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Caos deterministico nei circuiti:introduzione, simulazioni ed un esperimento

Corso di Teoria dei CircuitiLaurea specialistica in Ingegneria

Informatica, Elettronica e delle Telecomunicazioni

Prof. Massimiliano de Magistris

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA ELETTRICA E TECNOLOGIE DELL'INFORMAZIONE

M. de Magistris - Caos deterministico nei circuiti ... 2

Caos deterministico :comportamento aperiodico a lungo termine in un sistema deterministico caratterizzato da una alta dipendenza alle condizioni iniziali impredicibilità!

Abbiamo dinamiche caotiche se, in qualche regione dello spazio di stato accade che:

– si verifica alta sensibilità alle c.i. (eventualmente esponenziale)

– c’è il “folding” delle traiettorie (che mantiene le traiettorie limitate nonostante la divergenza esponenziale)

– esiste una regione “densa” di orbite nello spazio di stato (attrattore strano)

Introduzione/1


È possibile avere dinamiche caotiche (cond. necessarie) in sistemi almeno del secondo ordine non autonomi o del terzo ordine autonomi.

Lo studio sperimentale del caos deterministico è stato prevalentemente effettuato su circuiti …

Introduzione/2

Circuito “RLD” (Hasler) Circuito di Chua

due esempi classici ….


Circuito non autonomo del 2°ordine (RLCD), con elemento non lineare a-dinamico (D) e dinamico (C), forz. sinusoidale

.

A variare del parametro ampiezza EM si osserva (t ∞) una sequenza di raddoppiamenti di periodo e transizioni al caos

Circuito caotico con diodo (Hasler)


Em=0.8 sol. asintotica periodica (T )

.

Circuito RLCD: dinamica asintotica/1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-2

0

2

4

t [ms]

q C [n

C]

charge dynamics

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1

0

1

2

t [ms]

i L [mA

]

current dynamics

-0.5 0 0.5 1-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

qC [nC]

i L [mA

]

State space plot


Em=2 sol. asintotica periodica (2T )

.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-2

0

2

4

t [ms]

q C [n

C]

charge dynamics

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1

0

1

2

t [ms]

i L [mA

]

current dynamics

-2 -1 0 1 2 3-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

qC [nC]

i L [mA]

State space plot


Em=2.4 sol. asintotica periodica (4T )

.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-2

0

2

4

t [ms]

q C [n

C]

charge dynamics

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1

0

1

2

t [ms]

i L [mA

]

current dynamics

-2 0 2 4-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

qC [nC]

i L [mA

]

State space plot


Em=4 sol. asintotica “caotica”

.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-5

0

5

10

t [ms]

q C [n

C]

charge dynamics

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-2

0

2

4

t [ms]

i L [mA

]

current dynamics

-2 0 2 4 6-2

-1

0

1

2

qC [nC]

i L [mA]

State space plot

La dinamica è caratterizzata da un attrattore strano


La curva descritta (che è già epurata del transitorio) è aperiodica e non si chiude mai su se stessa. Ciò nonostante rimane sempre confinata ad una certa regione (attrattore strano)

Le soluzioni caotiche così determinate risultano instabili: soluzioni arbitrariamente vicine in un istante si separano in modo netto successivamente

.

Circuito RLCD: attrattore “strano”


.

0 0 .5 1 1 .5 2 2 .5 3 3 .5 4 4 .5

x 1 0 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6x 1 0 -9

t

q

in it ia l c o n d it io n s e n s it ivity (q )

re fe re n c e0 .0 5 % p e rtu rb e d

Circuito RLCD: sensibilità alle c.i.


Campionando (a regime) la sequenza temporale ogni T si ottiene il diagramma di biforcazione

.

Circuito RLCD: diagramma di biforcazione

0 2 4 6 8-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3Byfurcation diagram

Em [V]

i L [mA

]


.

Circuito RLCD: Mappa di Poincarè

Se sull’attrattore (nel piano di stato) segnamo i punti campionati ogni Trealizziamo una mappa (o sezione) di Poincaré

-4 -2 0 2 4 6-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Poincarè map

q [nC]

i [m

A]


.

Il circuito di Chua/1

Si tratta di un circuito autonomo del terzo ordine con un resistore non lineare (a tratti)

1 1 2 1

1 1 1

2 1 2

2 2 2

2

( )N

L

L

dv v v i vdt RC RC Cdv v v idt RC RC Cdi vdt L

⎧ = − + −⎪⎪⎪

= − +⎨⎪⎪

= −⎪⎩

C2 C1

RL

v1G<|dg/dv|

G>|dg/dv|

G=|dg/dv|

iL

v2 v1

+

-

+

-

iNiN

( )

( )

1 1

1

1 1

se -

( ) se

se

b b a

N a

b a b

G v G G E v E

i v G v v E

G v G G E v E

⎧ + − ≤⎪

= <⎨⎪ + − ≥⎩


.


Il circuito presenta le tre condizioni teoriche minime per avere dinamiche complesse:

•dinamica almeno del terzo ordine (per i circuiti autonomi)•almeno un componente non lineare•almeno un componente attivo

L’elemento non lineare, detto anche “diodo di Chua” è al tempo stesso attivo e non lineare. Gli elementi dinamici sono invece lineari (due condensatori ed un induttore)Come parametro di biforcazione consideriamo il valore del resistore lineare R


Se consideriamo il caso stazionario otteniamo il circuito in figura. A seconda del valore di G individuiamo una oppure tre possibili soluzioni stazionarie. Sappiamo però che per un circuito non lineare possiamo avere

anche soluzioni non stazionarie per t ∞!Quale sarà il comportamento asintotico del circuito? Come vedremo dipenderà in modo piuttosto “spettacolare” dal valore della conduttanza G.

.



.

Dinamiche del circuito di Chua/1

•Per valori di R sufficientemente grandi si ha che i punti di equilibrio delle regioni esterne sono stabili, mentre l’origine è un punto instabile. Il sistema si porterà, con traiettoria a spirale, su uno dei punti di equilibrio stabile (a seconda del suo stato iniziale)

•Al diminuire di R si può osservare dapprima come il numero di oscillazioni per raggiungere l’equilibrio cresce, per poi transitare al caso di una soluzione periodica (ciclo limite) di periodo T, attorno al precedente punto di equilibrio

•Per valori di R ancora più bassi si osservano raddoppiamenti del periodo, con orbite di periodo 2T e 4T.


.

Dinamiche del circuito di Chua/2

•Al diminuire ulteriore di R i cicli limite assumono periodo 8T, 16T, 32T …, fino a diventare praticamente infinito.

• Si raggiunge un moto della soluzione apparentemente irregolare in una regione di tipo a spirale, detto “attrattore di Chua”.

•Continuando a diminuire il valore di R si ottiene, oltre alla variazione della forma dell’attrattore, alcune regioni ambigue o “finestre” nel caos con soluzioni periodiche.

• Infine si raggiunge un diverso attrattore, caratterizzato da valori di segno opposto per almeno una variabile detto attrattore “double scroll”.


.

Circuito caotico di Chua: simulazione SPICE

R= 2050 ΩSOLUZIONE STAZIONARIA

STABILE


.

R= 1980 Ω: SOLUZIONE PERIODICA STABILE (T)

Fast Fourier Transform

R= 1980 ΩSOLUZIONE PERIODICA

STABILE (periodo T)


.

R= 1950 Ω: SOLUZIONE PERIODICA STABILE (2T)

Fast Fourier TransformFast Fourier Transform

R= 1950 ΩSOLUZIONE PERIODICA STABILE (periodo 2T)


.

R= 1938 Ω: SOLUZIONE PERIODICA STABILE (4T)


R= 1938 ΩSOLUZIONE PERIODICA STABILE (periodo 4T)


.

R= 1900 Ω: SOLUZIONE CAOTICA “A SPIRALE”


R= 1900 ΩSOLUZIONE CAOTICA


.

R= 1840 Ω: SOLUZIONE CAOTICA “DOUBLE SCROLL”


R= 1840 ΩSOLUZIONE CAOTICA

“DOUBLE SCROLL”


.

R= 1810 Ω: “FINESTRA NEL CAOS” (CICLO 8T)


R= 1810 Ω“FINESTRA NEL CAOS”SOLUZIONE PERIODICA STABILE (periodo 8T)


.

Applicazioni analisi dei circuiti caotici

• Progetto robusto (a prova di caos) di sistemi (es. power converters)

• Controllo del caos per la stabilizzazione di sistemi di varia natura (es. defibrillatore?)

• Generatori di rumore, generatori di dinamiche “universali”

• Modulazione con portanti caotiche di segnali al fine della trasmissione sicura dei dati (crittografia basata sul caos)

• Test-bed per la validazione di tecniche di controllo robusto

• Realizzazione oggetti basati su dinamiche caotiche per migliorarne prestazioni “statistiche” (lavatrice, forno a microonde ..)

• Dinamiche e sincronizzazione di reti complesse (complex networks)


.

DescrizioneNome

Tipo di elemento valore unità

C1 Capacità 10 nF

C2 Capacità 100 nF

L Induttanza 18 mH

R Resistenza 1.780 kΩ

Ga Conduttanza -0.756 mS

Gb Conduttanza -0.409 mS

E1 Tensione 1.089 V

Una implementazione del circuito di Chua


.

Una implementazione del circuito di Chua


.

Il circuito concretamente realizzato


.

Dispositivo di misura/acquisizione dati


.

Controllo USB del parametro di biforcazione

R5 R6 R7 R8

R4 R3 R2 R1

DG412DJZSwitch

DG412DJZSwitch

UM245RUSB Interface

R0


1. M. Hasler, J. Neirynch, Nonlinear Circuits, Artech House, Inc, 1986.2. F. C. Moon, Chaotic and Fractal Dynamics, John Wiley & Sons, 19923. H. G. Schuster, Deterministic Chaos, VCH, 19884. Y.A. Kuznetsov, Elements of Applied BifurcationTheory, Springer-Verlag 1995.5. M. P. Kennedy, Three Steps to Chaos – Part I: Evolution, IEEE Trans. On Circuits and

Systems -I, 40-10, 1993.6. M. P. Kennedy, Three Steps to Chaos – Part II: A Chua’s Circuit Primer, IEEE Trans. On

Circuits and Systems -I, 40-10, 1993.7. D. C. Hamill, Learning about Chaotic Circuits with SPICE, IEEE Trans. On Education, 36-

1, 1993.8. L. O. Chua, R. Madan, Sights and sounds of chaos, IEEE Circuits and Devices magazine,

3-13, 1988.9. C. Tan, M. Varghese, P. Varaiya, F. F. Wu, Bifurcation, chaos, and voltage collapse in

power systems, IEEE Proceedings, 83, 1484-1496, 1995.10. R.N. Madan. Observing and Learning Chaotic Phenomena from Chua’s Circuit. IEEE 0-

7803-0510-8/92, 1992 11. L.O.Chua, L.T. Huynh. Bifurcation Analysis of Chua’s Circuit. IEEE 1992 12. H. Anshan. A study of the Chaotic Phenomena in Chua’s Circuit. IEEE CH2458-

8/88/0000-0273, 1988 13. T.S. Parker, L.O. Chua. Chaos: A tutorial for Engineers. IEEE 0018- 9219/87/0800-0982,

1987

Riferimenti bibliografici

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