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Il Circuito di Chua: breve storia, risultati rigorosi e problemi aperti

Invenzione, sperimentazione e prime ipotesi

Estensioni

Analisi

Primi passi Matsumoto et al.(1985), Chua et al. (1986)

2

212

2

121

1

)(

)(

vdtdiL

ivvGdtdv

C

ivvGdtdv

C

L

L

R

−=

+−=

−−=

dove )( RR vgi = è la caratteristica tensione-corrente del resistore non lineare. Storicamente, questa funzione è scelta dispari-simmetrica e lineare a tratti, caratterizzata da due distinte pendenze

EvseG

EvseG

Rb

Ra

>

<

{ }EvEvGGvGvg RRbaRbR −−+−+= )(21)(

M.Miari - Politecnico di Milano 2 di 41

{ }10

101

22

1

2

,

11)(21)(

,

mm

xxmmxmxh

LGC

CC

−−+−+=

== βα

Riscalando le variabili di stato e il tempo

tCGt

GEi

zEv

yEv

x L

2

21 ,,, a===

si ottiene il sistema in forma adimensionale

yzzyxy

xhxyx

β

α

−=+−=−−=

&

&

& ))((

dove: sono i parametri naturali del sistema rappresentano le pendenze della funzione lineare a tratti normalizzata

••• Il sistema è invariante per ),,(),,( zyxzyx −−−a .


In forma più trasparente:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤−+≤≤−−≤−+

=xsemmxmxsexm

xsemmxmxh

111

1)(

101

0

011

Abitualmente si scelgono pendenze che soddisfano

10 1 mm <−< In questo modo si hanno tre punti di equilibrio, i quali possono essere resi contemporaneamente (i.e. per lo stesso -1 1 intervallo di valori dei parametri) instabili. In particolare, posto (i, j) = (dim Ws, dim Wu),

l’origine sarà un fuoco-sella di tipo (2,1) e gli equilibri esterni dei fuochi-sella di tipo (1,2),

xyxhy −== )(


Simulazione digitale– una strada verso il caos Tipici regimi osservati nella simulazione numerica delle orbite del sistema normalizzato per diversi valori del parametro 3c=β , avendo fissato gli altri parametri

6.15,75,

78

10 =−=−= αmm

La successione delle biforcazioni al

variare del parametro 3c=β : (a) bif. di Hopf supercritica

(a) (b) raddoppio di periodo (b) (c) raddoppio di periodo (c) (d) cascata Feigenbaum (d) (e) nasce e cresce in taglia una coppia simmetrica di attrattori di tipo Rossler (e) (f) i due attrattori “collidono” e si fondono nell’attrattore caotico “a doppio rotolo” (Double scroll)


Simulazione analogica = Attrattore di Chua sperimentale

)(1 tv )(2 tv )(tiL

proiezione sul piano Liv −1 proiezione sul piano 21 vv − proiezione sul piano Liv −2


Divertirsi con il Double Scroll Illustrazione schematica della struttura Modello in scala in fibra di vetro macroscopica dell’ attrattore di Chua 20 cm x 80 cm x 100 cm

Dimensione di Lyapunov 2.13


Ipotesi sulla nascita dello strano attrattore Chua,L.O.,Komuro,M.& Matsumoto,T. (1986) In questo caso, vale il

Teorema (Shil’nikov 1970) Dato il sistema

),,(),,(),,(

zyxRzzzyxQyxyzyxPyxx

+=++=+−=

λρωωρ

&

&

&

dove RQP ,, sono funzioni lisce, nulle nell’origine insieme alle loro derivate prime,

0,0,0 ≠>< ωλρ , se esso ha un’orbita omoclina allora, quando la quantità di sella è positiva,

0>+= λρσ , la mappa di Poincaré su una sezione transversa all’orbita ha un numero infinito di ferri di cavallo di Smale. Inoltre, un grande numero di questi viene preservato sotto piccole perturbazioni del sistema.

Per certi valori dei parametri esiste una coppia di orbite omocline del fuoco-sella nell’origine

L’analisi mostra che le connessioni omocline esistono nella regione di esistenza dell’attrattore double scroll, di conseguenza esso è uno strano attrattore.


Osservazioni e problemi aperti

L’insieme iperbolico che esiste in prossimità nella connessione omoclina non è attrattivo. Gli infiniti cicli che lo formano sono di tipo sella. Limitarsi a stabilire la presenza di un’orbita omoclina non è sufficiente a giustificare l’esistenza di attrattori caotici; si mostra ad esempio che esiste una regione nel piano dei parametri ove le condizioni di Shil’nikov sono soddisfatte ma non si ha nessun attrattore caotico e la maggior parte delle orbite tende ad un ciclo limite stabile.

Successivi risultati (Ovsyannikov & Shil’nikov 1992) riguardanti la coesistenza di orbite periodiche di tipo topologico differente mostrano che, se la divergenza

02 <+ λρ allora i sistemi con un numero infinito di orbite periodiche stabili sono densi nell’insieme dei sistemi con un’orbita omoclina a un fuoco-sella. Se la divergenza nell’origine è positiva, ad essere densi sono i sistemi che hanno infinite orbite periodiche totalmente instabili.

Per denotare l’insieme limite che include le orbite periodiche di tipi topologici differenti (tipicamente, cicli stabili e sella) che coesistono insieme a orbite omocline

e altre orbite aperte, è stato introdotto (Afraimovich & Shil’nikov 1983) il termine quasi-attrattore (abbrev. di attrattore quasi-stocastico).

Necessariamente, un quasi-attrattore non può essere transitivo (indecomponibile). Inoltre, i quasi-attrattori possono essere (sono ?) strutturalmente instabili.


Coesistenza di orbite diverse nel double scroll Cicli simmetrici, doppi asimmetrici, Orbite omocline e eterocline, asimmetrici contorni omoclini


Un passo indietro (Rinaldi, 1974)

Resistore in serie con l’induttore diversi regimi dinamici (commutatore, monostabile, oscillatore)

Caratteristica tensione-corrente possibilità di applicare la teoria classica differenziabile (polinomiale) delle biforcazioni ( funzioni analitiche)

1<gR l’origine è l’unico equilibrio,

stabile per RCgL < instabile per RCgL >

1>gR l’origine è instabile (sella), due altri equilibri stabili non nulli (nodi o fuochi) Biforcazioni:

1=gR Forcone supercritico RCgL = Hopf supercritica


Dispiegamento globale del circuito di Chua Aggiungendo un resistore lineare 0R al circuito di Chua

Le equazioni di stato diventano

)(

)(

)()(

02

212

2

1121

1

LL

L

iRvdtdiL

ivvGdtdvC

vgvvGdtdvC

+−=

+−=

−−=

con RG 1= e )()( 1 Rvgvg = è la funzione dispari-simmetrica lineare a tratti già proposta.


A differenza di quanto avviene nel circuito di Chua, dove i parametri sono soggetti a vincoli fisici, ora le due pendenze aG e bG possono assumere qualunque valore e segno.


Siano: ),,( 321 λλλλ = l’insieme degli autovalori dell’equilibrio in O

),,( 321 µµµµ = l’insieme degli autovalori dell’equilibrio in 1>x

Due circuiti di Chua sono equivalenti se sono uguali gli insiemi λ e µ

Il dispiegamento (unfolding) del circuito di Chua è il rappresentante canonico della famiglia a dodici parametri dei sistemi lineari a tratti d-simmetrici con tre domini di linearità. In altri termini, se λ e µ sono gli insiemi degli autovalori di un sistema della

famiglia, esso è linearmente equivalente al circuito con gli stessi λ e µ

Gli autovalori ),,( 321 λλλλ = possono essere numeri reali o complessi. Lo stato di equilibrio O può essere una sella o un fuoco-sella. L’origine O o gli equilibri in 1>x possono essere totalmente instabili, i.e. dim 3=uW

Gli strani attrattori esistono sia quando il sistema ha divergenza negativa (caso b),

sia quando la divergenza ha segno opposto nella regione interna e in quella esterna ( il suo segno è determinato da 321 λλλ ++ e 321 µµµ ++ rispettivamente)

Quest’ultimo fatto consente la coesistenza di orbite periodiche strutturalmente stabili di tutti e tre i tipi topologici (stabile, instabile, sella).

Una divergenza di segno non costante è inoltre necessaria, nei sistemi del terzo ordine, per la transizione al caos via rottura di un toro invariante


Strani attrattori in esposizione: una galleria In questa e nelle figure che seguono, vengono presentati strani attrattori che sono stati osservati sperimentalmente o numericamente per il circuito di Chua dispiegato.

Ogni attrattore è raffigurato nello spazio ),,( 21 Livv

In alto compare un tratto dell’uscita )(1 tv e il suo spettro di potenza

Dopo il contrassegno (j) vengono forniti i parametri fisici del circuito

In basso a destra si trovano gli autovalori all’equilibrio nell’origine ),,( 321 λλλλ =

e agli equilibri nella regione esterna ),,( 321 µµµµ = M.Miari - Politecnico di Milano 15 di 41

Analisi locale delle biforcazioni nel Double Scroll Khibnik et al.(1992) Modello di Chua differenziabile

yzzyxy

xyx

β

ϕα

−=+−=−=

&

&

& ))((

βα , parametri di controllo positivi

3

32

210)( xcxcxccx +++=ϕ fissato

ooo Sistema dispari-simmetrico ; invarianza ),,(),,( zyxzyx −−−a

ooo Equilibri )1,0,1(;)0,0,0( m±±OO

ooo L’infinito è instabile: f. di Lyapunov

2420

222

0 2)(61

222),,( yxyxxVzyxzyxV −+−=→++= &

βα

3

13210 ;

61,0,

61,0

cccccc ==−==


Analisi nell’intorno dell’origine Analisi di Routh-Hurwitz

06)67()61()(

0011106

230

=−−+−+=∆

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

βαλαβλαλλ

β

αα

J

OJ

ooo Stabilità

06 <− βα 0,0,0,0 321 >>>> Rααα ooo Frontiera di stabilità

0367;)61(6706

2 <−−=

≠−

αααβ

βα

221

213

0,0,0

00,0,0

αλαα

λααα

iR ±=→>>=

=→>>=

ooo Tipo topologico

)1,2(),(1 =→= us nnq dim =uW # cambiamenti segno prima colonna q=

ooo Quantità di sella nulla

;))61(267)(61()31(:0

367)61(;)61(67:021

22

ααααβσ

ααααβσ

−−−−==

−<−−−==−

c

r

ooo Divergenza

)61(2 ασ −−= 1321 αλλλ −=++=JTr

321

322

13

3

1

31

2

0

...

...

..

..1

:

ααααλαλαλ

αα

ααα

−==+++

−

R

RHRouth

0,)2(

00,0

2122

12

1213

2122

1

=ℜ+⇔<−+−=

=+⇔<<−=

λλαααααα

λλαα

e

R


0 1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

5

6

7

α

β

Analisi locale (Routh-Hurwitz)

σr =0

σc=0

Hopf

Analisi negli equilibri non nulli

03)32()31()(

0011103

23

0=+−+++=∆

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

±

±

βαλαβλαλλ

β

αα

J

OJ

ooo →≠= 03 3 βαα no radici nulle

ooo coppia immaginaria,

)31(,32 32,1 αλαλ +−=±= i

ooo 0>R fuochi stabili,

0<R fuochi-sella

ooo Biforcazione di Andronov-Hopf A 1L primo coefficiente di Lyapunov

Supercritica se 01 <L , Subcritica se 01 >L

ooo 01 =L in A=( 817.1,728.1 ≈≈ βα ) (analiticamente) Nasce una curva di orbite periodiche nodo-sella:

Biforcazione tangente di cicli (SN o fold)

→>==

+=→=

092)0()3(920

22 αα

ααβ

RR

0<cσ 0<R

02 =σ

0>rσ

01 <L


Riduzione sulla varietà centro (varietà lenta) Nel limite 0),( →βα , y diventa la variabile veloce. Tutta la dinamica del sistema

yz

zyxyxcxcyx

β

α

−=+−=

−−=

&

&

& )( 331

è concentrata sulla varietà lenta . Su questa, la dinamica lenta è data dal sistema

( )

zxzxczxcx

−−=−+−=

&

& 331 )1(γ

, dove βαγ = .

Con passaggi formali si giunge all’equazione del secondo ordine

( )( ) 013)1( 331

231 =++−−−− xcxcxxccx γγγ &&&

che può essere riscritta come sistema in forma normale di Khorozov-Takens

( ) 33

2311 31)1( xcwxcwcxcw

wxγγγγ −−−−+−=

=

&

&

zxy +=


Biforcazione di Khorozov-Takens Riscalando opportunamente le variabili, i parametri e il tempo, il sistema

yxxyxyyx

2321 −±+=

=

µµ&

&

può essere visto come perturbazione di un sistema integrabile, il cui primo integrale,

4ˆ

2ˆ

2ˆ 422 xsxsyH −+= , si conserva.

Le curve a energia costante dipendono da 1=s 1−=s

1±=s


Diagrammi di biforcazione Hanno validità in un intorno dell’origine del piano dei parametri

Differiscono drasticamente a seconda di Nel caso in esame

00

10

13

1

3

>→<

−=→>

µcc

sc

Si può determinare la curva SN

sulla quale si ha un ciclo nodo-sella (biforcazione tangente di cicli)

Si può determinare la curva H8

sulla quale si ha la coppia di orbite omocline

1±=s


Tre film Biforcazioni delle orbite periodiche all’aumentare di per 5.0=β (in basso) e 4.1=β (in alto)

Autovalori nell’origine al variare dei parametri sulla curva hom

I valori critici corrispondono alle risonanze

3212,113221 ,,, λλλλλλλλλ −−=−ℜ==−= e

••• La seconda risonanza non dà origine a esplosione omoclina perché 32 λλ = non è dominante

α


Biforcazioni omocline degeneri Champneys et al.(1994)

Nel punto C , e l’orbita omoclina è orientabile (A<0) : Resonant side-switching

Da questo punto parte una curva di coppie

di cicli nodo-sella at che termina sulla curva Hopf nel punto A ove

Nel punto E , : Fuoco-sella risonante Una serie infinita di curve di biforcazione di codimensione uno si accumulano sulla curva H8 (qui hom) al di sopra del punto E Queste corrispondono a biforcazioni tangenti e raddoppio di periodo di orbite periodiche e a biforcazioni n-omocline (esplosione omoclina) Il diagramma di biforcazione completo è tuttora ignoto

Nelle biforcazioni tangenti di cicli precedenti hanno origine orbite periodiche asintoticamente stabili per divergenza nell’origine negativa ( ), totalmente instabili altrimenti

0=rσ

01 =L

0=cσ

02 <σ


Biforcazione fuoco-sella risonante Punto di Belyakov

o Il periodo dell’orbita periodica, che nasce

per biforcazione di Andronov-Hopf supercritica, tende a infinito al suo avvicinarsi al loop omoclino raddoppiando il suo periodo in una cascata alla Feigenbaum, intervallata da una successione di biforcazioni nodo-sella di cicli

Legenda : →=→= 0;hom0 21 αα 0=cσ

{ } ∞1

)1(jS : tangente di cicli con # di rotazioni

attorno al fuoco-sella crescente

{ } ∞1

)2(kH : doppie omocline

{ } ∞1

)3(mkH : triple omocline ...


Diagramma di biforcazione per il circuito di Chua

Legenda : →= sp simm. →= ap asimm. i

pf - tangente di cicli i

pd - raddoppio di periodo i

pb - rottura di simmetria


Orbite periodiche simmetriche


Nascita e morte dell’attrattore Double Scroll Bykov (1997)

H1 SN D1 RA BA DA SNj


Orbite confine

La coppia di orbite stabile-sella, nata su SN ( st ), Il contorno omoclino nel punto T costituito dai circonda il double scroll; la varietà instabile due fuochi- sella non nulli connessi l’un l’altro del ciclo sella L è la traiettoria che li unisce da una coppia di orbite eterocline


Punti omoclini, orbite omocline di Poincaré e ferri di cavallo

Le varietà stabili e instabili di un punto periodico sella si intersecano in un punto omoclino trasverso, dunque in un’infinità numerabile, creando un groviglio omoclino, così Poincaré chiamò queste orbite, la cui dinamica iperbolica (strutturalmente stabile) è descritta dal ferro di cavallo di Smale.

In particolare, esistono infinite orbite iperboliche di tipo sella


Nascita e morte dell’attrattore Double Scroll – un paradigma

Il regime caotico è causato da un’orbita eteroclina di intersezione tra la varietà stabile bidimensionale del fuoco-sella nell’origine e la varietà instabile di un’orbita periodica sella. Queste possono essere interne alla coppia di attrattori di tipo Rossler nati per cascata di raddoppio di periodo, oppure orbite simmetriche.

Si crea un dominio assorbente, ovvero una regione trappola per le orbite del sistema.

Lo strano quasi-attrattore muore quando si ha una orbita eteroclina tra la varietà stabile dell’orbita simmetrica sella L e la varietà instabile dell’orbita sella, nata dal contorno omoclino nel punto T , che è confine dell’insieme iperbolico caotico. In questo caso si genera un’orbita eteroclina tangente: siamo in una regione di Newhouse, dove il sistema è strutturalmente instabile.


Crisi

I fenomeni causati dalla presenza di intersezioni omocline o eterocine vengono detti crisi dell’attrattore. Queste possono essere interne o di confine

In entrambi i casi si una drastica trasformazione dei bacini di attrazione Nel primo caso, si ha una brusca variazione della taglia dell’attrattore,

nel secondo, un cambiamento di dimensione degli attrattori del sistema

crisi interna crisi di confine


Sincronizzazione

Due circuiti di Chua, il cui più grande esponente di Lyapunov vale 48.01 =λ , accoppiati con

coefficiente di accoppiamento 215.0 1λ<=c (a sinistra) e 23.0 1λ>=c (a destra)


Bibliografia partigiana

Shil’nikov,L.P.(1993) Chua’s circuit: rigorous results and future problems, Int. Journal of Bifurcations & Chaos 4 (3), 489-519 Alligood,K.T., Sauer,T.D.& Yorke,J.A., (1996) Chaos: an Introduction to Dynamical Systems, Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg

Matsumoto,T., Chua,L.O. & Komuro, M. (1985) The double scroll, IEEE Trans.Circ.Syst.32, 798,818 Chua,L.O., Komuro,M.& Matsumoto,T. (1986) The double scroll family, Parts 1,2 IEEE Trans.Circ.Syst.33, 1072-1118 Chua,L.O. (1993) Global unfolding of Chua circuits, IEICE Trans. Fund. El. Comm.& Comp .Sci. 76-SA, 704-734 Shil’nikov,L.P., Shil’nikov,A.L., Turaev,D.V.& Chua,L.O. (2001) Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics, World Scientific, N J, London, Singapore, Hong Kong Komuro,M., Chua,L.O. & Hotta, A. (1991) Global bif. analysis in the double scroll circuit, Int. Journal of Bifurcations & Chaos 1, 139-182 Khibnik,A.I., Roose,D.& Chua,L.P. (1992) On periodic orbits and homoclinic bifurcations in Chua’s circuit with a smooth nonlinearity, Int. Journal of Bifurcations & Chaos 3(2), 363-384 Champneys,A.R. & Kuznetsov,Yu.A. (1994) Numerical detection and continuation of codimension-two homoclinic bifurcations Int. J. of Bifurcations & Chaos 4 (4), 785-822 Bykov,V.V. (1997) On bifurcations leading to chaos in Chua’s circuit, Int. Journal of Bifurcations & Chaos 8(4), 685-699


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