1

Campi e forze magnetiche Proprieta’ dei magneti (calamite) i)  Possiedono poli nord e sud ii)  Poli simili si respingono, poli diversi si attraggono iii)  Poli magnetici non si possono isolare

Proprieta’ analoghe a quelle della carica elettrica

proprieta’ distinta

spezzando N N N S S S ⇒

Il campo magnetico - rappresentazione geometrica.Come per il campo elettrico, e’ utile definire linee di forza magnetica: “ una linea di forza magnetica e’ tale che la tangente a qualsiasi punto e’ parallela a la forza su un polo nord” ma siccome non e’ possibile isolare un polo Nord, una definizione piu’ pratica e’: “la tangente a qualsiasi punto di una linea di forza magnetica e’ la direzione nella quale si orienta l’ago di una bussola.”

Polo Nord geografico

Polo Sud magnetico

N S

S

M

2

Si nota, inoltre (per es. usando una bussola) che esistono campi magnetici in vicinanza di correnti elettriche. Si trova, ad esempio, che le linee di forza magnetica nei pressi di un filo lungo e retto portante corrente I sono circolari e concentriche con il filo:

I

I

Si ottiene il verso di rotazione applicando la Regola della vite destrosa “Una vite destrosa che avanza in direzione di , ruota nello stesso verso delle linee di forza.” I

Alternativamente, si puo’ usare la “regola della mano destra” ( si veda il testo ). Applicando queste regole, si arriva ad un idea qualitativa del campo magnetico, es:

annello portante corrente I un solenoide

x

3

Proprieta’ delle linee di forza magnetica (i)  La tangente a qualsiasi punto e’ // alla direzione della forza su un polo Nord (ii)  La densita’ delle linee e’ proporzionale alla forza (iii)  Due linee non possono incrociarsi (iv)  Non hanno inizio o fine (v)  Il verso di rotazione (intorno ad ) e’dato dalla regola della vite destrosa

La forza magnetica su carica in moto – e la definizione quantitativa del campo magnetico

vBF

Un carica q che si muove in un campo magnetico con velocita’ risente di una forza tale che;

B

v F

θsenFBFvF

vFqF

∝

⊥⊥

∝

∝

e

(i) (ii)

(iii) (iv)

Si possono riassumere queste osservazioni con: BvqF

×= θqvBsenF =

Unita’ Nel S.I., l’unita’ di campo magnetico e’ il Tesla ( T ): ( ) mAN

smCNT

.11 ==

Nel sistema c.g.s. l’unita’ di e’ il Gauss : 1 Gauss = 10-4Tesla valori rappresentativi: Il campo terrestre ~ 1 Gauss. Un magnete permanente forte: ~ 0.2 T

q •θ

In questa espressione e’ implicita’ la definizione quantitativa di . B

I

4

Si consideri una particella (massa m ) avente carica positiva qche si muove con velocita' v in un piano ⊥ un campo magnetico uniforme

B. Allora, la forza magnetica su m e':

F = qv ×

B cioe' F = qvBsen 90o( ) = qvB e

F e' sempre ⊥ v

Segue che v rimane costante e m descrive moto circolare uniforme, cioe:

qvB =mv2

r ⇒ r =mvqB oppure r = p

qBdove p e' la quantita' di moto . La velocita' angolare ωc e' data da'

ωc = vr =

qBm

ed il periodo di rotazione da':

τ c = 2πωc

=2πmqB

La frequenza νc e' data da:

νc = 1τ c=

qB2πm

νc e' detta la frequenza di ciclotrone

Il moto di una particella carica in un campo magnetico uniforme

Si noti che, particelle identiche, con velocita’ diverse circolano con la medesima frequenza ( la frequenza non dipende dalla velocita’). Pero’ il raggio di circolazione aumenta con la velocita’ v: . Queste proprieta’ furono sfruttate per costruire un acceleratore.

cνqB

mvr =

⊗ ⊗ ⊗

⊗ ⊗ ⊗ ⊗

⊗

⊗

⊗ ⊗

⊗

⊗

⊗⊗⊗

B

•q vF

r

m

5

Il Ciclotrone (E.O.Lawrence Nobel 1931). Le componenti essenziali sono un magnete, due elettrodi di forma D ( e dunque detti Dees )

( )tE

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 2

ctE τ

B

S

N

~

sorgente

( )tE

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 2

ctE τ

Elettrodo d’estrazione

f.e.m. alternata ( oscillante)

Dee

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

B

Sezione verticale

Sezione orizzontale

L’ione viene introdotto vicino al centro con velocita’ , a tempo t0 . L’interno dei Dee si approssimano bene ad una cavita in un conduttore a modo che l’ione non risente dell’effetto del campo elettrico quando si trova all’interno delle cavita’: avverte solo il campo magnetico e compie, quindi, moto circolare con:

0v

0v

qBm

qBmvr c

πτ

2 e 00 ==

collegati ad una f.e.m. alternata a modo che il campo elettrico tra i Dees cambi direzione con la frequenza di alternanza

6

Successivamente, a t=t0+τc/2 , l’ione raggiunge lo spazio tra i Dee dove risente del campo elettrico che, in questo momento, ha direzione corrispondente a quella di moto dell’ione. L’ione viene dunque accellerato mentre si trova nello spazio tra il Dee. Entra quindi nella cavita’ del secondo Dee con velocita’ aumentata e compie nuovamente moto circolare con raggio aumentato fino a raggiungere lo spazio tra gli Dee (a t=t0+τc ) quando la direzione del campo elettrico, che oscilla con la medesima frequenza di ciclotrone, sara’ nuovamente quella della direzione di moto. L’ione viene cosi’ accelerato ad ogni passaggio tra i Dee, aumentando progressivamente la propria energia cinetica ed il proprio raggio di circolazione fino a raggiungere quello del ciclotrone dove viene estratto per mezzo di un elettrodo estrattore. Allora:

mRBqmvK

mqBRv

221 e

2222maxmaxmax ===

Esempio: Un ciclotrone ( B=0.8 T, R=0.3 m ) accellera protoni ( q = 1.6 x 10-19 C, m = 1.7 x 10-27kg ) Si calcoli (a) La frequenza dell’oscillatore:

( )( )( ) MHzs

kgTC

mqB

c 121012.0107.12

8.0106.12

1827

19

=×≈×

×== −

−

−

ππν

7

(b) la velocita’ massima dei protoni

( )( )( ) smkg

mTCm

qBRv /103.2107.1

3.08.0106.1 727

19

max ×=×

×==

−

−

( ~ 1/10 la velocita’ della luce )

(c) l’energia cinetica al momento di estrazione

( ) ( ) ( ) ( )( ) MeVJ

kgmTC

mqBRE 8.2104.4

107.123.08.0106.1

213

27

222192

max ≈×≈×

×== −

−

−

dove un MeV (mega electron volt o 106 eV ) e’ un energia dell’ordine di quelle dei componenti nucleari all’interno del nucleo. Il ciclotrone dell’esempio genera dunque un energia abbastanza elevata per spezzare alcuni nuclei.

1 electon Volt (eV) = 1,6.10-19C . 1V = 1,6.10-19C . 1J/C = 1,6.10-19J 1 Mega electron Volt (MeV) = 106eV = 1,6.10-13J

NB!

8

nella lamina, dove q e’ la carica libera e e la velocita’ di migrazione. (nel caso di una lamina metallica, q=-e e ) . La carica libera in moto nel campo magnetico risente di una forza magnetica

Moto in presenza di e di - La forza di Lorenz E

B

( )BvEqF

oppureBvqEqF

×+=

×+=

,

la forza di Lorenz

L’effetto Hall (E.H. Hall – 1879) Si consideri una lamina conduttrice in un campo magnetico uniforme e perpendicolare al piano della lamina. Collegando una f.e.m. alle estremita’ si

-e

ε

A

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

B

TE d

J BF

EF

- - - - - - - - - - - - -

+ + + + + + + + + + + +

V I

produce un corrente I = dove A e’ l’area di sezione della lamina

vnqJ = v

v

Jv ˆˆ −=

( )elettroniper BveFBvqF BB

×−=×=

verso un bordo della lamina. Di conseguenza, carica libera si accumula a quel bordo, lasciando un bilancio di carica del segno opposto all’altro bordo. Queste accumulazioni di carica danno luogo ad un campo elettrico trasversale che esercita’ una forza orientata in direzione opposta a .

TE

TE EqF

= BF

AJ⋅

A

9

L’accumulazione di carica ai bordi si ferma quando cioe’ quando; EB FF =

T

T

EvB

qEqvB

=

=

cioe'

A causa del campo elettrico, esiste un differenza di potenziale VH tra i bordi della lamina dove, dEV TH =

e d e’ la larghezza della lamina. Collegando un voltmetro ai bordi della lamina, si misura VH e, misurando I con l’amperometro, si puo ricavare B :

(1)

(2)

€

I = nqAvda cui

v =I

nqAdove A e' l'area della sezione della lamina. Sostituendo da (1) in (2); VH = vBde sostituendo da (3);

VH =I

nqABd dove 1

nq viene chiamato il "coefficiente Hall "

L’effetto Hall puo’ anche essere usato (se si conosce B ) per studiare le proprieta’ della carica libera.

(3)

10

( )

( )( )

BlIdBvnqdFd

dlnqd

vnqdlId

AdldAdlvnqlIddlI

AvnqI

×=×=

=

=

==

=

)(

che; segue , elementonell' contenuta carica la e' ma,

scrivere; puo' si volumedi elementol' siccome

τ

τ

τ

τ

Forze magnetiche su fili con corrente: Per un filo di sezione uniforme e sezione A e n cariche libere per unita’ di volume:

l

ld

B

θ

Α

I

e che la forza totale sul filo di lunghezza l e’ ;

a b

∫ ×=b

a

BlIdF

Se il filo e’ retto ed uniforme, e se e’ uniforme ; B

BlIIBlsendlIBsendlIBsenFb

a

b

a

×==== ∫∫

θϑθ

Forza magnetica su un circuito chiuso in un campo magnetico uniforme. F = I d

l ×B = − I

B× dl = −I

B× d

l∫∫∫

e siccome dl = 0 segue che

F = 0∫

Si noti pero’ che, mentre la forza totale , potrebbe communque aversi una copia meccanica diversa da zero.

0=F

11

F2 = I

a× Bx( ) = IaBsen 90−α( ) −z( ) = −IaBcosα zF3 = I −

a( )× Bx( ) = IaBcosα zcioe'

F2 +F3 = 0 e', siccome si trovano nel

medesimo piano, non producono momento meccanico.F1 = I bz( )× Bx( ) = IbByF4 = I −bz( )× Bx( ) = −IbBySegue che

F1 +F2 = 0

La risultante di tutte le forze magnetiche e' dunquenulla (come ci si aspettava), ma

F1 e

F4 non sono coplanari

e danno luogo ad un momento meccanicoτ =a×F1 = IbB

a× y{ }= IbBasenα ze siccome ab = A ( l'area della spira ), segue che; τ = IABsenα

oppure, definendo A = An (dove in verso di n e' dato dalla egola della vite destrosa,

τ = I

A×B

Momento meccanico su una spira in un campo magnetico

x

y

z

Bn

b

a

1F

2F

3F

4F

I

α

y

x

⊗I

1F

4F

nB

α

Si consideri una spira rettangolare in un campo magnetico uniforme . xBˆ

A

€

a

€

a

12

Si noti che il momento meccanico tende ad allineare con . E’ solito definire un dipolo magnetico in modo tale che:

n B

µ

BAI

×== µτµ allora

Queste espressioni sono valide per un spira di qualsiasi forma, es.; una bobina di N spire

I

Bθ

A

θτ

µ

µτ

NIABsenANInNIA

B

=

==

×=

ˆ

Questo e’ il momento meccanico alla base del funzionamento di un galvanometro oppure di un motore eletttrico ⋅

⊗

A

µ

I

B

θ

visto dal lato

€

µ

13

Campi magnetici da correnti elettriche Come si osservano forze elettriche tra cariche si osservano anche forze magnetiche tra correnti. Questo perche, come la carica elettrica e sorgente di campo elettrico, la corrente elettrica e’ sorgente di campo magnetico. La legge di Biot et Savart: Si consideri un filo sottile, portante corrente I. Nel S.I. il campo ad un punto P dovuto ad un elemento di corrente di lunghezza e dato da:

20 ˆ4 r

rldIBd ×=

πµ

ld

I ld

rr

BdP

dove µ0 e’ la permeabilita’ magnetica del vuoto AmT /. 104 7

0−×= πµ

I ld

rr

Bd

•

Visto dal lato

b

b

20

4 rdlsenIdB θ

πµ

= θ

14

Il principio di sovrapposizone vale anche per campi magnetici. Segue che il campo dovuto ad una lunghezza l di filo e’;

∫×

=l r

rldIB 20 ˆ4

πµ

Se il filo e’ uniforme e diritto la direzione di non cambia e l’integrale vettoriale si riduce ad un integrale scalare, cioe’

∫=l rdlsenIB 2

0

4θ

πµ

Esempio: vicino (distanza b ) ad un filo retto, lungo ed uniforme, portante corrente I.

B

x

dx

r

I θ

b

P

( )

( )

( ) ( ){ }

bI)(

bIB

bxxbx

x

bx

xbIB

bxbdxIB

bxbsenbxr

rdxsenIB

x

x

x

x

πµ

πµ

πµ

πµ

θ

θπµ

211

4

, e se e 4

allora

4

ottiene; si , osostituend

4

00

212

1221

1

2122

2

20

2/3220

22222

20

2

1

2

1

=−−=

>>⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−

+=

+=

+=+=

=

∫

∫

Bd

15

Esempio: Campo magnetico sull’asse di una spira circolare di raggio a con corrente I.

P

b

dθ a

sd

φ

r

φBd

( ) 2/322

20

3

20

20

20

2

02

0

20

20

20

20

2

222

44

; verticalicomponenti delle somma la Rimarra' no.annulleran si iorizzontal componenti le opposto,

mentediametrica altroun esiste elemento ogniper Siccome

cos4

e 4

ottiene; si )(z, ecilindrich coordinate alle basein oscomponend e4

ˆ siccome e ˆ

4

baIaB

rIa

raIsena

rsenIds

rsenIB

dsrdsIdBsen

rdsIdB

rdsIdBrsd

rrsdIBd

z

a

z

z

+=

====

==

=⊥×

=

∫

µ

µφµπ

φπµφ

πµ

φπµ

φπµ

ρπµ

πµ

π

ρ

r

I

zρ

16

Forza tra due fili rettilini, lunghi e paralleli

1I

2I

1ld

1Fd

•

pagina dalla uscente B

( )

bII

dldF

dlbIIBsendlIdF

IBldIFd

dlFd

uscenteBbIB

IldB

πµ

πµ

π

πµ

2

da; data dunque e' lunghezza di unita'per forza La2

2/

;e' forza della modulo Il .con filo il verso

dunque; e' su magnetica forza La

pagina. dalla e' ˆ2

;e' di presenza alla dovuto , presso

210

1

1

1210

111

2

111

11

20

21

=

==

×=

=

Si noti che i fili si attraggono quando le correnti sono parallele e che si respingono quando le correnti sono antiparallele. Il fenomeno e’ alla base della definizione operativa dell’unita’ di corrente:” un ampère e’ la corrente che, passando per due fili retti, lunghi, paralleli e a distanza di di 1m l’uno dall’altro, danno luogo ad una forza di tra di loro.” mN / 100,2 7−×

Verifica: mNmNbII

dldF /102

2104

1211104/

27

77210 −

−−

×=×

=×

×××==

ππ

ππ

πµ

b

17

La legge di Ampère ld

•

⊗

⊗1I

2I

3I

Una relazione equivalente alla legge di Biot et Savart e’:

IldB∫ =⋅ 0µ

Legge di Ampère

dove I e’ la corrente concatenata dal cammino d’integrazione. Si consideri, per esempio, il cammino in figura;

3020 IIldB µµ +−=⋅∫

Lo stesso risultato si otterrebbe per qualsiasi cammino che concatena I2 e I3. Si noti che il segno dipende dal verso della corrente e del cammino d’integrazione. I due versi sono collegati dalla solita regola della vite destrosa. Che la legge di Biot et Savart implichi la legge di Ampère e’ rilevato dal esempio di un filo retto e lungo portante corrente I, come illustrato in figura. Dalla legge di Biot e Savart:

⊗

r

sd

B

€

B =µ0I2πr

B e' tangenziale al cammino circolare e concentrico con il filo, cioe' B //d s

€

I

18

IrrIds

rIsdB

dsrIBdssdB

000

0

222

che e 2

che, Segue

µππµ

πµ

πµ

=⋅==⋅

==⋅

∫∫

Questo risultato puo essere facilmente generalizzato a qualsiasi cammino.

La dimostrazione conversa e’ altrettanto facile. Dalla simmetria segue che, per un filo retto e’ infinito deve essere circolare e concentrico con il filo. Allora, scegliendo un cammino d’integrazione coincidente con una linea di campo:

B

rBdsBsdB π2⋅==⋅∫ ∫

e, dalla legge di Ampere :

IsdB 0µ=⋅∫

Segue che

rIBIrBπµ

µπ2

2 00 =⇒= come ottenuto dalla legge di Biot e Savart.

⊗r

Bld

⊗

r

sd

B

€

I

Altro non si puo’ dire in base alla simmetria. Pero’, si puo usare la legge di Biot et Savart per calcolare il campo sull’asse del solenoide.

19

La legge di Ampère e’ utile per calcolare il campo generato da distribuzioni di corrente con ben definita simmetria. Es: un solenoide infinito (n spire per unita’ di lunghezza). Se ne consideri la sezione Dalla simmetria cilindrica, si puo’ concludere che:

R

z

r

rB

zasselB

da solo dipendere nteeventualme puo 2)

)ˆ('// )1

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • •

I

entrante

I

uscente

L’abbiamo gia’ utilizzata per calcolare il campo sull’asse di una spira. Il campo generato all’origine delle coordinate da una spira a distanza z dall’origine delle coordinate, e’ :

( ) 2/322

20

2 zRIRBz

+=

µ

Per calcolare il campo totale serve sommare su tutte le spire. Si consideri le spire (nΔz) contenute nell’elemento Δz . Il campo generato dalle spire in questo elemento di solenoide e:

( )( ) 2/322

20

2 zRzInRBz

+

Δ=Δµ

Δz

B

20

Per sommare su tutte le spire, si somma su tutti gli Δz. Nel limite in cui Δzà0, la somma tende all’integrale:

€

Bz =µ0R

2Indz2 R2 + z2( )3 / 2

−∞

+∞

∫ =µ0R

2In2

dzR2 + z2( )3 / 2

−∞

∞

∫ =µ0R

2In2

zR2 R2 + z2( )1/ 2

%

&

' '

(

)

* * −∞

∞

=µ0In

21− (−1)[ ]

Bz = µ0InNoto ora il campo sull’asse del solenoide, si puo’ sfruttare la legge di Ampère per calcolare il campo altrove. Si consideri, anzitutto il percorso rettangolare abcd. Applicando Ampère e ricordando che il campo e’ assiale, si ottiene,

R r

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • •

I

entrante

I

uscente

a b

c d

€

B ⋅ d l ∫ =

B ⋅ d l

a

b

∫ + B ⋅ d l

b

c

∫ + B ⋅ d l

c

d

∫ + B ⋅ d l

d

a

∫

= B 0( )l + 0 − B r( )l + 0

= B 0( ) − B r( )[ ]ll

In base alla legge di Ampère,

€

B ⋅ d l = 0∫

perche non vi e’ corrente concatenata dal percorso abcd. Segue che:

€

B r( ) = B 0( )cioe’ che il campo magnetico e’ uniforme all’interno del solenoide.

e f

g h

l’

r’

21

Per calcolare il campo all’esterno del solenoide si applica il teorema di Ampère al percorso d’integrazione efgh

€

B ⋅ d l ∫ = B(0) − B(r')[ ]l'= µ0 nl'( )I (la corrente concatenata)

e, essendoB(0) = µ0nIsegue cheB(r') = 0

Il campo e’ dunque nullo ovunque all’esterno del solenoide.

22

Un altro esempio, Il toroide: Il toroide e’ un solenoide ritorto su sestesso a modo che le spire vengono a formare le pareti di un “tubo” chiuso. La sezione di un toroide e’ rappresentata in figura. Sono evidenziate solamente alcune delle spire costituenti.

•••••••

⊗⊗⊗⊗

⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗

Ri

Re

Dalla simmetria, si puo’ concludere che:

rBB

da dipendere nteeventualme puo' 2) toroideilcon oconcentric e circolare e' )1

)illustrato (quello toroidedel simmetra di piano nel

B

ld

r

I entrante

I uscente

Scegliendo un cammino circolare coincidente con una delle linee di forza magnetica ed applicando la legge di Ampère si ottiene:

€

B ⋅ d l = µ0∫ NI

dove N e’ il numero totale di spire nel toroide. E poiche’ il percorso d’integrazione coincide con un linea di forza magnetica a r costante,

B r( ) ⋅d

l = B r( )dl = B(r)∫ dl =∫ 2πrB∫ (r)

segue che

€

B =µ0NI2πr

Ri < r < Re

Considerando un cammino circolare con r<Ri oppure r>Re e’ facile dimostrare che

€

B(r) = 0 per r < ri e per r > re

23

La legge di Gauss per il campo magnetostatico Un altra legge fondamentale del campo magnetico e:

€

ΦB = B ⋅ d A = 0∫ Legge di Gauss per il campo magnetico

Questa legge implica che non esiste carica magnetica, ovvero, che le linee di forza magnetica sono chiuse. Vale dire che non hanno inizio o fine, a contrario di quanto succede per le linee di forza elettrica che iniziano su carica postiva e terminano su carica negativa. E’ chiaro dunque che lo stesso numero di linee di forza magnetica che entrano una superficie chiusa deve uscirne.

⊗

esempio di superficie Gaussiana

24

In base al teorema della divergenza, sappiamo di poter scrivere la legge di Gauss in forma differenziale:

Forma differenziale

∇⋅E = ρ /ε0 per il campo elettrico e

∇⋅B = 0

dove ρ e’ la densita’ di carica elettica e, dal momento che non esiste carica magnetica,

per il campo magnetico

Sfruttando il teorema di Stokes: per un campo vettoriale , definito sulla superficie A ),,( zyxf

r

⋅ Ad

A

'r

ld

( ) AdrfldrfA

⋅×∇=⋅∫ ∫ )'()(

e, sostituendo ad : E

f

Ricordando che, per situazione stazionaria:

( ) AdEldEA

⋅×∇=⋅∫ ∫

E ⋅dl = 0∫

Per qualsiasi cammino

25

∇×B = µ0

J

∇×E = 0 per il campo eletrico e

Si ottiene la forma differenziale della seconda legge fondamentale per il campo elettrico- magnetico stazionario:

Analogamente, sostituendo per nel teorema di Stokes , si ottiene : B f

B ⋅dl =

∇×B( )

A∫∫ ⋅d

A

E ricordando la legge di Ampere per situazione stazionaria;

B ⋅dl = µ0∫ I = µ0

J ⋅dA

A∫

dove J e’ la densita’ di corrente, si conclude che

26

Elenchiamo ora le quattro leggi fondamentali dell’elettromagnetismo in condizioni stazionarie.

per il campo elettrico per il campo magnetico

∫ =⋅=Φ 0AdBB

∫ =⋅=Φ 0/εQAdEE

Legge di Gauss

IldB∫ =⋅ 0µ

Legge di Ampère 0=⋅∫ ldE

il campo elettrico e’ conservativo

Il campo magnetico Non e’ conservativo

Queste quattro equazioni riassumono quanto si sa’ del campo elettromagnetico quando non varia in funzione del tempo

Si noti la simmetria tra le equazioni che descrivono il campo elettrico e quelle che descrivono il campo magnetico. Il fatto che Riflette semplicemente la mancaza di carica magnetica (che, a suo turno implica la mancanza di corrente magnetica) che rende conservativo il campo elettrico stazionario.

0/ mentre 0 εQΦEB ==Φ

Legge di Gauss (non esiste carica magnetica)

∇⋅E = ρ /ε0

∇⋅B = 0

∇×E = 0

∇×B = µ0

J