CM - elaborato RADDI

FACOLTA’ DI INGEGNERIA

Laurea Magistrale in Ingegneria Civile

I semestre – II anno

A.A. 2012 – 2013

Corso di:

Costruzioni Metalliche

Appunti di Costruzioni Metalliche

Docente: Studente:

Prof. Franco Bontempi Roberto Raddi 1504138

Assistenti:

Ing. Francesco Petrini

Ing. Pierluigi Olmati

Roma, LUGLIO 2013

Docente: Prof. Franco Bontempi

Appunti di Costruzioni Metalliche Assistenti: Ing. Francesco Petrini

A.A. 2012/2013 Ing. Pierluigi Olmati

Roma, LUGLIO 2013

INDICE

SEZIONE 0: INTRODUZIONE

SEZIONE 1: TEORIA DELLA PLASTICITÀ

1.1 Plasticità di materiale ........................................................................................................... 3

1.1.1 Limite di plasticità................................................................................................................................. 3

1.1.2 Stati di tensione non monoassiale ....................................................................................................... 3

1.1.2.1 Superficie di scorrimento ............................................................................................................. 3

1.1.2.2 Criteri di rottura ........................................................................................................................... 3

1.1.2.3 Inrudimento ................................................................................................................................. 5

1.1.3 Legame costitutivo dell'acciaio ............................................................................................................ 6

1.1.3.1 Legame costitutivo sperimentale ................................................................................................. 6

1.1.3.2 Legame costitutivo di calcolo ....................................................................................................... 6

1.1.3.3 Legame costitutivo ciclico ............................................................................................................ 7

1.1.3 Duttilità ................................................................................................................................................. 8

1.2 Plasticità di sezione/elemento .............................................................................................. 9

1.2.1 Flessione semplice (travi) ..................................................................................................................... 9

1.2.1.1 Definizione del legame momento-curvatura ............................................................................. 10

1.2.1.1.1 Analisi in campo elastico .................................................................................................... 10

1.2.1.1.2 Analisi in campo plastico .................................................................................................... 11

1.2.1.2 Cerniera plastica ......................................................................................................................... 13

1.2.2 Pressoflessione (colonne) ................................................................................................................... 15

1.2.2.1 Analisi in campo plastico ............................................................................................................ 15

1.2.2.2 Analisi in campo elastico ............................................................................................................ 16

1.3 Plasticità di sistema ............................................................................................................ 17

1.3.1 Aspetti caratterizzanti ........................................................................................................................ 17

1.3.1.1 Meccanismi di collasso locale/globale - Iperstaticità ................................................................. 17

1.3.1.2 Ridistribuzione energie immesse dopo la plasticizzazione ........................................................ 17

1.3.1.3 Distribuzione dei carichi ............................................................................................................. 18

1.3.2 Resistenza elastoplastica del sistema strutturale .............................................................................. 19

1.3.2.1 Metodo semi-analitico ............................................................................................................... 19

1.3.2.1.1 Analisi elastica .................................................................................................................... 19

1.3.2.1.2 Analisi elastoplastica .......................................................................................................... 20

1.3.2.1.2.1 Fase di carico .............................................................................................................. 20

1.3.2.1.2.2 Fase di scarico ............................................................................................................ 21

1.3.2.2 Metodo incrementale (push-over) ............................................................................................. 21

1.3.2.3 Metodo dell'analisi limite ........................................................................................................... 23

1.3.2.3.1 Superfici limite ................................................................................................................... 23

1.3.2.3.2 Teoremi dell'analisi limite .................................................................................................. 24

1.3.2.3.2.1 Teorema statico ......................................................................................................... 24

1.3.2.3.2.2 Teorema cinematico .................................................................................................. 26

1.3.2.3.2.2.1 Trave iperstatica ................................................................................................ 26

1.3.2.3.2.2.1 Telaio iperstatico ............................................................................................... 27




Roma, LUGLIO 2013

1.4 Aspetti particolari dell'analisi plastica ................................................................................. 28

1.4.1 Comportamento ciclico della sezione inflessa ................................................................................... 28

1.4.2 Influenza del taglio sul comportamento elastoplastico a flessione ................................................... 29

1.4.3 Interazione tra instabilità e plasticità ................................................................................................. 29

SEZIONE 2: STABILITÀ DELL'EQUILIBRIO

2.1 Aspetti generali .................................................................................................................. 32

2.2 Studio del comportamento critico e post-critico di un'asta rigida ........................................ 32

2.2.1 Condizione di vincolo 1 ....................................................................................................................... 32

2.2.1.1 Cinematica ed equilibrio ............................................................................................................ 33

2.2.1.1.1 Trattazione completa ......................................................................................................... 33

2.2.1.1.2 Linearizzazione degli spostamenti ..................................................................................... 33

2.2.1.1.3 Equilibrio nella configurazione indeformata ...................................................................... 33

2.2.1.1.4 Conclusioni ......................................................................................................................... 33

2.2.1.2 Approccio energetico ................................................................................................................. 34



2.2.1.2.3 Equilibrio nella configurazione indeformata ...................................................................... 34

2.2.1.2.4 Conclusioni ......................................................................................................................... 34


2.2.2.1 Cinematica ed equilibrio ............................................................................................................ 35




2.2.3.1 Approccio energetico ................................................................................................................. 36

2.3 Studio del comportamento critico e post-critico di un sistema di aste ................................. 37

2.3.1 Cinematica ed equilibrio ..................................................................................................................... 37

2.3.1.1 Trattazione completa ................................................................................................................. 37

2.4 Studio del comportamento critico e post-critico di un sistema di aste ................................. 38

2.4.1 Approccio energetico ......................................................................................................................... 38

2.4.1.1 Linearizzazione degli spostamenti ............................................................................................. 38

SEZIONE 3: CRITERI DI PROGETTAZIONE

3.1 Approccio alla progettazione .............................................................................................. 40

3.2 Conceptual design .............................................................................................................. 41

3.2.1 Performance strutturali richieste ....................................................................................................... 41

3.2.1.1 Rigidezza strutturale (SLE) .......................................................................................................... 42

3.2.1.2 Instabilità (SLE/SLU) ................................................................................................................... 42

3.2.1.3 Resistenza (SLU) ......................................................................................................................... 42

3.2.1.4 Duttilità (SLU) ............................................................................................................................. 42

3.2.2 Scelte progettuali ............................................................................................................................... 42

3.2.2.1 Tipologie elementari .................................................................................................................. 43

3.2.2.1.1 Concentric Braced Frames (CBF) ........................................................................................ 43




Roma, LUGLIO 2013

3.2.2.1.2 Moment Reisting Frames (MRF) ........................................................................................ 43

3.2.2.1.1 ECcentric Braced Frames (EBF) .......................................................................................... 44

3.2.2.2 Nodi ............................................................................................................................................ 44

3.2.2.2.1 Distinzione funzionale ........................................................................................................ 44

3.2.2.2.2 Rigidezze nodali.................................................................................................................. 45

3.3 Ottimizzazione .................................................................................................................... 48

3.3.1 Ottimizzazione per livelli .................................................................................................................... 48

3.3.1.1 Sizing........................................................................................................................................... 48

3.3.1.2 Morfologica ................................................................................................................................ 49

3.3.1.3 Topologica .................................................................................................................................. 49

3.3.1.4 Introduzione della sottostruttura .............................................................................................. 50

3.3.1.4.1 Uso dell'Outrigger .............................................................................................................. 50

3.3.2 Ottimizzazione per risposta ................................................................................................................ 51

3.3.2.1 Assiale ......................................................................................................................................... 51

3.3.2.1.1 Principi cardine................................................................................................................... 51

3.3.2.1.1.1 Trazione...................................................................................................................... 51

3.3.2.1.1.2 Compressione ............................................................................................................ 51

3.3.2.1.2 Aspetti tecnologici.............................................................................................................. 52

3.3.2.1.2.1 Buckling Restrained Braced Frame ............................................................................ 52

3.3.2.1.2.2 Trussed Tube .............................................................................................................. 53

3.3.2.2 Flessionale .................................................................................................................................. 54

3.3.2.2.1 Risposta strutturale ............................................................................................................ 54

3.3.2.2.2 Aspetti tecnologici.............................................................................................................. 55

3.3.2.2.2.1 Outrigger in sommità ................................................................................................. 55

3.3.2.2.2.2 Irrigidimenti strutturali .............................................................................................. 55

SEZIONE 4: PROGETTAZIONE IN ZONA SISMICA

4.1 Introduzione ....................................................................................................................... 57

4.2 Metodo dissipativo semplificato ......................................................................................... 57

4.2.1 Duttilità locale .................................................................................................................................... 58

4.2.1.1 Materiale .................................................................................................................................... 58

4.2.1.2 Sezione ....................................................................................................................................... 58

4.2.2 Fattore di struttura (q) ....................................................................................................................... 59

4.2.2.1 Indice di duttilità (q0) .................................................................................................................. 60

4.2.2.2 Fattore di regolarità strutturale (KR) .......................................................................................... 61

4.2.2.3 Fattore di duttilità locale (KD) ..................................................................................................... 62

4.2.3 Gerarchia delle resistenze .................................................................................................................. 63

APPENDICE A: COLLASSO PROGRESSIVO ................................................................................... 66

APPENDICE B: FATICA ............................................................................................................... 68

APPENDICE C: MODELLAZIONE DI DETTAGLIO ........................................................................... 70




Roma, LUGLIO 2013 Pagina 1

SEZIONE 0 INTRODUZIONE

1) Nell'ambito delle costruzioni civili, le strutture portanti di un qualsiasi organismo

sono prevalentemente realizzate, oltre che in cemento armato, impiegando

materiali metallici:si tratta soprattutto di acciai da carpenteria e solo di recente

sono state introdotte leghe leggere, tradizionalmente in uso nell'industria

aeronautica.

2) Il comportamento meccanico delle strutture metalliche è fortemeente

condizionato dalle proprietà del materiale acciaio, che presenta buona resistenza a

trazione quanto a compressione, oltre ad elevata resistenza, tenacità ed

adattabilità plastica.

3) Tra i principali vantaggi connessi all'impiego di strutture metalliche si possono

annoverare:

• Semplicità e maggiore affidabilità di modellazione: in fase di calcolo

strutturale, il comportamento statico delle membrature in acciaio non

risente delle incertezze di esecuzione. Le schematizzazioni teoriche

possono sufficientemente adattarsi alla struttura reale sia per le

caratteristiche fisico meccaniche sia per le modalità di esecuzione delle

unioni, dei collegamenti e dei vincoli. Questi aspetti si riflettono

nell'impiego di coefficienti di sicurezza più bassi e quindi meno

penalizzanti rispetto a quelli relativi, per esempio, al cemento armato.

• Rapidità di esecuzione: il procedimento costruttivo prevede una prima

fase di produzione degli elementi strutturali, che si volge in officina sotto il

diretto controllo delle maestranze specializzate mentre in cantiere si

realizza il montaggio mediante il collegamento tra gli elementi già

prodotti. In questo modo la costruzione non risente delle condizioni

stagionali che bloccano i procedimenti "a umido" come nel caso delle

costruzioni murarie e di c.a. e risulta conseguentemente più rapida.

• Re-impiego: accanto alla riduzione dei tempi descritta, si rileva la

possibilità di trasformazione delle strutture, intesa sia come ampliamento

della stessa per variazioni funzionali dell'opera, sia come intervento di

rinforzo richiesto da deficienze statiche conseguenti ad una modifica dello

schema statico originario e/o dei carichi di esercizio.

• Elevato grado di efficienza: il rapporto tra la resistenza meccanica

(espressa in termini di massima tensione di calcolo) ed il peso specificoè,

per i materiali metallici, molto elevato e sempre superiore a quello degli

altri materiali da costruzione tradizionali. Questo aspetto si traduce nella

possibilità di impiegare elementi strutturali di dimensione ridotte e quindi

di peso minore. A questo si accompagna dunque un più razionale uso degli

spazi per il minore ingombro degli elementi portanti ed un minore

impegno per le strutture di fondazione, soggette a carichi più bassi.

• Ottima risposta alle azioni dinamiche: questo giustifica l'ampio utilizzo di

acciaio nelle costruzioni industriali e nei ponti in zona sisimica





4) Per contro si annoverano alcuni svantaggi che penalizzano l'uso generalizzato del

materiale acciaio:

• Instabilità, sia locale che globale , conseguente proprio all'aumentata

snellezza delle membrature, che diventa uno degli aspetti più significativi

in fase di verifica dell'elemento e dell'insieme della struttura metallica.

• Elevata deformabilità: che non consente di sfruttare appieno le capacità

resistenti e pone problemi sia di instabilità che di funzionalità dell'opera.

Proprio per questa ragione si impongono delle limitazioni, oltre che sulle

tensioni, anche sulle deformazioni.

• Degrado per corrosione: il materiale acciaio è particolarmente sensibile

all'attacco di agenti atmosferici che lo ossidano; pertanto è necessaria una

costante manutenzione.

• Vulnerabilità considerevole nei confronti del fuoco: per le strutture

metalliche si registra una rapida diminuzione delle caratteristiche di

resistenza al crescere della temperatura e questo comporta particolare

cura nei confronti degli accorgimenti da adottare ai fini della protezione

degli elementi portanti.

5) Emerge, sin da queste considerazioni iniziali, che la corretta progettazione di

strutture metalliche, le quali abbracciano tutti i settori delle costruzioni (edilizia

civile e industriale, ponti e grandi coperture, torri e pali di sostegno per

elettrodotti,serbatoi e costruzioni marittime) non può prescindere dalla

conoscenza di queste problematiche. La costruzione metallica, inoltre si adatta

particolarmente alle tecniche di produzione in serie dalle quali viene condotto ad

una prefabbricazione industrializzata sempre più spinta.

6) Infine le moderne tecnologie danno la possibilità di introdurre nelle strutture dei

materiali con caratteristiche di resistenza differenziate, con la creazione della

cosiddetta quarta dimensione, che si accompagna alle tre geometriche, che

fornisce alla progettazione un ulteriore elemento di scelta. Quindi per il continuo

miglioramento dei materiali ed il graduale incremento dell'industrializzazione le

strutture metalliche presentano notevoli prospettive di sviluppo.

Appunti di Costruzioni Metalliche

A.A. 2012/2013

Roma, LUGLIO 2013

SEZIONE 1

1.1

1.1.1

Figura 1.1

1.1.2

1.1.2.1

Figura 1.2

1.1.2.2.

Figura 1.3

TEORIA DELLA

Plasticità di ma

Limite di plasti

1) I materiali po

(calcestruzzo

comportame

Stati di tension

Superficie di sc

1) Negli stati d

superfice di s

non ammissi

Criteri di rottur

1) La definizion

• Crite

valor

Docente

Assisten

A PLASTICITA'

ateriale

icità

ossono essere a limite di plasticità definito(acciai

o): nel secondo caso si necessita una

amento con conseguente linearizzazione.

ne non monoassiali

corrimento

i tensione non monoassiale, il limite di elasticit

scorrimento che separa gli stati elastici (interni)

ibili. Il contorno è dunque il luogo dei punti limite

ra

e delle superfici di rottura avviene attraverso du

erio di Tresca: si ha rottura quando la tensione tan

re massimo in uno stato monoassiale:

e: Prof. Franco Bontempi

ti: Ing. Francesco Petrini


Pagina 3

aio) o non ben definito

a semplificazione del

tà si definisce con una

da quelli plasticizzati o

e.

e criteri possibili:

angenziale raggiunge il





Figura 1.4

Figura 1.5

�� =1

2∗ max�� − ��; �� − ��; �� − �� =

1

2∗ max(��,��,��)

�̅ = 1

4 ∗ � � ∗ � ��

�

∗ sin� ∗ ��

�̅ =1√15

∗ �[�� − �� + �� − �� + �� − ��]

�� =1

2∗ max(��,��,��)

dove:

• Criterio di Von Mises: si ha rottura quando �̅ = �� dove la �̅ è per

definizione la media delle tensioni tangenziali agenti su una sfera di raggio

piccolo tendente a zero con il centro coincidente con il punto in esame.

dove:

2) Confrontando i due criteri:





1.1.2.3

Figura 1.6

Figura 1.7

Incrudimento

1) Si riporta uno schema riassuntivo e i relativi diagrammi delle possibile situazioni:

Incrudimento

Isotropia

Incrudimento isotropo

(la superficie cambia le

dimensioni, non la forma)

(1)

Incrudimento non isotropo

(la superficie cambia le

dimensioni e la forma)

(2)

Staticità

Incrudimento statico

(la superficie non si sposta)

(3)

Incrudimento cinematico

(la superficie si sposta)

(4)





Legame costitutivo dell'acciaio

Legame costitutivo sperimentale

1) Da una prova di trazione monoassiale, viene derivato il legame costitutivo

dell'acciaio riportando la tensione di trazione in funzione della deformazione

registrata fino alla rottura del provino:

Legame costitutivo di calcolo

1) E' possibile modellare il comportamento dell'acciaio secondo differenti legami più

o meno semplificati, associando ad ognuno un modello reologico esplicativo:

• Rigido perfettamente plastico: il modello reologico è quello di un blocco a

cui è applicata una forza F. Il comportamento è descritto da 1 parametro

indipendente.

1.1.3

1.1.3.1

Figura 1.8

Figura 1.9

1.1.3.2

Figura 1.10





• Elastoplastico perfetto: Il modello reologico è quello di un blocco cui è

applicata una forza F attraverso una molla di rigidezza E. Il comportamento

è descritto da 3 parametri indipendenti.

• Elastoplastico incrudente: il modello reologico è quello di un blocco

vincolato mediante una molla di rigidezza E1 e sollecitato da una forza F

attraverso un'altra molla di rigidezza E0. Il comportamento è descritto da 4

parametri indipendenti, dei quali la pendenza del ramo incrudente si

valuta con il criterio energetico.

• Elastoplastico incrudente con tratto a deformazioni libere: il modello

reologico è quello di un blocco sollecitato da una forza F attraverso una

molla di rigidezza E0 e vincolato da un'altra molla di rigidezza E1 che si

attiva solo una volta raggiunto un certo livello di spostamento.

Legame costitutivo ciclico

1) Dai legami costituivi di calcoli definiti nel paragrafo precedente, è possibile

derivare i corrispondenti descrittivi, però, di un comportamento ciclico. Tale

aspetto è di particolare rilevanza per effettuare con efficacia le analisi dinamiche

che sono necessarie per l'analisi sismica:

Figura 1.11

Figura 1.12

Figura 1.13

1.1.3.3





�� = � ∗ � �� + � = � ∗ � �� + �1 − �� ∗ � �� / �1 + � ��/�

2) Un'altro legame costitutivo per comportamento ciclico è quello di Menegotto

Pinto, descritto dalla relazione:

Duttilità

1) La duttilità è una proprietà fisica della materia che indica la capacità di un corpo o

di un materiale di deformarsi plasticamente sotto carico prima di giungere

arottura, cioè la capacità di sopportare deformazioni plastiche. Un corpo è tanto

più duttile quanto maggiore è la deformazione raggiunta prima della rottura.

Figura 1.14

Figura 1.15

1.1.4

Figura 1.16





Plasticità di sezione/elemento

Flessione semplice (travi)

1) Per trave si intende un elemento strutturale con una dimensione predominante,

atto a trasferire una sollecitazione tendenzialmente trasversale al proprio asse

geometrico lungo tale asse, dalle sezioni investite dal carico fino ai vincoli, che

garantiscono l'equilibrio esterno della trave assicurandola al contesto circostante.

E' valida la teoria di De Saint-Venant.

2) Le ipotesi di calcolo preliminari sono:

• Conservazione delle sezioni piane

• Piccoli spostamenti (si prescinde dalla stabilità)

• Legame elastoplastico perfetto

3) Si rappresenta l'andamento delle tensioni nella sezione all'aumentare del

momento flettente agente, in modo da evidenziare il passaggio al campo plastico:

4) E' possibile definire il fattore di forma β come rapporto tra il momento di

plasticizzazione Mp è quello di snervamento My. Tale grandezza è un indice delle

risorse plastiche dell'elemento e distingue due possibili comportamenti:

• β=1 Comportamento elastoplastico perfetto

• β>1 Comportamento elastoplastico incrudente

1.2

1.2.1

Figura 1.17

Figura 1.18

Figura 1.19





�� =� + �� → � =

� + �1 + �(�)

→ � =� + �

1 + �(�)

�� = � ∗ �� =1� � �!�" ��

�� =#�$ ∗

ℎ

2→ #� = �� ∗ %

�� =#�&$ =

�� ∗ %&$ =& ∗ �� ∗ %&$ =

2 ∗ ��ℎ

Definizione del legame Momento-Curvatura

1) Si consideri un concio di trave di lunghezza l unitaria inflesso secondo un raggio R:

2) L'obiettivo è valutare lo stato tensionale dell'elemento al variare del

comportamento. Si prende in esame la fibra tesa a-b:

Analisi in campo elastico

1) Esiste una diretta proporzionalità tra tensione e deformazione secondo le

relazioni:

'�� = & ∗ �� = & ∗ � ∗ �� =�

∗ � ( → � =

�

�

2) Alla linearità tensione-deformazione, corrisponde dunque una linearità tra

momento e curvatura:

1.2.1.1

Figura 1.20

1.2.1.1.1





�� =2 ∗ ��

ℎ ; #� = �� ∗ ); # = %� ∗ �� + ) ∗ �� − )� ∗ ��

##�

=�� ∗ %#�

+#�#�

−�� ∗ )*#�

=#�#�

∗ +�� ∗ %#�

+ 1 −�� ∗ )*#�

,

##�

= � ∗ �%�) + 1 −)*) � = � ∗ �1 −

)* − %�) �

Analisi in campo plastico

1) Considerando il limite di snervamento, superato il limite elastico, non c'è più

diretta proporzionalità tra tensione e deformazione e lo stato tensionale rimane

costante all'aumentare della deformazione:

La plasticizzazione si diffonde dalle fibre esterne a massima deformazione verso l'asse

neutro con un nucleo elastico che si riduce di ampiezza all'aumentare del momento

esterno e per il quale vale il legame elastico trovato precedentemente.

2) Il diagramma tensionale elastoplastico della sezione può essere scomposto come

segue in modo da poter ricavare l'andamento del diagramma momento-curvatura

in campo plastico:

4) Considerando:

Dove Z è il modulo plastico, We è il modulo elastico del nucleo elastico e Ze è il

modulo plastico del nucleo elastico.

Sapendo che � =��

�� e ) =

��

�� :

Sia We che Ze dipendono dalla forma del nucleo elastico; essendo �� = ��-�� ,��.

si ha �

��= � ∗ / 0��

�1 quindi:

1.2.1.1.2

Figura 1.21

Figura 1.22





Figura 1.23

2 # = & ∗ $ ∗ �#� = & ∗ $ ∗ �� ( → ##�

=& ∗ $ ∗ �& ∗ $ ∗ �� =

��

% =1

12

� ∗ ℎ�

ℎ2

=1

6∗ � ∗ ℎ�

%� =1

12

� ∗ (2 ∗ ��)�� =2

3∗ � ∗ ��

%� = � ∗ℎ

2∗

ℎ

2= � ∗

ℎ�

4

)� =� ∗ (2 ∗ ��)�

4= � ∗ ��

##�

=#�#�

∗ �1 −)* − %�) �

��

=3

2∗ �1 −

� ∗ �� − 2

3∗ � ∗ ��

� ∗ℎ�

4

� = 3

2∗ �1 −

1

3∗ �2 ∗

��ℎ�� = 3

2∗ 1 −

1

3∗ � ��

��

##�

= � ∗ / ��

Si studiano questi comportamenti su un elemento di sezione rettangolare.

Noto che:

Si può scrivere:

Dato che per sezioni rettangolari � =��

��=

�

�=

�

� , sostituendo alla precedente,

abbiamo:

5) Si è giunti dunque a scrivere la relazione nella forma:

da questa relazione si ottiene il diagramma del legame costitutivo tra il momento

e la curvatura, il quale presenta un andamento di tipo lineare nel campo elastico e

non lineare nel campo plastico.





#�32

=#�3

2−

Δ32

→ � =#�#�

=33 − ∆3 → ∆3 =

3 ∗ (� − 1)�

5) Applicando la stessa analisi per sezioni a geometrie diverse si ottiene una

variazione del coefficiente �, in particolare questo diminuisce al aumentare del

valore di W della sezione.

Cerniera plastica

1) L'ingresso in campo plastico dell'elemento corrisponde al raggiungimento del

momento massimo pari a quello di plasticizzazione in un tratto di lunghezza Δl, di

entità stimabile:

2) Per una sezione IPE, β è pari circa a 1,14 quindi la zona di plasticizzazione ha una

lunghezza pari al 10% della lunghezza totale della trave e può essere quindi

assimilata ad un punto.

3) In tale punto, la sezione è sollecitata dal momento di plasticizzazione quindi non

reagisce più e diventa una cerniera plastica.

4) E' possibile dunque realizzare un diagramma momento-curvatura che rappresenta

l'equivalente a livello di sezione del diagramma tensione-deformazione definito a

livello di materiale. Tale parallelismo è riassunto nella tabella seguente:

Figura 1.24

1.2.1.2

Figura 1.25





�� = �� ∗ℎ

2→ �� =

2 ∗ ��ℎ

�� = �� ∗ℎ

2→ �� =

2 ∗ ��ℎ

Parametri Materiale Elemento

Tensionali �� M

Deformativi �� , �� ,��

Duttilità 4 =�� 4� =

��

6) Si riporta, infine, la procedura per il tracciamento del diagramma momento

curvatura:

Fisso valore χ'

Ricavo diagramma

ε'=χ'*y

Ricavo diagramma σ'

Legame costitutivo

Ricavo la corrispondente M'

Numero di punti sufficiente?

Tracciamento

(M',χ')SINO

Figura 1.26





5 6 = 2��# = �� 4 (ℎ� − 4��)( 7899*�:"�;:8<:�=*<":

> 6� = ��#� = �� ℎ�4

( 7899*�:"�;:8<:�:?9�7":�:;;�;:8<*

@ABAC 66� = 2�ℎ##�

= 1 − �2�ℎ�� ( → ##�

= 1 − D66�E� *F �;:8<*�8G:<:8 9":G8

Pressoflessione (colonne)

Analisi in campo plastico

1) Il concetto di cerniera plastica può essere esteso alle sollecitazioni composte

studiando l'interazione tra sforzo normale e momento flettente in ipotesi di

validità della teoria di De Saint-Venant.

2) L'obiettivo è individuare nel piano M-N la superficie limite a plasticizzazione

ovvero il luogo dei punti che genera la prima plasticizzazione della sezione.

3) Si analizza come di consueto la risposta tensionale della sezione all'aumentare del

momento flettente:

Si può scomporre tale diagramma:

4) Mediante le consuete relazioni si giunge all'espressione del dominio plastico:

1.2.2

1.2.2.1

Figura 1.27

Figura 1.28





H # =�ℎ�

6�′

6 = �ℎ��(1 +2��

ℎ− 1)( 7899*�:"�;:8<:�=*<":

@BC#� =

�ℎ�

6�1 +

2��ℎ� �′

6� = �ℎ �1 +2��

ℎ� �′

( 7899*�:"�;:8<:�:7<*�!�G*<"8

##�

= 1 − D 66�E → ##�

=1� −

1� D66�E� *F �;:8<*�8G:<:8 9":G8

Analisi in campo elastico

1) La stessa procedura per la definizione del dominio ultimo può essere condotta

considerando un legame elastico del materiale:

2) Le relazioni, come precedentemente:

3) Si possono confrontare i due domini, individuando la duttilità dell'elemento come

distanza tra i due lungo una retta passante per l'origine.

1.2.2.2

Figura 1.29

Figura 1.30





Plasticità di sistema

1) Per definire la plasticità di sistema si necessita di alcune definizioni preliminari:

• Duttilità di struttura: rapporto tra lo spostamento ultimo di collasso e

quello di primo snervamento

• Collasso strutturale: trasformazione della struttura in un cinematismo

all'incremento del carico agente, data la formazione di cerniere plastiche.

Aspetti caratterizzanti

Meccanismi collasso locale/globale - Iperstaticità

1) Dato un sistema n volte iperstatico, la formazione del cinematismo avviene alla

formazione di n+1 cerniere plastiche all'aumentare del carico agente.

2) Ne deriva che si distingueranno collassi locali, che compromettono uno solo degli

elementi strutturali ma non rendono la struttura un cinematismo, dal collasso

globale che si ha alla formazione della cerniera successiva a quella che ha reso la

struttura isostatica.

Ridistribuzione energie immesse dopo la plasticizzazione

1) Si consideri una trave doppiamente incastrata (iperstaticità flessionale pari a 2),

sottoposta ad un carico uniformemente distribuito crescente. Il momento di

reazione degli incastri cresce all'aumentare del carico esterno fino al limite di

snervamento, arrivati al quali si ha la formazione contemporanea di due cerniere

plastiche all'estremità (il momento non può più aumentare) e lo schema statico

diventa quello di trave appoggiata.

1.3

1.3.1

1.3.1.1

Figura 1.31

1.3.1.2

Figura 1.32





2) Ne consegue che un ulteriore aumento dei carichi può essere equilibrato solo da

un aumento del momento in mezzeria fino a che anche in quella sezione si

raggiunge il limite plastico con la formazione della terza cerniera che rende la

struttura un cinematismo.

3) Per ridistribuzione delle energie immesse si intende,quindi, proprio la modifica

della risposta strutturale in termini di sollecitazioni equilibranti il carico esterno

dovuta al raggiungimento del limite plastico in alcuni punti discreti.

Distribuzione dei carichi

1) Rispetto all'esempio precedente, si considera la trave doppiamente incastrata

sollecitata da un carico concentrato in mezzeria crescente.

2) In questo caso non abbiamo ridistribuzione del momento flettente perchè

all'aumentare del carico si formano contemporaneamente le tre cerniere

plastiche.

Figura 1.33

Figura 1.34

1.3.1.3

Figura 1.35

Figura 1.36





� =∆99 =

I&J → K cos49

cos4

=I&J → I =

&J9 ∗ K ∗ cos�4

=&JK

29

'L + 2 ∗ I ∗ cos4

= ML = 2 ∗ I (

@ABACI =

M2 ∗ N1 + cos

4O =

M2 + √2

L =MN1 + cos

4O =

2M2 + √2

(

L�� =2M

2 + √2= �� ∗ J → M�� =

2 + √2

2∗ �� ∗ J → K�� =

9 ∗ L��&J =9 ∗ ��&

Resistenza elastoplastica del sistema strutturale

Metodo semi-analitico

1) Si tratta di un metodo che ci permette di trovare soluzioni in forma chiusa a tratti.

Ne segue un'applicazione ad un semplice schema statico formato da tre aste

incernierate che formano un sistema di iperstaticità pari a 1.

Analisi elastica

1) Utilizzando il metodo degli spostamenti, si scrive la congruenza e impongo

l’equilibrio. Ciò equivale ad assegnare lo spostamento δ per determinare lo sforzo

assiale nelle tre aste. Imponendo:

• X = sforzo assiale in asta 1

• Y = sforzo assiale in aste 2, 3

2) Si scrive l'equazione di congruenza per l'asta 1

K = 9 ∗ � = 9 ∗ ��

= 9 ∗�

��→ L =

��

�

Si passa alle aste 2, 3 (ipotesi di piccoli spostamenti K ′ = K ∗ cos

�,)

Si impone X=2Y e quindi l’equilibrio:

Si determina il carico limite elastico e la corrispondente deformazione limite:

1.3.2

1.3.2.1

Figura 1.38

1.3.2.1.1





5 L = �� ∗ J = �87"2 ∗ I ∗ cos

4

= M = �87"( → I =M − �� ∗ J√2

I = �� ∗ J =M�� − �� ∗ J√2

→ M�� = �� ∗ J ∗ -1 + √2.

M��M�� =�� ∗ J ∗ -1 + √2.

2 + √22

∗ �� ∗ J =1 + √2

2 + √22

=1 + √2

1 +√22

= √2 ∗1 + √2

1 + √2= √2

� =∆99 =

I&J → K ∗ cos49

cos4

=I&J

K�� =�� ∗ J&J ∗

9cos� 0

41 =

�� ∗ 9& ∗ D√2

2 E� → K�� =2 ∗ �� ∗ 9&

4 =�� =

2 ∗ �� ∗ 9& ∗&�� ∗ 9 = 2

Analisi elastoplastica

Fase di carico

1) Prescindendo dallo studio dell'asta 1, il cui sforzo assiale rimane costante, si scrive

l'equilibrio:

2) Si determina il carico di plasticizzazione per le aste 2 e 3 e poi la sovraresistenza:

Il valore √2 comporta che grazie all’entrata in campo plastico si ottiene circa un

40% in più di resistenza.

3) Si valuta la duttilità:

4) Ponendo P=Pcr si ottiene lo spostamento critico, da cui la duttilità:

5) Sebbene, dunque, la duttilità di materiale sia stata supposta infinita, quella della

struttura è pari solamente a due, quindi la struttura collassa per formazione delle

cerniere plastiche.

1.3.2.1.2

1.3.2.1.2.1

Figura 1.39





∆M = −M�� = −�� ∗ J ∗ -1 + √2.

@BCL =

2M2 + √2I =M

2 + √2

( → @BC∆L =

2 ∗ ∆M2 + √2

∆I =∆M

2 + √2

( P�7**9�7":��

2L�� = L�� − ∆LI�� = I�� − ∆I ( → @ABACL�� = −�� ∗ J ∗ D √2

2 + √2E

I�� = �� ∗ J ∗ � 1

2 + √2� ( 7P8�;:�*7:� :

Fase di scarico

1) Si suppone di annullare la forza agente sul sistema, quindi le aste 2,3 tenderebbero

a tornare nella posizione iniziale contrastate, però, dalla deformazione residua

dell'asta 1 plasticizzata. Ne consegue, per la congruenza, che l'asta 1 risulta

compressa mentre la 2 e la 3 tese.

2) Supponendo un comportamento di scarico uguale a quello di carico si possono

valutare le entità degli sforzi assiali in fase elastica e gli sforzi residui:

Metodo incrementale (push-over)

1) L'analisi di pushover è un metodo di analisi statica non lineare che consiste nello

nell'applicare alcune distribuzioni di forze via via crescenti sulla struttura, in modo

da studiare la sua risposta in termini elastoplastici fino al collasso globale o locale

2) Si riporta un esempio di analisi di pushover su un portale incastrato caricato da

due forze concentrate orizzontali e verticali che sono incrementate

proporzionalmente attraverso un coefficiente λ

.

3) Al raggiungimento in una sezione del limite plastico, si ha una formazione di una

cerniera con variazione dello schema statico sui quali agiscono i successivi

incrementi di carico fino al collasso.

1.3.2.1.2.2

1.3.2.2

Figura 1.40





Figura 1.41

Figura 1.42

Figura 1.43

4) Il problema elastoplastico è risolto dunque come una successione di problemi

elastici caratterizzati ognuno da un carico maggiorato di λ. in riferimento

all'esempio riportato i valori di λ per ogni schema di carico:

• 1° schema: 0<λ<22.5

• 2° schema: 22.5<λ<28

• 3° schema: 28<λ<28.7

• 4° schema: 28.7<λ<31.5

da cui si evince che λy=22.5 e λcr=31.5

5) La configurazione deformata possibile è la seguente

E' possibile rappresentare l'andamento della deformazione in funzione di λ

ottenendo una spezzata (successione stati elastici)





Metodo dell'analisi limite

1) Il metodo dell'analisi limite è un metodo energetico per il calcolo del moltiplicatore

critico dei carichi che porta al collasso strutturale.

Superfici limite

1) Superficie limite nello spazio delle tensioni: i punti sulla superficie limite sono

critici, quelli all’interno sono ammissibili e quelli all’esterno sono non ammissibili.

2) Superficie limite nello spazio delle caratteristiche delle sollecitazioni: sono presenti

sia la superficie elastica sia quella plastica.

3) Superficie limite nello spazio delle azioni esterne: la distanza tra l’origine e un

punto al suo interno è il moltiplicatore di collasso λ, mentre la distanza tra tale

punto e la frontiera è il coefficiente di sicurezza K = n * λ Tale superficie limite è di

difficile determinazione perché può variare in relazione a numerosi fattori quali i

carichi applicati, le caratteristiche del materiale e la disposizione dei vincoli.

4) Le superfici sono assunte convesse per definizione e ne deriva che:

• data una combinazione di carico ammissibile, il moltiplicatore λcrit sarà il

massimo tra quelli che a partire da questa producono combinazioni ancora

ammissibili;

• data una combinazione di carico ammissibile, il moltiplicatore λcrit è unico;

5) Se le superfici fossero state concave, per un unico situazione si sarebbero potuti

avere stati di tensione critici e stati di tensione ammissibili.

1.3.2.3

1.3.2.3.1

Figura 1.44

Figua 1.45

Figura 1.46





HQ� = JRSSSSSTQ� = JUSSSSSTQ� = JVSSSSST ( W"�":��:":�: Q� = J&SSSSSTW"�"8�GG:77:�:9*

X′� = X′� = M

#′� = M ∗ � = X′� ∗ �

#′� = X′� ∗ �� + �� − M ∗ �

Teoremi dell'analisi limite

1) I teoremi validi dell'analisi limite sono:

• Teorema statico: λcrit è il massimo tra quelli staticamente ammissibili.

• Teorema cinematico: λcrit è il minimo tra quelli cinematicamente compatibili.

• Teorema di unicità: λcrit è l’unico che staticamente ammissibile e

cinematicamente compatibile.

2) Segue un esempio applicativo le cui ipotesi di base sono:

• Le sezioni ruotano rimanendo piane

• Gli spostamenti sono piccoli

• Il legame costitutivo è elasto-plastico perfetto

• La duttilità di elemento o di struttura viene assunta infinita.

• I carichi aumentano rimanendo costante il loro rapporto

Teorema statico

1) In riferimento allo schema seguente:

2) Per il sistema S’ cui sono applicate le forze esterne si ha:

Figura 1.47

1.3.2.3.2

1.3.2.3.2.1

Figura 1.48





X′′� =�9 X′′� = − �9 #′′� = X′′� ∗ � =

�9 ∗ �

#′′� = X′′� ∗ �� + �� =�9 ∗ �� + ��

#′′ = X′′� ∗ �� + � + �� =�9 ∗ 9 = �

#� = #′� − #′′� = 0M −�9 1 ∗ �

#� = #′� − #′′� = M ∗ � −�9 ∗ �� + ��

# = #′′ = �

@ABAC #� ≤ #! → 0M −

�9 1 ∗ � ≤ #!#� ≤ #! → M ∗ � −�9 ∗ �� + �� ≤ #!# ≤ #! → � ≤ #!

(

50M�� −�9 1 ∗ � = #!� = #!

( → M�� =#!� +

#!9 → M�� = #! ∗� + 9� ∗ 9

�� ∗ � −�� ∗ �� + �� = �� = ��

� → �� =�� +

�� ∗ �1 +�� → �� = �� ∗

� + � + �� ∗ �

3) Per il sistema S’’ associato all’incognita iperstatica si ha:

4) Sommando i diagrammi dei momenti di S’ e di S’’ si ha:

5) Negli stati staticamente ammissibili si ha equilibrio e non collasso, per cui vanno

imposte le condizioni di ammissibilità:

6) Il sistema è una volta iperstatico, quindi per arrivare alla formazione di un

meccanismo servono due cerniere plastiche, che si ricavano imponendo le

precedenti condizioni di ammissibilità due a due; le possibili combinazioni delle

condizioni critiche sono:

• 1+3

• 2+3

Nonostante il valore massimo sia quello dalla seconda combinazione, quello esatto

è quello dalla prima in quanto è l'unico cinematicamente compatibile in quanto

nella seconda combinazione si ha un momento in A maggiore di quello plastico

massimo ammissimibile.





3��" = 3#�" M�� ∗ K′� + M�� ∗ K′� = #! ∗ Y′� + #� ∗ Y′

M�� ∗ K′� + M�� ∗ K′� ∗�� + � = #! ∗ K′� ∗ �1� +

1� + �� + #� ∗K′�� + �

M�� ∗ 01 +�� + �1 = #! ∗ �1� +

2� + �� M�� ∗ � 9� + �� = #! ∗ � � + 9� ∗ �� + �� M�� = #! ∗ �� + 9� ∗ 9 �

3��" = 3#�" M�� ∗ K′′� + M�� ∗ K′′� = #! ∗ Y′′� + #� ∗ Y′′ M�� ∗ K′′� + M�� ∗ K′′� ∗�� + � = #! ∗ K′′� ∗ �1� +

1� + �� + #� ∗K′′��

M�� ∗ 01 +�� + �1 = #! ∗ �2� +

1� + �� M�� ∗ � 9� + �� = #! ∗ � � + � + 9� ∗ �� + �� M�� = #! ∗� + � + 9� ∗ 9

M�� > M��

Teorema cinematico

Trave iperstatica

1) E' necessario individuare i cinematismi di collasso compatibili con i vincoli quindi lil

posizionamento delle cerniere plastiche nelle zone di vincolo o nei punti di

applicazione delle cerniere plastiche. In riferimento allo schema statico

precedente, si necessita la formazione di due cerniere:

K′� = K′� ∗�

�%& Y′� = K′� ∗ 0�

�+

�

�%&1 Y′ =

��

�%&

K′′� = K′′� ∗�

�%& Y′′� = K′′� ∗ 0�

�+

�

�%&1 Y′′ =

��

�

2) Tra i due valori devo scegliere il minore che sarà quello esatto:

Tale valore coincide con quello trovato con il th. statico.

1.3.2.3.2.2

1.3.2.3.2.2.1

Figura 1.49

Figura 1.50





� ∗ � ∗ ℎ = �� ∗ � +�� ∗ �

−� ∗ � ∗ ℎ = �� ∗ � +�� ∗ �

� ∗ � ∗ ℎ +1

2∗ � ∗ � ∗ � = �� ∗ 2 ∗ � +�� ∗ 2 ∗ �

−� ∗ � ∗ ℎ +1

2∗ � ∗ � ∗ � = �� ∗ 2 ∗ � +�� ∗ 2 ∗ �

� ∗ � ∗ ℎ +1

2∗ � ∗ � ∗ � = �� ∗ 2 ∗ � +�� ∗ 2 ∗ �

−� ∗ � ∗ ℎ +1

2∗ � ∗ � ∗ � = �� ∗ 2 ∗ � +�� ∗ 2 ∗ �

2) Dai sei precedenti meccanismi di collasso si generano delle rette, la loro

intersezione crea la superficie limite di collasso di questa struttura, da cui è possibile

determinare il moltiplicatore di collasso Q ='!∗

'!

Telaio iperstatico

1) Si applica la stessa procedura precedente ad un telaio una volta iperstatico per il

quale si necessita la formazione di due cerniere plastiche con conseguenti 6

possibili cinematismi:

1.2.3.2.2.2.2

Figura 1.51

Figura 1.52





Aspetti particolari dell'analisi plastica

Comportamento ciclico della sezione inflessa

1) Si consideri una sezione semplicemente inflessa fino alla plasticizzazione delle fibre

più tese:

2) A partire da tale condizione, si considerino tre possibili situazioni:

• scarico

• inversione del carico

• inversione con sfruttamento delle risorse plastiche

3) E' evidente che nel comportamento ciclico la sezione tende a diminuire la propria

rigidezza in maniera crescente con l'aumentare dei cicli e il conseguente

sfruttamento sempre maggiore delle risorse plastiche.

1.4.

1.4.1

Figura 1.53

Figura 1.54

Figura 1.55

Figura 1.56





�� + 3 ∗ �� = �� → 27*� = 0 → �� = 0.517 ∗ ��7*� = 0 → � = �� (

� =1X ≅ �� → ##�" = −&$�′′

Influenza del taglio sul comportamento elastoplastico a flessione

1) Essendo l'influenza del taglio un aspetto di difficile trattazione, si fa riferimento al

criterio di Von Mises:

2) Si ricorda che il taglio varia in maniera parabolica su una sezione elastica.

3) Si suppone che non ci sia taglio nella parte delle fibre plasticizzate, per cui nel

grafico complessivo dato dalla somma delle σ e delle τ si nota una parte dove c’è la

rottura per flessione e una parte dove c’è la rottura per taglio.

4) Il taglio riduce la resistenza a flessione; al diagramma della sezione tutta

plasticizzata sottraggo la riduzione di resistenza a flessione ΔM.

Interazione tra instabilità e plasticità

1) Si considera l'instabilità attraverso la formulazione continua

2) Con l’ipotesi dei piccoli spostamenti si scrive:

1.4.2

Figura 1.57

Figura 1.58

Figura 1.59

1.4.3

Figura 1.60





��Z� = J ∗ sin 0�∗(�

Z1

Figura 1.61

�� +M&$ ∗ � = 0

��Z� = J ∗ sin Z + V ∗ cos Z

Scrivo l’equazione di equilibrio interno dei momenti:

La soluzione è della forma:

[J ∗ sin 3 = 0V = 0→ ( 3 = < ∗ → =

�∗

(�

��Z� = J ∗< ∗ 3 ∗ cos �< ∗ 3 ∗ Z��Z� = −J ∗ �< ∗ 3 �� ∗ sin �< ∗ 3 ∗ Z�

−J ∗ �< ∗ 3 �� ∗ sin �< ∗ 3 ∗ Z� +M&$ ∗ J ∗ sin �< ∗ 3 ∗ Z� = 0

− �< ∗ 3 �� +M&$ = 0 → M�� = &$ ∗ �< ∗ 3 ��

M�� =M��J =

&$J ∗ � 3��

@BC\� =

$JQ =3\ → ])* = ^ ∗

_+`+ (

& ∗ �Q∗� = �� → Q∗ = ∗ &��

3) Sostituendo la soluzione trovata nell'equazione di equilibrio si determina il carico

critico:

4) Ora posso scrivere la formula di σcr in funzione della snellezza:

5) Introducendo le definizioni di raggio di inerzia e snellezza:

6) A questo punto sono possibili due situazioni:

• Legame elastoplastico perfetto:esiste una snellezza critica





&" ∗ $ ∗ �� + M ∗ � = 0 → M′�� =� ∗ &" ∗ $3

• Legame elasto plastico perfetto:esiste una snellezza legata alla tensione di

snervamento e una legata a quella ultima:

7) Il modulo elastico tangente è una rappresentazione delle medie di tutte le E delle

fibre, per cui è compreso tra il modulo elastico e il modulo elasto - plastico; non

sono state introdotte le imperfezioni perché vengono inserite come una

deformazione iniziale.

Figura 1.62

Figura 1.63





SEZIONE 2

2.1

2.2

2.2.1

Figura 2.1

&�" = &��" + &#�" = −M ∗ !� +1

2∗ a ∗ b� = −M ∗ 9 ∗ �1 − cosb� +

1

2∗ a ∗ b�

STABILITA' DELL'EQUILIBRIO

Aspetti generali

1) Nell'ambito della progettazione di un'opera di ingegneria, oltre a tener conto della

resistenza che un dato elemento strutturale è in grado di offrire, è fondamentale

anche tenere conto della possibilità che esso presenti una instabilità

dell'equilibrio, intendendo quest'ultimo come un mutamento sostanziale dei

caratteri della sua deformazione.

2) Dato un elemento in una configurazione di equilibrio sottoposto a carichi via via

crescenti, può accadere che oltre un certo limite l'equilibrio da essere stabile

diventa instabile, e cioè diventa tale che ad una variazione infinitesima qualsiasi

della sua configurazione non corrisponde il ristabilimento della configurazione

originaria. In pratica, in una situazione di equilibrio instabile lo spostamento

infinitesimo prodotto da una ipotetica causa esterna fa sì che il corpo cambi

completamente la sua configurazione, tendendo a raggiungere un altro stato di

equilibrio (stavolta stabile) sotto quello stesso carico, che in alcuni casi è

effettivamente possibile.

3) Le ipotesi alla base della trattazione sono:

• spostamenti piccoli o grandi

• equilibrio nella configurazione deformata o indeformata

• legame elastico

• forze posizionali

Studio del comportamento critico e post-critico di un'asta rigida

Condizione di vincolo 1

1) Si consideri la seguente struttura:

La struttura è un sistema ad un grado di libertà (la rotazione θ) quindi basta un

solo parametro per descrivere il moto del sistema.

2) L'energia associata al sistema è:





2.2.1.1

2.2.1.1.1

2.2.1.1.2

2.2.1.1.3

2.2.1.1.4

Figura 2.2

2 � = 9 ∗ sinb!� = 9 ∗ (1 − cosb)(

cM, = 0 → −P ∗ � + a ∗ b = 0 → −M ∗ 9 ∗ sinb + a ∗ b = 0 M =

a9 ∗b

sinb

T�x� = � ��! ∗ �� − ��

∞

��

2 � = 9Y!� = 0(

cM, = 0 → −P ∗ � + a ∗ b = 0 → −M ∗ 9 ∗ ϑ +a ∗ b = 0 M =

a9

2 � = 9Y!� = 0(

cM, = 0 → −P ∗ � + a ∗ b = 0 → −P ∗ 0 + a ∗ ϑ = 0

ϑ = 0

Cinematica ed equilibrio

Trattazione completa

1) Si scrive la cinematica in grandi spostamenti:

2) L'equilibrio nella configurazione deformata:

Linearizzazione degli spostamenti

1) Si linearizza la cinematica mediante lo sviluppo in serie di Taylor:


Equilibrio nella configurazione indeformata

1) La cinematica è linearizzata:

2) L'equilibrio nella configurazione indeformata:

Conclusioni

1) Si riportano i risultati e il riassunto delle ipotesi utilizzate:

Caso Ipotesi cinematica Ipotesi di equilibrio Teoria I Grandi spostamenti Configurazione deformata Del primo ordine II Piccoli spostamenti Configurazione deformata Del secondo ordine III Piccoli spostamenti Configurazione indeformata Trattazione completa





2.2.1.2

2.2.1.2.1

2.2.1.2.2

2.2.1.2.3

2.2.1.2.4

2 � = 9 ∗ sinb!� = 9 ∗ (1 − cosb)(

d&�"db = −M ∗ 9 ∗ sinb + a ∗ b = 0 M =

a9 ∗b

sinb

T�x� = � ��! ∗ �� − ��

�

��

2 � = 9Y!� = 0(

&�" = −M ∗ 9 ∗ �1 − 1 +1

2b�� +

1

2∗ a ∗ b� =

1

2∗ M ∗ 9 ∗ b� +

1

2∗ a ∗ b�

d&�"db = −M ∗ 9 ∗ ϑ +a ∗ b = 0 M =

a9

2 � = 9Y!� = 0(

&�" = −M ∗ 9 ∗ �1 − cosb� +1

2∗ a ∗ b� =

1

2∗ a ∗ b� = 0

ϑ = 0

Approccio energetico



2) Dal nullo della derivata dell'energia potenziale:



2) Dal nullo della derivata dell'energia potenziale:

Equilibrio nella configurazione indeformata

1) La cinematica è linearizzata:

2) L'equilibrio nella configurazione indeformata:

Conclusioni

2) Si riporta il riassunto delle ipotesi utilizzate:

Caso Ordine serie Taylor Equazione Sviluppo in serie cosϑ

I 0 d&�"db = −M ∗ 9 ∗ sinb + a ∗ b cosϑ

II 2 d&�"db = −M ∗ 9 ∗ ϑ +a ∗ b 1 −

1

2∗ b�

III 1 &�" =1

2∗ a ∗ b� 1





2.2.2

Figura 2.3

2.2.2.1

2.2.2.1.1

Figura 2.4

2 � = 9 ∗ sinb!� = 9 ∗ (1 − cosb)(

cM, = 0 → −P ∗ � + a ∗ � ∗ 9 ∗ cosb = 0

M ∗ 9 ∗ sinb+a ∗ 9� ∗ sinb ∗ cosb = 0 sinb ∗ (−M ∗ 9 + a ∗ 9� ∗ cosb) = 0

[ sinb = 0−M ∗ 9 + a ∗ 9� ∗ cosb = 0

( → [ sinb = 0−M + a ∗ 9 ∗ cosb = 0

(







→ ' b = 0

cosb =!

-∗�

( → ' b = 0

ϑ = arc cos 0 !

-∗�1(

?*�b = 0?*�b ≠ 0 →

→−M ∗ 9 + a ∗ 9� ∗ cosb = 0−M ∗ 9 + a ∗ 9� ∗ cosb = 0

→ M = a ∗ 9→ M = a ∗ 9 ∗ cosb

Considerando un imperfezione iniziale θ0, si ottiene il seguente grafico:





T�x� = � ��! ∗ �� − ��

∞

��

2 � = 9Y!� = 0(

cM, = 0 → −P ∗ l ∗ ϑ + a ∗ 9� ∗ b = 0 → M = a ∗ 9, ∀b

cosb ≅ 0 ,7:<b ≅ b,"�<b ≅ b

&�" = a ∗ 9� ∗ e2 ∗ f1 − √1 + sinbg + sinbh − M ∗ 9 ∗ �1 − cosb� d&�"db = a ∗ 9� ∗ ��1 + sinb�../ ∗ cosb + cosb� − M ∗ 9 ∗ sinb = 0

a ∗ 9� ∗ cosb ∗ �1 + �1 + sinb�../� = M ∗ 9 ∗ sinb

M =a ∗ 9tanb ∗ �1 + �1 + sinb�../�




cosb ≅ 1 −�

�∗ b� ; sinb ≅ 0

3) Lo sviluppo di Taylor fino al 2° ordine viene fatto solo quando si analizza l’energia

potenziale, quando invece si considera l’equilibrio dei momenti gli spostamenti

sono linearizzati, per cui:




1) L'espressione dell'energia potenziale:

2.2.2.1.2

Figura 2.5

2.2.3

Figura 2.6

2.2.3.1





Figura 2.7

2.3

2.3.1.

2.3.1.1.

Figura 2.8

Figura 2.9

6 = & ∗ J ∗ � = & ∗ J ∗ �∆99� = & ∗ J ∗ �9 − 99 �

9 =i

sinb i = V ∗ tanb = 9 ∗ cos ∗ tanb

M − 2 ∗ 6 ∗ sinb = 0 M = 2 ∗ & ∗ J ∗ (sinb − cos ∗ tanb)

M = 2 ∗ & ∗ J ∗ sinb ∗ 01 −cos cosb1

Studio del comportamento critico e post-critico di un sistema di aste




E' un sistema nel quale sforzo normale per ogni asta vale:

2) Si ricavano le entità cinematiche:

l = 9 ∗ 00123∗45672867

1 ∆l = 9 ∗ 01 −0123∗4567

28671 ε =

∆9

��= 1 −

0123∗4567

2867

3) Si scrive l'equilibrio verticale:





2.4

Figura 2.10

2.4.1.

2.4.1.1.

&��" = &��" + &#�" &#�" =1

2aY�� +

1

2aY��&��" = −Q3(1 − �87Y�) − Q3(1 − �87(Y� + Y�)

�87Y = 1 −1

2Y�

&��" =1

2aY�� +

1

2aY�� − Q31

2Y�� − Q3�(Y� + Y��

2

d&?8"dY� = aY� − Q32�Y� + Y�� = 0 d&?8"dY� = aY� − Q32�Y� + Y�� = 0

� 0

0 ��− 2 � � � �� ∗ �

�� = 0

det�� − �� = 0 → �, �

Studio del comportamento critico e post-critico di un sistema a due g.d.l.




1) Si scrive l'espressione dell'energia potenziale

2) Si deriva l'energia potenziale rispetto ai due g.d.l. e si eguaglia a 0:

Bisogna risolvere un problema di autovalori:

3) Noti gli autovalori, si inseriscono uno alla volta nel sistema ricavando i due

autovettori corrispondenti che rappresentano la forma della deformata. Il carico

critico sarà il minore dei due autovalori.

4) Si riportano di seguito le due deformate con i corrispondenti valori di carico critico:

λ λ





• 1° deformata critica: Pcr=0.382 k/L

• 2° deformata critica: Pcr=2.618 k/L

Figura 2.11

Figura 2.12





CRITERI DI PROGETTAZIONE

Approccio alla progettazione

1) La progettazione strutturale è un processo iterativo volto ad ottenere il miglior

risultato possibile in termini di rapporto funzionalità-costo.

2) L'approccio alla progettazione può essere di due nature:

• Innovativo: partendo da una piccola base di conoscenze, si estende la propria

conoscenza con ricerche e approfondimenti volte alla realizzazione di un'opera

non convenzionale;

• Evolutivo: basandosi su una solida base di conoscenze e di esperienza, la

progettazione è volta al miglioramento di soluzioni già consolidate;

3) In ogni caso alla base di entrambe le vie è necessaria un'opera preliminare di

reperimento delle informazioni e documentazione specifica dal quale il progettista

non può prescindere.

4) Di pari importanza è anche l'utilizzo di sofware di calcolo adeguati e strumenti di

rappresentazione chiari: i primi affinchè il modello elaborato in fase progettuale

sia una affidabile rappresentazione della realtà mentre i secondi affinchè il

prodotto finale sia fruibile e privo di qualsiasi possibilità di fraintendimento.

5) Si riporta di seguito il processo iterativo di progettazione:

SEZIONE 3

3.1

Figua 3.1





6) Il risultato finale della progettazione deve garantire tutti i requisiti richiesti dalla

normativa di riferimento sia in termini di funzionalità (condizioni di esercizio) sia in

termini di resistenza (condizioni di collasso) in base alla tipologia strutturale in

esame e alle condizioni a contorno.

7) La progettazione strutturale, ovviamente, è sempre affiancata dall'analisi

economica, dalla quale non si può prescindere in qualsiasi attività ingegneristica,

volta al raggiungimento dei minimi costi compatibili con le esigenze funzionali.

8) Nella seguente trattazione è riportata l'analisi del processo progettuale scomposto

in due fasi macrofasi consequenziali:

• Conceptual design

• Processo di ottimizzazione

Conceptual Design

1) Il Conceptual Design si colloca nelle prime fasi del processo di progettazione. Le

decisioni prese in questa fase hanno una significativa influenza su fattori come

costi, prestazioni, affidabilità, sicurezza ed in generale sul successo commerciale di

un prodotto. Durante questa fase si operano la maggior parte delle scelte

strategiche, si prendono decisioni importanti che successivamente, solo con

difficoltà, possono essere cambiate. Sebbene una grande quantità di informazioni

siano manipolate in un tempo relativamente ristretto, il Conceptual Design è la

parte della progettazione meno supportata da strumenti dedicati.

2) Il punto di partenza è il riconoscimento delle azioni agenti sulla struttura e la scelta

del funzionamento che si vuole conferire alla stessa per resistere alle stesse in

base alla quale si progetta la disposizione degli elementi e la dimensione delle

sezioni.

3) Il Conceptual Design è dunque un approccio globale alla progettazione che

dipende dalla conoscenza e dalla sensibilità dell'ingegnere che non può essere

inquadrato in uno schema fisso.

Performance strutturali richieste

Rigidezza strutturale (SLE)

1) Il requisito fondamentale che ogni struttura deve soddisfare in condizioni di

esercizio è la bassa deformabilità quindi è necessario assegnare ad ogni elemento

strutturale un'adeguata rigidezza e disporli in modo da conferirne alla struttura nel

complesso.

2) Il controllo della rigidezza della struttura avviene mediante l'analisi di:

• frecce (travi e solai)

• drift (globali e locali)

3) Tali parametri tradizionali per il controllo deformativo sono di non facile

valutazione e non troppo affidabili se si pensa al comportamento globale della

struttura quindi il parametro migliore è la frequenza propria della struttura, che

deriva da un'analisi modale dinamica, e che permette di valutare in maniera

sintetica ma complessiva la rigidezza.

3.2

3.2.1

3.2.1.1





M�� =�&j3�

Instabilità (SLE/SLU)

1) La valutazione del carico critico nelle aste compresse è un aspetto che riguarda sia

le condizioni di esercizio sia quelle di collasso in quanto mette in gioco sia la

rigidezza che la capacità ultima dell'elemento.

2) Tale aspetto è evidente già dalla considerazione del caso più semplice di calcolo

del carico critico ovvero l'espressione di Eulero:

E' evidente che un aumento del modulo elastico corrisponde ad un aumento della

capacità dell'elemento quindi abbiamo un'interazione tra la rigidezza e la

resistenza dell'elemento.

Resistenza (SLU)

1) La resistenza ultima della struttura è necessariamente uno degli aspetti

fondamentali da considerare nella progettazione strutturale. Si intende, infatti, la

capacità ultima che deve essere tale da garantire l'integrità sotto le azioni di

progetto in relazione al tempo di ritorno assegnato all'opera.

2) Si sottolinea che nelle costruzioni metalliche la resistenza ultima della struttura è

l'aspetto meno delicato e di più semplice valutazione in quanto l'acciaio è un

materiale di ottime qualità .

Duttilità (SLU)

1) Per duttilità della struttura si intende la capacità della stessa. di subire delle

deformazioni plastiche senza giungere al limite del collasso. E' dunque una misura

dell'escursione in campo plastico che la struttura è in grado di sopportare.

2) La valutazione della duttilità è centrale nella progettazione moderna in quanto

l'attuale capacità di valutare l'azione sismica di progetto ha fatto si che in fase di

progetto le azioni da considerare siano tale da rendere economicamente

insostenibile la realizzazione di una struttura che resista solamente in campo

elastico. Accettare l'ingresso in campo plastico della struttura rappresenta l'unica

via per resistere alle azioni esterne e questo pone il problema centrale del delicato

controllo del danneggiamento.

3) La duttilità, come l'instabilità, è un aspetto che rientra anche nelle condizioni di

esercizio in quanto si lavora sulla duttilità: in questo caso, però, un aumento della

rigidezza gioca a sfavore in quanto la struttura diventa più fragile e il

comportamento meno dissipativo.

Scelte progettuali

1) In funzione delle performance strutturali richieste, si procede alle scelte

progettuali volte ad individuare innanzitutto la geometria da assegnare alla alla

struttura.

2) La disposizione degli elementi deve essere studiata in funzione del

comportamento che si vuole loro assegnare in modo che lavorino bene con tutti gli

altri e garantiscano i requisiti in tutti gli aspetti.

3.2.1.2

3.2.1.3

3.2.1.4

3.2.2





3) Oltre che al comportamento delle aste particolare attenzione va posta anche al

riconoscimento e allo studio delle zone diffusive e dei nodi che rappresentano per

le strutture metalliche un aspetto caratterizzante della progettazione .

Tipologie elementari

Concentric Braced Frames (CBF)

1) Tale tipologia strutturale è composta di elementi incernierati e sfrutta il principio

della triangolazione degli elementi per mantenere tutti gli sforzi puramente assiali.

2) Offre caratteristiche di ottima rigidezza e questo si traduce nel fatto che le

verifiche allo stato limite di esercizio sono facilmente soddisfatte.

3) Data la bassa duttilità,però, mostrano problemi allo stato limite ultimo, dovuti al

comportamento puramente assiale della struttura che non possiede risorse

plastiche prima di arrivare al collasso.

4) Anche l'instabilità delle aste compresse è un problema rilevante nell'analisi agli

SLU.

Moment Resisting Frames (MRF)

1) Tale tipologia strutturale è composta sostanzialmente da un telaio semplice con

comportamento flessionale

2) Data l'elevata duttilità e capacità portante, le verifiche allo stato limite ultimo sono

facilmente soddisfatte.

3) Considerata.però l'elevata deformabilità, mostrano problemi allo stato limite

d’esercizio,

4) Per questo tipo di struttura si può ottimizzare il comportamento flessionale

dividendola in sottostrutture oppure inserendo degli elementi strutturali come gli

Outrigger che riducono i drift della stessa.

3.2.2.1

3.2.2.1.1

Figua 3.2

3.2.2.1.2

Figua 3.3





Eccentric Braced Frames (EBF)

1) Tale tipologia strutturale presenta un livello intermedio delle risposte rispetto agli

elementi CBF ed MRF perché prende le caratteristiche di rigidezza delle strutture

CBF e quelle di duttilità delle MRF.

2) Caratteristica particolare di questa tipologia strutturale è la presenza degli

elementi link che si occupano di concentrare su di loro le deformazioni plastiche

facendo in modo che la struttura presenti delle capacità dissipative.

3) Si affida quindi agli elementi link il comportamento flessionale duttile e al resto

della struttura il comportamento assiale rigido. Per questo loro comportamento gli

elementi link non rispettano le ipotesi di de Saint Venant e perciò entrano nella

categoria di zone diffusive.

Nodi

Distinzione funzionale

1) Si possono distinguere due tipologie di zone con diverso comportamento:

• B-regions: zone in cui vale la Teoria di De Saint Venant e la determinazione di σ e

di ε è semplice. Tale comportamento è valido solo per elementi 25 ≥ (

: ≥ 5.Gli

elementi che presentano questo comportamento sono colonne, travi e diagonali.

• D-regions: zone, dette diffusive, in cui serve una modellazione bidimensionale o

tridimensionale degli sforzi e la determinazione di σ e di ε è complessa. Il Le D-

regions sono individuate da::

- Cambio di geometria, che può essere globale (cambio degli assi) o locali

(cambio delle sezioni),

- Cambio del materiale, per esempio tra calcestruzzo e acciaio, Presenza di

carichi, che possono essere concentrati o distribuiti,

- Presenza di vincoli, e tutti i casi dove non è valida la Teoria di De Saint

Venant.

3.2.2.1.3

Figua 3.4

3.2.2.2

3.2.2.2.1

Figua 3.5





Rigidezze nodali

1) La progettazione del nodo è un punto fondamentale della progettazione di

costruzioni metalliche in quanto la tipologia di vincolo che si vuole riprodurre

influenza la risposta strutturale.

2) La riproduzione di un vincolo non è univoca ma dipende dal modo di assemblare

gli elementi di cui si dispone nella realtà, con la certezza che è impossibile

riprodurre concretamente un vincolo perfetto.

3.2.2.2.2

Figua 3.6

Figua 3.7

Figua 3.8

3) Nella realtà dei calcoli il modo giusto di approcciare al problema è quello di

considerare sempre una presenza oppure una perdita di rigidezza rispetto ai casi

ideali, questo per considerare situazioni intermedie da quelle ideali che nella

realtà non si presentano mai.





4) Il processo logico che si può adottare è che in presenza di un vincolo si ipotizza che

gli spostamenti vincolati possiedano una rigidezza tendente al infinito invece per

gli spostamenti liberi che la rigidezza tenda a zero ( il che si traduce in una

resistenza residua).

5) A titolo di esempio,si considera una cerniera vincolata a terra nella quale arriva

una trave IPE.

6) La riproduzione di una cerniera per elementi metallici viene fatta grazie alle

bullonature, ma la disposizione dei bulloni può generare un braccio tra gli stessi

con la conseguenza che si possono generare dei momenti resistenti,

allontanandosi dalla cerniera ideale.

7) Si vuole evitare la formazione di questi momenti imponendo un braccio nullo tra i

bulloni, nonostante inevitabilmente saranno le deformazioni che si generano nei

bulloni a creare questi momenti residui che in ogni caso saranno molto più piccoli.

Ne deriva che le rigidezze nodali possono tendere a zero (infinito) però non

potranno essere uguali a zero (infinito).

8) Qundi in presenza di un nodo conviene sempre considerare le imperfezioni dei

vincoli introducendo delle molle, siano esse rotazionali o estensionali, in funzione

delle sollecitazioni cui è sottoposta la struttura. In tutti e due i casi il valore della

rigidezza (K) può variare da zero a infinito, questo per la sua dipendenza dalla

perfezione che si vuole ottenere nella realizzazione del vincolo.

Figua 3.9

Figua 3.10

Figua 3.11





# = k ∗ l m = Q ∗ n

@AABAAC k� =

k# ∗ 3& ∗ $&#� =#�#�&lo = l ∗& ∗ $&#�& ∗ 3

(

9) Si riporta un diagramma di classificazione dei nodi in base alle seguenti grandezze

adimensionali:

Figua 3.12

Figua 3.13





Ottimizzazione

1) Per ottimizzazione strutturale si intende il processo di determinazione della

geometria della struttura che garantisca la migliore resistenza e rigidezza nei

confronti delle azioni esterne con costi più contenuti possibili.

2) E' un processo iterativo che riguarda tutti gli aspetti funzionali della struttura il cui

numero di tentativi dipende dal livello di dettaglio e quindi dal grado di

affinamento che si vuole raggiungere.

3) Definita l'idea strutturale base, quindi, si parte da una geometria di primo

tentativo, molto spesso basata sull'esperienza di opere esistenti simili, e si procede

con l'ottimizzazione modificando geometria e sezioni fino al raggiungimento del

minimo nell'analisi dei costi.

4) Il processo di ottimizzazione può essere scomposti in due fasi:

1. Analisi: si individuano i dati della struttura (geometria,materiali, condizioni

a contorno) e si elaborano per ottenere dei risultati da sottoporre a

verifica.

2. Progettazione: se la verifica non è soddisfatta si procede alla modifica dei

dati di partenza e si ripete la fase di calcolo e le verifiche.

5) Nella progettazione delle costruzioni metalliche, il processo di ottimizzazione è

fondamentale in quanto l'acciaio è un materiale costoso quindi una riduzione del

peso significa un risparmio economico immediato e non indifferente.

6) Distinguiamo due macroprocessi di ottimizzazione:

• Ottimizzazione per livelli: si interviene in maniera graduata nella variazione

dei singoli elementi fino ad introdurne di nuovi se necessario

• Ottimizzazione per risposta: si interviene sul singolo elemento in funzione del

tipo di sollecitazione cui è sottoposto in modo che il suo comportamento sia

ottimale.

Ottimizzazione per livelli

Sizing

1) Per sizing si intende il processo volto al dimensionamento della sezione

dell'elemento ottima quindi alla scelta della sezione commerciale più piccola che

soddisfi il limite tensionale imposto in fase di progetto.

MIN Ctot

Costo

n

Analisi dei costi

Costo zone

diffusive

Costo zone

Bernoulli

Costo totale

3.3

Figura 3.14

3.3.1

3.3.1.1





2) L'obiettivo del sizing è la situazione di fully stressed optimization cioè la condizione

in cui tutta la struttura al massimo delle proprie capacità sfruttando al massimo

tutta la propria resistenza.

3) E' evidente che risulta impossibile giungere ad un livello in cui tutti gli elementi

sono sottoposti allo stesso tasso di lavoro quindi la soluzione deve tendere alla

migliore ideale senza però dimenticare di affiancare l'analisi limite tensionale con

quella di deformabilità (una sezione più piccola lavora ad un tasso più elevato ma è

anche molto meno rigida).

Morfologica

1) Per ottimizzazione morfologica si intende un processo complesso volto alla ricerca

della forma ottimale da assegnare all'elemento strutturale in funzione dello stato

di tensione interno cui sarà sollecitato

2) Si tratta di un processo evolutivo in cui, partendo da una geometria semplice

caratterizzata da massa distribuita uniformemente, si giunge ad una ridistribuzione

ottimale delle masse stesse secondo la disposizione che meglio asseconda il

probabile flusso tensionale cui l'elemento sarà sottoposto durante la sua vita utile.

3) Data la complessità dell'approccio, tale processo di ottimizzazione può essere

realizzato solo mediante l'utilizzo di software specifici.

Topologica

1) Per ottimizzazione topologica si intende il processo di modifica della disposizione e

inserimento/eliminazione di elementi volto a generare un percorso di scarico delle

azioni esterne quanto più favorevole possibile.

2) Rispetto al sizing, dunque, è un processo più evoluto in quanto non c'è solo una

variazione delle sezioni ma necessita di individuare a priori il percorso di carico che

si vuole sviluppare all'interno della struttura ed assecondarlo con la disposizione

degli elementi.

3) L'ottimizzazione topologica risente, quindi, molto maggiormente della sensibilità

del progettista e dalla sua capacità di individuare il percorso di carico più breve che

è sempre l'ottimo progettuale.

Figura 3.15

3.3.1.2

3.3.1.3





Introduzione di una sottostruttura

1) L'introduzione di una sottostruttura all'interno del modello strutturale rientra nel

processo di ottimizzazione per livelli come soluzione finale.

2) Si tratta di inserire un blocco funzionale in grado di modificare il comportamento

globale della struttura grazie alle proprie caratteristiche ed adeguarlo alle esigenze

funzionali richieste

Uso dell'Outrigger

1) L'Outrigger fu ideato dall'ingegnere indiano Khan Fazlur e consiste in una

controventatura in direzione orizzontale situata tutta sullo stesso livello.

2) Rispetto ai controventi verticali tradizionali, gli outriggers trasformano gli sforzi

taglianti, che nascono in seguito alle azioni orizzontali, in sforzi assiali in modo da

ridurre gli spostamenti di piano assoluti e relativi.

Figura 3.16

3.3.1.4

3.3.1.4.1

Figua 3.17





3) Per la scelta del numero degli outrigger e del loro posizionamento all’interno di

una struttura è necessario effettuare uno studio nel quale si possano notare i vari

effetti delle combinazioni di posizione e di numero. Questo fattore si nota bene

nello studio dei drift: inserendo un outrigger si nota che i drift vengono ridotti fino

a un terzo rispetto alla configurazione che ne è priva.

4) Si possono inserire più livelli di outriggers ma in questo caso è necessaria un'analisi

più accurata in quanto è probabile che il costo di realizzazione sia maggiore del

conseguente beneficio funzionale.

Ottimizzazione per risposta

Assiale

Prinicipi cardine

Trazione

1) Il comportamento degli elementi destinati ad essere sollecitati a trazione deve

essere migliorato aumentandone la robustezza, ovvero la capacità di subire danni

locali senza giungere al collasso.

Figura 3.18

Figura 3.19

3.3.2

3.3.2.1

3.3.2.1.1

3.3.2.1.1.1





M�� =�&3�� ∗

27��12

> M�� =3�&3� ∗

��12

2) Questo significa che da un punto di vista funzionale è più conveniente suddividere

l'area dell'elemento realizzandone più di uno, piuttosto che aumentarla. Tale

approccio rispetta il principio cardine valido in ogni applicazione ingegneristica di

"suddivisione della trazione".

Compressione

1) Il comportamento degli elementi destinati ad essere sollecitati a compressione

deve essere migliorato aumentandone la portanza critica, ovvero il carico che

porta all'instabilità.

2) Questo significa che da un punto di vista funzionale, al contrario di quanto accade

per gli elementi tesi, conviene adottare sezioni più larghe piuttosto che utilizzare

una serie di elementi più snelli.

Aspetti tecnologici

Buckling Restrained Braced Frame (BRBF)

1) Il BRBF è un elemento strutturale in grado di fornire resistenza laterale

impedendo l’instabilità, a sezione stratificata, composto al centro da una sezione

di acciaio coperta da una membrana che non genera attrito, a sua volta rivestita

prima da una sezione di calcestruzzo e poi da una sezione tubolare in acciaio.

2) Questo elemento permette di affidare la trazione alla sezione interna di acciaio e

di affidare la compressione alla sezione esterna di acciaio e calcestruzzo. La

membrana serve a dividere i due comportamenti in modo che non influenzino le

dissipazioni e le rigidezze della struttura.

Figura 3.20

3.3.2.1.1.2

Figura 3.21

3.3.2.1.2

3.3.2.1.2.1





Trussed tube

1) Lo sfruttamento del comportamento assiale degli elementi diagonali può essere

utilizzato per ridurre la deformabilità della struttura quindi l'entità degli

spostamenti assoluti e relativi.

2) Tale obiettivo può essere raggiunto passando da una controventatura tradizionale

verticale ad una secondo lo schema Trussed Tube, ideato dall' ing. Khan Fazlur:

3) Lo schema tradizionale permette di creare una interconnessione cinematica più

diretta tra i diversi piani della struttura grazie ai legami che si creano nella

struttura a controventi. La lama di controvento resistente a flessione vede

aumentata la sua sezione perciò anche la sua rigidezza flessionale. Non esiste un

legame cinematico diretto tra i nodi dei diversi controventi.

4) Lo schema Truss Tube dei controventi instaura un legame cinematico tra tutti i

nodi dei controventi ottenendo cosi un abbattimento dei drift della struttura.

Questo legame prevede una relazione diretta tra lo spostamento relativo dei nodi

che si trovano sull’asse del controvento.

Figura 3.22

3.3.2.1.2.2

Figura 3.23

Figura 3.24

Figura 3.25





Flessionale

Risposta strutturale

1) Tipici elementi a comportamento flessionale sono le travi e le piastre che esse

possiedono un comportamento flessibile allo stato limite di esercizio e un

comportamento duttile allo stato limite ultimo. Risulta quindi necessario

ottimizzare il comportamento degli elementi per ridurre le deformazioni

eccessive.

2) Per ottimizzare il comportamento flessionale si specializzano nella struttura delle

parti che devono trasmettere e resistere allo stato tensionale di flessione.

3) In riferimento una struttura sottoposta ad un carico orizzontale vediamone il

comportamento flesso-tagliante con la formazione di due campi di spostamento.

4) Il primo campo di spostamenti è quello proveniente dal comportamento

flessionale, il quale può essere studiato e approssimato con elementi alla

Bernoulli; mentre il secondo campo di spostamenti proviene del comportamento

tagliante, il quale può essere studiato e approssimato con elementi alla

Timoshenko.

5) Si affidano i diversi comportamenti deformativi della struttura a elementi diversi: il

comportamento flessionale a un elemento rigido flessionalmente come un vano

ascensore, e il comportamento tagliante al resto della struttura attraverso l’uso di

telai “shear type”.

3.3.2.2

3.3.2.2.1

Figura 3.26

Figura 3.27





Aspetti tecnologici

Outrigger in sommità

1) Sotto l'azione dei carichi orizzontali, come visto, la deformata della struttura è

sostanzialmente quella di una mensola incastrata.

2) Essendo il sistema iperstatico, gli elementi verticali si caricano proporzionalmente

alla loro rigidezza quindi le colonne di spigolo, essendo usualmente più rigide,

risultano più sollecitate quindi più deformate delle altre con conseguente

deformazione di ogni livello non piana.

3) Tale fenomeno è detto Shaer-Lag, ovvero la sezione della struttura non ruota

rimanendo ortogonale all'asse durante la deformazione e ne consegue una

distribuzione delle tensioni maggiore agli spigoli.

4) Per ovviare a tale problema, si può inserire un outrigger in sommità che garantisca

la rigidezza di piano e la deformazione uniforme e piana.

Irrigidimenti strutturali

1) La limitazione della deformazione flessionale e degli spostamenti può essere

raggiunta mediante l'inserimento di irrigidimenti degli elementi verticali della

struttura lungo tutto il suo sviluppo. E' evidente che tali elementi generano una

ridistribuzione delle tensioni proporzionale alla nuova disposizione delle rigidezze.

3.3.2.2.2

3.3.2.2.2.1

Figura 3.28

Figura 3.29

3.3.2.2.2.2





2) Gli ispessimenti possono essere di due tipologie:

• Esterne: si aumentano le sezioni degli elementi esterni in modo da ottenere il

vanataggio di centrifugare maggiormente le masse

• Tubolari: si realizza uno schema con costolature interne che formano una

scacchiera su tutta la pianta dell'opera. Il funzionamento del fascio di tubi non

è omogeneo: quelli inteni sono progettati per resistere ai carichi verticali

mentre quelli esterni per i carichi orizzontali:

Figura 3.30

Figura 3.31





PROGETTAZIONE IN ZONA SISMICA

Introduzione

1) La progettazione delle strutture in zona sismica può prevedere due diverse

tipologie costruttive, in funzione della filosofia progettuale che si sceglie di

adottare:

2) Nella pratica attuale si utilizza il Metodo Dissipativo Semplificato, che rientra nei

metodi tradizionali e permette una progettazione economicamente sostenibile

contando sulle risorse plastiche della struttura in maniera semplice.

Metodo dissipativo semplificato

1) Il Metodo dissipativo semplificato ha come obiettivo la realizzazione di una

struttura a comportamento dissipativo, ovvero in grado di dissipare molta energia

grazie alla plasticizzazione prima di giungere al collasso.

2) Le plasticizzazioni sono localizzate dal progettista mediante l'inserimento di

elementi appositi in grado di deformarsi molto e dissipare energia, preservando

l'integrità degli elementi a comportamento fragile che vengono progettati per

rimanere in campo elastico.

Filosofia progettuale

Tradizionale

Dissipative (sfruttamento

duttilità/plasticità)

Non dissipative (campo elastico)

Innovativa o avanzata

SEZIONE 4

4.1

Figura 4.1

4.2

Figura 4.2





P�P� ≥ 1.2��,��&��"��#� ≥ 20%

3) La modellazione del comportamento dissipativo avviene mediante una

metodologia semplificata che prevede:

• Assicurare la duttilità locale nelle zone dissipative

• Assicurare che le plasticizzazioni avvengano dove progettate mediante il

criterio della gerarchia delle resistenze

• Considerare le risorse plastiche della struttura in maniera indiretta mediante il

fattore di struttura

Duttilità locale

Materiale

1) In materiale utilizzato deve soddisfare i seguenti requisiti:

2) Per tener conto di possibili errori nella stima della tensione di snervamento, si

maggiora con un coefficiente di sovraresistenza. Questo fa si che gli elementi più

piccoli, caratterizzati da un tasso di lavoro più elevato, garantiranno la dissipazione

energetica tramite la loro plasticizzazione.

S235 →P�; = P� ∗ 1.12

S235 →P�; = P� ∗ 1.15

Sezione

1) La classificazione delle sezioni è basata sul "element model" (Winter 1947) che

considera la sezione come un insieme di lastre indipendenti, soggette a diverse

condizioni di carico e vincolo .In sostanza si classificano preliminarmente le lastre

compresse, in tutto o parte, e si attribuisce quindi alla sezione la classe

dell'elemento più sfavorevole.

2) Le sezioni si classificano in:

1. Duttile: sviluppano la cerniera plastica perfetta ovvero sono in grado di

raggiungere la resistenza plastica e mantenere invariato il livello resistivo

al ripetersi dei cicli

2. Compatta: sviluppano il momento resistente plastico ma hanno bassa

capacità rotazionale per il subentrare di fenomeni di instabilità locale.

3. Semi-compatta: l'instabilità locale si verifica nella fase intermedia tra

quella corrispondente alla prima plasticizzazione e quella di

plasticizzazione completa

4. Snella: l'instabilità locale si verifica in campo elastico, ovvero prima del

raggiungimento della tensione limite elatica nei punti più sollecitati.

4.2.1

4.2.1.1

4.2.1.2





F = F ∗ p� = � � ∗

� � = � � :<�:�*�:� "":9:"à

F = F ∗ k< ∗ k=

Fattore di struttura (q)

1) Il fattore di struttura è un coefficiente che permette di progettare con un analisi

elastica contando però sulle capacità plastiche della struttura.

2) Tale risultato si ottiene utilizzando come azioni di progetto le forze elastiche

abbattute mediante un indice di duttilità della struttura in modo da tenere in

considerazione l'ingresso in campo plastico.

3) Il principio alla base della derivazione del fattore di struttura è quello dell'egual

spostamento tra un oscillatore a comportamento elastico e uno a comportamento

elastoplastico: giunti alla stesso livello deformativo ultimo, l'oscillatore

elastoplastico sviluppa una forza molto minore.

4) Il fattore di struttura si valuta in funzione della tipologia struttura, del grado di

iperstaticità e dai criteri di progettazione adottati secondo l'espressione:

Figura 4.3

4.2.2

Figura 4.4





Indice di duttilità (q0)

1) L'indice di duttilità è fornito dalla normativa in funzione della tipologia strutturale

in esame:

• Intelaiate:sono composte da telai che resistono alle forze orizzontali con un

comportamento prevalentemente flessionale. In queste strutture le zone

dissipative sono principalmente collocate alle estremità delle travi in

prossimità dei collegamenti trave-colonna, dove si possono formare cerniere

plastiche e l'energia viene dissipata per mezzo della flessione ciclica plastica

.

• Controventi concentrici: le forze orizzontali sono assorbite principalmente da

membrature soggette a forze assiali e le zone dissipative si concentrano nelle

diagonali tese. Nei controventi a V il punto di intersezione delle diagonali giace

su di una membratura orizzontale che deve essere continua.

• Controventi eccentrici: le forze orizzontali sono principalmente assorbite da

membrature caricate assialmente, ma la presenza di eccentricità di schema

permette la dissipazione di energia nei traversi per mezzo del comportamento

ciclico a flessione e/o taglio. I controventi eccentrici possono essere classificati

come dissipativi quando si raggiunge la plasticizzazione dei traversi a flessione

e/o taglio, senza superare la resistenza ultima delle altre parti stutturali

(diagonali e colonne).

4.2.2.1

Figura 4.5

Figura 4.6

Figura 4.7





• A mensola o a pendolo inverso: sono costituite da membrature le cui zone

dissipative sono posizionate alla base.

• Intelaiate con controventi concentrici: le azioni orizzontali sono assorbite sia

da telai sia da controventi agenti nel medesimo piano

• Intelaiate con tamponature: costituite da tamponature o calcestruzzo non

collegate ma in contatto con le strutture intelaiate

2) La Normativa fornisce il valore dell'indice di duttilità da assegnare in funzione della

tipologia strutturale e dell'approccio progettuale che si vuole adottare, in termini

di entità delle plasticizzazioni sulle quali si vuole contare nel meccanismo

dissipativo:

• Classe di duttilità alta

• Classe di duttilità bassa

3) Il valore del rapporto αu/α1 (rapporto tra la deformazione che genera la prima

plasticizzazione e quella ultima) può essere valutato o mediante un'analisi statica

incrementale (pushover) o tramite i valori forniti dalla Normativa:

Fattore di regolarità strutturale (KR)

1) Il coefficiente di regolarità strutturale fornisce dei criteri geometrici per definire la

regolarità in pianta e in altezza della struttura in modo da prevenire possibili

collassi locali nelle irregolarità.

• KR = 0.8 Strutture irregolari

• KR = 1 Strutture regolari

Figura 4.8

Figura 4.9

4.2.2.2





7 =P�P�

7 =P�P� =

1

0.695 + 1.632 ∗ Q>� + 0.062 ∗ Q?� − 0.602 ∗�>3∗

Fattore di duttilità locale (KD)

1) Il coefficiente di duttilità locale è una misura delle caratteristiche della sezione

attraverso il parametro s:

in cui P� è la tensione di collasso e P� è la tensione di snervamento.

2) I valori del coefficiente di duttilità locale sono riportati nella seguente tabella:

Membrature s KD Duttili >1.2 1

Plastiche 1<s<1.2 0.75 Snelle ≤1 0.5

3) L'espressione del parametro s si specializza in funzione della sollecitazione cui la

membratura è sottoposta:

• Membrature pressoinflesse

Q> =&�

"�∗ q>�

� è la snellezza delle ali

Q? =;�,�

�∗"�∗ q>�

� è la snellezza dell’anima

�?,� =;�

�∗ 01 +

�

��∗ r1 ≤ �? è l’altezza della parte compressa dell’anima

quando la sezione è completamente plasticizzata

s =@

�∗>� è lo sforzo normale adimensionalizzato

3∗è la distanza nella quale so ottiene l’annullamento dello sforzo flessionale

Più la sezione è presso-inflessa meno è duttile, più lo sforzo normale è alto più s è

basso e Q? è alto. Cresce r , cresce �?,� , cresce Q? , diminuisce s.

4.2.2.3

Figura 4.10

Figura 4.11





7 = G:< 'P�P� ; 1.25t

m�,=;�#� > �Am�,=;

m�,=;�#� > �Am�,=; ,�8!* �Aè:9�8PP:�:*<"*�:78!��*7:7"*<;�

• Membrature tese

Gerarchia delle resistenze

1) Per gerarchia delle resistenze o capacity design si intende l'insieme di regole da

seguire nella progettazione degli elementi strutturali (travi, pilastri, nodi..) in base

al comportamento e all'importanza che essi assumono nella costruzione.

2) Si cerca di sfruttare la duttilità degli elementi favorendo i meccanismi che possano

sfruttare tale proprietà, come la flessione, rispetto ad altri meccanismi di rottura di

tipo fragile, come il taglio.

3) Inoltre si vuole che i nodi trave/pilastro rimangono sempre nel campo elastico in

quanto difficili da riparare nel caso di danno e si preferisce la rottura di elementi

trave rispetto ai pilastri per evitare il collasso.

4) Tali principi possono essere facilmente concretizzati considerando due modellini

semplici esplicativi di un sistema strutturale composto da elementi fragili e duttili

disposti differentemente:

• In serie:

• In parallelo:

.

Figura 4.12

4.2.3

Figura 4.13

Figura 4.14





6=;�#�;� ≥ 6�;,B + �A ∗ 6�;,�

�A = G:< 'u�A ∗ 7# ∗ 6��,=;,#6�;,# t#C�,…,@

u�A = 1.2 7# = G:< 'P�P� ; 1.25t

5) Nel caso di una struttura CBF (Concentric Braced Frames):

Se le colonne non sono solo compresse ma pressoinflesse:

dove6�;,B è riferito al contributo proveniente dai carichi verticali e 6�;,� proviene

dal contributo dai carichi sismici. Il coefficiente di sovra-resistenza è:

Dove:

6��,=;,# sforzo normale resistente in campo plastico del controventi i-esimo 6��,# sforzo normale sollecitante 6 numero di controventi nella struttura

6) Nel caso di una struttura CBF (Concentric Braced Frames):

Figura 4.15

Figura 4.16





6=;�#�;� ≥ 6�;,B + �A ∗ 6�;,� #�; = #�;,B + �A ∗ #�;,�

�A = G:< 'u�A ∗ v�,# − v�;,B,#v�;,�,# ;u�A ∗ #�,# − #�;,B,##�;,�,#

t#C�,..,@��

D��∗E�,�.E,�,�

E,�,� per link corti, i queli si plasticizzano a taglio

D��∗��,�.�,�,�

�,�,� per link lunghi, i quali si plasticizzano a flessione

7) La progettazione dei collegamenti deve essere realizzata assegnando una

sovraresistenza in quanto il nodo deve avere una resistenza maggiore degli

elementi che vi confluiscono:

Figura 4.17





COLLASSO PROGRESSIVO

1) Si definisce collasso progressivo la diffusione del del danno locale al resto della

struttura fino a provocare un danno disproporzionato rispetto al danno iniziale

locale.

2) Ne deriva che lo sviluppo prevede innanzitutto una causa (esplosione) che genera

un danno locale che si propaga lungo la struttura.

3) Si distinguono quindi danni diretti, immediatamente conseguenti alla causa, e

danni progressivi, che si sviluppano nel tempo a causa del fallimento di uno degli

elementi che genera una ridistribuzione dei carichi non compatibile con la

struttura.

4) I collassi progressivi si distinguono in:

• Pancake type collapse

Il danno iniziale si realizza negli elementi verticali e le parti sovrastanti cadono,

facendo fallire i livelli più bassi.

• Domino type collapse

La rotazione dalla posizione di equilibrio inziale genera un'impatto con le

strutture affiancate

• Zipper type collapse

Il fallimento di un elemento porta ad un sovraccarico degli elementi adiacenti

che non resistono con conseguente collasso. Si sviluppa nella direzione lunga

della struttura

• Section type collapse

E' equivalente alla modalità di collasso precedente, sviluppata però sul lato

corto della struttura.

5) Nelle prime due modalità il trasferimento di energia avviene per impatto mentre

negli ultimi due per ridistribuzione anche se in generale i due fenomeni sono

coesistenti

6) E' possibile fare un calcolo probabilistico del collasso progressivo ma è

un'operazione molto complessa perchè necessita di una conoscenza approfondita

di tutte le fasi (causa, danno, propagazione), da processare anch'esse dal punto di

vista probabilistico.

7) Lo studio del collasso progressivo è legata molto alla percezione di rischio

dell'utenze perchè si tratta di collassi che storicamente sono stati sempre causati

da attentati terroristici.

8) La progettazione contro il collasso rientra nella metodologia di progettazione

secondaria basata sulle conseguenze, al contrario della progettazione primaria

tradizionale che si basa sulla resistenza ai carichi dei singoli elementi strutturali.

9) E' un problema complesso nel quale un ruolo fondamentale è ricoperto

dall'incertezza che, in questi casi, aumenta perchè parliamo di eventi di bassa

probabilità e alto rischio quindi totalmente opposti alle azioni comuni.

APP. A





Robustezza strutturale

1) Si definisce robustezza strutturale l'abilità della struttura la capacità della struttura

di resistere ad un danno locale.

2) Una struttura molto performante in termini di carico ultimo portato non

necessariamente lo è anche in termini di robustezza in quanto questa ultima

caratteristica va letta non sul sistema integro ma su quello danneggiato.

3) Per aumentare la robustezza di una struttura si ricorre a:

• Ridondanza (alto numero di elementi, iperstaticità esterna ed interna)

• Compartimentazione (suddivisione in parti indipendenti)

4) Per ottenere questi risultati si può agire con metodi differenti:

• Metodi indiretti

Sono prescrittivi sui dettagli costruttivi senza ulteriori analisi non lineari ed è

adatta ad edifici ordinari non esposti a rischio

• Metodo diretto deduttivo

Si applica l'esplosione agli elementi locali, una volta stimatane l'entità, e si

trova la risposta globale

• Metodo diretto induttivo

Prescindendo dal carico, si ipotizza un danno e si valuta la risposta globale e

solo a posteriori si può stimare dal danno l'entità del carico.

5) IL calcolo effettivo della robustezza si effettua ipotizzando un danno (induttivo) e

realizzando un'analisi dinamica sotto i carichi. A questo punto si confrontano i

risultati sulla struttura integra con quelli sulla struttura danneggiata in termini di

rapporto tra i rispettivi moltiplicatori ultimi dei carichi dall'analisi di pushover.

L'analisi viene ripetuta più volte modificando la localizzazione del danno iniziale.

6) Un'analisi di questo tipo serve anche per valutare il Consequence Factor ovvero la

stima dell'importanza di un singolo elemento resistente nel complesso strutturale.

Robustezza

strutturale

Ridondanza

aumento degli

elementi strutturali

aumento gradi vincoli interni/ester

ni

sizing delle sezioni

Compattazione

danno rimane localizzato a

compartimenti stagni

Figura A.1





X =��#��

X = 1 → ��#� = ��:�87"�":�8

0 < X < 1 → ��#� > 0��:�8? 97�<"* X = 1 → ��#� = 0��:�8? 97�<"*�*9980

−1 < X < 0 → −�� < ��#� < 0��:�8�9"*�<8

FATICA

1) La fatica è un fenomeno meccanico per cui un materiale sottoposto

a carichi variabili nel tempo (in maniera regolare o casuale"prova ciclica") si

danneggia fino a rottura, nonostante l'intensità massima dei carichi in questione

sia sensibilmente inferiore a quella di rottura o di snervamento statico del

materiale stesso.

2) Tale aspetto è rilevante per strutture sottoposte a carichi critici quali ponti, tralicci

e non per strutture residenziali ordinarie.

3) La fatica e la rottura che ne consegue dipende da:

• profilatura

• lavorazione

• saldature

4) La fatica è dunque funzione delle concentrazioni di tensione presenti nel

particolare costruttivo.

5) L'approccio con cui si studia la fatica è basato sullo studio di elementi testati da

carichi ciclici fino alla rottura. Considerando una lastra tesa:

Se il pezzo fosse destinato ad essere caricato da una forza monotona costante, il

progetto dello stesso si limiterebbe al dimensionamento della sezione trasversale

tale da generare una tensione interna minore di quella di snervamento.

6) Se, invece, il carico è ciclico, bisogna tener contro della rottura a fatica che è fragile

e da evitare assolutamente quindi si testano i pezzi con variazioni di tensione

ciclica:

APP. B

Figura B.1

Figura B.2





w<#6 = 1

7) Il risultato delle esperienze empiriche sono le Curve di Wolher e ne esistono per

tutti i dettagli costruttivi e sono indipendenti da R quindi dal tipo di carico:

Tali curve forniscono il numero di cicli che porta a rottura il pezzo in funzione

dell'incremento di tensione nel pezzo rispetto a quella statica sempre presente nel

pezzo.

8) Per eseguire la verifica a rottura si utilizza la legge del danno cumulato di Miner:

dove, per uno stesso livello di tensione σi, ni è il numero di cicli a cui

effettivamente il pezzo è sottoposto durante la sua storia di carico ed Ni è il

numero di cicli che porta il pezzo a rottura per fatica dalle curve di Wohler.

9) La legge di Miner si basa sull'ipotesi che ogni serie di cicli per un incremento

tensionale consumi parte della capacità resistente a fatica del pezzo

indipendentemente dalla successione temporale degli incrementi stessi.

Quest'ultima ipotesi non è molto realistica in quanto l'entità delle plasticizzazioni

accumulate dipende dal danno precedente che, ovviamente, è proporzionale al

livello di carico corrispondente.

10) Le curve di Wohler sono fornite dal CNR-UNI 10011, riferite a tutti i particolari

costruttivi, soprattutto saldature.

Figura B.3





MODELLAZIONE DI DETTAGLIO

1) In generale la sovrastruttura è composta da elementi di piano, quali travi

principali, secondarie, solai, ecc., e da sezioni verticali, per esempio regioni nodali

e controventi. Ognuna di queste parti, durante la fase di progettazione strutturale,

va schematizzata attraverso dei modelli semplificativi.

2) Il livello di dettaglio che raggiunge un modello non è indicativo della praticità o

utilità della modellazione perché normalmente il processo di raffinazione richiede

l’impiego di tempo e denaro che a volte non giustificano il guadagno totale. Ne

deriva che molte volte conviene invece utilizzare un modello meno raffinato

aumentando i coefficienti di sicurezza.

3) In ogni caso la modellazione può essere spinta ad approfonditi livelli di dettaglio in

presenza di particolari costruttivi critici mediante tre metodi:

• Metodo ad abaco, che rappresenta un modello analitico semplificato

• Metodo delle componenti, caratterizzato da modellini meccanici

• Metodo agli elementi finiti, che è un modello complesso

4) Si riporta un esempio di modellazione di dettaglio per una trave a doppio T forata

nell'anima:

Il confronto tra i modelli è effettuato stimando il valore della freccia. • Prima modellazione

Si modella un elemento monoassiale a sezione costante vincolata da vincoli

perfetti ideali e senza considerare la presenza del foro.

• Seconda modellazione

Si modella un elemento monoassiale vincolato da vincoli perfetti ideali che

però presenta una variazione di sezione in coincidenza con la presenza del

foro.

APP.C

Figura C.1

Figura C.2





• Terza modellazione

Si modella un elemento monoassiale identico al precedente con la differenza

di dividere il contributo del foro tra ala superiore e ala inferiore:

• Quarta modellazione

Si modella una trave 2D mediante elementi finiti, rispettando fedelmente la

geometria iniziale:

5) E' evidente che l'aumento della complessità del problema non è proporzionale al

miglioramento dei risultati ottenuti. Ne deriva che spingere la modellazione ad un

elevato livello di dettaglio è giustificata solo in casi particolari e non nella

progettazione di lementi tradizionali.

Figura C.3

Figura C.4

Figura C.5

FACULTY OF CIVIL AND INDUSTRIAL ENGINEERING

Department of Structural and Geotechnical Engineering

A.A. 2012 – 2013

Course:

Steel Constructions

Exercises

Professor: Student:


Assistants:



Rome, AUGUST 2013

Professor: Prof. Franco Bontempi

Steel Construction - Exercises Assistants: Ing. Francesco Petrini


Rome, AUGUST 2013

INDEX

PART A: PLASTIC BEHAVIOR

EXERCISE N.1: RETICULAR SYSTEM OF THREE TRUSS BEAMS ....................................................... 1

1.1 Outline ................................................................................................................................. 1

1.2 Analytical method ................................................................................................................ 1

1.2.1 Loading phase ....................................................................................................................................... 2

1.2.1.1 Elastic solution ............................................................................................................................. 2

1.2.1.1.1 Congruence .......................................................................................................................... 2

1.2.1.1.2 Constitutive equation........................................................................................................... 2

1.2.1.1.3 Equilibrium ........................................................................................................................... 2

1.2.1.1.4 Solution ................................................................................................................................ 2

1.2.1.2 Plastic solution ............................................................................................................................. 3

1.2.1.2.1 Congruence .......................................................................................................................... 3

1.2.1.2.2 Constitutive equation........................................................................................................... 3

1.2.1.2.3 Equilibrium ........................................................................................................................... 3

1.2.1.2.4 Solution ................................................................................................................................ 3

1.2.2 Unloading phase ................................................................................................................................... 4

1.3 Incremental method ............................................................................................................. 5

1.3.1 SAP2000 ................................................................................................................................................ 5

1.3.1.1 Modeling ...................................................................................................................................... 5

1.3.1.2 Loading phase............................................................................................................................... 6

1.3.1.3 Unloading phase ........................................................................................................................... 8

1.4 Comparison ......................................................................................................................... 9

EXERCISE N.2: PLANE STRUCTURE ............................................................................................. 10

2.1 Outline ............................................................................................................................... 10

2.2 Limit analysis ...................................................................................................................... 11

2.2.1 Kinematic theorem ............................................................................................................................. 11

2.2.2 Application of uniqueness theorem ................................................................................................... 12

2.3 Incremental method ........................................................................................................... 13

2.3.1 SAP2000 .............................................................................................................................................. 13

2.3.1.1 Modeling .................................................................................................................................... 13

2.3.1.2 Flexural plastic hinges ................................................................................................................ 14

2.3.1.2.1 Results ................................................................................................................................ 15

2.3.1.3 Buckling plastic hinges ............................................................................................................... 16

2.3.1.3.1 Results ................................................................................................................................ 17

2.3.1.4 Comparison ................................................................................................................................ 19

EXERCISE N.3: FIXED-ENDS BEAM WITH DISTRIBUTED LOAD ..................................................... 20

3.1 Outline ............................................................................................................................... 20




Rome, AUGUST 2013

3.2 Analytical method .............................................................................................................. 21

3.2.1 Elastic solution .................................................................................................................................. 21

3.2.1.1 Congruence ................................................................................................................................ 21

3.2.1.2 Constitutive equation ................................................................................................................. 21

3.2.1.3 Equilibrium ................................................................................................................................. 21

3.2.1.4 Solution ...................................................................................................................................... 21

3.2.2 Plastic solution.................................................................................................................................... 22

3.2.2.1 Congruence ................................................................................................................................ 23

3.2.2.2 Constitutive equation ................................................................................................................. 23

3.2.2.3 Equilibrium ................................................................................................................................. 23

3.2.2.4 Solution ...................................................................................................................................... 23

3.2.3 Length of plastic hinge ....................................................................................................................... 24


3.3.1 SAP2000 .............................................................................................................................................. 25

3.3.1.1 Modeling .................................................................................................................................... 25

3.3.1.2 Analysis ....................................................................................................................................... 26

3.3.1.3 Results ........................................................................................................................................ 27

EXERCISE N.4: PLANE STRUCTURE WITH TWO FLOORS .............................................................. 30

4.1 Outline ............................................................................................................................... 30


4.2.1 SAP2000 .............................................................................................................................................. 31

4.2.1.1 Modeling .................................................................................................................................... 31

4.2.1.2 Flexural plastic hinges ................................................................................................................ 32

4.2.1.2.1 Results ................................................................................................................................ 33

4.2.1.3 Buckling plastic hinges ............................................................................................................... 36

4.2.1.3.1 Results ................................................................................................................................ 37

4.2.1.4 Comparison ................................................................................................................................ 40

PART B: BUCKLING

EXERCISE N.5: CRITICAL AND POST-CRITICAL BEHAVIOR OF A BOUNDED BEAM WITH

CONCENTRATED LOAD ............................................................................................................. 41

5.1 Outline ............................................................................................................................... 41

5.2 Case A ................................................................................................................................ 41

5.2.1 Analytical method .............................................................................................................................. 41

5.2.1.1 Ideal beam .................................................................................................................................. 42

5.2.1.1.1 Small displacements ........................................................................................................... 42

5.2.1.1.2 Large displacements .......................................................................................................... 42

5.2.1.2 Real beam ................................................................................................................................... 42



5.2.1.3 Results ........................................................................................................................................ 43

5.2.2 Incremental method ........................................................................................................................... 43




Rome, AUGUST 2013

5.2.2.1 Real Beam ................................................................................................................................... 43

5.2.2.1.1 SAP2000 ............................................................................................................................. 43

5.2.2.1.1.1 Modeling ................................................................................................................... 43

5.2.2.1.1.2 Results ...................................................................................................................... 44

5.3 Case B ................................................................................................................................ 46


5.3.1.1 Ideal beam .................................................................................................................................. 46



5.3.1.2 Real beam ................................................................................................................................... 47



5.3.1.3 Results ........................................................................................................................................ 48


5.3.2.1 Real Beam ................................................................................................................................... 48

5.3.2.1.1 SAP2000 ............................................................................................................................. 48

5.3.2.1.1.1 Modeling ................................................................................................................... 48

5.3.2.1.1.2 Results ...................................................................................................................... 48

5.4 Case C................................................................................................................................. 50


5.4.1.1 Ideal beam .................................................................................................................................. 51



5.4.1.2 Real beam ................................................................................................................................... 52



5.4.1.3 Results ........................................................................................................................................ 52


5.4.2.1 Real Beam ................................................................................................................................... 54

5.4.2.1.1 SAP2000 ............................................................................................................................. 54

5.4.2.1.1.1 Modeling ................................................................................................................... 54

5.4.2.1.1.2 Results ...................................................................................................................... 54

EXERCISE N.6: EVOLUTION OF THE LOAD-DISPLACEMENT CURVE OF A THREE-HINGED ARCH ..... 58

6.1 Outline ............................................................................................................................... 58

6.2 Analytical method .............................................................................................................. 59

6.2.1 Congruence ....................................................................................................................................... 59

6.2.2 Constitutive equation........................................................................................................................ 59

6.2.3 Equilibrium ........................................................................................................................................ 59

6.2.4 Solution ............................................................................................................................................. 60


6.3.1 SAP2000 .............................................................................................................................................. 61

6.3.1.1 Modeling .................................................................................................................................... 61

6.3.1.2 Analysis ....................................................................................................................................... 62

Exercise n.1: Reticular system of three truss beams

A.A. 2012/2013 Plastic Behavior

Rome, AUGUST 2013 Pag. 1

EXERCISE N.1

1.1

Fiugure 1.1

1.2

�� = �� ∗ � = 1884.95��

RETICULAR SYSTEM OF THREE TRUSS BEAMS

Outline

1) Assuming an elastic perfectly plastic-type behavior, evaluate critical load of the

structure in Figure 1.1 analytically and compare it with that obtained using non-

linear incremental static analysis obtained with a computational code. Carry out,

also, the study of the unloading phase and, if possible, a step of re-load in order to

highlight the cyclic behavior. In the study use plastic hinges axial or plasticity

widespread.

2) Material data:

• � = 210000�/��

• �� = 240�/�� • �� = �� = 0,11429%��

• �� = 5%��

3) Geometry data:

• � = 5��ℎ

• � = 10 ��

• � =��

�= 7850��

4) For all beams the value of yield axial force is:

5) System hyperstaticity is 1

Analytical method

1) We indicate with:

• X : axial force of beam 1

• Y : axial force of beam 2 and 3

• δ : vertical displacement of node O

12 3

P

45°L

L

ε

σ

fy

εy εu

d=10 cmAste con sezione

circolare




� = � ∗ �� = �� ∗ �

� + 2� ∗ cos�4

= �

!" � = 2�� + 2� √2

2= � →

!"� =

2�2 + √2� =�

2 + √2

$$

2) We apply the Displacement Method, or rather we derive equilibrium equations,

written in terms of displacements, substituting the constitutive relationship and

kinematic compatibility in equilibrium equations written in terms of stress.

3) We make the assumption of little displacements, so we can write the equilibrium

equation in the undeformed shape.

Loading phase

Elastic solution

1) We find the elastic solution, when, in the first load phase, element stresses are so

low that prevent the passage in plastic range and we derive the first yield load Py

Congruence

1) We write congruence equations, indicating with L2 and ΔL2 respectively the initial

length and the stretch of beam 2 and 3.

• Beam 1: % = � ∗ � → � =

�

• Beam 2-3: &�� = �� ∗ �� → % ∗ cos�

�=

�

� ��

�

∗ �� → �� =

��

Constitutive equation

1) We write constitutive equation in elastic range:

• Beam 1: � = �� ∗ � =��

�∗ %

• Beam 2-3: : � = �� ∗ �� =

��

∗ % =

�∗ �

Equilibrium

1) We write the equilibrium equation to the vertical translation of node O (the

horizontal balance is automatically guaranteed because we assumed that stresses

of beam 2 and 3 are the same).

Solution

1) Combining previous equations, we find:

Figure 1.2

1.2.1

1.2.1.1

1.2.1.1.1

1.2.1.1.2

1.2.1.1.3

1.2.1.1.4




� = �� = �� = 1884.92��

� = �� =2 + √2

2�� = 3217.82��

� = �� =1

2�� = 942.48�� < ��

% = %� =�� =

�� = 5.71��

� + 2� ∗ cos�4

= � → 2� ∗ cos�4

= � − �� ∗ �

'� = �� = �� = �� ∗ �� =

� − �� ∗ �√2

$

� = �� = �� = 1884.92��

� = �� = �� ∗ � ∗ (1 + √2) = 4550.69��

% = %�� = 2�� = 11.43��

2) Beam 1 is the first to reach the plastic range when:

This value of axial force is reached when:

For the same value of load, axial force in beam 2 and 3 is:

3) The corresponding displacement δ and related beam strains are:

• Beam 1: � = �� = 0.11429% • Beam 2-3: �� =

��

= 0.05714%

Plastic solution

1) We find the plastic solution and the ultimate load Pcr, considering that beam 1 is

completely in plastic range, so its stress can't increase more and is equal to Ny.

Equilibrium

1) As we did previously, we write the equilibrium equation to the vertical translation

of node O:

Solution

1) Solution equations become:

2) Beam 2 and 3 reach together plastic range when their axial force become equal to:

This value of axial force is reached when:

3) The corresponding displacement δ and related beam strains are:

• Beam 1: � = �� +��

�= 0.22857%

• Beam 2-3: �� = �� = 0.11429%

This is the correct solution because beam 1 strain is lower than failure strain εcu.

1.2.1.2

1.2.1.2.1

1.2.1.2.2




�� =�� ∗ � ∗ (1 + √2)

�� ∗ � ∗2 + √2

2

= 1.414 → ()��ℎ = 41.4%

%��%� =2�� = 2.0 → �* �� = 100%

∆� = −�� = −�� ∗ � ∗ +1 + √2, = −4550.69�� → �� = 0

' ∆� = 2∆�∆� + 2∆�√2

2= ∆� → $ !

"∆� =2�

2 + √2= −

2��2 + √2

∆� =

�2 + √2

= −��

2 + √2

$

-!-"�� = �� − ∆� = �� ∗ � ∗ .1 −

2

2 + √2+1 + √2,/ = −780.77��

�� = �� − ∆� = �� ∗ � ∗ .1 −2

2 + √2+1 + √2,/ = 552.09�� $

�� − �� = 0.11429%

�� = �� −∆�� = 0.0669%

% = %� = � ∗ �� = 3,35��

�� =%�2� = 0.0335%

4) Plastic resources of structure in terms of load P are equal to:

Equally, in terms of displacement δ

Unloading phase

1) Assuming that unloading phase starts before Pcr is reached and that the last value

of load is 0, we find system solution in this step:

2) During the unloading phase, beams behavior is elastic, because we assume an

elastic perfectly plastic-type constitutive relationship.

3) We find beam residual stresses:

4) Beam 1 stays compressed till the end of the unloading phase, because it had

already reached plastic range before the beginning of this step, with plastic strain

equal to:

At the end of unloading phase, beam 1 residual strain is:

This means that residual displacement of node O is:

5) Beam 2 and 3 result stretched to respect congruency:

Beam 1 is necessary compressed to balance all forces because, as we said, the final

value of load is 0.

6) We draw the evolution of beam axial forces at varying of loads:

1.2.2




When beam 1 reaches plastic range, axial force in beam 2 and 3 is half that of the

beam 1, so it is half the yield strength.

7) We draw the evolution of node O displacement δ at varying of load:

Incremental method

SAP2000

Modeling

1) The structure is modeled by frame elements with material and section properties

previously indicated. Every beam is bounded by external hinge.

2) We apply a vertical force P=1 kN in node O, that will be used to set push-over

analysis.

A' B

A''

+ 41.4 %

C'

C''

-0,50

-0,25

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00

N/(

fy A

)

P/(fy A)

Evolution of axial forces

Beam 1

Beam 2-3

Unload step beam 1

Unload step beam 2-3

A

B

C0,00

500,00

1000,00

1500,00

2000,00

2500,00

3000,00

3500,00

4000,00

4500,00

5000,00

0,00 2,50 5,00 7,50 10,00 12,50 15,00

P (

kN

)

δ (mm)

Load- Displacement

Load step Unload step

Figure 1.3

Figure 1.4

1.3

1.3.1

1.3.1.1




3) We assign to every beam an axial hinge, defined in terms of stress-strain, at the half

of the length (in this case hinge's position is not important because stress state is

uniform across the beam).

4) We define a nonlinear static load case called Pushover P, that uses the base load

pattern P previously defined. This is a displacement control analysis in which we

monitor node O displacement.

Loading phase

1) We report the results:

Multiplier Displacement Axial Force Beam 1 Axial force Beam 2-3

Step λ (kN) δ (mm) N1 (kN) N2 (kN)

0 0,00 0,00 0,00 0,00

1 3217,83 5,71 1884,96 942,48

2 4550,70 11,43 1884,96 1884,96

3 4550,76 111,43 1885,00 1884,98

4 4550,81 211,43 1885,03 1884,99

5 4550,84 255,75 1885,04 1885,00

6 4550,84 255,75 1885,04 1885,00

7 2665,83 307,18 0,02 1885,01

8 2665,88 407,18 0,05 1885,03

9 2665,94 507,18 0,09 1885,04

10 2665,94 507,18 0,09 1885,04

11 0,15 610,04 0,12 0,02

12 0,20 710,04 0,15 0,04

13 0,26 810,04 0,19 0,05

14 0,31 910,04 0,22 0,07

15 0,37 1000,00 0,25 0,08

1.3.1.2

Figure 1.5

Figure 1.6




2) We show formation order of the hinges, during fundamental steps of the analysis

(from formation of first hinge in beam 1 to the failure of structure)

A' B

A''

+ 41.4 %

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00

N/(

fy A

)

P/(fy A)


Beam 1

Beam 2-3

Figure 1.7

Figure 1.8

Figure 1.9




Unloading phase

1) We define two linear nonstatic load cases to perform analysis during unloading

phase.

2) First one is exactly the same as that previously defined, with the only difference

that we stop analysis when node O displacement reaches a slightly lower value than

the failure one. Therefore, ultimately, we do a displacement control analysis setting

the ultimate displacement of node O at the value of 11 mm.

3) Second load case is defined starting form the final state of the first one, assigning a

force to the structure in the opposite direction.


Multiplier Displacement Axial Force Beam 1 Axial force Beam 2-3

Step λ (kN) δ (mm) N1 (kN) N2 (kN)

Loa

d p

ha

se

0 0,00 0,00 0,00 0,00

1 619,43 1,10 362,86 181,43

2 1238,86 2,20 725,71 362,86

3 1858,30 3,30 1088,56 544,28

4 2477,73 4,40 1451,42 725,71

5 3097,16 5,50 1814,27 907,14

6 3217,83 5,71 1884,96 942,48

7 3474,41 6,81 1884,96 1123,91

8 3730,98 7,91 1884,96 1305,34

9 3987,56 9,01 1884,96 1486,76

10 4244,14 10,11 1884,96 1668,19

11 4450,73 11,00 1884,96 1814,27

Un

loa

d p

ha

se

12 4450,73 11,00 1884,96 1814,27

13 3887,61 10,00 1555,10 1649,34

14 3324,50 9,00 1225,23 1484,41

15 2761,38 8,00 895,36 1319,47

16 2198,26 7,00 565,49 1154,54

17 1635,14 6,00 235,62 989,60

18 1072,02 5,00 -94,25 824,67

19 508,90 4,00 -424,11 659,74

20 0,00 3,10 -722,22 510,68

1.3.1.2

Figure 1.10




Comparison

1) We report the comparison of results between the two different analyzes:

P δ P/Ny x/Ny y/Ny

Point An. Increm. An. Increm. An. Increm. An. Increm. An. Increm.

O 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

A 3217,82 3217,82 5,71 5,71 1,71 1,71 1,00 1,00 0,50 0,50

B 4550,69 4550,69 11,43 11,43 2,41 2,41 1,00 1,00 1,00 1,00

C 0,00 0,00 3,35 3,10 0,00 0,00 -0,41 -0,38 0,29 0,27

A

B

C0,00

500,00

1000,00

1500,00

2000,00

2500,00

3000,00

3500,00

4000,00

4500,00

5000,00

0,00 2,50 5,00 7,50 10,00 12,50 15,00

P (

kN

)

δ (mm)

Load - Displacement

Carico

Scaric

o

A' B

A''

C'

C''

-0,50

-0,25

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00

N/(

fy A

)

P/(fy A)


Beam 1 Beam 2-3

Unload step beam1 Unload step beam 2-3

Figure 1.11

Figure 1.12

1.4

Figure 1.13

Exercise n.2: Plane frame



EXERCISE N.2

2.1

Figure 2.1

Figure 2.2

PLANE STRUCTURE

Outline

1) Assuming an elastic perfectly plastic-type behavior ,analytically evaluate the

ultimate load multiplier and compare it with that calculated by a computational

code with an appropriate analysis. Evaluate, also, the push-over curve. In the study

use plastic hinges axial or plasticity widespread. Implement, finally, buckling to

plastic hinges.

2) Material data:

• � = 210000�/��

• �� = 235�/��

• �� = ��

= 223.81�/��

• �� = ��

�= 0,10658%� ��

• �� = 5%��

3) Geometry data:

• � = 5�� ℎ

4) Section geometry data:

• � = 100�� ℎ

• ℎ = 200�� ℎ�

H

V

A

C

B

D

L

L L

A B

C DH= 0.8 VV




�� = �� ∗ � = 43.42 �� = �� ∗ �� = 49.46 � ∗ �

• ! = 28.5��

• ℎ = 200�� ℎ� • �� = 8.5�� ℎ � �� • �� = 5.6�� ℎ � �� • " = 1943.0� "� �� • � = 194.0�� #�#� • �� = 221.0��$�� #�#�

5) For all beams, values of design yield moment and of design plastic moment are:

Limit analysis

1) Limit analysis is a method for calculating the ultimate load multiplier which leads to

structural collapse.

2) Limit analysis theorems are:

• Static theorem: λcrit is the highest among those statically admissible.

• Kinematic theorem: λcrit is the minimum of those kinematically compatible.

• Uniqueness theorem: λcrit is the only statically admissible and kinematically

compatible.

3) Thanks to uniqueness theorem, we can consider all kinematically compatible

deformed shapes and find among these the only one statically admissible which is

associated with the ultimate load multiplier λcrit.

4) This procedure allows to not apply separately static theorem and kinematic

theorem to find limit values that identify the range of possibly multipliers.

Kinematic theorem

1) We have to find all kinematically compatible deformed shapes so we consider all

plastic kinematic mechanisms assuming that plastic hinges may be formed in

correspondence of:

• Nodal forces

• Constraints

• Geometric discontinuities

2) System hyperstaticity is 3 so we need 4 plastic hinges to have structural collapse

and this means that there are 6 possible deformed shape depending on where

plastic hinges are positioned.

3) We report possible kinematic mechanisms assuming:

• small displacements

• elastic deformations negligible compared to plastic ones.

2.2

2.2.1




%1& + '� ∗ ( ∗ � = 4�� ∗ ( → '� = 5��) ∗ �

%2& − '� ∗ ( ∗ � = 4�� ∗ ( → '� = −5��) ∗ �

%3& + '� ∗ ( ∗ � + ') ∗ ( ∗ � = 6�� ∗ ( → '� =10

3

��) ∗ �

%4& − '� ∗ ( ∗ � + ') ∗ ( ∗ � = 6�� ∗ ( → ' = 30��) ∗ �

%5& + '� ∗ ( ∗ � − ') ∗ ( ∗ � = 6�� ∗ ( → '� = −10

3

��) ∗ �

%6& − '� ∗ ( ∗ � − ') ∗ ( ∗ � = 6�� ∗ ( → '� = −30��) ∗ �

4) We apply the thorem of virtual work to every deformed shape assuming that load,

which produced it, is critical one and we write equilibrium equations:

Application of uniqueness theorem

1) We take the kinematic mechanism which is associated with the minimum value of

load multiplier in absolute terms and we verify that it is also statically admissible.

Figure 2.3

2.2.2




'�� = '� =10

3

��) ∗ � =54.96 �)

2) To verify this condition, we have to plot evolution of the moment on the structure

considering system labile in collapse step with associated critical loads and we have

to make sure that in every section of the structure moment value is lower than

plastic one.

3) Kinematic mechanisms which are associated with the minimum value of load

multiplier in absolute terms are n.3 and n.5, but only the first verifies static

condition.

4) The value of ultimate load multiplier is:

Incremental method

SAP2000

Modeling



2) We apply a vertical force P=-1 kN in node E and a horizontal force H=1 kN in node C;

these forces will be used to set push-over analysis, combined so that force H

showing 0.8 times that force V.

3) We define a nonlinear static load case called Pushover VH, that uses the base load

patterns P and 80% of H, previously defined. This is a displacement control analysis

in which we monitor node C horizontal displacement.

Figure 2.4

2.3

2.3.1

2.3.1.1

Figure 2.5




Flexural plastic hinges

1) We have to define properties of flexural plastic hinge in terms of moment-rotation

diagram.

2) We insert values of plastic hinge parameterized curve in the software according to

the following relations (FEMA 356):

• � = �� → ( = 0

• � = �� → ( = (� = 4(�

• � = �� = 0.2�� → ( = (�� = 6(�

3) We assign to every beam three plastic hinges: two at the ends and one in the

middle section.

Figure 2.6

2.3.1.2

Figure 2.7




Results


Displacement Vertical force Horizontal force

Step δ (m) V (kN) H (kN)

0 0,00 0,00 0,00

1 0,02 41,71 33,37

2 0,02 45,26 36,21

3 0,04 49,62 39,69

4 0,09 53,27 42,62

5 0,12 54,21 43,37

6 0,15 53,44 42,75

7 0,98 11,61 9,29

8 0,98 11,61 9,29

9 1,01 9,74 7,79

10 1,01 9,74 7,79

11 1,05 7,86 6,29

12 1,05 7,86 6,29

13 1,10 5,21 4,17



2.3.1.2.1

Figure 2.8

Figure 2.9




* '��,�� = 54.96

'��,�� = 54.21

→ �� = 1.38%+

2) We report the comparison of ultimate load multipliers between the two different

analyzes:

Buckling plastic hinge

1) As we do previously, we have to define values of plastic hinge parameterized curve

in the software:

• � = 0 → * � = �� → ( = 0� = �� → ( = (� = 4(�� = �� = 0.2�� → ( = (�� = 6(� +

Figure 2.10

Figure 2.11

Figure 2.12

2.3.1.3




• � ≠ 0 = 0,5�� → * � = �� → ( = (�� = �� → ( = (�� = �� = 0.2�� → ( = (�� = 1.5(� +

Figure 2.13

2.3.1.3.1

Figure 2.14

Results

1) As we do previously, we report the results:



0 0,00 0,00 0,00

1 0,02 46,94 37,55

2 0,02 50,98 40,78

3 0,04 56,21 44,97

4 0,11 61,05 48,84

5 0,12 61,04 48,83

6 0,14 60,47 48,37

7 0,61 29,96 23,97

8 0,61 29,96 23,97

9 0,63 28,43 22,74

10 0,92 16,72 13,37

11 0,92 16,72 13,37

12 1,10 10,20 8,16




Figure 2.15

Figure 2.16

Figure 2.17

Figure 2.18




Comparison

1) We report the comparison of pushover curves between the two different analyzes:

λcrit (kN)

Flexural 54,21

Buckling 61,05

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20

Mu

ltip

lie

r (k

N)

Displacements (m)

Pushover curves

Flexural

hinges

Buckling

hinges

2.3.1.4

Figure 2.19

Exercise n.3: Fixed-ends beam with distributed load



e

EXERCISE N.3

3.1

Figure 3.1

Figure 3.2

FIXED-ENDS BEAM WITH DISTRIBUTED LOAD

Outline

1) Analytically e numerically find the response in elastic-plastic range of a fixed-ends

beam with distributed load. Numerically investigate sensitivity of solution to

changes in the parameter "length of plastic hinge". Beam structural material is the

one used in exercise n.1

2) Material data:

• � = 210000�/��

• �� = 240�/��

• �� = ��

= 0,11429%� ��

• �� = 5%��

3) Geometry data:

• � = 4�� ℎ


• � = 100�� ℎ

• ℎ = 200�� ℎ� • � = 28.5��

• ℎ = 200�� ℎ� • �� = 8.5�� ℎ�� • �� = 5.6�� ℎ�� • � = 1943.0�� • �� = 194.0�� • �� = 221.0�!��




"�� = �� ∗ �� = 46.56�� "�� = �� ∗ �� = 53.04�� ∗ �

#$%& =��'$%&�%� ��ℎ ( '$% = 0& = 0'$% = �& = 0'′′$% = 0& = 0'′′$% = �& = 0

)

"$%& = ��#$%& * =

��"$%&�%�

��'$%&�%� =*�� → '$%& =

*�� x� + C ∗ x + C� ∗ x� + C ∗ x + C�


Analytical method

1) Taking as its axis beam axis, starting in A, we denote by v (x) vertical displacement

of generic section along x-axis and by χ (x) its curvature.




3) We make assumption of little displacements, so we can write equilibrium equations

on undeformed shape.

Elastic solution

1) We find elastic solution, when, in the first load phase, element stresses are so low

that prevent the passage in plastic range and we derive load λy, which causes first

plastic hinge.

Congruence

1) We write congruence equation with boundary conditions:



Equilibrium

1) We write the equilibrium equation:

Solution


C0,C1,C2 and C3 are constants that we calculate by boundary conditions.

3.2

Figure 3.3

3.2.1

3.2.1.1

3.2.1.2

3.2.1.3

3.2.1.4




'$%& =1

24

*�� $� − %&%

"$%& = −1

12*�� +

1

2*� ∗ % +

1

2* ∗ %�

"� = "� = "� = 53,04�� ∗ �

* = *� =12�� ∗ "� = 39.78��/�

"$%& = −"� +6�"� ∗ % −

6�� "� ∗ %� = "�

6�� +−%� + � ∗ % −6��, < "�

"�∗ =

*� ∗ ��24

="�

2

'$%& =1

2��"�� $� − %&%

2) Complete solution is:

3) First hinges come out simultaneously at the ends when moment in these sections

reaches value of plastic moment:

So when load is:

4) At the same time, value of moment in other section is given by following relation:

and particularly, value of moment in middle section is:

5) Evolution of vertical displacement v(x) along x-axis is:

Plastic solution

1) We find plastic solution, or rather we estimate ultimate load λcr, considering that

end sections A and B have already reached plastic range so moment in these

sections can not be higher than plastic moment Mp. This means that beams

behaves as a simply supported beam for next load increments.

Figure 3.4

3.2.2

Figure 3.5




-#$%& =��-'$%&�%� ��ℎ .-'$% = 0& = 0-'$% = �& = 0

)

-"$%& = ��-#$%&��ℎ .-"$% = 0& = 0-"$% = �& = 0)

-* =��-"$%&�%�

��-'$%&�%� =-*�� → -*�� x� + C ∗ x + C� ∗ x� + C ∗ x + C�

-'$%& =1

24

-*�� $� − %&(�� − �% + %�)%

-"$%& =1

2-*� ∗ % +

1

2-* ∗ %�

"� = "�∗ + -"� =

"�

2+ -"� = "� = 53.04�� ∗ �

-"� ="�

2→ -* =

4�� ∗ "� = 39.78��/�

* = *� = *� + -* =16�� ∗ "� = 53.04��/�

"$%& = "� +−1 +8�� ∗ %� +

8� ∗ %, < "�

Congruence

1) We write congruence equation with boundary conditions:


1) We write constitutive equation:

Equilibrium


Solution


C0,C1,C2 and C3 are constants that we calculate by boundary conditions.

2) Complete solution is:

3) Next plastic hinge comes out in middle section C, when moment reaches plastic

value:

So when load is:

6) At the same time, value of moment in other sections is:

3.2.2.1

3.2.2.2

3.2.2.3

3.2.2.4

Figure 3.6




'$%& =1

6��"�� $−%� + � ∗ % − $�� + � + 3& ∗ % + �$�� + 3& ∗ %&

*�*� =4

3→ /' �� ℎ = +33.3%

"� = 46,56�� → * =12�� "� = 34,92��/�

"$%& = "�

6�� +−%� + � ∗ % −6��,

� ,�∗ =�401 − 11 −

1

36+� +

12,3 = 7.02�

and evolution of vertical displacement v(x):

7) We can evaluate structure overstrength in terms of load λ

Length of plastic hinge

1) Analytical method is not strictly correct because, when moment reach yield value in

end sections A and B:

entire section don't reach a the same time plastic range, but gradually from outer to

inner parts until the formation of plastic hinge. During this step, section behaviour

is not elastic, as we assumed, but more complex and not easy to model with a

simple equation.

2) When moment increases, also, near sections exceed yield limit so, when in A e B

moment reaches plastic value Mp=53.04 kN m, close sections, at both beam ends,

are partially in plastic range.

3) This means that plastic hinge is not punctual but has a length L*1,i, that we can

calculate considering the evolution of moment along beam during elastic step:

We can calculate value of x for which M=My

with 2 = Sectionshapefactor =��

��=

��

��= 1.1392

4) We have the same situation in section C when load increases till critical value: when

middle section is completely in plastic range, those near have partially overcome

yield strength so we have to calculate plastic hinge length.

3.2.3

Figure 3.7




"$%& = "� +−1 +8�� ∗ %� +

8� ∗ %,

� ∗ =�201 − 11

2+1 +

12,3 = 6.20�

4 =2� % → % =

�2$4 + 1&

"$4& = "�$−1 + 4$4 + 1& − 2$4 + 1&�&

4�∗ =11 −

122

→ ��∗ = $4�∗ + 1&� = 98,96�

#� =��ℎ2

= 1,14286%� �� '��

#� =��ℎ2

= 50%5��6� �'��

1) We can calculate final lengths L*1 and L

*2 considering evolution of moment during

plastic step:

2) We can estimate length L*1 setting M(x)=-My:

3) We make a change of coordinate to calculate length L*2 setting origin in the middle

section:

Previous relation of moment becomes:

4) Setting M(4)=-My, we estimate 4*2, then L*2:

Incremental method

SAP2000

Modeling

1) The structure is modeled by 2 frame elements with material and section properties

previously indicated. Structure ends are fixed with restraints

2) We apply a vertical distributed load q=-1 kN/m, that will be used to set push-over

analysis.

3) We have to define properties of flexural plastic hinge in terms of moment-curvature

diagram, so we have to calculate yield curvature χy and collapse curvature χu:

3.3

3.3.1

3.3.1.1




Analysis

1) We produce 10 different models of this type, by varying relative length of plastic

hinge from a value of 0.01 (4 cm) to a value of 1 (4 m, total length of beam). Also we

define another model using plastic hinges with lengths calculated previously in

analytical method, so 6,20 cm for end sections and 98,96 cm for middle one.

2) For each model, we assign its own plastic hinge by positioning three ones: two in

ends and one in middle section.

3) We define a nonlinear static load case called Pushover q, that uses the base load

patterns q, previously defined. This is a displacement control analysis in which we

monitor vertical displacement of middle joint.

Figure 3.8

3.3.1.2

Figure 3.9




Results

1) We report the results of analysis on all models:

Lp= 0,010 = 4 cm Lp= 0,025 = 10 cm Lp= 0,050 = 20 cm Lp= 0,100 = 40 cm

Step λ (kN) δ (mm) λ (kN) δ (mm) λ (kN) δ (mm) λ (kN) δ (mm)

0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

1 34,92 6,48 34,92 6,48 34,92 6,48 34,92 6,48

2 48,79 15,93 47,51 16,11 47,04 16,18 46,80 16,21

3 50,56 22,26 51,93 51,56 52,40 101,21 52,66 200,84

4 50,56 22,26 51,93 51,56 52,40 101,21 52,66 200,84

5 51,84 38,48 51,93 51,56 52,40 101,21 52,66 200,84

6 51,84 38,48 52,04 68,48 52,06 118,36 52,08 218,12

7 51,84 38,48 52,04 68,48 52,06 118,36 52,08 218,12

8 -0,29 539,82 52,04 68,48 52,06 118,36 52,08 218,12

9 0,00 0,00 -0,09 569,81 -0,06 619,70 -0,05 719,45

Lp= 0,200 = 80 cm Lp= 0,300 = 120 cm Lp= 0,400 = 160 cm Lp= 0,500 = 200 cm

Step λ (kN) δ (mm) λ (kN) δ (mm) λ (kN) δ (mm) λ (kN) δ (mm)

0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

1 34,92 6,48 34,92 6,48 34,92 6,48 34,92 6,48

2 46,68 16,23 46,64 16,23 46,62 16,24 46,61 16,24

3 52,79 400,28 52,83 599,76 52,85 799,25 52,86 998,74

4 52,79 400,28 52,83 599,76 52,85 799,25 52,86 998,74

5 52,79 400,28 52,83 599,76 52,85 799,25 52,86 998,74

6 52,09 417,62 52,09 617,12 52,09 816,62 52,09 1016,12

7 52,09 417,62 52,09 617,12 52,09 816,62 52,09 1016,12

8 52,09 417,62 52,09 617,12 52,09 816,62 52,09 1016,12

9 -0,04 918,96 12,28 1000,00 33,02 1000,00 1,78 1500,00

Lp= 0,750 = 300 cm Lp= 1,000 = 400 cm Lp from analytical method

Step λ (kN) δ (mm) λ (kN) δ (mm) Step λ (kN) δ (mm)

0 0,00 0,00 0,00 0,00 0 0,00 0,00

1 34,92 6,48 34,92 6,48 1 34,92 6,48

2 46,59 16,24 46,58 16,24 2 47,33 16,14

3 52,38 1497,64 52,39 1996,39 3 49,85 64,47

4 52,38 1497,64 52,39 1996,39 …. …. ….

5 52,38 1497,64 52,39 1996,39 6 29,68 515,02

6 51,60 1514,71 52,39 1996,39 …. …. ….

7 51,60 1514,71 0,29 2497,75 9 23,89 570,68

8 51,60 1514,71 …. …. ….

9 -0,52 2016,04 20 22,52 590,19

…. …. ….

28 21,84 609,51

3.3.1.3

Figure 3.10

Figure 3.11

Figure 3.12




*�� = 49,85��/�*��,��.�� = 53,04��/�→ �� = 6,40%

2) When length of plastic hinges increases, first, load multiplier switches from minimal

value λ=51,84 kN/m for Lp=0.010 to the highest λ=52,39 kN/m for Lp=0.500; after,

it slightly decreases till λ=52,39 kN/m for Lp=1.000.

3) When length of plastic hinges increases, beam stiffness decreases after formation

of first plastic hinges at the ends, so critical value of load multiplier is reached for

increasing displacements. This means that ductility of system increases.

4) We assume, as ultimate load multiplier, the one that comes out from model with

length of plastic hinges calculated in analytical method.



0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

45,00

50,00

55,00

60,00

0,00 400,00 800,00 1200,00 1600,00 2000,00 2400,00

P (kN)

δ (mm)

Pushover curves

Analytical method Lp = 0.010

Lp = 0.025 Lp = 0.050

Lp = 0.100 Lp = 0.200

Lp = 0.300 Lp = 0.400

Lp = 0.500 Lp = 0.750

Lp = 1.000 Lp from analytical method

Figure 3.13




Figure 3.14

Figure 3.15

Exercise n.4: Plane structure with two floors



EXERCISE N.4

4.1

Figure 4.1

Figure 4.2

PLANE STRUCTURE WITH TWO FLOORS

Outline

1) Evaluate first yielding load multiplier and the ultimate one with pushover analysis,

considering flexural plastic hinges Add, next, buckling to plastic hinges and compare

the results

2) Material data:

• � = 210000�/��

• �� = 235�/�� • �� = ��

= 223.81�/��

• �� = ��

�= 0,10658%� ��

• �� = 5%��




�� = �� ∗� = 43.42�� = �� ∗�� = 49.46�� ∗�

3) Geometry data:

• � = 4�� ℎ


• � = 100�� ℎ

• ℎ = 200�� ℎ� • ! = 28.5��

• ℎ = 200�� ℎ� • �� = 8.5�� ℎ�� • �� = 5.6�� ℎ�� • " = 1943.0� "� �� • � = 194.0�� #�#� • �� = 221.0��$�� #�#�


Incremental method

SAP2000

Modeling



2) We apply vertical forces P=-1 kN and horizontal forces H=1 k, as indicated in figure

4.1; these forces will be used to set push-over analysis, combined so that force H

showing 0.25 times that force V.

3) We define a nonlinear static load case called Pushover VH, that uses the base load

patterns P and 25% of H, previously defined. This is a displacement control analysis

in which we monitor node 9 (top left) horizontal displacement.

4.2

4.2.1

4.2.1.1

Figure 4.3




Flexural plastic hinges

1) We have to define properties of flexural plastic hinge in terms of moment-rotation

diagram.

2) We insert values of plastic hinge parameterized curve in the software according to

the following relations (FEMA 356):

• � = �� → % = 0

• � = �� → % = %� = 4%�

• � = �� = 0.2�� → % = %�� = 6%�

3) We assign to every beam three plastic hinges: two at the ends and one in the

middle section.

Figure 4.4

4.2.1.2




Results




0 0,00 0,00 0,00

1 0,04 255,02 21,25

2 0,08 363,39 30,28

3 0,08 366,34 30,53

4 0,09 377,02 31,42

5 0,10 379,13 31,59

6 0,16 394,11 32,84

7 0,32 400,94 33,41

8 0,37 396,83 33,07

… … … …

11 0,86 283,77 23,65

… … … …

17 1,77 130,12 10,84

… … … …

19 1,86 116,65 9,72

… … … …

25 2,62 50,27 4,19

… … … …

30 3,51 14,91 1,24

4.2.1.2.1

Figure 4.5

Figure 4.6






First Yielding

λ=255,02 kN

Overstrength

1,57

Critical Load

λ=400,94 kN

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00

300,00

350,00

400,00

450,00

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50

Mu

ltip

lie

r (k

N)

Displacements (m)

Pushover curve

Figure 4.7

Figure 4.8




Figure 4.9

Figure 4.10

Figure 4.11

Figure 4.12

Figure 4.13




Buckling plastic hinge

1) As we do previously, we have to define values of plastic hinge parameterized curve

in the software:

• � = 0 → & � = �� → % = 0� = �� → % = %� = 4%�� = �� = 0.2�� → % = %�� = 6%� '

• � ≠ 0 = 0,5�� → & � = �� → % = %�� = �� → % = %�� = �� = 0.2�� → % = %�� = 1.5%� '

4.2.1.3

Figure 4.13

Figure 4.14




Results

1) As we do previously, we report the results:



0 0,00 0,00 0,00

1 0,03 182,85 15,24

2 0,04 210,20 17,52

3 0,07 224,50 18,71

4 0,14 231,03 19,25

5 0,17 232,69 19,39

6 0,37 228,83 19,07

7 0,57 224,94 18,75

… … … …

48 8,57 74,10 6,18

… … … …

50 8,57 74,10 6,18

4.2.1.3.1

Figure 4.15

Figure 4.16






First Yielding

λ=182,85 kN

Overstrength

1,27

Critical Load

λ=232,69kN

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50

Mu

ltip

lie

r (k

N

Displacements (m)

Pushover curve

Figure 4.17

Figure 4.18




Figure 4.19

Figure 4.20

Figure 4.21

Figure 4.22




Comparison

1) We report the comparison of pushover curves between the two different analyzes:

-50,00

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00

300,00

350,00

400,00

450,00

-1,00 1,00 3,00 5,00 7,00 9,00

Mu

ltip

lie

r

Displacements (m)

Pushover curves

M3 Hinge

P-M3 Hinge

-50,00

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00

300,00

350,00

400,00

450,00

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50

Mu

ltip

lie

r

Displacements (m)

Pushover curves

M3 Hinge

P-M3 Hinge

First Yielding

Critical load

4.2.1.4

Figure 4.23

Figure 4.24

Exercise n.4: Plane structure with t

A.A. 2012/2013

Rome, AUGUST 2013

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00

300,00

350,00

400,00

450,00

500,00

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

Figure 4.25

Figure 4.26

Figure 4.27

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

O

M3

two floors

First Yielding

+28,30 %

Critical load

+41,96 %

Load Multiplier

First Yielding

+28,30 %

Critical load

+46,70 %

Displacements

+19,05 %

verstrength

3 Hinge P-M3 Hinge

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Du

M3 Hing

Plastic Behavior

Pag. 41

M3 Hinge

P-M3 Hinge

M3 Hinge

P-M3 Hinge

+25,67 %

uctility

ge P-M3 Hinge

Exercise n.5: Critical and post-critical behavior of a bounded beam with concentrated load

A.A. 2012/2013 Buckling


e

EXERCISE N.5

5.1

Figure 5.1

5.2

5.2.1

Figure 5.2

CRITICAL AND POST-CRITICAL BEHAVIOR OF A BOUNDED BEAM WITH

CONCENTRATED LOAD

Outline

1) Analyze the behavior of an axially loaded beam with three different boundary

conditions, in order to highlight post-critical behavior: stable (case a), unstable

(case b) and asymmetric (case c). Study the system analytically and compare results

with those obtained by using a computational code. For each of three cases,

conduct analysis considering first ideal beam, then real beam with geometric

imperfections: in particular, consider three different rotations that produce

displacement on the top equal to 0,1l, 0,2l and 0,3l.

2) Geometry data:

• � = 1��ℎ

• � = 1 ��

��

Case A

Analytical method

1) We apply the static approach to solve problem, so we write equilibrium equation

on deformed shape and we obtain critical load multiplier as the one that nullify

geometric stiffness of system.

2) We assume rotation θ as free degree of freedom. In analysis with real beam, its

geometric imperfection is modeled by another starting rotation θ0, that reduce

displacement and value of critical load multiplier.

a) b) c)




� ∗ � = � ∗ � ∗ � → �� − � ∗ �� ∗ � = 0 → �∗ = (� − � ∗ �)

�� =�� → �� ∗ �

� = 1

� ∗ � = � ∗ � ∗ sin� → �� − � ∗ � ∗sin�� ∗ � = 0 → �∗ = (� − � ∗ � ∗

sin�� )

�� =��

sin�� → �� ∗ �

� =�

sin�

� ∗ �� − �� = � ∗ � ∗ � → � ∗ � ∗ �1 −� ∗ �� −

�� = �∗ ∗ � = 0

�∗ = � ∗ �1 −� ∗ �� −

��

�� =�� 1 − �� → �� ∗ �

� = �1 −��

� ∗ �� − �� = � ∗ � ∗ sin� → � ∗ �1 −� ∗ �� ∗

sin�� −

�� = �∗ ∗ � = 0

�∗ = � ∗ �1 −� ∗ �� ∗

sin�� −

��

Ideal beam

Small displacements

1) We obtain geometric stiffness of system k* writing equilibrium equation in

deformed shape:

2) The value of load P that nullify this stiffness is the critical one:

Large displacements


deformed shape:


Real beam

Small displacements


deformed shape:


Large displacements


deformed shape:

5.2.1.1

5.2.1.1.1

5.2.1.1.2

5.2.1.2

5.2.1.2.1

5.2.1.2.2




�� =�� − �� → �� ∗ �

� =� − ��


Results

2) We report the evolution of critical load at varying of angle θ for all considered

situations:

3) In all situations, when angle θ increases, critical load becomes higher and this

means that post-critical behavior is stable.

4) When we consider real beam, at increasing of angle θ0, that models geometric

imperfection of system, critical load always results smaller.

Incremental method

Real beam

SAP2000

Modeling

1) The structure is modeled by a beam element to which we assign fictitious material

and section with high stiffness to keep strain low.

2) We made three models with a different value of starting rotation to model

geometric imperfection (θ0=0,1l, θ0=0,2l and θ0=0,3l).

3) We assign a rotational spring to the bottom end of beam and an axial load P to the

top, that will be used to set pushover analysis.

4) We define two nonlinear static load cases called P-SD and P-LD, that both use the

base load pattern P, previously defined. Pushover-SNG case considers only

I.B. - S.D.

I.B. - L.D.

R.B. - S.D.

R.B. - L.D.

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

-90,000 -60,000 -30,000 0,000 30,000 60,000 90,000

PL/k

θ (°)

Critical load

I.B.- S.D. I.B. - L.D. R.B.- S.D.- 0.1 R.B.- S.D.- 0.2

R.B.- S.D.- 0.3 R.B.- L.D.- 0.1 R.B.- L.D.- 0.2 R.B.- L.D.- 0.3

5.2.1.3

Figure 5.3

5.2.2

5.2.2.1

5.2.2.1.1

5.2.2.1.1.1




geometric nonlinearity parameter P-Delta (it coincides with previous small

displacement analysis) whereas Pushover-SG case considers both P-delta and large

displacements.

Results

1) We report results of incremental analysis compared with those ones by previous

analytical method:

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

-90,000 -60,000 -30,000 0,000 30,000 60,000 90,000

PL/k

θ (°)

Small displacements - θ = 0,1 L

Analytical SAP - Tolerance=0.01 SAP - Tolerance=0,0001

Figure 5.4

5.2.2.1.1.2

Figure 5.5




0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

-90,000 -60,000 -30,000 0,000 30,000 60,000 90,000

PL/k

θ (°)


Analytical SAP - Tolerance 0.1 SAP - Tolerance=0,0001

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

-90,000 -60,000 -30,000 0,000 30,000 60,000 90,000

PL/k

θ (°)


Analytical SAP - Tolerance=0.1 SAP - Tolerance=0.0001

Figure 5.6

Figure 5.7




� ∗ �� ∗ � = � ∗ � ∗ � → �� ∗ � − �� ∗ � = �∗ ∗ � = 0 → �∗ = (� ∗ � − �)

�� = � ∗ � → �� ∗ � = 1

Case B

Analytical method







Ideal beam

Small displacements


deformed shape:


0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

-90,000 -60,000 -30,000 0,000 30,000 60,000 90,000

PL/k

θ (°)

Large displacements

θ=0,1L θ=0,2L θ=0,3L

θ=0,1L - SAP θ=0,2L - SAP θ=0,3L - SAP

Figure 5.8

5.3

5.3.1

Figure 5.9

5.3.1.1

5.3.1.1.1




� ∗ �� ∗ sin� cos� = � ∗ � ∗ sin� → �� ∗ � cos� − �� ∗ � = �∗ ∗ � = 0

�∗ = �� ∗ � cos� − ��

�� = � ∗ � cos� → �� ∗ � = cos�

� ∗ �� − �� = � ∗ � ∗ � → � ∗ � ∗ �1 −�

� ∗ � −�� ∗ � = �∗ ∗ � = 0

�∗ = � ∗ � ∗ �1 −�

� ∗ � −��

�� = � ∗ � �1 − �� → �� ∗ � = �1 −��

� ∗ ��sin� − sin�� ∗ cos� = � ∗ � ∗ sin� � ∗ � ∗ ��sin� − sin�� ∗ cos�

� ∗ sin� −�

� ∗ � ∗ �� ∗ � = �∗ ∗ � = 0

�∗ = � ∗ � ��sin� − sin�� ∗ cos�� ∗ sin� −

��

�� = � ∗ � ��sin� − sin�� ∗ cos�sin� � → �� ∗ � =

�sin� − sin�� ∗ cos�sin�

Large displacements


deformed shape:


Real beam

Small displacements


deformed shape:


Large displacements


deformed shape:


.

5.3.1.1.2

5.3.1.2

5.3.1.2.1

5.3.1.2.2




Results


situations:


imperfection of system, critical load always results smaller.

3) In all situations of large displacements, when angle θ increases, critical load

becomes lower, so post-critical behavior is unstable. This happens because spring

reaction always pushes down beam at increasing of angle θ and, when it exceeds

90°, reaction makes an unfavorable contribution to stability. This condition is not

observable in conditions of small displacements because, by assumption, spring

does not change its position and stays at a distance l from bottom restraint of

beam.

Incremental method

Real beam

SAP2000

Modeling

1) We use same models previously described in case A, only with addition of a

translational spring on the top of the beam.

Results


analytical method:

I.B. - S. D

I.B. - L.D.

R.B. - S.D

R.B. - L.D.

-0,50

-0,25

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

-90,000 -60,000 -30,000 0,000 30,000 60,000 90,000

P/(kL)

θ (°)

Critical load

I.B. - S.D. I.B. - L.D. R.B. - S.D. - 0.1

R.B. - S.D. - 0.2 R.B. - S.D. - 0.3 R.B. - L.D. - 0.1

5.3.1.3

Figure 5.10

5.3.2

5.3.2.1

5.3.2.1.1

5.3.2.1.1.1

5.3.2.1.1.2




0,000

0,250

0,500

0,750

1,000

1,250

1,500

-90,000 -60,000 -30,000 0,000 30,000 60,000 90,000

PL/k

θ (°)


Analytical SAP - Tolerance=0.01 SAP - Tolerance=0,0001

0,000

0,250

0,500

0,750

1,000

1,250

1,500

-90,000 -60,000 -30,000 0,000 30,000 60,000 90,000

PL/k

θ (°)


Analytical SAP - Tolerance=0,1 SAP - Tolerance=0,0001

Figure 5.11

Figure 5.12




Case C

Analytical method







0,000

0,250

0,500

0,750

1,000

1,250

-90,000 -60,000 -30,000 0,000 30,000 60,000 90,000

PL/k

θ (°)


Analytical SAP - Tolerance=0,1 SAP - Tolerance=0,0001

0,000

0,250

0,500

0,750

1,000

-90,000 -60,000 -30,000 0,000 30,000 60,000 90,000

PL/k

θ (°)

Large displacements

θ=0,1L θ=0,2L θ=0,3L

θ=0,1L - SAP D - 0.2L - SAP θ=0,3L - SAP

Figure 5.13

Figure 5.14

5.4

5.4.1




� =�4

−�2

� = � ∗ √2 ∗ ��1 + sin� − sin�� − 1

� ∗ �� ∗ �√1 + � − 1 ∗ �1 − �� = � ∗ � ∗ � � ∗ � ∗ ��√1 + � − 1 ∗ �1 − ��

� −�

� ∗ �� ∗ � = �∗ ∗ � = 0

�∗ = � ∗ � ∗ ��√1 + � − 1 ∗ �1 − �� −

�� ∗ ��

�� = � ∗ � ∗�√1 + � − 1 ∗ �1 − ��

� → �� ∗ � =�√1 + � − 1 ∗ �1 − ��

�

� ∗ �� ∗ �√1 + sin� − 1 ∗ �cos ��4

−�2� cos� − sin ��

4−

�2�� = � ∗ � ∗ sin�

� ∗ �� ∗ ��√1 + sin� − 1 ∗ �cos ��

4−

�2� cos�

sin� − sin ��4

−�2�� −

�� ∗ �� ∗ � = 0

�∗ =� ∗ �� ∗ ��√1 + sin� − 1 ∗ �cos ��

4−

�2� cos�


−�2�� −

�� ∗ ��

3) We denote by α angle that spring makes with horizontal axis on deformed shape:

4) Elongation of spring:

This expression is obtained on assumptions of large displacements and beam with

geometric imperfection, but it can be used also in other situation setting:

• �� − �� = � − �� !��

• �� = 0"��#��

Ideal beam

Small displacements


deformed shape:


Large displacements


deformed shape:

Figure 5.14

5.4.1.1

5.4.1.1.1

5.4.1.1.2




�� = � ∗ � ∗ �√1 + sin� − 1 ∗ �cos ��4

−�2� cos�


−�2��

�� ∗ � = �√1 + sin� − 1 ∗ �cos ��4

−�2� cos�


−�2��

� ∗ �� ∗ ��1 + � − �� − 1 ∗ �1 − �� = � ∗ � ∗ � � ∗ � ∗ ��1 + � − �� − 1 ∗ �1 − ��

� −�

� ∗ �� ∗ � = �∗ ∗ � = 0

�∗ = � ∗ � ∗ ��1 + � − �� − 1 ∗ �1 − �� −

�� ∗ ��

�� = � ∗ � ∗��1 + � − �� − 1 ∗ �1 − ��

� �� ∗ � =

��1 + � − �� − 1 ∗ �1 − ��

� ∗ �� ∗ ��1 + sin� − sin �� − 1� ∗ �cos ��4−�2 cos� − sin ��

4−�2 = ∗ � ∗ sin �

� ∗ �� ∗ ��1 + sin� − sin �� − 1� ∗ �cos ��

4−�2 cos�sin� − sin ��

4−�2−

� ∗ � ∗ � = 0

�∗=

� ∗ �� ∗ ��1 + sin� − sin�� − 1� ∗ �cos ��

4−�2 cos�sin� − sin ��

4−�2−

� ∗ �

�� = � ∗ � ∗ ��1 + sin� − sin�� − 1 ∗ �cos ��4

−�2� cos�


−�2��

�� ∗ � = ��1 + sin� − sin�� − 1 ∗ �cos ��4

−�2� cos�


−�2��


Real beam

Small displacements


deformed shape:


Large displacements


deformed shape:


Results


situations:

5.4.1.2

5.4.1.2.1

5.4.1.2.2

5.4.1.3




2) Critical load becomes lower for positives values of angle θ and this means that post-

critical behavior is stable.


imperfection of system, critical load always becomes smaller.

I.B.

R.B.

-1,00

-0,75

-0,50

-0,25

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

-45,000 -15,000 15,000 45,000

P/(kL)

θ (°)

Critical load - Small displacements

I.B. R.B. - 0,1 R.B. - 0,2 R.B. - 0,3

I.B.

R.B.

-1,00

-0,75

-0,50

-0,25

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

-45,000 -15,000 15,000 45,000

P/(kL)

θ (°)

Critical load - Large displacements

I.B. R.B - 0.1 R.B - 0.2 R.B - 0.3

Figure 5.15

Figure 5.16




Incremental method

Real beam

SAP2000

Modeling

1) We use same models previously described in case B, only with substitution of

translational spring on the top of the beam with the sloping one, fixed to the base.

2) Sloping spring is modeled by a beam element to which we assign fictitious material

with elastic modulus equal to spring stiffness and zero weight per unit volume.

Results


analytical method:

s

s

-0,5

-0,25

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

-90,000 -60,000 -30,000 0,000 30,000 60,000 90,000

PL/k

θ (°)


Analytical SAP - Tolerance=0,1

-0,5

-0,25

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

-90,000 -60,000 -30,000 0,000 30,000 60,000 90,000

PL/k

θ (°)



5.4.2

5.4.2.1

5.4.2.1.1

5.4.2.1.1.1

5.4.2.1.1.2

Figure 5.17

Figure 5.18




-0,5

-0,25

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

-90,000 -60,000 -30,000 0,000 30,000 60,000 90,000

PL/k

θ (°)



-0,5

-0,25

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

-90 -60 -30 0 30 60 90

PL/k

θ (°)

Small displacements - SAP - Tolerance=0,1

θ = 0,1 L θ = 0,2 L θ = 0,3 L

Figure 5.19

Figure 5.20




-0,500

-0,250

0,000

0,250

0,500

0,750

1,000

1,250

-90,000 -60,000 -30,000 0,000 30,000 60,000 90,000

PL/k

θ (°)

Large displacements - θ = 0,1 L


-0,500

-0,250

0,000

0,250

0,500

0,750

1,000

1,250

-90,000 -60,000 -30,000 0,000 30,000 60,000 90,000

PL/k

θ (°)



Figure 5.20

Figure 5.21




-0,500

-0,250

0,000

0,250

0,500

0,750

1,000

1,250

-90,000 -60,000 -30,000 0,000 30,000 60,000 90,000

PL/k

θ (°)



-0,5

-0,25

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

-90 -60 -30 0 30 60 90

PL/k

θ (°)

Large displacements - SAP - Tolerance=0,0001

θ = 0,1 L θ = 0,2 L θ = 0,3 L

Figure 5.22

Figure 5.23

Exercise n.6: Evolution of the load-displacement curve of a three-hinged arch



e

EXERCISE N.6

6.1

Figure 6.1

EVOLUTION OF THE LOAD-DISPLACEMENT CURVE OF A THREE-HINGED ARCH

Outline

1) Identify numerically the load-displacement curve of a three-hinged arch with

lowering H0/L0 = 0.1, highlighting different mechanism of instability at varying of

slenderness. In particular, consider two distinct values of slenderness: λ1 = 50

(squat beam) and λ2 = 75 (slender beam).

2) Geometry data:

• �� = 4��ℎ��

• ��

��= 0,1��ℎ ��

• �� = 4��

• �� = 5,71°��

• � = 4�� ℎ


• �� = 50� ��

� � =�

�= 0,0804��

� = 12�� = 0,2785��

� � = � = 0,0776��

� ! =��

��= 0,0005�"��

• �� = 75� ��

� � =�

�= 0,0536��

� = 12�� = 0,1857��

� � = � = 0,0345��

� ! =��

��= 0,0001�"��




� = �� ∗ tan� = � ∗ cos�� ∗ tan�

�∗ =�

sin� =� ∗ cos�� ∗ tan �

sin�

∆� = �� − �∗ = �� − #1 −cos�� ∗ tan �

sin� $

% =&�� = 1 −

cos�� ∗ tan�sin�

' = ( ∗ %) = (� ∗ %

) = (� ∗ #1 −cos�� ∗ tan�

sin� $

*+ = 0

, − 2 ∗ ) ∗ sin� = 0

Analytical method




2) We make following assumptions to study the stability of elastic equilibrium:

• Large displacements

• Equilibrium on deformed shape

This means that we do a complete discussion of problem, without any

simplification.

3) First of all, we write expressions of kinematic quantities on deformed shape with

geometric relations:

Congruence

1) We write congruence equation:



Equilibrium


6.2

Figure 6.2

6.2.1

6.2.2

6.2.3




, − 2 ∗ (� ∗ #1 −cos�� ∗ tan�

sin� $ ∗ sin� = 0

, = 2 ∗ (� ∗ -sin� − cos�� ∗ tan�. ,( = 2 ∗ � ∗ -sin� − cos�� ∗ tan�.

Solution


2) We report the evolution of vertical load P at increasing of vertical displacement v:

3) Structure has a step-through behavior: load P increases till critical value, then it

decreases to reach the minimal one (it is the same absolute value) and, after that, it

restarts to increase till this yield point of beam.

4) Structure has this behavior because, when load reaches critical value, it turns from

stable shape to unstable shape and its bearing capacity decreases till it reaches a

new stable configuration.

Pcrit/E

2,94E-05 m^-2

Pcrit/E

1,31E-05 m^-2

-0,00004

-0,00002

0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

P/E (m^2)

Displacement v (m)

Load-Displacement

λ1=50 λ2=75

6.2.4

Figure 6.5

Figure 6.6




,��,��( =

/� ∗ !�� = 3,06 ∗ 10 �� >

1

2

,��,��( = 1,47 ∗ 10 ��

,��,��( =

/� ∗ !�� = 6,05 ∗ 10 �� > 1

2

,��,��( = 6,55 ∗ 10 ��

5) During first step, beams are shortened, then they start to be stretched until failure.

Magnitude of strength properties are inversely proportional to beam slenderness.

6) In both considered cases, structure has a step-through behavior because axial force

in beam is lower than maximum value that they can carry without buckling:

7) When slenderness increase, critical load decreases and it can be lower than

buckling one, so structure cannot develop its snap-through behavior because

beams lose their stiffness for buckling failure.

Incremental method

SAP2000

Modeling

1) The structure is modeled by two beam element, fixed at bottom ends by external

hinges. Middle hinge is modeled by assigning M3 releases to top ends of beam.

2) We define two different sections with geometric dimensions previously described.

3) We assign a vertical force P on middle hinge, that will be used to set pushover

analysis.

Figure 6.7

6.3

6.3.1

6.3.1.1

Figure 6.8




4) We define a nonlinear static load cases called P-LD, that use base load pattern P,

previously defined, and considers geometric nonlinearity parameters P-Delta and

large displacements.

Results


analytical method:

-0,00004

-0,00002

0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

P/E

(1

/m^

2)

Displacement v (m)

Load-Displacement

Analytical - λ1=50 Analytical - λ2=75

Figure 6.9

6.3.1.2

Figure 6.10

FACULTY OF CIVIL AND INDUSTRIAL ENGINEERING

Department of Structural and Geotechnical Engineering

A.A. 2012 – 2013

Course:

Steel Constructions

Dynamic analyzes of a cantilever beam

Professor: Student:


Assistants:



Rome, November 2013

Dynamic analyses of a cantilever beam A.A. 2012/2013

Rome, AUGUST 2013

INDEX

1. Outline ................................................................................................................................... 1

2. Modeling ................................................................................................................................ 1

2.1 ANSYS ...................................................................................................................................................... 1

2.1.1 BEAM3 element............................................................................................................................... 2

2.1.2 PLANE183 element .......................................................................................................................... 3

3. Analyzes ................................................................................................................................. 4

3.1 Modal analysis ......................................................................................................................................... 4

3.1.1 Results ............................................................................................................................................. 5

3.1.1.1 Case 1 - L=1 m ......................................................................................................................... 5

3.1.1.2 Case 2 - L=2 m ......................................................................................................................... 6

3.2 Transient analysis .................................................................................................................................... 8

3.2.1 Results ........................................................................................................................................... 11

3.2.1.1 Case 1 - L=1 m ....................................................................................................................... 11

3.2.1.2 Case 2 - L=2 m ....................................................................................................................... 13

3.3 Fatigue analysis ..................................................................................................................................... 16

3.3.1 Material fatigue properties ........................................................................................................... 16

3.3.2 Events and loadings ....................................................................................................................... 17

3.3.3 Locations ....................................................................................................................................... 18

3.3.4 Rainflow counting method ............................................................................................................ 18

3.3.5 Miner's rule ................................................................................................................................... 18

3.3.6 Results ........................................................................................................................................... 19

3.3.6.1 Case 1 - L=1 m ....................................................................................................................... 19

3.2.6.2 Case 2 - L=2 m ....................................................................................................................... 21

Dynamic analyses of a cantilever be

Rome, November 2013

1.

Figure 1

2.

2.1

Outline

1) We report d

2) Material dat

• � �

• � �

• � �

3) We conside

• Cas

-

-

• Cas

-

-

4) We make th

• Mo

• Tran

• Fat

5) We model s

• BEA

• PLA

Modeling

ANSYS

1) ANSYS is a g

a wide varie

structural an

well as acou

2) In general, a

that can be

• Preproc

The majo

- Def

- Def

- Me

eam

dynamic analyzes of a simple cantilever beam sh

ata:

� 2,068 ∗ 10��/��

� 7830��/��

0,3� ��

er two different cases:

ase 1

- L = 1 m

- Cyclic load (harmonic) at the end of the beam

ase 2

- L = 2 m

- Two cyclic loads (harmonic) in the middle and

hree different anlyzes:

odal analysis

ansient analysis under a time-varying load

atigue analysis

structure with two different element type:

AM3 (2D elastic beam)

ANE183 (2D 8-node structural solid)

a general purpose finite element modeling package

iety of mechanical problems. These problems incl

analysis (both linear and non-linear), heat transfe

ustic and electro-magnetic problems.

a finite element solution may be broken into the

used for setting up any finite element analysis.

cessing: defining the problem

ajor steps in preprocessing are given below:

fine keypoints/lines/areas/volumes

fine element type and material/geometric proper

sh lines/areas/volumes as required

A.A. 2012/2013

Pag. 1

own below:

d at the end of the beam.

e for numerically solving

lude: static/dynamic

er and fluid problems, as

e following three stages,

rties


Rome, November 2013 Pag. 2

• Solution: assigning loads, constraints and solving

We specify the loads (point or pressure), constraints (translational and

rotational) and finally solve the resulting set of equations.

• Postprocessing: further processing and viewing of the results

In this stage one may wish to see:

- Lists of nodal displacements

- Element forces and moments

- Deflection plots

- Stress contour diagrams

BEAM3 element

1) BEAM3 is a uniaxial element with tension, compression, and bending capabilities.

The element has three degrees of freedom at each node: translations in the nodal x

and y directions and rotation about the nodal z-axis.

2) The element is defined by two nodes, the cross-sectional area, the area moment of

inertia, the height, and the material properties.

3) We report the command line codes to create model of the cantilever beam with

BEAM3 element in ANSYS, in both cases analyzed:

(Entering in preprocessor section)

/PREP7

(Setting general constants)

Length=1 Width=0.01 Height=0.01 Elastic modulus=2.06E11 Poisson ratio=0.3 Density=7830

(Defining geometry)

K,1,0,0 K,1,0,0 K,2,Length,0 K,2,Length,0 L,1,2 K,3,2*Length,0 L,1,2 L,2,3

(Defining element type and its real constants)

ET,1,BEAM3 R,1,Width*Height,Width*(Height**3)/12,Height

2.1.1

Figure 2



(Defining element material properties)

MP,EX,1,Elastic modulus MP,PRXY,1,Poisson ratio MP,DENS,1,Density

(Defining mesh size and meshing)

LESIZE,ALL,Length/10 LMESH,ALL

FINISH

PLANE183 element

1) PLANE183 is a higher order 2-D, 8-node or 6-node element. PLANE183 has

quadratic displacement behavior and is well suited to modeling irregular meshes.

2) This element is defined by 8 nodes or 6-nodes having two degrees of freedom at

each node: translations in the nodal x and y directions. The element may be used as

a plane element (plane stress, plane strain and generalized plane strain) or as an

axisymmetric element. 3) This element has plasticity, hyperelasticity, creep, stress stiffening, large deflection,

and large strain capabilities. It also has mixed formulation capability for simulating

deformations of nearly incompressible elastoplastic materials, and fully

incompressible hyperelastic materials.

4) We report the command line codes to create model of the cantilever beam with

PLANE183 element in ANSYS,in both cases analyzed.

(Entering preprocessor)

/PREP7

(Setting general constants)

Length=1 Width=0.01 Height=0.01 Elastic modulus=2.06E11 Poisson ratio=0.3 Density=7830

(Defining element type and its real constants)

ET,1,PLANE183 KEYOPT,1,1,0 (Element shape: 8-node quadrilateral) KEYOPT,1,3,3 (Element behavior: plane stress with thickness) R,1,0.01

2.1.2

Figure 3



(Defining element material properties)

MP,EX,1,Elastic modulus MP,PRXY,1,Poisson ratio MP,DENS,1,Density

(Defining geometry)

RECTNG,0,1,-0.005,0.005, RECTNG,0,2,-0.005,0.005,

(Defining mesh size and meshing)

LSEL,S,LINE,,2,4,2,0 LESIZE,ALL,,,2, LSEL,NONE LSEL,S,LINE,,1,3,2,0 LESIZE,ALL,,,10, LSEL,NONE LSEL,ALL AMESH,ALL FINISH

Analyzes

Modal analysis

1) Modal analysis determines the vibration characteristics (natural frequencies and

mode shapes) of a structure or a machine component. It can also serve as a starting

point for another, more detailed, dynamic analysis, such as a transient dynamic

analysis, a harmonic analysis, or a spectrum analysis. The natural frequencies and

mode shapes are important parameters in the design of a structure for dynamic

loading conditions.

2) We report the command line codes to perform modal analysis of the cantilever

beam with in all cases analyzed:

(Entering in solution processor)

/SOLU

(Defining analysis type)

ANTYPE,MODAL

(Setting option for analysis type)

MODOPT,SUBSP,5

EQSLV,FRONT

MXPAND,5

(Applying constraints)

DK,1,ALL BEAM3-Nodal constraint

or

DL,4,,ALL PLANE183-Linear constraint

(Solving)

SOLVE

FINISH

3.

3.1



Results

1) We report the command line codes to see results of modal analysis in all cases

analyzed:

(Entering postprocessor)

/POST1

(Selecting results set to read)

SET,LIST SET,FIRST First mode

(Plotting deformed shape)

PLDISP

Case 1 - L=1 m

1) We report deformed shape for all modes, compared between two models created:

3.1.1

3.1.1.1

Figure 4

Figure 5

Figure 6



BEAM3 PLANE183

Mode f (Hz) f (Hz) Error

1 8,2856 8,2975 0,14%

2 51,921 51,981 0,12%

3 145,38 145,54 0,11%

4 285,02 285,5 0,17%

5 471,72 473,56 0,39%

Case 2 - L=2 m

1) We report deformed shape for all modes, compared between two models created:

Figure 7

Figure 8

3.1.1.2

Figure 9


Rome, November 2013

Figure 10

Figure 11

Figure 12

Figure 13

eam

A.A. 2012/2013

Pag. 7



1.3.1.2

Figure 1.5

Figure 1.6

3.2

Figure 14

�(�) = �� ∗ cos(Ωt)

��(�) = �� ∗ cos(Ω�t)

BEAM3 PLANE183

Mode f (Hz) f (Hz) Error

1 2,0714 2,073 0,08%

2 12,981 12,99 0,07%

3 36,346 36,366 0,05%

4 71,223 71,254 0,04%

5 117,74 117,78 0,03%

Transient analysis

1) Transient analysis is used to determine the dynamic response of a structure under

the action of any general time-dependent loads. It is used to determine the time-

varying displacements, strains, stresses, and forces in a structure as it responds to

any transient loads. The time scale of the loading is such that the inertia or damping

effects are considered to be important.

2) For case 1,we apply an harmonic cyclic load at the end of the beam. Frequency of

the load is set equal to frequency of the first mode of structure from modal

analysis:

• �� = 10�

• Ω = 2Π ∗ �� = 8,28��/

3) For case 2,we apply two harmonic cyclic loads: the first one in the middle and the

second the at the end of the beam. Frequency of first load is set equal to frequency

of the first mode of structure from modal analysis, while frequency of second load

is set 1,6 times greater:

• �� = 10�

• Ω� = 2Π ∗ �� = 13,01��/

• Ω� = 1,6 ∗ (2Π ∗ ��) = 20,81��/

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 0,5 1 1,5 2 2,5

f (k

N)

t (s)

CASE 1 - f (t) = P0*COS(Ωt)



3) We report the command line codes to perform transient analysis of the cantilever

beam with in all cases analyzed:

(Entering in solution processor)

/SOLU

(Defining analysis type)

ANTYPE,TRANS

(Applying constraints)

DK,1,ALL BEAM3-Nodal constraint

or

DL,4,,ALL PLANE183-Linear constraint

(Defining load vector from external .txt file)

CASE1

NSTEP=500

*DIM,FORCE,TABLE,NSTEP,1

*TREAD,FORCE,'f','txt','Desktop\eser1\', ,

CASE2

NSTEP=500

*DIM,FORCE2,TABLE,NSTEP,1


*TREAD,FORCE2,'f2','txt','Desktop\eser2\', ,


(Applying load with a do-loop and solving)

CASE1 - BEAM3

TM_START=1E-8

TM_INCR=0.005

TM_END=NSTEP*TM_INCR-TM_INCR

*DO,TM,TM_START,TM_END,TM_INCR

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 0,5 1 1,5 2 2,5

f (k

N)

t (s)

CASE 2 - f (t) = P0*COS(Ωt)

MIDDLE END

Figure 15



TIME,TM

FK,2,FY,FORCE(TM)

SOLVE

*ENDDO

FINISH

CASE2 - BEAM3

TM_START=1E-8

TM_INCR=0.01



TIME,TM

FK,2,FY,FORCE2(TM)

FK,3,FY,FORCE3(TM)

SOLVE

*ENDDO

FINISH

CASE1 - PLANE183

TM_START=1E-8

TM_INCR=0.005



TIME,TM

F,2,FY,FORCE(TM)

F,22,FY,FORCE(TM) Load is divided into 5 parts and is applied to 5

F,23,FY,FORCE(TM) nodes along the vertical section

F,24,FY,FORCE(TM)

F,25,FY,FORCE(TM)

SOLVE

*ENDDO

FINISH

CASE2 - PLANE183

NSTEP=500





TM_START=1E-8

TM_INCR=0.01



TIME,TM


Rome, November 2013

F,606

F,202

F,1206

F,1207

F,1208

F,2,FY

F,402

F,403

F,404

F,405

SOLV

*ENDD

FINIS

Results

Case 1 - L=1m

3) We report

(Enterin

/POST

(Definin

NSOL

or

NSOL

STORE

(Plottin

PLVA

4) The respon

3.2.1

3.2.1.1

Figure 16

eam

6,FY,FORCE2(TM)

2,FY,FORCE2(TM)

06,FY,FORCE2(TM) Load is divided into 5

07,FY,FORCE2(TM) nodes along the verti

08,FY,FORCE2(TM)

FY,FORCE3(TM)

2,FY,FORCE3(TM)

3,FY,FORCE3(TM)

4,FY,FORCE3(TM)

5,FY,FORCE3(TM)

VE

DDO

SH

the command line codes to see results of transie

ing in time-history postprocessor)

ST26

ing free end displacement as variable)

L,2,2,U,Y,UY BEAM3

L,2,24,U,Y,UY PLANE183

RE,MERGE

ng variable vs. time)

AR,2

se curve from ANSYS:

A.A. 2012/2013

Pag. 11

parts and is applied to 5

ical section

ient analysis in case 1:


Rome, November 2013

5) Adding dam

(Enterin

/PREP

(Definin

BETAD

6) We report t

-1,50

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

1,50

0,00

Dis

pla

cem

en

ts (

m)

Figure 17

Figure 18

eam

amping to the model, response curve become:

ing preprocessor)

EP7

ing constant of stiffness matrix multiplier to obtai

AD,0.002

the comparison of results between two models an

0,50 1,00 1,50

Time (s)

Response curve

BEAM3 PLANE183

A.A. 2012/2013

Pag. 12

ain damping matrix)

analyzed:

2,00 2,50



Case 2 - L=2 m

1) We report the command line codes to see results of transient analysis in case 1:

(Entering in time-history postprocessor)

/POST26

(Defining free end displacement as variable)

NSOL,2,2,U,Y,UY-END BEAM3

NSOL,3,12,U,Y,UY-MIDDLE or

NSOL,2,1207,U,Y,UY-MIDDLE PLANE183

NSOL,3,404,U,Y,UY-END STORE,MERGE

(Plotting variable vs. time)

PLVAR,2

2) The response curve from ANSYS:

-0,20

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50

Dis

pla

cem

en

ts (

m)

Time (s)

Response curve with damping

BEAM3 PLANE183

Figure 19

3.2.1.2


Rome, November 2013

3) Adding dam

(Enterin

/PREP

(Definin

BETAD

In this damp

developme

Figure 20

Figure 21

eam

ping to the model, response curve become:

ng preprocessor)

EP7

ng constant of stiffness matrix multiplier to obtai

AD,0.01

ped case, we increased number of substeps to hi

nt of response.

A.A. 2012/2013

Pag. 14

ain damping matrix)

ighlight the



4) We report the comparison of results between two models analyzed:

-4,00

-3,00

-2,00

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10

Dis

pla

cem

en

ts (

m)

Time (s)

Response curves

BEAM3 - MIDDLE BEAM3 -END

PLANE183 - MIDDLE PLANE183 - END

-0,60

-0,40

-0,20

0,00

0,20

0,40

0,60

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00

Dis

pla

cem

en

ts (

m)

Time (s)

Response curves with damping

BEAM3 - MIDDLE BEAM3 - END

PLANE 183 - MIDDLE PLANE 183 - END

Figure 22

Figure 23



Fatigue analysis

1) Fatigue is the phenomenon in which a repetitively loaded structure fractures at a

load level less than its ultimate static strength. For instance, a steel bar might

successfully resist a single static application of a 300 kN tensile load, but might fail

after 1,000,000 repetitions of a 200 kN load.

2) The primary factors that contribute to fatigue failures include:

• Number of load cycles experienced

• Range of stress experienced in each load cycle

• Mean stress experienced in each load cycle

• Presence of local stress concentrations

3) The procedure normally consists of four general steps:

• Establish the size (the number of locations, events, and loadings), define the

fatigue material properties, identify stress locations, and define stress

concentration factors.

• Store stresses at locations of interest for various events and loadings; assign

event repetitions and scale factors.

• Activate the fatigue calculations.

• Review the results.

4) We perform fatigue analysis only for PLANE183-models with damping in case 1 and

case 2, because ANSYS is not able to read stress results from previous analysis for

line-element.

Material fatigue properties

1) Material fatigue properties are described by:

where Su=690 MPa is the ultimate strength and Se is the endurance limit (fatigue

limit). We assume the ratio Se/ Su=0.6.

0,00E+00

1,00E+08

2,00E+08

3,00E+08

4,00E+08

5,00E+08

6,00E+08

7,00E+08

8,00E+08

1,00E+00 1,00E+01 1,00E+02 1,00E+03 1,00E+04 1,00E+05 1,00E+06 1,00E+07

Str

ess

am

pli

tud

e (

N/m

^2

)

Number of Cycles

S-N curve

3.3

3.3.1

Figure 24



Events and loadings

1) An event is a set of stress conditions that occur at different times during a unique

stress cycle.

2) A loading is one of the stress conditions that is part of an event.

3) The alternating stress intensity is a measure of the difference in stress state

between any two loadings. The program does not adjust the alternating stress

intensity for mean-stress effects.

4) We rely on response curves from previous transient analysis to define events and

loads. We choose, as time steps for storing stress, those corresponding to peaks of

displacement in the stationary part of the answer and group them as shown below:

CASE 1

STEP t (s) u (m) Event no. Load no. f (N) No. of repetitions

321 1,6 0,174 1 1 -1,457 500

333 1,66 -0,174 1 2 1,316 500

3.3.2

Figure 25

Figure 26



��

�

��

= 1

CASE 2

STEP t (s) u-Mid (m) u-End (m)

Event

no.

Load

no. f-Mid (N) f-End (N)

No. of

repetitions

497 4,96 0,163 0,469 1 1 -1,079 -8,981 1000

518 5,17 -0,148 -0,422 2 2 -2,976 7,158 1000

546 5,45 0,097 0,299 3 3 -1,966 9,503 1000

571 5,7 -0,153 -0,445 4 4 3,030 7,221 1000

592 5,91 0,161 0,459 5 5 1,022 -8,941 1000

615 6,14 -0,107 -0,317 6 6 -2,499 -5,127 1000

644 6,43 0,136 0,402 7 7 -3,687 -2,860 1000

665 6,64 -0,167 -0,479 8 8 -0,327 9,986 1000

687 6,86 0,129 0,372 9 9 3,078 -1,854 1000

717 7,16 -0,115 -0,347 10 10 4,326 -2,248 1000

Locations

1) A location is a node in your model for which fatigue stresses are to be stored. 2) In both cases, we define three locations along beam for which fatigue stress are to

be stored

• Fixed end

• Middle

• Free end

Selected nodes are those on the top of the beam.

Rainflow counting method

1) Structures are usually subjected to a variety of maximum and minimum stresses,

which occur in unknown (or even random) order. Therefore, you must take care to

achieve an accurate count of the number of repetitions of all possible stress ranges,

in order to obtain a valid fatigue usage factor.

2) The ANSYS program automatically calculates all possible stress ranges and keeps

track of their number of occurrences, using a technique commonly known as the

"rain flow" range-counting method.

3) At a selected nodal location, a search is made throughout all of the events for the

pair of loadings (stress vectors) that produces the most severe stress-intensity

range. The number of repetitions possible for this range is recorded, and the

remaining number of repetitions for the events containing these loadings is

decreased accordingly. At least one of the source events will be "used up" at this

point; remaining occurrences of stress conditions belonging to that event will

subsequently be ignored. This process continues until all ranges and numbers of

occurrences have been considered.

Miner's rule

1) To account for variable amplitude loading, the S-N curve is supplemented by an

additional rule which permits the fatigue assessment to be undertaken.

2) Miner’s Rule is based upon the concept of fatigue damage and states that failure

occurs when:

• ni = number of applied load cycles of type i

• Ni = maximum nuber of allowable load cycles of type i from S-N curve

3.3.3

3.3.4

3.3.5



Results

Case 1 = L=1m

1) We report the command line codes to perform fatigue analysis:

(Entering in general postrocessor)

/POST1

(Selecting step results to read)

SET,LIST,999

SET,,, ,,, ,321

(Setting S-N table)

FP,1,10,1000,10000,100000,1000000,

FP,7, , , , , ,

FP,13, , , , , ,

FP,19, ,

FP,21,69.0e7,68.9e7,51.2e7,42.2e7,34.8e7,

FP,27, , , , , ,

FP,33, , , , , ,

FP,39, ,

(Setting locations)

FL,1,26,,,,Fixed end

FL,2,36,,,,Middle


(Storing stresses to define events and loadings)

FSNODE,26,1,1,

FSNODE,36,1,1,

FSNODE,22,1,1,

(Skipping to second step to read and storing stresses)

SET,LIST,999

SET,,, ,,, ,333

FSNODE,26,1,2,

FSNODE,36,1,2,

FSNODE,22,1,2,

(Assigning events)

FE,1,500,1,load1

(Calculating fatigue for every location)

FTCALC,1

FTCALC,2

FTCALC,3

2) We report the the results window:

3.3.6.

3.3.6.1


Rome, November 2013

The combin

stress inten

from the S-

partial usag

The Cumulat

and in this

event.

Figure 27

Figure 28

Figure 29

eam

ination of event 1, load 1 and event 1, load 2

nsity of 0.64756E+09 N/m2. The beam was subjec

-N table the maximum cycles allowed at that stre

age value,0.30907, is the ratio of cycles used/cycle

lative Fatigue Usage value is sum of the partial us

s case it coincides with partial usage factor be

A.A. 2012/2013

Pag. 20

produces an alternating

cted to 500 cycles while

ess intensity is 1618. The

es allowed.

sage factor (Miner's rule)

ecause there's only one



Case 2 = L=2m

1) We report the command line codes to perform fatigue analysis:

(Entering in general postrocessor)

/POST1

(Selecting step results to read)

SET,LIST,999

SET,,, ,,, ,497

(Setting S-N table)

FP,1,10,1000,10000,100000,1000000,

FP,7, , , , , ,

FP,13, , , , ,

FP,13, , , , , ,

FP,19, ,

FP,21,69.0e7,68.9e7,51.2e7,42.2e7,34.8e7,

FP,27, , , , , ,

FP,33, , , , , ,

FP,39, ,

(Setting locations)


FL,2,606,,,,Middle

FL,3,402,,,,Free end

(Storing stresses to define events and loadings)

FSNODE,406,1,1,

FSNODE,606,1,1,

FSNODE,402,1,1,

(Skipping to following step to read and storing stresses)

SET,LIST,999

SET,,, ,,, ,546

FSNODE,406,3,1,

FSNODE,606,3,1,

FSNODE,402,3,1,

SET,LIST,999

SET,,, ,,, ,571

FSNODE,406,4,1,

FSNODE,606,4,1,

FSNODE,402,4,1,

SET,LIST,999

SET,,, ,,, ,615

FSNODE,406,6,1,

FSNODE,606,6,1,

FSNODE,402,6,1,

3.3.6.2.



SET,LIST,999

SET,,, ,,, ,644

FSNODE,406,7,1,

FSNODE,606,7,1,

FSNODE,402,7,1,

SET,LIST,999

SET,,, ,,, ,665

FSNODE,406,8,1,

FSNODE,606,8,1,

FSNODE,402,8,1,

SET,LIST,999

SET,,, ,,, ,687

FSNODE,406,9,1,

FSNODE,606,9,1,

FSNODE,402,9,1,

SET,LIST,999

SET,,, ,,, ,717

FSNODE,406,10,1,

FSNODE,606,10,1,

FSNODE,402,10,1,

(Assigning events)

FE,1,1000,1,load1

FE,2,1000,1,load2

FE,3,1000,1,load3

FE,4,1000,1,load4

FE,5,1000,1,load5

FE,6,1000,1,load6

FE,7,1000,1,load7

FE,8,1000,1,load8

FE,9,1000,1,load9

FE,10,1000,1,load10

(Calculating fatigue for every location)

FTCALC,1

FTCALC,2

FTCALC,3


Rome, November 2013

2) We report

The combin

stress inten

from the S

The partial

The combin

stress inten

from the S

The partial

The combin

stress inten

from the S-

The partial

The combin

stress inten

from the S-

The partial

The combin

stress inten

from the S-

The partial

The Cumulat

Figure 30

eam

the the results window:



S-N table the maximum cycles allowed at that s

al usage value,0.02709, is the ratio of cycles used/c



S-N table the maximum cycles allowed at that s




-N table the maximum cycles allowed at that st




-N table the maximum cycles allowed at that str

al usage value,0.001, is the ratio of cycles used/cyc



-N table the maximum cycles allowed at that str

al usage value,0.001, is the ratio of cycles used/cyc

lative Fatigue Usage value is sum of the partial us

A.A. 2012/2013

Pag. 23



stress intensity is 36910.

/cycles allowed.



stress intensity is 69740.

/cycles allowed.



tress intensity is 240200.

/cycles allowed.



ress intensity is 1000000.

cles allowed.



ress intensity is 1000000.

cles allowed

sage factor (Miner's rule)


Rome, November 2013

Figure 31

Figure 32

eam

A.A. 2012/2013

Pag. 24

CM - elaborato RADDI

Education

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