Classe II B - anno scolastico 2002/03 da Tartaglia a Galois.

Classe II B - anno scolastico 2002/03

da Tartaglia a Galois


IL CINQUECENTO

Incremento demograficoMiglioramento condizioni di vitaAscesa del ceto mercantile-imprenditorialeCostituzione di grandi imperi colonialiRiforma protestanteGermania: cuius regio eius religioConcilio di Trento 1545Francia: guerra di religione fra Cattolici e UgonottiRinascimento: decentralizzazione uomo


Niccolò Tartaglia

Brescia 1499 – Venezia 1557


Regola di Scipion del Ferro

“Quando le cose e li cubi si eguagliano al numero [ax+bx3=c] ridurai la equatione a un cubo [x3+px=q] partendo per la quantità dei cubi [dividendo per il coefficiente di x3], poi cuba la terza parte delle cose [p3/27], poi quadra la metà del numero [q2/4] e questo suma con il detto cubato [q2/4+p3/27], et la radice di deta summa più la metà del numero fa un binomio

[ ] et la radice cuba di tal binomio, men la radice cuba del suo residuo val la cosa ”.

3 323 32 2q27p4q2q27p4qx

q/227p4q3 32


Alcuni problemi proposti da fiori:

trovare un numero che, sommato alla sua radice cubica, dia come risultato sei.

Un ebreo presta un capitale a condizione che alla fine dell’anno gli venga pagata come interesse la radice cubica del capitale. Alla fine dell’anno, l’ebreo riceve ottocento ducati, tra capitale e interessi. Qual era il capitale?


Alcuni problemi posti da Tartaglia

un vascello sul quale si trovano quindici turchi e quindici cristiani viene colpito da una tempesta e il capitano ordina di gettare fuori bordo la metà dei passeggeri. Per sceglierli si procederà come segue: tutti i passeggeri verranno

disposti in cerchio e, cominciando a contare a partire da un certo punto, ogni nono passeggero verrà gettato in mare. In che modo si devono disporre i passeggeri perché solo i turchi siano designati alla sorte per essere gettati in mare?

Suddividere un segmento di lunghezza data in tre segmenti con i quali sia possibile costruire un triangolo rettangolo.

Una botte è piena di vino puro. Ogni giorno se ne attingono due secchi, che vengono sostituiti con due secchi d’acqua.in capo a sei giorni, la botte è piena per metà d’acqua e per metà di vino. Qual era la sua capacità?


Partiamo dall’equazione x3+6x=20; applicando il procedimento di Tartaglia si ha:• u – v = 20• uv = 216/27 = 8

sostituendo la 1) nella 2) si ottiene:

(20 + v)v = 8 da cui v2 + 20v – 8 = 0

applicando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado si ha

la radice positiva è , conseguentemente

Infine

In generale

33 1010810108x

3 233 33 2q2q3p2q2q3px

10810v1,2

10108v 10108u


Girolamo Cardano

Padova 1501 – Roma 1576


Le opere

Practicae arithmeticae, Norimberga, 1539

Artis magnae, sive De regulis algebraicis liber unus, Norimberga, 1545

De vita propria liber, 1575

La pubblicazione della

formula risolutiva delle

equazioni di terzo grado

nell’Ars Magna, portò ai

sei cartelli di “matematica

disfida” con Tartaglia, che

tra l’altro lo ingiuriò con

l’appellativo di “huomo

che tien poco sugo”.


Equazioni di 3° grado… in rima!

Quando che ‘l cubo con le cose appresso

Se agguaglia a qualche numero discreto:

Trovami dui altri, differenti in esso;

Dapoi terrai, questo per consueto,

Che ‘l loro prodotto, sempre sia eguale

Al terzo cubo delle cose netto;

El residuo poi suo generale

Delli lor lati cubi, ben sottratti

Varrà la tua cosa principale. […]

xvu

3pv*u

qv-u

q

pxx

33

3

3


Ludovico Ferrari

Bologna 1522 - 1565


Formula risolutiva per le equazioni di 4° grado

Data un’equazione del tipo ax4 + bx² + c = dx, aggiungendo ad entrambi i membri opportune quantità in modo da rendere entrambi dei quadrati ed estraendo, poi, la radice quadrata, si ottiene un’equazione facilmente risolubile, ma non era in termini geometrici.

Metodo escogitato da Ferrari con l’esempio numerico dell’equazione: x4 + 6x² + 36 = 60x

Se si aggiunge ai due membri dell’equazione: 6x² + 2x²y + (y² + 12y), dove y è una nuova incognita, si ottiene:

(x² + y + 6)² = 2(y + 3)x² +60x + y² + 12y

Il primo membro è un quadrato perfetto ; affinché lo sia anche il secondo deve essere :

30² = 2(y + 3)(y² + 12y)

da cui si ottiene la risolvente di 3° grado

2y³ + 30y² + 72y = 900 y³ + 15y² + 36y = 450

che permette di determinare la y e risolvere completamente l’equazione data con un’estrazione di radice quadrata, che porta ad un’equazione di 2° grado in x.


Raffaele Bombelli

Bologna (?)


Nella sua opera, Algebra, espose i metodi di risoluzione delle equazioni di 3° grado.

Bombelli si occupò del cosiddetto “caso irriducibile”, utilizzando nella sua risoluzione radici quadrate di numeri negativi, operando su di esse come se fossero veri numeri, “cosa assurda” per un matematico dell’epoca.

In particolare, partendo da una dimostrazione geometrica basata sulla scomposizione di un cubo in due cubi e sei parallelepipedi, fornì il metodo per calcolare le soluzioni reali di equazioni del tipo

x³+ px = q


Osserviamo il cubo sottostante:

Sia a il lato del cubo completo, (a-b) il lato del cubo più grande e b quello del più piccolo che si forma dalla sezione effettuata. I parallelepipedi che si formano sono tre di base (a-b)(a-b) ed altezza b, e tre di base b b ed altezza (a-b).Unendo ognuno dei maggiori con ognuno dei minori si formano tre parallelepipedi di base a(a-b) e altezza b.Assegnate le misure dei lati alle diverse figure, si ha: x3=(a-b)3+b3+3b2(a-b)+3(a-b)2b, ossia il volume del cubo assegnato è uguale alla somma dei volumi delle figure in cui si scompone.Svolgendo i prodotti, raccogliendo e portando al primo membro (a-b), si ottiene: (a-b)3=a3-3ab(a-b)-b3. L’obiettivo è trovare le soluzioni dell’equazione del tipo x3+px=q.Se prendo come incognita la quantità x=(a-b), ossia il lato del cubo più grande ottenuto dalla scomposizione, e la sostituisco nella precedente equazione si ha l’identità:

(a-b)3=a3-3ab(a-b)-b3 x3=a3-3abx-b3 x3+3abx=a3-b3

L’equazione x3+px=q si riduce all’identità precedente quando a e b siano tali da rendere

3ab=p quindi ab=p/3

a3-b3=q a3-b3=q


Esempio

Trovare la soluzione dell’equazione x³+6x=20. Per trovare la soluzione di questa equazione, posto x=a–b risolvere il sistema:

ab=6/3=2a3-b3=20

Dalla prima equazione, preso b=2/a e sostituitolo nella seconda equazione, otteniamo a³-8/a³=20; facendo il m.c.m. si ha a6 -20a³-8=0. Posto a³=t, l’equazione si trasforma in t² -20t–8=0 che ha come soluzioni,

applicando la formula ridotta, t=10± ma, poiché la nostra incognita è il lato di un cubo, la soluzione negativa non sarà accettabile, per cui l’unica soluzione che possiamo considerare è t=10+

Quindi si avrà a= e b=2/a, quindi b=2/ , che razionalizzando si può scrivere come:

Quindi

8100 8100

3 10810 3 10810

33

3

3

3

3

3 3

3

108102

108102

8

108102

108100

108102

1081010810

108102b

3333 10810108101081010810x


Ciò equivale alla forma che si trova nell’opera di Bombelli

Ora

e poiché

Operando allo stesso modo su

si ha che

Come si è detto in precedenza Bombelli introdusse i numeri immaginari per trattare le equazioni cubiche anche nel caso irriducibile, circostanza che capitava assai più frequentemente della risoluzione con radicali cubici reali. Il nome

proposto per l’unità immaginaria (oggi i) è proprio solo di Bombelli: poiché “non si può chiamare né più, né meno, però lo chiamerò più di meno (+ i) quando egli si dovrà aggiungere, e quando si dovrà cavare lo chiamerò men di meno

(- i)”.

33 1010810108x

3610131331333133

13131081010332102310108 3 3323

3 10108

21313x


François Viète

Fontenay-le-Comte 1540 Parigi 1603


Convocato al parlamento di Parigi nel 1571, fu dapprima consigliere presso il parlamento di Bretagna, poi presso quello di Parigi dove divenne consigliere di Enrico III e di Enrico di Navarra. Introdusse l’uso delle lettere nel calcolo per rappresentare le quantità note e le incognite e portò contributi fondamentali alla teoria delle equazioni. La prima raccolta della sua Opera mathematica fu pubblicata solo nel 1643: ciò ne impedì la valorizzazione mantenendo nell’ombra i suoi meriti. 1579, Canon Mathematicus: introduzione di frazioni decimali, in luogo di quelle sessagesimali, per ottenere tavole trigonometriche migliori (inventa le regole di prostaferesi).Conferma dell’intuizione bombelliana riguardo all’esistenza di una relazione tra il caso irriducibile delle equazioni di 3° grado e il problema della trisezione dell’angolo. Dall’equazione x3 + px + q = 0 con la sostituzione x = my si ottiene, infatti, l’equazione y3 + yp/m2 + q/m3 = 0, dove m rappresenta una quantità che possiamo determinare a piacere. Confrontando ora quest’ultima equazione con la seguente identità trigonometrica:

cos3 /3 – ¾ cos /3 – ¼ cos = 0richiedendo che sia

p/m2 = - ¾ e q/m3 = - ¼ cossi ricavano per m e cos i seguenti valori reali (poiché p<0)

273p2qcosθ34pm


De aequationum recognitione et emendatione

Risoluzione trigonometrica dell’equazione di 3° grado.

Presentazione di funzioni simmetriche per le equazioni fino al 5° grado.

Conservazione del formalismo dell’algebra retorica usato da Cardano e Bombelli.

Es.: per indicare l’uguaglianza preferì abbreviare in “aeq” il latino “aequalis”, ignorando, invece, il simbolo “=”, già introdotto nel 1557; tuttavia propose di indicare con consonanti le grandezze o quantità che si ritenevano note e le vocali per rappresentare le incognite nelle equazioni.


IL SETTECENTO E L’OTTOCENTO

Crescita popolazione: teorie di Malthus e HumeInghilterra: rivoluzione agricola, capitalismo agrario, lavoro salariato, rivoluzione industriale; altri Paesi arretratiGrandi potenze mercantili europee; imperi colonialiIndipendenza Stati Uniti d’America (1776)Liberismo e fisiocraziaRivoluzione dei consumi: nuovi alimenti importati dall’AmericaNascita della politica dell’equilibrio come soluzione alle guerre del secoloIlluminismo francese: l’Encyclopèdie; diffusione anche nel resto d’EuropaGiusnaturalismo e contrattualismoRivoluzione francese e ascesa napoleonica


Niel Henrick Abel

Norvegia 1802 - 1829


Testi di grandi matematici: Eulero, Newton e LagrangeNel 1821, a soli diciannove anni fece una scoperta eccezionale: riuscì a dimostrare che è impossibile risolvere un’equazione di quinto grado attraverso una formula.Nel 1823 scoprì che è impossibile risolvere in radicali un’equazione generale di quinto grado e ne ricavò il problema inverso: quello della classificazione completa delle equazioni algebriche risolvibili in radicali. N.H.Abel


Evariste Galois

Bourg-la-Reine 1811 – Parigi 1832


Arrestato nel 1831 per le sue idee repubblicane ed espulso dall’Ecole Normale di Parigi.Pubblicazione postuma dei manoscritti: fama indiscussa di matematico geniale.Galois ricavò che a ogni equazione risolvente è associato un gruppo di numeri algebrici intermediario fra il corpo generato dalle radici dell’equazione in esame e quello determinato dai suoi coefficienti. La risolubilità per radicali di un’equazione di grado n dipende quindi dalla presenza o meno di determinate proprietà nella sequenza di gruppi da cui è costituita. Queste proprietà sono sempre presenti per la equazioni di grado 4. In generale non ci sono per quelle di grado >4.

E. Galois in un disegno dell’epoca


Realizzazione: Manuela ZARDONI

Flaminia SPARACINO

Elisabetta BORRONI

Linuccia BLANCO

Veronica COLLINI

Si ringrazia per la collaborazione: Daniela Zardoni

Liceo Classico Linguistico “D. Crespi” - Busto Arsizio

Classe II B - anno scolastico 2002/03 da Tartaglia a Galois.

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