro pulsazioni 1, 2, 3 e 4 tali che:2143,la distanza sulla scala logaritmica tra 1 e 2 uguale alla distanza tra 3 e 4:1234Fig. 5 : Scala logaritmicaInparticolareladistanzatraduepulsazioniaventirapportopariadieciprendeilnomedidecade:0.1 1 10 100 1000decadeFig. 6 : DecadiNel diagramma del modulo si rappresenta sullasse delle ordinate il modulo in decibel, ossiail logaritmo in base 10 del modulo, moltiplicato per il fattore 20:( ) ( ) G j G jdB 2010log.Ivaloridelmoduloindecibelvengonopoirappresentatisuunascalalineare.Pertantoildiagramma del modulo viene tracciato su una carta semilogaritmica:P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 6 - 5pulsazione (rad/s)modulo in dBFig. 7 : Diagramma del modulo in carta semilogaritmicaNeldiagrammadellafasesirappresentasullassedelleordinatelafasedellarispostainfrequenzaingradi,suscalalineare.Anchequestodiagrammavaquinditracciatosucartasemilogaritmica:pulsazione (rad/s)fase in gradiFig. 8 : Diagramma della fase in carta semilogaritmicaP. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 6 - 6Diagramma di Bode del moduloPer una generica funzione di trasferimento:( )( )( )G ssssgiikk

++11,il modulo della risposta in frequenza assume lespressione:( ) G jjjjgiikk

++11 .Il modulo in decibel si scriver quindi come:( ) ( ) G j G jjjjdBgii kk ++ + ++ 20 20 20120 1 201110 10 1010 10log log loglog logVediamo come si tracciano i diagrammi dei singoli addendi di questa somma.Guadagno( ) ( ) G s G jdB 2010logSi tratta di una retta orizzontale.Esempi: 100 4010 2001 20dBdBdB.Zeri e poli nellorigine( ) ( ) G ssG jjggdBg 12012010 10 log logSitrattadiunarettadipendenza20gdB/decade,chetaglialasse a 0 dB per =1.Si dice anche che la retta ha pendenza g.0.1 1 10-15-10-50510 (rad/s)dB>11,20 1 0 120 11010loglogLerrore massimo tra diagramma vero ed asintotico si ha per =1/||, e vale 20 2 310log dB.Il diagramma del tutto indipendente dal segno di .Se vi sono pi zeri (poli) reali coincidenti, i diagrammi si sommano.Zeri e poli complessi e coniugati( ) ( )( ) [ ]( )G s s s ssG jn ndBn n + ++ +

1]1

_, +1 1 1 220 1 4122110222222 logIdiagrammiasintoticisitraccianosostituendoaiduezeri(poli)duezeri(poli)realicoincidenti alla pulsazione n. Lapprossimazione buona solo per valori di | elevati (| >0.5). Il diagramma non dipende dal segno di .cos()nReIm0.1 1 10-40-200204060 (rad/s)dBn01AntirisonanzaZeri0.1 1 10-60-40-2002040 (rad/s)dB01nRisonanzaPoliFig.12 : Diagrammi del modulo di poli/zeri complessi e coniugati0.1 1 10-30-20-100102030 (rad/s)dBasintoticoverozeropolopendenza +1pendenza 11/||asintoticoveroFig 11 : Diagr. del modulo di poli/zeri realiP. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 6 - 8Esempio di tracciamento( )( )G ssss

+10 11 012.( )( )( )( )( )G jjjjdB + + ++20 10 20120 1 2011 0110 10 10 102log log log log.1234SommandoisingoliaddendisiottieneildiagrammaasintoticodiBodedelmodulodellarisposta in frequenza:10-1100101102103-60-40-2002040dBrad/s(1)(2)(3)(4)Fig. 13 : Diagramma di Bode del moduloPeriltracciamentovelocedeldiagrammaasintoticodelmodulo,cisipuserviredelleseguenti regole pratiche:1.A bassa frequenza ( 0) il diagramma giace sulla retta di pendenza g, passante perilpunto [ ] 1; GdBdB.2.Ad ogni pulsazione corrispondente a p poli (zeri) reali, la pendenza diminuisce (aumenta)di p unit.3.Adognipulsazionecorrispondenteallapulsazionenaturaledipcoppiedipoli(zeri)complessi e coniugati, la pendenza diminuisce (aumenta) di 2p unit.4.La pendenza finale pari al numero degli zeri meno il numero dei poli (regola di verifica).P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 6 - 9Diagramma di Bode della fasePer una generica funzione di trasferimento:( )( )( )G ssssgiikk

++11,la fase della risposta in frequenza assume lespressione:( )( )( ) + + + + + G jjjjgikk i1111 .Vediamo come si tracciano i diagrammi dei singoli addendi di questa somma.Guadagno( ) ( ) G s G j 0 < 0Fig. 14 : Diagr. della fase delguadagno0.1110-200-1000100200 (rad/s)Gradig = 2g = 1g = 0g = +1g = +2Fig. 15:Diagr. della fase di zeri/poli in s=0P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 6 - 10Zeri e poli reali( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )G s sG j j j + + +11 111 arctanPerfacilitareiltracciamentoamanosiintroduconoidiagrammi asintotici.( )( ) >,G jj 1 0 11Il diagramma dipende dal segno di . Infatti:( ) > 0, Poli con < 0nZeri con < 0, Poli con > 00.01 0.1 1 10 100-200-150-100-500 (rad/s)Gradi01Fig. 17 : Diagrammi della fase di zeri/poli complessi e coniugati0.01 0.1 1 10 100-100-50050100 (rad/s)Gradiveroasintotico1/zero, >0polo, 3 0 ,con b estremo superiore della banda passante.Unfiltropassabasso,quindi,lasciapassarelearmonichelecuipulsazionisonointerneallasua banda passante ed attenua le altre.P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 6 - 15EserciziEsercizio 6.1Siscrivalespressionedellandamentodiregimedelluscitay(t)delsistemadinamicodescritto dalla funzione di trasferimento:( ) G ss

+12soggetto allingresso u(t) = 3 sin(t).Esercizio 6.2Si dica se possibile che, a transitorio esaurito, luscita di un sistema asintoticamente stabilesoggetto allingresso:( ) ( ) ( ) u t t t+ sin sin 2assuma lespressione:( ) ( ) y t B t+ sin 3 ,con B e costanti opportune.Esercizio 6.3Si traccino i diagrammi di Bode asintotici del modulo e della fase per la seguente funzione ditrasferimento:( )( )( )G ss s

+ +101 01 1 .Esercizio 6.4Si traccino i diagrammi di Bode asintotici del modulo e della fase per la seguente funzione ditrasferimento:( ) G sss

+11 01 .Esercizio 6.5Si traccino i diagrammi di Bode asintotici del modulo e della fase per la seguente funzione ditrasferimento:( ) G ss s

+ +100 2 12.Esercizio 6.6Si traccino i diagrammi di Bode asintotici del modulo e della fase per la seguente funzione ditrasferimento:( )( )( )( )G ss s s

+ +10001 01 1 1 10 .P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 6 - 16Traccia delle soluzioniEsercizio 6.1Utilizzando il teorema della risposta in frequenza, si ottiene, a transitorio esaurito:( ) ( ) ( ) ( )[ ]y t G j t G j+ 3 sin argPoich:( ) G jj

+12,si ha:( ) ( ) ( ) ( ) G j G j 150 5 0 464 , arg arctan . . ,da cui:( ) [ ]y t t350 464 sin . .Esercizio 6.2Nonpossibile,inquanto,inbasealteoremadellarispostainfrequenzaedalprincipiodisovrapposizionedeglieffetti,luscitasarunacombinazionelinearediduesinusoididipulsazioni 1 e 2 rad/s.Esercizio 6.3 110-1100101102-60-40-20020Diagramma di Bode - ModulodBw (rad/s)10-1100101102-200-150-100-500Diagramma di Bode - Fasegradiw (rad/s)

1 Nelle figure sono riportati, con linea tratteggiata, anche i diagrammi di Bode esatti.P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 6 - 17Esercizio 6.410-110010110205101520Diagramma di Bode - ModulodBw (rad/s)10-1100101102050100150200Diagramma di Bode - Fasegradiw (rad/s)Esercizio 6.510-1100101102-100-50050Diagramma di Bode - ModulodBw (rad/s)10-1100101102-200-150-100-500Diagramma di Bode - Fasegradiw (rad/s)Esercizio 6.610-210-1100101102-100-50050100Diagramma di Bode - ModulodBw (rad/s)10-210-1100101102-100-500Diagramma di Bode - Fasegradiw (rad/s)Lezione 7Requisiti di unsistema di controlloP. Rocco - Dispense di AutomaticaLez. 7 - 1Componenti di uno schema di controlloEsauritalatrattazionedeisistemidinamici,sitornaoraalproblemadicontrollo,cheavevadato origine a tale studio. In figura riportata la struttura tipica di un sistema di controllo inretroazione:Sy u ydpCcATmdAdTFig. 1 : Sistema di controllo completo di strumentazionedove:S: sistema sotto controllo (o processo)T: trasduttoreA: attuatoreC: controllore (o regolatore)Sistema sotto controlloEloggettodellostudiodelleprecedentilezioni.Sudiessosiintervieneattraversolavariabile manipolabile m ed il suo comportamento influenzato dal disturbo dp. La sua uscita la variabile controllata y. Se il sistema lineare, le sue propriet dinamiche possono essereespresse per mezzo di due funzioni di trasferimento1:y(s) = P(s) m(s) + H(s) dp(s).TrasduttoreElostrumentochemisuraunagrandezzafisicadelsistemasottocontrollo(lavariabilecontrollatay)eneinvialamisuracalcontrollore,inunaformacompatibileconlasuatecnologia. E generalmente caratterizzabile con due propriet, precisione e ripetibilit.Si pu distinguere tra precisione statica (a transitorio esaurito il segnale che esprime la misuradellagrandezzaproporzionalealvaloreassuntodallagrandezzastessa)eprecisionedinamica(velocitdeltransitorioconilqualelostrumentoreagisceavariazioninella

1Indicheremo con lo stesso simbolo una variabile funzione del tempo e la sua trasformata di Laplace.P. Rocco - Dispense di AutomaticaLez. 7 - 2grandezzamisurata).Laripetibilitinvecelaproprietpercuiilcomportamentodeltrasduttore, sia statico che dinamico, non varia nel tempo.Seilcomportamentodinamicodeltrasduttoreapprossimabileaquellodiunsistemadinamico lineare, la relazione che intercorre tra le trasformate della grandezza controllata y edella misura c esprimibile per mezzo di una funzione di trasferimento e pu essere affetta daun disturbo:c(s) = T(s) y(s) +dT(s)Se il trasduttore ripetibile, T(s) non varia nel tempo. In tal caso anche possibile individuareunandamentodesideratodellamisurac,elaborandoconunsistemadifunzioneditrasferimento T(s) landamento desiderato y:c(s) = T(s) y(s).AttuatoreLattuatoretraducelazionedicontrolloelaboratadalcontrollore,edespressadallavariabiledi controllo u, in unazione efficace sulla variabile manipolabile m. Ad esso quindi di normaassociato uno stadio di amplificazione di potenza ed eventualmente di conversione di potenza(si pensi ad un motore elettrico che converte potenza elettrica in potenza meccanica).Anche per gli attuatori ipotizzeremo un comportamento dinamico lineare affetto da disturbo,per cui:m(s) = A(s) u(s) +dA(s).ControlloreIl controllore riceve in ingresso la misura c della variabile controllata ed il relativo segnale diriferimento c. Dovendo rendere questi due segnali quanto pi possibile simili, naturale cheil controllore agisca sulla loro differenza, ossia sullerrore ec = c c. Ipotizzeremo che ancheil controllore abbia un comportamento dinamico lineare, per cui si avr:u(s) = R(s) ec(s).Allalucedelleprecedenticonsiderazioni,siamoingradodiriformulareunproblemadicontrollo sulla base di uno schema a blocchi di sistemi dinamici lineari:P. Rocco - Dispense di AutomaticaLez. 7 - 3c u ydpcm yT(s) R(s) A(s) P(s)H(s)T(s)ec++ +dA+ ++ +dTFig. 2 : Sistema di controllo lineareIpotizzeremo le funzioni di trasferimento P(s), H(s), T(s) e A(s) date, insieme con landamentodel segnale di riferimento y. Lincognita del problema sar la funzione di trasferimento R(s).P. Rocco - Dispense di AutomaticaLez. 7 - 4Formalizzazione del problema di controlloLo schema a blocchi di Fig. 2 pu essere semplificato osservando che leffetto dei due disturbidpedAinlineadiandataequivalealleffettodiununicodisturbodriportatodirettamentesulluscita del processo:d(s) = P(s) dA(s) + H(s) dp(s).Inoltre osserviamo che:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]e s c s c s T s y s T s y s d s T s y s y s n sco oT= = = 0,dove:( ) ( ) ( ) n s T s d sT=1.Si ottiene quindi lo schema a blocchi riportato di seguito:y u ydmR(s) A(s) P(s) T(s)++ ++ +nFig. 3 : Prima elaborazione del sistema di controlloA questo punto, sfruttando la commutativit del prodotto tra funzioni di trasferimento, si puulteriormente semplificare lo schema a blocchi:y ydR(s) G(s)++ ++ +nFig. 4 : Seconda elaborazione del sistema di controllocon:G(s) = T(s) P(s) A(s).Infine, una terza elaborazione porta al seguente schema:P. Rocco - Dispense di AutomaticaLez. 7 - 5y ydL(s)++ ++ +nFig. 5 : Terzaelaborazione del sistema di controllodove:L(s) = R(s) G(s).Si osservi che L(s) la funzione di trasferimento danello del sistema.Lobiettivoidealeyynonrealizzabile,acausadeilimiticonnessialladinamicadelsistemasottocontrollo,dellattuatoreedeltrasduttore.Sidefinisconoalloraunaseriedirequisiti che il progetto del controllore dovr soddisfare:Stabilit: Ilsistemainanellochiusodeveessereasintoticamentestabile,altrimentiqualsiasiperturbazioneagenteinqualsiasipuntodellanellosiamplificherebbeindefinitamente.Precisione statica: Aregime,aseguitodiassegnateperturbazioni(ascalino,arampaecc.)degliingressi,lerroretrariferimentoevariabilecontrollatadeveesserenullo,oppure inferiore ad una soglia prefissata.Precisione dinamica: La variabile controllata deve inseguire le variazioni delriferimento,ereagireaperturbazionisuidisturbi,consufficiente rapidit, e senza manifestare comportamentioscillatori.Intensit dellazione di controllo: Acausadeilimitidifunzionamentolinearedegliattuatori,oltrechepernondanneggiaregliattuatoristessi,occorreevitarechelavariabiledicontrollosubisca brusche variazioni o assuma valori eccessivi.Lezione 8Stabilit deisistemi di controlloP. Rocco - Dispense di AutomaticaLez. 8 - 1Poli di un sistema di controlloRiprendiamo lo schema a blocchi di un sistema di controllo in retroazione:y ydL(s)++ ++ +nFig. 1 : Sistema di controlloEssendolastabilitunaproprietdelsistema,indipendentedagliingressi,possiamoconsiderare il sistema di controllo privo dei disturbi:y yL(s)+Fig. 2 : Sistema di controllo privo di disturbiEspressa la funzione di trasferimento danello come rapporto di polinomi:( )( )( )L sN sD s,la funzione di trasferimento da y a y assume lespressione:( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )c sc sL sL sN sD sN sD sN sN s D s

+

+

+ 11 .Definiamoildenominatorediquestafunzioneditrasferimentopolinomiocaratteristicoinanello chiuso:( ) ( ) ( ) s N s D s+ .Le radici di tale polinomio sono quindi i poli del sistema in anello chiuso.Pertanto il sistema in anello chiuso asintoticamente stabile se e solo se tutte le radici delpolinomio caratteristico hanno parte reale negativa.P. Rocco - Dispense di AutomaticaLez. 8 - 2EsempioSia( ) L ss ss s s

++ + +23 211 .Poich il polinomio caratteristico in anello chiuso:( ) s s s s s s s s + + + + ++ +2 3 2 3 21 1 2 2non soddisfa la condizione necessaria perch le sue radici abbiano tutte parte reale negativa, ilsistema in anello chiuso non asintoticamente stabile.SenelformareilprodottoL(s)traR(s)eG(s)intervengonocancellazionitrapoli(ozeri)diR(s)ezeri(opoli)diG(s),ipolicancellatinoncompaionopicomeradicidelpolinomiocaratteristico. Ricordando tuttavia la discussione fatta nella Lezione 5 riguardo gli effetti dellecancellazioni tra poli e zeri sulla stabilit dei sistemi interconnessi, osserviamo che, se i policancellatinonhannoparterealenegativa,ilsistemanelsuocomplessononpudirsiasintoticamentestabile,dalmomentochenasceunainstabilit(o,comunque,unanonasintotica stabilit) interna.PoichzeriepolidellafunzioneditrasferimentoG(s)sonodaritenersiassegnati,leconsiderazioni precedenti conducono alle seguenti conclusioni:a) Se il sistema sotto controllo G(s) ha un polo a parte reale positiva o nulla, tale polo nonpu essere cancellato da un corrispondente zero di R(s).b) Se il sistema sotto controllo G(s) ha uno zero a parte reale positiva o nulla, tale zero nonpu essere cancellato da un corrispondente polo di R(s).P. Rocco - Dispense di AutomaticaLez. 8 - 3Il criterio di NyquistIl criterio di Nyquist un criterio grafico di stabilit molto generale e di pi immediata utilitdel criterio del polinomio caratteristico ai fini della sintesi del controllore.Inquestocorsocisilimiteradarelenunciatodelcriterio,senzaentrareinulterioriapprofondimenti.Il criterio di Nyquist si basa sul tracciamento del cosiddetto diagramma di Nyquist associatoallafunzioneditrasferimentodanelloL(s):sitrattadeldiagrammapolaredellarispostainfrequenzadiL,orientatonelsensodellecrescenti,cuisiaggiungeilsimmetricorispettoallasse reale del piano complesso. Occorre poi introdurre due quantit:Pd: numero di poli a parte reale strettamente positiva di L(s)N: numerodigiricompiutidaldiagrammadiNyquistintornoalpunto1dellassereale,contati positivamente in senso antiorario. Se il diagramma passa per il punto 1, N si dicenon definito.Il criterio afferma che il sistema in anello chiuso asintoticamente stabile se e solo se N ben definito e risulta:N = PdEsempioSia:( )( )L ss

+1012 .Il diagramma polare si traccia sulla base dei diagrammi di Bode asintotici (il modulo parte da10 e decresce monotonicamente, la fase parte da 0 e decresce monotonicamente fino a 180).Dal diagramma polare immediato tracciare il diagramma di Nyquist:-2 0 2 4 6 8 10-8-6-4-202468ReImdiagramma polare punto -1 Fig. 3 : Diagramma di Nyquist di LP. Rocco - Dispense di AutomaticaLez. 8 - 4Si osservi che Pd =0, e che il diagramma di Nyquist non compie giri intorno al punto 1, percui N = 0. Poich N=Pd il sistema in anello chiuso asintoticamente stabile.Per verifica, osserviamo che il polinomio caratteristico in anello chiuso il seguente:( ) ( ) s s s s+ ++ + 10 1 2 112 2,ed ha entrambe le radici:s j1 21 10, nel semipiano sinistro.Se invece:( )( )L ss

+1013 ,il diagramma di Nyquist qualitativo si pu tracciare di nuovo facilmente (si osservi che ora lafase della risposta in frequenza termina con il valore 270).0 5 10-8-6-4-202468ReImdiagramma polare punto -1 Fig. 4 : Diagramma di Nyquist di LAncheinquestocasoPd=0,mentreperdeterminareilvalorediNoccorrestabiliredovesitrovailpuntoPincuiildiagrammaattraversalassereale.Talepuntopuesserecaratterizzato come quello in cui la parte immaginaria della risposta in frequenza si annulla ocomequelloincuilafasedellarispostainfrequenzavale180.Seguendoquestultimastrada,edenominandoplapulsazionecuiassociatoilpuntoP,ricaviamopdallequazione:( ) ( ) ( ) + L j jp p p p 180 3 1 180 60 3 arctan .Poich:P. Rocco - Dispense di AutomaticaLez. 8 - 5( )( )L jjppp

+

+ >1011011081323,ilpuntoPsitrovaasinistradelpunto1,attornoalqualeildiagrammacompiequindiduegiri in senso orario. Pertanto N = 2 Pd ed il sistema in anello chiuso non asintoticamentestabile.Per verifica, osserviamo che il polinomio caratteristico in anello chiuso il seguente:( ) ( ) s s s s s+ ++ + + 10 1 3 3 113 3 2,ed ha dueradici:s j s1 2 3007 186 315,. . , .nel semipiano destro.P. Rocco - Dispense di AutomaticaLez. 8 - 6Il criterio di BodeSi consideri nuovamente il sistema in anello chiuso di Fig. 2.Introduciamo le seguenti ipotesi sulla funzione di trasferimento danello L(s):1.L(s) non ha poli a parte reale positiva.2.Il diagramma di Bode del modulo di L(j) interseca lasse a 0 dB una e una sola volta.Diamo le seguenti definizioni:Pulsazione critica c :pulsazione alla quale il diagramma di |L(j)|dB taglia lasse a 0 dB,ossia: |L(jc)|=1;Fase critica c :fasediL(j)incorrispondenzadellapulsazionecritica,ossia( ) c cL j ;Margine di fase m :differenzatra180elafasecritica,presainmodulo,ossia: m c 180 ;Guadagno danello L :guadagno (generalizzato) di L(s).Il criterio di Bode afferma che il sistema in anello chiuso asintoticamente stabile se e solose il guadagno danello ed il margine di fase sono entrambi positivi:Lm>>,00EsempioSia:( )( )L ss

+1012 .Il diagramma di Bode asintotico del modulo di L riportato in figura:P. Rocco - Dispense di AutomaticaLez. 8 - 710-1100101-30-20-100102030dB (rad/s)Fig. 5 : Diagramma di Bode asintotico di |L|Lapulsazionecriticavalec 3 rad / s.Lafasecriticapuesserecalcolataanaliticamenteocon il regolo delle fasi. Risulta:( )c 2 3 2 72 144 arctan .Il margine di fase quindi: m c > 180 36 0.Poichancheilguadagnodanello(paria10)positivo,ilsistemainanellochiusoasintoticamente stabile, coerentemente con quanto determinato con il criterio di Nyquist.Se invece:( )( )L ss

+1013 ,il diagramma asintotico del modulo di L il seguente:P. Rocco - Dispense di AutomaticaLez. 8 - 810-1100101-50-40-30-20-1001020dB (rad/s)Fig. 6 : Diagramma di Bode di |L|La pulsazione critica vale c 2 rad / s. La fase critica:( )c 3 2 3 64 192 arctan .Il margine di fase quindi: m c < 180 12 0.Pertantoilsistemainanellochiusononasintoticamentestabile,coerentementeconquantodeterminato con il criterio di NyquistP. Rocco - Dispense di AutomaticaLez. 8 - 9Osservazioni sul criterio di Bode1) GiustificazioneIl criterio di Bode un caso particolare del criterio di Nyquist: non infatti difficile verificarechenellecondizionidiapplicabilitdelcriteriodiBode(checorrispondonoaPd=0),lecondizionisulguadagnodanelloesulmarginedifaseespressedalcriterioequivalgonoagarantire lassenza di giri del diagramma di Nyquist intorno al punto 1 (N = 0).Rispetto al criterio di Nyquist, il criterio di Bode ha il vantaggio di richiedere il tracciamentodei diagrammi di Bode, di norma pi agevole del tracciamento del diagramma di Nyquist.2) Uso dei diagrammi asintoticiLapulsazionecriticapuesserestimataconbuonaprecisioneutilizzandoildiagrammadiBode asintotico del modulo, a patto che non vi siano cambiamenti di pendenza nelle vicinanzedellapulsazionecriticastessa.Occorrequinditenerepresentechepiviciniallapulsazionecritica sono i cambiamenti di pendenza, pi inaccurata sar la stima della pulsazione critica.Inoltreglieventualipoliozericomplessieconiugatidevonoessereadaltosmorzamento,altrimenti i diagrammi asintotici possono scostarsi sensibilmente da quelli reali.3) Sistemi a fase minimaUn sistema dinamico si dice a fase minima se ha guadagno positivo e tutte le singolarit (polie zeri) sono nel semipiano sinistro chiuso delpianocomplesso.Taledizionederivadalfattoche,sesitraccianoidiagrammidiBodedellafasedituttelefunzioniditrasferimentoaguadagnopositivoeconpolinelsemipianosinistrochiuso,aventilostessodiagrammadelmodulo della funzione di trasferimento a fase minima, in quella a fase minima la fase si trova,perciascunapulsazione,adunvalorediordinatasuperiore(equindi,selefasicomespessoavviene sono negative, la fase pi piccola in modulo).Perunsistemaafaseminima,adognipolocorrispondeundecrementounitariodellapendenzadeldiagrammadelmoduloedundecrementodi90delvaloredellafase,eviceversaperglizeri.Neconseguecheildiagrammaasintoticodellafasesipuimmediatamente ottenere da quello del modulo, semplicemente moltiplicandone in ogni trattola pendenza per 90.Se allora il diagramma asintotico del modulo, in corrispondenza al taglio dellasse a 0 dB hapendenza1,enonvisonocambiamentidipendenzanelleimmediatevicinanzedellapulsazione critica, allora la fase critica sar prossima al valore asintotico (90). Ne conseguecheilsistemainanellochiuso,essendoilmarginedifaseampiamentepositivo,sarasintoticamente stabile.P. Rocco - Dispense di AutomaticaLez. 8 - 10-40-20020Diagramma di Bode - ModulodB100101102-100-500Diagramma di Bode - Fasegradi (rad/s)cFig. 7 : Taglio dellasse a 0 dB con pendenza 1 per un sistema a fase minima4) Sistemi con ritardoUn sistema in cui ad ogni istante luscita ha il valore assunto dallingresso istanti prima:( ) ( )y t u t ,prende il nome di ritardo (si ricordi lesempio del nastro trasportatore nella Lezione 2).Trasformando secondo Laplace entrambi i membri dellequazione si ha:( ) ( ) Y s e U ss

,per cui la funzione di trasferimento del ritardo la seguente:( ) G s es

.La risposta in frequenza associata a questa funzione di trasferimento quindi:( ) ( ) ( ) G j e jj cos sin .Poich risulta:( ) ( ) ( ) G j ej + cos sin2 21 ,( )( ) ( )( ) G j ej arctan sin cos,ildiagrammadiBodedelmodulocoincideconlassea0dB,mentrelafasedecrescelinearmente con (sulla scala logaritmica si ha una curva monotona decrescente).P. Rocco - Dispense di AutomaticaLez. 8 - 110Diagramma di Bode - ModulodB (rad/s)-600-400-2000Diagramma di Bode - Fase1/gradiFig. 8 : Diagrammi di Bode del ritardoE poi molto comune il caso in cui la funzione di trasferimento danello sia il prodotto di unafunzione di trasferimento razionale Lr(s) e della funzione di trasferimento del ritardo:( ) ( )L s L s ers

.Si dimostra che, se il criterio di Bode applicabile per la funzione di trasferimento Lr(s) (ciose tale funzione di trasferimento ne rispetta le ipotesi), allora rimane applicabile anche per lafunzione di trasferimento L(s).Osservando poi che risulta:( ) ( ) ( ) ( ) L j L j e L j e L jrjrjr

,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + L j L j e L j e L jrjrjr ,si conclude che la presenza del ritardo non altera il diagramma di Bode del modulo, per cui lapulsazionecriticasipuricavaredirettamentedallanalisidellafunzioneditrasferimentopriva di ritardo. Per quanto riguarda la fase critica, al termine dovuto alla parte razionale dellafunzione di trasferimento occorrer sommare un termine pari a: c180.Si osservi la conversione da radianti a gradi, necessaria per rendere questo termine sommabilealle fasi espresse in gradi.P. Rocco - Dispense di AutomaticaLez. 8 - 12EsempioSia:( )( )( )L ss ses

+ +>101 1 100 , .Il diagramma di Bode del modulo riportato in figura.10-210-1100101-50-40-30-20-1001020dB (rad/s)Fig. 9 : Diagramma di Bode asintotico del modulo di LLa pulsazione critica vale approssimativamente c = 1 rad/s.La fase critica risulta: c c

_,

_, arctan.arctan1011118084 45 57 129 57.Il margine di fase vale quindi:( ) m c + 180 180 129 57 180 129 57 51 57.Pertanto se, per esempio, = 0.1, il margine di fase positivo ed il sistema in anello chiuso asintoticamentestabile;se=2,ilmarginedifasenegativoedilsistemainanellochiusonon asintoticamente stabile.P. Rocco - Dispense di AutomaticaLez. 8 - 13Margine di guadagnoIlmarginedifase,oltreadareunindicazionebinariasullasintoticastabilitdelsistemainanello chiuso, quantifica anche la robustezza della stabilit, ossia il margine di sicurezza concuipossiamotollerareincertezzesulmodellosenzacomprometterelasintoticastabilit.Pialto il margine di fase, pi robusto il sistema. Vi sono tuttavia casi in cui il margine di fasenon costituisce un indicatore attendibile, come riportato nellesempio in figura:ImRe1mFig. 10 : Diagramma polare di L ad alto margine di fase ma bassa robustezzaPuressendoilmarginedifaseelevato,ildiagrammapolarepassamoltovicinoalpunto1,rendendo il sistema scarsamente robusto a fronte di incertezze di modello.Unindicatoredausareincongiunzioneconilmarginedifaseilmarginediguadagno.SemprenellipotesiPd=0,sisuppongacheildiagrammapolarediLattraversiilsemiassereale negativo in uno e un solo punto:ImRe1aPFig. 11 : Diagramma polare di L con indicazione della distanza del punto P dallorigineUnindicedirobustezzaladistanzadelpuntoPdiintersezionedalpunto1,ovverolavicinanza del punto P allorigine. Detta allora a la distanza del punto dallorigine, definiamomargine di guadagno la quantit:( )( )kaL jL jmpp 1 1180 , con.Il sistema inanellochiusoasintoticamentestabilesekm>1,edtantopirobustoquantomaggiore km.P. Rocco - Dispense di AutomaticaLez. 8 - 14EserciziEsercizio 8.1L(s)Con riferimento al sistema retroazionato di figura, si dica per quali delle seguenti espressionidellafunzioneditrasferimentodanelloL(s)applicabileilcriteriodiBodeperlanalisidistabilit del sistema in anello chiuso:( )( )( )L ss s1101 1 01

+ + .( )( )( )L ss s2101 1 01

+ .( )( )( )L ss s3011 1 01

+ +..( )( )( )L sss420511 01

++..( )( )( )L ss ses501101 1 01

+ +..( )( )( )L sss621011

Esercizio 8.2Si valuti il margine di fase per i sistemi dellesercizio 8.1 per i quali sia applicabile il criteriodi Bode.Esercizio 8.3Sidiscutalastabilitinanellochiusoperisistemidellesercizio8.1periqualinonsiaapplicabile il criterio di Bode.Esercizio 8.4ConriferimentoadunsistemaretroazionatoincuiL(s)lafunzioneditrasferimentodiunsistema dinamico descritto dalle seguenti equazioni differenziali:( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

x t x tx t x t x t u ty t x t1 22 1 212 110

+

si discuta la stabilit del sistema in anello chiuso.Esercizio 8.5SidiscutalastabilitdelsistemainanellochiusoquandolafunzioneditrasferimentoL(s)assume una delle seguenti espressioni:( )( )L ss12101 +( ) L ss22101

( )( )L ss32101

+( )( )L ss42101

P. Rocco - Dispense di AutomaticaLez. 8 - 15Traccia delle soluzioniEsercizio 8.1I diagrammi di Bode del modulo perle6funzioniditrasferimentodanellosonoriportatiinfigura:10-1100101102-50050dBw (rad/s)L110-1100101102-50050dBw (rad/s)L210-1100101102-100-500dBw (rad/s)L310-1100101102-20020dBw (rad/s)L410-1100101102-50050dBw (rad/s)L510-1100101102-50050dBw (rad/s)L6L1: il criterio di Bode applicabileL2: il criterio di Bode non applicabile (c un polo nel semipiano destro)L3: il criterio di Bode non applicabile (il diagramma non taglia lasse a 0 dB)L4: il criterio di Bode non applicabile (il diagramma taglia due volte lasse a 0 dB)L5: il criterio di Bode applicabileL6: il criterio di Bode non applicabile (c un polo nel semipiano destro)Esercizio 8.2L1: c c m c 10 84 45 129 180 51 , , .Il sistema in anello chiuso asintoticamente stabile.L5: c c m c 10 84 45 10 01180129 57 186 180 6 , . ,Il sistema in anello chiuso instabile.P. Rocco - Dispense di AutomaticaLez. 8 - 16Esercizio 8.3L2: il polinomio caratteristico in anello chiuso vale:( ) ( )( ) s s s s s+ + + 10 1 1 01 01 09 112. . .ed ha radici nel semipiano destro. Pertanto il sistema in anello chiuso instabile.L3: il polinomio caratteristico in anello chiuso vale:( ) ( )( ) s s s s s+ + ++ + 01 1 1 01 01 11 112. . . . .edhatutteleradicinelsemipianosinistro.Pertantoilsistemainanellochiusoasintoticamente stabile.L4: il polinomio caratteristico in anello chiuso vale:( ) ( ) ( ) s s s s s+ + ++ + 05 1 1 01 0 01 0 7 1522. . . . .edhatutteleradicinelsemipianosinistro.Pertantoilsistemainanellochiusoasintoticamente stabile.L6: la funzione di trasferimento danello presenta un polo nel semipiano destro cancellato dauno zero. Pertanto sia il sistema in anello aperto che quello in anello chiuso sono instabili.Esercizio 8.4Trasformando secondo Laplace le equazioni del sistema si ottiene:( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )sX s X ssX s X s X s e U sY s X ss1 22 1 21210

+

da cui:( )( )( )( )L sY sU sess +1012 .Tracciato il diagramma di Bode del modulo di L (si veda la figura relativa allesercizio 8.5) siricava: c c m c 3 2 72 3 1180144 172 316 180 136 , ,Il sistema in anello chiuso quindi instabile.Esercizio 8.5TutteequattrolefunzioniditrasferimentohannolostessodiagrammadiBodedelmodulo,uguale a quello riportato di seguito:P. Rocco - Dispense di AutomaticaLez. 8 - 1710-1100101-30-20-100102030dBw (rad/s)L1:ilsistemainanellochiusoinstabile(dalcriteriodiBode,essendoilguadagnodanellonegativo)L2:ilsistemainanellochiusoinstabile(ilcriteriodiBodenonapplicabile,masipustudiare il polinomio caratteristico in anello chiuso)L3:ilsistemainanellochiusoasintoticamentestabile(dalcriteriodiBode,essendoilmargine di fase positivo)L4:ilsistemainanellochiusoinstabile(ilcriteriodiBodenonapplicabile,masipustudiare il polinomio caratteristico in anello chiuso).Lezione 9Prestazioni dinamiche deisistemi di controlloP. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 9 - 1Caratterizzazione delle prestazioni dinamicheLe prestazioni dinamiche fanno riferimento al comportamento del sistema di controllo duranteitransitori,ossiaallamodalitconcuilevariabilidelsistema,edinparticolarelavariabilecontrollata,passanodaunacondizionediregimeadunanuova,aseguitodivariazionidegliingressi.Sono di particolare importanza, a questo riguardo:lavelocitdirisposta,ovverolarapiditconcuilavariabilecontrollataseguebruschevariazioni (per esempio a scalino) del riferimento;losmorzamentodeitransitori,ovverolassenzaolirrilevanzadioscillazionineltransitorio.Con riferimento ai parametri con cui si era caratterizzata la risposta allo scalino di un sistemadinamico,potremodirechelavelocitdirispostacorrispondeadavereuntempodisalitadellarispostaalloscalinoridottomentrelosmorzamentodeitransitoricorrispondeasovraelongazione massima e tempo di assestamento contenuti.Rientrano inoltre nel novero delle prestazioni dinamiche anche la reiezione dei disturbi, sianoessisullalineadiandataosuquelladiretroazione,elamoderazionedelcontrollo,ossialapropriet del sistema di controllo per cui la variabile di controllo non sottoposta ad eccessivesollecitazioni.P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 9 - 2Banda passanteSi consideri un sistema a costante di tempo:( )H ssTT =+>110 , .E noto che la risposta allo scalino di questo sistema tanto pi rapida quanto pi piccola lacostante di tempoT.DettaH=1/Tlapulsazionedelpolo,possiamoequivalentementedireche la risposta tanto pi veloce quanto pi in alta frequenza la pulsazione del polo.000.20.40.60.81t (sec)T-25-20-15-10-505dB (rad/s)HFig. 1 : Risposta allo scalino e diagramma di Bode del moduloPertanto la pulsazione del polo un buon indice della velocit di risposta del sistema.Siconsiderioraunsistemadicontrolloinanellochiuso,edinparticolarelafunzioneditrasferimento dal riferimento y alla variabile controllata y:( )( )( )Y sY sF so=.In virt dellimposizione dei requisiti statici, F(s) varr 1, o comunque un valore prossimoa1, in bassa frequenza (cio per s 0). Inoltre il sistema di controllo sar progettato in modotale chelasuafunzioneditrasferimentoriflettalacaratteristica,propriadeisistemifisici,diavere pi poli che zeri. Da queste considerazioni seguono le due caratteristiche fondamentalidel diagramma di Bode del modulo di F: per 0, |F(j)|dB 0; per , |F(j)|dB .Andamenti plausibili del modulo di F potranno pertanto essere quelli riportati in figura:P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 9 - 3-50-40-30-20-10010dB (rad/s)33b-50-40-30-20-10010dB (rad/s)33Fig. 2 : Tipici andamenti del diagramma di Bode del modulo di FSe il diagramma di Bode del modulo di F non supera per nessuna pulsazione il valore 3 dB, sidefinisce banda passante del sistema di controllo linsieme delle pulsazioni [0, b], essendob la pulsazione alla quale il modulo vale 3 dB.Siosservichelacondizioneespressapreliminarmentealladefinizionedibandapassanteesclude la presenza di rilevanti picchi o rigonfiamenti nel diagramma del modulo, e quindi lesituazionirappresentatedaldiagrammadidestrainFig.2.Inaltreparoleilsistemadicontrollo si comporta da filtro passabasso.Se la pendenza del diagramma di |F|dB dopo la pulsazione b vale 1, il sistema di controllo sicomportainprimaapprossimazionecomeunsistemadelprimoordine,conpulsazionedelpolo pari a b. Ne