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PremesseModello cosmologico

Sistema dinamicoMappa di Farey e repellore multifrattale

Caos e Relatività

Gabriele SicuroRelazione per il corso di Fisica dei Sistemi Dinamici

Università del Salento

Gennaio

Gabriele Sicuro Caos e Relatività



Indice

1 PremesseTransfer operatorEntropia metrica o di KolmogorovEntropia topologica

2 Modello cosmologicoEquazioni di Einstein e modello omogeneoMappa di Poincaré

3 Sistema dinamicoMappa di GaussSchema di BernoulliCalcolo di grandezze fisicamente interessanti

4 Mappa di Farey e repellore multifrattaleMappa di FareyRepellore strano




Transfer operatorEntropia metrica o di KolmogorovEntropia topologica

Transfer Operator e misura invariante

Transfer operator (o operatore di Ruelle o operatore di Frobenius–Perron)

Sia data una mappa f : X →X e sia %n la densità al passo n, ovvero tale che consideratiN0 valori iniziali, all’n-sima iterata in A⊆X vi siano NA,n delle N0 iterate

NA,n

N0=

∫A%n(x)dx qualsiasi sia A;

allora l’operatore di Ruelle è tale che

%n+1 =L %n.

Per le mappe unidimensionali si prova che

Lφ(x)= ∑y=f−1(x)

φ(y)∣∣f ′(y)∣∣ .

Misura invariante

L’autofunzione % dell’operatore di Ruelle L associata all’autovalore 1 è detta misurainvariante del sistema dinamico. Essa ha la caratteristica di non evolvere sotto l’azionedella mappa, ovvero % (A)= %

(f−1(A)

).





Entropia di Kolmogorov

L’entropia di Kolmogorov per una mappa unidimensionale può essere introdotta in unmodo intuitivo a partire dalla cosiddetta entropia di Shannon

hS(x)=− ∑y∈f−1(x)

π(y,x) log2π(y,x)=− ∑y∈f−1(x)

π(y,x)I(y,x), (1)

dove π(y,x) è il contributo in probabilità del passaggio y−→f

x;

∫hS(x)%(x)dx=

∫log2

∣∣f ′(x)∣∣%(x)dx≡ h%

h% è detta entropia metrica, o entropia di Kolmogorov o entropia di Kolmogorov-Sinai.





Entropia di Kolmogorov (definizione usuale)

Entropia metrica

Sia X regione limitata con misura invariante normalizzata % e{Xi

}una partizione di X;

allora possiamo definire un funzionale entropico dipendente da tale partizione,

h%,{Xi} =−r∑

i=1%(Xi) log2%(Xi).

L’entropia metrica, detta anche di Kolmogorov, è dunque data da

h% = sup{Xi}

h%,{Xi}.





Formula di Pesin

Pesin ha provato un’utile relazione che lega l’entropia di Kolmogorov ai coefficienti diLyapunov per un sistema dinamico:

Formula di Pesin

h% =∫

X

[ ∑λi(x)>0

λi(x)

]%(x)dx.

Nel caso unidimensionale, il coefficiente di Lyapunov si può scrivere

λ(x)= ln∣∣f ′(x)

∣∣=⇒ h% =∫

Xln

∣∣f ′(x)∣∣%(x)dx.

La relazione di Pesin permette quindi di provare l’eguaglianza delle due definizionipresentate.





Entropia topologica

L’entropia topologica esprime una proprietà intrinseca di f e non dipende dallametrica scelta, ma piuttosto dal numero di orbite di f . Si considerano distinte le orbite didue punti x e y se

∃k ∈N �′∣∣∣f k(x)− f k(y)

∣∣∣> ε

ad ε fissato. Se M(n,ε) è il numero di orbite per cui, ad ε fissato,∣∣∣f k(x)− f k(y)

∣∣∣> ε per unqualche n≥ k≥ 0, si definisce entropia topologica la quantità

H ≡ limε→0

n→∞

1n

log2 M(n,ε).

I sistemi con H > 0 sono detti caotici. Si prova che sussiste la seguente relazione traentropia topologica ed entropia metrica:

H = sup%

h%.

Mappa logistica

%(x)= 1πp

x(1−x), H = h% = 1.




Equazioni di Einstein e modello omogeneoMappa di Poincaré

Il modello cosmologico: modello omogeneo

Equazioni di Einstein

Rµν =−8πG(Tµν− 1

2gµνTλ

λ

)nel vuoto−−−−−−−→Rµν = 0

Vogliamo cercare una possibile soluzione omogenea che abbia la forma

ds2 = dt2 −γab(t)eac(x)eb

d(x)dxcdxd

I vettori ea devono soddisfare delle relazioni di commutazione che dipendono dallageometria dello spazio e che è determinata dalle costanti di struttura; si suppongononormalizzati.

[eca,ec

b]=Ccdf ed

aefb.

Metrica di Robertson e Walker

Universo omogeneo a simmetria sferica:

ds2 = dt2 −R2(t)

(dr2

1−kr2 +r2dθ2 +r2 sin2 θdφ2)





Il modello Mixmaster

Ci sono dieci diversi tipi di scelte sulle costanti di struttura, classificate da Bianchi. Inparticolare il sistema IX di Bianchi è detto modello Mixmaster e prevede di scegliere

x ∈ [0,4π], y ∈ [0,π], z ∈ [0,2π]

e1 = (sinzsiny,cosz,0), e2 = (−coszsiny,sinz,0), e3 = (cosy,0,1)

da cui, utilizzando le equazioni di Einstein per il vuoto

γ=a2(t) 0 0

0 b2(t) 00 0 c2(t)

,

−−−−−−→dτ= dt

abc

«particella in buca di potenziale»︷︸︸︷d2

dτ2

(lna2

)=

(b2 −c2

)2 −a4 e perm. cicliche di a, b, c,

d2

dτ2

(lna2b2c2

)= d lna2

dτd lnb2

dτ+ d lna2

dτd lnc2

dτ+ d lnc2

dτd lnb2

dτ︸︷︷︸condizione «hamiltoniana»

.

Misner ha integrato le precedenti equazioni per aÀ bÀ c ottenendo

a2 =Ausechθ, b2 = AuB

e−θu coshθ, c2 = Au

Ce−

θu coshθ,

dove A,B,C ed u sono costanti e θ =Au(τ−τ0).Gabriele Sicuro Caos e Relatività




Singolarità e raccordo

Poiché le equazioni sono analoghe ad un moto in una buca di potenziale, le soluzioni sonodi tipo oscillante ed in particolare si vede che le oscillazioni relative a diverse buche nonsono a priori raccordate: il raccordo avviene utilizzando A, B, C ed u. In particolare sitrova che dopo ogni oscillazione u decresce di un’unità, finché 0< u< 1: a questo punto siinterrompe un ciclo di oscillazioni.

Inoltre abc∼ t per cui τ∼ lnt e in t= 0 c’è pertanto una singolarità.





Mappa di Poincaré

Tra un ciclo e l’altro la soluzione è di un tipo noto ai cosmologi, ovvero è una soluzione delmodello di Kasner, il più semplice tra i modelli cosmologici, in cui tutte le costanti distruttura sono nulle. Per passare dal ciclo n al ciclo n+1 il raccordo impone che si abbia,come han mostrato Belinski, Khalatnikov e Lifshitz (BKL),

un+1 =Φ(un)= 1un −bunc

, Φ : [1,+∞)→ [1,+∞).

dove un è il valore di u all’inizio dell’n-simo ciclo. Tale valore di un identificacompletamente la soluzione di Kasner tra due cicli. La mappa precedente permette di«rilevare» il valore di u ogni qualvolta la soluzione mixmaster «attraversa» lo statosoluzione del modello di Kasner. Poiché le soluzioni del modello di Kasner costituisconouna varietà unidimensionale e la condizione hamiltoniana individua una varietàbidimensionale, la sezione di Poicaré Σ è unidimensionale, così come la mappa.




Mappa di GaussSchema di BernoulliCalcolo di grandezze fisicamente interessanti

Mappa di Gauss

Mappa di Gauss

{un+1 =Φ(un)= 1

un−bunc ,

Φ : [1,+∞)→ [1,+∞)−−−−−−→un→ 1

xn

xn+1 = f (xn)= 1

xn−

⌊1

xn

⌋se xn 6= 0,

xn+1 = f (xn)= 0 se xn = 0,f : [0,1]→ [0,1]

Discontinuità in x= 1n , n≥ 2, n ∈N.

Punti fissip

n2+4−n2 , n ∈N oltre all’origine fissa per costruzione.

λ(x)= ln∣∣f ′(x)

∣∣=−2lnx> 0 in (0,1).





Operatore di Gauss-Kuzmin-Wirsing

(Gφ

)(x)= ∑

y=f−1(x)

φ(y)∣∣f ′(y)∣∣ = ∞∑

n=1

1(x+n)2

φ

(1

x+n

)

La misura invariante è l’autofunzione corrispondete all’autovalore 1. Gauss ha provatoche esiste una sola autofunzione siffatta:

Misura invariante

%(x)= 1ln2

11+x

Con questa misura si prova che il sistema in esame è ergodico.

Entropia

h% = 1ln2

∫ 1

0

−2lnx1+x

dx= 16

( π

ln2

)2 ≈ 3.4237 . . . .

Poiché la misura invariante è anche unica, H = sup%h% = h%.





Schema di Bernoulli

Cerchiamo ora di implementare una corrispondenza tra la nostra mappa e uno spazio disuccessioni di interi in modo che l’azione di f corrisponda all’azione di un operatore dishift σf analogamente a quanto fatto con la mappa logistica.

Sσf−−−−−−−→ S

φ

y yφ[0,1]

f−−−−−−−→ [0,1]

La successione di interi (ki) sarà tale che ad ogni ki corrisponderà una partizione dellospazio X con associata probabilità.





Frazioni continue

Una possibile scelta per φ è ottenuta associando ad x la sua rappresentazione infrazione continua:

x= 1

k1 +1

k2 +1

. . .

= [0;k1,k2, . . . ]−→kx ≡ [0;k1,k2, . . . ]= (k1,k2, . . . ).

I valori kn ∈N che compongono la successione hanno un significato ben preciso, in quantopermettono di individuare l’orbita di x:

1kn +1

< f n+1(x)< 1kn

Esattamente come nella dinamica simbolica, l’azione della mappa f è riprodotta qui daun operatore di shift:

xn = f n(x0) 7→σnf kx =σn

f (k1,k2, . . . )= (kn+1,kn+2, . . . ).





Alcune importanti difficoltà

x ∈ [0,1]∩ (R\Q) 7→ ∃![0;k1,k2, . . . ,kn, . . . ,kn, . . . ],

x ∈ [0,1]∩Q 7→ rappresentazione non unica!

{[0;k1,k2, . . . ,kn,1],[0;k1,k2, . . . ,kn +1]

Si può dire di disporre di una applicazione bigettiva quasi ovunque, essendo [0,1]∩Q dimisura nulla.

Convergenti

La costruzione della rappresentazione parziale corrispondente al valore x avviene inmodo algoritmico. Viceversa, data una successione di interi, possono verificarsi due casi:

la successione è del tipo (k1,k2, . . . ,kn,0, . . . ,0, . . . ) e allora il procedimento consta diuna serie finita di passi e converge sempre ad un certo x (razionale);

la successione è del tipo (k1,k2, . . . ,kn, . . . ), ovvero non si interrompe. Allora, dettoconvergente pk

qkil razionale approssimato cassando i termini dal k-esimo in poi,

allora questi convergono all’irrazionale corrispondente ξ come∣∣∣∣ξ− pkqk

∣∣∣∣< 12k−1





Punti periodici

I punti periodici di periodo m hanno una forma molto semplice nello spazio S :

px = (k1,k2, . . . ,km−1,km,k1,k2, . . . , )= [0;k1, . . . ,km], ki ∈N ∀i

Tutti i razionali sono eventualmente periodici e costituiscono il bacino di attrazionedell’origine. Per comprendere la natura degli irrazionali che costituiscono i puntiperiodici di periodo m occorre fare riferimento a due risultati:

Lagrange ha provato che ζ= [ζ0;ζ1, . . . ,ζl,ζl+1, . . . ,ζl+m] se e solo se ζ è un

irrazionale quadratico, ovvero ha la forma −b±p

b2−4ac2a , con a,b,c ∈Z e

∆= b2 −4ac> 0, ∆ 6= n2, n ∈N;

Galois ha provato un irrazionale ha sviluppo periodico puro, ovvero della formaζ= [ζ0;ζ1ζ2, . . .ζn], se e solo se esso è un irrazionale quadratico ridotto, ovvero

ζ= −b+p

b2−4ac2a ≡ P+p∆

Q > 1 e il suo coniugato η= P−p∆Q ∈ [−1,0].

Pertanto l’insieme dei punti periodici è in bigezione coi positivi che soddisfano il criteriodi Galois, in quanto ζ= [ζ0;ζ1ζ2, . . .ζn]−ζ0 = [0;ζ1ζ2, . . .ζn,ζ0].





Un particolare punto periodico

Tra i punti periodici (ed in particolare punti fissi) della mappa abbiamoϕ−1= [0;1,1,1, . . . ]= [0;1]; i convergenti di tale valore sono dati da Fn

Fn+1, dove Fn è

l’n-simo numero di Fibonacci (F0 = 0).

Come ϕ (e tutti i reali ottenuti con trasformazione omografica a+bϕc+dϕ , a,b,c,d ∈Z con

ad−bc=±1) è un irrazionale particolarmente difficile da approssimare con razionali.





Significato cosmologico

La successione (k1,k2, . . . ) ha un significato cosmologico immediato. Infatti

kx,n+1 =⌊x−1

n

⌋= bunc = numero di oscillazioni nell’(n+1)-simo ciclo

k1︸︷︷︸oscillazioni nel I ciclo

, k2︸︷︷︸oscillazioni nel II ciclo

, k3︸︷︷︸oscillazioni nel III ciclo

, . . .

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→direzione in cui − lnt cresce

Osserviamo inoltre che se x0 è razionale, vi sarà un n oltre il quale non vi saranno piùcicli di oscillazioni e le soluzioni saranno quelle del modello di Kasner per u= 0; viceversase x0 è irrazionale il numero di cicli è infinito.

L’ergodicità del sistema permette l’applicazione del teorema di Birkhoff, per cui èpossibile calcolare medie temporali integrando sullo spazio delle fasi.





Distribuzione di Gauss-Kuzmin

Supponiamo di voler calcolare la media temporale con cui si hanno cicli da r oscillazioni.Per il teorema di Birkhoff, integriamo sullo spazio delle fasi la funzione θr caratteristicadell’intervallo

(1

r+1 , 1r

](se compaiono cicli con r oscillazioni, l’orbita prima o poi dovrà

passare per questo intervallo). Allora

ν(r)= 1ln2

∫ 1r1

r+1

11+x

dx= log2(r+1)2

r(r+2)

che corrisponde, vista diversamente, alla probabilità che compaia l’intero r nellarappresentazione in frazione continua di un reale.





Costante di Kinchin

Per valutare il numero medio di oscillazioni, dal fatto che k1,x =⌊

1x

⌋stimiamo la media di

ln⌊

1x

⌋come

limn

1n

n∑i=1

ln⌊

1f i(x)

⌋= 1

ln2

∫ 1

0ln

⌊1x

⌋dx

1+x≡ lnκ.

Qui κ≈ 2.6854520010 . . . è una costante ed detta costante di Kinchin. Tale costante svolgeun ruolo di particolare importanza in Teoria dei Numeri, essendo definita anche come

ln2lnκ=∞∑

n=1

ζ(2n)−1j

2n−1∑m=0

(−1)m

m, dove ζ(s)=

∞∑n=1

1ns è la funzione ζ di Riemann.

La costante di Kinchin è legata alla distribuzione di Gauss-Kuzmin. È stata introdottaconsiderando x= [a0;a1,a2, . . . ] generico: si prova che

κ= limn

(n∏

i=1ai

) 1n

, a meno di un insieme di misura nulla, indipendentemente da x.




Mappa di FareyRepellore strano

Cambio di variabile

Il sistema dinamico in esame può essere analizzato anche in una diversa prospettiva conun adeguato cambiamento di variabile che renda continua la mappa:

un+1 ={

un −1 se u≥ 1,1

unse 0< u< 1,

−→ un+1 =F (un)={

O(un)= un −1 se u≥ 2,K(un)= 1

un−1 se 1≤ u< 2.





Mappa di Farey

Mappa di Farey

(un+1vn+1

)=F(un,vn)=

(un −1vn +1

)se u≥ 2, oscillazioni,( 1

un−11

vn+1

)se u< 2, ere Kasner.

La prima componente evolve in avanti secondo F , la seconda all’indietro.

La mappa ha un solo punto fisso(u1v1

)=

(ϕ

ϕ

), ϕ= 1+p

52

.

Inoltre le orbite periodiche sono stabili nella direzione v, instabili nella direzione u.L’entropia topologica è HF = 2.





Repellore strano

Soluzioni dell’equazione Fk(u,v)= (u,v) per 1≤ k≤ 12 in [1,2]× [1,2]. Il repellore hadimensione di ricoprimento D0 = 2, ma ha dimensione di informazione stimata inD1 = 1.74±0.02. Poiché Dq varia al variare di q si dice che è un multifrattale.

Tale multifrattale è costituito dagli irrazionali periodici.Gabriele Sicuro Caos e Relatività




Conclusioni

Abbiamo dunque osservato che

la nonlinearità nelle equazioni di Einstein genera in alcuni casi comportamentifondamentalmente caotici;

è possibile individuare una sezione di Poincaré nello spazio delle fasi che permettal’analisi di una mappa riconducibile a quella di Gauss;

tale mappa è ergodica e si prova addirittura che è mixing, per cui è possibileutilizzare il teorema di Birkhoff per estrarre informazioni sulla dinamica delsistema in modo immediato;

importanti grandezze fisiche sono riconducibili a grandezze universali legate allaTeoria dei Numeri;le orbite periodiche descrivono, nello spazio su cui opera la mappa di Farey, uninsieme frattale ed in particolare multifrattale.


Bibliografia essenziale

BARROW, J.D., Chaotic behaviour in general relativity, Physics Reports 85(1), 1-49(1982).

BECK, C. E SCHLÖGL, F., Thermodynamics of chaotic systems, Cambridge UniversityPress, (1993).

BELINSKII, V.A. LIFSHITZ, E.M. E KHALATNIKOV, I.M., Oscillatory approach to thesingular point in relativistic cosmology, Soviet Physics Uspekhi, 13(6), 745, (1971).

CORNISH, B.J. E LEVIN, J., Mixmaster universe: A chaotic Farey tale, Phys. Rev. D55(12), 7489–7510 (1997).

MISNER, C.W., Interpretation of Gravitational-Wave Observations, Phys. Rev. Lett.28(15), 994–997 (1972).


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