MATEMATICA FINANZIARIA e ATTUARIALE Pavia 11/ 4/2008

COGNOME e NOME: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n. di matricola: . . . . . . . . . .

(Come noto, il risultato finale dell�importo dei capitali, espresso in euro,deve essere arrotondato al centesimo più prossimo)

Questioni di teoria

T.1) Descrivere la "assicurazione elementare, caso morte", e, precisata la variabile casuale che la carat-terizza, dimostrare come si perviene alla determinazione del relativo premio unico puro.

T.2) Scrivere la de�nizione di vita residua, vita media residua e vita probabile per una testa di età x;appartenente a una collettività C di individui, caratterizzata da una funzione di sopravvivenza lx :

Con riferimento alla scelta tra progetti economico-�nanziari:

T.3a) precisare la struttura matematica del relativo problema decisionale;

T.3b) caratterizzare il concetto di operazione �nanziaria integrativa.

Esercizio n. 1

Considerati i seguenti progetti �nanziari A e B:

0 1 anno e 6 mesi 3 anni 4 anni e 3 mesi 7 anniA: �500:000 �50:000 +110:000 +470:000 +130:000B: �500:000 �150:000 +600:000 +200:000

1.a) determinare l�ordinamento di preferibilità tra A e B; in base al criterio del montante �nale REFdel progetto, e¤ettuando le valutazioni ai tassi del 2% e del 7%, rispettivamente, per le poste positivee negative;

1.b) determinare l�ordinamento di preferibilità tra A e B; in base al criterio del TRM del progetto,e¤ettuando le valutazioni ai tassi del 2% e del 7%, rispettivamente per i saldi positivi e negativi;

1.c) precisare motivatamente (senza e¤ettuare calcoli) se l�ordinamento di preferibilità tra A e B; inbase al criterio del REA(i) è diverso o uguale all�ordinamento ottenuto in base al montante �naleREF (i); qualora le valutazioni, in entrambi i criteri, siano e¤ettuate allo stesso tasso i; con i > 0;

1.d) scrivere la relazione che permette di calcolare il REA(i) dei progetti A e B noto il rispettivoREF (i); qualora le valutazioni siano e¤ettuate allo stesso tasso i; con i > 0;

1.e) determinare l�ordinamento di preferibilità tra A e B; in base al criterio del pay�back del progetto,NB I tassi considerati sono annui in regime di capitalizzazione composta, convenzione esponenziale.

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Esercizio n. 2Considerati; con K > 0; i seguenti progetti �nanziari A e B:

0 2 anni 2 anni e 6 mesiA: capitali in e �200:000; 00 +180:000; 00 +100:000; 00B: capitali in e �200:000; 00 �20:000; 00 +K

2.a) determinare l�ordinamento di preferibilità tra A e B; in funzione di K; in base al criterio del REAe¤ettuando le valutazioni al tasso annuo del 4%; nominale convertibile semestralmente;

2.b) caratterizzato, e rappresentato sull�asse dei tempi, il progetto C = 4A +1

4B, in funzione di K,

scrivere l�espressione che permette di calcolarne il REA utilizzando le proprietà del criterio, al tassoannuo del 4%; nominale convertibile semestralmente.

2.c) esprimersi motivatamente circa l�esistenza o meno del tasso interno (annuo, in regime di capitaliz-zazione composta, convenzione esponenziale) dei due progetti e, in caso a¤ermativo precisarne il segno(nel caso del progetto B; al variare di K).

In relazione al progetto A :

2.d1) studiare analiticamente e rappresentare gra�camente il REAA; al variare di i; con i > �1;2.d2) scritta l�espressione che permette di determinare il tasso interno di rendimento, iA; annuo, inregime di capitalizzazione composta, convenzione esponenziale, indicare iA sul gra�co di cui al puntoprecedente.

Esercizio n. 3

Un 27-enne stipula una polizza che prevede, tra 30 anni, la riscossione dei seguenti capitali:

un capitale di e 80:000; 00; se lui e la moglie, attualmente 25-enne, saranno vivi;

un capitale di e 50:000; 00, in caso di sua premorienza;

un capitale di e 60:000; 00, se la moglie sarà viva.

Scrivere l�espressione che consente di calcolare quanto segue:

3.a) l�importo U del premio unico puro;

3.b) l�importo P di ciascuno dei 3 premi puri, triennali, costanti, il primo dei quali pagato allastipulazione del contratto;

3.c) l�importo UC del premio unico caricato, nell�ipotesi che il caricamento sia pari al 20% del premiopuro;

3.d) la riserva matematica dopo 10 anni dalla stipulazione della polizza nei diversi casi.

NB. Si utilizzino il simbolo v = (1 + i)�1 di attualizzazione composta al tasso i annuo, e, prima, leprobabilità di vita tpx e di morte tqx; e, poi, la funzione di sopravvivenza lx:

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MATEMATICA FINANZIARIA e ATTUARIALE Pavia 11/ 4/2008

RISOLUZIONE

Questioni di teoriaPer quanto riguarda le domande relative alla teoria, vedasi il manuale consigliato.

Risoluzione esercizio n. 1

1.a) Il montante �nale, REF (2%; 7%) ai due tassi semestrali, si ottiene come segue:REFA(3%; 5%) =

= �500:000 � 1; 077 � 50:000 � 1; 075;5 + 110:000 � 1; 024 + 470:000 � 1; 022+912 + 130:000 =

= �130:059; 1061 ' �130:059; 11 ;

REFB(3%; 5%) = �500:000 � 1; 077 � 150:000 � 1; 074 + 600:000 � 1; 022+912 + 200:000 =

= �165:929; 7558 ' �165:929; 76 ;con REFA(2%; 7%) > REFB(2%; 7%) si ha A(>)B;

1.b) il TRM(2%; 7%) ai due tassi annui, si ottiene come segue:

TRMA(2%; 7%) : S0 = �500:000; 00 S1 = �500:000; 00 � 1; 071;5 � 50:000; 00 ' �603:408; 30S2 = �603:408; 30 � 1; 071;5 + 110:000; 00 ' �557:862; 33S3 = �557:862; 33 � 1; 071;25 + 470:000; 00 ' �137:095; 14S4 = �137:095; 14 � 1; 072;75 + 130:000; 00 ' �35:130; 56 = TRMA(2%; 7%)

TRMB(2%; 7%) : S0 = �500:000; 00 S1 = �500:000; 00 � 1; 073 � 150:000; 00 = �762:521; 50S2 = �762:521; 50 � 1; 071;25 + 600:000; 00 ' �229:816; 02S3 = �229:816; 02 � 1; 072;75 + 200:000; 00 ' �76:812; 49 = TRMB(2%; 7%)

con TRMA(2%; 7%) > TRMB(2%; 7%) si ha A(>)B;

1.c) l�ordinamento di preferibilità tra A e B; in base all criterio del REA(i) è uguale all�ordinamentoottenuto in base al montante �nale REF (i); qualora le valutazioni, in entrambi i criteri, siano e¤ettuateallo stesso tasso, in quanto il regime di capitalizzazione composta è scindibile;

1.d) REAA(i) = REFA(i) � (1 + i)�7; REAB(i) = REFB(i) � (1 + i)�7;

1.e) l�ordinamento di preferibilità tra A e B; in base al criterio del pay � back :pay backA:

SA0 = �500:000 ; SA1 = �550:000 ; SA2 = �440:000 ; SA3 = +30:000 ; SA4 = +160:000 ;

pay backA = 4 anni e 3 mesi;

pay backB :SB0 = �500:000 ; SB1 = �650:000 ; SB2 = �50:000 ; SB3 = +150:000 ;

pay backB = 7 anni ! con pay backA < pay backB ! A(>)B;

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Risoluzione esercizio n. 2

2.a) L�ordinamento di preferibilità tra A e B in base al criterio del REA :essendo j2 = 4%, si ha i2 =

j22= 2% semestrale composto e, quindi:

REAA(2%) = �200:000; 00 + 180:000; 00 � 1; 02�4 + 100:000; 00 � 1; 02�5 == +56:865; 25767 ' +56:865; 26;

REAB(2%) = �200:000; 00� 20:000; 00 � 1; 02�4 +K � 1; 02�5 == �218:476; 909 + 0; 9057308K;

si ottiene REAA(2%) > REAB(2%) se +56:865; 26 > �218:476; 909 + 0; 9057308K! K < 304:000; 00 e, quindi, l�ordinamento di preferenza è il seguente:

A(>)B 0 < K < 304:000; 00A(=)B K = 304:000; 00A(<)B K > 304:000; 00

2.b) il progetto C = 4A+1

4B :

0 2 anni 2 anni e 6 mesi4A: �800:000; 00 +720:000; 00 +400:000; 00

1

4B: �50:000; 00 �5:000; 00 +1

4K

4A+1

4B: �850:000; 00 +715:000; 00 +400:000; 00 + 1

4K

REA(2%)C = 4 �REAA(2%)+1

4�REAB(2%) = +4 �56:865; 26+

1

4�(�218:476; 909+0; 9057308K) =

= +172:841; 81 + 0; 2264327K;

2.c) entrambi i progetti sono un investimento sulla base della successione dei segni delle poste (� �+ + + ) e, quindi, esiste (unico) il tasso interno di rendimento, TIR; annuo composto. Per quantorigurda il segno si ha quanto segue:il segno del tasso interno di rendimento iA; del progetto A; è positivo in quanto e la somma SA delle

poste è positiva e pari a + e 80:000; 00;il segno del tasso interno di rendimento iB; del progetto B; varia al variare del segno della somma

SB delle poste del progetto B e si ha: SB = �200:000; 00�20:000; 00+K > 0 ! K > 220:000; 00;perciò

0 < K < 220:000; 00 SB < 0 �1 < iB < 0K = 220:000; 00 SB = 0 iB = 0K > 220:000; 00 SB > 0 iB > 0

2.d1) In relazione al progetto A; la funzione REAA(i) :REAA(i) = �200:000; 00 + 180:000; 00v2 + 100:000; 00v2;5

REAA(0) = +80:000; 00 ;

limi!�1+

REAA(i) = +1 ; limi!+1

REAA(i) = �200:000; 00 ;

REA0A(i) = �2 � 180:000; 00 � v3 � 2; 5 � 100:000; 00 � v3;5 < 0 con i > �1;

REA00A(i) = +2 � 3 � 180:000; 00 � v4 + 2; 5 � 3; 5 � 100:000; 00 � v4;5 > 0 con i > �1;

2.d2) il tasso interno di rendimento, iA; annuo, del progetto A :

REAA(iA) = 0 ! �200:000 + 180:000 � (1 + iA)�2 + 100:000 � (1 + iA)�2;5 = 0:

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Risoluzione esercizio n. 3

3.a) Il premio unico puro U :

U = 80:000 � v30 �30 p27 �30 p25 + 50:000 � v30 � 30 q27 + 60:000 � v30 �30 p25 =

= 80:000 � v30 � l57l27� l55l25+ 50:000 � v30 � l27 � l57

l27+ 60:000 � v30 � l55

l25;

3.b) il premio puro, triennale, P :

P (1 + v3 �3 p27 + v6 �6 p27) = U ! P =U

1 + v3 �3 p27 + v4 �6 p27=

U

1 + v3 � l30l27+ v6 � l33

l27

;

3.c) Il premio unico caricato UC : UC = U + 0; 2U = 1; 2U ;

3.d) la riserva 10V27; 25 :

10Vvivo; viva27; 25 = 80:000 � v20 �20 p37 �20 p35 + 50:000 � v20 �20 q37 + 60:000 � v20 �20 p35 =

= 80:000 � v20 � l57l37� l55l35+ 50:000 � v20 � l37 � l57

l37+ 60:000 � v20 � l55

l35;

10Vvivo; morta27; 25 = 50:000 � v20 �20 q37 = 50:000 � v20 �

l37 � l57l27

;

10Vmorto; viva27; 25 = 50:000 � v20 + 60:000 � v20 �20 p35 = 50:000 � v20 + 60:000 � v20 �

l55l35;

10Vmorto; morta27; 25 = 50:000 � v20:

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