SU DI UN MODELLO ATTUARIALE PER LA VALUTAZIONE AL FAIR VALUE

DI CONTRATTI DI ASSICURAZIONE SULLA VITA

ANDREA FORTUNATI

DOTTORATO IN SCIENZE ATTUARIALI

DIPARTIMENTO DI SCIENZE ATTUARIALI E FINANZIARIE

UNIVERSITÀ DI ROMA LA SAPIENZA

COORDINATORE DEL DOTTORATO: PROF. F. GRASSO

TUTOR SCIENTIFICO: PROF. P. DE ANGELIS

DOCENTI ESAMINATORI: PROF. F. CETTA, PROF. P. DE ANGELIS,

PROF. N. E. D’ORTONA

ABSTRACT The aim of this paper is to analyze both the term structure of interest and mortality rates role for evaluating a fair value of a life insurance business. In particular, a fair value accounting impact on reserve evaluations is discussed comparing a traditional deterministic model based on local rules for an Italian balance sheet calculation and a stochastic one based on a diffusion process for both mortality and financial risks. As proposed by IAS Board I will separate the embedded derivatives from their host contracts, so the fair value of a traditional life insurance contract would be expressed as the value of four components: a basic contract, a participation option, an option to annuitise and a surrender option. A numerical application to a traditional Italian life insurance policy is discussed.

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INDICE 1 INTRODUZIONE 2 GLI INTERNATIONAL FINANCIAL REPORTING STANDARDS (IFRS) 2.1 IL PROCESSO DI DEFINIZIONE DEGLI IFRS 2.2 LA STRATEGIA DELLA COMUNITÀ EUROPEA IN TEMA DI MATERIA

CONTABILE 2.3 LO SVILUPPO DEGLI IFRS PER IL SETTORE ASSICURATIVO 2.4 L’IFRS 4 2.4.1 INSURANCE CONTRACTS 2.4.2 UNBUNDLING 2.4.3 DISCRETIONARY PARTICIPATION FEATURES 2.4.4 EMBEDDED DERIVATIVES 2.4.5 INVESTMENT CONTRACTS 2.4.6 DISCLOSURE 2.4.7 LIABILITY ADEQUACY TEST 3 IL FAIR VALUE DI CONTRATTI DI ASSIURAZIONE SULLA VITA 3.1 METODOLOGIE DI CALCOLO DEL FAIR VALUE 3.2 RAPPRESENTAZIONE DI UNA POLIZZA DI ASSICURAZIONE SULLA

VITA 3.3 IL MODELLO ATTUARIALE CLASSICO DI VALUTAZIONE 3.3.1 POLIZZE TRADIZIONALI 3.3.2 POLIZZE RIVALUTABILI 3.4 LE OPZIONI CONTRATTUALI 3.4.1 L’OPZIONE DI RISCATTO 3.4.2 L’OPZIONE DI RENDITA 3.5 IL FAIR VALUE E LA VALUTAZIONE MARK TO MARKET 3.5.1 DEFINIZIONE DEL MODELLO STOCASTICO DI MERCATO 3.5.2 LE VARIABILI BASE 3.5.2.1 L’incertezza dei tassi d’interesse 3.5.2.2 L’incertezza demografica 3.5.2.3 L’incertezza dei prezzi azionari 3.5.3 IL FAIR VALUE DEI CONTRATTI ASSICURATIVI 3.5.3.1 Polizze tradizionali 3.5.3.2 Polizze rivalutabili 3.5.3.3 L’opzione di rendita 3.5.3.4 L’opzione di riscatto 4 UN’APPLICAZIONE DEL MODELLO ATTUARIALE DI FAIR VALUE

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1 INTRODUZIONE Le società che operano su scala internazionale si vedono confrontate con un’ampia varietà di principi contabili nazionali: ne deriva che la redazione del bilancio consolidato diventa un processo complesso. L’International Accounting Standards Board (IASB) ha messo a punto un sistema di principi contabili – gli International Financial Reporting Standards (IFRS) – che, insieme agli US Generally Accepted Accounting Principles (US GAAP), si va affermando come quadro di riferimento per realizzare la necessaria armonizzazione a livello internazionale. L’Unione Europea ha stabilito che a partire da gennaio 2005 le società quotate negli Stati membri dovranno sostituire i principi contabili nazionali con gli IFRS. L’attività assicurativa è, per sua natura, un’attività estremamente complessa. Lo IASB, riconosciuta tale importanza, nel maggio 2002 ha deciso di procedere in due fasi. La Fase I comprende l’IFRS 4 e, in senso più ampio, anche lo IAS 32 (esposizione e presentazione degli strumenti finanziari) e lo IAS 39 (rilevazione e misurazione degli strumenti finanziari). La Fase II si incentra invece sull’aspetto, fortemente dibattuto, della determinazione delle passività assicurative. L’IFRS 4 comprende anche disposizioni contabili applicabili ai contratti assicurativi. Le Compagnie dovranno presentare un’informazione finanziaria molto più dettagliata sui contratti assicurativi (p. es. sulla sensibilità dei profitti alle variazioni delle ipotesi su cui poggiano) e non saranno più ammesse le riserve catastrofali e di perequazione, precedentemente usate per assorbire le perdite straordinarie. La novità più rilevante riguardano la contabilizzazione delle poste di bilancio al fair (market) value: la maggioranza delle attività dovrà essere iscritta in bilancio al valore di mercato, e non più al costo storico, così come determinate opzioni e garanzie , spesso incorporate nei contratti assicurativi vita. L’introduzione dei principi IFRS produrrà quindi un forte impatto non solo sul versante contabile, ma anche sulla gestione stessa dell’attività assicurativa. Gli assicuratori, in particolare quelli operanti nel ramo vita, detengono attività di lunga durata. Attualmente queste attività sono riportate nello stato patrimoniale al valore nominale, mentre in base allo IAS 39 la maggioranza delle attività sarà valutata al valore di mercato. In un contesto caratterizzato da variazioni dei tassi d’interesse, il valore delle attività sarà sottoposto a oscillazioni, mentre le passività contabili, al meno in Fase I, rimarranno in sostanza invariate; da ciò scaturirà una volatilità da ricondursi non tanto a cambiamenti nei risultati economici sottostanti, ma ai nuovi principi contabili. Per ridurre questa volatilità e quindi evitare una valutazione negativa da parte degli operatori di mercato, gli assicuratori possono scegliere tra varie opzioni1: ridurre il volume dei titoli azionari per orientarsi maggiormente verso le obbligazioni, con

il vantaggio di gestire la durata delle attività e delle passività in modo più efficiente; classificare alcune attività come held-to-maturity (detenute fino a scadenza); tuttavia, tale

prassi sarà limitata in ragione di una norma che penalizza le società che vendono attività classificate come “detenute fino a scadenza”;

ridurre il rischio di esposizione assumendo attività di durata meno lunga e adeguando la struttura dei prodotti.

Rispetto agli assicuratori danni, gli assicuratori vita risentiranno molto più direttamente dell’introduzione degli IFRS; ciò si spiega con la natura di lunga durata delle loro passività, che spesso comprendono anche opzioni e garanzie. In base all’IFRS 4, determinate opzioni e garanzie dovranno essere valutate al valore di mercato. Le imprese che in passato non hanno tenuto conto di queste opzioni e garanzie nei modelli di tariffazione, dovranno ora operare i necessari adeguamenti. Gli assicuratori dovranno non solo intensificare l’informazione in ordine ai vari rischi assicurativi contenuti in portafoglio, ma anche alla sensibilità della propria attività alle variazioni di tassi d’interesse, prezzi azionari e mortalità. L’obiettivo della ricerca è di approfondire le metodologie di valutazione del fair value nel contesto della teoria dei contingent claims e della applicazione della teoria delle martingale in

1 Cfr. Swiss Re (2004).

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campo assicurativo. Nell’ambito del contesto sopra delineato, saranno indagati i diversi approcci metodologici e confrontati in modo critico. L’obiettivo finale è la definizione di un modello attuariale di valutazione delle passività di una compagnia che operi nel settore delle assicurazioni vita che rispetti i requisiti generali introdotti dagli IFRS e sia consistente con la teoria dei contingent claims. La struttura dei contratti assicurativi rende infatti appropriato valutare l’impresa assicurativa con le tecniche della finanza matematica, basate sul principio di assenza di arbitraggio, sulle probabilità risk-neutral, sulla logica mark-to-market2. 2 GLI INTERNATIONAL FINANCIAL REPORTING STANDARDS (IFRS) 2.1 IL PROCESSO DI DEFINIZIONE DEGLI IFRS La realizzazione del nuovo quadro dei principi IFRS è riconducibile a vari fattori. Innanzitutto, l’accelerata globalizzazione dei commerci e l’internazionalizzazione dei mercati finanziari hanno fatto passare in primo piano la necessità di un sistema di reporting finanziario standardizzato. L’armonizzazione delle prassi contabili e dei sistemi di redazione del bilancio è stata altresì favorita dalle imprese internazionali: molte aspirano infatti a quotarsi anche al di fuori del proprio mercato nazionale, per poter accedere ai mercati finanziari più grandi. L’International Accounting Standards Board (IASB) ha sviluppato un quadro normativo,gli International Financial Reporting Standards (IFRS), finalizzato a migliorare la trasparenza e la comparabilità tra i vari settori e le imprese. La Commissione Europea ha decretato che a partire dal 1° gennaio 2005, le imprese quotate nei Paesi UE dovranno presentare il rendiconto finanziario consolidato in applicazione di un unico quadro di principi normativi, ovvero gli International Financial Reporting Standards (IFRS), sviluppato dallo IASB. È prevista un’esenzione temporanea per le società quotate sia nell’UE che in un mercato terzo regolamentato e che per la redazione dei conti consolidati applicano già principi contabili riconosciuti a livello internazionale. Tali società dovranno adottare i principi contabili IFRS entro l’inizio del 2007. Si colloca in questo quadro il progetto di armonizzazione degli istituti delle professioni contabili del Regno Unito, degli Stati Uniti e del Canada alla fine degli anni ’60, dovuta soprattutto ad Henry Benson, Presidente dell’Institute of Chartered Accountants of England and Wales. In occasione del Congresso mondiale delle professioni contabili a Sidney, nel 1972, fu proposta la costituzione di un organismo che avrebbe avuto per scopo l’armonizzazione delle norme tecniche per la redazione dei bilanci societari. Nei mesi seguenti dall’International Federation of Accountants (IFAC) fu costituito l’International Accounting Standards Committee (IASC) con sede a Londra con l’obiettivo di elaborare un insieme di standard contabili e di promuovere la loro approvazione ed il loro utilizzo nel mondo. Varie organizzazioni internazionali si sono poste il problema della codificazione di principi di bilancio (in particolare la Banca Mondiale ed il Fondo Monetario Internazionale, che avevano un obiettivo interesse a valutare l’affidabilità delle imprese e delle strutture finanziare). Queste entità entrarono con i loro rappresentanti nel Consultative Grou” e contribuirono così alla preparazione dei documenti dell’IASC. Determinante per lo IASC è stata la costituzione dell’ International Organization of Securities Commissions (IOSCO), l’organismo mondiale che raggruppa tutte le agenzie dei vari Stati per la regolamentazione dei mercati finanziari. Ciò ha comportato un cambiamento di natura da parte dello IASC che è passato da struttura interna ad organismo con una mission pubblica di alto spessore e riconoscimento.

2 Cfr. De felice e Moriconi (2001).

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Conseguenza di questo cambiamento di ruolo fu la drastica riduzione del numero dei trattamenti alternativi per rendere effettivamente analizzabili e confrontabili i bilanci. Lo IASC stese nel 1989 il quadro sistematico (conceptual framework) per la preparazione e la presentazione di bilanci, un documento quadro diretto a dare maggiore consapevolezza degli obiettivi dei bilanci e quindi ai principi che ne disciplinano la formazione, sebbene fosse privo di un mirato contenuto normativo. In tale documento vengono individuati i destinatari dell’informazione contabile quali gli investitori attuali (stakeholders) o potenziali; a tale proposito i principi contabili internazionali si riferiscono essenzialmente alle imprese le cui azioni sono quotate in borsa. Con lo sviluppo di un mercato finanziario integrato, le azioni delle società sono spesso detenute da un gruppo di investitori differenziato su scala internazionale. Gli investitori devono essere in grado di confrontare i conti pubblicati da una stessa società in diversi momenti per rendersi conto, nel tempo, della sua evoluzione finanziaria e dei suoi risultati economici come pure di mettere a confronto i conti di società di diversa nazionalità per valutare la loro posizione ei loro risultati in termini relativi. Un elemento fondamentale di differenza fra l’impostazione continentale e quella dei principi dello IASC è contenuto proprio nel Framework, che assegna al bilancio un fine completamente diverso rispetto all’obiettivo assegnatogli dalla normativa comunitaria. Nell’attuale normativa, infatti, il bilancio deve rappresentare in modo veritiero e corretto la situazione patrimoniale, finanziaria e il risultato economico dell’esercizio, con lo scopo primario di fornire un’informazione di tipo “garantista” ai terzi, siano essi soci o finanziatori della società. Secondo lo IASC, invece, il bilancio è lo strumento attraverso il quale i destinatari assumono decisioni in campo economico. Appare quindi evidente la differente impostazione di fondo che assume l’informativa di bilancio: da un lato un approccio ispirato fondamentalmente a principi di prudenza, che tende ad evidenziare il reddito distribuibile ed il patrimonio disponibile, dall’altro una filosofia improntata alla valutazione della performance conseguita dall’impresa, finalizzato a valutazioni di tipo economico. Tra i criteri fondamentali che devono presiedere alla redazione dei bilanci, vanno ricordati, inoltre, la preminenza della sostanza sulla forma e la rilevanza (relativa materialità). Il processo di armonizzazione dei principi contabili a livello internazionale ha subito negli ultimi dieci anni una rilevante accelerazione. Nel luglio 1995 lo IASC si impegnò con la IOSCO su un programma di lavoro comune per produrre i core standards (un nucleo di principi contabili internazionali (gli IAS) dall’1 al 39) entro il 1999, a sua volta la IOSCO si impegnò a rivedere i documenti. La Commissione Europea sostenne il progetto e concluse che tali documenti dovevano essere applicati dalle multinazionali europee. I core standards vennero completati nel 1998. Gli IAS costituiscono un insieme completo e concettualmente solido di principi di informativa finanziaria intesi espressamente a soddisfare le esigenze della comunità finanziaria internazionale. Nell’aprile 2000 il Comitato di Basilea ha emesso un rapporto in cui ha pronunciato il proprio appoggio ai principi internazionali dello IASC per gli sforzi per armonizzare gli standards di bilancio a livello internazionale ed in particolare per quanto riguarda la loro applicazione agli enti creditizi. Nel maggio dello stesso anno la IOSCO, dopo avere terminato la valutazione degli IAS, ha raccomandato ai suoi membri di permettere agli emittenti multinazionali di utilizzare questi principi per la redazione dei loro conti nelle offerte e nelle quotazioni in paesi diversi. Nel 2001 si attuò la riforma dello IASC, che divenne una fondazione no-profit ed indipendente, con sede negli Stati Uniti, con il compito di vigilare sullo IASB, destinata a continuare l’attività dello IASC. Nel marzo del 2001 lo IASC ha subito una riorganizzazione interna. La nuova struttura è costituita da due organi principali: il Board of Trustees e l’International Accounting Standards Board (IASB) a cui si affiancano lo Standards Advisory Council (SAC) e

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l’International Financial Reporting Standing Interpretation Committee (IFRIC). Tutti i membri di questa fondazione sono professionisti esperti di contabilità con una grande esperienza in campo internazionale, requisiti indispensabili per un’organizzazione che ha l’obiettivo di sviluppare principi contabili internazionali di alta qualità che possano essere applicati negli stati di tutto il mondo. Lo IASB si occupa unicamente di sviluppare i principi contabili internazionali dei quali risponde personalmente. Dall’aprile 2001, i nuovi standards definiti dallo IASB non si chiamano più IAS ma sono denominati International Financial Reporting Standards (IFRS). 2.2 LA STRATEGIA DELLA COMUNITÀ EUROPEA IN TEMA DI MATERIA

CONTABILE L’uniformità dei bilanci delle imprese europee rappresenta, per la Comunità Europea, uno degli obiettivi da perseguire per favorire il processo d’internazionalizzazione delle stesse. Tale obiettivo ha condotto la Comunità Europea stessa ad emanare provvedimenti legislativi volti ad uniformare la normativa commerciale dei Paesi membri. Tra le direttive emanate dalla Comunità (la prima è del 1968) tre hanno riguardato i principi di redazione dei bilanci delle imprese UE: IV direttiva sui conti annuali delle società di capitali (78/660/CEE); VII direttiva sui conti consolidati dei gruppi di imprese (83/349/CEE); VIII direttiva sull’abilitazione delle persone incaricate al controllo dei conti annuali

(84/253/CEE). Le tre direttive rappresentano un primo tentativo di rendere uniformi e comparabili i bilanci europei sia sotto l’aspetto della redazione (Iscrizione e valutazione) che sotto quello della presentazione delle poste contabili. Tali direttive, inoltre, hanno “codificato” i principi generali elaborati a livello internazionale ma che non erano stati recepiti in molti degli ordinamenti giuridici dei Paesi europei. Tra questi principi vi sono: quadro veritiero e corretto (true and fair view); continuità operativa (going concern); competenza economica; costanza di struttura del bilancio e dei principi di valutazione negli esercizi; divieto di compensazione tra le singole voci del bilancio; presenza di informazioni omogenee e quindi confrontabili.

Le direttive comunitarie, tuttavia, lasciano la possibilità di scelta tra diverse opzioni che consentono differenti trattamenti contabili e ciò ha determinato un’armonizzazione incompleta. Dal novembre 1995 la Commissione europea ha adottato approccio innovativo in materia di armonizzazione contabile. Nella comunicazione n. 508/95/CEE "Armonizzazione contabile: una nuova strategia nei confronti del processo di armonizzazione internazionale" la Commissione ha infatti evidenziato come l’Unione dovesse agire per consentire alle imprese desiderose di quotarsi sui mercati degli USA e su altri mercati mondiali di rimanere nell’ambito del quadro contabile dell’UE. La Commissione si rese conto del fatto che i bilanci redatti dalle imprese transnazionali europee conformemente alle rispettive legislazioni nazionali, fondate sulle direttive contabili, non erano in linea con i diversi principi contabili prescritti in altri paesi del mondo ai quali occorreva attenersi per poter attingere ai mercati internazionali dei capitali. Le società in questione erano costrette a preparare due serie di conti, una conformemente alle direttive contabili europee e l’altra secondo i requisiti dei mercati internazionali dei capitali.

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In un mercato mobiliare europeo integrato ed efficiente è necessario che le società quotate redigano i loro bilanci sulla base di un unico insieme di principi contabili. L’Unione Europea non intendeva produrre un corpus distinto di principi contabili esclusivo per il mercato europeo. Una scelta di questo tipo sarebbe stata incompatibile con la tendenza alla globalizzazione dei mercati finanziari e avrebbe messo a rischio la capacità delle imprese europee di reperire capitali nei mercati dei paesi terzi. Pertanto un’insieme di principi internazionalmente riconosciuti sembrava essere la base più adeguata per l’informativa finanziaria dell’Unione Europea. La scelta UE ricadde sui principi IAS in considerazione non solo del loro elevato livello qualitativo ma anche delle probabili difficoltà ad applicare i principi americani nel contesto europeo. Nella comunicazione n. 359/00/CEE intitolata “La strategia dell’UE in materia d’informazione finanziaria: la via da seguire” la Commissione europea ribadisce sostanzialmente le necessità emerse di rendere confrontabili i bilanci delle imprese europee sulla base dei principi contabili elaborati dallo IASC assicurando la garanzia di un mercato unico, efficiente e stabile. La Commissione propose per tutte le società UE quotate in mercati regolamentati l’obbligo di redigere, al più tardi dal 2005, i bilanci consolidati attraverso l’utilizzo dei principi dallo IASC. Agli Stati membri è lasciata invece la possibilità di estendere tale obbligo anche per le società non quotate. Il Consiglio dei Ministri economici finanziari (ECOFIN) in data 17 luglio 2000 ha invitato la Commissione Europea a presentare una proposta per l’introduzione di queste nuove regole e l’istituzione di un meccanismo adeguato per l’omologazione degli IAS. L’adozione dei principi dello IASC si è avuta con l’approvazione nel maggio 2001 della direttiva CEE n. 65/2001. Il provvedimento comunitario dispone infatti la modifica della IV e VII direttiva al fine di consentire l’applicazione dello IAS 39, riguardante la rilevazione e valutazione degli strumenti finanziari. Nel giugno 2001 venne creato l’EFRAG (European Financial Reporting Advisory Group) con il compito di assistere la Commissione Europea circa l’accettabilità dei singoli documenti in Europa e di emettere commenti ai documenti preparati dall’IASB. Successivamente, il 19 luglio 2002, la Commissione europea emanò il Regolamento n. 1606/2002 pubblicato sulla Gazzetta Ufficiale della Comunità Europea dell’11 settembre 2002 n. 243 che prevede l’adozione, dal 2005, degli IAS per i bilanci consolidati delle società quotate. L’obbligo vale anche per le società che si preparano a chiedere l’ammissione alla negoziazione dei loro titoli. E’ prevista inoltre l’eventualità per gli Stati membri di consentire o imporre l’applicazione degli IAS: alle società quotate nei loro bilanci d’esercizio; alle società non quotate; in settori particolarmente importanti, come quello bancario o assicurativo,

indipendentemente dal fatto che le società siano quotate o meno. Infine l’Unione Europea nel mese di luglio 2003 ha recepito: gli IAS emanati sino ad ora e quelli futuri (IFRS); le interpretazioni SIC .

L’approvazione è stata ufficializzata con il regolamento CE 1725 del 29 settembre 2003; tale regolamento è obbligatorio in ciascuno degli Stati membri.

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2.3 SVILUPPO DEGLI IFRS PER IL SETTORE ASSICURATIVO L’iniziativa IAS relativa al metodo del valore di mercato (fair value) risale al 1997, quando lo IASC ha avviato lo sviluppo di un modello finalizzato a valutare gli strumenti finanziari al valore di mercato. Quattro anni dopo è stato pubblicato un Draft Statement of Principles on Insurance Contracts (DSOP), un documento sviluppato da un comitato istituito dallo IASC. Questa bozza di proposta ha sollevato intensi dibattiti nel settore assicurativo. L’aspetto più dibattuto riguarda l’approccio del valore di mercato (fair value) per la misurazione e rilevazione degli strumenti finanziari e dei contratti assicurativi. Nel 1997 lo IASC ha costituito un apposito comitato, l’Insurance Steering Committee, allo scopo di trattare la questione dei contratti assicurativi. Dato che la definizione iniziale presentata dal comitato escludeva alcuni tipi di contratti assicurativi – come l’assicurazione del credito e i piani previdenziali aziendali per i dipendenti – gruppi finanziari internazionali, organizzazioni di attività assicurative e organi normativi si sono fortemente opposti alla proposta. Il comitato dello IASC è stato sciolto nel 2000 a seguito della creazione dello IASB, cui è seguita la costituzione di un nuovo comitato, l’Insurance Advisory Committee. Contemporaneamente all’Insurance Project, lo IASB ha sviluppato lo IAS 39 e lo IAS 32 che trattano vari aspetti contabili in relazione agli strumenti finanziari. Nel dicembre 1998, lo IASC ha approvato il principio “IAS 39: Strumenti finanziari: rilevazione e valutazione”. Questo principio ha formalmente introdotto la classificazione dei vari strumenti finanziari. A completamento dello IAS 39, lo IASC ha successivamente sviluppato lo IAS 32 (“Strumenti finanziari: esposizione in bilancio e informazione integrativa”) che si occupa dei principi generali di esposizione e di presentazione degli strumenti finanziari e illustra altresì in maniera dettagliata le differenze tra i vari strumenti finanziari. Il DSOP, presentato dallo IASB nel novembre 2001, si proponeva di costituire la base dei principi IFRS per i contratti assicurativi. I principi contenuti nel DSOP comprendevano vari commenti e raccomandazioni da parte di organizzazioni del settore privato e pubblico, raccolti in un documento pubblicato nel 1999. In particolare, dato che i contratti assicurativi non vengono negoziati attivamente, lo IASB ha introdotto il concetto di entity-specific value (valore specifico per impresa) in alternativa all’approccio del valore di mercato. Il DSOP raccomandava di ricorrere all’entity specific value qualora non fossero disponibili informazioni di mercato. Esposta alla crescente pressione esercitata dal settore assicurativo e dalle organizzazioni pubbliche, lo IASB ha riconosciuto che la scadenza originaria stabilita dall’UE, il 2005, era troppo ambiziosa e quindi ha proposto una soluzione di compromesso per gli assicuratori. Nel maggio 2002, lo IASB ha deciso di suddividere il progetto sui contratti assicurativi in due fasi: Fase I: copre un periodo intermedio a partire dal 1° gennaio 2005, rientrante nei tempi previsti dall’UE;

Fase II: lo IASB ha ripreso i lavori relativi alla Fase II nel settembre 2004. Tuttavia, non ha ancora presentato la tabella temporale relativa all’implementazione, prevista originariamente per il 2007. Grazie al ricorso alle due fasi, lo IASB può dedicare più tempo allo sviluppo di principi fattibili in relazione alle passività assicurative e all’armonizzazione dei principi per gli investimenti detenuti dagli assicuratori. Nel luglio 2003, lo IASB ha pubblicato il cosiddetto Exposure Draft 5 (ED 5), un documento di orientamento per il passaggio agli IFRS nell’ambito della Fase I. In base all’ED 5, gli assicuratori avrebbero dovuto esporre le passività assicurative in base al valore di mercato, tuttavia la versione finale della proposta è stata scartata. L’ED 5 ha consentito allo IASB di raccogliere ulteriori commenti e raccomandazioni da parte delle organizzazioni dei settori privato e pubblico ed è servito come base per la messa a punto dell’IFRS 4 sui contratti assicurativi.

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Nel marzo 2004, lo IASB ha quindi pubblicato l’IFRS 4 sui contratti assicurativi, con cui si conclude la Fase I. In base all’IFRS 4, si continueranno ad applicare i principi contabili nazionali ai contratti assicurativi, seppure con determinate modifiche. I principi IAS 39 e IAS 32 riguardano gli strumenti finanziari detenuti o emessi dagli assicuratori. L’IFRS 4 stabilisce inoltre che gli assicuratori debbano presentare un’informativa più dettagliata sui contratti assicurativi. La Fase II consente allo IASB di effettuare un’analisi completa di tutti i residui aspetti di rilevazione e valutazione in relazione ai contratti assicurativi, in particolare l’eventuale trattamento delle passività al valore di mercato. Lo IASB ha ripreso i lavori relativi alla Fase II nel settembre 2004, tuttavia non è dato sapere quando saranno conclusi. Il Board ha dichiarato che, pur considerando il lavoro effettuato una base assai utile, esso non lo considera vincolante. 2.4 L’IFRS 4 I principali argomenti dell’ IFRS 4 riguardano: Insurance Contracts; Umbundling; Discretionary Participation Features; Embedded Derivaties; Investment Contracts; Disclousure; Liability Adequacy Test.

2.4.1 INSURANCE CONTRACTS L’IFRS 4 va applicato a tutti i contratti di assicurazione e riassicurazione (attiva e passiva) che rientrano nella definizione di contratto assicurativo:“Un contratto assicurativo è un contratto attraverso il quale una delle parti (l’assicuratore) si assume un significativo rischio assicurativo concordando di indennizzare un’altra parte (l’assicurato) o un suo beneficiario nel caso in cui uno specifico evento incerto (evento assicurato) abbia degli effetti negativi sull’assicurato o su un suo beneficiario”. La definizione di Rischio assicurativo presuppone che almeno uno dei seguenti elementi sia aleatorio alla data di stipula della polizza:

il verificarsi dell’evento; il momento in cui l’evento si verificherà; l’impatto economico per l’assicuratore.

Senza il rischio assicurativo il contratto non rientra nella definizione di contratto assicurativo. Secondo tale definizione i contratti per cui l’assicuratore garantisce il pagamento di una somma senza la necessità che un evento avverso colpisca l’assicurato o altri beneficiari non contengono rischio assicurativo: ad esempio il rischio di mantenimento del portafoglio (rischio di decadenze, riscatti, etc.) non è un rischio assicurativo perché il pagamento non è contingente ad un evento futuro avverso che accade alla controparte. Il rischio assicurativo si differenzia dal rischio finanziario : il rischio finanziario si presenta quando un’impresa assume o trasferisce ad una controparte una o più tipologie di rischio quali: Rischio di cambio Rischio di tasso di interesse Rischio di mercato

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Rischio di credito Rischio di variazione del prezzo/indice di titoli o merci.

Un contratto trasferisce rischio assicurativo se esiste una ragionevole possibilità che un evento, previsto dal contratto, causi un significativo cambiamento nel valore attuale dei flussi di cassa dell’assicuratore. Nell’effettuare tale verifica è necessario considerare sia la probabilità dell’evento che le conseguenze del suo effetto. Anche se l’evento assicurato è estremamente improbabile oppure se il valore attuale atteso dei pagamenti che saranno fatti nel caso in cui l’evento assicurato si verifichi è una piccola proporzione del valore attuale atteso di tutti i flussi di cassa associati al contratto, il rischio assicurativo è significativo se esiste almeno uno scenario plausibile che porta ad un significativo cambiamento dei cash flow dell’assicuratore (perdita significativa). Nell’implementation Guidance è inoltre specificato che il rischio assicurativo non è significativo se, al verificarsi dell’evento assicurato, l’impegno dell’assicuratore si riduce al pagamento di un ammontare insignificante (trivial amount). La significatività del rischio assicurativo non deve essere rilevata dall’assicuratore sul portafoglio o su parte di esso ma contratto per contratto. La definizione prevede che la prestazione sia dovuta nel caso in cui uno specifico evento incerto abbia degli effetti negativi sull’assicurato o altro beneficiario (Insurable interest): questo esclude alcune tipologie assicurabili quali le scommesse.

I contratti non classificati come assicurativi possono essere riclassificati come tali se una significativa variazione nel valore attuale dei flussi di cassa dell’assicuratore diventa ragionevolmente possibile in seguito ad una variazione nel livello di rischio assicurativo. Se l’assicuratore alla stipula del contratto è in grado di prevedere che la probabilità o il valore attuale di una significativa perdita potrebbe aumentare nel tempo il contratto viene classificato come assicurativo sin dall’inizio, anche se il valore attuale atteso della perdita è molto piccolo al momento. Una volta classificati come assicurativi i contratti non possono più essere riclassificati. Una parte significativa dei contratti che legalmente sono ritenuti assicurativi non soddisfano la corrente definizione di contratto assicurativo, perciò ad essi non si applicheranno i principi contabili relativi ai contratti assicurativi bensì gli IAS regolanti le varie fattispecie (contratti d’investimento, contratti di servizio etc.). La combinazione di rischio finanziario e assicurativo influisce quindi sulla classificazione e sulla contabilizzazione dei contratti. Sulla base di questa definizione è possibile classificare i contratti del Ramo vita in: Prodotti di copertura assicurativa : Assicurazioni temporanee, Permanent Health

Insurance; Prodotti Misti : Rendite differite, Assicurazioni Miste; Contratti finanziari: Forme Previdenziali, Contratti di Investimento.

Sono invece esempi di contratti che non rientrano nella definizione di contratti assicurativi: prodotti d’investimento aventi forma legale di contratto assicurativo ma senza esposizione

per l’assicuratore ad un significativo rischio assicurativo; contratti con forma legale di assicurazione ma che trasferiscono tutto il rischio

assicurativo rilevante all’assicurato tramite meccanismi che modificano i pagamenti successivi da parte dell’assicurato in caso di sinistro;

autoassicurazione; alcuni strumenti derivati (weather derivatives, catastrophe bonds); giochi d’azzardo.

L’implementation guide riporta alcuni esempi di contratti che rientrano nella definizione di contratto assicurativo e che già dalla prima fase vanno trattati con l’IFRS:

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assicurazione caso morte rendite vitalizie immediate contratti misti con pagamenti caso morte superiori ai pagamenti per riscatto o scadenza rendite differite con tassi di rendita garantiti all‘emissione contratti d'investimento che contengono componenti di discretionary participation agli

utili Non rientrano nella definizione di contratto di assicurazione: le rendite differite con tassi di rendita non garantiti all‘emissione (IAS39) ; i contratti d'investimento che non contengono componenti di discretionary participation

(IAS 39) contratti d'investimento collegati al rendimento di pool di attivi (senza discretionary

participation); anche per tali tipologie si applica lo IAS 39. 2.4.2 UNBUNDLING Nel caso in cui un contratto comprenda sia una componente finanziaria che una componente assicurativa e il criterio di contabilizzazione adottato sia tale da non riconoscere tutte le obbligazioni derivanti dal contratto, le due componenti vanno separate. Nei contratti contenenti sia componenti assicurative che di deposito, in cui i cash flow assicurativi non influenzano i cash flow finanziari, l’assicuratore deve: trattare la componente assicurativa come un contratto assicurativo; trattare la componente di deposito come attività/passività finanziarie secondo lo IAS 39

(questo comporta che questo flusso sia contabilizzato in un fondo a se stante e non possa essere considerato come cash flow in entrata dell’assicuratore).

L’unbundling è facoltativo nel caso in cui l’assicuratore sia in grado di misurare la componente di deposito separatamente e i criteri di contabilizzazione applicati riconoscono comunque tutte le obbligazioni derivanti dalla componente di deposito. E’ vietato se l’assicuratore non è in grado di misurare la componente di deposito separatamente. L’IFRS 4 specifica comunque che tale suddivisione non debba essere applicata alle parti costitutive di contratti tradizionali (capitale a scadenza o valori di riscatto) le quali potrebbero essere viste come componenti di deposito; tale separazione va invece applicata, ad esempio, ai contratti di tipo Universal life. 2.4.3 DISCRETIONARY PARTICIPATION FEATURES I contratti assicurativi e finanziari possono prevedere una componente di futura partecipazione agli utili sia prestabilita che ‘discrezionale’. L’IFRS 4 definisce la componente di discretionary participation feature come: “Il diritto contrattuale di un investitore o di un assicurato di ricevere, ulteriormente alle prestazioni minime garantite, pagamenti aggiuntivi o altri benefici: che rappresentino una parte significativa del totale del pagamento contrattuale principale; il cui ammontare e/o la data di pagamento siano discrezionali per l’assicuratore; che siano stabiliti in base:

alle prestazioni definite di un contratto o di un insieme di contratti; agli utili da investimenti, realizzati e non, su un preciso insieme di attivi posseduti

dall’assicuratore; ai profitti o alle perdite della compagnia, di un fondo o di un altro ente che ha emesso

il contratto linked.

12

Una parte del surplus accumulato (utile distribuibile) disponibile viene generalmente accreditato ai contratti esistenti e quindi in molti casi la decisione di allocare l’utile in un momento piuttosto che in un altro ne implica l’attribuzione a generazioni differenti di assicurati. In particolare esistono difficoltà di allocazione per quei contratti che presentano differenze temporali tra i profitti accumulati secondo gli IFRS e l’utile distribuibile. Per i contratti assicurativi che contengono discretionary participation features e che contengono un fixed element (minimo garantito fissato): si può, ma non vi è obbligo, di riportare il valore del rendimento fisso separatamente

dall’ammontare della partecipazione; si deve classificare il surplus non distribuito derivante dal discretionary participation

come passività (liability) o come patrimonio netto (equity) ma non come categoria intermedia;

si devono, se il contratto include un embedded derivative, applicare i principi contenuti nello IAS 39;

si deve valutare l’intera riserva ad un valore non inferiore alla valutazione ottenuta secondo lo IAS 39 per il rendimento fisso;

non si è obbligati a determinare il valore del rendimento fisso in base alle regole dello IAS 39 se il valore della riserva risulta essere maggiore;

si devono continuare applicare, per questi contratti, i principi contabili esistenti a meno che non si dimostri che i cambiamenti che si intende introdurre portino ad una rappresentazione più significativa e accurata.

Gli stessi criteri si applicano ai contratti di investimento con discretionary participation features: l’assicuratore dovrà riportare una passività almeno pari a quanto richiesto dallo IAS 39 per

la componente fissa. Non è necessario determinare tale importo se la passività complessivamente riportata è più alta;

se nel contratto manca l’elemento discrezionale, la partecipazione agli utili sarà considerata un embedded derivative, perciò soggetta allo IAS39.

Gran parte dei prodotti rivalutabili italiani (Ramo I e V) sono di tipo rivalutabile. Sulla base di quanto esposto in relazione ai discretionary participation features si può osservare che3: l’assicurato ha un diritto contrattuale a ricevere una prestazione aggiuntiva legata ai

redditi da investimenti realizzati su uno specifico portafoglio finanziario (gestione separata);

tale prestazione rappresenta una quota significativa della prestazione complessiva; dato un definitivo insieme di attivi, non c’è certezza sull’ammontare effettivo della

prestazione in quanto questo dipende da quando l’assicuratore deciderà, periodo per periodo, di realizzare;

talvolta esistono elementi di discrezionalità anche sulla misura dell’aliquota di retrocessione;

esiste un problema di allocazione del distribuible surplus dovuto alla diversa contabilizzazione delle gestioni separate secondo i criteri in vigore e secondo gli IFRS, che riconoscono le plusvalenze non realizzate.

3 Chiricosta (2004)

13

2.4.4 EMBEDDED DERIVATIVES Alcuni contratti, sia assicurativi che finanziari, possono avere un embedded derivative, vale a dire uno strumento finanziario inserito nel contratto principale. I derivati incorporati sono caratterizzati da una clausola contrattuale, implicita o esplicita, che presenta un comportamento simile ad un derivato. Lo IAS 39 richiede di separare (unbundle) un derivato incorporato dai contratti principali (d’investimento o assicurativi) se sono verificate le seguenti tre condizioni: l’embedded derivate non è “strettamente collegato”4 al contratto principale, ovvero i rischi

non sono strettamente connessi ai rischi del contratto principale; uno strumento distinto con le stesse caratteristiche dell’embedded derivative soddisfa le

definizione del derivative; l’intero contratto non è misurato al fair falue.

Occorre, in relazione al derivato incorporato, distinguere due casi per i quali non è prevista la separazione: se è strettamente correlato al contratto principale; se non è correlato al contratto principale e il contratto principale viene valutato al valore di

mercato. Nel caso in cui il contratto principale è un contratto assicurativo almeno per la prima fase non è necessario che l’assicuratore separi l’embedded derivative dal contratto principale per valutarlo al fair value. Un derivato rientra nella specifica applicazione dello IAS 39 ed quindi valutato al fair value se presenta tre caratteristiche: il suo valore cambia in relazione ai cambiamenti di uno specifico tasso di interesse,

prezzo di un titolo, prezzo di una merce, tasso di cambio, indice di prezzi o tassi, rating di credito o indice di credito o altre variabili;

non richiede un investimento netto iniziale oppure ne richiede uno più piccolo di quelli previsti in altri tipi di contratti per avere una simile risposta alle variazioni dei fattori di mercato;

è fissato ad una data futura. 2.4.5 INVESTMENT CONTRACTS Diversi contratti redatti dalle compagnie di assicurazioni che non rientrano nella definizione di contratto assicurativo vengono classificati nella categoria dei contratti di investimento e rientrano nell’applicazione dello IAS 39. Tale principio consente di attribuire a tale tipologia di contratti sia il fair value che la metodologia del costo ammortizzato (amortised cost) La definizione del costo ammortizzato di una attività o passività finanziaria viene fornita nello IAS39 come “il valore a cui questa è stata valutata alla rilevazione iniziale al netto dei rimborsi di capitale, accresciuto o diminuito dell’ammortamento complessivo, calcolato con il metodo dell’interesse effettivo, al netto di qualunque svalutazione “. Il tasso di interesse effettivo è il tasso che attualizza il flusso contrattuale dei pagamenti futuri in denaro ricevuti fino alla scadenza (o alla data più prossima di ricalcolo del prezzo basato sul fair value) di una attività o passività finanziaria. Esso calcola il suo valore contabile netto all’atto della rilevazione iniziale (o alla più recente data di ricalcolo del prezzo basato sul valore di mercato).

4 Il derivato “incorporato” è strettamente correlato al contratto principale se il pagamento viene effettuato solo al

verificarsi di un preciso evento assicurato.

14

L’attualizzazione include tutti i flussi pagati o ricevuti tra i due contraenti. Per quanto riguarda i costi di acquisizione le regole contabili nazionali, attualmente in uso in molti paesi europei, prevedono il differimento dei costi di acquisizione secondo l’approccio deferral and matching. Per i contratti assicurativi, lo IASB ha deciso per la Fase I: di consentire il differimento dei costi di acquisizione di non indicare alcun metodo per il calcolo dell’ammortamento di consentire la rappresentazione come asset o come diminuzione della liability

dell’assicuratore. Per i contratti d’investimento occorre applicare l’IAS 39 il quale prescrive che il differimento avvenga all’effective interest rate. I costi non ancora ammortizzati non sono rappresentati come investimenti ma vanno a diminuire l’amortised cost degli impegni. Inoltre, secondo l’ED dello IAS 39, i costi di acquisizione comprendono solo i costi esterni derivanti dalla vendita del contratto e non i costi interni, indipendentemente dal fatto che siano direttamente imputabili o meno alla vendita del contratto. Secondo le regole locali, invece, i costi di acquisizione differibili possono comprendere anche i costi interni purché derivino direttamente dalla vendita del contratto. Queste differenze potrebbero portare a delle incongruenze nella Fase I. Molti contratti consentono all’assicurato di abbandonare o di rinnovare il contratto senza il consenso dell’assicuratore (cancellation and renewal rights). Per la valutazione dei contratti d’investimento con questa caratteristica sorge il problema di quali cash flow considerare nella valutazione dei contratti di investimento. Lo IASB fornisce due alternative: determinazione dell’amortised cost sotto l’ipotesi realisticamente attesa di riscatto calcolo del fair value della liability sotto l’ipotesi realisticamente attese di riscatto e

considerando tutti i relativi cash flow associati al contratto.

Per quanto riguarda il mercato italiano fino ad ora sono previsti (ex art 25 e ex art 30 d.lgs 174/95) due diverse metodologie per la risoluzione dei problemi inerenti i costi ed i riscatti che mostrano analogie e diversità con i metodi individuati dall’IAS39. Considerando contratti di capitalizzazione di tipo tradizionale e di tipo linked è possibile evidenziare le seguenti differenze di carattere generale: per i contratti di tipo tradizionale il metodo di calcolo è l’amortised cost applicato

separatamente alla parte finanziaria ed alla riserva per spese. Rispetto all’IAS39 vi è un diverso trattamento delle spese/caricamenti che possono rientrare (in base ai successivi chiarimenti da parte dello IASB) nel calcolo del TIR dove va considerato anche l’effettivo andamento dei riscatti nel tempo;

per i contratti di tipo linked (i quali presentano categorie di investimento del tipo held for trading) si utilizza il fair value per la componente di investimento non garantita, il costo ammortizzato per il calcolo della riserva per spese mentre occorre fare ulteriori valutazioni per il trattamento delle garanzie di rendimento (per i riscatti). In questo caso lo IAS 39 prevede il trattamento al fair value solo per la componente senza minimo garantito.

Le imprese assicurative dovranno classificare i propri assets nelle quattro categorie previste dallo IAS 39: investimenti mantenuti fino a scadenza (held to maturity); investimenti derivanti da mutui (originated loans and recivables); investimenti utilizzati per trading (held for trading); investimenti disponibili alla vendita (available for sale).

15

Le prime due categorie sono valutate al costo ammortizzato mentre le ultime due al fair value. Le categorie effettivamente utilizzate dal settore assicurativo sono in realtà le ultime due, quindi in sostanza gli attivi saranno valutati al fair value. Per quanto riguarda le passività per la Fase I queste possono essere valutate con le regole bilancistiche locali. Si avrà dunque un mismatching tra la valutazione delle liabilities assicurative secondo il metodo tradizionale e la valutazione dei relativi assets al fair value. Per quanto riguarda inoltre le passività dei contratti di investimento dovranno seguire lo IAS 39. In tal caso il problema del mismatching emergerà soltanto per le passività valutate al defferral and matching. Tra le soluzioni proposte dallo IASB vi è la costituzione di una categoria ausiliaria di assets degli investimenti a copertura degli impegni valutata ad amortised cost, tuttavia ancora non si è pervenuti ad una decisione. 2.4.6 DISCLOUSURE Le imprese di assicurazione forniranno delle informazioni aggiuntive (disclousure) nelle note di bilancio. Lo IASB ha fissato tre principi di disclosure riguardanti: identificazione e spiegazione riguardo gli ammontari finanziari che scaturiscono dai

contratti; devono essere fornite informazioni di tipo qualitativo e quantitativo riguardo alle regole contabili ed alle ipotesi utilizzate;

l’ammontare stimato, il timing e l’incertezza dei flussi futuri che scaturiscono da un contratto: occorre fornire informazioni qualitative e quantitative sul profilo di rischio dell’impresa e sui relativi metodi di gestione, sul rischio assicurativo, sul rischio di credito e del tasso d’interesse;

il fair value delle attività e delle passività assicurative: occorre fornire informazioni riguardo alle metodologie di calcolo del fair value degli assets e delle liabilities assicurative.

Per quanto riguarda l’ultima disclousure non esiste l’obbligo per i contratti di tipo assicurativo prima delle Fase II. 2.4.7 LIABILITY ADEQUACY TEST L’IFRS 4 prevede che gli assicuratori effettuino un test delle passività assicurative. Se l’ammontare contabile delle rispettive passività assicurative (al netto di eventuali spese di acquisizione da ammortizzare (DAC) e degli attivi immateriali) è inferiore all’ammontare contabile che sarebbe richiesto se le passività rientrassero nell’ambito di applicazione dello IAS 37, l’assicuratore dovrà evidenziare tale differenza nel conto economico. Il liability adequacy test non è richiesto se l’assicuratore ne applica uno che soddisfi i requisiti minimi richiesti.

16

3 IL FAIR VALUE DI CONTRATTI DI ASSICURAZINE SULLA VITA 3.1 METODOLOGIE DI CALCOLO DEL FAIR VALUE A gennaio 2003 lo IASB sembra aver confermato, in accordo con quanto era stato espresso nel DSOP e nel Framework, un modello di tipo asset-liability piuttosto che un modello di tipo defferal and matching. In tale modello i flussi in entrata o in uscita generati dal contratto vengono imputati per cassa, ovvero nel momento cui vengono originati, e non per competenza come nei modelli di tipo defferal and matching tipici degli US GAAP. Gli assets e le liabilities assicurative devono essere valutate al fair market value. Nel caso in cui non esistano delle ipotesi di mercato è consentito all’impresa l’utilizzo di ipotesi proprie (entity-specific assumptions) che daranno origine al calcolo dell’entity specific value. Il fair value viene definito dallo IASB come:”il compenso per cui un’attività può essere scambiata o una passività può essere ceduta tra parti consapevoli e consenzienti durante una transazione.” Il fair value di una passività è l’importo equo di mercato che l’impresa dovrebbe pagare ad una terza parte5 alla data di valutazione del bilancio per estinguere la passività. Se il mercato è liquido ed efficiente il fair value coincide con il valore di mercato. L’entity-vpecific value è definito come “il valore di un’attività o di una passività per l’impresa che lo possiede”. Le due misure sono molto simili ma si differenziano per alcune caratteristiche: l’assicuratore potrebbe avere una capacità superiore al mercato di gestione dei flussi che

gli consenta di massimizzare gli attivi e minimizzare le passività; il mercato e l’assicuratore possono avere le stesse capacità ma quest’ultimo potrebbe

pervenire a stime differenti; l’assicuratore potrebbe avere una concezione del rischio diversa rispetto al mercato.

Il Joint Working Group of Standard Setters (JWC) ha individuato una gerarchia nei metodi per la valutazione al fair value: usare il valore di mercato quando è disponibile; quando non è noto il valore di mercato per lo strumento che si sta considerando si può

utilizzare il valore di uno strumento similare; se non è realizzabile nessuno dei due precedenti metodi si utilizzerà il valore attuale dei

flussi futuri stimati includendo un aggiustamento per il rischio. I sostenitori del fair value come misura obiettiva ritengono che questa fornisca, specialmente se è direttamente osservabile sul mercato la più affidabile informazione per gli utilizzatori, infatti: i prezzi del mercato sono predittori più neutrali per i futuri cash flow rispetto alle stime

soggettive di un singolo partecipante del mercato; l’entity-specific value non è determinabile su di una base affidabile a meno di riferirsi ai

dati del mercato. Ed in questo caso è preferibile l’utilizzo del fair value; il fair value è, nei limiti della stima, indipendente dalla misura del risultato e fornisce una

base neutra per confrontare le diverse imprese. In regime di fair value le riserve matematiche andranno calcolate al valore di mercato. Sebbene questo non sia osservabile potrà stimarsi con modelli adeguati calibrati su dati di mercato. Data la natura di contatti “strutturati” delle polizze sulla vita, i modelli di pricing di non arbitraggio, tipici dell’option theory, risultano adeguati per il calcolo del fair value delle passività di una Compagnia di assicurazioni sulla vita. 5 Occorre introdurre una terza parte in quanto il valore dovuto all’assicurato è fissato al tempo di stipula del contratto e non risulta quindi al valore corrente.

17

I metodi di tipo Embedded Value utilizzati da diversi assicuratori in tutto il mondo sono stati scartati dallo IASB perché tale metodologia conduce ad una misura considerata irrealisticamente alta per il calcolo delle riserve assicurative. Sia il fair value che l’entity specific value utilizzano il metodo prospettivo. Per applicare un metodo prospettivo occorre specificare se i flussi vanno calcolati in funzione del loro valore corrente in entrata o in uscita. Il valore corrente di entrata è l‘ammontare dei premi (al netto dei costi di acquisizione) che l’assicuratore scambierebbe alle condizioni del mercato corrente se dovesse stipulare nuovi contratti che fornissero i restanti diritti ed obbligazioni di quelli attuali. Il valore corrente di uscita è l’ammontare che un assicuratore dovrebbe pagare in cambio del trasferimento di tutte le obbligazioni associate con le riserve assicurative ad un altro assicuratore. Il fair value di un’ attività o passività assicurativa è una misura affetta da : aspettative sui flussi e sulle possibili variazioni nell’ammontare e nei tempi in cui questi

flussi si verificano (timing); prezzo per l’incertezza di questi flussi; Valore nel tempo del denaro a prescindere dal rischio (tale elemento viene rappresentato

dal risk free rate).

Il punto di partenza per la misura di calcolo delle attività e delle passività assicurative prima di considerare il rischio dovrebbe essere il valore attuale di tutti i flussi futuri scaturiti dai diritti e dalle obbligazioni contrattuali scontati al tasso free risk prima delle tasse. I Flussi futuri da considerare sono: I pagamenti agli assicurati per i contratti esistenti e le relative spese di risarcimento; i premi ricevuti dall’assicuratore inclusi gli aggiustamenti retrospettivi a tali premi; le spese sostenute dall’assicuratore per acquisizione e mantenimento del contratto; imposte e tasse relative ai contratti in vita; pagamenti di riscatti ed uscite premature dal contratto.

Non vengono considerati i seguenti flussi futuri: le imposte sul reddito (pagamenti e riscossioni); i flussi derivanti da futuri contratti ; i rendimenti da investimenti correnti e futuri (fatta eccezione per i contratti linked).

Tradizionalmente i calcoli prospettivi sono stati effettuati in modo deterministico ma secondo il DSOP il calcolo del valore attuale medio di questi flussi va effettuato utilizzando un modello stocastico in quanto le tecniche stocastiche risultano più robuste di quelli deterministiche. Quando il fair value non è osservabile sul mercato occorre formulare delle ipotesi. Le ipotesi utilizzate per calcolare il valore attuale di questi flussi dovrebbero essere basate sulle aspettative della compagnia (ipotesi distributive) sugli accadimenti futuri. Le ipotesi legate al mercato (tassi di interesse, di inflazione e prezzo degli assets) dovrebbero essere coerenti con i dati del mercato. Per quanto riguarda le altre ipotesi non legate al mercato (scadenze e spese) queste dovrebbero essere determinate in riferimento alle informazioni passate sulle caratteristiche del portafoglio e dei dati industriali. Nella stima del fair value bisogna tener conto del rischio e dell’incertezza dovuti da tre cause principali: l’adozione di un modello non adatto ai flussi considerati (model risk ); la scelta di parametri per il modello non corretti (parametrer risk); errori dovuto alle fluttuazioni aleatorie dei processi statistici (process risk);

così come bisogna tener conto delle preferenze rispetto al rischio espresse dal mercato.

18

Cambiamenti del livello di rischio stimato possono essere effettuati dopo avere verificato la presenza di tali cambiamenti sui dati del mercato. A tale proposito il DSOP utilizza il termine Market Value Margin riferendosi ad un aggiustamento dei flussi coerente con le preferenze di rischio del mercato (avversione o propensione al rischio). In linea generale esistono tre modi per tener conto del rischio6: 1) Modificare il tasso di sconto: l’uso di un tasso superiore al tasso risk free porta ad un aggiustamento negativo del rischio, mentre l’uso di un tasso inferiore al risk free conduce ad un aggiustamento positivo per il rischio. 2) Utilizzare nella proiezione dei cash flow probabilità “distorte” (risk-adjusted) ed attualizzare i flussi al un tasso risk free. 3) Modificare i flussi scontati, utilizzando dei flussi diversi da quelli medi attesi (adjusted cash flow). Attraverso il primo approccio si include il premio per il rischio nel tasso di sconto per effettuare una compensazione per il rischio affrontato: un esempio è il Capital Asset Pricing Model (CAPM) . Nel secondo approccio, tipico del modello di Black & Scholes e della teoria dei contingent claims, la distribuzione di probabilità è tipicamente aggiustata per compensare il rischio così che i flussi siano scontati al tasso risk free come se gli investitori fossero indifferenti al rischio. Il terzo approccio dipende dalla funzione individuale di utilità: in genere si ipotizza una funzione di utilità convessa propria di chi è avverso al rischio. I tre modelli devono essere coerenti e condurre allo stesso risultato 3.2 RAPPRESENTAZIONE DI UNA POLIZZA SULLA DURATA DI VITA Un generico contratto assicurativo sulla durata di vita è definito da un insieme di prestazioni dell’assicuratore, che si materializzano in una sequenza di pagamenti le cui entità e collocazioni temporali sono individuate dalla effettiva determinazione della durata di vita dell’assicurato. L’assicuratore deve finanziare tali prestazioni chiedendo il pagamento di controprestazioni , i premi, che si materializzano in una serie di entrate per l’assicuratore. Nella logica asset-liability, la polizza può essere rappresentata calcolando i cash flow attesi generati dal contratto. Si consideri un generica polizza sulla vita scritta su di un assicurato di età x di durata n anni e periodo pagamento premi nm ≤ , e sia xT~ la variabile aleatoria della durata di vita residua dell’assicurato. Sia 0=t l’epoca di stipula del contratto; ntttt +++ ,,2,1: K lo scadenzario di riferimento; ntttkXX k +++= ,,2,1;~:~

K il flusso aleatorio di prestazioni pagabile dall’assicuratore;

mtttkUU k +++= ,,2,1;~:~K il flusso aleatorio di premi pagabile

dall’assicurato/contraente anticipatamente se in vita.

6 Cfr. Babbel e altri. (2001)

19

La generica variabile aleatoria kX~ è pari a

[1] ⎩⎨⎧ >

=altrimenti

kT~XX~ xk

k 0

nelle assicurazioni in caso di vita e

[2] ⎩⎨⎧ ≤<−

=altrimenti

kT~kXX~ xk

k 01

nelle assicurazioni in caso di morte; mentre la generica variabile aleatoria kU~ è pari a

[3] ⎩⎨⎧ =

=altrimentikU

U~k 01

nel caso di polizza a premio unico e a

[4] ( ) ( )

⎩⎨⎧ ≤∪>

=altrimenti

mkkT~UU~ xk

k 0

nel caso di rateizzazione del premio unico per m anni. 3.3 IL MODELLO ATTUARIALE CLASSICO DI VALUTAZIONE 3.3.1 POLIZZE TRADIZIONALI Presupposto di ogni valutazione attuariale è la fissazione del tasso annuo d’interesse i (tasso tecnico), al quale sono attualizzate le prestazioni ed i premi, e della distribuzione di probabilità della durata aleatoria di vita xT~ della persona assicurata. Tasso d’interesse e funzione di sopravvivenza costituiscono la base tecnica. Nello schema tradizionale di valutazione il valore dei flussi generati dal contratto si ottiene calcolando la speranza matematica degli importi futuri (secondo una fissata misura di probabilità) e scontando ciascun valore atteso con il tasso tecnico. Nell’assicurazione di capitale differito in caso di vita di una testa (x), la prestazione dell’assicuratore consiste nel pagamento di un capitale unitario alla fine dell’anno k ( k prefissato) se la testa supera in vita l’epoca k , 0 altrimenti:

[5] ( )

⎩⎨⎧ >

=altrimenti

kT~X~ kv

k 01

La speranza matematica, ovvero il valore attuale medio della prestazione è [6] ( )( ) ( ) ( ) ( ) xkxk

kx

kvk EpikT~PriX~E =+=>+= −− 11

20

essendo xk p la probabilità di una testa x di essere in vita tra k anni. Nell’assicurazione elementare in caso di morte di una testa (x), la prestazione dell’assicuratore consiste nel pagamento di un capitale unitario alla fine dell’anno k ( k prefissato) se la testa decede in quell’anno, 0 altrimenti:

[7] ( )

⎩⎨⎧ ≤<−

=altrimenti

kT~kX~ kd

k 011

La speranza matematica, ovvero il valore attuale medio della prestazione è [8] ( )( ) ( ) ( ) ( ) x/kx/k

kk

kdk AqikT~kPriX~E 1111111 −−

−− =+=≤<−+= essendo xk q1/1− la probabilità di decesso di una testa di età x tra l’età 1−+ kx e kx + . Per il principio di equità (o di equilibrio attuariale) il premio unico deve essere pari al valore attuale medio delle prestazioni. Per i due contratti di assicurazione considerati risulta rispettivamente: xk EU= e xk AU /1−= . Per il principio della linearità della speranza matematica e della funzione valore attuale, è possibile definire ogni forma assicurativa in termini delle due precedenti forme assicurative elementari (principio di composizione). In particolare, indicando con ( ) 11 −+= iv il fattore di sconto, per le principali polizze tradizionali sulla vita, i tassi di premio unico puro risultano: Rendita vitalizia posticipata: una testa (x) si assicura il pagamento di una rata unitaria

alla fine di ciascun anno, finché è in vita:

[9] ∑∑−−

=

−−

=

===1

1

1

1

x

hxh

hx

hxhx pvEaU

ωω

Rendita vitalizia anticipata: una testa (x) si assicura il pagamento di una rata unitaria

all’inizio di ciascun anno, finché è in vita:

[10] ∑∑−−

=

−−

=

===1

0

1

0

x

hxh

hx

hxhx pvEaU

ωω

&&

Rendita vitalizia temporanea anticipata: il pagamento della rata unitaria è limitato ad

un numero n di anni:

[11] ∑∑−

=

−

=

===1

0

1

0:

n

hxh

hn

hxhnx pvEaU &&

Rendita vitalizia differita anticipata: la corresponsione della prima rata avviene dopo m

anni:

[12] ∑∑−

=

−

=

===x

mhxh

hx

mhxhxm pvEaU

ωω

&&/

21

Assicurazione a vita intera: una testa (x) si assicura il pagamento di un capitale unitario alla fine dell’anno in cui avverrà il suo decesso:

[13] ∑∑−−

=

+−−

=

===1

01/

11

01/

x

hxh

hx

hxhx qvAAU

ωω

Assicurazione temporanea: la durata della copertura assicurativa si limita ad un periodo di n anni:

[14] ∑∑−

=

+−

=

===1

01/

11

01/

n

hxh

hn

hxhxn qvAAU

Assicurazione mista ordinaria: è definita come combinazione di un capitale differito n

anni e di un’assicurazione caso morte temporanea n anni, essendo i due capitali assicurati uguali. In caso di capitali assicurati unitari:

[15] ∑−

=

+ +=+==1

01/

1,

n

hxn

nxh

hxnxnnx pvqvEAAU

Nel caso in cui il premio non venga pagato in unica soluzione ma venga rateizzato in m anni (con nm ≤ ), per qualsiasi forma tariffaria, affinché il contratto risulti equo, dovrà essere

[16] ∑−

=

==1

0:

m

hmxxk aPEPU &&

[17] mxa

UP:&&

=

essendo P il premio puro periodico annuo costante. In particolare per una polizza mista ordinaria con capitale assicurato C il premio puro annuo costante è pari a

[18] ∑

∑−

=

−

=

+ +=

+== 1

0

1

01/

1

::

,m

hxh

h

n

hxn

nxh

h

mx

xnxn

mx

nx

pv

pvqvC

aEA

CaA

CP&&&&

In ogni istante di vita della polizza, il valore del contratto è fissato definendo la Riserva Matematica. In particolare la Riserva Matematica, calcolata con il metodo prospettivo, è pari alla differenza, all’epoca di valutazione, tra il valore attuale medio degli impegni della Compagnia ed il valore attuale medio degli impegni dell’assicurato/contraente. In termini generali per qualsiasi forma assicurativa a premio periodico costante la Riserva Matematica tV calcolata al tempo t è [19] ( ) tntxt aPtntxUCV −+−−+⋅= :, && essendo ( )tntxUC −+⋅ , il valore attuale medio degli impegni residui dell’assicuratore; mentre per le forme a premio unico si ha che [20] ( )tntxUCVt −+⋅= ,

22

In particolare per una polizza mista ordinaria con capitale assicurato C a premio annuo costante, la Riserva Matematica tV calcolata al tempo t è

[21] ∑∑−−

=+

−−

=+−

−+

+−+−+ −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+=−=

1

0

1

01/

1:,

tm

htxh

htn

htxtn

tntxh

htntxtntxt pvPpvqvCaPCAV &&

mentre nel caso di premio unico

[22] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+== ∑

−−

=+−

−+

+−+

1

01/

1,

tn

htxtn

tntxh

htntxt pvqvCCAV

3.3.2 POLIZZE RIVALUTABILI Le polizze rivalutabili sono caratterizzate dal fatto che le prestazioni e/o i premi sono indicizzate al rendimento di un portafoglio di contratti finanziari (gestione separata): si tratta di fondi bilanciati in cui la componente obbligazionaria (titoli di stato, obbligazioni corporate) si aggira intorno al 85-90%, essendo la restante parte investita in titoli rischiosi (azioni, derivati,ecc.). Generalmente in tali forme di polizze è previsto un rendimento minimo. Lo schema di indicizzazione tipico delle polizze italiane prevede che ad ogni anniversario di polizza t , la prestazione tC e/o il premio tP siano rivalutati sulla base delle seguenti relazioni: [23] ( )ttt CC ρ+= − 11 [24] ( )ttt PP ρ+= − 11 essendo

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

= min;1

max riiI t

tη

ρ il tasso di rivalutazione annua;

[ ]1,0∈η il coefficiente di partecipazione al rendimento del fondo (aliquota di retrocessione);

tI il rendimento del fondo di riferimento; 0min ≥r la rivalutazione annua minima garantita.

Tale schema di rivalutazione (rivalutazione piena) viene applicato in caso di polizze a premi periodi rivalutabili ed a premio unico (ovviamente in questo ultimo caso vale solamente la [23]). Nel caso di polizze a premi annui costanti la prestazione viene rivalutata secondo lo schema dei t-ennesimi:

[25] ( ) tttt ntCCC ρρ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+= − 11 01

Nello schema tradizionale di valutazione nel calcolo del premio la polizza viene trattata come non rivalutabile, per cui valgono le relazioni dalla [9] alla [18]. Nel calcolo della Riserva Matematica invece premi e prestazioni vengono mantenuti costanti al livello tP e tC per tutta la durata residua del contratto, per cui per le polizze a premi periodici vale la relazione

23

[26] ( ) tntxttt aPtntxUCV −+−−+= :, && essendo ( )tn,txUCt −+ il valore attuale medio delle prestazioni pagabili dall’assicuratore al beneficiario sulla durata residua del contratto e PPt = nel caso di premi costanti; mentre per le polizze a premio unico [27] ( )tntxUCV tt −+= , In particolare per una polizza mista rivalutabile la Riserva Matematica è pari a

[28] ( ) ( ) ( ) ( )∑∑−

=

−+

−

=

−−+−

−+− +−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+++=

tm

txt

tntn

txtntxtt ipPipiqCV01

1/1 111τ

ττ

τ

ττ

nel caso di premi annui, mentre nel caso di premio unico è pari a

[29] ( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++= ∑

−

=

−−+−

−+−

tntn

txtntxtt ipiqCV1

1/1 11τ

ττ

3.4 LE OPZIONI CONTRATTUALI Le garanzie menzionate nei paragrafi precedenti (ovvero le prestazioni assicurate), non sono legate a specifiche scelte dell’assicurato/contraente. Altre garanzie possono invece essere previste contrattualmente in relazione ad eventuali scelte dell’assicurato/contraente: tali garanzie vengono chiamate opzioni. Le principali opzioni previste nei contratti tradizionali italiani riguardano: la possibilità di riscattare il contratto ad un prezzo di riscatto garantito sin dalla stipula del

contratto (o comunque determinabile secondo una prefissata regola); l’opzione di trasformazione alla scadenza del contratto del capitale assicurato in rendita.

3.4.1 L’OPZIONE DI RISCATTO Il riscatto è un opzione contrattuale che consente all’assicurato/contraente di uscire anticipatamente dal contratto, di sospendere il pagamento dei premi ancora da corrispondere e di ricevere un capitale. La base per il calcolo capitale di riscatto è la riserva zillmerata7 Poiché tale riserva, almeno nei primi anni di contratto, può essere negativa o comunque molto piccola, la condizione per la concessione del riscatto è il decorso di un certo numero di anni dalla data di stipula del contratto e quindi il pagamento di un numero minimo di premi. Generalmente nelle polizze commercializzate nel mercato italiano il calcolo del capitale di riscatto viene effettuato mediante formule empiriche. In particolare per forme assicurative a premio unico il capitale di riscatto tR calcolato all’epoca t è [30] ( ) ( )tn

surtt iCR −−+= 1

7 La riserva zillmerata è la Riserva Matematica meno la provvigione d’acquisto non ammortizzata, che rappresenta un credito della Compagnia nei confronti dell’assicurato.

24

mentre per forme assicurative a premio periodico costante [31] ( ) ( )tn

surridtt iCR −−+= 1

essendo rid

tC il capitale ridotto, ovvero il capitale assicurato in caso di cessazione del pagamento dei premi da parte dell’assicurato, ed suri un tasso d’interesse composto annualmente, maggiore del tasso tecnico, la cui finalità è quella di penalizzare il riscatto. In particolare per le polizze non rivalutabili o che prevedono la rivalutazione delle prestazioni e dei premi, il capitale ridotto risulta pari a

[32] ntCC t

ridt =

mentre nel caso di polizze rivalutabili a premi costanti

[33] ( )00 CCntCC t

ridt −+=

Non in tutte le forme assicurative è prevista la concessione del riscatto: nelle forme di puro rischio, ad esempio, la riserva matematica è molto modesta, sicché il prezzo di riscatto sarebbe di importo trascurabile rispetto ai premi pagati; nelle polizze caso vita senza controassicurazione 8invece il riscatto non è previsto per evitare fenomeni di antiselezione. 3.4.2 L’OPZIONE DI RENDITA Nelle forme assicurative che prevedono il pagamento di un capitale in caso di vita a scadenza, miste e capitali differiti, è concesso all’assicurato di optare, alla scadenza del contratto, tra la riscossione del capitale e la sua conversione in una rendita vitalizia (rivalutabile o meno). L’opzione generalmente consente la conversione del capitale in una delle seguenti forme: a) una rendita annua vitalizia pagabile finché l’assicurato sia in vita; b) una rendita annua vitalizia pagabile in modo certo nei premi cinque o dieci anni e

successivamente finché l’assicurato sia in vita; c) una rendita annua vitalizia su due teste, quella dell’assicurato e quella di altra persona

designata, reversibile totalmente o parzialmente sulla testa superstite. Se l’assicurato esercita l’opzione, il capitale diventa il premio unico di una rendita vitalizia e le rate di rendita assicurate vengono determinate secondo un fattore G prefissato (coefficiente di conversione), che, nel caso ad esempio sub a) è pari a

[34] ( )δ+=+ 1

1

nxaG

&&

essendo nxa +&& il valore attuale medio di una rendita vitalizia anticipata su di una testa di età

nx + , e δ il caricamento annuo per le spese di pagamento rendita (generalmente pari a 1,25%).

8 La controassicurazione è una garanzia, inseribile nelle polizze caso vita, che consiste nella restituzione dei premi versati in caso di decesso dell’assicurato.

25

3.5 IL FAIR VALUE: LA VALUTAZIONE MARK TO MARKET Nello schema attuariale classico la valutazione delle prestazioni della Compagnia avviene deterministicamente fissando una tavola di mortalità e un tasso tecnico d’attualizzazione. Tale schema preveda l’utilizzo di basi tecniche prudenziali (basi del primo ordine), ottenute adottando tavole di mortalità pessimistiche ed un tasso tecnico sufficientemente basso rispetto ai tassi di mercato. Nei contratti italiani vengono inoltre previste altri tipi di garanzie, le c.d. opzioni. Come visto nel fissare i “prezzi d’esercizio” la Compagnia adotta delle “penalizzazioni” la cui finalità è quella di evitare che tali opzioni vadano in the money e quindi di fare in modo che il loro valore sia nullo durante tutta la vita del contratto. Per questi motivi nel calcolo dei premi e delle Riserve Matematiche il valore di queste garanzie viene considerato nullo. In realtà poiché le basi tecniche e le penalizzazioni rimangono costanti durante tutta la durata contrattuale, la Compagnia rimane comunque esposta a un rischio finanziario ed a un rischio demografico. Il rischio finanziario è determinato dalla presenza di prestazioni garantite e dalla possibilità che il valore delle attività sia inferiore a quello degli impegni dell’assicuratore (opzioni finanziarie implicite). Nelle assicurazioni a prestazioni predeterminate ed in quelle rivalutabili, il rischio porta a risultati negativi quando il tasso di rendimento degli attivi è inferiore a quello tecnico garantito. Il rischio demografico è causato dalle possibili durate aleatorie di vita degli assicurati. Esistono due tipi di rischio demografico: il rischio di scarti accidentali del numero dei decessi dal valore atteso ed il rischio di scarti sistematici. Il primo è imputabile alle normali fluttuazioni della mortalità nel portafoglio ed è “eliminabile” aumentando la dimensione del portafoglio (legge dei grandi numeri); il secondo è causato dal verificarsi di una mortalità strutturale diversa da quella attesa, ed è invece un rischio che aumenta con la dimensione del portafoglio polizze. La presenza di opzioni (implicite ed esplicite) qualifica il contratto assicurativo come contratto strutturato; di conseguenza i problemi di calcolo e gestione dei valori e dei rischi richiedono l’uso di modelli stocastici di non-arbitraggio, delle logiche e delle tecniche dell’option theory9. Risulta inoltre fondamentale che , coerentemente con la valutazione dell’attivo, il modello fornisca un pricing degli impegni della Compagnia a valori di mercato. 3.5.1 DEFINIZIONE DEL MODELLO STOCASTICO In linea generale il modello di riferimento deve essere definito in modo che sia adeguato per la valutazione dei contratti che contribuiscono all’attivo e al passivo della Compagnia: dato che le polizze sulla vita sono rappresentabili come contratti derivati, è necessario che il modello incorpori tante fonti d’incertezza quante sono le variabili sottostanti 10. In particolare poiché nella trattazione si farà riferimento a gestioni separate costituite da obbligazioni e azioni, denominate in un’unica valuta, è “sufficiente” un modello caratterizzato da tre fonti d’incertezza: incertezza relativa alla mortalità degli assicurati, incertezza relativa ai tassi d’interesse e incertezza relativa ai prezzi azionari. Nell’applicazione del modello si adotterà l’ipotesi di indipendenza tra incertezza demografica ed incertezze finanziaria. Ai fini della definizione del modello di non arbitraggio si assumono per il teorico mercato di riferimento le usuali proprietà di efficienza, ovvero l’informazione è disponibile a tutti gli operatori simultaneamente, ciascun operatore agisce razionalmente e non sono possibili profitti da arbitraggio non rischioso. 9 De Felice e Moriconi (2001). 10 De Felice e Moriconi (2001).

26

3.5.2 LE VARIABILI BASE DEL MODELLO 3.5.2.1 L’INCERTEZZA DEI TASSI D’INTERESSE Sia ,....2,1; =trt il processo aleatorio del tasso di interesse spot di mercato, definito su di uno spazio di probabilità ( )P,, rFΩ . Il prezzo ( )ntv , in t di uno zero coupon bond con valore di rimborso unitario e scadenza in n è:

[35] ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∫=− r

t

durFeEntv

n

t u,

essendo [ ].E l’operatore di media. Per il processo ,....2,1; =trt si è assunta una dinamica di tipo mean reverting square root, caratteristica del modello di Cox, Ingersoll e Ross (CIR):

[36] ( ) r

ttrtt dWrdtrkdr σθ +−= essendo, k il coefficiente di mean reverting, θ il tasso normale di lungo periodo, rσ la volatilità dello spot rate e r

tW un moto Browniano standard. 3.5.2.2 L’INCERTEZZA DEMOGRAFICA Sia xT la variabile aleatoria durata di vita residua di un assicurato di età x , e sia ,....2,1;: =+ tttxµ il processo aleatorio, definito su di uno spazio di probabilità ( )P,, µFΩ , dell’intensità istantanea di mortalità di un individuo di età tx + , osservata sull’anno di calendario t . La probabilità di sopravvivenza di tale individuo dopo n anni è espressa da:

[37] ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∫=>= +− µµ

0n0 :Prob FeEnTpn

ttx dt

xx

essendo [ ].E l’operatore di media. Per la dinamica del processo ,....2,1;: =+ tttxµ si è assunto un modello stocastico di tipo Mean-Reverting Brownian Gompertz (MRBG): [38] tx Ytg

xttx e µσµµ ++ = 0::

con 0,, 0: >xxg µσ µ in cui xg riassume la correzione di tipo deterministico prodotta contestualmente dalla variazione dell’età e dall’effetto del longevity risk, su cui si innestano perturbazioni aleatorie prodotte dal processo tY e µσ rappresenta la deviazione standard del processo ,....2,1;: =+ tttxµ ; in particolare il processo tY è un processo mean reverting, la cui dinamica è descritta dalla:

27

[39] 0,0, 0 ≥=+−= bYdWdtbYdY Yttt

con b il coefficiente di mean reverting e Y

tW un moto Browniano standard. 3.5.2.3 L’INCERTEZZA DEI PREZZI AZIONARI Sia ,....2,1; =tSt il processo aleatorio dell’indice azionario di riferimento, definito su di uno spazio di probabilità ( )P,, SFΩ . Per il processo ,....2,1; =tSt è stato utilizzato un modello alla Black & Scholes (BS): la dinamica dell’indice azionario di riferimento è descritta dalla [40] S

ttSSt dWSdtdS σµ += essendo Sµ e Sσ rispettivamente il coefficiente di drift e di volatilità del processo tS e S

tW un moto Browniano standard. Si è ipotizzato inoltre che le fonti d’incertezza relative ai tassi d’interesse e ai prezzi azionari sono correlate nel senso della [41] ( ) dtdWdWCov SrSr ,, ρ= essendo Sr ,ρ il coefficiente di correlazione istantaneo tra i processi tr e tS . 3.5.3 IL FAIR VALUE DI CONTRATTI ASSICURATIVI Sia ( )tV il fair value in t di una generica polizza sulla vita e sia ( )P,, ,, SrF µΩ lo spazio di probabilità su cui sono definiti i processi aleatori tr , tµ , tS , essendo SrF ,,µ la filtrazione congiunta dei tre processi. Poiché il fair value del contratto dipende dai valori correnti delle tre variabili base, si avrà che [42] ( ) ( ),t,S,µrVtV ttt= Non esistendo per i contratti assicurativi un mercato secondario sufficientemente liquido, nella logica asset-liability il fair value deve essere stimato proiettando i flussi di cassa attivi e passivi generati dalla polizza e scontando tali flussi ad una struttura per scadenza dei tassi d’interesse. Nei modelli di non arbitraggio il prezzo V non è determinato direttamente dalla struttura probabilistica dei processi sottostanti, ma da una misura di probabilità aggiustata per il rischio.

[43] ( ) ( )( )

( )( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∑∑

∈∈

S,,rt

t,sττ

t,sττttt FCFAt,τCFLt,τE,t,S,µrV µϕϕ

essendo [ ].E l’operato di media aggiustato per il rischio; ( )τϕ ,t il fattore di sconto stocastico tra t e τ dipendente dalla dinamica del tasso spot;

28

τCFL e τCFA , rispettivamente, il flusso aleatorio annuale degli impegni contrattuali dell’assicuratore e del contraente/assicurato, dipendenti congiuntamente dalla dinamica del tasso spot e dall’intensità istantanea di morte e dalla dinamica prezzi azionari;

SrtF ,,µ la filtrazione congiunta in t dei tre processi tr , tx+µ , tS .

3.5.3.1 POLIZZE TRADIZIONALI Si considerino nuovamente i due contratti elementari sulla vita introdotti nel paragrafo 3.3.1. l’assicurazione di capitale differito in caso di vita e l’assicurazione elementare in caso di morte. Nell’assicurazione di capitale differito in caso di vita di una testa (x), come visto la prestazione dell’assicuratore consiste nel pagamento di un capitale unitario alla fine dell’anno n ( n prefissato) se la testa supera in vita l’epoca n , 0 altrimenti. Il fair value CVFV della prestazione in t è

[44] ( )( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ ∫=

−

+++ +−µ

µ

µ ,0:

ˆ,, rt

dur

ttCV FeEtrFV

tn

uutxut

Nell’assicurazione elementare in caso di morte di una testa (x), la prestazione dell’assicuratore consiste invece nel pagamento di un capitale unitario alla fine dell’anno n ( n prefissato) se la testa decede in quell’anno, 0 altrimenti. Il fair value CMFV della prestazione in t è

[45] ( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ ∫

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ∫−

∫=

−

+

−

−−++

−−

++ −−−µ

µµ

µ ,01:

1

0:

1ˆ,, rt

durdudu

ttCM FeeeEtrFV

tn

ut

tn

tnuutx

tn

uutx

In particolare il fair value in t MFV di una polizza mista semplice su una testa (x), capitale assicurato costante C di durata n anni è

[46] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+−+= +

−

=+∑ µ

τ

ϕτττϕµ ,rttx

tn

txttM Ftnptn,t,qt,tCˆt,,rFV1

1E

nel caso di polizza a premio unico, e [47] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+−+= ∑∑

−

=++

−

=+

µ

ττ

ττϕϕτττϕµ ,rt

tm

txtx

tn

txttM Fpt,tPtnptn,t,qt,tCˆt,,rFV11

111E

nel caso di polizza a premio annuo costante P pagabile per m anni, essendo

29

( )∫

=++−

τ

τϕ 0

dur ut

et,t il fattore di sconto stocastico tra t e τ+t ;

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ∫−

∫=− −

++

−

++ −−

+

τ

τ

τ

µµ

ττ 1:

1

0:

1,1dudu

tx

uutxuutx

eeq la probabilità stocastica di decesso dell’assicurato

di età tx + nel τ+t - esimo anno di contratto;

( )∫

=++−

+

τ

µ

τ 0: du

tx

uutx

ep la probabilità stocastica dell’assicurato di età tx + di essere in vita tra τ anni.

3.5.3.2 POLIZZE RIVALUTABILI Come visto nel paragrafo 3.3.2. le polizze rivalutabili sono caratterizzate da una struttura finanziaria complessa: le prestazioni e/o i premi sono indicizzati al rendimento di un fondo di riferimento, essendo previsto anche un rendimento annuo minimo garantito. Si consideri ad esempio una polizza mista rivalutabile, in cui non sia prevista né il riscatto né la possibilità a scadenza di convertire il capitale in rendita. Sia tS il valore al tempo t del fondo di riferimento;

11

−=−t

tt S

SI il rendimento al tempo t del fondo di riferimento;

tρ il tasso di rivalutazione riconosciuto al contratto (prestazioni e premi) al tempo t ; Il fair value MRFV del contratto al tempo t è pari a

[48] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−+−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−−+−+= ∑∑

−

=++

−

=+−+

Sµ,r,t

tm

1τtxttxt

tn

1τtxttttMR F1τp1τt,tψPtnptnt,Cτ1,τqτt,tCE,tS,µ,rFV ψϕτ 1

essendo ( ) ( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ ∫+=+

+−

=+∏

τ

0ut durτ

1kkt eρ1τt,tψ il prezzo stocastico in t di uno zero coupon bond

indicizzato con scadenza in τ+t e valore nominale unitario Da un punto di vista finanziario le polizze rivalutabili assumo la forma di contratti strutturati: la garanzia di rendimento fa si che il contratto incorpori opzioni di tipo europeo. In particolare essendo il minimo garantito consolidato alla fine di ogni anno, le opzioni implicite sono di tipo cliquet [De Felice e Moriconi (2001)]. Come visto nel paragrafo 3.3.2. la regola di rivalutazione tipica dei contratti rivalutabili italiani è espressa specificando tρ nella forma

[49] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

= min;1

max riiIt

tηρ

che può essere riscritta come

[50] ( )( ) ( )i

iiIi

iiriI ttt +

−=

+−++

=1

;max1

1;max minmin ηηρ

30

avendo indicato con ( )irii ++= 1minmin il rendimento annuo minimo garantito. Si consideri ad esempio una polizza di capitalizzazione a premio unico [De Felice e Moriconi (2001)], la prestazione a scadenza è

[51] ( ) ( )∏∏+=+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

+=+=n

tt

n

ttn i

iiICCC1

min

1 1;max11

τ

τ

ττ

ηρ

Ricordando che per tale polizza la riserva matematica tV , accantonata dalla Compagnia è [52] ( ) ( )tn

tt iCV −−+= 1 la [50] può allora essere riscritta come

[53] ( )[ ]∏+=

+=n

tmintn i,ImaxRC

1

1τ

τη

In particolare operando la cosi detta scomposizione put la [53] può essere riscritta come

[54] ( )[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−++= ∏+=

n

tmintn ;IimaxIRC

1

01τ

ττ ηη

essendo ( )0;max min τηIi − il pay-off di una opzione put scritta sul rendimento della gestione separata a garanzia del rendimento minimo. Operando invece la cosi detta scomposizione call la [53] può essere riscritta come

[55] ( )[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−++= ∏+=

n

tminmintn ;iImaxiRC

1

01τ

τη

essendo ( )0;max miniI −τη il pay-off di una opzione call scritta sul rendimento della gestione separata a copertura dell’eventuale over-performance del fondo. 3.5.3.3 L’OPZIONE DI RENDITA L’opzione di conversione in rendita consente all’assicurato di optare, alla scadenza del contratto, tra la riscossione del capitale e la sua conversione in una rendita vitalizia (rivalutabile o meno). Si supponga che l’opzione consenta la conversione del capitale in una rendita annua vitalizia non rivalutabile pagabile finché l’assicurato sia in vita. Alla scadenza n il pay-off del contratto è dato [Ballotta and Haberman (2003)] dalla [56] ( )( )µ,;maxˆ r

nnxnn FRVAGCCE + essendo nC il capitale assicurato alla scadenza della polizza; G il fattore di conversione in rendita definito come nella [34]; nGC l’annualità di rendita garantita;

31

nxRVA + il valore stocastico in n di una rendita vitalizia anticipata di rata unitaria calcolata su una testa di età nx + :

[57] ( ) ( )( )

∑+−

=++ +=

nx

txnx pnnRVAω

τ

ττϕ0

,

La [56] può essere scomposta nella [58] ( )( )µ,0;maxˆ r

nnnxnn FCRVAGCEC −+ + e quindi nella [59] ( )( )µ,0;maxˆ r

nnxnn FKRVAEGCC −+ + essendo ( )0;KRVAmax nx −+ il pay-off a scadenza di una opzione call scritta sul valore della rendita vitalizia e prezzo d’esercizio GK /1= (coefficiente di rendita garantito). In qualsiasi istante [ ]nt ,0∈ il fair value dell’opzione in rendita OTA è [60] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] S,,r

tnxntxttt F;KRVAmaxGCtn,ttnpEt,S,,rOTA µϕµ 0−−−= ++ 3.5.3.4 L’OPZIONE DI RISCATTO Come visto nel paragrafo 3.4.1. il riscatto è un diritto contrattuale che consente all’assicurato/ contraente di uscire anticipatamente dal contratto, di sospendere il pagamento dei premi ancora da corrispondere e di ricevere un capitale. Da un punto di vista finanziario il diritto di riscatto è un’opzione di tipo americano esercitabile fino alla scadenza del contratto, dopo che siano stati pagati un numero minimo di premi, con prezzo di esercizio pari al capitale di riscatto. Il meccanismo sottostante l’opzione di riscatto è il seguente: ad ogni istante t in cui l’opzione può essere esercitata, l’assicurato compara il capitale di riscatto con il valore atteso di continuazione del contratto, esercitando l’opzione se il valore di ricatto è più alto. Al fine di calcolare il fair value di questa opzione in una polizza rivalutabile senza opzione di rendita, Grosen and Jørgensen (2000) and Bacinello (2003) propongono un modello binomiale alla Cox, Ross and Rubinstein (1979). Andreatta e Corradin (2003) utilizzano invece il metodo Monte Carlo mediante l’approccio dei Minimi Quadrati [Longstaff e Schwartz (2001)]. Ai fini del pricing dell’opzione di riscatto con l’applicazione di questo ultimo metodo, si consideri una polizza mista rivalutabile a premi annui costanti in cui non sia prevista l’opzione di rendita. Come visto nel paragrafo 3.4.1. per una tale polizza il valore di riscatto al tempo t è pari a

[61] ( )( ) ( )tnsurtt iCC

ntCR −−+−+= 100

Al tempo 1−n , se l’assicurato è in vita, il valore di continuazione del contratto in ogni simulazione j, è pari a11:

11 Cfr. Andreatta e Corradin (2003)

32

[62] ( ) ( ) ( ) ( ) PCnnW jn

jjn −−=− ,11 ϕ

essendo ( )j

nC il capitale assicurato al tempo n dovuto con certezza, ( ) ( )nnj ,1−ϕ il fattore di attualizzazione tra 1−n e n , e P il premio annuo. Il valore del contratto ( )

1−njF è il massimo

tra il valore di continuazione ed il valore di riscatto [63] ( ) ( ) ( )( )j

nj

nj

n RWF 111 ,max −−− = Supponiamo ora di essere al tempo 1−< nt . Come nella formula ricorrente di Fackler-Fourer, continuare il contratto significa pagare immediatamente il premio P e ricevere al tempo 1+t il capitale tC in caso di decesso, o, in caso di sopravvivenza, essere titolari di un contratto il cui valore (incluso il diritto di riscatto nel futuro) è ( )

1+tjF . Il valore di

continuazione in t è quindi pari a [64] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] PFttEpttqCW ttx

jtx

jt

jt −+++= +++ 11,ˆ1, ϕϕ

e il valore del contratto è [65] ( ) ( ) ( )( )j

tj

tj

t RWF ,max= Nel caso in cui nel contratto sia prevista anche l’opzione di rendita , al tempo 1−n , se l’assicurato è in vita, il valore di continuazione del contratto in ogni simulazione j, è pari a [Baione, De Angelis e Fortunati (2004)]: [66] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] PpRVAGCCqCnnW nx

jnx

jn

jnnx

jn

jjn −+−= −++−+−− 1111 ;max,1ϕ

Con l’approccio dei Minimi Quadrati elaborato da Longstaff and Schwartz è possibile stimare il valore scontato atteso del valore futuro dell’opzione utilizzando le informazioni contenute nella cross-section delle simulazioni. In particolare è necessario stabilire una relazione funzionale tra l’aspettativa condizionata e le variabili base da cui questa grandezza dipende: [67] ( )( ) ( )t

jt

Mt efFttE αϕ ,1,ˆ

1 ≈+ + essendo ( ).Mf un generico polinomio di grado M; j

te il vettore delle variabili base per ogni istante t e simulazione j ; tα il vettore dei coefficienti del polinomio per ogni istante t .

In particolare il vettore dei coefficienti di regressione tα è definito dalla

[68] ( ) ( )[ ]∑=

+ −+N

jt

jt

Mjt

j efFtt1

21 ,1,minarg αϕ

essendo N il numero di simulazioni.

33

Come suggerito in Andreatta e Corradin (2003), è stato scelto un polinomio di terzo grado in due variabili base: il capitale assicurato ed il valore del fondo di riferimento: [69] ( )( ) 2

102

983

72

653

42

32111,ˆttttttttttttt SCaSCaSCaSaSaSaCaCaCaaFttE +++++++++≈+ +ϕ

In generale il valore dell’opzione di riscatto è implicito nel fair value del contratto così calcolato. Volendo quindi isolare il valore dell’opzione bisogna calcolare il valore di un contratto identico, ma che non preveda la possibilità di riscatto: la differenza tra il fair value dei due contratti fornisce il valore dell’opzione.

34

4 UN’APPLICAZIONE DEL MODELLO ATTUARIALE DI FAIR VALUE In questo capitolo verrà presentata un’applicazione del modello precedentemente introdotto. La polizza di riferimento è una polizza mista rivalutabile a premio annuo costante, con rendimento minimo garantito, opzione di rendita ed opzione di riscatto. Ai fini della determinazione del fair value di tale forma assicurativa, assume rilievo la composizione del portafoglio di investimento a cui sono agganciate le prestazioni assicurative e la relativa strategia di gestione finanziaria: nelle applicazioni che seguono si è assunto che il fondo di riferimento abbia un benchmark di riferimento costituito da una prevalente componente obbligazionaria (90%) ed una minore componente azionaria (10%), e una strategia di roll-over a un anno del benchmark di riferimento. Non essendo possibile valutare la polizza in esame con formule chiuse, il calcolo è stato effettuato ricorrendo a metodi simulativi di tipo Monte Carlo. In particolare l’analisi è stata condotta su tre contratti con diversa antidurata alla data di valutazione ed emessi con diverse basi tecniche del primo ordine. In Tabella [1] sono riportati i parametri contrattuali Tabella [1] CARETTERISTICHE DEI CONTRATTI Contratto A B C Sesso Maschio Maschio Maschio Età 45 45 45 Antidurata 6 2 0 Durata 15 15 15 Tasso tecnico 4,00% 2,50% 1,00% Tavola di mortalità SIM 51 SIM 81 SIM 92 Capitale assicurato iniziale 100,00 € 100,00 € 100,00 € Capitale assicurato alla data di valutazione 132,00 € 100,55 € 100,00 €

Coefficiente di retrocessione 87,5% 85,0% 85,0% Rivalutazione garantita annua 0,00% 0,00% 0,00% Coefficiente di conversione in rendita 8,32% 7,57% 4,85% Tasso di attualizzazione per il calcolo del capitale di riscatto 5,50%-5,25% 4,72%-4,13% 3,00 -2,50%

Come in Bacinello (2003), il fair value della polizza è stato suddiviso nelle sue quattro componenti: il contratto di base, ovvero una polizza mista ordinaria non rivalutabile,senza garanzia di minimo né opzioni; l’opzione di partecipazione ai rendimenti della gestione separata con garanzia dei minimo; l’opzione di rendita e l’opzione di riscatto. Nella Tabella [2] sono riportati i parametri dei processi CIR e BS: con particolare riferimento al modello CIR, i parametri risk-adjusted sono stati ottenuti applicando la metodologia di stima alla Brown e Dybvig (1986) sulla quotazione degli interest rate swaps al 1° ottobre 2003. Nella Tabella [3] sono riportati i parametri del processo MRBG stimati in riferimento alla tavola di mortalità RG48 nei tre casi.

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Tabella [2] PARAMETRI DEI PROCESSI CIR E BS tr tS

0r 0,015268 0S 1k 0,245439 Sσ 0,01θ 0,058359 Sr ,ρ -0,1

rσ 0,053524 Tabella [3] PARAMETRI DEL PROCESSO MRBG

Polizza A Polizza B Polizza C

0:tx+µ 0,0021 0:tx+µ 0,0017 0:tx+µ 0,0015b 0.5 b 0,5 b 0,5

µσ 0,1763 µσ 0,1732 µσ 0,1716g 0,1040 g 0,1040 g 0,1038

Per ciascun contratto le Tabelle [4], [5] e [6] riportano il flusso di cassa annuo atteso, generato da 100.000 simulazioni delle tre variabili base, rispettivamente della riserva matematica calcolata secondo il modello attuariale classico, e del fair value del contratto considerato in tutte le sue componenti

Tabella [4] RISERVA MATEMATICA E FAIR VALUE DEL CONTRATTO – CONTRATTO A

Anno Riserva Matematica

Contratto base

Opzione di partecipazione al rendimento

gestione separata

Opzione di rendita

Opzione di riscatto

Contratto base + opzioni

1 62,71 34,51 33,34 4,29 - 72,14 2 70,31 40,87 34,36 4,43 - 79,67 3 78,54 47,67 35,61 4,60 - 87,89 4 87,54 54,95 37,08 4,79 - 96,83 5 97,38 62,76 38,74 5,01 - 106,51 6 108,16 71,12 40,60 5,25 - 116,98 7 119,98 80,08 42,66 5,51 0,00 128,25 8 133,01 89,69 44,90 5,79 0,01 140,39 9 147,34 100,00 47,34 6,09 - 153,43

(importi in euro)

36

Tabella [5] RISERVA MATEMATICA E FAIR VALUE DEL CONTRATTO – CONTRATTO B

Anno Riserva Matematica

Contratto base

Opzione di partecipazione al rendimento

gestione separata

Opzione di rendita

Opzione di riscatto

Contratto base + opzioni

1 17,49 3,05 13,91 0,14 - 17,10 2 23,61 8,92 14,36 0,14 - 23,43 3 30,09 15,04 14,92 0,15 0,01 30,11 4 36,98 21,45 15,56 0,15 0,02 37,20 5 44,29 28,23 16,30 0,16 0,04 44,73 6 52,09 35,38 17,13 0,17 0,06 52,75 7 60,47 42,98 18,05 0,18 0,09 61,30 8 69,41 51,04 19,06 0,19 0,12 70,41 9 79,03 59,61 20,16 0,20 0,15 80,12 10 89,39 68,74 21,35 0,21 0,19 90,49 11 100,53 78,49 22,63 0,22 0,22 101,55 12 112,53 88,89 23,99 0,23 0,24 113,35 13 125,44 100,00 25,44 0,24 - 125,68

(importi in euro)

Tabella [6] RISERVA MATEMATICA E FAIR VALUE DEL CONTRATTO – CONTRATTO C

Anno Riserva Matematica

Contratto base

Opzione di partecipazione al rendimento

gestione separata

Opzione di rendita

Opzione di riscatto

Contratto base + opzioni

1 6,29 - 15,31 20,32 - 0,50 5,52 2 12,85 - 9,39 20,98 - 0,53 12,12 3 19,71 - 3,32 21,78 - 0,55 19,01 4 26,93 2,96 22,72 - 0,59 26,27 5 34,54 9,53 23,78 - 0,63 33,94 6 42,60 16,41 24,98 - 0,68 42,07 7 51,15 23,67 26,30 - 0,73 50,69 8 60,20 31,33 27,74 - 0,80 59,87 9 69,77 39,44 29,32 - 0,86 69,62 10 79,97 48,04 31,04 - 0,94 80,01 11 90,81 57,17 32,88 - 1,02 91,07 12 102,33 66,88 34,86 - 1,10 102,84 13 114,61 77,21 36,97 - 1,19 115,38 14 127,66 88,23 39,22 - 1,28 128,72 15 141,60 100,00 41,60 - - 141,60

(importi in euro)

37

Le Tabelle [4], [5] e [6] mostrano che:

le passività aumentano in media del 10,83% nel caso A, dello 0,13% nel caso B, mentre nel caso C c’è un decremento dell’ 1,75% circa;

come era lecito aspettarsi, la partecipazione al rendimento della gestione separata costituisce l’opzione più rilevante: rappresenta in media il 36,97% dell’intero valore del contratto nel caso A, il 29,85% nel caso B e il 46,46% nel caso C;

il peso percentuale dell’opzione di riscatto è in media di: o 0,00% nel caso A, essendo molto alto il valore dell’opzione di rendita, a causa

degli elevati coefficienti di rendita garantiti nelle polizze di vecchia generazione, ed il tasso tecnico garantito;

o 0,14% nel caso B, essendo più bassi il coefficiente di annualità garantito ed il tasso tecnico;

o 1,24% nel caso C, dovuto a condizioni contrattuali più sfavorevoli per l’assicurato. Nelle Tabelle [7], [8] e [9] vengono riportati per i tre contratti la deviazione standard, il coefficiente di variazione e la skewness del fair value della polizza con opzioni: tali parametri offrono misure di rischiosità utili per il calcolo di margini di rischio da adottare in un sistema contabile al fair value. Tabella [7] DEVIAZIONE STANDARD, INDICE DI VARIAZIONE E SKEWNESS – CONTRATTO A

Anno σ

µσ 3

3

σµ

1 7,39 0,10 2,26 2 7,59 0,09 2,25 3 7,83 0,08 2,22 4 8,15 0,08 2,13 5 8,59 0,08 1,98 6 9,20 0,08 1,79 7 10,03 0,08 1,59 8 12,90 0,09 1,08 9 13,53 0,09 1,10

38

Tabella [8] DEVIAZIONE STANDARD, INDICE DI VARIAZIONE E SKEWNESS – CONTRATTO B

Anno σ

µσ 3

3

σµ

1 4,99 0,25 2,48 2 5,16 0,20 2,44 3 5,37 0,16 2,37 4 5,64 0,14 2,27 5 5,99 0,13 2,14 6 6,43 0,12 1,97 7 7,00 0,11 1,79 8 7,71 0,11 1,60 9 8,60 0,10 1,45 10 9,67 0,10 1,34 11 10,93 0,11 1,28 12 12,41 0,11 1,24 13 13,60 0,11 1,25

Tabella [9] EVIAZIONE STANDARD, INDICE DI VARIAZIONE E SKEWNESS – CONTRATTO C

Anno σ

µσ 3

3

σµ

1 5,72 0,67 2,72 2 5,93 0,39 2,66 3 6,20 0,28 2,57 4 6,54 0,22 2,46 5 6,96 0,19 2,31 6 7,47 0,16 2,14 7 8,10 0,15 1,96 8 8,86 0,14 1,77 9 9,78 0,13 1,60 10 10,88 0,13 1,44 11 12,20 0,13 1,32 12 13,73 0,13 1,24 13 15,47 0,13 1,20 14 17,27 0,13 1,19 15 18,94 0,13 1,19

Nella Tabella [10] sono invece riportate le probabilità di esercizio dell’opzione di rendita nei tre casi al variare del coefficiente di rendita garantita.

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Tabella [10] PROBABILITÀ DI ESERCIZIO DELL’OPZIONE DI RENDITA K Caso

10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 A 95,0% 89,7% 80,4% 68,5% 52,1% 35,8% 23,0% 10,9% 5,0%B 90,1% 80,2% 66,6% 49,4% 32,3% 19,4% 8,5% 3,3% 1,0%C 87,8% 76,2% 62,7% 44,0% 27,4% 14,1% 6,3% 2,1% 0,5%

La Figura [1] mostra un’analisi di sensitività del fair value dell’intero contratto al variare dei parametri K e suri , mentre nella Figura [2] l’analisi viene ristretta all’opzione di riscatto.

Figura [1] FAIR VALUE DELL’INTERO CONTRATTO AL VARIARE DEI PARAEMTRI K E suri

Figura [2] FAIR VALUE DELL’OPZIONE DI RISCATTO AL VARIARE DEI PARAMETRI K E suri

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Da ultimo la Figura [3] mostra un’analisi di sensitività del fair value dell’opzione di rendita al variare dei parametri K e t .

Figura [3] FAIR VALUE DELL’OPZIONE DI RENDITA AL VARIARE DEI PARAMETRI t E K – CONTRATTO A

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