IL CAOS DETERMINISTICO

Dalle origini del concetto di caos

alle moderne applicazioni

di una nuova scienza

Federico IndinoVD

Le radici del concetto di caos…

CasmaCascw(sto aperto, sto spalancato) (voragine, apertura)

CaosCaos

(baratro, abisso)

…la Teogonia di Esiodo

“Dunque in principio fu Caos; poi subitoGea dall’ampio seno, per sempre sicura dimora di tutti gli immortali che possiedono la vetta dell’Olimpo

nevoso, e il Tartaro tenebroso negli abissi della terra dagli ampi

cammini, quindi Eros, il più bello tra gli dei immortali, che scioglie le membra e di tutti gli dei e di tutti gli

uominidoma nei petti la mente e l’assennato consiglio. Da Caos nacquero Tenebra e la nera Notte…”

Teogoniavv. 116-123

Esiodo

L’origine del caos:i modelli matematici

Che cos’è un modello?E qual è la sua funzione?

• Un modello è una semplificazione della realtà ottenuta attraverso un processo di astrazione• Individua le proprietà più importanti del sistema in analisi• Trascura le caratteristiche secondarie• Permette di ottenere una simulazione più o meno fedele della realtà

Dal determinismo classico…“Un’intelligenza che, per un istante dato, conoscesse tutte le forze da cui la natura è animata e la situazione rispettiva degli esseri che la compongono, se fosse abbastanza vasta da sottoporre questi dati ad analisi abbraccerebbe nella stessa formula i moti dei corpi più grandi dell’Universo e quelli dell’atomo più leggero: per essa non ci sarebbe nulla di incerto, e il futuro come il passato sarebbe presente ai suoi occhi.Lo spirito umano offre, nella perfezione che ha saputo dare dell’astronomia, solo un barlume di tale intelligenza.”

Pierre-Simon de Laplace

Determinismonewtoniano

…al pensiero di Poincaré“[…]Ma pure se accadesse che le leggi naturali non avessero più alcun segreto per noi, anche in tal caso potremmo conoscere la situazione iniziale solo approssimativamente.Se questo ci permettesse di prevedere la situazione successiva con la stessa approssimazione, non ci occorrerebbe di più e dovremmo dire che il fenomeno è stato previsto.Ma non è sempre così; può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali. Un piccolo errore nelle prime produce un errore enorme nei secondi. La previsione diviene impossibile.”

Jules Henri PoincaréTeoria del caos

(1903)

L’evoluzione temporale del sistema

L’evoluzione temporale del sistema si ottiene applicando il modello

Applicazione modello = iterazione della funzione

xt+1 = f(xt) xt+2 = f(xt+1)

xt xt+1 xt+2f f

Iterazione: metodo della scala

x0 – tratto verticale – grafico della funzione –tratto orizzontale –bisettrice (x1)

La funzione ha dei punti fissi (x*) caratteristici; questi corrispondono alle intersezioni del grafico della funzione con la bisettrice del 1° e 3° quadrante

punto fisso=

situazione di equilibrio del

sistema

Natura dei punti fissi di una funzione

I punti fissi di una funzione possono avere due diverse nature:• convergente, se la traiettoria del sistema converge a quel punto• repulsiva, se la traiettoria del sistema si allontana dal punto fisso

Esempio: f(x) = ax

Al variare di a si distinguono quattro situazioni:

1) Per -1<a<+1 il sistema converge a x*=0

2) Per a<-1 v a>+1 il sistema diverge da x*= 0

3) Per a=1 ogni x0 è un punto fisso

4) Per a=-1 per ogni x0 si crea un ciclo di periodo 2

I valori a = 1 e a = -1 sono detti punti di biforcazione del sistema

La mappa logisticaf(x)= ax(1-x)

Caratteristiche:• rappresenta una famiglia di parabole con concavità rivolta verso il basso e con le intersezioni con l’asse delle ascisse nei punti x=0 e x=1• presenta due punti fissi: p*(origine), indipendente del parametro, e x*, dipendente dal parametro

x*

p*

Analisi dei punti fissi della mappa logistica

• Per 0<a<1 p* è attrattivo e x* è repulsivo• Per 1<a<3 p* è repulsivo e x* è attrattivo

a = 3 : BIFORCAZIONE FLIP

RADDOPPIO DEL PERIODO (2)

Per a=3,45NUOVA BIFORCAZIONE

FLIP

RADDOPPIO DELPERIODO (4)

Per a=3,56NUOVA

BIFORCAZIONE FLIP

RADDOPPIO DELPERIODO (8)

Per a > 3,56994 (Punto di Feigenbaum) Caos

Il Caos DeterministicoProprietà del caos

• Sensitività rispetto alle condizioni iniziali• Transitività o mixing, le traiettorie occupano densamente lo spazio sovrapponendosi senza mai ripetersi (zone nere nel grafico)• Esistenza di infiniti cicli repulsivi• Autosomiglianza interna o omotetia

Qual è il significato del caos deterministico?

BIFORCAZIONE

Possibile evoluzione del sistema in due

diversi modiMa quale dei due???CRISI DELLE

PREVISIONI DETERMINISTICHE

TEORIA DEL CAOS DI POINCARE’

La riscoperta del caos:Edward Lorenz

“Il battito d’ali di una farfalla in Brasile può causare un uragano in Texas”

Edward Lorenz

Nel 1961 Lorenz elaborò un modello matematico di 12 equazioni (derivate da quella di Navier-Stokes) che fosse in grado di prevedere l’evoluzione delle condizioni atmosferiche: si accorse che la minima variazione nelle condizioni iniziali poteva causare cambiamenti enormi negli effetti finali

Sistema di equazioni non lineari elaborato la Lorenz per descrivere il moto di

convezione

ATTRATTORE STRANO DI LORENZ

La traiettoria descrive una doppia spirale tridimensionale senza mai

ripetersi in modo uguale

Il passaggio da un’ala all’altra della spirale indica l’inversione del

moto del fluido

La teoria delle catastrofi

Renè Thom

STRUTTURE NATURALI CAOTICHE

MUTAMENTI CATASTROFICI NEI

PUNTI DI BIFORCAZIONE

MODELLO A CUSPIDEModello tridimensionale:• una variabile di stato (asse z)• due variabili di controllo (assi x e y)

Diagramma di fase dell’acqua (passaggio stato liquido-aeriforme)

Acqua riscaldata oltre il punto di ebollizione

Sospensione (isteresi)

Ebollizione ritardata catastrofica (cuspide)

Una nuova interpretazione: il crollo della borsa

Variabili di controllo:• azioni possedute da chi agisce sulla base di informazioni economiche• azioni possedute da chi agisce solo a fini speculativi

Variabile di stato:• modificazione del listino

Speculazione eccessiva

Brusche variazioni dell’indice di borsa

(crollo nella cuspide)

Le applicazioni medicheSchizofrenia

Osservazione:Gli schizofrenici non riescono a seguire il

movimento di un pendolo in oscillazione

Bernardo Huberman elabora un modello con

equazioni non lineari che descrive il

movimento oculare

Disordine nel movimento dei muscoli oculari

La fisiologia cardiaca

CAOS

PERIODICITA’

NORMALITA’(elasticità cardiaca)

MALATTIA(fibrillazione)

IL CAOS E LA VITA

“Non può essere che la patologia matematica, cioè il caos, sia salute?E che la salute matematica, che sono la predicibilità e la differenziabilità di questo tipo di struttura, sia malattia?”

Arnold Mandell

Perché studiare il caos?

“Il nostro universo fisico non ha più come simbolo il moto regolare e periodico dei pianeti, moto che è alla base della meccanica classica. E’ invece un universo di instabilità e fluttuazioni, che sono all’origine dell’incredibile ricchezza di forme e strutture che vediamo nel mondo intorno a noi. Abbiamo quindi bisogno di nuovi concetti e nuovi strumenti per descrivere una natura in cui evoluzione e pluralismo sono divenute le parole fondamentali.”

Il’ja Romanovič Prigožin

NATURA ESTREMAMENTE ARMONICA E COMPLESSA NECESSITA’ DI NUOVI

STRUMENTI PER STUDIARLA

TEORIA DEL CAOS E NON LINEARITA’

Bibliografia:

G. I. BISCHI, R. CARINI, L. GARDINI, P. TENTI, Sulle orme del caos, comportamenti complessi in modelli matematici semplici, ed. Bruno Mondadori, 2004F. CRAMER , Caos e ordine, la complessa struttura del vivente, ed. Bollati Boringhieri, 1994ESIODO, Teogonia, ed. Oscar Mondadori, 2004J. GLEICK, Caos, la nascita di una nuova scienza, ed. BUR, 2000P. N. OVIDIO, Metamorfosi, ed. Einaudi, 1994D. RUELLE, Caso e caos, ed. Bollati Boringhieri, 1992R. THOM, Stabilità strutturale e morfogenesi, saggio di una teoria generale dei modelli, ed. Einaudi, 1980

Sitografia:

www.emsf.rai.it/scripts/interviste (intervista a Renè Thom)www.dti.unimi.itwww.matematica.unibocconi.it/thom/teoriawww.sicap.itwww.wikipedia.org/Attrattorewww.wikipedia.org/Flusso_turbolento