Matematica

LA CIRCONFERENZA

SommarioSOMMARIOSOMMARIO .................................................................................................... 2LA CIRCONFERENZA ................................................................................... 4Equazione della circonferenza .................................................................... 4Raggio e centro della circonferenza ........................................................... 5Retta tangente alla circonferenza ................................................................ 9Procedimenti per trovare la tangente ........................................................ 101 – metodo ................................................................................................. 102 – metodo ................................................................................................. 103 – metodo ................................................................................................. 11Condizioni generali per determinare l’equazione di una circonferenza . 11Posizioni di due circonferenze nel piano

Antonella GrecoRosangela Mapelli

CirconferenzaLA CIRCONFERENZAIl contorno del cerchio è chiamato circonferenza, tutti i punti che stanno su questa linea chiusa hanno la caratteristica di avere la stessa distanza dal centro. Vogliamo trovare l’equazione della circonferenza,curva che fa parte di un insieme di curve chiamate coniche.

DefinizioneSi definisce circonferenza il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro.

Equazione della circonferenzaFissiamo un sistema di assi cartesiani ortogonali e consideriamo un punto generico P(x,y), vogliamo determinare l’equazione della circonferenza di raggio r e di centro C(α,β). Dalla definizione di circonferenza deduciamo che il segmento PC deve essere uguale al raggio r. PC=r calcoliamo la distanza

22 )()()( βα −+−= yxPCd e poniamo uguale a r

ryx =−+− 22 )()( βα da cui222 )()( ryx =−+− βα

che rappresenta l’equazione della circonferenza.

Raggio e centro della circonferenza

Data l’equazione 222 )()( ryx =−+− βα della circonferenza, sviluppando i calcoli otteniamo

022 22222 =−−++−+ ryyxx ββαα poniamo α2−=a ; −2β=b β2−=b ; 222 rc −+= βα

troviamo l’equazione scritta in modo canonico:

022 =++++ cbyaxyx con ℜ∈cba .,

Possiamo ricavare le coordinate del centro e l’espressione del raggio in funzione dei parametri a,b,c :ricaviamo da:

α2−=a → 2

a−=α

β2−=b → 2

b−=β

222 rc −+= βα → cbacba

r 42

1

2222

22

−+=−

−+

−=

Generalizzazione

L’equazione 022 =++++ cbyaxyx di secondo grado nelle incognite x e y è l’equazione di

una circonferenza di:

centro

−−

2,

2

baC e raggio c

bar −

−+

−=

22

22.

Nell’equazione di una circonferenza manca, sempre, il termine in xy e i coefficienti dei

termini 2x e 2y sono uguali.

Attenzione

Un’equazione di tipo 022 =++++ cbyaxyx è un’equazione della circonferenza se e solo se

il raggio è una quantità reale positiva, cioè se:

022

22

>−

−+

−= c

bar → 0

22

22

>−

−+

− c

ba

Se il raggio è nullo la circonferenza degenera nel punto

−−

2,

2ba

C .

CirconferenzaPosizioni particolari della circonferenza nel piano

a = b = 0

La circonferenza ha equazione: 022 =++ cyx

essendo 02

=− a ∧ 02

=− b il centro ha coordinate

C(0,0) e coincide con l’origine degli assi cartesiani, il

raggio cr −=

a = c = 0

La circonferenza ha equazione: 022 =++ bxyx , il

raggio è |2

|2

2bb

r −=

−= , il centro appartiene

all’asse delle y e ha coordinate C(0,r) essendo 02

=− a ∧

|2

|b

r −= ed è tangente all’asse delle x nell’origine

degli assi

b = c = 0

La circonferenza ha equazione: 022 =++ axyx , il

raggio è |2

|2

2aa

r −=

−= , il centro appartiene

all’asse delle x e ha coordinate C(r,0) essendo 02

=− b

∧ |2

|a

r −= ed è tangente all’asse delle y nell’origine

degli assi

Circonferenza

a = 0

La circonferenza ha equazione: 022 =+++ cbxyx , centro appartiene all’asse delle y e ha coordinate

−=

2,0b

C , essendo 02

=− a e il raggio

cb

r −

−=

2

2.

b = 0

La circonferenza ha equazione: 022 =+++ caxyx , il centro appartiene all’asse delle x e ha coordinate

−= 0,

2

aC , essendo 0

2=− b e il raggio

ca

r −

−=

2

2.

c = 0

La circonferenza ha equazione: 022 =+++ byaxyx , passa per l’origine degli assi, il centro ha coordinate

−−=

2,

2

baC e il raggio

22

22

−+

−= ba

r

CirconferenzaRetta e circonferenza nel piano. Una retta e una circonferenza nel piano possono incontrarsi: in due punti, in un solo punto o in nessun punto. Il verificarsi di uno qualsiasi di questi casi dipende dalla distanza a cui si trova la retta rispetto al centro della circonferenza.

Osserviamo le immagini:

La retta è secante, incontra la circonferenza in due punti, e la distanza CH è minoredel raggio CA = r cioè rCH <

La retta è esterna, non incontra la circonferenza (caso 2), se la distanza CH è maggiore delraggio CA = r cioè rCH >→

La retta è tangente, incontra la circonferenza in un punto doppio (caso 3), se la distanza CH è uguale del raggio CA = r cioè rCH =→

Per trovare i punti che hanno in comune la circonferenza e la retta dobbiamo risolvere il seguente sistema:

+==++++

qmxy

cbyaxyx 022

L’equazione risolvente è un’equazione di secondo grado nella variabile x, le cui soluzioni dipendono dal delta o discriminante :

♦Se ∆ > 0 ammette due soluzioni reali distinte e quindi la retta è secante

♦Se ∆ < 0 non ammette soluzioni reali e quindi la retta è esterna

♦Se ∆ = 0 ammette due soluzioni reali coincidenti e quindi la retta è tangente

•Retta secante 2 punti in comune con la circonferenza , distanza retta raggio rd <nell’equazione risolvente ∆ > 0

•Retta esterna nessuna punto in comune con la circonferenza , distanza retta raggio rd >nell’equazione risolvente ∆ < 0•Retta tangente 1 solo punto in comune con la circonferenza , distanza retta raggio rd = nell’equazione risolvente ∆ = 0

CirconferenzaEsercizio 1Retta tangente alla circonferenza

Vogliamo calcolare le equazioni delle rette condotte per un punto ),( pp yxP , tangenti ad una

circonferenza 022 =++++ cbyaxyx .

Stabiliamo innanzitutto se il punto è esterno, interno o appartiene alla circonferenza: conoscendo dove si trova il punto possiamo individuare quante sono le tangenti alla circonferenza che passano per quel punto.

Dato il punto ),( pp yxP sostituiamo le sue coordinate nell’equazione della circonferenza C:

022 =++++ cbyaxyxPossiamo ottenere:•un’identità → P∈ C•un valore maggiore di zero → P è esterno alla C•un valore minore di zero → P è interno alla C

Procedimenti per trovare la tangente

Per trovare l’equazione della retta passante per ),( pp yxP tangente alla circonferenza

022 =++++ cbyaxyx possiamo procedere in diversi modi:

1 – metodometodo algebrico: imponendo la condizione di tangenza•Troviamo l’equazione del fascio proprio di rette che hanno come punto di sostegno il punto

),( pp yxP )( pp xxmyy −=−•Mettiamo l’ equazione del fascio in sistema con l’equazione della circonferenza,

il punto P è esterno alla circonferenza C, due tangenti

il punto P appartiene alla circonferenza C, una sola

tangente

il punto P è intrno alla circonferenza C, nessuna

tangente

−=−=++++

)(

022

pp xxmyy

cbyaxyx

•Troviamo l’ equazione risolvente che è un’equazione di secondo grado in x o in y,

[ ] [ ] 0)()( 22 =++−+++−+ cyxxmbaxyxxmx pppp

•Applichiamo la condizione di tangenza, cioè poniamo il 0=∆•Ricaviamo i valori del coefficiente angolare, che saranno:a) due distinti se il punto è esterno alla circonferenzab) due coincidenti in uno se il punto appartiene alla circonferenza•Sostituiamo i valori trovati nell’equazione del fascio e determiniamo l’equazione delle tangenti.

2 – metodometodo geometrico: la distanza della retta dal centro è uguale al raggio della circonferenza

•Scriviamo l’equazione del fascio che passa per il punto ),( pp yxP : )( pp xxmyy −=−•Calcoliamo le coordinate del centro della circonferenza C e il raggio:

C(α,β); 022

22

>−

−+

−= c

bar .

•Calcoliamo la distanza del centro dal fascio, utilizzando la proprietà che la distanza tra la retta tangente e il centro della circonferenza è uguale al raggio•Poniamo la distanza trovata uguale al raggio della circonferenza:

rm

ymxmd pp =

+

+−−=

1

||2

βα

•Ricaviamo i valori del coefficiente angolare, che saranno:a) due distinti se il punto è esterno alla circonferenza;b) due coincidenti in uno se il punto appartiene alla circonferenza•Sostituiamo i valori trovati nell’equazione del fascio e determiniamo l’equazione delle tangenti.

3 – metodometodo geometrico: tangente e raggio sono perpendicolari

•Scriviamo l’equazione del fascio che passa per il punto ),( pp yxP : )( pp xxmyy −=−•Calcoliamo le coordinate del centro della circonferenza C(α,β)

•Calcoliamo il coefficiente angolare PCm della retta che passa per il punto ),( pp yxP ,

appartenete alla circonferenza, e per il centro C(α,β)•Ricordando che la retta su cui giace il raggio e la retta tangente alla circonferenza sono

perpendicolari calcoliamo il coefficiente angolare della retta tangente PCm

m1−=

Sostituiamo il coefficiente trovato nel fascio passante per ),( pp yxP )(1

pPC

p xxm

yy −−=−

4 – metodometodo della regola dello sdoppiamento

Scrivere l’equazione della circonferenza C: 022 =++++ cbyaxyx , Sia CyxP pp ∈),(

Sostituire pxxx →2, pyyy →2

, 2

pxxx

+→ ,

2pyy

y+

→ ,

si applica la regola dello sdoppiamento 022

=++

++

++ cyy

bxx

ayyxx pppp

AttenzioneIl 3 e 4 metodo per la ricerca dell’equazione della retta tangente alla circonferenza valgono solo se il punto appartiene alla circonferenza stessa

Condizioni generali per determinare l’equazione di una circonferenza

L'equazione di una circonferenza 022 =++++ cbyaxyx dipende dai tre parametri a,b,c quindi

per ricavare l'equazione dobbiamo avere tre relazioni indipendenti fra loro che ci permettano di determinare i parametri.

Alcuni casi che possono presentarsi più frequentemente:1.La conoscenza delle coordinate degli estremi del diametro equivale a tre condizioni2.La conoscenza delle coordinate di un punto appartenente alla circonferenza rappresenta una condizione3.La conoscenza delle coordinate del centro rappresenta due condizioni4.La conoscenza delle coordinate di un punto di tangenza rappresenta due condizioni

Posizioni di due circonferenze nel pianoDue circonferenze in un piano possono essere: secanti, tangenti sia internamente che esternamente, esterne, interne sia concentriche che non concentriche. Se conosciamo la posizione dei centri e la misura del raggio di ciascuna circonferenza possiamo stabilire la loro posizione.

Le circonferenze sono esterne, non hanno punti in comune

Le circonferenze sono tangenti internamente, hanno un punto in comune D

Le circonferenze sono secanti, hanno due punti in comune

Le circonferenze sono tangenti esternamente, hanno un punto in comune D

Le circonferenze sono esterne e tangenti in un punto in comune

Le circonferenze sono esterne e secanti in due punti.

Per stabilire se due circonferenze C: 022 =++++ cbyaxyx e C1: 011122 =++++ cybxayx si

intersecano dobbiamo mettere in sistema le loro equazioni

=++++=++++

0

0

11122

22

cybxayx

cbyaxyx

se 1aa ≠ e 1bb ≠ possiamo applicare il metodo della riduzione sottraendo membro a membro e

otteniamo l’equazione di una retta 0)()()( 111 =−+−+− ccybbxaa . Questa retta è chiamata asse radicale ed è perpendicolare alla retta congiungente i centri delle due circonferenze.

Il sistema iniziale si è quindi ridotto a

=−+−+−=++++

0)()()(

0

111

22

ccybbxaa

cbyaxyx

• Se il sistema ammette due soluzioni distinte le circonferenze si intersecano• Se il sistema ammette una soluzione le circonferenze sono tangenti• Se il sistema non ammette soluzioni le circonferenze si non si intersecano

Le circonferenze sono una interna all’altra, ma non concentriche, non hanno punti in comune

Le circonferenze sono una interna all’altra e concentriche, non hanno punti in comune

FormularioFORMULARIO

CIRCONFERENZAEquazione canonica della circonferenza

022 =++++ cbyaxyx con ℜ∈cba .,Equazione della circonferenza

222 )()( ryx =−+− βαCoordinate del centro della circonferenza

);( βαC ) o

−−

2,

2ba

C

Raggio della circonferenza

cba

r −

−+

−=

22

22Equazione retta tangente in un punto appartenente alla circonferenza (regola sdoppiamento)

022

=++++++ cyy

bxx

ayyxx PPPP