Riassunto dei Teoremi e concetti principale di Fisica Generale I – Fabrizio Medici + fabrizio.medici@tiscalinet.it

1

CAPITOLO 2: MOTO LA CINEMATICA IN UNA DIMENSIONE La velocità media si definisce come lo spostamento diviso per il tempo trascorso

tx

ttxxv

∆∆

=−−

=12

12

Mentre la velocità istantanea è il valore limite della velocità media presa nel limite di tempo infinitamente piccolo

dtdx

txv

t=

∆∆

=→∆ 0

lim

Un oggetto che cambi nel tempo la sua velocità è detto accelerato, l’accelerazione media è definita come

tv

ttvva

∆∆

=−−

=12

12

Mentre l’accelerazione istantanea si definisce come il valore limite dell’accelerazione media quando si fa tendere a zero delta t

2

2

0lim

dtxd

dtdx

dtd

dtdv

tva

t=

==

∆∆

=→∆

MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO Moto in cui l’intensità dell’accelerazione è costante e si procede in linea retta, si possono scrivere allora le seguenti formule

20

0

0

0

0

vvv

tvxxatvv

tvva

txxv

+=

+=+=

−=

−=

CAPITOLO 3: CINEMATICA IN DUE O TRE DIMENSIONI Una grandezza che è caratterizzata sia da una intensità che da un verso e da un verso è detta vettore, se ha solo un’intensità è detta scalare, la definizione generale di velocità istantanea e accelerazione istantanea per una particella è

dtdva

dtdrv

=

= Dove r è il vettore posizione della particella

Il moto dei proiettili sulla superficie della terra si può scomporre in due moti separati: componente orizzontale del moto che avrà velocità costante e la componente verticale che ha accelerazione costante pari a g. MOTO CIRCOLARE UNIFORME E NON UNIFORME Si ha moto circolare uniforme quando una oggetto si muove lungo una circonferenza a velocità costante (in modulo). Essendo l’accelerazione il tasso di cambiamento di una velocità vettoriale, la variazione di direzione produce una accelerazione, che in questo caso è diretta verso il centro della circonferenza.

rv

tl

rv

tva

ttR

2

00limlim =

∆∆

=∆∆

=→∆→∆

Se la velocità dell’oggetto che si muove lungo la circonferenza cambia nel tempo, allora ci sarà una accelerazione tangenziale.

Uso delle variabili angolari:

( ) rr

rrva

rdtdr

dtdva

rdtdr

dtdlv

dtd

t

dtd

t

rl

R

T

t

t

222

0

0

lim

lim

ωω

αω

ωθ

ωωα

θθω

θ

===

===

===

=∆∆

=

=∆∆

=

=

→∆

→∆

Si può passare dalla velocità angolare alla frequenza di rotazione, un giro corrisponde a 2pi radianti.

f

f

πωπ

ω

22

=

=

CAPITOLO 4: DINAMICA LE LEGGI DEL MOTO DI NEWTON Prima legge (legge d’inerzia): Ogni corpo permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finche non è costretto a mutare il suo stato di moto a causa di forze esterne che agiscono su di esso. La tendenza di un corpo a mantenere il suo stato di quiete o di moto è detta inerzia, la massa è la misura dell’inerzia di un corpo. Seconda legge: L’accelerazione di un corpo è direttamente proporzionale alla forza risultante che agisce su di esso e inversamente proporzionale alla sua massa. L’accelerazione ha la stessa direzione della forza risultante.

maF = (NB: equazione vettoriale) Terza legge: Ogni qual volta un oggetto esercita una forza sopra un secondo oggetto, il secondo esercita sul primo una forza uguale e contraria. CAPITOLO 5: DINAMICA II ATTRITO E MOTO CIRCOLARE Quando due corpi scivola l’uno sull’altro, la forza d’attrito che ciascuno dei due esercita sull’altro può essere espressa come:

Nat FF µ= dove Fn è la forza normale (forza che ogni corpo esercita sull’altro perpendicolarmente alla superficie di contatto). Una particella che ruota lungo una circonferenza deve essere costantemente sottoposta a una forza diretta verso il centro della circonferenza

rmrvmmaF R

22

ω===

CAPITOLO 7: LAVORO ED ENERGIA Il lavoro fatto su una particella sottoposta a una forza costante (sia in intensità che in direzione) è definito come il prodotto della lunghezza dello spostamento per la componente della forza parallela allo spostamento stesso.

θcosFdW = che si misura in J In molti casi le forze variano di intensità e direzione nel corso del fenomeno, possiamo allora suddividere il cammino della funzione che descrive la forza in un numero infinito di intervalli

200

000

00

0

212

2

attvxx

tvatvxx

tvvxx

tvxx

++=

++

+=

−

+=

+=

Riassunto dei Teoremi e concetti principale di Fisica Generale I – Fabrizio Medici + fabrizio.medici@tiscalinet.it

2

e integrando la funzione otteniamo il risultato esatto del lavoro compiuto

∫∫

∑⋅==

∆=→∆

b

a

b

a

iiil

dlFdlFW

lFWi

θ

θ

cos

coslim0

Una definizione non molto precisa ma valida di energia è: capacità di compiere lavoro. Il teorema dell’energia cinetica afferma che il lavoro compiuto su un oggetto è uguale alla variazione della sua energia cinetica.

2

21

22

21

22

21

21

21

2

mvE

mvmvddvvmmadFdW

C ≡

−=

−===

Supponiamo ora che la forza totale F vari tanto in intensità quanto in direzione, e che il percorso dell’oggetto sia una curva, allora

CEmvdvdldldvmvdl

dtdvmdlFW

dldvv

dtdl

dldv

dtdv

dtdvmmaF

dlFdlFW

∆=====

==

==

==

∫∫ ∫ ∫

∫ ∫

2

1

2

1

2

1

2

1||

||||

||cosθ

CAPITOLO 8: CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA Per definizione chiamiamo una forza conservativa una forza che dipenda soltanto dalla posizione iniziale e finale, ed è perciò indipendente dal particolare cammino preso. Il lavoro totale di questa forza è zero quando si muove lungo un cammino chiuso. Il lavoro compiuto da questa forza è recuperabile. L’energia potenziale è l’energia associata con la posizione o la configurazione di uno o più corpi e di ciò che sta intorno. Se confrontiamo il lavoro compiuto dalla gravità su di un oggetto e la sua variazione di energia potenziale gravitazionale, troviamo che la variazione di energia potenziale associata con una forza conservativa è l’opposto del lavoro compiuto da quella forza:

( )( )

∫ ⋅−=−=∆

=−=−=∆

−−=

2

1

1212

12

dlFWU

mgyyymgUUUyymgW

g

g

Possiamo dire che l’energia meccanica totale (la somma dell’energia cinetica e potenziale) di un sistema conservativo rimane costante, questo è detto principio di conservazione dell’energia meccanica.

teUmvUEE

UEWU

EW

C

C

C

tancos21

0

2 =+=+=

=∆+∆−=∆

∆=

Vi è una riformulazione di questo principio che tratta in modo più generale tutte le forme e i tipi di energia, questa è la legge

di conservazione dell’energia: L’energia totale, nel corso di qualsiasi processo, non aumenta ne diminuisce, L’energia si può trasformare da una forma a un’altra e trasferirsi da un corpo a un altro, ma la quantità totale resta costante.

nonconsC

cons

nonconscons

WUEUWWWW

+∆−=∆∆−=+=

La potenza è definita come il tasso al quel viene compiuto lavoro. Qualsiasi lavoro viene compiuto dell’energia viene trasformata o trasferita, quindi la potenza è il tasso al quale viene trasformata l’energia.

dtdE

dtdWP ==

CAPITOLO 9: CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA DI MOTO E URTI Il centro di massa è un punto di un corpo (o di un insieme di corpi) che si muove lungo lo stesso percorso che farebbe una particella (con massa pari alla somma delle masse) sottoposta alla stessa risultante delle forze. Possiamo quindi dire che la somma vettoriale di tute le forze agenti sul sistema è uguale alla massa totale del sistema moltiplicata per l’accelerazione del suo centro di massa.

extcm FMa = La quantità di moto di una particella è definita come il prodotto della sua massa per la sua velocità, si può così riformulare la seconda legge di Newton:

madtdvm

dtmvd

dtdpF

mvp

====

=)(

La legge di conservazione della quantità di moto afferma che: Quando la risultante delle forze esterne agenti su un sistema è zero, la quantità di moto rimane costante. Un esempio può essere un urto:

'22

'112211 vmvmvmvm +=+

Si chiama urto l’interazione tra due corpi quando la loro interazione occupa un breve intervallo di tempo ed è così forte che le altre forze agenti risultano insignificanti rispetto alla forza che ciascun corpo esercita sull’altro durante l’urto. Viene chiamato impulso l’integrale della forza sull’intervallo di tempo durante il quale agisce:

JFdtppp

FdtJtf

tiif

tf

ti

==−=∆

=

∫∫

Possiamo distinguere gli urti in due categorie, gli urti elastici, in cui si conserva la quantità di moto, e quelli anelastici, in cui non si conserva (NB: rimane sempre e comunque valida la conservazione dell’energia). CAPITOLO 10: MOTO ROTAZIONALE INTORNO A UN ASSE Dalle equazioni con variabili angolari si possono ricavare:

αθωω

αωθ

αωω

221

20

2

20

0

+=

+=

+=

tt

t

Analoghe a quelle con variabili lineari

Si può riformulare la prima legge di Newton nel seguente modo: un corpo che ruota liberamente continuerà a ruotare con velocità angolare costante finche nessuna forza (momento

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3

torcente) interviene a cambiare quel moto. L’accelerazione angolare è proporzionale alla distanza perpendicolare tra l’asse di rotazione e la linea lungo la quale agisce la forza. L’accelerazione angolare è dunque proporzionale al prodotto della forza per il braccio di leva, chiamato braccio di leva o momento torcente.

θτ RFsenRFFR === ⊥⊥ Si può quindi trovare quale sia la grandezza che nel moto rotazionale gioca il ruolo della massa nel moto lineare:

Quindi mr quadro rappresenta l’inerzia rotazionale di una particella e si chiama momento d’inerzia, mentre I è il momento d’inerzia di un corpo.

Mettendo assieme le varie equazioni, possiamo dire che per un corpo rigido intorno a un asse fisso:

cmcmcm II

ατατ

==

L’inerzia gioca il ruolo della massa.

Il teorema di Huygens-Steiner afferma che se I è il momento d’inerzia di un corpo di massa totale M intorno a un certo asse, e Icm è il momento di’inerzia intorno ad un asse parallelo al primo, distante h e passante per il centro di massa, allora:

( ) ( )[ ]( ) ( )( )∑ ∑ ∑∑

∑++−−+=

−+−=

+=

2222

22

2

22 AAiiiAiiAiii

AiAii

cm

yxmymyxmxyxmI

yyxxmI

MhII

La quantita I omega è chiamata momento angolare del corpo intorno al suo asse di rotazione:

( )

ω

ωωατ

ILdtdL

dtId

dtdII

=

====

La legge di conservazione del momento angolare dice che: il momento angolare totale di un corpo in rotazione resta costante se il momento risultante delle forze che agisce su di esso è nullo. Sempre in analogia con il moto traslazionale possiamo definire l’energia cinetica rotazionale:

( ) 2222

21

21

21

ωω IRmvmE iiiiC ==

= ∑∑

Il lavoro compiuto su un corpo rotante intorno a un asse fisso può essere scritto in termini di grandezze angolari:

τωθ

τ

θτθ

===

==⋅= ∫ ∫∫ ⊥

dtd

dtdWP

dRdFdlFW

Il teorema dell’energia cinetica resta valido per la rotazione di un corpo rigido intorno a un asse fisso:

21

22

2

1

2

1 21

21

ωωωωθτ

θω

ωθ

θωω

ατ

ω

ω

θ

θIIdIdW

ddI

dtd

ddI

dtdII

−===

====

∫∫

Un oggetto che ruota mentre il suo centro di massa è sottoposto a una traslazione, avrà sia energia cinetica traslazionale che energia cinetica rotazionale. La sua energia cinetica totale sarà uguale all’energia cinetica traslazionale del suo centro di massa

sommata all’energia cinetica del moto rispetto al suo centro di massa.

22

21

21

ωcmcmC IMvE +=

CAPITOLO 11: MOTO ROTAZIONALE IN GENERALE Utilizzando il fatto che si stanno utilizzando grandezze vettoriali possiamo ridefinire il momento torcente come:

Fr ×=τ il prodotto vettoriale del vettore posizione della particella e F il vettore della forza applicata. Possiamo ridefinire anche il momento angolare l di una particella avente quantità di moto p e vettore posizione r come:

prl ×= [pending: moto di una trottola] CAPITOLO 13: FLUIDI A RIPOSO La densità di una sostanza è definita come la massa su unità di volume:

Vm

=ρ

La pressione è definita come la forza su unità di area, dove la forza è perpendicolare alla superficie A su cui si esercita:

AFP =

E’ esperienza che un fluido esercita una pressione in tutte le direzioni. Possiamo calcolare la pressione che un certo liquido esercita ad una data profondità h, calcolando il peso della colonna su di esso:

ghA

AhgAFP

AhgmgF

ρρρ

===

==

L’atmosfera terrestre esercita una pressione su tutti gli oggetti con cui è in contatto, inclusi gli altri fluidi. Il principio di Pascal afferma che: La pressione applicata a un fluido contenuto in uno spazio limitato aumenta la pressione, della stessa quantità in tutto il fluido. La spinta idrostatica deriva dal fatto che la pressione in un fluido aumenta con la profondità, perciò la pressione verso l’alto esercitata sulla superficie inferiore di un oggetto immerso è maggiore rispetto alla pressione verso il basso esercitata sulla superficie superiore.

( ) gVgAhhhgAFFFSI ρρρ ==−=−= 1212 Il principio di Archimede afferma che: la spinta idrostatica esercitata su un corpo immerso in un fluido è uguale al peso del fluido spostato dall’oggetto stesso. CAPITOLO 14: I FLUIDI IN MOVIMENTO Si distinguono due tipi di flussi: laminare, quando gli strati vicini del fluido scivolano l’uno sull’altro dolcemente, turbolento, caratterizzato da moti irregolari che formano come piccoli mulinelli. La viscosità è l’attrito interno sempre presente in tutti i fluidi. La portata di un tubo di flusso in massa è definita come la massa di fluido che passa per un dato punto (attraverso la sezione in quel punto) per unità di tempo.

11111111 vA

tlA

tV

tm

ρρρ

=∆

∆=

∆∆

=∆∆

L’equazione di continuità sostiene che: (seconda eqz per fluidi incomprimibili)

2211

222111

vAvAvAvA

== ρρ

∑=

=

===

2

2

iiRmImR

mRmaFRF

ατ

ατ

Riassunto dei Teoremi e concetti principale di Fisica Generale I – Fabrizio Medici + fabrizio.medici@tiscalinet.it

4

Il principio di Bernoulli afferma che: dove la velocità di un fluido è alta, la pressione è bassa e dove la velocità di un fluido è bassa la pressione è alta. Per dedurlo si calcola il lavoro fatto per muovere una quantità di fluido da un punto (esempio in basso e con sezione larga) del tubo di flusso ad un altro punto (esempio in alto e con sezione stretta), vi saranno in gioco i lavori compiuti ai due punti del tubo e quello compiuto dalla forza di gravità:

( )12

21

yymgWWWWW

g

g

−−=

++=

tegyvP

lAlAm

mgymgylAPlAPmvmv

mgymgylAPlAPWlAPlFW

lAPlFW

tancos21

21

21

2

2211

1222211121

22

12222111

222222

111111

=++

∆=∆=

+−∆−∆=−

+−∆−∆=∆−=∆−=

∆=∆=

ρρ

ρρ

Il teorema di Torricelli calcola la velocità di fuoriuscita di un liquido da un foro in un serbatoio di altezza data:

( )121 2 yygv −= CAPITOLO 15: OSCILLAZIONI Qualsiasi sistema vibrante, per cui la forza di richiamo sia proporzionale al valore negativo dello spostamento, si dice animato di moto armonico semplice (MAS).

02

2

2

2

=+

−=

−=

xmk

dtxd

kxdt

xdm

kxF

Questa è l’eqz del moto per un oscillatore

armonico. La forma di questa curva è sinusoidale ed è moltiplicata per l’ampiezza A. Per trovare l’integrale generale utilizziamo:

( )

( ) ( )

( )

0

0cos

0coscos

cos

cos

2

2

2

22

2

=−

=+

−

=+++−

+−=

+=

ω

ωωω

ωωωωω

ωωω

ωω

mk

tbsentamk

tbsentamktbsenta

tbsentadt

xdtbsentax

Allora x è una soluzione generale, le costanti arbitrarie a e b sono determinate dalle condizioni iniziali nei problemi fisici. Riscrivo x in una maniera più conveniente:

( )φω += tAx cos A è l’ampiezza dell’oscillazione, phi è detto angolo di fase e ci dice quanto dopo (o prima) rispetto a t=0 viene raggiunto il picco. Si possono ottenere velocità e accelerazione della massa oscillante derivando l’eqz:

( )

( )

AmkAa

AmkAv

tAdt

xda

tAsendtdxv

==

==

+−==

+−==

2max

max

22

2

cos

ω

ω

φωω

φωω

Per un oscillatore armonico semplice, l’energia meccanica totale è la somma dell’energia cinetica e di quella potenziale. Nel punto di equilibrio (x=0) l’energia è tutta cinetica, nei due estremi dell’oscillazione l’energia è totalmente potenziale:

2max

222

21

21

21

21 mvkAkxmvE ==+=

[pending: pendolo semplice] Il pendolo fisico si riferisce a qualunque corpo esteso reale che oscilla avanti e indietro. Usando le eqz del moto torcente e per piccole oscillazioni:

mghIT

Tt

Imgh

dtd

Imgh

dtd

dtdIImgh

π

φπ

θθ

θθ

θθ

θαθτ

2

2cos

0

0sin

sin

max

2

2

2

2

2

2

=

+=

=+

=+

==−=

[pending: moto armonico smorzato] CAPITOLO 18: TEMPERATURA ESPANSIONE TERMICA E LEGGE DEI GAS IDEALI Si dice che un sistema è in equilibrio termico, quando le variabili macroscopiche che servono a descriverlo, hanno lo stesso valore in qualunque parte del sistema e non stanno cambiando nel tempo. Il principio zero della termodinamica afferma che se due sistemi sono in equilibrio termico con un terzo, allora sono anche in equilibrio tra di loro. Quasi tutti i materiali si espandono o si contraggono con variazioni di temperatura:

TLL ∆=∆ 0α dove alfa è il coeff. di dilatazione termica Il volume di un gas dipende molto dalla pressione e dalla temperatura. Una relazione che li lega è una equazione di stato: Nella legge di Boyle si afferma che:

tePV tancos= a Temperatura costante Nella legge di Charles: il volume di una certa quantità di gas è direttamente proporzionale alla temperatura quando di mantiene costante la pressione. Nella legge di Gay-Lussac: a volume costante la pressione di un gas è direttamente proporzionale alla temperatura assoluta. Combinando queste leggi si ottiene la legge dei gas ideali:

Riassunto dei Teoremi e concetti principale di Fisica Generale I – Fabrizio Medici + fabrizio.medici@tiscalinet.it

5

2

22

1

11

)*/(315.8

TVP

TVP

KmolJRnRTPV

=

==

L’ipotesi di Avogadro afferma che volumi uguali di gas alla stessa temperatura e pressione contengono un ugual numero di molecole. Si può riscrivere la legge dei gas ideali come:

NkTRTNNnRTPV

A

===

La pressione parziale di un gas è definita come la pressione che quel certo gas eserciterebbe sa da solo occupasse l’intero volume. La legge di Dal ton delle pressioni parziali dice che ciascun gas di una miscela esercita una pressione parziali proporzionale alla concentrazione di molecole.

321321 PPPVKtN

VKtN

VKtN

VNkTP ++=++==

CAPITOLO 20: CALORE Il calore è l’energia trasferita da un corpo a un altro a causa di una differenza di temperatura. La temperatura è una misura dell’energia cinetica media di ciascuna molecola. L’energia termica, o interna, indica la quantità totale di energia di tutte le molecole dell’oggetto. La quantità di calore necessaria per variare la temperatura di un sistema è proporzionale alla massa del sistema e alla variazione di temperatura:

TmcQ ∆= dove c è detto calore specifico Il calore si trasmette da un corpo ad un altro in tre modi differenti: conduzione, convezione, irraggiamento. CAPITOLO 21: PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA Calcoliamo il lavoro dall’espansione di un gas perfetto a temperatura costante (Isotermo):

===

==

==⋅=

∫∫

∫ ∫

1

22

1

2

1

lnVVnRT

VdVnRTPdvW

PdVdWW

PdVPAdldlFdW

V

V

V

V

Mentre se utilizziamo un processo Isobaro:

( )

−=−=

2

12122 1

VVnRTVVPW

Quindi il lavoro fatto per portare un sistema da uno stato ad un altro dipende non solo dagli stati iniziale e finale, ma anche dal tipo di processo (cammino). Il primo principio della termodinamica afferma che:

WQU −=∆ Dove Q è il calore fornito al sistema e W è il lavoro fatto dal sistema. La variabile U è definita come energia interna di un sistema. In un processo adiabatico il calore non può essere scambiato dal sistema, Q = 0, allora Q = W = 0. Come sono legate le capacità termiche a volume e pressione costante dei gas ideali? Calcolo:

RC

TnCTnRU

RCCP

TnRPTnCTnC

PTnRV

VPQQVPUQ

UQ

v

v

vp

vp

vp

p

v

2323

=

∆=∆=∆

=−

∆=∆−∆

∆=∆

∆=−

∆+∆=∆=

Possiamo trovare le relazioni tra pressione e volume in un gas perfetto fatto espandere adiabaticamente:

nRdTVdPPdVPdVdTnCdTnCdU

PdVdWdWdQdU

v

v

=+=+

=−=−=−=

0

( )

tePVteVP

VdV

PdP

CC

VdPCPdVCVdPCPdVRC

v

p

vp

vv

tancostancoslnln

0

00

=

=+

=+

=

=+=++

γ

γ

γ

γ

CAPITOLO 22: SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA L’efficienza η di una qualsiasi macchina termica può essere definita come il rapporto tra il lavoro che essa produce e il calore assorbito dalla sorgente a temperatura più alta:

||||1

||||||||||

||

2

1

2

12

12

2

QQ

QQQQWQ

QW

−=−

=

+=

=

η

η

Q2 è il calore fornito e Q1 è il calore ceduto alla temperatura più bassa. Il secondo principio della termodinamica dice che non esiste nessun processo ciclico il cui unico risultato sia quello di trasformare una certa quantità di calore Q, presa da un'unica sorgente di temperatura, integralmente in lavoro. Un processo reversibile è sempre effettuato in modo infinitamente lento, in modo da considerarlo come una successione di stati di equilibrio. Un ciclo di Carnot consiste di due processi isotermi e due adiabatici.

||||1

2

1

QQ

−=η

Riassunto dei Teoremi e concetti principale di Fisica Generale I – Fabrizio Medici + fabrizio.medici@tiscalinet.it

6

Per dimostrare che l’entropia è una variabile di stato, la si definisce e si ricorre al ciclo di Carnot:

∫∫

∫

∫∫

∫

==−=∆

=

=

=

=

=+

=

b

a

b

aab

a

b

b

a

TdQdSSSS

dSTdQdS

TdQ

TdQTdQ

TQ

TQ

TQ

TQ

0

0

0

||||

1

1

2

2

1

1

2

2

Il passaggio di calore dal corpo alla temperatura più alta T2 a quello a temperatura più bassa T1 ha sempre come conseguenza un aumento dell’entropia totale. I due corpi alla fine arrivano a una temperatura intermedia Tm.

01121

1212

>

−=∆

+−=∆+∆=∆

MM

MM

TTQS

TQ

TQSSS

Si ri-enuncia così il secondo principio della termodinamica: l’entropia di un sistema termodinamico isolato non diminuisce mai. Può rimanere costante (processi reversibili) oppure aumentare (irreversibili). L’entropia totale di qualunque sistema più quella dell’ambiente che lo circonda aumenta come conseguenza di qualsiasi processo naturale.