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Caratterizzazione del calcestruzzo fibrorinforzato e proiettato:

prove su piastra

Caratterizzazione del calcestruzzo fibrorinforzato e proiettato: prove su piastra

Strutture speciali di difesa Esercitazione 21/11/2005

1



2

Indice• Normativa: UNI 10834

• Introduzione, produzione e controllo del calcestruzzo proiettato

• Prove di assorbimento energia

• Piastre

• Formulazione elastica

• Calcolo a rottura

• Metodo delle strisce

• Metodo delle linee di plasticizzazione

• Esempi

• Il caso della piastra quadrata con carico concentrato



3

Calcestruzzo proiettato - NormativaUNI 10834 (Ottobre 1999)

Riguarda la definizione, la composizione, le modalità di confezione,il controllo e la posa in opera del calcestruzzo proiettato.

Classificazione in funzione della resistenza

1. Le prestazioni meccaniche dei calcestruzzi proiettati strutturali devono soddisfare la normativa in vigore2. La resistenza caratteristica a compressione dei calcestruzzi proiettati strutturali deve risultare maggiore di 15 MPa



4


Classificazione in funzione della destinazione d’uso



5


Classificazione in funzione dello sviluppo della resistenza

Classificazione in funzione della resistenza a flessione

Modalità di prova: UNI 6133

In assenza di prove sperimentali, i dati del prospetto permettono di correlare la resistenza a flessione con le classi di resistenza a compressione

UNI EN 12390-5



6


Classificazione in funzione all’assorbimento di energia di deformazione



7


Composizione

CALCETRUZZOPROIETTATO

AcquaprEN 1008

CementoUNI EN 197UNI 11104

AggregatiUNI 8520

UNI EN 12620

Fibremetalliche opolimericheAdditivi

coesivizzantiprEN 934-5

Additiviacceleranti

prEN 934-5

Additivi(miscela base)

UNI EN 934-2, UNI 7109,UNI 7120, UNI 10765

Specifici per calcestruzzo proiettato



8


ControlliControlli sulla miscela base

•Miscela base per proiezione per via secca•Analisi dei costituenti (UNI 6393)•Umidità degli aggregati (CNR UNI 10008)

•Miscela base per proiezione per via umida•Umidità degli aggregati (CNR UNI 10008)•Consistenza della miscela umida (UNI 9418 → UNI EN 12350-2)•Contenuto d’aria (UNI 6395 → UNI EN 12350-7)•Massa volumica (UNI 6394-1 → UNI EN 12350-6)•Controllo quantitativo dei componenti (UNI 6393)•Resistenza a compressione del calcestruzzo (UNI 6132 → UNI 12390-3)



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ControlliControlli durante la proiezione

• Dosaggio degli additivi per la proiezione (UNI 10834)• Verifica dello sfrido (UNI 10834)

Controlli sul calcestruzzo proiettato giovane

• Curva di sviluppo della resistenza del calcestruzzo giovane determinata con uno dei seguenti metodi:

• penetrometro modificato (UNI 10834)• sparo/estrazione di chiodi (UNI 10834)



10


ControlliControlli sul calcestruzzo proiettato indurito

• resistenza a compressione su provini ricavati da carote prelevate da piastra e/o da parete (UNI 6131)• massa volumica (UNI 6394-2 → UNI EN 12350-6)• resistenza ai cicli di gelo/disgelo (UNI 7087) - opzionale• resistenza a flessione (UNI 6133 → UNI EN 12390-5) – opzionale

Qualora siano presenti fibre nel calcestruzzo, possono essere richieste anche le seguenti determinazioni:

• energia di deformazione (UNI 10834) • contenuto di fibre metalliche (UNI 10834)



11


Energia di deformazione – Metodo di prova

• Il metodo è applicabile a calcestruzzi proiettati fibrorinforzati per valutarne la capacità di assorbimento di energia di deformazione mediante prova di punzonamento su piastre di dimensioni normalizzate.

• Dimensione delle piastre 600x600x100 mm

• Il punzone deve sezione quadrata di lato (100 ± 0,1) mm e superficie di carico rettificata e durezza di 50 HRC (impronta Vickers). Deve essere verificata l’assialità dell’applicazione del carico mediante misure geometriche.

• Per ogni prova si utilizzano almeno 3 provini



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Energia di deformazione – Metodo di prova• Dopo una stagionatura di 28 giorni nelle condizioni ambientali della struttura secondo la UNI 6127 (UNI EN 12390-2), la piastra, conservata in acqua a (20 ± 2) °C per almeno 3 giorni prima della prova e mantenuta umida durante l’esecuzione della prova stessa, viene appoggiata sul telaio metallico in modo da presentare una luce libera di (500 mm × 500 mm) ± 2 mm ed essere caricata centralmente dal punzone con la superficie di getto rivolta verso l’alto.

•Il carico viene applicato imponendo al centro della piastra un gradiente costante di spostamento pari a 1,5 mm/min. Durante la fase di carico, vengono registrate le coppie dei valori carico-spostamento fino a superare lo spostamento di 25 mm. Lo spostamento rilevato deve essere quello effettivo del punto di applicazione del carico.



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A partire dalla curva carico-spostamento deve essere tracciata una seconda curva che descriva energia cumulativa assorbita in funzione dello spostamento rilevato sul centro della piastra.

La curva energia cumulativa-spostamento è determinata mediante il calcolo dell’area progressivamente sottesa alla curva carico spostamento.

0 10 20 30 40

Spostamento [mm]

0

10

20

30

40

Car

ico

[kN

]

Prova 1Prova 2Prova 3

Piastre SFRC 600x600x100



14



0 2 4 6 8 10

Spostamento [mm]

0

10

20

30

40

Car

ico

[kN

]

Prova 1Prova 2Prova 3

Piastre SFRC 600x600x100



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Teoria delle piastre – Calcolo elasticoIpotesi1. Spessore della piastra piccolo (indicativamente <1/5 della minima luce)

2. Spostamenti della piastra piccoli (<1/5 dello spessore)

3. Materiale omogeneo ed isotropo, con comportamento elastico lineare

4. Sezioni piane: un segmento originariamente rettilineo e ortogonale al piano medio rimane rettilineo e normale al piano medio dopo il processo deformativo

5. Il piano medio della piastra subisce soltanto spostamenti verticali

6. Si trascurano le deformazioni taglianti

Modello di piastra di Kirchoff



16

( )2 22

2 2, 2y xyx M MMp x yx y x y

∂ ∂∂− = + + ⋅

∂ ∂ ∂ ∂

Teoria delle piastre – Calcolo elastico

( )22

2 2, yx MMp x yx y

∂∂− = +

∂ ∂

Equazione indefinitadi equilibrio

Ipotesi: 0xyM =

(Non si considera la torsione)

[2]

[1]



17

Teoria delle piastre – C.A.Validità dell’ipotesi di torsione nulla

•A- In una piastra di c.a. fessurata la zona compressa ha una profondità limitata a valori pari al 20-25% dello spessore e di conseguenza il braccio associato alle tensioni tangenziali dovute alla torsione è piccolo.•B- Modesta efficacia dell’ingranamento degli inerti e dell’azione di spinotto in presenza di valori medio-piccoli per l’aggregato e per le barre di armatura (situazioni comuni per le piastre in c.a.).

Si ipotizza che la piastra si comporti come un insieme di strisce disposte nelle direzioni x e y, ciascuna soggetta a flessione e taglio

2

0xyMx y

∂=

∂ ∂



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Teoria delle piastre C.A. – Calcolo a rottura

•La piastra giunge al collasso dopo la formazione di una serie di bande fessurate (sia al negativo che al positivo), lungo le quali sono concentrate le deformazioni, mentre nei campi adiacenti non sono riscontrabili significativi stati deformativi. Tali campi si conservano quasi piani.

•Le deformazioni lungo le bande si presentano come micro e macro fessure nel calcestruzzo teso e deformazioni oltre il limite elastico nelle barre di armatura.

•SLU: la piastra si considera formata da un insieme di blocchi rigidi uniti lungo vincoli lineari da barre di armatura snervate.



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Teoria delle piastre – Calcolo a rotturaIl comportamento allo stato limite ultimo della piastra, così come descritto, può essere efficacemente modellato attraverso i metodi dell’Analisi Limite

Concetti1. Momento limite di una sezione Momento resistente fornito dalla sezione quando è

totalmente plasticizzata. E’ il massimo momento sopportabile dalla sezione. E’ indipendente dalla rotazione ϕ della sezione, se il materiale è ipotizzato rigido-plastico (si trascura il suo comportamento elastico)



20

Teoria delle piastre – Calcolo a rotturaConcetti

2. Linea di plasticizzazione Insieme di sezioni ortogonali al piano medio che hanno raggiuntoil momento limite plastico ML. In pianta, appaiono come linee continue, eventualmente con delle biforcazioni. Corrispondono alle linee di fessurazione lungo le quali le barre di armatura sono snervate. Nelle strutture monodimensionali (travi) si parla di cerniera plastica per indicare una sezione plasticizzata che fornisce il momento massimo plastico ML. La cerniera plastica ha rigidezza nulla nel momento in cui raggiunge il momento plastico limite.

0≠LM 0ϕ

∂=

∂M

f = rotazione



21


3. Redistribuzione delle azioni interne La formazione di linee di plasticizzazione (cioè di zone della piastra che raggiungono il loro momento limite) comporta un’evoluzione continua del modo di resistere ai carichi della struttura. L’evoluzione ha termine solo quando le linee di plasticizzazione raggiungono il bordo della piastra e definiscono un meccanismo di collasso.

Analogia con una struttura monodimensionale: la trave

(b) Regime elastico (c) regime all’incipiente collasso (d) cinematismo di collasso

2

12 ⋅= e

eMp

L



22


4. Cinematismo di collasso La struttura labile che si ottiene come risultato della diminuzione del grado di vincolo dovuto alla formazione delle linee di plasticizzazione è indicata come cinematismo di collasso. Il carico che garantisce l’equilibrio (insieme ai momenti plastici forniti dalle linee di plasticizzazione) è indicato come carico ultimo e rappresenta la capacità portante della struttura.

Anche in ambito plastico si devono rispettare:

EQUILIBRIO RESISTENZA CONGRUENZA



23

Teoria delle piastre – Calcolo a rotturaEQUILIBRIO e RESISTENZA

EQUILIBRIO e CONGRUENZA

TEOREMA STATICO Qualsiasi carico cui corrisponda un campo di azioni interne che garantisca l’equilibrio e l’ammissibilità statica (Staticamente ammissibile), è inferiore o uguale al carico ultimo esatto.

TEOREMA CINEMATICO Qualsiasi carico cui corrisponda un campo di azioni interne che garantisca l’equilibrio e la formazione di un cinematismo di collasso (Cinematicamente sufficiente), è superiore o uguale al carico ultimo esatto.

ψ β≤ ≤uP P P

Metodo delle strisce (Rankine – Grashof – Hillerborg)

Metodo delle linee di plasticizzazione (Yield-Lines)

[3]



24

Teoria delle piastre – Calcolo a rotturaOsservazioni

Si tenga presente che il calcolo della capacità ultima di un struttura effettuato con l’ausilio della teoria dell’analisi limite comporta l’utilizzo di un materiale supposto rigido-plastico (o anche elasto-plastico) perfetto. Nel caso delle piastre, e più in generale nel caso di strutture in c.a., significa che il collasso deve avvenire lato acciaio (per flessione con plasticizzazione dell’armatura).

Sono quindi esclusi i casi seguenti:

• Piastre fortemente armate con collasso lato calcestruzzo• Piastre con meccanismo di collasso dovuto a taglio• Piastre con possibilità di sfilamento dell’armatura (grossi diametri per le barre e copriferro vicino ai minimi da normativa)



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Metodo delle strisce (Rankine - Grashof – Hillerborg)Teoria delle piastre

•Si considerano due strisce di larghezza unitaria nelle due direzioni

•Carico uniformemente distribuito di intensità p [kN/m2] o concentrato

•Si assume che la striscia in direzione x sia caricata con una frazione del carico px=p*a

•Di conseguenza la striscia in direzione y è caricata con una frazione del carico py=p*(1-a)

Esistono infiniti campi di momento in grado di soddisfare l’equazione [2], ma per il calcolo del carico ultimo, la distribuzione esatta è quella che corrisponde alla formazione di un cinematismo



26

Teoria delle piastreMetodo delle strisce (Rankine - Grashof – Hillerborg)

Dall’equazione [1] si ottiene quindi:

2

2 α∂

= − ⋅∂

xmp

x( )

2

2 1 α∂

= − − ⋅∂

ymp

y

Le [4] descrivono il comportamento a trave della generica striscia di larghezza unitaria in direzione x e y, vincolate secondo i vincoli della piastra.La scelta del valore di α (nel rispetto dell’equilibrio rappresentato dalle equazioni [4]) porta ad avere carichi variabili oppure costanti sulle strisce.

[4a, 4b]

α=1

α=0

Tutto il carico compete alla i-esima striscia in direzione x

Tutto il carico compete alla i-esima striscia in direzione y



27

Teoria delle piastreMetodo delle strisce (Rankine - Grashof – Hillerborg)Esempio – Piastra rettangolare appoggiata al contorno



28

Teoria delle piastreMetodo delle strisce (Rankine - Grashof – Hillerborg)Esempio – Piastra rettangolare appoggiata al contorno

( ) ( ) ( ) 21 1

12 3 6 36− = ⋅ ⋅ = ⋅q b bm qb ( ) ( ) 2

2 21

2 4 8− = ⋅ ⋅ = ⋅b bm q qb

( ) ( ) ( ) 23 3

12 3 6 36− = ⋅ ⋅ = ⋅q b bm qb ( ) ( ) 2

4 41

3 6 18− = ⋅ ⋅ = ⋅b bm q qb

0.8−=

⋅ ⋅i i

syd

mA

f t

Con fyd la tensione di progetto dell’acciaio delle barre di armatura e t lo spessore della piastra

Calcolo dei momenti



29

Teoria delle piastreMetodo delle strisce (Rankine – Grashof – Hillerborg)Confronto con trave

S=momento di progetto per una trave di lunghezza lx o ly



30

Teoria delle piastreMetodo delle linee di plasticizzazione (Yield-Lines method)

Ipotesi di meccanismo di collasso

Calcolo del lavoro interno

Calcolo del lavoro esterno

Li = Le

Ripetere i passi da 1 a 3 per ogni possibile

meccanismo di collasso

I valore del carico più basso è il carico ultimo

Si scrive l’uguaglianza tra il lavoro virtuale esterno e il lavoro virtuale interno (lavoro effettuato da dai carichi e dai momenti limiti per gli spostamenti e le rotazioni dovute allo spostamento virtuale imposto).

L’uguaglianza dei due lavori è condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio del sistema.

Non si considerano nel calcolo i tagli e i momenti torcenti sulle linee di plasticizzazione perché non corrispondono a spostamenti e quindi non producono lavoro

Questo metodo di calcolo va sotto il nome di Metodo Energetico.



31


( ) ( ) ( )1, 1,, ,δ θ

= =⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅∑ ∑∫∫uj j j u Li i nij m i nA

P x y p x y dx dy m L

Principio dei lavori virtuali

• n linee di plasticizzazione di lunghezza Li e momento limite mLi• Puj: carico concentrato j-esimo• Pu(x,y): carico distribuito• δ(x,y): spostamento virtuale• θni: rotazione i-esima dovuta allo spostamento virtuale

[5]



32


Per ricavare dall’equazione [5] la combinazione di carico ultima è necessario mettere in relazione i carichi distribuiti con quelli concentrati tramite fattori di proporzionalità.

* 2α= ⋅ ⋅uj j uP p a ( ) ( )*0, ,α= ⋅ ⋅u up x y p f x y

Dove αj e α0 sono due fattori adimensionali, il carico di riferimento, a una dimensione significativa della piastra e f(x,y) una funzione

*up

( ) ( ) ( ){ }* 201,

, , , ...α δ α δ=

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =∑ ∫∫u j j jj m Ap a x y f x y x y dx dy

( )1,... θ θ

== ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∑ Lxi xi xi Lyi yi yii n

m L m L

[6a, 6b]

[7]



33

Teoria delle piastreMetodo delle linee di plasticizzazione (Yield-Lines method)Identificazione del meccanismo di collasso reale

Se i fattori αj, α0 e a permettono di identificare un particolare meccanismo, la [7] permette di risolvere il problema, ricavando il carico ultimo. Se, al contrario, sono necessari altri parametri geometrici (λk), l’espressione [7] conterrà anche questi parametri ignoti. Il loro valore in corrispondenza del cinematismo di collasso reale è tale per cui il carico ultimo è minimo.



34

Teoria delle piastreMetodo delle linee di plasticizzazione (Yield-Lines method)Identificazione del meccanismo di collasso reale

* 2 *

21...

0 0λ λ

=

⎛ ⎞∂ ∂= >⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

u u

k kk h

p pcon

Si procede quindi alla minimizzazione di rispetto a ciascun parametro geometrico *up

[8]

La soluzione della [8] permette di definire completamente il cinematismo di collasso e di ricavare il carico ultimo *

up



35

Teoria delle piastreMetodo delle linee di plasticizzazione (Yield-Lines method)Esempio – Piastra quadrata appoggiata al contorno – Carico distribuito

Lavoro esterno

Lavoro interno

213

δ= ⋅ ⋅ ⋅eL p a

( ) 22δδθ θ= = =x y a a

( ) ( )4 42 2θ θ+ += ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅i x x y xa aL m m

( ) ( )22 8δ δ+ + += ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅i x yL m m a ma

=i eL L 224+

= ⋅umpa



36

Teoria delle piastreMetodo delle linee di plasticizzazione (Yield-Lines method)Esempio – Piastra rettangolare appoggiata al contorno – Carico distribuito

1x a

δθλ

=⋅ 2y b

δθ =

Lavoro esterno

12 3eL p a b λδ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )2 1 23 2ea b bL p aλ δ δ λ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎡ ⎤= ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦



37


Lavoro interno

=i eL L ( )2

16 4

3 2

ym kkp

k bλ

λ

+ ⎛ ⎞⋅ ⋅ + ⋅⎜ ⎟⋅⎝ ⎠=⋅ ⋅ − ⋅

( ) ( ) ( )1 14 1 2 2 42i x x y y y ybL m m a m aθ λ θ λ θ+ + += ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1

2 22i x yL m b m a

a bδ δ

λ+ += ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

⋅

1

2 4xi y

mL m kk

δλ

++⎡ ⎤⋅

= + ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥⋅⎣ ⎦ak b=



38


Derivando la precedente equazione rispetto alla variabile l e imponendo la stazionarietà:

2

2

1 1 64

kk

λ − + + ⋅=

⋅

2K =

4K =

K → ∞

0.25λ =

0.14λ =

0λ → 28u yp m b+→ ⋅

212u yp m b+→ ⋅29.6u yp m b+→ ⋅



39

Confronto travetto - piastraTravetto fibrorinforzatoFibre uncinate L=50mm L/d=50 – 50 kg/m3

Caratteristiche geometrichea=550mmb=550mmh=100mm

P: carico ultimo da determinare

Piastra fibrorinforzataFibre uncinate L=50mm L/d=50 – 50 kg/m3

Caratteristiche geometrichea=550mmt=100mm



40

Confronto travetto - piastra(Calcolo con Yield-Lines method)Esempio – Piastra quadrata appoggiata al contorno – Carico concentrato

Lavoro esterno

Lavoro interno

eL p δ= ⋅

( ) 22δδθ θ= = =x y a a

( ) ( )4 42 2i x x y ya aL m mθ θ+ += ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

( ) ( )22 8δ δ+ + += ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅i x yL m m a ma

=i eL L 8up m+= ⋅



41

Confronto travetto - piastraCaratterizzazione del materiale: flessione a 4 punti su travetti 150x150 intagliati

0 1 2 3

CTOD medio [mm]

0

2

4

6

σ N [M

Pa]

123456media

2 6rd resm f h= ⋅

( )1,2

0,8

10,4

d

d

w

res Nd w

f w dww

σ= ⋅∫

0.02dw h= ⋅

Calcolo del momento resistente

(UNI/CIS/SC4 – SFRC)



42


Calcolo del momento resistente

( )( )

( ) ( )2 2 20 0 0

6 / 2 / 36 IfIf IfIf

P lM P lf

b h a b h a b h a

⋅ ⋅⋅ ⋅= = =

⋅ − ⋅ − ⋅ −

( )maxIfP P=

00 0.025w CTOD mm≤ ≤ =



43


3.77resf MPa=

3.51Iff MPa=

2

62836res reshm f Nmm= ⋅ =2

58506If Ifhm f Nmm= ⋅ =

Travetto

2 2 4u u

uP P aaM ⋅

= ⋅ =4 4u res

uM m bPa a

⋅ ⋅ ⋅= =

( ) 4 6283 550 25132550u resP f N⋅ ⋅

= = ( ) 4 5850 550 23400550u IfP f N⋅ ⋅

= =



44


3.77resf MPa=

3.51Iff MPa=

2

62836res reshm f Nmm= ⋅ =2

58506If Ifhm f Nmm= ⋅ =

Piastra – Yield Lines Method

8uP m+= ⋅

( ) 8 6283 50264u resP f N= ⋅ =

( ) 8 5850 46800u IfP f N= ⋅ =



45

Bibliografia1. Gambarova P., Coronelli D., Bamonte P., Linee guida per la progettazione delle

piastre in c.a., edizione PERI, 20042. Corradi dell’Acqua L., Meccanica delle strutture – Le teorie strutturali e il metodo

degli elementi finiti, McGraw-Hill, 19933. Corradi dell’Acqua L., Meccanica delle strutture – La valutazione della capacità

portante, McGraw-Hill, 19934. Corradi dell’Acqua L., Meccanica delle strutture – Il comportamento dei mezzi

continui, McGraw-Hill, 19935. Bares R., Calcolo di lastre e piastre con la teoria elastica lineare, Edizioni Città

Studi, 19926. UNI, UNI 10834 - Calcestruzzo proiettato, Ente nazionale italiano di unificazione,

19997. Di Prisco M., Mauri M., Pavimentazioni industriali in calcestruzzo fibrorinforzato,

Politecnico di Milano e Trafileria Badessi, 2004

[email protected]

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