Cap. 2 Definizioni, Cap. 2 Definizioni, postulati e assiomipostulati e assiomi

DefinizioniDefinizioni Una delle cose che rende la geometria e Una delle cose che rende la geometria e

le discipline scientifiche “materie difficili” le discipline scientifiche “materie difficili” sono le definizionisono le definizioni

Vediamo cosa significa definireVediamo cosa significa definire Definire : Definire : determinare il contenuto di un determinare il contenuto di un

concetto, concetto, dichiarare con brevi e precise dichiarare con brevi e precise parole le qualità essenziali di una cosaparole le qualità essenziali di una cosa, , in modo da distinguerla nettamente da in modo da distinguerla nettamente da un’altra un’altra

Analizziamo “Analizziamo “dichiarare con brevi e precise dichiarare con brevi e precise parole le qualità essenziali di una cosaparole le qualità essenziali di una cosa””

Una definizione deve essere:Una definizione deve essere: breve (non può essere resa tramite esempi e breve (non può essere resa tramite esempi e

deve avere il minor numero di termini possibili)deve avere il minor numero di termini possibili) essenziale (al suo interno non deve contenere essenziale (al suo interno non deve contenere

termini superflui o che la abbelliscono)termini superflui o che la abbelliscono) precisa: precisa: non può essere adatta a due o più non può essere adatta a due o più

cose ma solo ad unacose ma solo ad una In pratica per ottenere il massimo punteggio In pratica per ottenere il massimo punteggio

dovete rispettare queste regole e questo non è dovete rispettare queste regole e questo non è affatto sempliceaffatto semplice

Es. definizione di quadratoEs. definizione di quadrato

Analizziamo le seguenti definizioni:Analizziamo le seguenti definizioni: Il quadrato è un quadrilateroIl quadrato è un quadrilatero Il quadrato è un poligono con tutti i lati ugualiIl quadrato è un poligono con tutti i lati uguali Il quadrato è un quadrilatero con tutti i lati ugualiIl quadrato è un quadrilatero con tutti i lati uguali Sono tutte definizioni brevi, esenti da termini Sono tutte definizioni brevi, esenti da termini

superflui ma nessuna di esse è pertinentesuperflui ma nessuna di esse è pertinente Pur essendo il quadrato un quadrilatero e un Pur essendo il quadrato un quadrilatero e un

poligono con tutti i lati uguali nessuna delle due poligono con tutti i lati uguali nessuna delle due è precisa è precisa ((la prima va bene anche per rettangolo, la prima va bene anche per rettangolo, parallelogramma ecc. la seconda per tutti i poligoni parallelogramma ecc. la seconda per tutti i poligoni equilateriequilateri, , la valutazione va sotto la sufficienzala valutazione va sotto la sufficienza))

La terza definizione combina le prime due La terza definizione combina le prime due entrambe parzialmente vere pertanto ha un entrambe parzialmente vere pertanto ha un contenuto informativo maggiore, continua ad contenuto informativo maggiore, continua ad essere breve e ad utilizzare parole precise ma essere breve e ad utilizzare parole precise ma continua ad essere adatta a più cosecontinua ad essere adatta a più cose

Raggiunge sicuramente la sufficienza ma non il Raggiunge sicuramente la sufficienza ma non il punteggio massimopunteggio massimo

Le seguenti due figure sono entrambe ben Le seguenti due figure sono entrambe ben descritte dalla nostra proposizionedescritte dalla nostra proposizione

Definizione scientificaDefinizione scientifica La definizione La definizione scientificascientifica e sicuramente e sicuramente

più complessa di una definizione più complessa di una definizione normale perché utilizza un normale perché utilizza un linguaggiolinguaggio specificospecifico

Un linguaggio si dice Un linguaggio si dice specificospecifico se se appartiene ad una particolare disciplinaappartiene ad una particolare disciplina

La prossima diapositiva vi mostrerà La prossima diapositiva vi mostrerà diverse definizioni di quadrato, tutte diverse definizioni di quadrato, tutte corrette ma la cui valutazione può essere corrette ma la cui valutazione può essere differentedifferente

Definizione di quadratoDefinizione di quadrato Il quadrato è un Il quadrato è un quadrilateroquadrilatero con tutti gli con tutti gli

angoliangoli e i e i latilati uguali (punteggio 8 ½) uguali (punteggio 8 ½) Quadrilatero angolo Quadrilatero angolo ee lato lato fanno parte del fanno parte del

linguaggio specifico della disciplinalinguaggio specifico della disciplina Omettere le parole è un Omettere le parole è un quadrilateroquadrilatero e e

inserire “inserire “poligonopoligono che ha quattro che ha quattro latilati uguali uguali e quattro angoli e quattro angoli rettiretti” porta ad una ” porta ad una definizione che manca del carattere di definizione che manca del carattere di brevità (punteggio 8)brevità (punteggio 8)

Il quadrato è un Il quadrato è un quadrilateroquadrilatero con tutti gli con tutti gli angoliangoli e i e i latilati congruenticongruenti (punteggio 9) (punteggio 9)

La parola La parola congruentecongruente appartiene al appartiene al linguaggio specifico della geometria linguaggio specifico della geometria perciò perciò la definizione ha un utilizzo migliore del la definizione ha un utilizzo migliore del linguaggio specificolinguaggio specifico

Il quadrato è un Il quadrato è un quadrilateroquadrilatero equilateroequilatero ed ed equiangolo equiangolo (punteggio 10)(punteggio 10)

C’è un uso preciso del linguaggio specifico C’è un uso preciso del linguaggio specifico e una definizione più brevee una definizione più breve

equilatero equiangoloequilatero equiangolo

Se l’insegnante ha spiegato i poligoni Se l’insegnante ha spiegato i poligoni regolariregolari ( (poligoni che sono contemporaneamente equilateri ed poligoni che sono contemporaneamente equilateri ed

equiangoli)equiangoli) allora la definizione giusta per allora la definizione giusta per ottenere il massimo punteggio è:ottenere il massimo punteggio è:

Il quadrato è un quadrilatero regolare

Definizione di postulatoDefinizione di postulato

Dal dizionario della TreccaniDal dizionario della Treccani postulatopostulato dal lat. postulatum «ciò che è dal lat. postulatum «ciò che è

richiesto; richiesta» richiesto; richiesta» Proposizione che, senza essere evidente Proposizione che, senza essere evidente

né dimostrata, si assume come né dimostrata, si assume come fondamento di una dimostrazione o di una fondamento di una dimostrazione o di una teoriateoria

i postulati fanno riferimento ad i postulati fanno riferimento ad una materia una materia particolareparticolare

Definizione di assiomaDefinizione di assioma

L’assioma è un principio certo ed evidente L’assioma è un principio certo ed evidente senza ulteriori indagini che costituisce la senza ulteriori indagini che costituisce la base per ulteriori ricerchebase per ulteriori ricerche

Gli assiomi hanno una validità più Gli assiomi hanno una validità più generale dei postulati e sono alla base di generale dei postulati e sono alla base di più disciplinepiù discipline

I postulati di EuclideI postulati di Euclide Insieme agli enti geometrici fondamentali la geometria Insieme agli enti geometrici fondamentali la geometria

euclidea utilizza 5 postulati per rendere coerente la euclidea utilizza 5 postulati per rendere coerente la sua struttura.sua struttura.

1 Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare 1 Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare unauna ed ed una solauna sola retta. retta.

2 Si può prolungare un segmento oltre i due punti 2 Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente. indefinitamente.

3 Dato un punto (centro) e una lunghezza (raggio), è 3 Dato un punto (centro) e una lunghezza (raggio), è possibile descrivere un cerchio. possibile descrivere un cerchio.

4 Tutti gli angoli retti sono uguali. 4 Tutti gli angoli retti sono uguali. 5 Se una retta taglia altre due rette determinando dallo 5 Se una retta taglia altre due rette determinando dallo

stesso lato angoli interni stesso lato angoli interni la cui sommala cui somma è minore di è minore di quella di due angoli retti, prolungando le due rette, quella di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei due angoli è minore di due retti. due angoli è minore di due retti.

Primo postulatoPrimo postulatoPunto A

Punto B

Retta r

È evidente che qualsiasi altra retta non passerà per i due punti

Terzo postulatoTerzo postulatoPunto A (centro)

Lunghezza

Circonferenza Per definire un circonferenza basta prendere un punto come centro e una lunghezza come raggio

Gli assiomiGli assiomi1.1. Le cose uguali ad una stessa cosa sono uguali tra Le cose uguali ad una stessa cosa sono uguali tra

loro. A = B B = C loro. A = B B = C A = C A = C [proprietà transitiva][proprietà transitiva] 2.2. Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, le Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, le

somme ottenute sono uguali. somme ottenute sono uguali. 3.3. Se da cose uguali si tolgono cose uguali, le parti Se da cose uguali si tolgono cose uguali, le parti

rimanenti sono uguali. rimanenti sono uguali. 4.4. Se cose uguali sono aggiunte a cose disuguali, le Se cose uguali sono aggiunte a cose disuguali, le

somme ottenute sono disuguali. somme ottenute sono disuguali. 5.5. I doppi di una stessa cosa sono uguali tra loro. I doppi di una stessa cosa sono uguali tra loro. 6.6. Le metà di una stessa cosa sono uguali tra loro. Le metà di una stessa cosa sono uguali tra loro. 7.7. Cose che coincidono tra loro sono uguali.Cose che coincidono tra loro sono uguali.

A = B B = A [proprietà riflessiva]A = B B = A [proprietà riflessiva] 8.8. Il tutto è maggiore della parte. Il tutto è maggiore della parte.

Metodo assiomatico deduttivoMetodo assiomatico deduttivo … … roba da panico!!!!!!roba da panico!!!!!! Chiunque di voi leggendo queste tre parole si porrà questa Chiunque di voi leggendo queste tre parole si porrà questa

domanda …. “ma che roba è …”domanda …. “ma che roba è …” L’unica speranza risiede nel vocabolarioL’unica speranza risiede nel vocabolario MetodoMetodo In genere, il modo, la via, il procedimento seguito nel In genere, il modo, la via, il procedimento seguito nel

perseguire uno scopo, secondo un ordine e un piano perseguire uno scopo, secondo un ordine e un piano

prestabiliti in vista del fine che s’intendeprestabiliti in vista del fine che s’intende raggiungereraggiungere AssiomaticoAssiomatico che fa uso di assiomi, principi assunti come veri che fa uso di assiomi, principi assunti come veri

senza dimostrazione perché evidentisenza dimostrazione perché evidenti

DeduttivoDeduttivo il metodo da usare è basato soltanto sul il metodo da usare è basato soltanto sul ragionamento senza far ricorso all’esperienza nel corso del ragionamento senza far ricorso all’esperienza nel corso del

suo svilupposuo sviluppo

La geometria euclidea fa uso del metodo

assiomatico-deduttivo perché partendo dagli enti geometri fondamentali (3)

e dai postulati (5), riesce a dimostrare,

col puro ragionamento, tutto il resto utilizzando

proposizioni già dimostrate