PROBABILITÀLiceo Scientifico Statale Galileo Galilei

2017/2018

- FLIPPED CLASSROOM -

Sirianni Matteo Renda Giulia Pizzimenti Francesco Arzente Giulia Prochilo Marco

FLIPPED CLASSROOMIn ambito educativo, in italiano insegnamento capovolto, ci si riferisce ad unapproccio metodologico che ribalta il tradizionale metodo di apprendimento fatto dilezione frontale, studio individuale a casa e verifiche in classe.I fautori di questo metodo ritengono che la rapida mutazione indotta dalla diffusionedel web abbia prodotto un distacco sempre più marcato di gran parte del mondoscolastico dalle esigenze della società, dalle richieste del mondo delle imprese e dalleabilità e desideri degli studenti e delle loro famiglie. Si è osservato anche che gliinteressi degli studenti nascono e si sviluppano sempre più all'esterno dalle murascolastiche.La rivoluzione internet ha permesso la diffusione massiva non solo del sapere scritto

ma anche dei contenuti multimediali, rendendo possibile fruire da casa lelezioni/spiegazioni dei docenti. Dato che il sapere non è confinato tra le mura delleistituzioni scolastiche, i sostenitori di questa metodologia ritengono che sarebbeimproduttivo trasmettere a scuola quello che è già disponibile a casa.L'insegnamento capovolto propone quindi l'inversione dei due momenti classici,lezione e studio individuale: La lezione viene spostata a casa Lo studio individuale viene spostato a scuola, dove in classe l'insegnante può

esercitare il suo ruolo di tutor al fianco degli studenti.1

INTRODUZIONEUna grande conquista dell’umanità è l’addomesticazione del caso avvenuta grazie a quel ramo della matematica applicata chiamata probabilità. Questa teoria nacque grazie a due grandi matematici del 600’ chiamati Blaise Pascal e Pierre Fermat, due amici giocatori d’azzardo che volevano trovare una strategia che gli permettesse di vincere sempre.

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BLAISE PASCAL(1623 – 1662)

Blaise Pascal, nato a Clermont, fu un genio precoce. All’età di 12 anni dimostrò a suo padre che la somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi era di 180°. Pascal produsse importanti lavori sull’idrostatica ( il principio di Pascal sulla pressione), sullo studio delle coniche e costruì una delle prime calcolatrici meccaniche, la « Pascalina». Approfondì gli studi sul triangolo di Tartaglia che viene chiamato, a volte, il triangolo di Pascal.

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PIERRE FERMAT(1601 – 1665)

Avvocato di professione, fu un brillante matematico dilettante a tempo perso famoso soprattutto per le sue teorie dimostrate ma non mostrate a nessuno, tra cui il celeberrimo «Ultimo Teorema di Fermat», la cui equazione non ha soluzioni naturali. (per n>2)

푥 + 푦 = 푧

∄푥,푦 ∈ 푁

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EVENTI ALEATORI

Un evento aleatorio è un fenomeno non deterministico.Chiamiamo:• Esperimento aleatorio , o casuale , fenomeno il cui risultato non può essere previsto in

anticipo;• Spazio campionario l’insieme S di tutti i possibili esiti di un esperimento aleatorio• Evento aleatorio ogni sottoinsieme dello spazio campionario.Particolari eventi sono:• Gli eventi costituiti da un solo elemento dello spazio campionario, detti eventi elementari o

probabili.• Gli eventi coincidenti con lo spazio campionario, detti eventi certi.• Gli eventi che non hanno elementi in S , rappresentati dall’insieme vuoto , che chiamiamo

eventi impossibili.

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EVENTI ALEATORIPrendiamo, per esempio, un dado esaedrico. Il lancio di questo è un esperimento aleatoriopoiché non posiamo prevedere quale numero uscirà.Lo spazio campionario sono tutti casi possibili cioè tutti i numeri da 1 a 6.

Eventi aleatori possibili sono:

«Esce il numero 1» : questo è un esempio di evento elementare

«Esce un numero compreso fra 1 e 6» : questo è un esempio di evento certo poiché coincidecon lo spazio campionario

«Esce il numero 153 (questo è un numero particolare perché è un numero narcisista , infatti, seeleviamo ogni cifra al numero di cifre che esso possiede e le sommiamo, otteniamo il numerostesso: 1 + 5 + 3 =153 )» : questo è un evento impossibile perché non fa parte dello spaziocampionario.

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COMBINATORIA

La combinatoria è un settore della matematica che studia insiemi di oggetti semplici ( punti, nodi, linee, etc…) che soddisfa proprietà semplici e definite. La combinatoria studia ad esempio: le permutazioni, le combinazioni con ripetizione, i grafi e anche i quadrati magici. Alcuni esempi di queste situazioni sono le disposizioni dei pezzi sulla scacchiera. Alcuni strumenti matematici che usa la combinatoria sono:

Il fattoriale: n! = ∏ 푘 =1∙2∙3∙4∙…∙(n-1)∙n;Il coefficiente binomiale: 푛푘 = !

! !

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I VARI TIPI DI PROBABILITÀLa probabilità è un numero che ci indica quanto è plausibile il verificarsi di un risultato, di un fenomeno o di un esperimento aleatorio. I tre tipi di definizione di probabilità sono:

Definizione Classica Definizione statistica Definizione soggettiva

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PROBABILITÀ CLASSICA

La probabilità di un evento E è il rapporto fra il numero dei casi favorevoli e il numero di tutti i casi ugualmente possibili.

p(E) =

=

Questa è detta «regola di Laplace» e la probabilità di un successo è un numero fra 0 e 1 (cioè da 0 a100 %).

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PROBABILITÀ CLASSICA

Luca ha due monete e con esse passa il tempo giocando a testa e croce. Egli vuole calcolare la probabilità che escano testa e croce.

• Casi possibili : testa – testa; croce – croce; testa – croce; croce – testa. (4)• Casi favorevoli : testa – croce; croce – testa. (2)

p(E) =

= = = 0,5 = 50%

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LAPLACE(1749 – 1827)

Pierre–Simon Laplace fu il più importante scienziato di fine 700’. Astronomo e matematico, fu uno dei primi a credere nel determinismo matematico, a risolvere molte equazioni di Newton per i moti dei pianeti, a essere precursore della probabilità e, inoltre, fu uno dei primi a teorizzare l’esistenza di singolarità spazio-temporali, chiamati buchi neri, causate dalla curvatura quasi infinita dello spazio e del tempo provocata da una grandissima massa. La sua principale opera fu « Esposizione del sistema del mondo» .

Si definisce laplaciano un operatore che , definito su una u funzione u=f(x,y,z,t) ,coordinate spaziali e del tempo, calcola la somma delle seconde derivate rispetto a x,y,z.

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PROBABILITÀ STATISTICA

Quando si fanno esperimenti è complicato o inutile usare la probabilità classica per calcolarsi il succedersi dell’evento , cioè calcolarsela a priori, ma è conveniente utilizzare una probabilità a posteriori cioè che si basa su ciò che è accaduto e non su ciò che deve accadere. Si considera quindi un gran numero di esperimenti effettuati nelle stesse condizioni e si contano i successi avvenuti. Allora si parla di probabilità statistica. Essa è data da :

P(E)=

=

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PROBABILITÀ STATISTICAUna medaglia è stata lanciata per 50, 100, 200 e 300 volte. La parte che raffigura uno stemma si è presentata rispettivamente 36, 78 ,148 e 219 volte. Determina i valori delle probabilità che si possono attribuire all’evento E = «uscita dello stemma» nelle varie fasi dell’esperimento.

Prima serie di lanci: 50

Prima serie di uscite dello stemma: 36 p(E)= = 72%

Seconda serie di lanci: 100

Seconda serie di uscite: 78 p(E) = = 0,78%

Terza serie di lanci: 200Terza serie di uscite: 148 p(E) = = 0,74%

Quarta serie di lanci: 300Quarta serie di uscite: 219 p(E) = = 0,73%

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LEGGE DEI GRANDI NUMERISupponiamo che possiamo ottenere un certo evento A, la cui probabilità di capitareè p. Ripetiamo l’esperimento n volte e se l’evento è apparso m volte il quoziente m/nrappresenta la proporzione di volte che è apparso A ( frequenza relativa). Ladifferenza fra questa frequenza e p misura l’errore che commetteremmo se usassimola prima come valore di probabilità. La legge dei grandi numeri elaborata da JakobBernoulli dice che si può ridurre quanto vogliamo questa differenza ripetendo semprepiù volte l’esperimento. Quindi:

lim

푃(| - p|> ε)=0

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JAKOB BERNOULLI(1654 - 1705)

Jakob, matematico e fisico svizzero, fu l’iniziatore di una grande stirpe di matematici; infatti è stato seguito da suo fratello Johann, il nipote Nicolaus I; i tre di Johann, Nicolaus II, Daniel e Johann II, e i due figli di quest’ultimo, Johann III e Jakob II. Egli fu il primo a riconoscere l’importanza del calcolo integrale e si occupò del concetto di infinito. Il nome è associato anche alla teoria della probabilità. Fu lo scopritore della costante «e» che è uguale a:

lim→

1 +

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PROBABILITÀ SOGGETTIVA

Ci sono eventi per cui non è possibile dare una definizione precisa di probabilità: • Non possiamo usare la probabilità classica perché non possiamo definire il

numero dei casi favorevoli ed il numero dei casi possibili;• Non possiamo usare la probabilità statistica perché: in primo luogo sono

pochi gli eventi accaduti su cui basarsi; inoltre questo tipo di eventi sono soggetti al caos.

«Se conosco bene l'argomento ed il mio giudizio è abbastanza oggettivo, ottengo una probabilità abbastanza accettabile».

La probabilità di un evento è il grado di fiducia, espresso da un numero compreso fra 0 e 1, che una persona attribuisce al verificarsi dell’evento.

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PROBABILITÀ SOGGETTIVA

Alessio è disposto a scommettere 1 contro 20 sul fatto che nelpomeriggio arrivi finalmente l’idraulico: attribuisce cioè a taleevento una probabilità pari a 1/21. È come se ci trovassimoad effettuare un sorteggio da un’urna con una palina rossa (evento positivo ) e 20 palline nere (evento negativo).

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SOMMA LOGICA DI EVENTIEventi unione e intersezione

Dati due eventi di uno spazio campionario:

• L’evento unione è l’insieme di tutti gli elementi di S che appartengono a E’ oE’’(E’ U E’’);

• L’evento intersezione è l’insieme di tutti gli elementi di S che appartengono a E’ e E’’(E’ ∩ E’’).

Si parla di unione o somma logica quando si verificano almeno uno degli eventi, mentre di intersezione o prodotto quando si verificano tutti e due.

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SOMMA LOGICA DI EVENTIEventi incompatibili ed eventi compatibili

Due eventi sono incompatibili quando il verificarsi di uno esclude il verificarsi dell’altro. Due eventi sono compatibili quando il verificarsi di uno permette il verificarsi dell’altro. Nel lancio di un dado:

Incompatibili Compatibili

E’ = 6 E’’’= 3n

E’’= 2n+1 con n N E’’’’ = 2n

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SOMMA LOGICA

Probabilità della somma logica di eventi La probabilità della somma logica E’ U E’’ è uguale alla somma delle probabilità di E’ e di E’’, diminuita della probabilità dell’evento intersezione (prodotto logico).

p(E’U E’’) = p(E’) + p(E’’) – p(E’∩ E’’)

Quando gli eventi sono incompatibili la loro intersezione è 0, quindi laprobabilità della somma logica è uguale alla somma della probabilità deglieventi.

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PRODOTTO LOGICO DI EVENTI Eventi dipendenti e indipendenti

Due eventi sono: indipendenti se non si influenzano a vicenda dipendenti se il verificarsi di uno influenza il verificarsi dell’altro

Probabilità condizionataChiamiamo probabilità condizionata p(E’’/E’) di E’’ rispetto a E’ la probabilità di E’’ se si suppone che si sia verificato E’.Si verifica che : se E’ e E’’ sono indipendenti, p(E’’/E’) = p(E’’) se E’ e E’’ sono dipendenti, p(E’’/E’) ≠ p(E’’)

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PRODOTTO LOGICOLa probabilità del prodotto logico E’∩ E’’ di due eventi E’ ed E’’ è uguale al prodotto della probabilità di E’ per la probabilità condizionata di E’’, supposto che sia verificato E’.

p(E’∩ E’’) = p(E’) ∙ p(E’’| E’)

Quando due eventi sono indipendenti, quindi p(E’’| E’) = E’’ l’equazione diventa: p(E’∩ E’’) = p(E’) ∙ p(E’’)

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PRODOTTO LOGICO Trovare la probabilità, estraendo una carta da un mazzo di 40, e rimettendo la carta nel mazzo prima della seconda estrazione, di estrarre due volte l'asso di bastoni.

Siccome deve accadere sia il primo evento che il secondo, applico il teorema della probabilità totale

Probabilità = (probabilità di estrarre l'asso di bastoni) · (probabilità di estrarre l'asso di bastoni).

Probabilità composta = ∙ = 0,000625 = 0,06%

La probabilità è circa dello 0,06% ,cioè, può accadere 6 volte su diecimila prove.23

TEOREMA DI BAYESConcettualmente il teorema di Bayes afferma che: se alle credenze iniziali sommiamo dati obiettivi recenti, otteniamo una nuova credenza migliorata. • T = ottenimento diploma ; N = non ottenimento diploma ; H = ragazzi ; M = ragazze

P(T/M)=13/17; P ( T ∩ M ) = P(T) ∙ P(M/T) = 13/32; P(M)=17/32 } P(T/M)= ( ∩ )( )

= ( / )∙ ( )( )

In generale: 푷 푨푩

= 푷 푩

푨 ∙푷(푨)

푷(푩)

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H M TOTALET 10 13 23N 5 4 9

TOTALE 15 17 32

APPLICAZIONI DELLA PROBABILITÀLa probabilità è applicata in diversi campi del sapere umano, come per esempio: • Medicina• Genetica• Fisica• Teoria dei giochi (economia, strategie militare, informatica, modelli informatici di

previsione)• Meteorologia • Teorie delle catastrofi e del caos• Diritto • Processi decisionali

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GENETICALA PROBABILITÀ E LE LEGGI DI MENDEL

La genetica è la branca della biologia che si occupa dello studio dei geni edell’ereditarietà. L’ereditarietà è stata studiata e riassunta dal biologo ematematico Gregor Mendel tramite tre leggi, basate sulla probabilitàstatistica, chiamate leggi di Mendel :

• Legge della dominanza• Legge della segregazione• Legge dell’assortimento indipendente

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GENETICALe malattie genetiche si distinguono anche alla localizzazione del gene difettoso sui cromosomi e al fatto che esso sia recessivo o dominante, cioè alla diversa probabilità che esso si riscontri. Fra le malattie genetiche recessive vi è l’anemia falciforme, ovvero, i globuli rossi sono deformati a forma di falce. Indichiamo l’allele sano con A, e l’allele malato con a, quindi il portatore sano viene indicato con Aa. Per ottenere la progenia bisogna fare il prodotto delle caratteristiche degli alleli dei genitori: quindi Aa ∙ Aa = AA ; Aa; aa; Aa.

totale progenia: 100% = 4/4sano: 25% = 1/4 portatore sano: 50% = 2/4malato: 25% = 1/4

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FISICALa fisica è un ramo della matematica applicata, che usa quest’ultima per descrivere qualsiasi fenomeno naturale. Una delle teorie fisiche più importanti è la meccanica quantistica che grazie a scienziati come Heisenberg, Schrodinger e Richard Feynman, usa la probabilità per descrivere i fenomeni fisici.

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METEOROLOGIAUn’applicazione della probabilità alla meteorologia sono i processi di Markovche sono stati generalizzati dal matematico e fisico Andrej Kolmogorov. Le probabilità di avere una giornata soleggiata o piovosa sono nella seguente tabella:

Consideriamo la matrice:

P = 0,8 0,2 0,6 0,4 =

푝 , 푝 ,푝 , 푝 ,

dove 푝 , è la probabilità per cui ad una giornata i ne segue una j

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(1)S

(2)p

(1)S 0,8 0,2(2)P 0,6 0,4

METEOROLOGIAIpotizziamo che oggi sia una giornata di sole; lo rappresentiamo mediante una fila dove il 100% della probabilità è di sole, cioè:

푋( )=1 0

La previsione per il giorno successivo sarà:

푥( ) = 푋( ) ∙ P = 1 0 ∙ 0,8 0,20,6 0,4 = 0,8 0,2

0 0

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KOLMOGOROVIl fisico e matematico Andrej Nikolaevich Kolmogorov, fu un pensatore i cui interessi spaziavano dalla teoria delle funzioni alla logica, dai fondamenti della matematica alla statistica, e, ancora, dalla cibernetica alla aleatorietà. I matematici e gli ingegneri utilizzano la complessità di Kolmogorov e la turbolenza dei suoi processi KAM, acronimo di Kolmogorov – Arnold – Moser, sui sistemi dinamici. Fu ideatore anche degli assiomi della probabilità: il valore della probabilità sta tra 0 e 1 ( 0 ≤ x ≤ 1) la probabilità nello spazio campionario è 1 P(A U B) = P(A) + P(B) ( due eventi incompatibili) Le conseguenze di questi sono: la probabilità dell’evento contrario di A è 1 – P(A) P(A - B) = P(A) – P(A ∩ B) P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A U B)

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The end