a partire da determinate condizioni iniziali, un esperimento e’ l’osservazione del verificarsi di qualche “accadimento” che,

se si ripete l’esperimento nelle identiche condizioni iniziali, il risultato dovrebbe essere

nella realta’ gli esperimenti, di precisione, non sono mai perfettamente riproducibili

un esperimento si definisce aleatorio aleatorio se il verificarsi di un risultato non è prevedibile a partire dalla conoscenza delle leggi fisiche e delle condizioni iniziali

riproducibile a piacimento (determinismo della meccanica classica )

porta ad un particolare “stato delle cose finali “

Esperimenti aleatori

valutazione delle possibilità che un fenomeno aleatorio ha di accadere

da notare che, al contrario della meccanica classica, la meccanica quantistica e’ una teoria intrinsecamente probabilistica

la probabilita’ probabilita’ e’ la

nacque nell’ambito dei giochi d’azzardo e storicamente e’ la prima definizione di probabilita’

definizione classica (aprioristica) di probabilta’:

ma presuppone che gli eventi siano equiprobabili

definizione frequentistica di probabilita’ :

a) presuppone che le prove siano ripetibili a piacimento

c) anche effettuando un numero infinito di prove non e’ garantito che si pervenga al risultato corretto

b) non si possono effettuare un numero infinito di prove

ma definizione introdotta, e molto usata, in ambito scientifico

( ) A

t

NP A

N

numero di casi in cui si ha l'evento favorevole

numero casi totali

( ) lim limt t

A

N Nt

NP A

N

numero di prove in cui si ha l'evento favorevole

numero prove totali

Probabilita’ soggettivanell’ignoranza dei fatti la probabilita’ esprime il nostro grado di fiducia sulla verosimiglianza di una affermazione

la definizione soggettiva di probabilita’ e’ basata sulla nozione di gioco equo e sulla di speranza di vincitaritenere una affermazione probabilmente vera all’80% significa essere disposti a scommettere 8 contro 2 sulla sua validita’

Definizione assiomatica di probabilita’:assiomi di Kolmogorov :

( ) 0P A

( ) 1P S

( o ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A e B

Eventi indipendenti:

due eventi sono incompatibili quando se l’evento (A e B) non puo’ avvenire

attenzione a non confondere i concetti di indipendenza ed incompatibilita’

Probabilita’ condizionale:

( )( / )

( )

P A BP A B

P B

e

e P (A e B ) = 0

se si ha

( / ) ( )P A B P A ( / A) ( )P B P B

in altri termini,

( )( / )

( )

P A BP B A

P A

e

se avviene A non puo’ avvenire B e viceversa (A e B) e’ l’evento vuoto

due eventi sono indipendenti se o

Eventi incompatibili ( mutuamente escludentesi):

( ) ( ) ( )P A B P A P B e

equivalentemente

al poligono di tiro

( )T A B A Bp p A B p p p p o

{Evento A} = centro al primo colpo 0.7124 Ap

1

2 Bp {Evento B} = biglietto con numero pari

i due eventi sono indipendenti tra loro quindi ( ) A Bp A B p p e

dagli assioni di Kolmogorov ( ) ( ) ( ) ( )p A B p A p B p A B o e

0.7124 0.5 0.7124 0.5 0.856+ == ( ) Tp

EsercizioUn tiratore ha probabilita’ 0.7124 di fare centro al primo colpo.

0.5

percio’ :

numero pari

Se prende l’ autobus per recarsi di ricevere un biglietto dell’autobus con unquale sara’ la probabilita’ totale

oppure di fare centro al primo colpo ?

Teorema della probabilita’ assoluta

esempio: nel lancio del dado S = {1,2,3,4,5,6} ai = esce la faccia i per i = 1,6

chiaramente gli ai costituiscono una partizione di S

se l’evento B fosse : {esce un numero pari}

i1

( ) ( ) ( / )n

ii

P B P a P B a

gli eventi ai costituiscono una partizione partizione di S

se B e’ un qualsiasi evento dello spazio S

se

P(B) = P(1)P(pari/1) + P(2)P(pari/2) + … + P(6)P(pari/6) = 1\6 0 + 1/6 1 + … + 1/6 1 = . . .

3/6 = 1/2

e1

n

ii Sa

0jia a

Teorema di Bayes

( / ) ( )( / )

( )

P B A P AP A B

P B

i1

( / ) ( )( / )

( ) ( / )n

ii

P B A P AP A B

P A P B A

ovvero

( )( / )

( )

P A BP A B

P B

e ( )( / )

( )

P A BP B A

P A

e

( / ) ( ) ( )P B A P A P A B e

per definizione di probabilita’ condizionata e

( )( / )

( )

P A BP B A

P A

eda

( )P A Be

sostituendo questo valore

di nella relazione che definisce la probabilita’ condizionata ( / )P A B si ottiene:

relazione nota come “ teorema di Bayes”

quale sarebbe la probabilita’ che sia stato prodotto dalla macchina F1 ?

Due macchine fresatrici , F1 e F2, di una fabbricadella produzione di componenti meccanici di precisione. La macchina F1 e’ operata manualmente

e produce l’ 1 % di scarti, mentre la macchina F2 e’ automatica, e produce il 5 % di scarti.I pezzi prodotti dalle due fresatrici vengono mescolati tra loro e,

un controllo di qualita’ a campionamento casualeviene effettuatoQuale sara’ la probabilita’ che un pezzo scelto a caso sia di scarto ?

sc = { pezzo di scarto }

F1 = { pezzo prodotto dalla fresatrice F1 } F2 = { pezzo prodotto dalla fresatrice F2 }

1 0.10( )P F 1 0.01( / )P sc F 2 0.90( )P F 2 0.05( / )P sc F

secondo il teorema della probabilta’ totale

i1

( ) ( ) ( / )n

ii

P B P a P B a

se B e’ un qualsiasi evento dello spazio degli eventi

e’ chiaro che F1 ed F2

costituito dall’ insieme dei componenti meccanici

al termine di ogni giornata,

ossia2

i1

( ) ( ) ( / )ii

P sc P F P sc F

1 i 2 2( ) ( ) ( / ) ( ) ( / )P sc P F P sc F P F P sc F

in questo caso

0.1 0.01 0.9 0.05 0.001 0.045 4.6%

Se il pezzo campionato

coprono rispettivamente il 10% ed il 90%

a caso risultasse difettoso

sull’intera produzione.

costituiscono una delle possibili partizioni dello spazio degli eventiprodotti al termine di una giornata lavorativa

secondo i dati forniti nel problema si ha :pf = { pezzo perfetto }

gli eventi sono

e

e

per rispondere alla seconda domanda

1 0.10( )P F 1 0.01( / )P sc F

1 11 2

1

( / ) ( )( / )

( ) ( / )i ii

P sc F P FP F sc

P F P sc F

al denominatore ritroviamo la probabilita’ totale pari al 4.6% come precedentemente calcolato

possiamo farlo avvalendoci del teorema di Bayes

dobbiamo calcolare ( / )iP F sc

che in questo caso diviene

inoltre sappiamo che e che quindi 1

0.01 0.1

0.046( / )P F sc

1 2.2%( / )P F sc e analogamente 2 %( / ) 97.8P F sc

si puo’ intuire meglio l’importanza del teorema di Bayesse vi sono piu’ possibili cause C1 , C2 , …. Cn che possono produrre lo stesso effetto E, ci si domanda quale sara’ la probabilita’ che il verificarsi di E

i1

( / ) ( )( / )

( ) ( / C )

i ii n

ii

P E C P CP C E

P C P E

utilizzando il teorema di Bayes:

esempio : la diagnosi del medico di famigliadato che si e’ presentato l’evento E,

sia dovuto alla causa i-esima

ragionando in termini di causa ed effetto

Una malattia rara colpisce l’un per mille della popolazione.messo a punto un test che,

nel 5% di persone saneSe una persona si sottopone al test

quale e’ la probabilita’ che sia

Esempio di applicazione del teorema di Bayes :

M = {malato} S = {sano} ( ) 0.001P M ( ) 0.999P S TP = {test positivo}

( / ) 0.97PP T M ( / ) 0.05PP T S ( ) ( / )

( / )( ) ( / ) ( ) ( / )

PP

P P

P M P T MP M T

P M P T M P S P T S

0.001 0.97( / )

0.001 0.97 0.999 0.05PP M T

1.9 %

per il teorema di Bayes:

lo rivela in 97 casi su 100

( percentuale di falsi allarmi = 5%).( efficienza del test = 97% ).

in caso di effettiva presenza della malattia,Pero’ il test risulta positivo anche

davvero malata ?e l’esito risulta positivo

in conclusione

e

Per diagnosticarla viene

ma la probabilita’ a cui si e’ realmente interessati e’

( / )PP M T

la probabilita e’ molto bassa per sapere se si e’ davvero malati occorrera’ effettuare altri tipi

il test e’ inutile ! ma alloradi indagine …

dove M in questo caso e’ la possibile causa e Tp e’ l’effetto

la probabilita’ di essere davvero malati se il testnon servirebbe a molto aumentare soltanto l’efficienza del test

produce anche qualche falso allarme

anche se la si portasse al 100% (test infallibile)

questo perche’ nonostante il test sia

di un “falso positivo” dato che la malattia e’ molto rara molto rara

forse e’ perche’ e’ inefficiente ?

continuerebbe ad essere molto bassa,

e’ piu’ probabile che si sia trattato e

attenzione:

efficientissimo,piuttosto che di un vero caso di malattia

risultasse positivo

in generale, in qualunque ambito in cui si presenti una decisione predittiva binaria

In statistica questo errore del test è detto errore di primo tipoerrore di primo tipo

(positivo o un falso positivo indica la scelta a torto di "positivo", ovvero un falso allarmefalso allarme. negativo),

è quello di secondo tiposecondo tipo, che genera falsi negativifalsi negativi.esempio del giudice

l'altro possibile errore

e contemporaneamente riducendo la percentuale di falsi allarmiIn conclusione si potrebbe realmente migliorare la validita’ del test solo aumentandone l’efficienza

in effetti

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