MISURE DI ACCOMPAGNAMENTO 2013-2014

PROGETTO DI FORMAZIONE E RICERCA

Rete Scolastica

INNOVARE RINNOVANDO

LA RETE CHE ACCOGLIE

RICERCA-AZIONE

DESCRIZIONE DELL ESPERIENZA

Nome della scuola

I.C. L. Settembrini

San Leucio del Sannio

Tipo di Scuola

Scuola secondaria di primo grado - Ceppaloni

Docente/i Fioravante BOSCO

Classe coinvolta

III A

Tipologia di esercitazione (Reti semantiche, grappolo associativo, titolazione, gerarchia degli scopi, definizione. Almeno una esercitazione per ogni tipologia per ogni scuola)

Classificazione. Aggregazione. Generalizzazione.

Definizione. Reti semantiche.

Modalità, fasi e strumenti di realizzazione

- La vera innovazione didattica che consenta di sviluppare competenze consiste nello sviluppo dei processi cognitivi attraverso cui i nostri alunni trattano, elaborano e trasferiscono le conoscenze: processi percettivi, mnestici, induttivi, deduttivi, dialettici e creativi. C. Petracca

Fase UNICA

Come creare una definizione collaborativa di MONOMIO

Attività Docente Alunni Conversazione clinica Animazione Produzione di idee. Analisi delle idee prodotte. Uso di testi specifici (libri di testo)

Mediazione Ricerca informazioni.

Verbalizzazione Mediazione Sistemazione idee e informazioni (bibliografia)

Ricerca della Definizione Astrazione

Guida a riflessioni e considerazioni

Scoperta delle relazioni. SN +SN+SV Sintagma Nominale+Sintagma Nominale+Sintagma Verbale

La didattica come mediazione. Processo di facilitazione messo in atto dall insegnante per favorire il buon apprendimento, incoraggiando esperienze di successo e sviluppando interesse e, soprattutto, motivazione intrinseca.

La centralità della relazione comporta una didattica che da lineare ed unidirezionale si faccia circolare e negoziata.

L insegnante non solo guida l esplorazione, ma innesca, organizza e coordina la ricerca.

Il gioco rappresenta un valore aggiunto, un mezzo per ottenere una partecipazione motivata e attiva con scopi chiari e condivisi.

Prodotto ottenuto

MONOMIO COME CREARE UNA DEFINIZIONE COLLABORATIVA

2

2

1x

MONOMI COME CREARE UNA DEFINIZIONE COLLABORATIVA

Significato di Monomio

Monomio deriva da una parola greca monos

che significa unico, solo, uno solo, e indica un espressione

letterale composta da un solo Termine.

E molto usato come prefisso di molte parole composte.

Nel linguaggio comune: monolocale, monosillabo (parola costituita da una sola sillaba) ecc.

Nel linguaggio scientifico: monocellulare (organismo costituito da una sola cellula), monoatomica

(molecola che contiene un solo atomo) ecc

La Somma Algebrica di due o più Monomi è un Polinomio; i singoli Monomi che formano il Polinomio

costituiscono i Termini del Polinomio stesso. Ne consegue che i Monomi sono Polinomi con un unico

Termine.

Caratterizzazione di Monomio e/o Termine (unico)

Un Monomio e/o Termine è caratterizzato da

un Segno, da una Parte Numerica

(coefficiente), da una Parte Letterale e

dall esponente della parte letterale.

Esempio

Il Monomio è caratterizzato da:

- segno meno ( )

- coefficiente (parte numerica) 1/2

- parte letterale x

- esponente della parte letterale 2

yx23

?3

54

1 222

b

adabcba

?2

12

222

c

baaba

ab5

?2?32

2

c

baab

?3

b

ad

Il Monomio:

è caratterizzato da:

- segno più ( ) [sottinteso]

- coefficiente (parte numerica) 3

- parte letterale x y

- esponente 2 relativo alla lettera x ed esponente 1 relativo alla letterale y [sottinteso]

Il Monomio:

12 è caratterizzato da:

- segno più ( ) [sottinteso]

- coefficiente (parte numerica) 12

- parte letterale [sottintesa] qualsiasi lettera elevata a 0 [n0=1]

- esponente 0 [sottinteso] relativo alla parte letterale [qualsiasi lettera elevata a 0]

N.B. in questo caso il monomio si chiama COSTANTE

Definizione di monomio

Si riportano di seguito alcune definizioni (testi) tratte dalla letteratura in merito.

a) Si chiama monomio un espressione letterale in cui i numeri e le lettere sono legati tra loro solamente dalle operazioni di moltiplicazione e di divisione [12] esempi:

e ancora: un monomio si dice intero se non presenta alcuna lettera al denominatore; in caso contrario (ovvero quando qualche lettera figura al denominatore) si dice frazionario ?

monomio intero monomio frazionario

b) Viene chiamata monomio quella espressione letterale nella quale non compaiono addizioni e sottrazioni

- [11] esempi:

e ancora: un monomio nel quale qualche lettera figura da divisore o appare con esponente negativo si dice frazionario o fratto; in caso contrario il monomio si dice intero

sono frazionari i monomi

cbaabba 35224

3 222

?3

?5

3

242

2

4224322

ay

zx

c

xaabxbcaaba

baaxy 2

2

127

23237

1232 yxzxyxba

ad

ba2

xybabca

aba 53

12

3152

2

?22

1 23

c

baaab

?32

1 232 bat

ab53

1

c) Un monomio è il prodotto di fattori numerici e letterali [07] esempi:

d) Dicesi monomio un espressione algebrica nella quale non compaiono né addizioni né sottrazioni [03] - esempi:

e) Un monomio è un espressione letterale che rappresenta il prodotto di fattori numerici e letterali [02] - esempi:

Sono monomi

Non sono monomi

f) Chiamiamo monomio un espressione letterale in cui compaiono solo prodotti e potenze di numeri e lettere [06] - esempi:

Sono monomi

Non sono monomi che ha lettere al denominatore e prende il nome di frazione algebrica e

che contiene una addizione non riducibile

g) Viene chiamata monomio un espressione letterale nella quale non compaiono addizioni e sottrazioni

[14] - esempi:

Sono monomi le espressioni del tipo

nelle quali figurano solamente prodotti, elevamenti a potenza e divisioni ?

h) Per monomio si intende un espressione algebrica nella quale non compaiono né addizioni, né sottrazioni [01] - esempi:

axabcba 2422

7 2

?2

?23

2 23

y

x

y

xaab

abcxyba4

5

2

13 22

?5

?2?7

42

52

3

2

c

ba

y

x

z

xy

222 2,05

13 mnxya

??4

?2

z

xy

c

ab

b

a

?5

4

77

223

c

ababba

i) Si dice monomio un espressione letterale contenente solo operazioni di moltiplicazione [09] - esempi:

l) Si dice monomio un espressione algebrica letterale nella quale compaiono solo le operazioni di moltiplicazione e divisioni ? [13] - esempi:

m) Un espressione letterale che contiene solo moltiplicazioni e divisioni si dice monomio ? [10] - esempi:

e ancora: i monomi nei quali le lettere compaiono solo nel numeratore si dicono interi; i monomi nei quali vi è almeno una lettera al denominatore si chiamano frazionari

sono frazionari i monomi

n) un monomio è un espressione letterale nella quale non compare l addizione algebrica; un monomio si dice intero se le lettere compaiono solo al numeratore, si dice frazionario se almeno una delle sue lettere compare al denominatore ? [08] - esempi:

sono monomi interi

sono monomi frazionari?

o) si chiama monomio un espressione letterale che non contiene affatto addizioni algebriche, ovvero sono espressioni algebriche nelle quali compaiono moltiplicazioni, divisioni e/o potenze ? [05] - esempi:

Analisi dei testi (definizioni)

[a] Si chiama monomio un espressione letterale in cui i numeri e le lettere sono legati tra loro solamente dalle operazioni di moltiplicazione e di divisione e ancora: un monomio si dice intero se non presenta alcuna lettera al denominatore; in caso contrario (ovvero quando qualche lettera figura al denominatore) si dice frazionario ?

[b] Viene chiamata monomio quella espressione letterale nella quale non compaiono addizioni e sottrazioni

e ancora: un monomio nel quale qualche lettera figura da divisore o appare con esponente

negativo si dice frazionario o fratto; in caso contrario il monomio si dice intero

[c] Un monomio è il prodotto di fattori numerici e letterali

[d] Dicesi monomio un espressione algebrica nella quale non compaiono né addizioni né sottrazioni

[e] Un monomio è un espressione letterale che rappresenta il prodotto di fattori numerici e letterali

[f] Chiamiamo monomio un espressione letterale in cui compaiono solo prodotti e potenze di numeri e lettere

[g] Viene chiamata monomio un espressione letterale nella quale non compaiono addizioni e sottrazioni ; ovvero espressioni letterali nelle quali figurano solamente prodotti, elevamenti a potenza e divisioni

[h] Per monomio si intende un espressione algebrica nella quale non compaiono né addizioni, né sottrazioni

[i] Si dice monomio un espressione letterale contenente solo operazioni di moltiplicazione

[l] Si dice monomio un espressione algebrica letterale nella quale compaiono solo le operazioni di moltiplicazione e divisioni ?

[m] Un espressione letterale che contiene solo moltiplicazioni e divisioni si dice monomio e ancora: i monomi nei quali le lettere compaiono solo nel numeratore si dicono interi; i monomi nei quali vi è almeno una lettera al denominatore si chiamano frazionari

[n] un monomio è un espressione letterale nella quale non compare l addizione algebrica; un monomio si dice intero se le lettere compaiono solo al numeratore, si dice frazionario se almeno una delle sue lettere compare al denominatore

[o] Si chiama monomio un espressione letterale che non contiene affatto addizioni algebriche, ovvero sono espressioni algebriche nelle quali compaiono moltiplicazioni, divisioni e/o potenze

Dalla lettura dei testi delle definizioni si perviene ai seguenti principali raggruppamenti:

1) Un monomio è un espressione letterale (algebrica) che contiene solo moltiplicazioni e divisioni ovvero, non contiene affatto addizioni e sottrazioni [a, b, l, m]

2) Un monomio è un espressione letterale (algebrica) che non contiene addizioni e sottrazioni ovvero, contiene solo moltiplicazioni e divisioni [d, g, h, n, o]

3) Un monomio è un espressione letterale (algebrica) che contiene solo moltiplicazioni (tra numeri e lettere) ovvero, che non contiene affatto divisioni, addizioni e sottrazioni [c, e, f, i]

Da un analisi più approfondita si perviene ai seguenti due raggruppamenti definitivi:

2

323

3

22 3

35

2

1

c

babca

d

cabxy

abcb

cabxy 5

5

2

1 22

2323

22 8

5,0 bcad

cabxy

z

xy

xyz

yxxyzyx

3

2

3

232

2222

abba

bababa 2

5

10510

2

23223

03z

xy2

1) Un monomio è un espressione letterale (algebrica) che contiene solo moltiplicazioni e divisioni ovvero, non contiene affatto addizioni e sottrazioni [a, b, d, g, h, l, m, n, o]

esempi:

2) Un monomio è un espressione letterale (algebrica) che contiene solo moltiplicazioni (tra numeri e lettere) ovvero, che non contiene affatto divisioni, addizioni e sottrazioni [c, e, f, i] esempi:

La classe si chiede a questo punto: l operazione di divisione è relativa ai numeri (coefficienti) o alle lettere (parte letterale) ? La risposta è immediata: l operazione di divisione è relativa solo alla parte letterale; la parte numerica (coefficienti) non è interessata trattandosi di numeri reali esempi:

Nella prima definizione più di un Autore aggiunge alla definizione stessa di monomio: i monomi nei quali le lettere compaiono solo nel numeratore si dicono interi; i monomi nei quali vi è almeno una lettera al denominatore si chiamano frazionari ovvero, siamo in presenza di una frazione algebrica esempio:

La classe si chiede ancora: ma la precedente frazione algebrica (monomio fratto) è un monomio?

Anche in questo caso la risposta è immediata: la frazione algebrica, letteralmente, presenta al numeratore e al denominatore due distinti monomi (con il secondo diverso da zero - condizione di esistenza), ovvero:

Numeratore

Denominatore

pertanto si caratterizza come una divisione tra due distinti monomi non ulteriormente divisibili.

Orbene, è sempre la classe che si pone domande, che significa dividere due monomi.

Risposta collaborativa: dividere due monomi, presi in un dato ordine e con il secondo diverso da zero (condizione di esistenza), significa calcolare (se esiste) un altro monomio detto quoziente che, moltiplicato per il secondo da per prodotto il primo; quando questo si verifica il primo monomio è divisibile per il secondo e il secondo è divisore del primo esempio:

xyba 43 2

zy

ba

4

3 2

Pertanto, affinché un monomio (non nullo) sia divisibile per un altro (non nullo) è necessario e sufficiente che ogni lettera del monomio divisore figuri nel monomio dividendo con esponente maggiore o uguale a quello del divisore.

Per contro, se un monomio non è divisibile per un altro la divisione dell uno per l altro si può solo indicare come:

oppure sotto forma di frazione (algebrica) avente per numeratore e denominatore due distinti monomi:

Da quanto fin qui analizzato e esposto la classe collaborativamente perviene alla seguente definizione di monomio:

Un Monomio è un prodotto indicato di fattori numerici e letterali, dove i fattori letterali sono elevati ad esponente intero, positivo o nullo

ESEMPIO: L espressione letterale 35a3bc2 è un monomio; il numero 35 e le lettere a3

, b, c2 sono

legate dall operazione di moltiplicazione; il suo coefficiente è il numero 35 e la parte letterale è a3bc2.

CONTROESEMPI:

a ) l espressione letterale 35a3 + bc2 non è un monomio dal momento che numeri e lettere sono legati

oltre che dalla moltiplicazione anche dall addizione (infatti trattasi di un polinomio ovvero di un binomio

somma di due monomi);

b ) l espressione letterale 35a-3bc2 non è un monomio in quanto la potenza con esponente negativo

rappresenta una divisione, infatti a-3 = 1/a3 ovvero, rappresenta, una frazione algebrica.

cilindrodeldiametroilèd

corsadellalunghezzalaès

pistonedalpercorsovolumeilèVp

VcVeVcVpVdoveV

VMINMAX

MIN

MAX :

Applicazione nel reale in campo tecnico scientifico

Nei motori a scoppio il cilindro è una cavità (cilindrica) al cui interno scorre il pistone. La miscela di aria e benzina viene accesa dalla candela nella camera di combustione del cilindro. Bruciando la miscela aumenta di volume e spinge il pistone in basso. Quando il pistone torna in alto espelle dal cilindro i gas di combustione nel tubo di scappamento attraverso la valvola di scarico.

- Il Volume percorso dal pistone (Vp) è il volume del cilindro percorso dal pistone dall inizio della combustione alla fine della combustione. Si indica in cm3.

- Il Volume della camera di combustione (Vc) è il volume che rimane tra la testa del cilindro e la parte superiore del pistone, quando questo è nella sua posizione più in alto. Si indica in cm3.

- La cilindrata (V) è la somma dei volumi percorsi dal pistone di tutti i cilindri del motore. Si indica spesso in cm3 e anche il litri.

- Il rapporto di compressione ( ) di un motore è il rapporto tra il Volume massimo (Vmax) e il Volume minimo (Vmin) all interno del cilindro. Si calcola con la relazione:

Ci proponiamo di calcolare la cilindrata e il rapporto di compressione di un motore di autovettura con le seguenti informazioni sul motore stesso:

Numero di Cilindri (n) 6 Diametro dei cilindri 91 mm Lunghezza della corsa (s) 102 mm Volume della camera di combustione (Vc) 73,7 cm3

32

2

4,6632,10)55,4(14,3

55,45,452

91

2

2,10102

:

cmVp

cmmmd

r

ecmmms

consrVp

litricmV

cmVpen

conVpnV

804,394,39804,6636

4,6636

:

3

3

107,73

1,737

7,73

1,7377,734,663

:

3

3

3

3

cm

cm

cmVcV

ecmVcVpV

conV

V

MIN

MAX

MIN

MAX

Calcolo del Volume percorso dal pistone

Si fa notare che i due membri dell equazione indicata sono due monomi

Calcolo della Cilindrata

Si fa notare, anche in questo caso, che i due membri dell equazione indicata sono due monomi

Calcolo del Rapporto di Compressione

Si fa notare, in quest ultimo caso, che i due membri dell equazione indicata sono caratterizzati rispettivamente da un monomio (primo membro) e da un quoziente tra due monomi (secondo membro) ovvero da una frazione algebrica.

BIBLIOGRAFIA

[01] Acquati A ed altri - (2004) Il giardino di Archimede Loescher Torino

[02] Arpinati A. M. ed altri (2005)

Matematica in Azione - Zanichelli - Bologna

[03] Barale C. ed altri (2003) - MateMedia Ferraro Napoli

[04] Bencini L. ed altri (1996)

AGI 1 Ferraro Napoli

[05] Flaccavento R. G (2013)

Pitagora

Fabbri Editori Milano

[06] Grimaldi A. ed altri (2008)

Cifratonda

Ferraro Napoli

[07] Linardi S. (2009)

Matematica per Te - Mondadori Milano

[08] Montemurro A. - (2012) - PuntoMat - De Agostini Scuola Novara

[09] Poletti D. ed altri (2004)

Corso di matematica - Algebra Signorelli - Milano 9

[10] Rossi G. - (2012) - Con la matematica - Algebra - Mondadori Scuola - Milano

[11] Tonolini ed altri - (2006 ) - Ipermat

Minerva Italica Milano

[12] Vacca R. ed altri - (2001) Progetto modulare di Algebra Edizione Atlas - Bergamo

[13] Zarattini M. ed altri - (2008) - Matematicamente 3 Mondadori Scuola - Milano

[14] Zibetti G. ed altri (2001)

Viaggio nella Matematica Minerva Italica - Milano

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