Titolo: Artefatti come strumenti per costruire significati

matematici alcuni esempi di utilizzo nella scuola primaria

Sottotitolo: Laboratorio didattico di matematica Progetto PerContare

Capitolo 6

Relazione finale anno di prova discussa il giorno 25 giugno 2013

di Irene Ferrari

Cap. 6 Il progetto in opera

In questo capitolo ci si addentra nella sperimentazione vera e propria: qualche precisazione

sui materiali utilizzati (§ 6.1), esempi di attività con i diversi strumenti (§6.2 e

sottoparagrafi), altri spunti su alcuni nodi cruciali della matematica (§ 6.3) e riflessioni

finali sul progetto (§ 6.4).

6.1 Artefatti come strumenti per costruire significati matematici1

Il progetto come già accennato nel § 5.4 intende formare i docenti sull’uso di un sistema di

materiali manipolabili che coprono, nel loro complesso, gli aspetti epistemologici

fondamentali della prima competenza numerica.

Si tratta del risultato di un’ampia attività di ricerca, già oggetto di pubblicazioni scientifiche

a livello nazionale e internazionale.

Tali materiali vengono denominati “reti minime di artefatti ad alta manipolabilità ”. La

rete è “minima” nel senso che si evita la proliferazione di materiali commerciali che

richiedono soldi, molto tempo scolastico e sono di dubbia utilità.

Tra questi materiali vi sono artefatti già disponibili nello “zainetto” del bambino, artefatti

facilmente costruibili in classe con materiale povero, e un numero estremamente limitato di

artefatti commerciali.

Il materiale previsto nell’attività formativa del progetto si compone di:

Cannucce Abaco Pascalina

Bee-Bot Righello

Altri, invece, si sono costruiti in classe: contamani, linea dei numeri e

1 http://percontare.asphi.it/?page_id=106

conta decina.

Contamani Linea dei numeri Contadecina

Tutti questi strumenti possono contribuire all’insegnamento-apprendimento del nostro

sistema di notazione numerica, di strategie di calcolo mentale e delle tecniche comunemente

utilizzate nel calcolo scritto.

L’obiettivo generale, infatti, del progetto è quello di far apprendere gli allievi a scrivere,

ordinare e confrontare correttamente i numeri naturali e ad acquisire tecniche per

eseguire operazioni, ma che anche, contemporaneamente, aiutare loro affinchè inizino ad

appropriarsi del significato di “notazione posizionale” e di come, tale significato, si

correli a tecniche di calcolo.

La sperimentazione ha introdotto gli “strumenti di mediazione semiotica” in quest’ordine

nel corso della classe prima per poi continuare a lavorarci anche nel corso della seconda e in

futuro della terza: le mani, le cannucce, la linea dei numeri, la pascalina, l’abaco e bee-bot.

Gli strumenti sono stati utilizzati durante la sperimentazione per introdurre concetti

matematici e per:

- Incentivare gli allievi all’osservazione dei materiali descrivendoli: come è fatto?

- Stimolare gli allievi ad esprimere le loro ipotesi su ciascuno strumento relativamente

all’utilizzo per condividere schemi d’uso, esplicitare la correlazione che hanno con il

conteggio, la rappresentazione del numero e il calcolo: cosa fa?

- Proporre la costruzione e/o l’assemblaggio individuale, quando possibile, per dare loro la

possibilità di usarlo frequentemente, attribuendogli eventualmente un valore affettivo, ma

soprattutto per capire la profondità del funzionamento: il perché lo fa?

L’utilizzazione nella scuola di strumenti, come ad esempio l’abaco appartiene alla

tradizione didattica, tuttavia, il ricorso a sussidi didattici non garantisce di per sé l’accesso a

significati matematici.

Lo strumento è sempre contemporaneamente in relazione sia con l’esecuzione di un compito

specifico di carattere tecnico, sia con una specifica conoscenza matematica, ma questa

duplice azione non si instaura in modo meccanico e/o spontaneo. Meira (1995) sostiene che

i saperi che l’artefatto “incorpora” non sono necessariamente identificati da chi lo utilizza,

ossia l’artefatto può essere “opaco” per questi saperi. Per esemplificare, un allievo può

correttamente rappresentare numeri con l’abaco anche senza aver compreso la nozione di

valore posizionale delle cifre, può semplicemente possedere una tecnica, un automatismo

secondo il quale nelle aste dell’abaco, in successione, vanno infilate tanti gettoni quante ne

indicano le singole cifre che, anch’esse in sequenza, concorrono alla scrittura del numero.

Affinché lo strumento diventi “trasparente” è necessario che l’insegnante coinvolga gli

allievi in attività finalizzate a stabilire una relazione “virtuosa” tra schemi d’uso e sapere

matematico. In altri termini, è necessario individuare metodologie didattiche che consentano

di stabilire un legame, che si è detto non essere affatto scontato, tra l’uso di tecniche legate

all’interazione fisica con gli artefatti e specifici contenuti disciplinari.

Inoltre tra i “sussidi” in uso nelle scuole occorre operare un’importante distinzione: alcuni

strumenti appartengono alla storia della matematica; altri, di introduzione relativamente

recente, sono realizzati appositamente a scopo didattico (tra questi, ad esempio, i “numeri in

colore”).

Gli strumenti che appartengono alla storia della matematica come l’abaco o il pallottoliere

offrono uno specifico vantaggio: nel corso della storia della disciplina, hanno contribuito

alla costruzione di significati matematici, in questo senso, hanno già dato buona prova di sé

ed è, dunque, giustificato ritenere che possano dare un contributo analogo anche rispetto

allo sviluppo culturale degli allievi.

E sono quelli di cui principalmente si occupa il gruppo di ricerca in didattica della

matematica di Modena e Reggio Emilia.

6.2 Esempi di attività con…

6.2.1 Mani

Competenze:

- Contare sia in senso progressivo che regressivo; - Leggere e scrivere numeri in base dieci;

- Eseguire calcoli; - Produrre semplici congetture; - Giustificare le proprie idee durante una discussione matematica con semplici

argomentazioni.

Le mani sono un artefatto sempre a portata di mano.

Il ricorrere alle mani per contare è un’esperienza significativa e generalizzata per i bambini

che accedono alla scuola primaria ed è importante valorizzare questo “sapere”, fin dai primi

giorni di scuola.

Dice Butterworth, 1999: “Senza la capacità di associare la rappresentazione dei numeri

alla rappresentazione neurale delle dita e delle mani nelle loro posizioni normali, gli stessi

numeri non possono avere una rappresentazione normale nel cervello”.

La didattica della matematica dice che:

- Fin dall’inizio è bene favorire l’uso delle dita e consentirne l’uso fino a che i bambini

non lo abbandonano da soli;

- È bene usare le dita perché possono facilitare la concezione di addizione e sottrazione

come operazioni complementari;

- Alzare e abbassare le dita in maniera sequenziale oppure simultanea può influenzare i

processi cognitivi coinvolti e comunque è indicativo rispetto a questi;

- No all’uso di un etichettamento rigido delle dita;

- È bene usare le dita per la loro struttura naturale di 10 in tutto e 5 per mano.

- Lavorare sul calcolo a mente e chiedere ai bambini di aiutarsi con le dita (e poi di

immaginarsele).

All’inizio della prima l’insegnante ha chiesto ai suoi alunni di disegnare le mani mentre

contano.

Ecco qualche risultato:

6

L’insegnante ha, poi, proposto di costruire uno strumento che serve per contare e calcolare:

il contamani.

Insieme agli allievi se ne è condiviso lo schema d’uso:

Uso:

1) abbassare tutte le dita di carta (azzerare lo strumento)

2) abbinare la filastrocca numerica da 1 a 10 con il sollevamento delle

dita

Con il contamani si è contato, giocato e calcolato:

- La maestra dice un numero e i bambini devono posizionare correttamente il

contamani per rappresentare il numero (da 1 a 10);

- Mettendo le mani dietro la schiena la maestra dice: Ho le dita di una mano

sollevate e ancora altre quattro dita sollevate. Che numero è?

Si è disegnato il contamani in azione:

Avanti ed indietro

Si è realizzato un memory con le foto delle mani dei bambini:

Fino ad effettuare alcune

Riflessioni collettive sul contamani

Ci siamo accorti, disegnando i vari numeri con il contamani, che

NON IMPORTA QUALI DITA SOLLEVO, è IMPORTANTE, INVEC E,

SOLLEVARE LA GIUSTA QUANTITÀ DI DITA CHE SI VOGLION O CONTARE.

Ancora mani …

Di solito partiamo con il contamani azzerato.

E se invece il contamani avesse tutte le dita alzate?

Questo esercizio è servito ai bambini per diventare più veloci nella rappresentazione dei

numeri con le dita e per diventare sempre più consapevoli che una mano rappresenta una

quantità di 5 e due mani una quantità di 10.

Nel corso della classe prima le mani sono state anche spesso rappresentate sul quaderno

mentre svolgevano la funzione di calcolare addizioni e sottrazioni.

Nel caso della sottrazione si è introdotta una nuova convenzione: una crocetta a segnalare le

dita che vengono abbassate, ma che graficamente vengono “tolte” tante volte quante ne

indica il sottraendo. Questa convenzione è stata negoziata con gli allievi.

In classe seconda, il “contamani” ha acquisito nuove funzioni.

Non bastano più le 10 dita, se si deve contare almeno sino a 100.

Se si volesse disegnare i numeri da 0 a 100 con il contamani sarebbe necessario disegnare

moltissime mani, troppe e non sarebbe funzionale.

Così insieme agli allievi si è deciso di modificare il contamani per facilitare il lavoro di

rappresentazione e di conteggio: ogni dito d’ora in poi varrà una decina.

Il contamani diventa un contadecina.

Lo strumento non perde le funzioni di prima, ma le integra.

Quest’anno si è,così , costruito un contadecina per ciascun bambino.

Esempi di attività con il conta decina:

Lavorare con il contamani e il

contadecina, in particolare, ha permesso di

effettuare alcune osservazioni-scoperte:

- Lo zero è un numero, un numero che rappresenta la quantità nulla: tutte le dita sono

abbassate;

- Non è necessario seguire una sequenza fissa durante il sollevamento o

l’abbassamento delle dita, affinché il conteggio sia corretto. Non esiste il dito numero

“1” o quello numero “2” , ma ciò che deve essere considerato è solo la “giusta”

quantità di dita che si vogliono contare;

- L’uso frequente degli strumenti nel calcolo di addizioni e sottrazioni permette agli

allievi, ad esempio, un primo accesso al significato di “0” come elemento neutro

nell’addizione e nella sottrazione e in particolare di esercitarsi sulle strategie di

calcolo veloce;

- Si compiono riflessioni sulla complementarietà di due numeri e sul significato

matematico dell’addizione e della sottrazione come operazioni inverse (sollevare ed

abbassare le dita sono azioni “contrarie”, “opposte”);

- Si approfondiscono i concetti di “unità” e “decina”.

6.2.2 Cannucce

Competenze:

- Contare sia in senso progressivo che regressivo; - Leggere e scrivere numeri in base dieci; - Eseguire calcoli; - Si vuole cominciare ad introdurre il concetto di decina come raggruppamento di dieci oggetti (eventualmente anche astratti); - Produrre semplici congetture; - Giustificare le proprie idee durante una discussione matematica con semplici

argomentazioni.

Questo strumento prende ispirazione dalle bacchette di bambù cinesi utilizzate in molte

culture asiatiche per lo sviluppo delle capacità di numerazione e calcolo.

Le cannucce in prima elementare sono state usate per eseguire concretamente semplici

calcoli, per affinare le strategie di calcolo e per approfondire i concetti di unità e decina.

Esempi di rappresentazione di numeri con le cannucce:

15

32

In classe seconda le cannucce sono state utilizzate per rappresentare numeri approfondire

ancora i concetti di unità e decina e, in particolare, per introdurre le addizioni e le sottrazioni

in colonna, soprattutto quelle con il “riporto” e il “prestito”, due termini che abbiamo

preferito non usare. Riportiamo sotto qualche riflessione sulla terminologia usata (e non).

Vediamo un po’

“ Una pratica diffusa nella scuola Italiana In seconda elementare gli allievi incontrano per la prima volta gli algoritmi per l’addizione e la sottrazione in colonna con numeri di 2 cifre. L’approccio è graduale. Prima si considerano i casi più naturali, come ad esempio:

45 + 22 = 37 – 22 =

In questi casi si può procedere senza problemi ad aggiungere decine a decine ed unità a unità (addizione) e a togliere decine da decine ed unità da unità (sottrazione). Nel passo successivo si considerano i casi in cui la somma delle unità supera la decina (addizione)

45 + 27 =

ovvero il numero di unità del sottraendo supera il numero delle unità del minuendo

37 – 18 =

In questi casi, nei libri di scuola italiani si introducono due termini “tecnici”, accompagnandoli con l’uso di materiale manipolativo e con narrazioni di vario tipo: riporto (addizione) e prestito (sottrazione). Nel caso del “prestito” la storia è una variazione sul tema seguente: le unità (7) non sono abbastanza e dunque vanno in prestito di una decina per cui 8 diventa 18 e così via. Dal punto di vista matematico, si opera, nel primo caso, componendo 10 unità a formare 1 decina e, nel secondo caso, scomponendo 1 decina in 10 unità.

[…]

Le pratiche e il lessico in Cina.

Vediamo come è affrontato lo stesso problema in Cina. E’ un grande paese non europeo, nel quale i curricoli sono fortemente centralizzati e sono pubblicate pochissime serie di libri di testo molto simili tra loro. Nei curricoli cinesi (nelle indicazioni nazionali, nei libri di testo, nelle guide per insegnanti e anche nella pratica didattica quotidiana) si usano termini derivati dagli schemi d’uso degli antichi artefatti per contare ed eseguire operazioni (le bacchette o cannucce; la tavola da calcolo, il suàn pán o abaco cinese):

addizione: composizione o avanzamento sottrazione: scomposizione o arretramento

Il significato della coppia di antonimi composizione / scomposizione è facilmente riconducibile al calcolo con le bacchette (vedi anche Bartolini Bussi, 2011). La figura 4 mostra il primo approccio alla decina all’inizio della prima elementare. L’insegnante (1) chiede al bambino di legare le bacchette a mazzetti di 10 e di dire i numeri2.

Il bambino (2) mostra alcuni casi di mazzetti legati e bacchette sparse e dice i nomi in modo preciso. In questo è facilitato dalla struttura del sistema di numerazione cinese, perfettamente trasparente per la notazione posizionale: dieci-uno (undici); dieci-cinque (quindici); due-dieci (venti). L’algoritmo dell’addizione è presentato in modo naturale unendo le unità sparse dei due addendi e le decine. Ogni volta che, nella somma, il numero di unità sparse supera 10, si lega un mazzetto. L’algoritmo della sottrazione è presentato in modo naturale togliendo unità da unità e mazzetti da mazzetti. Il caso più complesso del “prestito” è risolto slegando un mazzetto. C’è quindi una corrispondenza significativa tra il termine che denota l’azione e il termine tecnico introdotto.

2 I bambini hanno già praticato la numerazione orale nella scuola materna fino a 100. Per la numerazione scritta hanno già imparato i caratteri cinesi da uno a dieci e la scrittura dei numerali indo-arabici per copiatura da 1 a 100.

figura 4: la decina e i numerali (prima elementare)

10 + 10 + 10 + 10 + 7

10 + 4

Alle due azioni opposte (gli antonimi legare – slegare) corrispondono i due antonimi comporre – scomporre, che sono termini tecnici della matematica”3.

Alla luce di ciò, si sono elaborate attività sull’argomento tenendo conto di questi aspetti e

prendendo spunto da alcune attività cinesi:

Lavoro individuale poi confronto a piccolo gruppo

Osserva bene questa vignetta.

1) Cosa accade qui? Descrivi la vignetta.

2) Come risolvono il problema i tuoi coetanei cinesi? Saresti in grado di spiegare come hanno

fatto?

3) Ora proviamo a risolvere il calcolo con: cannucce, pascalina, abaco e calcolo in colonna.

CANNUCCE

47 + 14 = ….

3 Bartolini Bussi M., Scienze della Formazione, Università di Modena-Reggio Emilia, L’italiano per capire e studiare: la sottrazione con “prestito”in aritmetica

Figura 5: sottrazione senza scomposizione Figura 6: sottrazione con scomposizione

47 14

Quante sono le cannucce non legate (le unità) in entrambi i riquadri? ……………

Con le cannucce non legate (le unità) riusciamo a formare altri fascetti da 10? Quanti?………

Quante cannucce rimangono fuori? …………

Quanti sono i fascetti da 10 cannucce (le decine) in entrambi i riquadri? ………

Più quelli formati dalle unità? …………

Allora, 47 + 14 = ……..

10 + 10 + 10 + 6

10 + 10 + 10 + 6

10 + 10 + 5

10 + 6

Ancora cannucce:

36 – 8 = …..

36 8

Ora prova a risolvere queste due operazioni con le cannucce:

25 + 16 = …..

25

16

24 - 9 = …..

E LE ALTRE 2 CANNUCCE

CHE DEVO ANCORA TOGLIERE DA DOVE LE

PRENDO? SCOMPONGO UN

Lavorare con le cannucce ha dato la possibilità di:

- Contare concretamente;

- Approfondire i concetti di unità e decina;

- Riflettere sulle strategie di calcolo veloce;

- Operare realmente su addizioni e sottrazioni in cui bisogna comporre e scomporre

decine.

6.2.3 Linea dei numeri

Competenze:

- Contare sia in senso progressivo che regressivo; - Leggere e scrivere numeri in base dieci; - Eseguire calcoli; - Produrre semplici congetture; - Giustificare le proprie idee durante una discussione matematica con semplici

argomentazioni.

La linea dei numeri naturali è un strumento grafico-simbolico.

Si tratta di una semiretta orientata con origine “0”, nella quale ogni segmento delimitato da

due tacche rappresenta l’unità.

Lo strumento promuove eminentemente un approccio di tipo ordinale-ricorsivo al numero e

può far emergere l’idea che l’insieme dei naturali è infinito attraverso la considerazione

della continua possibile reiterazione dell’operatore +1.

In classe prima si è fatta disegnare la linea individualmente prima, poi a piccolo gruppo per

infine discutere tutti insieme i progetti degli allievi.

La maestra ha, poi, proposto delle linee dei numeri disegnate da altri bambini:

“Cosa ne pensate?” “Sono simili alle vostre?”

Si è costruita una linea dei numeri grande per tutta la classe con una specie di segnaposto

che poteva scorrere avanti e indietro.

Si

è

fabbricata

una linea dei

numeri

personale dove si poteva andare avanti e indietro con una graffetta.

Oltre il 10 …

La linea dei numeri da 0 a 20

Abbiamo individuato i numeri sulla linea dei numeri ed eseguito anche calcoli:

Riflessioni collettive

SULLA LINEA DEI NUMERI, I NUMERI SONO IN FILA.

I NUMERI SONO ORDINATI: SI INIZIA DA 0 E SI VA AVANTI SEMPRE DI 1.

LA LINEA DEI NUMERI È INFINITA .

SULLA LINEA DEI NUMERI UNO STESSO NUMERO NON SI RIPETE MAI.

TRA UN NUMERO E L’ALTRO C’È LO STESSO SPAZIO PERCHÉ CIÒ CHE SI CONTA

“ANDANDO AVANTI” È SEMPRE UN PASSO. È SEMPRE UNO CHE SI AGGIUNGE.

In classe seconda abbiamo costruito la linea dei numeri fino a 100 e continuato a fare

calcoli.

Lavorare con la linea dei numeri ha dato la possibilità di:

- Contare concretamente;

- Riflettere sulle strategie di calcolo veloce;

- Operare realmente su addizioni e sottrazioni;

- Riflettere su alcune caratteristiche dei numeri naturali interi.

6.2.4 Pascalina

Competenze:

- Contare sia in senso progressivo che regressivo; - Leggere e scrivere numeri in base dieci; - Cominciare a comprendere che il nostro sistema numerico è sia decimale sia

posizionale (unità e decine …); - Eseguire calcoli;; - Produrre semplici congetture; - Giustificare le proprie idee durante una discussione matematica con semplici

argomentazioni.

“La pascalina “Zero+1” è un artefatto prodotto dalla ditta italiana Quercetti ed evoca le

calcolatrici meccaniche costruite nella prima metà del Seicento da Schickard e da Pascal.

È costruito in plastica robusta e le sue dimensioni sono 27 cm x 16 cm.

Su una base sono disposte cinque ruote: due nella parte superiore (E e D) e tre nella parte

inferiore (A, B, C), disposte su tre diversi livelli.

Le due ruote superiore sono strutturali, nel senso che permettono il movimento degli

ingranaggi, mentre le tre ruote inferiori sono funzionali, legate alla rappresentazione dei

numeri. Sottili stanghette sono inserite sulle ruote D ed E: la stanghetta inserita in D

interagisce con la ruota B e quella posizionata sulla ruota E con la ruota C.

Il ruolo che svolgono queste stanghette è essenziale: consentono di automatizzare il cambio

(“riporti” e “prestiti” 4) che è il grande vantaggio di questa macchina aritmetica, in accordo

4 Tradizionalmente, nei libri di testo italiani si usano i termini “riporto”, per indicare la composizione di unità in decine, di decine in centinaia, ecc. (ad esempio, nelle operazioni di addizione e moltiplicazione in colonna) e “prestito”, per indicare la decomposizione di decine in unità, di centinaia in decine, ecc. (ad esempio, nell’operazione di sottrazione in colonna). Questa tradizione ha le sue origini (si veda, http://www.syllogismos.it/history/Sottrazione.pdf, ultimo accesso: dicembre 2010) nei libri di aritmetica pratica. La metafora usata per la sottrazione si scontra tuttavia con il significato di senso comune del termine “prestito”. Come si osserva nei libri di testo di altre cultura (ad esempio, i libri della scuola cinese) il prestito prevede almeno che ci sia una restituzione, cosa che ovviamente non si verifica nel caso della sottrazione. Sembra quindi più utile adottare termini diversi, quali composizione (al posto di riporto) e decomposizione (al posto di prestito). Sono termini matematici corretti e già utilizzati nella scuola (ad esempio,

con quanto riportato da Pascal.

Le ruote A, B e C rappresentano, rispettivamente unità, decine e centinaia (qualora la

virgola, di cui la macchina è fornita, resti posizionata nel foro predisposto a destra).

Spostando la virgola da destra verso sinistra è infatti possibile veder rappresentati: decine,

unità e decimi oppure unità, decimi e centesimi. Nella parte inferiore dello strumento tre

piccoli triangoli rossi indicano le cifre che devono essere considerate tra quelle riportate sui

dieci denti di ciascuna delle tre ruote C, D e E per la scrittura e lettura dei numeri.

La macchina Zero+1 è un artefatto di grande “visibilità”, nel senso che non ci sono parti

meccaniche nascoste: tutte le componenti dell’artefatto sono ben osservabili. Inoltre

mettendo in funzione lo strumento è possibile avvalersi di “feedback” (di carattere visivo,

cinestetico e acustico):

- con la vista, si può osservare la rotazione delle ruote ingranate e l’interazione di una delle

levette quando avviene nelle ruote A e B il passaggio da 0 a 1;

- con il tatto, si può percepire una rotazione che non è continua: c’è una lieve resistenza ogni

volta che una ruota avanza di un dente e occorre una spinta leggermente più forte quando

avviene il cambio;

- con l’udito, si percepisce un suono, un “click” più intenso, quando le levette entrano in

azione soprattutto quando si muovono tre ruote contemporaneamente (ciò avviene, ad

esempio, per passare da 99 a 100 oppure da 199 a 200)”5.

negli esercizi di confronto di numeri). Non sussiste quindi ragione per introdurre altri termini nuovi più lontani dal significato matematico. 5 Canalini Corpacci Rita, Ferri franca. Maschietto Michela (2010), Alla scoperta dei numeri e delle operazioni con Zero+1, Proposte di percorsi didattici per la scuola primaria

In prima elementare, prima di introdurre la pascalina abbiamo fatto alcuni accenni al nostro

sistema numerico per cominciare a comprendere cos’è un sistema numerico e che ve ne

sono diversi: Il nostro è un sistema numerico decimale.

ABBIAMO DECISO CHE IL NUMERO PIÙ STRANO È IL 10: PER SCRIVERLO SI UTILIZZANO DUE

NUMERI L’1 E LO 0.

SCRIVENDO TANTI NUMERI ABBIAMO NOTATO CHE I NUMERI DOPO IL NOVE NON SONO

ALTRO CHE LA COMBINAZIONE DEI NUMERI DA 0 A 9.

ES: 25, 432, 678 …. 198765432

IL NOSTRO SISTEMA NUMERICO

PER RAPPRESENTARE I NUMERI NOI UTILIZZIAMO DIECI CIFRE DA 0 A 9.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

QUESTE SONO LE CIFRE (I SIMBOLI) PER COMPORRE I NUMERI DEL NOSTRO SISTEMA NUMERICO.

IL SISTEMA NUMERICO È UN MODO PER ESPRIMERE, RAPPRESENTARE I NUMERI ATTRAVERSO I

SIMBOLI.

IL NOSTRO SISTEMA NUMERICO VIENE DEFINITO DECIMALE PERCHÉ PER SCRIVERE I NUMERI

USIAMO 10 CIFRE.

IL SISTEMA NUMERICO CHE UTILIZZIAMO CI GIUNGE DAGLI ARABI CHE A LORO VOLTA LO

AVEVANO APPRESO DAGLI INDIANI, PER QUESTO VIENE INDICATO COME INDO-ARABICO.

ESISTONO DIVERSI SISTEMI NUMERICI:

Cominciamo ad esplorare con i bambini la pascalina:

La pascalina è uno strumento che serve per contare e rappresentare numeri.

Descrizione

Ha 5 ruote dentate: 3 ruote hanno nei denti le cifre da 0 a 9 del nostro sistema numerico

sotto ognuna di queste tre ruote c’è un triangolo rosso che ci aiuta a leggere il numero.

Va azzerata come il contamani.

Riflessioni collettive sulla pascalina

ABBIAMO AZZERATO LA PASCALINA E ABBIAMO COMINCIATO A CONTARE DALLA RUOTA IN

BASSO A DESTRA E …

0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9

?

10

SCATTA LA RUOTA CENTRALE CHE INDICA 1 E LA RUOTA DI DESTRA 0.

E DOPO IL 10 ?

OSSERVIAMO ANCORA …

DOPO IL 10 LA RUOTA DI DESTRA RICOMINCIA A GIRARE E QUELLA CENTRALE RIMANE FERMA

SU 1.

11 – 12 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 – 18 – 19

?

20

La ruota centrale scatta ogni 10 scatti della ruota di destra.

ABBIAMO NOTATO CHE QUANDO ARRIVIAMO A 99 SCATTA ANCHE LA RUOTA DI SINISTRA CHE

INDICA 1 MENTRE LE ALTRE DUE RUOTE INDICANO 0 COSÌ OTTENIAMO 100.

LA RUOTA DI SINISTRA SCATTA DOPO 10 SCATTI DELLA RUOTA CENTRALE.

CON LA PASCALINA ARRIVIAMO A CONTARE FINO A 999, PER INDICARE 1000 SERVIREBBE UNA

QUARTA RUOTA.

IN PARTICOLARE, COSA ACCADE OGNI 10 CLICKS DELLA ROTELLA DI DESTRA?

GLI SCATTI DELLE DIVERSE ROTELLE RAPPRESENTANO COSE DIVERSE.

- OGNI SCATTO DELLA ROTELLA DI DESTRA AGGIUNGE (O TOG LIE) UN'UNITÀ;

- OGNI SCATTO DELLA ROTELLA CENTRALE AGGIUNGE (O TOGL IE) UNA DECINA.

OGNI 10 SCATTI DELLA ROTELLA-UNITÀ VIENE AZIONATA L A ROTELLA-DECINA .

10 unità (u)= 1 decina (da)

POSSIAMO LEGGERE 10 COME:

DIECI oppure

scomponendo nelle decine e nelle unità: 1 DECINA (DA) E 0 UNITà (U)

Abbiamo trovato due modi per rappresentare i numeri sulla pascalina:

ES. RAPPRESENTIAMO IL NUMERO 12

• Fare 12 clicks in senso orario con la rotella di destra quella delle unità

OPPURE

• 2 clicks con la rotella di destra quella delle unità e 1 click con la rotella centrale

quella delle decine.

Esercizi con la pascalina:

Proviamo a ricostruire la pascalina:

SCHEDA : ASSEMBLIAMO LA PASCALINA PER VEDERE COME FUNZIONA

RITAGLIA I PEZZI FORNITI DALL’INSEGNANTE E ASSEMBLA LA PASCALINA. IN PARTICOLARE,

RITAGLIA LE RUOTE DENTATE, DISPONILE SUL TUO QUADERNO COME QUELLE DELLA

MACCHINA “PASCALINA” E FISSALE CON FERMACAMPIONI IN MODO CHE POSSANO RUOTARE.

SCRIVI LE CIFRE SUI DENTI DELLE RUOTE IN BASSO.

�---------------------------------------------------------------------------------�

Risultato

In classe seconda la pascalina viene ripresa nelle addizioni e sottrazioni normali e nelle

addizioni con riporto e sottrazioni con prestito:

PASCALINA

45 + 24 =

1) AZZERA LA PASCALINA

2) INSERISCI IL PRIMO

NUMERO

3) …………………………

………………………..

………………………..

Ora, prova tu a disegnare sul quaderno i passaggi per risolvere

37 – 22 =

Buon lavoro!!!

4) ……………………………………

……………………………………

…...

Inoltre:

- Utilizzando la pascalina a coppie, provate a vedere cosa accade quando cercate di

svolgere i seguenti calcoli:

47 + 14 = ….

36 – 8 = …..

Altra consegna data ai bambini:

Lavorare con la pascalina ha dato la possibilità di:

- Contare concretamente;

- Riflettere sulle strategie di calcolo veloce;

- Riflettere sul nostro sistema numerico;

- Operare realmente su addizioni e sottrazioni;

- Automatizzare il cambio: prestito e riporto.

6.2.5 Abaco

Competenze:

- Costruzione socialmente condivisa del significato dell’abaco come incarnazione della notazione posizionale in base dieci;

- Eseguire calcoli; - Produrre semplici congetture; - Giustificare le proprie idee durante una discussione matematica con semplici

argomentazioni; - Leggere e scrivere numeri in base dieci.

Cominciamo ad esplorare l’abaco …

La maestra ci ha mostrato una scatola all’interno ci sono:

Lavoro di gruppo

1) Provate a rappresentare i numeri da 0 a 10 con l’abaco. Fate i rispettivi disegni.

2) Cosa accade con il numero 10?

Abbiamo visto precedentemente che il 10 è un numero un po’ diverso dagli altri…

Disegnate alcune idee su come rappresentare il 10.

Riflessioni collettive sull’abaco

L’ABACO

Strumento antico che serviva per contare e calcolare.

Conto con l’abaco da 0 a 10

COSA ACCADE CON IL 10? LA DECIMA PALLINA NON CI STA, L’ASTA è TROPPO

CORTA! COME SI FA?

HO BISOGNO DI UN’ALTRA ASTA E CAMBIO LE 10 PALLINE CON UNA PALLINA

CHE INSERISCO NELLA NUOVA ASTA A SINISTRA

LE SINGOLE PALLINE SULL’ASTA DI DESTRA VENGONO CHIAMATE UNITà (U).

LE PALLINE SULL’ASTA DI SINISTRA VENGONO CHIAMATE DECINE (DA),

PROPRIO perché LE PALLINE SU QUEST’ASTA VALGONO QUANTO 10 DELLE

PALLINE SULL’ASTA DI DESTRA. IN ALTRE PAROLE, UNA PALLINA-DECINA (DA)

VALE 10 PALLINE-UNITà .

COME SI Può LEGGERE IL NUMERO SCRITTO SOTTO IL DISE GNO

DELL’ABACO?

10 � DIECI oppure scomponendo nelle decine e unità 1 decina (da) e 0 unità (U)

CON L’ABACO, ma anche con la pascalina ABBIAMO SCOPERTO CHE IL NOSTRO

SISTEMA è DECIMALE SIA perché PER SCRIVERE I NUMERI USIAMO 10 CIFRE

(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) SIA perché SI FANNO DEI RAGGRUPPAMENTI DA 10 PER PASSARE

DA UNA POSIZIONE ALL’ALTRA (DERIVANTE ANCHE DAL FATTO CHE ABBIAMO

10 DITA). INOLTRE, è UN SISTEMA POSIZIONALE : INFATTI, IL VALORE DI UNA

CIFRA DIPENDE DALLA SUA POSIZIONE NELLA SCRITTURA DEL NUMERO. LO

STESSO SIMBOLO IN POSIZIONE DIVERSA HA SIGNIFICATO DIVERSO. ES. LO

ZERO.

IL NOSTRO SISTEMA NUMERICO è DECIMALE-POSIZIONALE.

Ora costruiamo noi un abaco

Oltre a lavorare concretamente con l’abaco, abbiamo fatto moltissime rappresentazioni

grafiche, dandoci delle regole comuni:

Regole per disegnare l’abaco

• Le aste saranno lunghe 9 quadretti;

• La pallina sarà alta un quadretto.

Addizioni e sottrazioni con l’abaco:

L’abaco ha avuto un ruolo cruciale nella costruzione del significato di notazione

posizionale.

Gli elementi che vengono infilati non sono colorati come avviene per sussidi didattici

comunemente utilizzati nelle scuole: si vuole evitare l’equivoco che sia il colore e non la

posizione ad indicare il valore delle cifre.

Inoltre, disporre di un “abaco personale” consente di utilizzarlo frequentemente in

esercitazioni di carattere individuale per consolidare schemi d’uso ed eventualmente

identificarne altri più “economici”. Ad esempio, si può scomporre un numero e

rappresentarlo infilando direttamente “palline-decina” e “palline-unità”.

Inizialmente lo strumento è stato utilizzato per rappresentare numeri maggiori di 10

seguendo la seguente procedura: si inseriscono le palline sull’asta a destra rispettando una

corrispondenza uno a uno, successivamente si applica la regola del cambio cioè 10 palline

vengono tolte e viene inserita una “pallina decina” sull’asta a sinistra.

Ciò avviene grazie al ricorso ad una serie di elementi di carattere convenzionale che la

classe individua nel corso di una discussione matematica:

- la “crocetta” che cancella le palline sfilate,

- la freccia e la parola “cambio” ad evocare sia spostamenti nello spazio realizzati durante

l’interazione con l’abaco fisico, sia la “trasformazione” di valore della pallina qualora venga

inserita nell’asta delle decine

- i segni matematici “da” (decina) e “u” (unità) che compaiono alla base dell’abaco grafico e

- i numeri rappresentati in cifre e in parola.

In seconda elementare, si riprende e si consolida l’uso dello strumento introdotto in prima

elementare.

È stato fornito a ciascun bambino un abaco più solido.

Lo strumento viene utilizzato, anche, per introdurre l’esecuzione di addizioni e sottrazioni

anche con il cambio.

ABACO

47+ 14 = …….

1) RAPPRESENTO IL PRIMO NUMERO SULL’ABACO

2) ADDIZIONO LE UNITÀ CON LE UNITÀ. SE ARRIVO A 10 CAMBIO LE 10 UNITÀ CON UNA

PALLINA SULL’ASTA DELLE DECINE. REGISTRO LE UNITÀ RIMANENTI.

3) ADDIZIONO LE DECINE CON LE DECINE, AGGIUNGENDO LA DECINA COMPOSTA. REGISTRO LE

DECINE.

4) LEGGO IL NUMERO OTTENUTO.

U DA

36 – 8 = ……

1) RAPPRESENTO IL PRIMO NUMERO SULL’ABACO.

2) SOTTRAGGO LE UNITÀ CON LE UNITÀ. NON BASTANO LE UNITÀ? SCOMPONGO UNA

DECINA IN 10 PALLINE UNITÀ E TOLGO LE UNITÀ CHE RIMANEVANO DA TOGLIERE.

3) SOTTRAGGO LE DECINE CON LE DECINE RICORDANDO DI NON CONTARE QUELLA CHE HO

SCOMPOSTO.

4) LEGGO IL NUMERO OTTENUTO.

Lavorare con l’abaco ha dato la possibilità di:

- Contare concretamente;

- Riflettere sulle strategie di calcolo veloce;

- Riflettere sul nostro sistema numerico;

- Operare realmente su addizioni e sottrazioni;

- Automatizzare il cambio: composizione e scomposizione della decina.

6.2.6 Bee-bot

DA U

E LE ALTRE 2 PALLINE UNITÀ? SCOMPONGO UNA PALLINA DECINA!

DA U DA U

Competenze:

- Riconoscere e descrivere alcune delle principali relazioni spaziali (davanti/dietro, destra/sinistra);

- Progettare, descrivere e sperimentare un semplice percorso partendo dal corpo, passando alla descrizione verbale, alla simbolizzazione per programmare infine un “robot” (bee-bot) che si muove per noi;

- Mettere in relazione i percorsi: più lungo più breve; - Produrre semplici congetture; - Giustificare le proprie idee durante una discussione matematica con semplici

argomentazioni.

“È un robot programmabile6 che può essere usato a partire dalla scuola dell’infanzia e nei

primi anni della scuola primaria. Lo studente può interagire con l’ape attraverso sei bottoni

posizionati sulla schiena di bee-bot che rappresentano i seguenti comandi:

1. Passo avanti (di lunghezza predefinita)

2. Passo indietro (della stessa lunghezza);

3. Rotazione in senso orario (di 90°);

4. Rotazione in senso antiorario (di 90°)

5. Pausa (di durata predefinita);

6. Cancella la sequenza in memoria.

Bee-bot si muove grazie a due ruote parallele e una sferetta ruotante nella parte anteriore.

[…]

Per far correre bee-bot bisogna premere il bottone GO che determina l’esecuzione di tutta la

sequenza programmata”7.

6 www.bee-bot.co.uk 7 Baccaglini-FranK A., Ramploud A., Bartolini Bussi M., “Informatica Zero: un percorso formativo per insegnanti di scuola dell’infanzia e primaria”, Edutouch, 2012, pag.43

L’esplorazione iniziale con i bambini ha messo in luce le varie caratteristiche di bee-bot:

Bee-bot è una macchina che esegue comandi:

- avanti,

- indietro,

- gira a destra,

- gira a sinistra.

In seguito, si è cercato di capire come funziona il robot programmandolo ad eseguire

particolari percorsi su una griglia.

Nella programmazione di bee-bot si osservano e si progettano percorsi secondo vincoli

dati, si inseriscono sequenze di istruzioni, osservandone l’effetto (feedback) potendo così

verificare l’ipotesi di percorso iniziale.

Per aiutare i bambini nella programmazione dei comandi spesso si è esplorato prima il

percorso con il corpo.

Poi, si è provato con bee-bot:

Alcune attività

- Il percorso A e B

a) Se il bee-bot a sinistra fa il percorso A e quello di destra il percorso B, quale bee-bot ci

mette più tempo a finire? Perché?

b) Quale bee-bot avrà fatto il viaggio più lungo? Perché?

c) Controlla le tue risposte programmando bee-bot perché faccia i due percorsi.

- La casa di Bee-bot

Aiuta bee-bot a tornare a casa.

Programmalo perché faccia il percorso più breve e non passi sulle caselle nere.

- L’alveare di Bee-bot

Aiuta bee-bot a tornare al suo alveare. Programmalo perché faccia il percorso più breve e

non passi sulle linee rosse.

Bee-Bot virtuale

“Focus on bee-bot è un ambiente per studenti della scuola primaria, che può essere usato a

partire dalla scuola dell’infanzia. In questo ambiente, si trova un’ape virtuale ed un percorso

ad ostacoli. In focus on bee-bot i comandi appaiono come bottoni cliccabili sulla pagina (gli

stessi che si possono premere sulla schiena di bee-bot reale) e vengono inseriti in sequenza,

a mano a mano che lo studente li seleziona”8.

Lavorare con bee-bot ha dato la possibilità di:

- Esplorare lo spazio.

6.3 Altre attività

6.3.1 Problemi

Come viene descritto nel libro di Rosetta Zan “Difficoltà in matematica – Osservare,

interpretare, intervenire” 9 nel linguaggio quotidiano la parola “problema” è usata con

diverse accezioni:

a) Problema come situazione in cui c’è un obiettivo da raggiungere, e delle difficoltà

per raggiungerlo: es. “Devo andare dal dentista, ma ho un problema: c’è sciopero degli

autobus e la macchina è dal meccanico”;

b) Problema come generica situazione di disagio: es. “Ho un problema alla gamba:

quando sto seduta per tanto tempo mi vengono i crampi”. Il disagio può precipitare in un

guaio, disgrazia: es. “Ho un problema: mi hanno rubato il portafoglio”. In questi casi non

si fa esplicitamente riferimento ad un obiettivo. Il problema appare più che altro come la

8 Baccaglini-Frank A., Ramploud A., Bartolini Bussi M., “Informatica Zero: un percorso formativo per insegnanti di scuola dell’infanzia e primaria”, Edutouch, 2012, pag.62 9 Zan Rosetta, Difficoltà in matematica, Osservare, interpretare, intervenire, Springer, 2007, pag. 122-124

rottura di un equilibrio preesistente: si può considerare obiettivo implicito il ripristino del

precedente equilibrio.

L’accezione a cui si farà riferimento, poiché più utile in questo contesto, è la prima.

Altre definizioni di problema:

Karl Duncker (1935), psicologo della Gestalt: “un problema sorge quando un essere

vivente ha una meta, ma non sa come raggiungerla”.

Riformulandola con le parole di Analizzando la definizione di Duncker si può osservare

che:

- Per parlare di problema ci deve essere un soggetto che vive una situazione come problema:

una situazione di per sé non è un problema, lo è per un certo soggetto;

- L’espressione “non sa come raggiungerla” suggerisce la distinzione nella pratica didattica

fra esercizi e problemi: nel primo caso il soggetto ha a disposizione immediata una

procedura per raggiungere la meta, nel secondo caso no.

Una stessa situazione per alcuni può essere un esercizio, per altri un problema, ma anche

una stessa situazione per uno stesso soggetto può essere un esercizio od un problema a

seconda del momento: es. per l’insegnante alle prime armi tenere la disciplina o costruire

una prova di verifica è spesso un problema per alcuni l’esperienza trasforma questo

problema in un esercizio. Oppure scendere le scale può essere un esercizio quando siamo

in salute, e diventare un problema se ci siamo rotti una gamba.

- Si parla esplicitamente di meta, cioè di uno scopo, di un obiettivo. Quindi non ci può

essere un problema se non c’è un obiettivo, ma anche una stessa situazione può dare origine

a problemi diversi a seconda dell’obiettivo che un soggetto si pone.

Polya scrive: “Abbiamo un problema. Vale a dire una meta che non possiamo raggiungere

immediatamente e siamo alla ricerca di qualche azione atta a farcela raggiungere”.

E i bambini come la pensano?

“L’interiorizzazione a livello infantile del significato del termine “problema” sembra subire,

nel corso della storia personale del bambino, una mutazione semantica in corrispondenza

della sua assunzione del ruolo di “scolaro”: il significato che egli solitamente attribuisce alla

parola “problema” fa per lo più riferimento a situazioni di difficoltà esistenziale che in

qualche misura lo hanno emotivamente coinvolto in ambito familiare o sociale.

Fin dai primi tempi della sua scolarità questo riferimento però si attenua, per lasciar posto

ad una più pervasiva attenzione al problema scolastico, quello che si risolve con i numeri e

operazioni”10.

Tutto ciò conferma il ruolo centrale che il cosiddetto problema assume all’interno del

curricolo scolastico e il fatto che esso venga percepito e vissuto dagli alunni in maniera

tanto intensa da oscurare il più comune significato di difficoltà, proprio dei contesti della

vita pratica.

In classe prima l’approccio a tale nucleo tematico è stato affrontato inizialmente attraverso

un Brainstorming “Che cos’è un problema?” e si sono ascoltate le ipotesi dei bambini

segnando gli aspetti cruciali alla lavagna e sul quaderno.

10 Gabellini G., Masi F., I problemi, Carocci Faber,Roma 2005, pag.9

Oltre alle cose che avete detto voi ...

Vi siete trovati a risolvere problemi senza saperlo come:

IL CONTAMANI

La maestra ha le mani dietro alla schiena in una mano alza 4 dita e con l’altra mano 2 dita.

Quante dita ha alzato?

LE CANNUCCE

Sara mette sul banco 5 cannucce e ne toglie 3. Quante sono ora le cannucce sul tavolo?

LA LINEA DEI NUMERI

Luca è finito con la finestra sul 7 dopo aver spostato la finestra avanti di 2. Su quale

finestra era quando è partito?

IL GIOCO DELL’OCA

Mattia nel tirare i due dadi con 1 dado fa 6 e nel tirare il secondo dado ottiene 3. Di quante

caselle dovrà muovere la sua pedina?

ESEMPI DI PROBLEMI

Ho male

ad un

Non so allacciarmi le

scarpe come posso

fare?

IL GIOCO DELL’OCA

Mattia tira i 2 dadi: con 1 dado fa 6 e con il secondo dado

ottiene 3. Di quante caselle dovrà muovere la sua pedina?

IL CONTAMANI

Il maestro ha le mani dietro alla schiena: in una mano alza 4 dita e con

l’altra mano 2 dita . Quante dita ha alzato?

In matematica spesso si risolvono problemi. Generalmente, in matematica un

problema è la descrizione di una situazione in cui c’è qualcosa (di solito l’incognita) da

trovare e noi dobbiamo cercare la soluzione, il modo di trovarla.

Spesso, le soluzioni dei problemi, ma non sempre sono le operazioni. Vedi anche

esempi qui a fianco tratti dalle prove INVALSI.

LA LINEA DEI NUMERI

Luca è finito con la finestra sul 7 dopo aver spostato la finestra

avanti di 2. Su quale finestra era quando è partito?

LE CANNUCCE

Sara mette sul banco 5 cannucce e ne toglie 3.

Quante sono ora le cannucce sul tavolo?

Fin dalla classe prima i problemi sono stati risolti in questa maniera.

Le operazioni addizione e sottrazione sono state sempre abbinate.

ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

OSSERVA, RACCONTA, CONTA E SCRIVI I RISULTATI COSA NOTI?

LA SOTTRAZIONE È L’OPERAZIONE INVERSA DELL’ADDIZIONE.

OSSERVA IL DISEGNO E DESCRIVILO CON LE TUE PAROLE POI COMPLETA

3

4

5

4

Stessa cosa, si è fatto, in classe seconda per moltiplicazione e divisione.

6.3.2 Approccio all’apprendimento delle tabelline

La moltiplicazione è stata subito presentata come addizione ripetuta e per un pochino si è

lavorato sulla sua rappresentazione grafica attraverso disegni e schieramenti.

Guarda la scena. Che cosa vedi davanti al bambino?

Per calcolare quanti biscotti ci sono sui 5 piatti possiamo fare un’addizione ripetuta:

3 + 3 + 3 + 3 + 3 e calcolare il risultato. Adesso prova a rappresentare le seguenti scenette con moltiplicazioni e addizioni ripetute.

2 stelle per 6 volte

Perché in alcuni casi è possibile trasformare le addizioni in moltiplicazioni e in alcuni casi no? Giustificate la vostra risposta. …………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

………………………………………………

Abbiamo visto che la moltiplicazione non è nient’altro che un’addizione ripetuta allora, trasforma in moltiplicazione o addizione, come nell’esempio:

Es. 2 + 2 + 2 + 2= 2 × 4 = 8 3 × 2 = 3 + 3 = 6

2 + 2 + 2 = …………………………………………………………………….

5 + 5 + 5 + 5 = ………………………………………………………………..

9 × 4 =……………………………………………………………………………..

8 × 3 =…………………………………………………………………………..

Ora, prova a descrivere ogni moltiplicazione e rappresentala graficamente come nell’esempio Es. 4 × 5 Il 4 viene ripetuto 5 volte

Il primo termine indica il numero degli oggetti da ripetere e il secondo termine indica il numero di volte in cui devono essere ripetuti. 3 × 7 7 × 4 3 × 3 4 × 2 6 × 5 Prima di introdurre le tabelline si è lavorato sulla simmetria, poi è seguita la seguente attività. Ora chiedere: Osserva la seguente tabella di moltiplicazione. Ci sono simmetrie?

[I bambini dovrebbero riconoscere la simmetria lungo la diagonale da 1 a 100.] Chiedere: “Come mai c’è questa simmetria?” [Si dovrebbe arrivare alla proprietà simmetrica della moltiplicazione. Se i bambini non la ricordano, arrivarci in modo graduale con domande del tipo: “Quanto fa 2 per 3? …E 3 per 2?” Allora posso sempre scambiare i due numeri che sto moltiplicando? Perché? Che cosa significa moltiplicare due numeri? Usando la LIM si può far vedere bene in maniera visivamente intuitiva la proprietà, per esempio costruendo uno schieramento di 2 file da 3 palline, poi selezionando le sei palline contemporaneamente ruotare l’immagine in modo da vedere ora 3 file da 2 palline. Chiaramente le palline sono rimaste la stessa quantità, ma il modo di contarle è cambiato.] Infine chiedere: “Ma allora se dovete imparare i prodotti nella tabella, come potete fare per ricordarne meno ma saperli comunque tutti?” [Si può ricordare che in matematica meno cose si ricordano e meglio è (purché si riesca a fare gli esercizi richiesti) perché è difficile tenere tutto a mente ed è sempre meglio sapersi ricavare le cose velocemente al momento con piccoli ragionamenti]. Infine si può formalizzare il fatto di ricordare solo “mezza tabella più la diagonale” riportando la parte da ricordare sul quaderno. Poi far esercitare i bambini a ricavare i prodotti a partire da quelli che devono conoscere. Possibile esercizio per rafforzare il modo di pensare: COMPLETA LA TABELLA DELLA MOLTIPLICAZIONE.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

1

2

4

3

9

4

5

25

6

18

7

14 28 49

8

24

9

81

10

Nel presentare le tabelline non si è seguito l’ordine classico ma 0, 1, 10, 2, 5, 3, 4, 6,7,8,9 e

si sono utilizzate le cannucce. C’è quindi sempre una ripresa degli strumenti che si

adoperano all’interno del progetto.

Le Tabelline

Osservazioni

Abbiamo visto che un qualsiasi numero moltiplicato per zero da’ come risultato zero.

Es. 4 × 0 = 0

0 × 3 = 0

Abbiamo visto che quando moltiplichiamo un qualsiasi numero per 1 il risultato è sempre

quel numero.

La Tabellina dell’1

Dare a ciascun bambino 10 cannucce e chiedere di contarle ad una ad una (cioè il

bambino deve prendere una cannuccia alla volta e dire: 1, 2, 3,…10).

Ecco, in questo caso per esempio, abbiamo 1 cannuccia per 8 volte:

1 × 8 = 8

LA TABELLINA DEL 10

Esempio, abbiamo 10 cannucce per 4 volte:

10 × 4 volte = 40

10 x 1 volta = 10 10 x 2 volte = 20 10 x 3 volte = 30 10 x 4 volte = 40 10 x 5 volte = 50 10 x 6 volte = 60 10 x 7 volte = 70 10 x 8 volte = 80 10 x 9 volte = 90 10 x 10 volte = 100

La tabellina del 10 ricorda la conta del 10. 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

La Tabellina del 2

Dare a ciascun bambino 20 cannucce e chiedere di contarle a gruppetti di 2 (cioè il bambino deve prendere due cannucce alla volta e dire: 2, 4, 6, 8…20).

2 × 1 volta = 2

2 × 2 volte = 4

2 × 3 volte = 6

2 × 4 volte = 8

2 × 5 volte = 10

2 × 6 volte = 12

2 × 7 volte = 14

2 × 8 volte = 16

2 × 9 volte = 18

2 × 10 volte = 20

A queste attività se ne sono affiancate altre per rendere più piacevole l’apprendimento delle

tabelline:

- un’attività musicale tratta dal libro “Le tabelline canterine” di Silvia Rinaldi (tra i

bambini ha riscosso molto successo);

- un’attività di lettura “Il segreto delle tabelline” di Mario Sala Gallini suggerita dalla mia

tutor Daniela Rubini che riprende l’attività delle mani.

Una strategia per imparare la tabellina del 9 con le mani:

Una strategia per imparare la tabellina del 9 attraverso un calcolo veloce:

6.4 Riflessioni finali sul progetto

Il progetto:

• Ha supportato il docente nella didattica;

• Ha permesso a tutti gli allievi:

- di usufruire di una “Buona didattica” in matematica;

- di sperimentare modalità di lavoro innovative alternative alla lezione frontale;

- di esercitare l’“area” dell’argomentare e del congetturare, della meta-cognizione e

delle abilità sociali;

- di entrare in contatto con diversi strumenti.

Successi e Difficoltà

• Miglioramento nell’argomentazione e nell’utilizzo di un linguaggio appropriato,

l’esperienza ha fornito molti spunti di arricchimento e di riflessione linguistica;

• Il saper utilizzare diversi strumenti aiuta i bambini nella scelta dello strumento che

più li aiuta in una determinata attività;

• La disciplina della Matematica è stata apprezzata, si può dire, dalla totalità dei

bambini;

• Progressi nell’organizzazione del lavoro di gruppo: gli allievi hanno cooperato

positivamente, trovando proprie strategie di lavoro, anche se non sono mancate

piccole discussioni;

• Partecipazione attiva da parte dei bambini, anche gli allievi più in difficoltà sono

riusciti ad essere coinvolti nell’attività;

• Difficoltà di manipolazione e coordinazione nell’utilizzo di alcuni strumenti. Attività

che, comunque, si rivelano utili all’esercitazione della manipolazione fine.

Concludendo

• Il laboratorio ha una forte struttura, ma presenta esperienze polisemiche che non

hanno un’unica strada d’approccio e che offrono quindi la possibilità d’azione a

bambini di diverso livello cognitivo e con conoscenze individualmente diversificate;

• Il tipo di didattica che si propone è accessibile a tutti i bambini e vincente per

l’attuale composizione delle nostre classi così eterogenee;

• Alla spiegazione e all’interrogazione si sostituisce un dialogo finalizzato ad una

progressiva conquista di autonomia e fiducia nelle proprie capacità d’apprendimento

da parte dell’allievo;

• L’impostazione del lavoro favorisce: l’imparare ad osservare i fatti e i fenomeni, a

riflettere su ciò che si osserva, ad argomentare le osservazioni e ad utilizzare il

linguaggio e il ragionamento matematico.

In definitiva, ritengo che attraverso questo modo di lavorare in classe, i bambini si siano

impossessati sia di conoscenze, a seconda dei casi più o meno approfondite, collegate in

modo consapevole al mondo e alle loro esperienze quotidiane, sia di atteggiamenti, abilità

operative e consapevolezze che non sarebbero state prese in considerazione

nell’insegnamento tradizionale, ma che danno spessore culturale alle conoscenze stesse,

naturalmente ad un livello adeguato all’età dei bambini della scuola primaria.

Voglio ricordare infatti che questo tipo di didattica non propone ai bambini di capire tante

piccole cose, ma si propone di affrontare ampi insiemi di fenomeni che hanno bisogno di

tempi lunghi e di percorsi lenti, continui, e soprattutto personali.

La didattica proposta non semplifica artificialmente, ma rende invece visibile la complessità

della realtà e le sue multi prospettiche rappresentazioni, sviluppando situazioni di

apprendimento basate su casi reali, che inducono la curiosità per altre visioni del mondo e la

capacità di porsi domande.

In questa sperimentazione gli errori dei bambini sono stati una fonte di informazione per

l’insegnante non solo per individuare il loro livello di conoscenze, ma anche per lavorare

con loro per affrontare e superare le loro difficoltà. Ho usato l’errore non con la sua valenza

negativa, ma come strumento concettuale atto al miglioramento.

Ho cercato di indirizzare ogni allievo verso la costruzione di una percezione di sé stesso e

della classe come di una comunità impegnata in un processo di costruzione della

conoscenza finalizzato al raggiungimento della capacità di affrontare le attività via via

emergenti e di risolvere insieme i problemi.

A questo scopo sono state utili tutte le strategie didattiche utilizzate: il lavoro individuale, il

lavoro di gruppo e le discussioni di classe.

L’interazione sociale, che è stata una delle caratteristiche fondamentali fin dall’inizio del

progetto messo in atto, ha permesso la problematizzazione delle proprie idee per la

comprensione del punto di vista altrui, esercitando i bambini ad essere più rispettosi e più

tolleranti l’uno nei confronti dell’altro.

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* Raccomandazioni per l’attuazione delle Indicazioni Nazionali per i piani di studio

personalizzati nella Scuola Primaria

* Indicazioni Nazionali per i Piani di Studio Personalizzati nella Scuola Primaria (Decreto

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* Indicazioni per il curricolo per la scuola dell’infanzia e per il primo ciclo d’istruzione,

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* Indicazioni per il curricolo per la scuola dell’infanzia e per il primo ciclo d’istruzione,

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* Curricoli UMI-CIIM 2001 La matematica per il cittadino

Documenti dell’Istituto Comprensivo di Argelato

* Piano dell’Offerta Formativa

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* http://www.icargelato.org/

* http://www.icargelato.org/scuola-primaria.html

* http://www.italiapedia.it/comune-di-argelato_Storia-037-002

* http://www.mmlab.unimore.it/site/home/progetto-regionale-emilia-romagna/risultati-del-

progetto/report-delle-sperimentazioni.html

* http://www5.indire.it:8080/learning_risorse/Caastellato/set/Project2/lab.htm

* www.sform.unifi.it/lte/allegati/2/costruttivismo%20e%20progettazione.doc