Asinc Parte 2

Universita degli studi di Pisa

FACOLTA DI INGEGNERIACorso di Laurea Triennale in Ingegneria Elettrica

DISPENSE DI MACCHINE ELETTRICHE

TRATTE DAL CORSO TENUTO DAL PROF.

OTTORINO BRUNO

MACCHINA ASINCRONA

A cura dello studente Gabriele Giovanni Padovano

Con la supervisione del prof. Luca Sani

Anno Accademico 2011/12

Indice

Indice delle figure iii

Introduzione iv

1 Principio di funzionamento e aspetti costruttivi 11.1 Struttura generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Principio di funzionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Funzionamento con avvolgimento di rotore aperto econ rotore fermo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Funzionamento con avvolgimento di rotore aperto econ rotore in movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.3 Funzionamento con avvolgimento di rotore in corto-circuito e con rotore in movimento . . . . . . . . . . . 8

2 Modello matematico della macchina asincrona 92.1 Approccio intuitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Approccio rigoroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Caratteristica meccanica 213.1 Bilancio energetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Espressione della coppia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Regolazione della velocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Diagramma circolare 314.1 Prova a vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Prova in cortocircuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3 Misura della resistenza statorica . . . . . . . . . . . . . . . . 354.4 Regole generali di tracciamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Conclusioni 39

i

Elenco delle figure

1.1 Statore di un motore asincrono trifase. . . . . . . . . . . . . . 21.2 Motore con rotore avvolto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Motore con rotore a gabbia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Motore con rotore a doppia gabbia. . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Motore con rotore a cave profonde. . . . . . . . . . . . . . . . 41.6 Rappresentazione in sezione di un motore asincrono. . . . . . 5

2.1 Assi magnetici di statore e di rotore. . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Flusso principale (linee di campo di tipo (a)) e flusso disperso

(linee di campo di tipo (b) e (c)). . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Circuito equivalente monofase. . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Circuito equivalente monofase. . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5 Circuito equivalente monofase della macchina asincrona. . . . 20

3.1 Forma alternativa del circuito equivalente monofase della macchi-na asincrona. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Bilancio energetico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Caratteristica di coppia in funzione dello scorrimento. . . . . 243.4 Caratteristica di coppia in funzione della velocita. . . . . . . . 253.5 Regolazione della velocita mediante variazione della resisten-

za rotorica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.6 Regolazione della velocita mediante variazione della frequenza

di alimentazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.7 Campo di regolazione a coppia costante (regolazione V/f=cost). 293.8 Campo di regolazione a potenza costante (V=costante). . . . 30

4.1 Schema di misura per la prova a vuoto sul motore asincrono . 324.2 Circuito equivalente dell’asincrono per descrivere il funziona-

mento a vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3 Schema di misura per la prova in cortocircuito sul motore

asincrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.4 Circuito equivalente del motore asincrono in cortocircuito ri-

portato al primario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.5 Schema di montaggio per la prova voltamperometrica . . . . 35

ii

ELENCO DELLE FIGURE iii

4.6 Costruzione del diagramma circolare . . . . . . . . . . . . . . 364.7 Diagramma circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Introduzione

I motori asincroni trifase possono essere considerati tra le macchine elet-triche piu affidabili; svolgono la loro funzione per molti anni con interventidi manutenzione assai ridotti e si adattano a prestazioni diverse in base alleesigenze, coprendo sia applicazioni di produzione sia di servizio.I motori trovano, come detto, impiego nei settori industriali piu svariati,come ad esempio le industrie alimentari, chimiche, metallurgiche, le cartiereo in impianti di trattamento acque o di tipo estrattivo.Le applicazioni riguardano quelle macchine con organi in movimento a velocitafissa o variabile, quali ad esempio i sistemi di sollevamento come ascensori omontacarichi, di trasporto come nastri trasportatori, i sistemi di ventilazionee climatizzazione (unita trattamento aria), senza dimenticare il piu comuneimpiego come pompe e compressori.Da queste indicazioni si evince come il motore asincrono trifase possa essereconsiderato come la macchina elettrica piu diffusa in ambiente industriale(il consumo di energia dei motori elettrici e circa il 75% del totale consumodel settore industriale). A fronte di questo dato si capisce come possa essereimportante per l’economia aziendale (il costo di un motore nella propria vitae dovuto per circa il 98% al consumo di energia e per il rimanente 2% allespese di acquisto e manutenzione) e per il miglioramento dell’efficienza ener-getica in senso lato, attuare una riduzione dei consumi elettrici ricorrendoad esempio all’utilizzo di azionamenti a velocita variabile attraverso inver-ter, oppure realizzando il rifasamento per avere un cosφ idoneo per evitaredi incorrere in penali.Rispetto agli altri tipi di motori elettrici, il motore asincrono presenta di-versi vantaggi: peso ed ingombro ridotti a parita di potenza; mancanza diparticolari dispositivi di eccitazione prelevando, direttamente dalla rete, lapotenza magnetizzante necessaria per creare il flusso induttore della macchi-na; e autoavviante; sviluppa, spontaneamente ed automaticamente, variandola propria velocita, una coppia motrice atta a controbilanciare la coppia re-sistente applicata all’albero motore, determinando un funzionamento stabile(all’aumentare del carico rallenta); sovraccaricabilita, anche il 100% dellasua potenza nominale; esigenze di manutenzione molto ridotte, semplicitadi esercizio ed alto rendimento.D’altro canto, presenta alcuni aspetti vincolanti, tra i quali: all’avviamento,

iv

INTRODUZIONE v

con inserzione diretta sulla rete, la corrente di spunto puo risultare anche4-10 volte maggiore della corrente assorbita a pieno carico, con problemi al-la rete di distribuzione (cadute di tensione) ed agli interruttori (intervento);questa corrente risulta, inoltre, essere tanto sfasata rispetto alla tensione(come nei trasformatori in corto circuito) che la coppia motrice sviluppa-ta dal motore all’avviamento, detta coppia di spunto, e piccola nonostantel’elevato valore della corrente assorbita; la velocita di rotazione del mo-tore, nel campo di funzionamento normale, praticamente costante, perchestrettamente legata alla frequenza della corrente di alimentazione; la coppiamassima (proporzionale al quadrato del rapporto tra il valor efficace dellatensione di alimentazione e la frequenza) costante ed ad una ben precisavelocita.Il presente lavoro e strutturato in quattro parti: nella prima vengono trattatigli aspetti costruttivi e il principio di funzionamento di tale macchina; nellaseconda viene sviluppato il modello matematico, atto alla determinazionedel circuito monofase equivalente, seguendo due approcci:

� intuitivo, ipotizzando che le induttanze proprie del sistema si possanoscomporre in due contributi: uno dovuto al flusso disperso e l’altrodovuto al flusso mutuamente concatenato;

� rigoroso, dal quale si ottiene un modello dinamico (i parametri di mu-tua statore-rotore variano nel tempo), generale (non si sono fatte ipote-si sul tipo di tensioni di alimentazione) ed esatto (non sono state fatteipotesi semplificative).

Inoltre, nella terza ne vengono ricavate l’espressione della coppia e la carat-teristica meccanica; infine, nella quarta, vengono esposte le regole di trac-ciamento del diagramma circolare e le caratteristiche della macchina da essoevincibili.

Capitolo 1

Principio di funzionamento easpetti costruttivi

Lo scopo di questa sezione e illustrare il principio di funzionamento e lastruttura generale del motore asincrono trifase ed esaminarne i principaliaspetti costruttivi e le scelte tecniche poste alla loro base.

1.1 Struttura generale

Il motore asincrono e costituito da due parti fondamentali di forma cilindri-ca coassiali: una parte esterna, fissa, detta statore ed una interna, coassiale,munita di albero, sostenuto da due supporti, libera di ruotare intorno al-l’asse della macchina, detta rotore.Il primo elemento e lo statore che, puo essere definito, come l’insieme delleparti fisse che svolge la funzione di sostenere, almeno parzialmente, la macchi-na, ma fondamentalmente costituisce la parte del circuito magnetico checontiene gli avvolgimenti induttori alloggiati in apposite cave in esso rica-vate in corrispondenza della sua superficie interna.Lo statore, di cui viene fornita una rappresentazione in figura 1.1, e costi-tuito da lamierini in lega d’acciaio-silicio o in acciaio massiccio, isolati tra diloro. Dalla sua struttura dipende quanto sia interessato da flussi magneticivariabili nel tempo che provocano perdite per isteresi (legate alla magnetiz-zazione non lineare del materiale) e per correnti indotte parassite.Nelle cave ricavate nella struttura dei lamierini sono inseriti tre avvolgimentiprimari (ognuno costituito da piu bobine diversamente collegate tra loro),ai quali viene applicata la tensione di alimentazione e che generano il campomagnetico.Gli avvolgimenti statorici trifase possono essere collegati a stella oppurea triangolo; in quest’ultimo caso la cosa e possibile con motori dotati dimorsettiera con 6 morsetti, permettendo di alimentare lo stesso motore contensioni trifase di rete differenti.

1

PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO E ASPETTI COSTRUTTIVI 2

Figura 1.1: Statore di un motore asincrono trifase.

Il secondo elemento e il rotore che viene posizionato all’interno dello statore,e costituisce il circuito indotto della macchina.Per quanto riguarda il rotore esistono diverse tipologie di avvolgimento:

� rotore avvolto

� rotore a gabbia di scoiattolo

� rotore a doppia gabbia

� rotore a barre alte o a cava profonda

Nel primo caso l’avvolgimento e tipicamente trifase e deve avere lo stessonumero di polarita dello statore; anch’esso e organizzato in bobine inseritenelle cave di rotore. In questo caso le cave rotoriche devono essere del tipoaperto o semichiuso.Nei motori a rotore avvolto viene sfruttata la possibilita di accedere agliavvolgimenti rotorici attraverso dei contatti striscianti (spazzole) e deglianelli a cui fanno capo i terminali liberi delle tre fasi di rotore, come il-lustrato schematicamente in figura 1.2.Questa soluzione costruttiva, abbastanza in uso in passato, e oggi pratica-mente abbandonata nei motori industriali. Motori asincroni a rotore avvoltovengono ancora costruiti esclusivamente per grosse taglie di potenza, laddovesi pensi di realizzare una regolazione di velocita del motore con interventisull’avvolgimento rotorico.Oggi, nel campo delle applicazioni industriali, la tipologia di motori a in-duzione piu impiegata prevede la versione a gabbia di scoiattolo dell’avvol-gimento rotorico.Tale gabbia viene realizzata, almeno per le taglie di potenza orientativa-mente inferiori ai 250 kW, in alluminio attraverso un processo di pressofu-sione. Questo procedimento e estremamente veloce e vantaggioso, in terminieconomici, per una vasta produzione di serie; esso consiste nell’iniettare al-luminio fuso, sotto pressione, nelle scanalature del rotore con l’ausilio di


Figura 1.2: Motore con rotore avvolto.

appositi stampi. In questa maniera in un’unica operazione vengono realiz-zate sia le sbarre che gli anelli terminali di corto circuito della gabbia. Lastruttura del rotore appare come quella raffigurata in figura. La tecnica dipressofusione permette di realizzare forme di cava anche molto complesse.

Figura 1.3: Motore con rotore a gabbia.

Il rotore a doppia gabbia e molto diffuso per le potenze medie, perche e quel-lo che presenta la maggiore elasticita nelle caratteristiche di avviamento. Inquesto caso il rotore e provvisto di due gabbie concentriche aventi carat-teristiche opposte (vedi figura 1.4). La gabbia esterna (o di avviamento),e costituita di barre di piccola sezione aventi una elevata resistenza ed unapiccola reattanza di dispersione. La gabbia interna (o di lavoro), e costitui-ta di barre di grande sezione aventi una piccola resistenza ed una elevatareattanza di dispersione.All’avviamento la corrente circola prevalentemente nella gabbia esterna.Mano a mano che la macchina accelera e diminuisce la frequenza delle cor-renti di rotore, diminuisce la reattanza di dispersione e la corrente si spostaprogressivamente sulla gabbia interna.Infine, il rotore a cave profonde e provvisto di barre di forma allungata,sistemate in cave alte e strette (vedi figura 1.5) in cui si determina, all’avvi-


Figura 1.4: Motore con rotore a doppia gabbia.

amento, uno spostamento di corrente, dall’esterno verso l’interno, in modosimile a quello che si verifica nel rotore a doppia gabbia. Costruttivamentesemplice, questa macchina e utilizzata soprattutto per le alte potenze.

Figura 1.5: Motore con rotore a cave profonde.

Inoltre sono presenti altri componenti meccanici che costituiscono il motore:

� i due cuscinetti montati sullo statore con la funzione di sorreggerel’albero del motore;

� la carcassa, che con le alette smaltisce il calore prodotto soprattuttodallo statore e contiene anche la morsettiera di connessione;

� la ventola, che provvede al raffreddamento.

Una rappresentazione in sezione del motore asincrono trifase a gabbia e ri-portata nella figura 1.4.


Figura 1.6: Rappresentazione in sezione di un motore asincrono.

1.2 Principio di funzionamento

La macchina asincrona utilizza il principio del campo rotante introdotto daGalileo Ferraris nel 1885. Il campo magnetico, prodotto da un avvolgimen-to polifase ancorato ad una struttura magnetica fissa (statore), induce unsistema di f.e.m. e di correnti in un avvolgimento polifase ancorato allastruttura magnetica mobile (rotore).L’interazione tra il campo rotante ed il sistema di correnti rotoriche indotteproduce un effetto meccanico di trascinamento del rotore. Questo effettosi esplica attraverso la generazione di una coppia motrice che tende a sin-cronizzare il rotore con il campo rotante induttore. Naturalmente, qualorail rotore risultasse possedere la stessa velocita del campo di statore (general-mente indicata con il termine velocita di sincronismo, ωs), verrebbero menoi fenomeni di induzione e la stessa coppia motrice si annullerebbe.Questa macchina necessita, per poter attuare la conversione elettromecca-nica, della presenza di uno scorrimento tra rotore e campo: di qui il nomedi macchina asincrona.Il principio di funzionamento del motore asincrono trifase si basa sul cam-po magnetico rotante, il quale, generato entro la macchina dalla terna dicorrenti trifasi circolanti negli avvolgimenti di statore, anch’essi trifase, de-termina, negli avvolgimenti di rotore, chiusi in cortocircuito, delle correnti


indotte che, reagendo con il campo magnetico rotante storico, danno luogoad una coppia motrice.

1.2.1 Funzionamento con avvolgimento di rotore aperto econ rotore fermo

Si immagini che l’avvolgimento trifase di statore di una macchina asincronasia alimentato con una terna simmetrica di tensioni sinusoidali e che essosia percorso da una corrispondente terna simmetrica di correnti. Sia ω lapulsazione di queste grandezze elettriche.Si supponga, inoltre, che l’avvolgimento di rotore sia aperto e non lasci cir-colare alcuna corrente.Sotto queste condizioni, il campo rotante e, quindi, prodotto dalle sole cor-renti di statore.Il flusso di macchina (o flusso utile, φu), ruotando al traferro, indurra delleforze elettromotrici nei vari avvolgimenti presenti. Infatti ogni avvolgimentovede variare nel tempo il suo flusso concatenato a seguito della rotazione,lungo il traferro, dell’onda di flusso φu.I flussi concatenati massimi con una fase di statore ed una fase di rotorevalgono:

Ψs,max = Ns · φuΨr,max = Nr · φu

(1.1)

dove Ns e Nr rappresentano rispettivamente il numero di spire equivalenti aifini della produzione di forza elettromotrice (o del concatenamento di flusso)dell’avvolgimento di statore e di rotore.In analogia a quanto accade per il trasformatore, si possono esprimere talif.e.m indotte nel seguente modo:Forza elettromotrice di statore:

es(t) = −dΨs

dt(1.2)

Forza elettromotrice di rotore (per ipotesi il rotore e fermo, ωr = 0)

es(t) = −dΨs

dt(1.3)

Passando alla notazione fasoriale le fem assumono, rispettivamente, la seguenteforma:

Es = −jωΨs = −j4.44Nsfφu (1.4)

Er = −jωΨr = −j4.44Nrfφu (1.5)

Le relazioni precedenti rimangono valide anche per un motore a p paia po-lari.


Esse dimostrano che, nelle condizioni di funzionamento specificate (avvol-gimento di rotore aperto e rotore fermo), il motore asincrono si comportaesattamente come un trasformatore a vuoto.Si parla, in tal caso, di trasformatore a campo rotante.Pregio di questa macchina e la possibilita di variare a piacere il numero difasi del sistema elettrico secondario, che viene a coincidere con il numero difasi dell’avvolgimento rotorico. Ovviamente in questo caso l’avvolgimento dirotore deve essere di tipo avvolto (con anelli e spazzole) per collegare il caricoelettrico. Nel trasformatore a campo rotante il trasferimento di potenza elet-trica tra statore e rotore (entrambi fermi) avviene grazie al campo magneticorotante al traferro anziche tramite il campo pulsante nel nucleo magneticodi un trasformatore convenzionale (fisso nello spazio). Per attuare questotrasferimento di potenza, lo statore ed il rotore si scambiano reciprocamenteuna coppia.

1.2.2 Funzionamento con avvolgimento di rotore aperto econ rotore in movimento

Si supponga ora di trascinare dall’esterno il rotore ad una velocita ωm.Se l’avvolgimento di rotore e aperto, non possono circolare correnti ed ilcampo magnetico al traferro continua ad essere generato solo dalle correntidi statore.La f.e.m. indotta in una fase di statore rimane inalterata e, quindi, continuaad essere rappresentata dall’equazione (1.4), mentre la (1.5) non e piu veraa causa del moto relativo tra il campo magnetico rotante ed il rotore.Il moto relativo deve essere valutato in termini di velocita elettrica e non divelocita meccanica in quanto i concatenamenti di flusso dipendono dall’an-golo elettrico.Ne consegue che la forza elettromotrice indotta a rotore vale:

Er = −j(ω − pωm)Ψr (1.6)

Da questa equazione si evince che il fasore Er possiede una pulsazione diversada quella del fasore Es e, quindi, non possono quindi essere rappresentati inun unico diagramma vettoriale.Riferendo la pulazione della fem rotorica a quella di sincronismo, si ottieneun parametro adimensionale, detto scorrimento:

s =ω − ωmω

(1.7)

che rappresenta la frazione di giro che il rotore perde per ciascun giro com-pleto del campo magnetico rotante.Dalla (1.7), si ha che:

ω = sω + ωm (1.8)


La (1.6) puo essere, allora, riscritta come:

Er = −jsωΨr = −j4.44Nr(s · f)φu (1.9)

Quest’ultima equazione dimostra che l’ampiezza della f.e.m. indotta nel-l’avvolgimento di rotore varia linearmente con lo scorrimento e la sua pul-sazione corrisponde alla pulsazione di scorrimento s ω, ossia i fenomeni in-dotti a rotore sono ad una frequenza pari a s·f, dove f e la frequenza dialimentazione dello statore.

1.2.3 Funzionamento con avvolgimento di rotore in cortocir-cuito e con rotore in movimento

Se l’avvolgimento indotto di rotore e chiuso in cortocircuito, come accadenelle condizioni di funzionamento normale di una macchina asincrona, ilsistema di f.e.m. di rotore rappresentato dalla produce nell’avvolgimentodi rotore un sistema isofrequenziale di correnti alla pulsazione elettrica discorrimento sω.Grazie alle ipotesi fatte, tale sistema di correnti e una stella equilibrata esimmetrica che, fluendo nelle fasi rotoriche, produce una campo magneticorotante al traferro. Il campo magnetico generato dal rotore ruota rispetto alrotore stesso (cioe rispetto alla struttura di avvolgimento che lo ha generato)alla velocita sω/p.Sapendo che il rotore ruota alla velocita meccanica ωm, ne consegue che lavelocita del campo rotante generato dal rotore rispetto ad un riferimentofisso vale:

ωm +s · ωp

=p · ωm + sω

p=p · ωm + (ω − p · ωm)

p=ω

p= ωs (1.10)

La (1.10) indica che il campo magnetico generato dal rotore (e non il rotore)e sincrono con il campo magnetico di statore. Questa condizione permetteuno scambio di coppia tra la struttura di rotore e di statore.

Capitolo 2

Modello matematico dellamacchina asincrona

Nello studio semplificato del funzionamento a regime della macchina asin-crona si fa riferimento ad uno statore dotato di avvolgimento trifase. Nes-suna ipotesi viene fatta, invece, circa la connessione a stella o a triangolodelle bobine; tensioni e correnti di statore sono, pertanto, da intendersi cometensioni e correnti di fase.Per il rotore si tende a prescindere dal numero di fasi e l’avvolgimento puo es-sere interpretato indifferentemente, sia come avvolgimento trifase, sia comeavvolgimento polifase.Occorre ricordare che questa generalita della trattazione e possibile se siaccetta di trascurare, dal punto di vista della conversione elettromeccani-ca dell’energia, gli effetti delle armoniche spaziali di f.m.m prodotte dagliavvolgimenti reali. In altre parole, tale studio considera solo le armonichefondamentali delle distribuzioni spaziali al traferro.Si faccia riferimento allo schema di figura 2.1.

Figura 2.1: Assi magnetici di statore e di rotore.

9

MODELLO MATEMATICO DELLA MACCHINA ASINCRONA 10

Siano A1r, A2r, A3r gli assi magnetici degli avvolgimenti di rotore e A1s, A2s,A3s gli assi magnetici degli avvolgimenti di statore.Sia, inoltre, θ l’angolo fra A1r e A1s che, all’istante t=t0, vale θ = ωmt+ θ0.I fenomeni di saturazione, isteresi e correnti parassite sono trascurati, per-mettendo, cosı, di applicare il principio di sovrapposizione degli effetti.


2.1 Approccio intuitivo

In questo approccio, sulla base dell’analisi svolta nella precedente sezione,l’esame delle interazioni tra flussi e f.m.m. puo essere condotto considerandola macchina come un trasformatore generalizzato, dove il primario si inter-preta come statore ed il secondario come rotore.Come si evince dalla figura 2.2, le linee di campo prodotte dalla correnteche circola in un generico avvolgimento possono essere raggruppate in duecategorie principali:

� linee che attraversano il traferro e si concatenano, quindi, con le fasidi rotore e statore;

� linee che si richiudono nel traferro e che, sostanzialmente, si conca-tenano solo con una fase dell’avvolgimento (di statore o di rotore),descrivendo gran parte del loro tragitto nell’aria del traferro.

Figura 2.2: Flusso principale (linee di campo di tipo (a)) e flusso disperso(linee di campo di tipo (b) e (c)).

Alle linee del primo tipo e associato il flusso principale, che si concatena conciascuna spira dell’avvolgimento sia di statore che di rotore.Alle linee del secondo tipo sono associati i flussi dispersi che si concatenanosolo con l’avvolgimento che li ha generati e che, sviluppandosi principalmentenell’aria del traferro, possono essere descritti mediante dei coefficienti diautoinduzione di dispersione.Quindi, dette Ld l’induttanza propria dovuta al flusso disperso e Lm quelladovuta al flusso mutuamente concatenato, si puo scrivere che:

Ls = Lsd + Lsm

Lr = Lrd + Lrm(2.1)

dove Lsd e Lrd rappresentano il contributo alle cadute di tensioni che si veri-ficano nei singoli avvolgimenti, mentre Lsm e Lrm rappresentano il contributoalla trasmissione di potenza fra statore e rotore per i singoli avvolgimenti


(esse quindi non contribuiscono alle cadute di tensione).In questo modo si eliminano i parametri delle mutue induttanze fra i variavvolgimenti.Questo metodo parte, quindi, dall’ipotesi di definire le induttanze presenti,in funzione del flusso che esse producono.In caso di avvolgimento di rotore in cortocircuito, il campo magnetico risul-tante al traferro deriva dall’azione congiunta dei due sistemi di corrente distatore e di rotore che percorrono i rispettivi avvolgimenti e cio ci perme-tte di parlare di un’onda di induzione risultante Bt costante in modulo evelocita, data dalla somma vettoriale, istante per istante, di Bs e Br.Si puo, allora, scrivere, associando a ogni induzione il suo flusso attraversouna superficie Sγ appoggiata a una linea chiusa qualsiasi γ:

Φs =∫Sγ~Bs · ndS

Φr =∫Sγ~Br · ndS

Φt =∫Sγ~Bt · ndS

(2.2)

che, in termini fasoriali, risultano:Φs = ΦsMe

j(ωt+ψs)

Φr = ΦrMej(sωt+ψr)

Φt = ΦtMej(ωt+ψt)

(2.3)

Il flusso Φt, ruotando, si va a concatenare con gli avvolgimenti di macchina,che hanno un numero di spire pari a:

� NskAVVs per ogni avvolgimento di statore

� NrkAVVr per ogni avvolgimento di rotore

dove kAVV rappresenta il fattore d’avvolgimento, che consente di passare daun avvolgimento distribuito ad uno concentrato, ed e definito come:

kAV V =somma geometrica delle f.e.m.

somma aritmetica delle f.e.m.(2.4)

Siano:

� Vs: tensione di fase di statore

� Rs: resistenza di fase di statore

� Lds: induttanza di dispersione di fase di statore

� ω = 2πf : pulsazione elettrica delle grandezze di statore

� Lm: induttanza di magnetizzazione

� Es: f.e.m. indotta di fase di statore


� Er: f.e.m. indotta di fase di rotore

� Rr: resistenza di fase di rotore

� Ldr: induttanza di dispersione di fase di rotore

� sω: pulsazione elettrica delle grandezze di rotore.

Applicando il secondo principio di Kirchhoff alla fase di statore e a quelladi rotore, si ottengono le seguenti relazioni:fase di statore

Vs = (Rs + jωLsd) · Is − Es (2.5)

fase di rotore0 = (Rr + jsωLrd) · Ir − Er (2.6)

Note le espressioni di Es e Er dalla (1.4) e dalla (1.8):Vs = (Rs + jωLsd) · Is + jωNskAV V s · Φt√

2

0 = (Rr + jsωLrd) · Ir + jsωNrkAV V r · Φt√2

(2.7)

Definendo il rapporto di trasformazione come:

τ =Es

Er=NskAV V sNskAV V s

(2.8)

applicando l’equazione di Hopkinson al circuito magnetico:

NskAV V sIs +NrkAV V r Ir = < Φt√2

(2.9)

da cui si ricava che

Φt√2

=1

<NskAV V s

(Is +

NrkAV V rNskAV V s

Ir

)(2.10)

e sostituendo in (2.7), si ha:Vs = (Rs + jωLsd) · Is + jω (NskAV V s)

2

< · [Is + NrkAV V rNskAV V s

Ir]

0 = jωτ NskAV V s·NskAV V s< · [Is + NrkAV V rNskAV V s

Ir] + τ [Rrs + jωLdr] · Ir

(2.11)

Ponendo I ′r = Irτ e tenendo conto della (2.8), si ha:

Vs = (Rs + jωLsd) · Is + jω (NskAV V s)2

< · [Is + I ′r]

0 = jω (NskAV V s)2

< · [Is + I ′r] + τ2[Rrs + jωLdr] · I ′r(2.12)


Queste equazioni descrivono il modello matematico della macchina asincronae sono rappresentabili dal seguente circuito:

Figura 2.3: Circuito equivalente monofase.

In particolare il termine

(NskAV V s)2

<=τNskAV V s ·NrkAV V r

<= τ ·Msr (2.13)

rappresenta l’induttanza di magnetizzazione. Essa tiene conto del fatto cheper creare il flusso utile al traferro si deve assorbire una corrente magne-tizzante. Al contrario del trasformatore, la corrente di magnetizzazione Im

non e percentualmente piccola rispetto alle correnti di normale funziona-mento in quanto si deve magnetizzare il traferro (zona d’aria che presentauna riluttanza elevata).


2.2 Approccio rigoroso

Secondo questo approccio, la macchina puo essere vista come un insieme dicircuiti lineari mutuamente accoppiati.Ogni avvolgimento e caratterizzato dalla sua resistenza, dalla sua autoin-duttanza e dalle induttanze mutue rispetto a ciascun altro avvolgimento.Siano:

� R∗si (i=1,2,3) resistenza di un avvolgimento di statore

� R∗ri (i=1,2,3) resistenza di un avvolgimento di rotore

� L∗si (i=1,2,3) autoinduttanza di un avvolgimento di statore

� L∗ri (i=1,2,3) autoinduttanza di un avvolgimento di statore

� M∗si,sk (i,k=1,2,3 i 6= k) mutua induttanza tra due avvolgimenti distatore

� M∗ri,rk (i,k=1,2,3 i 6= k) mutua induttanza tra due avvolgimenti dirotore

� M∗si,rk (i,k=1,2,3) mutua induttanza tra un avvolgimento di statore eun avvolgimento di rotore.

Essendo il rotore sostanzialmente cilindrico, solo le mutue induttane tra lefasi di statore e quelle di rotore variano a causa della rotazione e, quindi,sono funzione della posizione angolare del rotore θ.Poiche due avvolgimenti con asse magnetico coincidente sono in condizionidi accoppiamento massimo, mentre se gli assi magnetici sono sfasati di 90°l’accoppiamento e nullo, si deduce che il coefficiente di mutuo accoppiamentovaria con legge cosinusoidale.Quindi si ha che:M∗s1,r1 = M∗s2,r2 = M∗s3,r3 = M∗r1,s1 = M∗r2,s2 = M∗r3,s3 = M∗srcos(ωmt+ ϑ0)

M∗s2,r1 = M∗s3,r2 = M∗s1,r3 = M∗r1,s2 = M∗r2,s3 = M∗r3,s1 = M∗srcos(ωmt+ ϑ0 − 23π)

M∗s3,r1 = M∗s1,r2 = M∗s2,r3 = M∗r1,s3 = M∗r2,s1 = M∗r3,s2 = M∗srcos(ωmt+ ϑ0 + 23π)

(2.14)Inoltre, per condizioni di simmetria costruttiva, si puo ritenere:

� R∗s1=R∗s2=R∗s3

� R∗r1=R∗r2=R∗r3

� L∗s1=L∗s2=L∗s3

� L∗r1=L∗r2=L∗r3


� M∗s1,2=M∗s2,3=M∗s3,1

� M∗r1,2=M∗r2,3=M∗r3,1

Nell’ipotesi di ritenere note le tensioni v1,v2,v3 applicate alla macchina, negliavvolgimenti statorici circolera una terna equilibrata di correnti:

i1s = IMSsin(ωt+ ψs)

i2s = IMSsin(ωt+ ψs − 23π)

i1s = IMSsin(ωt+ ψs + 23π)

(2.15)

Inoltre, essendo le fasi di rotore chiuse in cortocircuito, in esse circolerannotre correnti:

i1r = IMRsin(sωt+ ψr)

i2r = IMRsin(sωt+ ψr − 23π)

i1r = IMRsin(sωt+ ψr + 23π)

(2.16)

Indicando con p l’operatore differenziale ddt , per la fase 1 di statore si puo

scrivere:

v1s = (R∗s+pL∗s)·i1s+pM∗ss·i2s+pM∗ss·i3s+pM∗r1,s1·i1r+pM∗r2,s1·i2r+pM∗r3,s1·i3r

(2.17)Analogamente per le fasi 2 e 3.Per la fase 1 di rotore (nell’ipotesi che non ci siano tensioni applicate, quindiche gli avvolgimenti siano cortocircuitati) si ha:

0 = (R∗r+pL∗r)·i1r+pM∗rr·i2r+pM∗rr·i3r+pM∗s1,r1·i1s+pM∗s2,r1·i2s+pM∗s3,r1·i3s

(2.18)Analogamente per le fasi 2 e 3 di rotore.Essendo le terne di correnti equilibrate si puo scrivere che:

i1s + i2s + i3s = 0 i1r + i2r + i3r = 0 (2.19)

ricavando dalla (2.19) l’espressione della corrente i1s, sostituendola nella(2.17) e tenendo conto delle relazioni espresse nella (2.14):

v1s = [(R∗s + p(L∗s −M∗ss)] · i1s + pM∗s,r · IMrsin(sωt+ ψr)cos(ωmt+ θ0)+

+ pM∗sr · IMrsin(sωt+ ψr −2

3π)cos(ωmt+ θ0 +

2

3π)+

+ pM∗s,r · IMrsin(sωt+ ψr +2

3π)cos(ωmt+ θ0 −

2

3π)

(2.20)


Analogamente per il rotore:

0 = [(R∗r + p(L∗r −M∗rr)] · i1r + pM∗s,r · IMssin(ωt+ ψs)cos(ωmt+ θ0)+

+ pM∗sr · IMssin(ωt+ ψs −2

3π)cos(ωmt+ θ0 −

2

3π)+

+ pM∗s,r · IMssin(ωt+ ψs +2

3π)cos(ωmt+ θ0 +

2

3π)

(2.21)

Usando, poi, le formule di prostaferesi

sinα · cosβ =1

2[sin(α− β) + sin(α+ β)]

si ha:

v1s = [(R∗s + p(L∗s −M∗ss)]i1s +1

2pM∗s,r · IMr[sin(sωt+ ψr − ωmt− θ0)︸︷︷︸+sin(sωt+ ψr + ωmt+ θ0)+

+ sin(sωt+ ψr −2

3π − ωmt− θ0 −

2

3π)︸︷︷︸+sin(sωt+ ψr −

2

3π + ωmt+ θ0 +

2

3π)+

+ sin(sωt+ ψr +2

3π − ωmt− θ0 +

2

3π)︸︷︷︸+sin(sωt+ ψr +

2

3π + ωmt+ θ0 −

2

3π)]

(2.22)

Eseguendo le opportune semplificazioni, notando che i termini evidenziatirappresentano una terna simmetrica la cui somma e, istante per istante,ugualle a zero, si ottiene:

v1s = (R∗s +p(L∗s−M∗ss) · i1s+3

2pM∗s,r ·IMrsin((sω+ωm)t+ψr+θ0) (2.23)

Inoltre, avendo definito lo scorrimento come:

s =ω − ωmω

da cuiω = sω + ωm

si ha:

v1s = (R∗s + p(L∗s −M∗ss)) · i1s +3

2pM∗s,r · IMrsin(ωt+ ψr + θ0) (2.24)

Eseguendo gli stessi passaggi per la fase di rotore:

0 = [(R∗r + p(L∗r −M∗rr)]i1r +1

2pM∗s,r · IMs[sin(ωt+ ψs − ωmt− θ0) + sin(ωt+ ψs + ωmt+ θ0)︸︷︷︸+

+ sin(ωt+ ψs −2

3π − ωmt− θ0 +

2

3π) + sin(ωt+ ψs −

2

3π + ωmt+ θ0 −

2

3π)︸︷︷︸+

+ sin(ωt+ ψs +2

3π − ωmt− θ0 −

2

3π) + sin(ωt+ ψs +

2

3π) + ωmt+ θ0 +

2

3π)︸︷︷︸]

(2.25)


si ha:

0 = (R∗r + p(L∗r −M∗rr)) · i1r +3

2pM∗s,r · IMssin(sωt+ ψs − θ0) (2.26)

Siano L∗s −M∗ss = Ls

L∗r −M∗rr = Lr

32M

∗sr = Msr

(2.27)

definendo il rapporto di trasformazione come:

EsEr(s = 1)

= τ =Ns · kavvsNr · kavvr

e passando alla notazione fasoriale si ha:vse

jωt = (Rs + pLs) · Isej(ωt+ψs) + pMsrIrej(ωt+ψr+θ0)

0 = (Rr + pLr) · Irej(sωt+ψr) + pMsrIsej(sωt+ψs−θ0)

(2.28)

Eseguendo le opportune semplificazioni e sapendo che p= ddt , si ha:

vs = (Rs + jωLs) · Isejψs + jωMsrIrej(ψr+θ0)

0 = (Rr + jsωLr) · Irejψr + jsωMsrIsej(ψs−θ0)

(2.29)

Inoltre, sapendo che:

Vs =VMs√

2ejωt = Vse

jωt

Is =IMs√

2ej(ωt+ψs) = Ise

jωt

Ir =IMr√

2ej(sωt+ψr) = Ire

jsωt

si ha Vs = (Rs + jωLs) · Is + jωMsr Ire

jθ0

0 = (Rr + jsωLr) · Ir + jsωMsr Ise−jθ0

(2.30)

moltiplicando la seconda delle due equazioni per ejθ0 e ponendo I∗r = Ir ejθ0

si ha: Vs = (Rs + jωLs) · Is + jωMsr I

∗r

0 = (Rr + jsωLr) · I∗r + jsωMsr Is

(2.31)


Avendo definito nella (2.8) il rapporto di trasformazione, detto I ′r = I∗rτ e

moltiplicando la seconda equazione per τs , si ha:

Vs = (Rs + jωLs) · Is + jωMsrτ I ′r

0 = (Rrs + jωLr) · τ2I ′r + jωMsrτ Is

(2.32)

Infine, aggiungendo e sottraendo nella prima equazione il termine jωMsrτ Ise nella seconda jωMsrτ I ′r si ha:

Vs = (Rs + jωLs) · Is + jωMsrτ I ′r + jωMsrτ Is − jωMsrτ Is

0 = (Rrs + jωLr) · τ2I ′r + jωMsrτ Is + jωMsrτ I ′r − jωMsrτ I ′r

(2.33)

da cui: Vs = (Rs + jω(Ls −Msrτ)) · Is + jωMsrτ(Is + I ′r)

0 = jωMsrτ(Is + I ′r) + τ2(Rrs + jω(Lr − Msrτ ))I ′r

(2.34)

Queste equazioni descrivono il modello matematico della macchina asincronae sono rappresentabili dal seguente circuito:

Figura 2.4: Circuito equivalente monofase.

dove si e posto:

� Lsd = Ls −Msrτ

� Lrd = Lr − Msrτ

Finora, nello studio della macchina, si sono trascurati gli effetti dissipativipresenti nel ferro.Occorre ricordare che la generazione di un campo magnetico rotante al tra-ferro produce un’induzione continuamente variabile nella struttura in fer-ro (denti, corone) con conseguenti fenomeni di isteresi e di correnti paras-site. Poiche le perdite associabili a questi fenomeni dipendono oltre che dal-l’induzione anche dalla frequenza, si puo completare il circuito equivalente


precedente con un elemento resistivo Rfe disposto in parallelo alla reattanzadi magnetizzazione, come nel caso del trasformatore.Il seguente circuito equivalente, comprensivo anche delle perdite nel ferro,rappresenta il circuito equivalente definitivo per il motore asincrono.

Figura 2.5: Circuito equivalente monofase della macchina asincrona.

Capitolo 3

Caratteristica meccanica

3.1 Bilancio energetico

Sulla base del circuito equivalente di figura 2.5, e possibile fare un bilancio dipotenze, identificando le singole quote in cui e suddivisa la potenza assorbita.In particolare, la potenza elettrica assorbita dallo statore vale:

Ps = 3 · Vs,fase · Is · cos(φ) =√

3 · Vs · Is · cos(φ) (3.1)

In esso, si hanno:

� perdite per effetto Joule negli avvolgimenti → PJs = 3 ·Rs · I2s

� perdite nel ferro → Pfe = 3 · E2s,fase

Rfe

La differenza tra la potenza assorbita e le perdite nello statore rappresentala potenza elettrica trasmessa Pt da statore e rotore.

Pt = Ps − PJs − Pfe (3.2)

Essa e anche pari a:

Pt = 3 · Rrs· I ′2r (3.3)

Le perdite per effetto Joule nell’avvolgimento di rotore sono dovute allaresistenza Rr e valgono:

PJr = 3 ·Rr · I ′2r (3.4)

Come si evince dalla figura 3.2, eseguendo la differenza tra la (3.3) e la (3.4),si ottiene l’espressione della potenza meccanica:

Pm = Pt − PJr = 3 · Rrs· I ′2r − 3 ·Rr · I ′2r = 3 · 1− s

s·Rr · I ′2r (3.5)

Questa espressione dimostra come la resistenza fittizia Rr/s possa essereconsiderata pari alla serie di due contributi:

21

CARATTERISTICA MECCANICA 22

� la resistenza Rr, che modellizza le perdite per effetto Joule nel rotore;

� la resistenza 1−ss ·Rr, che rappresenta la potenza meccanica convertita

dal motore.

Il circuito equivalente diventa:

Figura 3.1: Forma alternativa del circuito equivalente monofase dellamacchina asincrona.

Dalle relazioni precedenti e possibile ricavare che:

Pm = (1− s) · PtPJr = s · Pt

(3.6)

Tali relazioni sono molto interessanti poiche indicano che il rotore si compor-ta come un partitore della potenza trasmessa in funzione dello scorrimento,cioe della velocita di rotazione. Infatti, a scorrimento unitario (a rotore bloc-cato) tutta la potenza trasmessa viene dissipata nella resistenza di rotore,mentre ad una certa velocita la potenza meccanica convertita viene gestitadal rapporto (1-s)/s.

Figura 3.2: Bilancio energetico.


3.2 Espressione della coppia

Dall’espressione della potenza meccanica, risulta immediato calcolare lacoppia motrice prodotta all’albero della macchina, a meno delle perditemeccaniche interne al motore (attriti e ventilazione).

Cm =Pmωm

=3 · 1−s

s ·Rr · I′2r

ωm(3.7)

Essendo ωm = (1− s) · ωs, la diventa:

Cm =Pmωm

=3 · 1−s

s ·Rr · I′2r

(1− s) · ωs=Ptωs

(3.8)

da cuiPt = Cm · ωs (3.9)

Tale relazione riveste un significato estremamente importante nelle valu-tazioni energetiche della macchina. Infatti, qualunque sia la velocita ωm dirotazione della macchina, la coppia prodotta e rigidamente collegata allapotenza trasmessa da statore a rotore. In altri termini, se alla macchinaviene richiesto un dato valore di coppia, occorre che lo statore trasmettaattraverso il traferro un valore di potenza Pt, che e sempre lo stesso in-dipendentemente dal fatto che il motore sia fermo o in rotazione ad unagenerica velocita ωm.Dal circuito equivalente e necessario ricavare la corrente di rotore per poter-la sostituire nella relazione della coppia motrice. Al fine di semplificare ipassaggi analitici, si suppone che jτXm >> Rs + jXsd, ossia si consideranotrascurabili le cadute di tensione su Rs e su Xds; allora:

Es = [(τ2Rr + jτ2Xdr) +Rrτ2(1

s− 1)

] · I ′r (3.10)

da cui:

I ′r =Es

τ2[Rrs + jXdr](3.11)

Ricavando il valore del quadrato del modulo della corrente:

|I ′2r | =|E2

s |

τ4[(Rrs

)2+X2

dr](3.12)

e sostituendolo nella (3.8), si perviene all’espressione della coppia elettro-magnetica Cem:

Cem =3RrE

2ss

ωτ2(R2r + s2X2

dr)(3.13)


L’andamento della Cem si determina analizzando l’equazione (3.13) in fun-zione dello scorrimento:sotto l’ipotesi che R2

r >> s2X2dr

lims→0

Cem ≈3E2

s

ωτ2Rrs = ks (3.14)

Quindi, per intervalli dello scorrimento prossimi allo zero, l’andamento dellacoppia e una retta.sotto l’ipotesi che R2

r << s2X2dr

lims→∞

Cem ≈3E2

sRrsωτ2Xdr

s =k′

s(3.15)

Per valori di scorrimento elevati la coppia ha quindi un andamento iperbo-lico.La caratteristica e riportata di seguito.

Figura 3.3: Caratteristica di coppia in funzione dello scorrimento.

E’ prassi comune disegnare la caratteristica di coppia in funzione dellavelocita di rotazione del rotore anziche in funzione dello scorrimento. Ri-cordando che ωr = (1-s) ωs, si osserva immediatamente che la caratteristicain funzione della velocita puo essere ottenuta ribaltando la curva precedenterispetto all’asse s=0 ed operando una traslazione a destra pari a ωs.


Figura 3.4: Caratteristica di coppia in funzione della velocita.

Considerazioni sulla stabilitaConsiderando la zona di funzionamento da motore (0 ≤ ωm ≤ ωs, 1 ≤ s ≤ 0),si nota che inizialmente la coppia aumenta con la velocita fino al raggiungi-mento del valore di coppia massima (tratto AM). Per velocita ulteriormentecrescenti, la coppia si riduce rapidamente fino ad annullarsi in corrispon-denza della velocita di sincronismo (tratto MO). Il tratto AM viene con-venzionalmente definito tratto instabile, mentre il tratto MO viene definitotratto stabile della caratteristica di coppia.Supponendo che il motore lavori su un carico costante, si osserva che quan-do il punto di equilibrio tra coppia motrice (Cm) e coppia resistente (Cr) sitrova in corrispondenza del punto Q’, qualunque piccola perturbazione nellavelocita del sistema, libera delle coppie che tendono ad allontanarlo dallaposizione di equilibrio.Viceversa se l’equilibrio tra motore e carico e raggiunto in un punto Q” ap-partenente al tratto discendente della caratteristica di coppia, piccole per-turbazioni sulla velocita producono azioni meccaniche di richiamo verso ilpunto di equilibrio. Si noti che la pendenza del tratto stabile e generalmentemolto elevata; ne consegue che nei punti di normale utilizzo, i valori di scor-rimento sono molto piccoli (pochi percento della velocita di sincronismo).

Funzionamento al sincronismo (s=0) o a vuotoQuando la macchina ruota sincrona con il campo rotante, non si induconof.e.m. ne correnti negli avvolgimenti di rotore (Ir = 0). Il funzionamentoal sincronismo del motore e una condizione teorica; questa condizione vieneapprossimativamente raggiunta quando al motore non sono applicate coppieresistenti esterne, ovvero durante il funzionamento a vuoto. In quest’ultimacondizione operativa le uniche coppie frenanti presenti sono quelle proprie


del motore (attriti ai cuscinetti, effetti ventilanti) e lo scorrimento del mo-tore e molto basso (ad esmpio, s0 ≈0.001).Il valore di corrente assorbito dalla rete di alimentazione e esclusivamentequello necessario a provvedere alla generazione del campo rotante ed asostenere le perdite nel ferro.Tipicamente, nei motori asincroni, il valore della corrente a vuoto, riferitoalla corrente nominale e variabile dal 20% al 60% in relazione alla taglia dipotenza, al numero di coppie polari e allo spessore di traferro.

Funzionamento a rotore bloccato (s=1) o in cortocircuitoQuesta condizione operativa si verifica allo spunto della macchina come mo-tore. Tale condizione e generalmente di breve durata e quindi l’aspettotransitorio del funzionamento e prevalente su quello stazionario descrittodal circuito equivalente.La corrente di rotore durante l’avviamento si ottiene dalla (3.11) ponendos=1.La coppia di spunto e, invece, quella indicata dalla (3.15).La (3.11) evidenza come, durante l’avviamento, le correnti di spunto (arotore e quindi anche a statore) siano molto elevate. Nell’impiego dellamacchina asincrona come motore, la fase di avviamento corrisponde al mas-simo assorbimento di corrente dalla rete di alimentazione. Per i normalimotori, il valore di questa corrente e variabile da 5 a 10 volte il valore dellacorrente nominale.La condizione di spunto, indicata a volte come condizione di cortocircuitodella macchina, costituisce una condizione critica nel funzionamento del mo-tore asincrono e puo richiedere tecniche e dispositivi particolari per l’alimen-tazione del motore.Ragionando sull’equazione (5.22), e possibile vedere come sia possibile ridurrela corrente di avviamento mediante:

� inserzione di reattanze in serie allo statore che devono essere escluse(cortocircuitate) dopo l’avviamento del motore

� avviamento tramite autotrasformatore al fine di fornire una tensioneridotta in fase di avviamento

� inserzione di resistenze rotoriche (solo per rotori di tipo avvolto): inquesto caso si ottiene una diminuzione della corrente ed un aumentodella coppia di spunto.

Punto a coppia massimaDerivando rispetto allo scorrimento l’espressione analitica della coppia (3.13)e possibile determinare la massima coppia che il motore puo produrre.

d

dsCem =

(3RrE2s )[ωτ2(R2

r + s2X2rd)]− (3RrE

2ss)(2sωτ

2X2r d)

[ωτ2(R2r + s2X2

rd)]2

(3.16)


Semplificando ed uguagliando a zero il numeratore, si ricava s:

R2r + s2X2

rd − 2s2X2rd = 0→ s = ± Rr

Xrd(3.17)

Dalla relazione determinata, si evince che lo scorrimento per cui la macchi-na eroga la massima coppia puo essere variato modificando il valore dellaresistenza di rotore, dato che l’induttanza di dispersione non e regolabile.Tuttavia, il valore della Cem,M non cambia se si varia la resistenza di rotore,ma cambia solamente il valore di scorrimento al quale si ha tale valore dicoppia.Per determinare il valore della coppia massima si sostituisce nell’espressionedella coppia il valore s:

Cem,M (s) =3E2

s

2ωτ2Xrd(3.18)

3.3 Regolazione della velocita

Dalla caratteristica meccanica, si puo notare che il motore asincrono parteautonomamente e raggiunge la velocita di regime quando la coppia motriceelettromagnetica uguaglia quella resistente meccanica.Per variare la velocita di regime e, quindi, necessario variare la caratteristicameccanica del motore. E’ possibile ottenere la regolazione della velocita delmotore agendo sulle caratteristiche del circuito rotorico, sulle caratteristichedel circuito statorico, sul valore efficace della tensione di alimentazione e sul-la frequenza della tensione di alimentazione.Variazione della resistenza rotoricaAl crescere della resistenza dei reostati esterni, la caratteristica meccanicasi modifica nel seguente modo:

Figura 3.5: Regolazione della velocita mediante variazione della resistenzarotorica.


La regolazione di velocita ottenibile con questa tecnica e modesta; infat-ti, aumentando i valori di resistenza, le caratteristiche di coppia tendono ad’appiattirsi’ e producono una scarsa stabilita in termini di velocita del puntodi funzionamento (modeste variazioni del carico producono ampie variazionidella velocita). Questo sistema e stato largamente in uso in passato graziealla sua semplicita e grazie al fatto che con esso si potevano risolvere in mo-do efficiente i problemi di avviamento del motore. In ogni caso, dal puntodi vista energetico questa regolazione (di tipo dissipativo) e poco efficiente.Variazione della reattanza di dispersioneLa reattanza di dispersione non influenza sensibilmente le condizioni nor-mali di funzionamento mentre incide in modo evidente sullo scorrimento esul valore di coppia massima, come anche sul valore della corrente e dellacoppia allo spunto.In particolare, una riduzione della dispersione conduce ad una maggioresovraccaricabilita del motore e ad un aumento della coppia e della correntedi spunto.Variazione della tensione di alimentazioneUna variazione di scorrimento puo essere ottenuta modificando l’ampiezzadella tensione di alimentazione. Tale soluzione porta a regolazioni in uncampo abbastanza ristretto.La tensione di alimentazione puo essere variata con un parzializzatore a ti-ristori. In tal caso, le caratteristiche si riducono col quadrato della tensionee di conseguenza cambia la loro pendenza nel tratto utile: il punto di equi-librio tra coppia motrice e coppia resistente si ottiene a velocita piu basse.Non si modifica invece lo scorrimento di coppia massima, che non dipende,in prima approssimazione, dalla tensione.Variazione del numero di poliIn alcuni particolari tipi di impiego puo essere richiesto al motore di fun-zionare a due velocita nettamente diverse. Si pensi ad esempio al motore diuna lavatrice che deve produrre sia la velocita necessaria al lavaggio, sia lavelocita necessaria all’asciugamento (’centrifuga’).Queste esigenze possono essere soddisfatte, in modo economico, attraversouna semplice operazione di variazione delle connessioni dell’avvolgimento distatore, in modo da configurare l’avvolgimento stesso con numeri di polaritadifferenti. La modifica del numero di polarita porta, come e noto, ad unacorrispondente modifica della velocita del campo rotante e della velocita dirotazione del motore. Tuttavia, questa variazione di velocita risulta discretae non regolabile con continuita.Variazione della frequenza di alimentazioneLe possibilita di regolazione di tensione e frequenza di alimentazione offertedagli inverter trifase hanno enormemente ampliato il campo di regolazionedi velocita dei motori asincroni, al punto che oggi, in molte applicazioni cheimpiegavano motori in corrente continua regolati di campo e di armatura,sono utilizzati motori a induzione con inverter.


Attraverso la modifica della frequenza di alimentazione si modifica la ve-locita di sincronismo e, con essa, l’intervallo di velocita caratteristiche delmotore.In questo modo il motore puo compiere escursioni di velocita ben piu ampiedi quelle ottenibili attraverso tecniche di regolazione rotorica. Tuttavia,quando si altera il valore della frequenza di alimentazione, anche le altregrandezze nominali del motore devono essere ridiscusse in modo che il mo-tore possa funzionare correttamente nelle nuove condizioni. In altre parole,non si potra variare solo la frequenza, ma si dovra anche variare la tensionedi alimentazione.Al variare della frequenza di alimentazione varia la ω di sincronismo, allorale caratteristiche meccaniche traslano nel seguente modo:

Figura 3.6: Regolazione della velocita mediante variazione della frequenzadi alimentazione.

E possibile quindi mantenere la coppia massima costante variando tensionee frequenza in modo proporzionale, fino al limite massimo di tensione nomi-nale, tale per cui non si comprometta l’integrita dell’isolante.

Figura 3.7: Campo di regolazione a coppia costante (regolazione V/f=cost).


Raggiunta la tensione nominale, per aumentare ulteriormente la velocita siesegue una regolazione a tensione costante, variando solamente la frequenza.Cosı facendo la caratteristica diventa:

Figura 3.8: Campo di regolazione a potenza costante (V=costante).

Capitolo 4

Diagramma circolare

Il diagramma circolare e un mezzo grafico che ci consente di leggere tuttele grandezze del motore asincrono trifase (potenza resa, perdite nel ferro,coppia motrice, scorrimento, rendimento...) in qualsiasi condizione di fun-zionamento.Per il tracciamento, che di solito viene limitato alla semicirconferenza supe-riore, sono necessari tre punti: il centro, il punto corrispondente al funzio-namento a vuoto del motore (s=0) e quello corrispondente al funzionamentoa rotore bloccato o in cortocircuito (s=1).Si rendono, quindi, necessarie due prove:

� a vuoto;

� in cortocircuito.

4.1 Prova a vuoto

Lo scopo di questa prova e quello di valutare le perdite e la corrente assorbitadal motore nel funzionamento a vuoto, ossia quando non e applicata nessunacoppia resistente all’asse. Questa prova permette, anche, di determinare laresistenza equivalente delle perdite nel ferro (Rfe) e la reattanza di magne-tizzazione (Xm) che costituiscono l’impedenza a vuoto Z0 (Z0=Rfe//Xm).La prova a vuoto viene effettuata alimentando lo statore della macchina allasua tensione nominale e lasciando il rotore libero di ruotare.Lo schema del circuito per la prova a vuoto e illustrato nella figura 4.1.L’asincrono e alimentato da una rete alternata sinusoidale a tensione fissaattraverso un regolatore di tensione (VARIAC). Questo regolatore consiste,tipicamente, in un autotrasformatore a rapporto di trasformazione variabilecon continuita. La possibilita di regolazione introdotta si rende necessariaper adeguare con precisione la tensione con cui si alimenta lo statore al va-lore nominale relativo all’avvolgimento in prova.La sezione di misura lato alimentazione consiste di un amperometro per ogni

31

DIAGRAMMA CIRCOLARE 32

Figura 4.1: Schema di misura per la prova a vuoto sul motore asincrono

fase (A1;A2;A3), tre voltmetri (V12;V23;V31) e di due wattmetri in inserzioneAron (W12;W32).Attraverso questi strumenti si rilevano i valori della potenza attiva, di quellareattiva, delle correnti e delle tensioni concatenate statoriche.Durante il funzionamento a vuoto, essendo il rotore libero di ruotare, si puoassumere s≈0 e quindi il ramo a destra del circuito equivalente e aperto.Per l’elaborazione della prova si puo quindi far riferimento al seguente cir-cuito equivalente semplificato.

Figura 4.2: Circuito equivalente dell’asincrono per descrivere ilfunzionamento a vuoto

Dai wattmetri in inserzione Aron si ottiene la misura della potenza attivaP0 e della potenza reattiva Q0.

P0 ≈ Pfe = W12 +W32

Q0 =√

3 (W32 −W12)

(4.1)

Si assume come corrente di fase il valore medio delle tre letture:

I0 =(I1 + I2 + I3)

3(4.2)

Essendo:P0 =

√3VnI0 cosϕ0 (4.3)


si ha che:

cosϕ0 =P0√

3 VnI0

(4.4)

|Z0| =Vn√3 I0

(4.5)

Rfe =|Z0|

cosϕ0(4.6)

Xm =|Z0|

sinϕ0(4.7)

4.2 Prova in cortocircuito

Questa prova serve a determinare, in modulo e fase, la corrente di corto-circuito che il motore assorbe quando si blocca il rotore per impedirgli digirare.Poiche la corrente di cortocircuito che si otterrebbe applicando al motore latensione nominale risulta eccessiva, la prova viene eseguita alimentando ilmotore a tensione ridotta.All’atto pratico si applica quella tensione, detta di cortocircuito (dell’ordinedel 15%-30%), che occorre per assorbire alla macchina col rotore bloccato,la corrente nominale di pieno carico.Si misurano la potenza attiva e reattiva assorbite, le correnti e le tensioniconcatenate statoriche. In questo caso i risultati devono essere riportati alvalore di corrente di riferimento. Essendo la caratteristica di cortocircuitolineare e possibile fare la seguente proporzione:

VccIn

=VnIcc

(4.8)

da cui

Icc =VnVcc

In (4.9)

Lo schema di prova e il seguente.

Essendo il rotore bloccato, si puo ritenere che s=1 e quindi il ramo in pa-rallelo del circuito equivalente si puo trascurare.In figura e riportato il circuito equivalente monofase semplificato valido per


Figura 4.3: Schema di misura per la prova in cortocircuito sul motoreasincrono

Figura 4.4: Circuito equivalente del motore asincrono in cortocircuitoriportato al primario

la prova in cortocircuito.La prova in corto circuito permette di determinare la Rcc e la Xcc.Dai wattmetri in inserzione Aron si ottiene la misura della potenza attivaPcc e della potenza reattiva Qcc.

Pcc = W12 +W32

Qcc =√

3 (W32 −W12)

(4.10)

Essendo:Pcc =

√3 VccIn cosϕcc (4.11)

si ha che:

cosϕcc =Pcc√

3 VccIn(4.12)

|Zcc| =Vcc√3 In

(4.13)


Rcc = |Zcc| cosϕcc (4.14)

Xcc = |Zcc| sinϕcc (4.15)

Icc =VnVcc

In (4.16)

4.3 Misura della resistenza statorica

Tale misura ci consente di poter suddividere le perdite per effetto Joule sta-toriche da quelle rotoriche.La misurazione della resistenza si effettua a macchina non alimentata (e op-portunamente a macchina calda, cioe dopo una prova a corrente nominale,per considerare la non linearita della resistivita rispetto alla temperatura)con un multimetro a quattro fili, nella funzione ohmetrica.Avendo a che fare con una resistenza piccola, viene usato il principio deiquattro morsetti, ossia essa viene dotata di due morsetti amperometrici,necessari per la connessione col circuito esterno, e due voltmetrici, tra iquali e compreso il valore dela resistenza. Cio ci consente di evitare che lamisura risulti essere falsata dalle resistenze di contatto.Il valore della resistenza ottenuto e dato dalla resistenza presente tra duemorsetti del lato primario.

Figura 4.5: Schema di montaggio per la prova voltamperometrica


4.4 Regole generali di tracciamento

Dalle prove eseguite e possibile dedurre il valore della corrente I0 in moduloe fase da quella a vuoto, mentre da quella in cortocircuito si deducono mod-ulo e sfasamento della Icc.Il centro, invece, puo essere individuato con una costruzione celere, ma ap-prossimata.Tracciando una semiretta parallela all’asse delle ordinate e passante per ilpunto P0 (con P0 vertice del fasore I0 ) viene individuato un nuovo puntoM, dato dall’intersezione della semiretta con il fasore Icc. Dalla medianadella corda P0M viene tracciata una semiretta perpendicolare all’asse delleordinate; considerando adesso la corda MPcc (con Pcc vertice del fasore Icc),viene tracciata un’altra semiretta perpendicolare alla mediana della corda,la cui intersezione con la precedente semiretta tracciata individua il puntoO’ centro del cerchio.Per la scelta delle scale si procede nel modo seguente:

� si fissa la scala delle correnti: [A] A/cm;

� da questa risulta la scala delle potenze: [P]=√

3 Vn [A] W/cm;

� e la scala delle coppie: [C]= [P]/ ωs = [P]/ (2π fn/p) N·m/cm, doveωs = 2π 50/2= 157 rad/sec.

Figura 4.6: Costruzione del diagramma circolare


Al fine della costruzione del diagramma e fondamentale eseguire la sepa-razione delle perdite nel rame tra quelle di statore e quelle di rotore: si in-dividua quindi, previa misura della resistenza statorica, la quota di perditenello statore, con la seguente formula:

Pcu,s = 3 ·RsI2cc (4.17)

Facendo riferimento alla figura 4.7, per un punto qualsiasi M che appartieneal diagramma circolare, risulta che:

� il segmento OM rappresenta l’intensita della corrente assorbita dalmotore;

� il segmento MH e proporzionale alla potenza attiva assorbita dal mo-tore. Infatti MH = OMcosφ = Icosφ e la tensione di alimentazionee costante. L’asse delle ascisse prende percio il nome di retta dellepotenze assorbite;

� il segmento OH e proporzionale alla potenza reattiva impegnata dallamacchina;

� detto A il punto di incontro tra l’ordinata del cerchio e la retta uscen-te dal punto M0 e passante per il punto Mcc, il segmento MA e pro-porzionale alla potenza meccanica del motore. Per tale motivo la ret-ta M0Mcc e detta retta delle potenze meccaniche o delle potenze rese.Infatti nei punti M0 e Mcc la potenza meccanica e nulla;

� il segmento MccC ′ e proporzionale alle perdite per effetto Joule chesi hanno nel motore alimentato a tensione costante e a rotore bloc-cato. Il segmento MccC ′ e dato dalla differenza tra MccH ′, pro-porzionale alle perdite totali nel funzionamento in cortocircuito, eC ′H ′, che rappresenta approssimativamente le perdite nel ferro inquesto funzionamento;

� il segmento AB e proporzionale alle perdite per effetto Joule nel rotore,il segmento BC a quelle nello statore, mentre CH e proporzionale alleperdite nel ferro corrispondenti al punto M.

� il segmento MB e proporzionale alla coppia trasmessa e, quindi, e det-to retta delle coppie trasmesse. Per tracciarla e necessario individuareil punto B’, separando le perdite per effetto Joule dello statore e delrotore.


Figura 4.7: Diagramma circolare

Conclusioni

L’analisi della macchina asincrona e stata condotta, passo per passo, seguen-do cinque punti essenziali:

1. definizione del modello idealizzato della macchina;

2. espressione dei flussi concatenati in termini di induttanze proprie emutue;

3. applicazione dei principi di Kirchhoff al fine di ottenere le relazionitensioni-correnti;

4. espressione della coppia e determinazione della caratteristica meccani-ca;

5. costruzione del diagramma circolare e analisi delle sue caratteristiche.

Da tale studio appare evidente come la macchina asincrona sia un validodispositivo di conversione dell’energia.Infatti, essa costituisce il tipo piu comune di motore elettrico, grazie alle suecaratteristiche: strutturalmente semplice ed estremamente robusta (richiedeuna scarsa manutenzione).L’acquisizione del circuito equivalente mediante il modello matematico, es-posto nel capitolo 2, e la realizzazione del diagramma circolare, analizzatanel capitolo 4, sono un importante risultato di tale relazione, dal momen-to che da essi si possono derivare agevolmente le prestazioni del motore incondizioni di regime permanente, nonche i suoi limiti, esposti nel corso dellatrattazione.

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Asinc Parte 2

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