4.3 Distanze

Il concetto di distanza, intuitivamente, e legato all’idea di percorso piubreve, quindi, in Geometria Euclidea, si tratta di un segmento.Con il termine distanza si indicano sia l’ente geometrico sia la sualunghezza.

E un concetto molto importante, tramite cui si definisce l’altezza in unpoligono.

Tra quali enti geometrici ha senso definire la distanza?

Definiamo tre distanze:

I La distanza tra due punti e il segmento che ha quei due punti comeestremi (e anche la sua lunghezza).

I La distanza tra un punto e una retta e il segmento che ha un estremoin quel punto e uno sulla retta e che e perpendicolare alla retta.

I La distanza tra due rette parallele e un segmento che ha gli estremisulle due rette ed e ad esse perpendicolare.

Si puo definire la distanza tra rette incidenti?Si puo definire la distanza tra rette coincidenti?

Quali attivita di tipo motorio si possono proporre?

Quali potrebbero essere gli errori tipici nella rappresentazione delladistanza?

Attivita. Distanza tra punti su un percorso obbligato (da PRISTEM).Ecco il piano delle strade di Triangopoli, dove ogni lato dei triangolinimisura 1 km. Jacob si trova nel cortile della sua abitazione (A) e prendela bicicletta per andare a scuola in via Bognetti (B). Quale distanzapercorrera Jacob al minimo?Quali sono i possibili percorsi minimi?

E possibile disegnare questa sagoma su un cartellone e prendere lemisure. Poi ci si puo chiedere se per Jacob sarebbe stato piu comodo seavessero costruito un’altra strada.

Punto medio e asse.

Dato un segmento, il suo punto medio e il punto appartenente alsegmento ed equidistante dai suoi estremi.

L’asse di un segmento e la retta che passa per il suo punto medio ed eperpendicolare al segmento stesso.

L’asse gode di una proprieta: e il luogo dei punti equidistanti dagliestremi del segmento.

Attivita. Costruire, in palestra, un segmento e il suo asse. Verificare laproprieta con delle corde.

Attivita. Costruzione dell’asse di un segmento (e del suo punto medio)con riga e compasso.

Abbiamo gia visto questa costruzione perche viene sfruttata quando sivuole costruire la retta perpendicolare a una retta data e passante per unpunto.

Attivita. La riva del fiume (da Kangourou, 2005).Sulla riva di un fiume un tratto rettilineo lungo 8 m viene limitato da duepaletti A e B. Considerando tale tratto come un segmento, viene gettatoun ponte che costituisce l’asse del segmento e attraversa il fiumeterminando nel punto C. Altri due ponti rettilinei vengono posti a partiredai due estremi A e B fino al punto C.

Quale dei tre ponti ha lunghezza minore?

Se uno dei due ponti laterali misura 5 m e la somma delle lunghezze deitre ponti 13 m, quanto misura il ponte centrale?

4.4 Il semipiano

Si chiama semipiano ciascuna delle due parti di piano separate da unaretta (compresa). La retta viene denominata origine del semipiano.

4.5 L’angolo

Scriviamo alcune definizioni di angolo

e alcuni termini legati al concetto di angolo.

L’angolo e una parte di piano delimitata da due semirette che hannol’origine in comune (semirette comprese).

Chiameremo vertice dell’angolo l’origine comune delle due semirette e latidell’angolo le semirette stesse.

Quali misconcetti?

Da che cosa sono ingenerati?

Il concetto di angolo puo derivare da molte esperienze: il cambiamento didirezione, la rotazione e l’intersezione di due semipiani.

Angolo come rotazione:

Attivita. Rappresentazione, verbalizzazione, ... utilizzando opportunistrumenti.

Angolo come cambiamento di direzione:

Attivita. Spazzare angoli sulla farina.

Angolo come intersezione di semipiani:

Attivita. Utilizzare corde tese (che rappresentano le rette cheindividuano i semipiani). Passare dall’attivita motoria, allaverbalizzazione, alla rappresentazione dall’alto.

Testi scolastici.

Testi scolastici.

Testi scolastici.

Notazioni. Gli angoli si possono indicare in vari modi:

I tramite una lettera greca: ad es. α;

I attraverso una semiretta, il vertice e l’altra semiretta: aV b;

I con le sole semirette: ab;

I tramite un punto su una semiretta, il vertice e un punto sull’altrasemiretta: AVB ;

I attraverso il solo vertice: V .

Attenzione!

I Due angoli!

I Parte di piano illimitata!

I Semirette, non segmenti! Ed evitare lati della “stessa lunghezza”!

Confronto di angoli. Due angoli aV b e cOd sono congruenti se,facendo coincidere il vertice V con il vertice O e un lato del primo angolo(supponiamo a) con un lato del secondo angolo (supponiamo c),coincidono anche gli altri due lati e le regioni angolari.

Se cosı non e, si possono collocare gli angoli in modo che coincidano unlato e il vertice e uno sia interamente contenuto nell’altro. In tal caso ilprimo e minore del secondo.

Rilevazione Nazionale INValSI 2009/2010, classe V

Come e stata scelta la raffigurazione? Quali sono le possibili difficolta?

Strumenti per il confronto.

I Ricalcare gli angoli tramite la carta velina e sovrapporre.

I Strumento che consente di effettuare piu misurazioni:

I Costruzione geometrica con riga e compasso.

Potendo trasportare un angolo, con riga e compasso, possiamo anchecostruire la retta parallela a una retta r data e passante per un punto Pesterno a r .

Oppure, analogamente:Link

Classificazione di angoli.

Gli angoli si classificano in base a...

Concavita e convessita.

Angolo concavo Angolo convesso

Maggiore dell’angolo piatto Minore dell’angolo piatto

Contiene i prolungamenti dei lati Non contiene i prolungamenti dei lati

Esistono segmenti con gli estremi Contiene tutti i segmenti

nell’angolo che non sono interam. che hanno gli estremi nell’angolo

contenuti nell’angolo stesso

Classificazione di angoli.