Classe II a.s. 2010/2011 Prof.ssa Rita Schettino · RADICALI ALLO STESSO INDICE Dati più radicali...
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RADICALIClasse II
a.s. 2010/2011
Prof.ssa Rita Schettino
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N. B. ℜ+ indica l’insieme dei numeri reali non negativi, ossia positivi o nulli.
RADICALI
AritmeticiIn ℜ+
AlgebriciIn ℜ
2
pro
f.ss
a R
. Sc
he
ttino
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RADICALI ARITMETICI DEFINIZIONE� Considerato a ≥ 0 e n ∈ N0, si definisce
Radice n- ma di a il numero reale b ≥ 0
tale che bn = aossia è quel numero reale, non negativo, che elevato ad n dà come risultato a.
In simboli abab nn =⇔=
3
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a R
. Sc
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Di conseguenza
avendo sostituito al posto di b il suo simbolo.
Si noti che sotto il segno di radice c’è un termine positivo o tutt’al più nullo.
( ) aan
n =
4
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. Sc
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nIndice del
radicale
Segno di radice
Radicando o
argomento del
radicale
Radicale
Il radicando è positivo o nullo: a ≥≥≥≥ 0
Linguaggio specifico
5
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. Sc
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• Proprietà 1 :
• Proprietà 2: proprietà invariantiva
Ossia il valore di un radicale non cambia se si moltiplicano o dividono l’indice e l’esponente del radicando per uno stesso numero intero positivo
aan n =
np mpn m aa =
6
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. Sc
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APPLICAZIONE 1: SEMPLIFICAZIONE DI UN RADICALEPremessa: Il radicando di un radicale aritmetico è da intendersi come prodotto
di fattori positivi o nulli
Es.
( ) ( )2per esponenti ed indice diviso avendo
222
:risulta quindi one,scomposizi della regole le secondo
fattoriin scomposto prima varadicale questo di radicando il 44
3per esponenti ed indice diviso avendo 28
2per esponenti ed indice tomoltiplica avendo 22
4per esponente ed indice tomoltiplica avendo
2per esponenti ed indice tomoltiplica avendo 42
3
2
462
22
463
22
463
35
2
63
36
6 2423 2
4 82
6 643 32
2 2
ab
a
ba
a
ba
aa
ba
aaa
x
ba
x
ba
nbaba
aa
baba
n nnnn n
nn
+=
+=
+
++
=
=
=
=
7
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. Sc
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( )
( )
( ) ( ) ? 1 oppure 1
risposta? la è Qual
12 indice di altroun in dato radicale il to trasforma vaqui anche ?1
? oppure
risposta? la allora è Qual 3.per tomoltiplica va
radicando del esponentel' anche Dunque 3.per tomoltiplica stato è
dato radicale del 2 indicel' che significa Quindi 6. indice di
radicale altroun in quadratico radicale il re trasformabisogna ?
12 412812 4128
123 32
6 36 33
6
++
=+
++
=+
yyxyyx
yyx
baba
ba
In questo tipo di esercizi, si divide il nuovo indice per il vecchio e si moltiplica il
risultato per l’esponente di ciascun fattore del radicando.
ATTENZIONE! I radicandi devono essere sempre scomposti in fattori primi e si
lavora sugli esponenti dei fattori.8
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APPLICAZIONE 2: RIDUZIONE DI PIÙRADICALI ALLO STESSO INDICE
Dati più radicali di diverso indice, li si trasforma in altri, applicando la
proprietà invariantiva, aventi lo stesso indice, calcolando il m.c.m. dei
singoli indici. Es.
( )
( )
( ) ( )8 4228 28
2248
12 612 912 4
4 33
:diventano menterispettiva radicali trei cui da 82,4,8...
, ,
,
in menterispettiva no trasformasi dati radicali trei quindi 122,4,3...
, ,
yxyxyx
mcm
yxyxyx
aaa
mcm
aaa
+−+
=
+−+
=
9
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PRODOTTO E RAPPORTO TRA RADICALI�Regola del prodotto
�Regola del rapporto
� Come si vede, si moltiplicano o dividono radicali con lo stesso indice, portando tutto sotto un unico segno di radice, con il medesimo indice, e poi si moltiplicano o dividono i radicandi.
� Se i radicali non hanno lo stesso indice, prima bisogna ridurli allo stesso indice e poi effettuare l’operazione richiesta.
� N.B. Al termine dell’operazione, bisogna sempre semplificare il radicale, se possibile.
n pmn pn m baba ⋅=⋅
np
m
n p
n mn pmn pn m
b
a
b
ababa == anche o ::
10
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Es.
2
23232
148
128 )2
)1
10 51010
25
25
105
102
2
10 23
510 23
12 13
12 312 412 6
43
=
====
=⋅⋅=
=⋅⋅
=
=⋅⋅=
=⋅⋅
yx
yx
xy
xyx
xy
xyx
x
xxx
xxx
11
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TRASPORTO DI UN FATTORE SOTTO IL SEGNO DI RADICE
�Regola: dati a, b ≥ 0 si ha
Vale a dire: un fattore a ≥ 0, moltiplicato per un radicale, può essere trasportato sotto il segno di radice purché lo si elevi all’indice del radicale
Es.
n nn baba =
42
44
2
44
4
44
2
5 220115 220105 242
33
3
3
25
125
5
25
5
222
2162
116
2
1
ab
a
a
b
b
a
a
b
cbaacbaacba
=⋅=
=⋅=
=⋅
=
12
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� E se non siamo sicuri del segno non negativo del fattore esterno, come si procede?
� Evidentemente discutendo i casi: vediamo degli esempi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) 4 324
24
24
2
2
2
:risulta cuiper negativo, è esterno fattore il quindi 0, che dire fa ci
numeratore al segno del presenza la,0 esicurament Essendo )2
radice di segno
del fuori rimasto negativo segno il noti Si 23 - ha si 3)2 (ossia 03 se
23 ha si )3 ossia( 03 se
: Quindi .3 di segno il discutere bisogna ma
radicale del radicando è già perchè 2) (ossia 02 riteniamo esercizio questoin 23 )1
xax
ax
x
ax
ax
xxx x
xx-xx
x
xxxx
−−=
−⋅−−
<
−≥−
−−<<<−
−>≥−
−
>>−−−
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( )
( )( )
( )( )
xx
x
x
xx
xx
x
x
xx
x
xx
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
yxy
yxy
y
xxyyx
−=−
⋅−
−<−
=−
⋅−
>−
−
>−
−=
−+−
−+
−
−<
≥
>
2
2
2
2
2
2
22
2
45
45
22
2
2 ha si 02 se
2
2 ha si 02 se
2su discutere bisogna quindi
radicando del redenominato è perchè 0 eSicurament 2
2
44
2
radicando eespressionl' iamosemplifich toinnanzitut 44
2 )4
9 ha si 0 se
9 ha si 0 se
ediscussion la fatta vaper mentre
radice di segno il sotto è perchè 0 eSicurament 3 )3
DOMANDA: Perché nell’esercizio 4 non è stato posto x-2 ≥ 0 ma solo
x-2 >0?
14
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. Sc
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TRASPORTO DI UN FATTORE FUORI DEL SEGNO DI RADICE
� Ricordiamo:� Dati m e n ∈ N0, con m>n, detti q e r il quoziente e il resto della divisione di m per n, si ha m = nq+r
� Prodotto di potenze con la stessa baseam*an=am+n
15
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. Sc
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TRASPORTO DI UN FATTORE FUORI DEL SEGNO DI RADICE
� Fermo restando che si possono trasportare fuori del segno di
radice solo fattori non negativi, diamo la regola:
Vale a dire: - si possono trasportare solo fattori con esponenti ≥
dell’indice
- si divide l’esponente per l’indice, il quoziente
diventa esponente del fattore fuori dal segno di
radice e il resto diventa esponente del fattore
sotto il segno di radice
n rqn rn qnn rnqn rnqn m aaaaaaaa =⋅=⋅== +
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. Sc
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es.
( ) ( )
( )
( )
( ) abbaba
aba-bba
ba
baabbabaab
abbaba
abababa
xyxyxyx
−−<−
≥−
−
−=+−
+−
==
≥==
ha si 0 se
ha si 0 se
:ediscussion una fatta vacuiper segno, il conosciamonon però cui di
è radice di segno del fuori rsi trasportapuò che fattore unicol'
2
primi fattoriin scomposto varadicando il toinnanzitut
2
1) resto e 2 quoziente ha 3:7( 228
2) esponente hanno e 3 fattori i solo (infatti 339
222
3223
3 223 2733 27
2424
17
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a R
. Sc
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POTENZE E RADICI DI UN RADICALE
�Regola dell’elevamento a potenza di un radicale (ferme restando le condizioni di un radicale aritmetico)
�Regola dell’estrazione di radice di un radicale (nota come sopra)
( ) n mpp
n m aa =
pn mp n m aa = 18
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. Sc
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Osservazioni (regole pratiche)
�Dalla prima regola si deduce che per elevare a potenza p un radicale basta elevare a potenza il suo radicando, vale a dire moltiplicare per pl’esponente di ciascun fattore del radicando.
�Dalla seconda regola si deduce che per estrarre la radice di indice p di un radicale di indice n, basta porre un unico segno di radice con nuovo indice dato dal prodotto degli indici, rimanendo uguale il radicando.
19
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I seguenti esempi presentano le applicazioni di tutte le regole espresse fin qui.
( )2,3)m.c.m.(6,1 12 indice stesso allo radicali i portando divisione la oeffettuiam ::
0) essere deve che noti (si
radicando 1 del numeratore il fattoriin oscomponiam ::2
0) essere deve che noti (si
radicandi dei iespression le iamosemplifich toinnanzitut :11
:2 )1
4
31222
6
2
4
31222
6
22
4
31222
6
22
==
−=
>
°=
−−+=
>
=
−−
+
abba
ba
ab
a-b
a-b
abba
ba
ab
abba
ab
abbaabab
ba
20
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. Sc
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( )( )
( ) a
4
1244
3
4
1244
22
22
4
4 alla radicando il elevando potenza a elevamentol' oeffettuiam
zionisemplifica le oeffettuiam 1
=
−=
=
⋅
−⋅
−=
ba
ba
baba
ba
ba
ba
( )
( )
3
344
3
121616
12
1
3 indicedell' esponenti hanno perchè
e , fattori i radice di segno dal fuori portarsi possono radicale questoin
4per esponenti ed indice dividendo resemplifica può si radicale questo
abab
a-b
b aa-bba
ba
ba
ba
=
≥
=−
=
=−
=
21
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f.ss
a R
. Sc
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ttino
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( )
( ) ( )( )( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )12 4
622
36
3
2
2
3 2
11
indici gli ndomoltiplica radice, di estrazionel'
e radicando nel zionisemplifica le neamentecontempora oeffettuiam 11
11
frazione della redenominato
e numeratore al radicali i trarapporto il oeffettuiam 11
11
1 binomio il fattoriin oscomponiam e
radice di segno il sotto 01 fattore il amo trasportitoinnanzitut 1
11 )2
+−=
=−+
+=
=−+
+⋅−=
−
>=−
+−
pp
pp
pp-
pp
pp
p
p-p
pp
22
pro
f.ss
a R
. Sc
he
ttino
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SOMMA ALGEBRICA DI RADICALI
� Regola: Si possono sommare algebricamente solo i radicali simili, vale a dire solo i radicali che hanno stesso indice e stesso radicando. I radicali simili possono differire per il coefficiente che li precede.
� Regola: I radicali simili si sommano sommando algebricamente i loro coefficienti. Se tali coefficienti sono letterali, si mette in evidenza il radicale simile che è comune.
Es.
23
pro
f.ss
a R
. Sc
he
ttino
( ) ( )
( ) ( ) xbaxbabaxbxabxa
xabxabaxaxbxa
22222
33333
22
1212212121
53
15
3
2435
3
25453
−=+−=+−
+−=+−+=+−+++
−=
+−=+−
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� Non sempre i radicali da sommare appaiono simili, in tal caso bisogna applicare le regole del trasporto fuori o sotto il segno di radice per renderli tali. Dopo aver effettuato questi passaggi, i radicali, ormai simili, si possono sommare come fatto negli esercizi precedenti.
Es. (in questi esempi sono sottintese le condizioni di positività dei radicandi e dei suoi fattori)
24
pro
f.ss
a R
. Sc
he
ttino
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )33
333
3 33 36 26
3 433 336 26
3
3333
3 433 43 3
12122
comune fattore è ormai che radicale il evidenzain mettiamo 1211
radicale terzoe secondo nel negativi,non iconsiderat
possibili, fattori i radice di segno dal fuori asportiamo tr
e radicale primo dal fuori 0)a( fattore il amo trasportie iamosemplifich 1211
radicandi i primi fattoriin scomporre a iniziamo 221 2)
20
b di ticoefficien i entealgebricam sommiamo 22
radice di segno del fuori trasportoil mediante essi di ciascunosu
operare può si ma simili, sononon es.dell' radicali trei 22 )1
xxaxxa-
xxxaxa
xxxaxa
xxxaaxxa
bab
babbabbba
bababab
+−=+=
=+−+++=
≥+−+++=
+−++++
−=
=−+=
=−+
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FORMULA DI TRASFORMAZIONE DI UN RADICALE QUADRATICO DOPPIO
� Si definisce radicale quadratico doppio il seguente
� Regola di trasformazione (in radicali quadratici semplici)
25
pro
f.ss
a R
. Sc
he
ttino
ba ±
22
22 baabaa −−±
−+
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� Es.
� Nel secondo esempio è stato necessario portare il fattore 3 sotto il segno del radicale per rientrare nella tipologia di radicale doppio e applicare successivamente la formula
26
pro
f.ss
a R
. Sc
he
ttino
2
3
2
9
2
27366
2
27366276336
132
12164
2
12164124
−=−−
−−+
=−=−
+=−−
+−+
=+
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RAZIONALIZZAZIONE DEL DENOMINATORE DI UNA FRAZIONE
� L’utilità delle seguenti regole sta nel fatto che è piùsemplice lavorare con frazioni che abbiano il denominatore razionale, per effettuare poi le operazioni richieste, per es. un m.c.m.
� L’idea di base è quella per cui, grazie alla proprietàinvariantiva delle frazioni, moltiplicando il numeratore e il denominatore di una frazione per uno stesso termine ≠ 0, il valore della frazione non cambia.
� A seconda della natura del denominatore irrazionale di una frazione, si moltiplicheranno numeratore e denominatore per una stessa opportuna espressione.
� Vediamo i casi che si presentano
27
pro
f.ss
a R
. Sc
he
ttino
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1°CASO
28
pro
f.ss
a R
. Sc
he
ttino
a
b
21
35
337
35
37
5.
per D e N nomoltiplica si
=⋅
=
=⋅
=⇒
es
a
ab
aa
ab
a
ba
2° CASO n ma
b
2
43
2
23
22
23
2
3
8
3.
5
5 5
5 2
5 25 3
5 2
5 35==
⋅==
==⋅
=⋅
=−−
−
−
−
−
es
a
ab
a
ab
aa
ab
aa
ab
a
b n mn
n n
n mn
n mnm
n mn
n mnn m
n mn
n m
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29
pro
f.ss
a R
. Sc
he
ttino
3° CASOba
m
±
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )( ) ( )( )yxyxyx
yxyx
yxyx
yxyx
yx
yxes
es
ba
bam
ba
bam
baba
bam
ba
m
++=−
+−=
+⋅−
+−=
−
−
+=−+
=+⋅−
+=
−
−=
−=
⋅±=
±
222222
22
322538
32210
322322
32210
322
10
∓∓
∓
∓
Come si può notare in questo caso si applica la regola della somma per
differenza
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pro
f.ss
a R
. Sc
he
ttino
30
4° CASO 33 ba
m
±
( )( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( )
++−+=
−+
++−+
=
=
++−+⋅−+
++−+
=−+
±+
=±
+=
+⋅±
+=
±
333 2
333 2
333 233
333 2
33
3 233 2
3 33 3
3 233 2
3 233 233
3 233 2
33
99632332
996322
99632332
996322
332
2
aaa
aaa
aaa
aaa
a
aes
ba
babam
ba
babam
bababa
babam
ba
m ∓∓
∓
∓
Anche qui si può notare che si applica la formula della somma o
differenza di due cubi
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RADICALI ALGEBRICI
� La definizione di radicale algebrico ricalca quella di radicale aritmetico con due sostanziali e importantissime differenze
� 1a contemplare il segno del radicando a∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ
� 2a valutare se esistono e quanti e quali sono i
valori di b∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ tali che bn = a
� È dunque importante, all’inizio di un esercizio, sapere in quale ambito si sta lavorando, anche se tecnicamente le operazioni sono quelle già dette per i radicali aritmetici
� (convenzione: il radicale algebrico lo indichiamo con un asterisco)31
pro
f.ss
a R
. Sc
he
ttino
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1a DIFFERENZA: SEGNO DI a
� In termini pratici (ed algebrici): la radice pari di un numero negativo non esiste, la radice dispari di un numero negativo esiste ed è unica
� La radice pari di un numero positivo esiste ed ammette due valori, la radice dispari di un numero positivo esiste ed è unica 32
pro
f.ss
a R
. Sc
he
ttino
⇒
⇒
=<
==
⇒
⇒=>
valoresoloun dispari è se
negativo numeroun risultatoper dà pari esponente ad
elevato che reale numeroalcun esistenon perchè
osignificat hanon radicale il pari è se
0
0 0
valoresoloun dispari è se
opposti valoridue pari è se 0
*
*
*
n
n
aa
a a
n
naa
n
n
n
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2a DIFFERENZA: VALORI DI b
� In termini pratici(ed algebrici): la radice pari di un numero positivo è data dai due valori opposti della radice aritmetica; se il radicando è negativola radice non esiste in ℜ
� La radice dispari di un numero negativo è data dalla radice aritmetica con il segno del radicando.
BUON LAVORO
33
pro
f.ss
a R
. Sc
he
ttino
−−=⇒
⇒
=<
==
=⇒
±=⇒=>
n
n
n
n
n
n
abn
n
aa
a a
abn
a bnaa
dispari è se
osignificat hanon radicale il pari è se
0
0 0
dispari è se
pari è se 0
*
*
*