Calcolo delle Probabilità

Fenomeno deterministico: se l’esperimento è condotto nelle stesse condizioni si trova lo stesso risultato

Esempi:

•Moto di un grave

•Traiettoria di una pallina in un biliardo

Fenomeno non deterministico: anche se gli esperimenti sono condotti nelle stesse condizioni si trovano risultati diversiEsempi:•Risultato del lancio di una moneta•Traiettoria di 100 palline in un biliardo•Vincita in una lotteria•Numero di lanci di un dado per ottenere un 6

Introduzione

La probabilità si occupa di fenomeni non deterministici

Esperimento aleatorio:

i singoli esiti dell’esperimento non sono predicibili con

esattezza.

Esempio. Se l'esperimento consiste nel lancio di una

moneta, non è possibile stabilire con certezza se l'esito di

un singolo lancio sarà testa o croce.

Esempio. Nel caso dell’esperimento costituito dal lanciodi un dado possono essere osservati i seguenti eventi.

A: “si osserva un numero dispari”;

B: “si osserva un numero minore di 3”;

Ei: “si osserva il numero i, con i = 1, 2, …, 6”.

Eventi: chiamiamo evento l’insieme costituito da unoo più dei possibili risultati o esiti di un esperimentoaleatorio.

Spazio campione:Insieme S di tutti i risultati dell’esperimento

Esempio:•Nel caso del lancio di una moneta S={Testa, Croce}•Nel caso dei numeri di lanci di un dado necessari per avere 6 S=N (numeri naturali)

E3

E1

E2

E4

E5

E6

S = {E1, E2, E3, E4, E5, E6}

Gli eventi possono essere divisi in due classi:

semplici e composti.

Gli eventi semplici sono costituiti da uno solo dei possibilirisultati di un esperimento aleatorio.

Gli eventi composti sono costituiti da da più di uno dei possibilirisultati di un esperimento aleatorio.

Un evento composto può sempre essere scomposto in eventi semplici. Se un evento non risulta ulteriormente scomponibile è per definizione un evento semplice.

1

n

N

Fenomeno casuale

Evento elementare

Spazio Campionario

EventoUn qualsiasi sottoinsieme dello spazio

campionario, ovvero un insieme di eventi elementari

Si usa dire che l’evento E si è realizzato se il fenomeno si manifesta con uno degli eventi

elementari che appartengono ad E

E n ,1 E

Lancio di un dado

Faccia “dispari”

Faccia “pari” A = , ,

B = , ,

E = ,

Modi di descrivere l’evento

E Si realizza se viene faccia 3 o faccia 6

Nel caso dell'esperimento consistente nel misurare, conuno strumento infinitamente preciso, il livello di piovositàin una certa area geografica, lo spazio campione è

S = {E1, E

2, ...}

perché, all'interno di una certa gamma di valori, nessunnumero reale può essere escluso come risultato possibiledell'esperimento.

In questo caso, lo spazio S contiene un insieme infinitonon numerabile di punti campione.

Si dice infinito non numerabile uno spazio campione i cui eventi semplici sono tali per cui, fissati due di essi, èsempre possibile determinarne almeno un terzo intermedio.

Esempio. Lo spazio costituito dagli eventi “esatto momento della nascita” è uno spazio infinito non numerabile. Infatti, prese due qualunque persone nate ognuna in un certo momento, è sempre possibile individuarne una terza la cui nascita si colloca tra le due precedenti.

Si possono distinguere tre tipi di spazio campione:

- spazio campione finito

- spazio campione infinito numerabile

- spazio campione infinito non numerabile

Lo spazio campione associato ad un esperimento si dice

discreto se è uno spazio finito o infinito numerabile.

Lo spazio campione si dice continuo se è uno spazio

infinito non numerabile.

1

n

N

Spazio campionario (campione)

Evento elementare

Lancio di un dado

Durata di una lampadina

0 max

i

Finito

Infinito

Fenomeno casuale o prova

P

Quando un esperimento viene eseguito, uno e un soloevento semplice può essere osservato. Gli eventi semplici,dunque, sono mutuamente esclusivi.

Gli eventi mutuamente esclusivi possono essere rappresentati da insiemi disgiunti.

Esempio. Se il lancio del dado produce l'esito 5, non èpossibile osservare allo stesso tempo l'esito 6.

Gli eventi E5 e E6, quindi, sono mutuamente esclusivi, cosìcome tutti gli altri eventi semplici.

Gli eventi composti non sono di necessità mutuamente

esclusivi, in quanto qualsiasi sottoinsieme dello spazio

campione può costituire un evento composto.

Esempio. L'evento A (esito dispari) ha luogo se si osservaE1 o E3 o E5.

L’evento B (numero minore di 3) ha luogo se si osservaE1 o E2.

Gli eventi A e B, quindi, non sono mutuamente esclusivi.

Eventi incompatibili

A B

BA

Eventi incompatibili

AA

AA

Partizione di uno spazio campionario

BABA ,

AB

Partizione di

A B

BA

Eventi incompatibili

AA AA

AA

Partizione di uno spazio campionario

BABA ,

AB

Partizione di

1E

iE kE, ji EE ji a)

k

iiE

1

b)

Partizione finita

Partizione infinita

Partizione dello Spazio CampionarioPartizione dello Spazio Campionario

Si dice che gli eventi A1,…,Ak appartenenti ad formano una partizione dello spazio campionario se:

(1)(1) k1,...,ji AA ji

(2)(2)

k

1iiA

cioè se sono a due a due incompatibili e necessari.

ProprietàProprietà UnioneUnione IntersezioneIntersezione

Commutativa

Idempotenza

Associativa

Distributiva

ABBA ABBA

AAA AAA

)CB(AC)BA( )()( CBACBA

)CA()BA()CB(A )CA()BA()CB(A

Inoltre, si ha:Inoltre, si ha:

AA A AA

A AA AA

Leggi di De Morgan

BA BA

BA BA

k

iiE

1

k

iiE

1

k

iiE

1

k

iiE

1

Probabilità Ogni tentativo di dare una definizione rigorosa dei concetti

probabilistici più elementari si trova di fronte ad un problema; infatti, non solo esistono differenti formalizzazioni e assiomatizzazioni della probabilità ma a queste corrispondono, in generale, molteplici nozioni intuitive di probabilità spesso assai diverse fra loro.

Al di là delle differenze di carattere formale un elemento comune posseduto da tutte le forme di probabilità riguarda il suo significato intuitivo di valutazione della possibilità che un dato evento possa accadere o meno.

DEFINIZIONE DI PROBABILITA’

•A priori (o matematica, o classica, o di Pascal)

•A posteriori (o statistica, o frequentistica, o legge empirica del caso)

•Soggettiva

Probabilità: regola che a ogni evento E associa un numero reale compreso tra 0 e 1

p: E p(E)

ClassicaClassica(Pascal)

Definizioni di probabilità:Se un evento si può verificare in N modi mutuamente esclusivi ed ugualmente probabili, se m di questi possiede una caratteristica E, la probabilità di E è il

rapporto tra il numero di casi favorevoli e il totale dei casi possibili (tutti equiprobabili)

•Nel caso del lancio di una moneta S={Testa, Croce}. p(Testa)=1/2 (casi favorevoli 1, possibili 2)

•Lanciamo due dadi e calcoliamo la probabilità che la somma dei punti sia 4

Per semplicità scriviamo i numeri estratti come coppie:Le coppie di 6 numeri sono 6 * 6= 36 = numero di casi possibili;I casi favorevoli sono dati dalle coppie (1,3), (2,2) e (3,1) e sono quindi 3. Pertantop(somma 4 in 2 lanci)=3/36=1/12

Esempi

Problemi della definizione classica:•non sempre posso dire che eventi sono equiprobabili (asimmetrie - esempio: ho un dato truccato)•il numero di casi deve essere finito

Aspetti positivi:•è una definizione operativa

Definizione assiomatica

Determinazione della probabilità usando il calcolo combinatorio

Discussione

Definizione frequentistica(o a posteriori) (o a posteriori) Richard von Mises

Si ripete un esperimento N volte e se un evento con una certa caratteristica E si verifica m volte, la frequenza relativa di successo è

f(E) dà una stima per la probabilità di E

In base all’impostazione frequentista, per probabilità di un evento si intende il limite a cui tende la frequenza relativa delle prove in cui l’evento si verifica, quando il numero di prove tende all’infinito:

pn

sn

lim

con s = numero di “successi” e n = numero di prove.

Problemi della definizione frequentistica:•In situazioni concrete il passaggio al limite su cui si basa la definizione non può essere effettuato•È necessario ripetere l’esperimento un gran numero di volte

Definizione soggettiva(o bayesiana) (o bayesiana) Bernoulli, De Finetti

Probabilità: grado di fiducia che una persona ha nel verificarsi dell’evento.Prezzo p che si è disposti a pagare per ricevere 1 se l’evento si verifica e 0 se non si verifica.

Esempio: se lancio un dado il prezzo equo per la scommessa“esce il 4” dipende dalle informazioni di cui si dispone; se il dado non è truccato si può assumere p=1/6

Problemi della definizione soggettiva:•Non è operativa•Una valutazione soggettiva non è necessariamente obiettiva

Def. 4. Classica

La probabilità di un evento A è il rapporto tra il numero di casi favorevoli di A e il numero di casi possibili, ammesso che questi siano equiprobabili.

Def. 4. Classica

La probabilità di un evento A è il rapporto tra il numero di casi favorevoli di A e il numero di casi possibili, ammesso che questi siano equiprobabili.

Def. 5.. Frequentista (o legge empirica del caso).

In una serie di prove di un dato esperimento, ripetuto un gran numero di volte in circostanze più o meno simili, ciascuno degli eventi possibili si manifesta con una frequenza che è circa uguale alla sua probabilità. L’approssimazione si riduce al crescere del numero di prove.

Def. 5.. Frequentista (o legge empirica del caso).

In una serie di prove di un dato esperimento, ripetuto un gran numero di volte in circostanze più o meno simili, ciascuno degli eventi possibili si manifesta con una frequenza che è circa uguale alla sua probabilità. L’approssimazione si riduce al crescere del numero di prove.

Def. 6. Soggettivista.

La probabilità è la valutazione che il singolo individuo può coerentemente formulare, in base alle proprie conoscenze, del grado di avverabilità di un evento.

Def. 6. Soggettivista.

La probabilità è la valutazione che il singolo individuo può coerentemente formulare, in base alle proprie conoscenze, del grado di avverabilità di un evento.

Definizione di probabilità.Definizione di probabilità.

A A 0APr

1rP

Assiomi del Calcolo delle Probabilità.Assiomi del Calcolo delle Probabilità.

Ricordando che un assioma (o postulato) è una proposizione che è considerata vera e non viene dimostrata nel contesto in cui è svolta la teoria in questione, Il C.P. presenta i seguenti assiomi:

Ricordando che un assioma (o postulato) è una proposizione che è considerata vera e non viene dimostrata nel contesto in cui è svolta la teoria in questione, Il C.P. presenta i seguenti assiomi:

1.1.

2.2.

Probabilità L’interpretazione geometrica

1)( P 1)( P L’area complessiva è uguale a 1

11 nn

nn PP

11 nn

nn PP

L’area di ogni sottoinsieme è sicuramente positiva

1

2

3

4

L’area di un insieme di superfici che non si sovrappongono è la somma delle aree delle singole superfici

AP ,0)( AP ,0)(

Operazioni sugli eventi (sugli insiemi)

Se un insieme E non contiene nessun elemento (evento elementare) viene detto insieme vuoto e si indica con

AB

A

BABA oppure :

Unione di insiemi (o eventi)

AA

A

A

A

A

A

A

A

A

Lancio di un dado

E = ,

A = , ,

EA , , ,

Unione

AB

C

CBA CBA

CBA

AB

C

BCA Ecc.

Associativa

Commutativa

ki

K

ii EEEEE

21

1

i

ii EEEE 21

1

K

iiE

1

K

ii

K

ii EE

11

A

Intersezione

AB

BABA e :

A

AAA

A

AA

A

A

A

A

A

Lancio di un dado

E = ,

A = , ,

Lancio di un dado

E = ,E = ,

A = , ,A = , ,

EA

C

Intersezione

AB

ki

k

ii EEEEE

21

1

i

ii EEEE 21

1

CBA CBA

CBA

BCA Ecc.

Associativa

Commutativa

C

AB

k

ii

k

ii EE

11

k

iiE

1

AA

AA :

Negazione

A A

AA

BA

BPAPBAP rrr

Siano A e B due eventi incompatibiliSiano A e B due eventi incompatibili

alloraallora

0rP

APAP rr 1

BAPBAPAP rrr

BAPBPAPBAP rrrr

Teoremi fondamentali del C.P.Teoremi fondamentali del C.P.

Teo.1.Teo.1.

Teo.2.Teo.2.

Teo.3. Teo.3.

Teo.4. Teo.4.

ESERCIZI

Disposizioni semplici Disposizioni con Ripetizione Permutazioni semplici Permutazioni con oggetti identici Combinazioni Semplici Combinazioni con Ripetizione

A volte puo essere difficile, o almeno noioso, determinare per elencazione diretta gli elementi di uno spazio campione finito.

CALCOLO COMBINATORIO

Calcolo Combinatorio

Problema: determinare il numero di elementi di un insieme finito

elenco diretto (lungo!)

Esempio:in un menù ho 3 antipasti, 2 primi, 4 secondi. Quanti sono i possibili pasti completi (includono tutte le 3 portate - scelte una sola volta)?

Diagramma ad albero

Diagramma ad albero

A1

A2

A3

P1

P1

P1

P2

P2

P2

S1

S2

S3

S4

……….

……….

………..

3 x 2 x 4 = 24 pasti completi

3 x 2 x 4 = 24 pasti completi

“Contare le scelte” Se gli insiemi A1, A2, …, Ak contengono

n1, n2, …, nk elementi

Ho N= n1 n2 … nk

modi di scegliere prima un elemento di A1 , poi un elemento di A2 …

... infine un elemento di Ak

In particolare: se n1 = n2 =…= nk =n allora

N=nk

= numero delle disposizioni con ripetizione di n oggetti a gruppi di k

Disposizioni

Determinare il numero di schedine del totocalcio si devono giocare per essere sicuri di fare 14

Le possibili schedine sono 314= 4.782.969

Esempio:

= gruppi di oggetti che si possono formare scegliendo k oggetti tra n oggetti(I gruppi devono differire per qualche oggetto e per l’ordine)

Disposizioni con ripetizione: si può ripetere lo stesso oggetto

Disposizioni semplici (senza ripetizione)

di n oggetti tra k (≤n) D(n,k)Non si può ripetere lo stesso oggetto

Esempio:Ad un gran premio di formula 1 partecipano 20 piloti. I primi tre classificati vanno sul podio..Quante sono le possibili terne di piloti sul podio?

Il primo classificato può essere un qualunque pilota tra 20,Il secondo uno qualunque tra i restanti 19, il terzo uno tra 18Quindi: D(20,3)=20*19*18

In generale: D(n,k)=n*(n-1)*…*(n-k+1)

Permutazioni= numero dei modi in cui si possono ordinare n oggettiP(n) = D(n,n)=n*(n-1)*… 2*1=n!

Esempio:

Quanti anagrammi (non necessariamente di senso compiuto) si possono formare della parola FOGLI

Ho 5 possibili scelte per la prima lettera, 4 per la seconda, … 1 per la quinta, quindi gli anagrammi sono P(5)=5*4*3*2*1=5!=120

Combinazioni

= disposizioni a meno dell’ordine= gruppi di oggetti che si possono formare scegliendo k oggetti tra n oggetti(I gruppi devono differire per qualche oggetto ma non per l’ordine)=

Esempio

Quante squadre di pallacanestro si possono formare con 8 giocatori

Sono le combinazioni di 5 persone scelte tra 8 =

Esercizi• In quanti modi 10 persone possono sedersi su una panchina che ha solo 4 posti? (Si risolva l'esercizio due volte, una volta considerando importante l'ordine in cui si siedono e una no). • In quanti modi diversi si possono sedere 7 persone in un tavolo rotondo?

• Supponiamo di estrarre per 40 volte una pallina da un'urna contenente palline numerate da 1 a 365 ( dopo ciascuna estrazione la pallina estratta viene nuovamente messa nell'urna). Quanti sono i possibili risultatidiversi? Quanti sono i possibili risultati in cui i 40 numeri estratti risultano tutti diversi tra loro?

• Si deve costituire un comitato di 3 membri, rappresentanti ciascuno gli studenti, i docenti e il personale amministrativo. Se ci sono 4 candidati per gli studenti, 3 per i docenti e 2 per il personale amministrativo, si determini quanti comitati differenti si possono formare.

Esercizi• Dovete preparare un dolce, disponete di una cesta con 10 uova di cui ve ne serviranno solo 2 per l'impasto. Ma vi ricordate che il giorno prima avete posto in quel cesto 4 uova vecchie di due settimane. Qual è la probabilità di

aver utilizzato almeno un uovo non fresco?

• Intorno ad un tavolo rotondo si dispongono a caso 5 uomini e 5 donne. Qual è la probabilità che ogni donna sia seduta tra due uomini?

• Qual è la probabilità di fare tre volte 6 lanciando tre volte un dado non truccato?

Probabilità condizionata e indipendenza stocastica

Dati due eventi A e B, si dice probabilità di B condizionata ad A

p(B|A) la probabilità di B calcolata sapendo che si è verificato A. (E’ ovvio che si può definire una probabilità condizionata al verificarsi di A

soltanto se A è possibile.)

Esempio: un’urna contiene 15 palline rosse e 5 nere.Calcoliamo la probabilità di ottenere in 2 estrazioni consecutive senza reimbussolamento una pallina rossa e poi una nera:A:=estraggo una rossa B:=estraggo una nera p(A)=15/20=3/4La probabilità di estrarre una nera dopo aver estratto una rossa è 5/19. La conoscenza dell’evento A ha ridotto lo spazio dei campioni

p(B|A) = 5/19

La probabilità di estrarre prima una rossa e poi una nera è

p(AB)=p(A)p(B|A)=3/4*5/19=15/76

Regola di moltiplicazione:

p(B|A) in funzione di p(A) e p(AB)

se p(A)≠0

Esempio: trovare la probabilità che con un lancio di un dado si ottenga un numero < 5, sapendo che il risultato del lancio è dispari

B:={ottengo un numero < 5} A:={ottengo un dispari}p(B)=2/3, p(A)=1/2, A B={1,3}, p(A B)=1/3

p(B|A)=p(A B)/p(A)=(1/3)/(1/2)=2/3

EsercizioLa seguente tabella rappresenta la frequenza mensile in cui dei ragazzi vedono il telefilm “Friends” Numero di volte al mese  Maschi  Femmine  Totale 

0  4  5 9 1 - 5  7  9  16 6 - 10  21  23  44 11 - 15  11  9  20 >15  3  5  8 Totale  46  51  97

Scelgo una persona a caso. •Qual è la probabilità che non veda mai il telefilm?

p(0|M)=4/46

•Se è un maschio, qual è la probabilità che non veda mai il telefilm?

p(0)=9/97

Indipendenza stocastica

Se per due eventi A e B p(A|B)=p(A)si dice: l’evento A è stocasticamente indipendente da B

Esempi: •Nell’esercizio precedente: non vedere mai il telefilm “Friends” ed essere maschio non sono stocasticamente indipendenti•Siano A:={una persona è alta più di 1 metro e 75}

B:={una persona non mangia Nutella}Supponiamo che p(A)=0.5, p(B)=0.3, p(AB)=0.15Allora p(A|B)=p(AB)/p(B)=0.15/0.3=0.5=p(A)Dunque A è stocasticamente indipendente da B.

Indipendenza stocastica

Nota: p(B|A)=p(AB)/p(A)=0.15/0.5=0.3=p(B) anche B è stocasticamente indipendente da A.Questo non è casuale:A è stoc. indipendente da B B è stoc. indipendente da A

e diciamo “A e B sono indipendenti”

Esempio:in un’urna ci sono 10 palline rosse e 12 nere. Estraiamo dall’urna una pallina poi la rimettiamo nell’urna (estrazione con reimbussolamento). SianoA1={estraggo una pallina rossa alla prima estrazione}A2={estraggo una pallina rossa alla seconda estrazione}L’aver estratto una rossa alla prima estrazione non influenza la probabilità che la seconda sia rossaA1 e A2 sono indipendenti

Regola di moltiplicazione per eventi indipendenti

Esempio: Nel caso dell’estrazione con reimbussolamento dell’esempio precedente la probabilità di estrarre entrambe le volte una pallina rossa è

p(A1A2)=p(A1)p(A2)=(10/22)2

Vale la seguente regola di moltiplicazione per eventi indipendenti A e B:

p(AB)=p(A)p(B)

Nota: non confondere i concetti di “eventi disgiunti” ed “eventi indipendenti”. Due eventi disgiunti non sono mai indipendenti (se cosi fosse avrei p(AB)=p(ø)=0=p(A)p(B), quindi p(A) o p(B) sarebbe nulla). In realtà due eventi disgiunti sono fortemente dipendenti: se un evento è realizzato non può esserlo l’altro.

EsercizioSi hanno tre urne.U1 ha 2 palline bianche e 2 nereU2 ha 1 pallina bianca e 3 nereU3 ha 4 palline bianche e 2 nereSi sceglie un’urna a caso e si estrae una pallina.Qual è la probabilità di estrarre una pallina bianca?

U1 bianca

U2 bianca

U3 bianca

1/3

1/3

1/3

1/2

1/4

2/3

P(bianca)=1/2 * 1/3 + 1/4 * 1/3 + 2/3 * 1/3=17/36

Teorema delle probabilità totali

Se B è un evento che si verifica insieme ad n eventi incompatibili A1,…,An, che rappresentano una partizione dello spazio campionario

)()|(...)()|(

....

,,,,...,

11

1

1

nn

n

n

APABPAPABP

ABPABPBP

BAA

causeeffetto

Dr. Daniela Morale

L’utilità del teorema sta nel fatto che talvolta P(A) è difficile da calcolare direttamente, mentre è più facile calcolare le probabilità P(A/Bi) e poi ricostruire P(A) dalla formula

Esercizio

In un Gran Premio di Formula 1 la probabilità di pioggia è del 30%. La probabilità che il pilota Mazzacane vinca se piove è dello 40%, e dello 10% se non piove.

• Qual è la probabilità che vinca Mazzacane?

Sia P={piove} M={vince Mazzacane} 0.3 P 0.4 M 0.7 Pc 0.1 M

p(M)=0.3*0.4+0.7*0.1=0.19

Teorema di Bayes

Se B è un evento che si verifica insieme ad n eventi incompatibili A1,…,An se sappiamo che B si è verificato, ci si può porre il problema di calcolare la probabilità che B venga da uno di tali eventi, un generico Ai

causaeffetto

In un Gran Premio di Formula 1 la probabilità di pioggia è del 30%. La probabilità che il pilota Mazzacane vinca se piove è dello 40% e dello 10%, se non piove. • Se vince Mazzacane qual è la probabilità che piova?

Sia P={piove} M={vince Mazzacane} 0.3 P 0.4 M 0.7 Pc 0.1 M

Esercizio (continuazione)

63.07.01.03.04.0

3.04.0)()|()()|(

)()|()|(

PpPMpPpPMp

PpPMpMPp

Esercizio

Sia C l’evento: la nuova sede di scienze sarà pronta nel 2019 e sia E : l’impresa a cui è dato l’appalto fallirà prima del 2018.Se la probabilità che la ditta fallisca prima del 2018 è del 60% ela probabilità che la sede sia pronta è dello 0.15 o dello 0.75 a secondase la ditta fallisce o no prima del 2018, calcolare la probabilità che se la sede è pronta in tempo, la ditta sia non fallita prima del 2018

p(E)=0.60

p(Ec)=0.40 Ec

E

C

Cp(C|E)=0.15

p(C| Ec)=0.75

Da trovare p(Ec | C)

Nella formula del teorema di Bayes

A numeratore: moltiplicare i numeri del ramo relativo a S-E (quello in basso):

p(Ec) * p(C | Ec)=0.40 * 0.75 = 0.30A denominatore: somma dei prodotti delle probabilità di entrambi i rami

p(E)*p(C | E)+p(Ec) * p(C |  Ec)==0.60 * 0.15 + 0.40 * 0.75 = 0.39

Si trova allora p(Ec | C)=0.30/0.39=0.77

Punteggio Scarsa Discreta Ottima TotaleBasso 105 60 55 220Medio 70 175 145 390Alto 25 65 300 390Totale 200 300 500 1000

La seguente tabella mostra 1000 candidati di una scuola per infermieri classificati secondo il punteggio riportato all’esame di ingresso all’università e la qualità della scuola superiore da cui provenivano

Dire qual è la probabilità che un candidato 1. Abbia avuto un punteggio basso all’esame.2. Si sia diplomato in una scuola ottima3. Abbia avuto un punteggio basso e si sia diplomato in una scuola ottima.4. Ammesso che si sia diplomato in una scuola ottima, abbia avuto un punteggio basso

Esercizio di riepilogo

Una variabile aleatoria (o casuale) è una funzione avente come dominio lo spazio campione associato ad un esperimento e come codominio l’insieme dei numeri reali.

Una variabile aleatoria si dice discreta se puòassumere solo un numero discreto di valori;

si dice continua se può assumere tutti gliinfiniti valori di , o di un suo intervallo ba, .

:X :X

Dunque, una v.c. è una regola (una funzione) che permette di assegnare un valore numerico ad ogni risultato dell’esperimento.

Dalla definizione è evidente che dato uno spazio campionario è possibile costruire infinite v.c. (si osserva che tale funzione non deve essere necessariamente biunivoca).

Dunque, una v.c. è una regola (una funzione) che permette di assegnare un valore numerico ad ogni risultato dell’esperimento.

Dalla definizione è evidente che dato uno spazio campionario è possibile costruire infinite v.c. (si osserva che tale funzione non deve essere necessariamente biunivoca).

La probabilità che la variabile Y assuma il valore y, yYP , è definita come la somma delle probabilità di

tutti i punti campione in S a cui viene assegnato ilvalore y.

Generalmente, si denota yYP con p(y).

COME SI ASSOCIANO LE PROBABILITA’ ALLEVARIABILI ALEATORIE?

Si noti che p(y) non è altro che una funzione che assegnauna probabilità a ciascun valore y ed è chiamata funzione(o distribuzione) di probabilità di Y.

La funzione di probabilità di una variabile aleatoriadiscreta Y può essere rappresentata con una formula, unatabella o un diagramma che associa la probabilità p(y) aciascun valore y.

Una funzione di probabilità yp deve rispettare le

seguenti condizioni:

10 yp

0.1y

yp

Esempio Un esperimento consiste nel lancio di due

dadi. Sia Y la somma dei punti osservati quando i due dadi

sono stati tratti.

Si trovi la distribuzione di probabilità di Y.

Lo spazio cam pione associato a questo esp erim ento è

6,1:,S jiji , ov v ero, l'insiem e d i tu tte le cop pie

ord inate (i, j) d i nu m eri interi 1 i 6 e 1 j 6 che

rappresentano l’esito del lancio d i ciascu no dei d ue d ad i.

In S ci sono 36 eventi sem plici:

1,11 E , 2,12 E , E 3 1, 3 , 4,14 E , E 5 1, 5 , E 6 1, 6 ,

E 7 2 ,1 , 2,28 E , 3,29 E , E 1 0 2 , 4 , E 11 2 , 5 , 6,21 2 E ,

E 1 3 3 ,1 , 2,31 4 E , E 1 5 3 , 3 , E 1 6 3 , 4 , E 1 7 3 , 5 , E 1 8 3 , 6 ,

E 1 9 4 ,1 , E 2 0 4 , 2 , 3,42 1E , 4,42 2 E , E 2 3 4 , 5 , 6,42 4 E ,

E 2 5 5, 1 , 2,52 6 E , E 2 7 5, 3 , E 2 8 5, 4 , E 2 9 5 , 5 , E 3 0 5 , 6 ,

E 3 1 6 ,1 , E 3 2 6 , 2 , E 3 3 6 ,3 , E 3 4 6 , 4 , E 3 5 6 , 5 , E 3 6 6 , 6 .

12 EY ,

72 ,3 EEY ,

1383 ,,4 EEEY ,

191494 ,,,5 EEEEY ,

252015105 ,,,,6 EEEEEY ,

31262116116 ,,,,,7 EEEEEEY ,

3227221712 ,,,,8 EEEEEY ,

33281318 ,,,9 EEEEY ,

342924 ,,10 EEEY ,

3530 ,11 EEY ,

3612 EY .

Una volta trovate le probabilità degli eventi semplici in S,la probabilità da assegnare a ciascun valore y si calcolafacendo la somma delle probabilità di tutti i punticampione in S a cui è associato il valore y.

3612 1 EPYP

3623 71 EPEPYP

3634 1371 EPEPEPYP

Y 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

p(y) 1/ 36 2/ 36 3/ 36 4/ 36 5/ 36 6/ 36 5/ 36 4/ 36 3/ 36 2/ 36 1/ 36

In questo modo la distribuzione di probabilità di Y diventa:

La distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria

discreta Y può essere rappresentata in maniera grafica

costruendo un istogramma che associa a ciascun valore

Y = y un rettangolo avente ampiezza 1/n (dove n è il

numero di valori che la variabile aleatoria può

assumere) e altezza p(y).

In questo modo, l’area di ciascun rettangolo sarà uguale

alla probabilità P(Y = y) e l’area totale di tutti i rettangoli

che formano l’istogramma sarà uguale a 1.

Ne segue che la probabilità dYcP , con bdca ,

sarà uguale alla somma delle aree dei rettangoli

dell'istogramma nell'intervallo ],[ dc .

Esempio Se l’esperimento descritto nell’esempioprecedente fosse effettivamente eseguito, un singolovalore Y verrebbe osservato.

Il valore di Y potrebbe essere 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 o 12.

Se l’esperimento venisse ripetuto n volte, n valori yverrebbero osservati.

Supponiamo che, dopo avere eseguito l’esperimento 100volte, i seguenti risultati vengano osservati.

Y Frequenze

osservate in

100 lanci

Frequenze

relative

y1 = 2 3 .03

y2 = 3 4 .04

y3 = 4 7 .07

y4 = 5 11 .11

y5 = 6 17 .17

y6 = 7 21 .21

y7 = 8 13 .13

y8 = 9 12 .12

y9 = 10 8 .08

y10 = 11 3 .03

y11 = 12 1 .01

Si noti la somiglianza tra i due istogrammi.

In seguito verrà presentato un teorema in cui si

dimostra che, all’aumentare del numero delle

ripetizioni di un esperimento, la distribuzione delle

frequenze empiriche si approssima sempre più alla

distribuzione teorica di probabilità.

Costruiamo una v.c. e le corrispondenti probabilità in due fasi:Costruiamo una v.c. e le corrispondenti probabilità in due fasi:

1. Ad ogni evento di si associa uno ed un solo numero reale X(e). Questa operazione definisce una v.c. X.

1. Ad ogni evento di si associa uno ed un solo numero reale X(e). Questa operazione definisce una v.c. X.

2. Ad ogni possibile valore di X(.) si associa una probabilità Pr[X]. Questa operazione definisce la distribuzione di probabilità della v.c. X.

2. Ad ogni possibile valore di X(.) si associa una probabilità Pr[X]. Questa operazione definisce la distribuzione di probabilità della v.c. X.

Si osserva che mentre la regola da adottare è arbitraria in quanto dipende da ciò che vogliamo che la v.c. interpreti, lo stesso non è vero per la determinazione della distribuzione di probabilità Pr[X] in quanto quest’ultima è legata alle probabilità degli eventi elementari Pr[e].

Si osserva che mentre la regola da adottare è arbitraria in quanto dipende da ciò che vogliamo che la v.c. interpreti, lo stesso non è vero per la determinazione della distribuzione di probabilità Pr[X] in quanto quest’ultima è legata alle probabilità degli eventi elementari Pr[e].

Anziché specificare le singole P[X] si cercherà, ove possibile, di determinare la relazione funzionale che lega queste probabilità, sintetizzata in una funzione f(x). Ciò sarà necessario quando la v.c. X è di tipo continuo o discreto con un numero molto elevato di valori.

Anziché specificare le singole P[X] si cercherà, ove possibile, di determinare la relazione funzionale che lega queste probabilità, sintetizzata in una funzione f(x). Ciò sarà necessario quando la v.c. X è di tipo continuo o discreto con un numero molto elevato di valori.

)( kkr xFxXP

ki xx

ikk xfxfxfxfxF )()(...)()()( 21

In alcuni casi, sarà necessario calcolare la probabilità che X assuma un valore minore o uguale a xk, cioè

In alcuni casi, sarà necessario calcolare la probabilità che X assuma un valore minore o uguale a xk, cioè

Questa funzione è detta funzione di ripartizione (f.r.) ed è uguale a:Questa funzione è detta funzione di ripartizione (f.r.) ed è uguale a:

0)( F

1)()( FxF n

)()()( 1 iii xfxFxF

Proprietà della f.r. F(.):Proprietà della f.r. F(.):

1.1.

2.2.

3.3.

La rappresentazione di F(x) è una “funzione a gradini”.La rappresentazione di F(x) è una “funzione a gradini”.

Valore atteso e varianza

Per le variabili discrete è possibile definire un valore atteso E[x] ed una varianza Var[x] che sono analoghe alle misure di posizione e dispersione del valore medio e dello scarto quadratico medio:

max

1

][i

iii pxxE

max

1

22 )(][i

iii pxxVar

Valore atteso e varianzanon coincidono con media e scarto quadratico medio

max

1

][i

iii pxxE

max

1

22 )(][i

iii pxxVar

max

1

i

iii fxx

max

1

22 )(i

iii fxxS

Per un numero di tentativi molto elevato è ragionevole che si identifichino le fi e le pi.

In precedenza abbiamo osservato che la distribuzione diprobabilità di una variabile aleatoria discreta Y puòessere generata assegnando una probabilità p(y)maggiore o uguale a zero a ciascuno dei valori che Y può

assumere, in modo tale che y

yp 1 .

La distribuzione di probabilità di una variabile aleatoriacontinua, però, non può essere specificata nello stessomodo.

Non è possibile, infatti, assegnare un valore non nullo aciascuno degli infiniti valori che una variabile aleatoriacontinua può assumere e, allo stesso tempo, rispettare ilvincolo secondo cui la somma di tali probabilità deveessere uguale ad 1.

Per assegnare i valori di probabilità ad una variabilealeatoria continua dobbiamo dunque procedere in unaltro modo.

Distribuzioni di probabilità continue

Sono descritte da funzioni.

L’area sottesa dalla curva tra due valori (es. a-b) è la probabilità che la variabile casuale assuma valori compresi tra a e b

a b x

y

x

y

Si presuppone l’esistenza di una funzione f(x) t.c.

Si definisce poi la probabilità che X sia compresa fra a e b nel modo seguente:

Questa definizione soddisfa gli assiomi della teoria della probabilità.La funzione f(x) è detta densità di probabilità

0yf

1

dyyf

f(y), non è la probabilità, ma è proporzionale (a meno di un infinitesimo) alla probabilità di un intervallo <<sufficientemente piccolo>>

La probabilità che X prenda un valore nell’intervallo [a,b] è l’ area sotto la pdf fra a e b.  La funzione di distribuzione (o ripartizione) F(x), di una variabile aleatoria X, ed è definita per x da

B

A

x

x

BA dxxfxxxP )()(

L’integrale è la probabilità che la variabile casuale assuma un valore in un intervallo e dipende dalla densità di probabilità f(x)

x

f(x)

XA XB

Probabilità diverse da zero possono quindi essere assegnate

ad intervalli di valori di una variabile aleatoria continua X.

A ciascuno dei singoli valori che la variabile aleatoria

continua può assumere, invece, è sempre associata una

probabilità uguale a zero, P(X = x) = 0.

Quest’ultima affermazione risulta più facilmentecomprensibile se interpretiamo la probabilità in terminigeometrici:

l’area sottesa alla funzione di densità f(x) nell’intervallocorrispondente ad un punto è necessariamente uguale azero.

Cosa significa in pratica il fatto che una probabilità

uguale a 0 viene associata ad un evento perfettamente

legittimo e possibile (ovvero, l'evento corrispondente al

fatto che la variabile aleatoria continua assuma un

determinato valore)?

Esempio. Sia X la variabile aleatoria continuacorrispondente all'altezza in centimetri di uno studentescelto a caso dalla popolazione studentesca universitaria.

Supponiamo di disporre di uno strumento infinitamentepreciso per misurare l'altezza e poniamo che l'altezzadegli studenti universitari vari tra 150 e 210 cm.

La variabile aleatoria X, quindi, potrà assumere qualsiasivalore compreso in questo intervallo.

Consideriamo ora un particolare evento all'interno dellospazio campione, ovvero l'evento X = 173.128735274 cm.

Pur essendo questo un valore che X può legittimamenteassumere, non sarà facile trovare uno studente che abbiaesattamente questa altezza.

Potremmo continuare a misurare l'altezza di moltissimistudenti senza mai osservare l'evento in questione. Questoci porterebbe a concludere tale evento è talmenteimprobabile che ad esso può essere assegnata unaprobabilità uguale a 0.

La funzione f(x) non è una probabilità, è solo il suo integrale su un intervallo (che ha il significato di probabilità).

Nel caso discreto invece, la distribuzione di probabilità f(xk) è per definizione la probabilità P(X=xk)

Distribuzioni discrete e densità continue sono oggetti matematici di tipo diverso, non confrontabili fra loro.

Lo strumento che consente di confrontare variabili aleatorie continue e discrete sono invece le rispettive funzioni di distribuzione.

Variabili continue: limite del caso discreto

f(x)

Valore atteso per variabili continue

Variabili continue

max

)(][x

xMin

dxxxfxE

max

1

][i

iii pxxE

Variabili discrete

probdi avere

x

Somma

Varianza per variabili continue

Variabili continue

probabilità

di x

Somma

max

)()(][ 22x

xMin

dxxfxxVar

max

1

22 )(][i

iii pxxVar

Scarto quadratico

Variabili discrete

dxxfxXE rr )(

j

jrj

r xfxXE )(

Def. 11. Momenti semplici di ordine r.

Se X è una v.c. il momento di ordine r, con r naturale, è definito dalla seguente:

Def. 11. Momenti semplici di ordine r.

Se X è una v.c. il momento di ordine r, con r naturale, è definito dalla seguente:

Nel caso continuo.Nel caso continuo.

Nel caso discretoNel caso discreto

Si osserva che per r=1 si ottiene il valore atteso (aspettativa) di X.Si osserva che per r=1 si ottiene il valore atteso (aspettativa) di X.

dxxfXExXEXE rr )()()(

j

jr

jr xfXExXEXE )()()(

Def. 12. Momenti centrali di ordine r.

Se X è una v.c. il momento centrale di ordine r, con r naturale, è definito dalla seguente:

Def. 12. Momenti centrali di ordine r.

Se X è una v.c. il momento centrale di ordine r, con r naturale, è definito dalla seguente:

Nel caso continuoNel caso continuo

Nel caso discretoNel caso discreto

Si osserva che per r=2 si ottiene la varianza di X.Si osserva che per r=2 si ottiene la varianza di X.

dbbfbBAp

BpBApABp

)()|(

)()|()|(

Il teorema di Bayes nel caso di variabili aleatorie continue assume la seguente formulazione

Dove f è la fuzione di densità di probabilità della variabile aleatoria B