Dalle funzioni iterate al caos deterministico

Gian Italo Bischi, Università di Urbino “Carlo Bo”

gian.bischi@uniurb.it

http//www.econ.uniurb.it/bischi

25 marzo 2010

Caos DeterministicoCaos Deterministico: un ossimoro: un ossimoro

deterministico : regolare, prevedibile

fenomeni ordinati e pianificabili

caos : assenza di regole, irregolarità, imprevedibilità.

Il concetto di caos deterministico spezza questa dicotomia:

modelli matematici deterministici non lineari possono generare andamenti quasi indistinguibili da processi aleatori, ed estremamente sensibili a piccole perturbazioni

Outline

• Generare caos deterministico iterando semplici funzioniGenerare caos deterministico iterando semplici funzioni

• Un po’ di storia Un po’ di storia

• Le proprietà del caos deterministico e l’effetto farfallaLe proprietà del caos deterministico e l’effetto farfalla

• Un po’ di ordine nel caos: gli attrattoriUn po’ di ordine nel caos: gli attrattori

• Caos deterministico nella letteratura, cinema, arte ….Caos deterministico nella letteratura, cinema, arte ….

y = f(x)

x → → y f

Concetto di funzione

Feed-back

Funzione iterata

fx ( t ) x ( t + 1 )

Legge di evoluzione : dallo stato al tempo t permette di calcolare lo stato al tempo successivo, t+1

Modelli dinamici a tempo discreto

… si ottiene una “traiettoria” del sistema dinamico

x (t + 1) = f ( x (t) )x (0) assegnato

Per induzione, ossia iterando la f ...

x(1) = f (x(0)) x(2) = f (x(1)) = f (f (x(0))) = f 2 (x(0)) … x(t) = f t (x(0))

x (0) f x (2) ... fx (t) x (t+1) ...x (1) f

Funzioni (mappe) lineari:

iterazione di f ( x ) = a x.

legge evolutiva: xt+1 = a xt

x1 = a x0

x2 = a x1 = a ( a x0 ) = a² x0

x3 = a x2 = a ( a² x0 ) = a³ x0

…

xn = a xn1 = a ( a n-1 ) x0 = a n x 0

...

progressione geometricadi valore iniziale x0 e ragione a.

Se | a | < 1 (mappa contrattiva)

- se 0 < a < 1, successione monotona che

converge al punto fisso x* = 0 (attrattivo);

- se -1 < a < 0, la successione converge

al punto fisso x* = 0, ma oscillando;

| a | > 1

- se a < -1, la successione diverge oscillando;

- se a > 1, la successione diverge

in modo monotono

I valori particolari a = 1 e a = 1sono detti di biforcazione.

Attraversandoli si verifica un cambiamento

qualitativo nelle traiettorie

Capitalizzazione (con interesse composto) interesse i%.

sia r = i/100

C(t+1) = C(t) + r C(t) = (1+r) C(t)

Soluzione: C(t) = C(0) (1+r)t

Crescita esponenziale

)()1( txtx

0 1 2 3 4 5 6 n0

3

xn

7 8 9

1

2

1n nx x x0=3

x0=0.5. . . . . . . . . .

Nel 1776 Laplace scriveva :

“Lo stato attuale del sistema della natura consegue evidentemente da quello che era all’istante precedente e se noi immaginassimo un’intelligenza che a un istante dato comprendesse tutte le relazioni fra le entità di questo universo, essa potrebbe conoscere le rispettive posizioni, i moti e le disposizioni generali di tutte quelle entità in qualunque istante del futuro”

Pierre-Simon Laplace 1749-1827

2( 1) ( ( )) ( )x t f x t x t c calcolatrice tascabile x2 – c x

c = 0

21 0x x b grado 2

2 2 2 4 22 1 0 0 0( ) 2 )x x b x b b x bx b b grado 22 = 4

2 4 2 23 2 0 0( 2 )x x b x bx b b b grado 23 = 8

.

.

.

x10 = ……… grado 210 = 1024 !!!!

0 10 20 30 40 n

0

2

-2

xn

x0=1.5

21 1n nx x

2( 1) ( ( )) ( ) 1.3x t f x t x t

x0 x1 x2x3 x4

x

n

x

n

2( 1) ( ( )) ( )x t f x t x t b b all’incirca 1.7

0

2

-2

xn

x0=0.5

0 10 20 30 40 50 60 t

0

2

-2

xn

x0=0.499

21 2n nx x

0 10 20 30 40 50 60 t0

4

-4

x1(t

)-x2

(t)

x1(0)=0.5

0 10 20 30 40 50 60 t

x2(0)=0.499

Henry Poincaré (1903)Se conoscessimo esattamente le leggi della natura

e la situazione dell’universo all’istante iniziale,

potremmo prevedere esattamente la situazione

dello stesso universo in un instante successivo.

Ma se pure accadesse che le leggi naturali non

avessero più alcun segreto per noi, anche in tal

caso potremmo conoscere la situazione iniziale

solo approssimativamente.

Se questo ci permettesse di prevedere la situazione

successiva con la stessa approssimazione, non ci occorrerebbe di più e

dovremmo dire che il fenomeno è stato previsto.

Ma non è sempre così; può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali..

Henry Poincaré, 1854-1912

Teoria Qualitativa dei Sistemi DinamiciAnalisi qualitativa e Topologia (geometria dei fogli di gomma)(Henry Poincaré, 1854-1912)

Analisi non lineare, Stabilità strutturale e BiforcazioniScuola russa: Lyapunov (’20) Kolmogorov (’30) Andronov (’50) Pontriaguine (’60) Arnold, Sinai, Sharkovski, ShilnikovStati Uniti: Birkhoff (’30) Smale, Abraham, YorkeBrasile: Peixoto, Palis, Mora, VianaEuropa: Julia (’20) Fatou (’20), Hadamard (’40), Mira, Ruelle, Takens

Teoria delle Singolarità (o catastrofi): Whitney, Mather (’60), Thom (’70)

Cibernetica (autoregolazione, feed-back, meccanismi adattivi): Wiener, J. Von Neumann, dal 1946

Geometria dei Frattali: Benoit Mandelbrot, anni ’80

Sinergetica (interazione cooperativa, auto-organizzazione, processi autoalimentati): Hermann Haken, anni ’80

xyBzdt

dz

xzyRxdt

dy

yxdt

dx

Edward Lorenz

(May 23, 1917–April 16, 2008)

Lorenz

“Appello evangelico per l’introduzione di queste equazioni alle differenze

semplici in corsi elementari di matematica, cosicchè l’intuizione degli

studenti possa essere arricchita vedendo le cose bizzarre che succedono

con semplici equazioni non lineari. [...]”.

“Io vorrei sollecitare che sia presentata [l’equazione logistica] prestonell’educazione matematica. Questa equazione può essere presentatada un punto di vista fenomenologico iterandola con una calcolatrice,o persino a mano. Il suo studio non richiede più sofisticazione di quanto non richieda un corso elementare di matematica.

Tale studio potrebbe in generale arricchire l’intuito di uno studente circai sistemi non lineari. Non solo nella ricerca, ma anche nella vita politicaed economica di ogni giorno, noi saremmo più ricchi se un numeromaggiore di persone si rendesse conto che semplici sistemi non linearinon possiedono necessariamente semplici proprietà dinamiche.”

Robert May, 1976

Se f (x(t)) = x(t) Allora x (t + 1) = ( x (t) )

stato stazionario punto di equilibrio

punto fisso

x0

x1 = f (x0)

Legge di evoluzione: x (t + 1) = f ( x (t) )

x0

x1

x1

x0

x1

x2

x0

x1

x2

x3

x4

n

nn x

xkx

2

2

1

Punti fissi: 2

2

2

k xx x k x k

x

Iterazione della funzione (iperbole)2

( )2

k xf x

x

2

1'( )

2 2

kf x

x '( ) 0f k

x

Supponiamo che ogni anno si riproduca una frazione r di insetti

e ne muoia una frazione m.

Nell’anno successivo la popolazione è

tNmr

tmNtrNtNtN

1

1

Questa è una legge di evoluzione lineare xt+1 = axt

r-m rappresenta il tasso netto di crescita della popolazione

Popolazione che vive in un ambiente limitato.

Si fa l’ipotesi che il tasso di mortalità m non sia costante, ma

aumenti al crescere della numerosità della popolazione

ad esempio m = sN(t),

termine di mortalità per sovraffollamento (carenza di cibo ecc.)

Con questa ipotesi la legge di evoluzione diventa non lineare:

Una funzione di secondo grado Con un cambio di variabile diventa:

2)()(1)1( tsNtNrtN

)(1)()1( txtaxtx

logistica

)()1( txtx

Si dice che si è in presenza di dinamiche caotiche se:

(1) Sensitività rispetto alle condizioni iniziali

generando due traiettorie da diverse condizioni iniziali, ma arbitrariamente

vicine, esse si mantengono limitate ma la distanza fra esse cresce

esponenzialmente e dopo un tempo finito diventa dello stesso ordine di

grandezza delle variabili di stato.

(2) Transitività (o mixing):

i punti della traiettoria generata partendo da una generica condizione

iniziale ricoprono densamente una zona dello spazio delle fasi

cioè ciascun punto dell’intervallo su cui si muove tale traiettoria risulta

essere punto di accumulazione dei punti della traiettoria stessa.

(3) Esistenza di infiniti cicli repulsivi

con i punti periodici densi nella regione ricoperta dalle traiettorie caotiche.

Nota: (2) e (3) implicano (1)

Stretching & Folding (Stiramento e ripiegamento)

La Geometria del Caos

0.875

x’ = f(x) = ax (1-x)

if x’ < a/4 then

where:

a

xaaxfx

2

'4

2

1)'(1

11

211

21

11 ,)'()'()'( xxxfxfxf

a

xaaxfx

2

'4

2

1)'(1

22

critical point c = a/4

2

1)()( 1

21

21 cfcfc

Folding Unfolding

c-1

R1 R2

Z0

Z2

R1 R2R1 R2

Kneading of the dough (impastare)

c

f(c)

Mixing

c1

c3

c2

c

I

J

c1=f(c)

c2=f(c1)

c

c3=f(c2)

2

( 1) ( ) ( ):

( 1) ( )

x t ax t y tT

y t x t b

x

y

T

T

T

T

Mappe iterate del piano

-2

x

a = 1 b = -2

..

P = T(P1) = T(P2)

x

y

.1 2 3

1

2

3

-1-2-3-1

1P

2P

T

T

..

P

y

.1 2 3

1

2

3

-1-2-3-1

-2

11P

12P

11T

12T

2

( 1) ( ) ( ):

( 1) ( )

x t ax t y tT

y t x t b

byxy

byxT

byxy

byxT

''

':

''

': 1

21

1

2 inverse

Mappa non invertibile

Linear map T : (x,y)→(x’,y’) 11 12 1

21 22 2

'

'

a a bx x

a a by y

T is orientation preserving if det A > 0

area (F’) = |det A |area (F), i.e. |det A | < 1 (>1) contraction (expansion)

Meaning of the sign of |det A|

T is orientation reversing if det A < 0

y

xx

y

a11=2 a12= -1 a21=1 a22=1 b1= b2= 0 ; Det = 3

A B

C

A’

B’

C’

F F’

T

a11=1 a12=1.5 a21=1 a22 =1 b1= b2= 0; Det = - 0.5

xx

y

A B

C

A’

B’C’

F’

T

FB’

y

T is: orientation preserving near points (x,y) such that det DT(x,y)>0 orientation reversing if det DT(x,y) < 0

If T is continuously differentiable LC-1 is included in the set where det DT(x,y) = 0

The critical set LC = T ( LC-1 )

bxy

yaxxT 2'

':

byxy

byxT

byxy

byxT

''

':

''

': 1

21

1

Z2 = {(x,y) | y > b }

Z0 = {(x,y) | y < b }

LC = {(x,y) | y = b }

LC-1 = {(x,y) | x = 0 }

02

1

x

aDT det DT = -2x =0 for x=0 T({x=0}) = {y=b}

Z0

Z2

R1 R2LC-1

LC

SH1

SH2

11T

12T

y=bx=0

bxy

yaxxT 2'

':

FT

LC-1

LC

)()1(

)()()1(212

211

txbtx

txtaxtx

T:

F’= T(F)

LC LC

LC-1LC-1

A B

B’

A’

A B

O’ C’

x x

yyCD

C’

D’

O

C

A’ B’

LC LC

LC-1LC-1

A

B

B’

A’

A

B

C’

x x

yy

C

C’

C

A’ B’

(a) (b)

LC2

LC1

LC

LC3

LC-1

LC 2

LC 1

LC

-1

LC 5

LC 3

LC 6

LC

LC 4

)()1(

)()()1(212

211

txbtx

txtaxtx

f:

bxy

yaxxT 2'

':

Chaos and Symmetry

Martin Golubitsky, Mike Field

Due tipi di complessità … e due tipi di sensitività

k = 1; v1 = v2 = 0.851 ; 1= 2 =0.6 ; c1 = c2 = 3

y

x

1.5

1.500

E*

(a)

k = 1; v1 = v2 = 0.852 ; 1= 2 =0.6 ; c1 = c2 = 3

y

x

1.5

1.500

E*

(b)

Da: G.I. Bischi and M. Kopel “Multistability and path dependence in a dynamic brand competition model”Chaos, Solitons and Fractals, 2003

strutture complesse deibacini di attrazione nel casodi più attrattori coesistenti

Coesistenza di equilibri

Bacini di attrazione

Stabilità pratica

x*

1

2

x0

fig. 4

(a) (b)

p*

q*

r*

.

.q*

z*

x*

*1q

.

x0

c

Z0

Z2

c

q*

z*

x*..

Z3

Z1

Z1 .

r*.

q*

z*

x*..

*1q

*1q

*2q

*2q

Z3

Z1

Z1 .

r*

(a) (b)

cmin

cmin

cmaxcmax

.

David Ruelle “Caso e Caos”, Bollati Boringhieri, 1992

James Gleick “Caos. La nascita di una nuova scienza”, Sansoni 1997, 3° edizione(edizione inglese : “Chaos. The amazing science of the unpredictable”)

Ian Stewart “Dio gioca a dadi ? La nuova matematica del caos” Bollati Boringhieri, 1993

Angelo Vulpiani “Determinismo e caos” La Nuova Italia Scientifica, 1994.

Douglas R. Hofstadter “Strani attrattori : schemi matematici collocati fra l’ordine e il caos” su “Le Scienze”, Febbraio 1982.

James P. Crutchfield, J. Doyne Farmer, Norman H. Packard, Robert S. Shaw “Il Caos”“Le Scienze”, Febbraio 1987

A.K. Dewdney “Alla scoperta delle strane attrattive del caos” su “Le Scienze” , Settembre 1987.

F. Di Stefano “Il caos deterministico” in La Fisica nella scuola” n.6, 1991.

Alberto Rebaglia “Il Caos e i Frattali” inserto di “Scienza e Vita”, giugno 1993.

Marco dal Bosco “Comportamenti Casuali di un sistema deterministico” in “La Fisica nella scuola” n.2, 1998.

Michele Fontana “Metti ordine nel caos” in Panorama del 21 febbraio 1988.

Pietro Greco “Il caos minaccia Newton”da “La Repubblica” del 7 febbraio 1990.

Giorgio Israel “Grande è la confusione sotto il cielo della scienza : il determinismo non è morto” da “La Repubblica” del 11 dicembre 1991.

Franco Prattico “I sacerdoti del caos”da “La Repubblica” del 30 aprile 1993.

Giampiero Borrella “Avanti caos” in Panorama del 18 luglio 1993.

Carlo Bernardini “Finiremo tutti in un grande frattale”da “La repubblica” del 3 dicembre 1986

Umberto Bottazzini “Il mondo del pressappoco” Il Sole 24 ore, 8 marzo 1987.

Omar Calabresi “Matematicamente belli” in Panorama del 17 gennaio 1988.

Pier Luigi Sacco “La finanza turbolenta si spiega coi frattali”da Il sole 24 ore del 28 febbraio 1988.

CAOS DETERMINISTICO E LETTERATURADal romanzo: Jurassic Park, di Michael Crichton (23 ottobre 1942, 4 novembre 2008)

Un passo tratto dalla Seconda Iterazione[…] Ian Malcom era uno dei più famosi rappresentanti di quella nuova generazione di matematici che mostravano un vivo interesse per i “meccanismi del mondo reale”. Questi studiosi,sotto molti aspetti, avevano rotto la tradizione di isolamentodei matematici.Per prima cosa si servivano continuamente del computer,cosa che i matematici tradizionali non vedevano di buon occhio.Poi lavoravano quasi esclusivamente con equazioni non lineari,nel campo emergente del cosiddetto caos.Terza cosa, sembravano voler fare di tutto il possibile affinché iloro sistemi matematici descrivessero qualcosa che di fattoesisteva nel mondo reale.

Ancora Ian Malcom, da Jurassic Park, terza iterazione.

“I computer vennero costruiti verso la fine degli anni 40, perché matematici come John Von Neumann , il massimo matematico della sua generazione, pensavano che avendo a disposizione una macchina capace di gestire contemporaneamente molte variabili, si sarebbe stati in grado di fare previsioni meteorologiche a lungo termine. […]. La teoria del caos manda all’aria tutto questo, non si può prevedere il tempo se non per pochi giorni. […] Tutto il denaro speso per previsioni meteorologiche lungo termine - circa mezzo miliardo di dollari negli ultimi decenni- è buttato via. È un’impresa vana quanto cercare di trasformare il piombo in oro. Oggi gli sforzi degli alchimisti ci fanno ridere, ma generazioni future guarderanno noi e rideranno nello stesso modo”.

Jurassic Park, terza iterazione:“Un simile controllo è impossibile” dichiarò Ian Malcom“Invece sì” disse Hammond“Mi scusi, ma lei non sa quello che dice” ribattè Malcom“Piccolo stronzo arrogante” disse Hammond. Si alzò e uscì.“Mi spiace” disse Malcom “ma il punto è che ciò che definiamonatura è di fatto un sistema complesso, non lineare.Ci costruiamo una immagine lineare della natura e poi combiniamo pasticci.Io non sono uno di quegli ambientalisti dal cuore tenero, ma dovete capire ciò che non capite. Quante volte bisogna sbattere il muso contro l’evidenza dei fatti? Abbiamo costruito la diga di Assuan sostenendo che avrebbe rivitalizzato l’Egitto, e invece distrugge il fertile delta del Nilo,produce infestazioni da parassiti e rovina l’economia.Abbiamo costruito...

Da "Il mistero di Marie Rogêt", Edgar Allan Poe, 1842.

Per quanto riguarda l’ultima parte della supposizione, si dovrà considerare che la più insignificante differenza nei fatti delle due vicende potrebbe dar luogo ai più importanti errori di calcolo, facendo divergere radicalmente le due sequenze dei fatti; proprio come in aritmetica un errore che in sé non ha valore, alla fine, moltiplicandosi da un punto all’altro del procedimento, produce un risultato lontanissimo dal vero.”

“…il più delle volte è il genio intuitivo delle arti belle che precede la scienza, e questa non arriva che più tardi, a spiegare e illuminare le ispirazioni di quello.”

Filippo Lussana (1820-1897)

Dal racconto “La notte dei numeri” di Italo Calvino.

Questi sono tutti i libri maestri della ditta – dice il ragioniere, - nei cent’anni della sua esistenza [...] non c’è mai stato un ragioniere come Annibale De Canis, eppure quest’uomo infallibile , questo genio, vedi, il 16 novembre 1884, ... ecco, qui c’è un errore di quattrocentodieci lire. Nessuno se n’è mai accorto, io solo lo so, e sei la prima persona a cui lo dico: tientelo per te e non lo dimenticare! E poi se anche lo andrai a dire in giro, sei un ragazzo e nessuno ti darà retta... Ma adesso sai che tutto è sbagliato. In tanti anni, quell’errore di quattrocentosedici lire sai quant’è diventato? Miliardi! Miliardi! Hanno un bel girare le macchine calcolatrici, i cervelli elettronici e tutto il resto! L’errore è al fondo, al fondo di tutti i numeri, e cresce, cresce, cresce!

If you think you are too small to make a difference, try sleeping with a mosquitothe Dalai Lama

Caos deterministico e filosofia.

Anche in un mondo così rigido un piccolo evento, una minuscola azione, può provocare una rivoluzione.

Questo risulta perfettamente compatibile anche nell'ambito di un sistema governato da un rigido e predeterminato modello matematico.

Contrapposizione fra:

•completa e rigida regolamentazione e totale casualità degli eventi

•predeterminazione e il libero arbitrio

In Psicopatologia della vita quotidiana Freud definisce:

- Paranoico: colui che è ossessionato dall'idea che le persone che lo circondano siano coalizzate per danneggiarlo, non vede casualità negli eventi, ad essi sottende sempre una sorta di predeterminazione.

- Ossessioni paranoiche: nulla è dovuto al caso, tutto segue un disegno preordinato, e a ogni evento deve sempre potersi associare un colpevole.

Le teorie psicanalitiche, fanno risalire importanti tratti della personalità di un adulto a piccoli traumi dell'infanzia, talvolta in apparenza insignificanti (tanto da essere rimossi, quindi non ricordati), idea molto vicina alla filosofia dell'effetto farfalla.

U. Eco, Il pendolo di Foucault, 1988

Il mondo si muove in modo apparentemente disordinato mentre c’è un disegno ‘dietro’.

Caos e psicanalisi

Caos deterministico al cinema