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ARITMETICA e CALCOLATRICE

1) Cifre e numeri

755 è un numero composto di tre cifre. Mentre i numeri sono infiniti, le cifre sono solo dieci,

sono i 10 simboli (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9) che costituiscono i dieci numeri interi (con una sola cifra) che

vanno da 0 a 9. I numeri più grandi del 9 si scrivono seguendo queste tre regole [ a), b) e c) ]:

a)

- Dieci unità formano una decina; (10) - Dieci decine formano un centinaio; (100) - Dieci centinaia (mille unità) formano un migliaio;(1.000; in inglese thousand 1,000) - Dieci migliaia formano una decina di migliaia; (10.000; in inglese 10,000) - Dieci decine di migliaia formano un centinaio di migliaia; (100.000; in inglese 100,000)

- Dieci centinaia di migliaia (mille migliaia) formano un milione; (1.000.000; inglese million 1,000,000) - Dieci milioni formano una decina di milioni; (10.000.000; in inglese 10,000,000) - Dieci decine di milioni formano un centinaio di milioni; (100.000.000; in inglese 100,000,000)

- Dieci centinaia di milioni (mille milioni) formano un miliardo (1.000.000.000; in inglese billion 1,000,000,000) - Dieci miliardi formano una decina di miliardi; (10.000.000.000; in inglese 10,000,000,000) - Dieci decine di miliardi formano un centinaio di miliardi; (100.000.000.000; in inglese 100,000,000,000)

- Dieci centinaia di miliardi (mille miliardi) formano un trilione (1.000.000.000.000; in inglese trillion 1,000,000,000,000)

b)

Il valore attribuito alle cifre che formano il numero dipende dalla loro posizione: la cifra più a

destra indica le unità, quella alla sua sinistra (cioè la seconda da destra) le decine, la terza da destra le

centinaia, poi le migliaia ecc.

Riprendiamo ora il numero 755, formato dalle tre cifre “7”, “5” e “5”; in esso il valore del 5 più a

destra è di 5 unità, quello della cifra al centro del numero è di 5 decine (= 50), mentre il 7 vale 7

centinaia (= 700). Facendo la somma dei valori delle tre cifre (5 + 50 + 700) si ottiene il valore

del numero (755). Il procedimento non cambia se il numero è composto da quattro o più cifre.

c)

Quando il numero è composto da quattro o più cifre, per facilitarne la lettura lo si scompone in

gruppi di tre cifre, da destra a sinistra, separando con uno spazio o un puntino un gruppo

dall’altro. Così, ad esempio, il numero degli abitanti in Cina [ 1376268702 ] è più facilmente

leggibile se viene scritto così [ 1 376 268 702 ] oppure con il puntino separatore delle migliaia:

1.376.268.702 (un miliardo trecentosettantaseimilioni duecentosessantottomila settecentodue).

Attenzione!: alcune calcolatrici evidenziano i numeri usando, per separare i gruppi, non il

puntino ma la virgola, e questo perché nei paesi anglosassoni le funzioni del punto e della

virgola sono invertite rispetto ai nostri usi. Ecco perché, nelle calcolatrici (anche dei cellulari)

così come nelle tastiere numeriche dei P.C., il tasto della virgola è segnalato con un puntino.

Ri-attenzione!: quando il risultato del calcolo è un numero molto grande, molte calcolatrici lo

evidenziano in una forma strana, la cosiddetta “notazione scientifica”. Con la vostra calcolatrice

provate, ad esempio, a moltiplicare 1.000.000 per 3.000.000.000 (un milione per tre miliardi): a meno

che sul display appaia “error” (perché il risultato è costituito da un numero composto da più di 16 cifre e la vostra calcolatrice è

troppo “piccola”), è probabile che come risultato appaia 3.15 oppure 3E15 o qualcosa di analogo. Il

significato è 3 seguito da 15 zeri, cioè 3.000.000.000.000.000 (tre milioni di miliardi o tremila trilioni).

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forma italiana nome italiano forma inglese nome inglese forme scientifiche

1 unità 1 100

10^0 1E0

10 10 101

10^1 1E1

100 100 102

10^2 1E2

1.000 mille 1,000 thousand 103

10^3 1E3

10.000 10,000 104

10^4 1E4

100.000 100,000 105

10^5 1E5

1.000.000 milione 1,000,000 million 106

10^6 1E6

10.000.000 10,000,000 107

10^7 1E7

100.000.000 100,000,000 108

10^8 1E8

1.000.000.000 miliardo 1,000,000,000 billion 109

10^9 1E9

10.000.000.000 10,000,000,000 1010

10^10 1E10

100.000.000.000 100,000,000,000 1011

10^11 1E11

1.000.000.000.000 trilione 1,000,000,000,000 trillion 1012

10^12 1E12

Fino a ora abbiamo visto numeri “interi”. Se però dividiamo una unità per un qualsiasi numero

(che sia però diverso da 1 e da 0) otteniamo un numero “con la virgola”; in particolare:

se dividiamo una unità in 10 parti uguali otteniamo 1/10 un decimo 0,1;

se dividiamo una unità in 100 parti uguali otteniamo 1/100 un centesimo 0,01;

se dividiamo una unità in 1.000 parti uguali otteniamo 1/1.000 un millesimo 0,001; ecc.

Nel caso capitassero numeri compresi fra 0 e 1 e con solo l’ultima cifra diversa da zero (ad esempio

0,004), per facilitarne la lettura potete ricorrere a questo sistema: per rendersi conto se il numero

esprime decimi o centesimi o millesimi ecc. contate gli zeri, compreso quello prima della

virgola. Ad esempio: 0,000003 presenta sei zeri, gli stessi di un milione. Il numero quindi è

leggibile come 3 milionesimi. Oppure: 0,009 si legge 9 millesimi (essendoci tre zeri come nelle migliaia);

oppure ancora: 0,04 (con due zeri come le centinaia) si legge quattro centesimi ecc.

Le cifre decimali si scrivono alla destra delle unità intere e sono da queste separate da una virgola.

Attenzione: come ho già scritto più sopra, alcune calcolatrici adottano il modo inglese e

quindi separano le cifre decimali dalle unità intere con un puntino al posto della virgola.

Controlla la tua calcolatrice: scrivi, ad esempio, 40000 ÷ 7 (quarantamila diviso sette) e guarda se il

risultato appare al modo nostro (5.714,28571…) oppure nella forma anglosassone (5,714.28571…).

Che sia scritto in un modo o nell’altro, il numero 5.714,285… ha come parte intera 5.714 e

come parte decimale 285… . Il valore di queste cifre è il seguente:

5 7 1 4 , 2 8 5

migliaia centinaia decine unità decimi centesimi millesimi

Per leggere il numero si comincia con la parte intera e si fa poi seguire la parte decimale aggiungendo il nome

delle unità decimali dell’ultima cifra: cinquemilasettecentoquattordici e duecentottantacinque millesimi (o,

anche, virgola duecentottantacinque).

Ricordati: un numero decimale rimane invariato se a destra dell’ultima cifra decimale si aggiungono solo uno o più zeri (12,34 = 12,340 = 12,34000 = 12,34000000000000...)

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2) La moltiplicazione. Sperando che tutti conosciate, abbiate capito e sappiate fare somme e sottrazioni, qui parlerò

soprattutto di divisione; prima di parlare della divisione faccio solo un accenno alla

moltiplicazione, che è un’applicazione particolare della somma; infatti:

moltiplicare un numero per un altro significa sommare uno dei due con sé stesso per un numero di volte pari all’altro.

Ad esempio, moltiplicare 7 × 4 significa sommare 4 volte il 7 o anche 7 volte il 4:

7 x 4 = 7 + 7 + 7 + 7 oppure anche 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 28

3) La divisione.

Anche la divisione può essere considerata un’applicazione particolare della somma; infatti:

dividere un numero per un altro significa trovare quante volte bisogna sommare il secondo numero per se stesso per arrivare al primo.

Ad esempio: trovare il risultato di “20 diviso 5” (e, in simboli, si può scrivere sia 20 : 5 che 20 / 5 o anche 20 ÷ 5 )

significa trovare quante volte occorre sommare 5 per arrivare a 20 (e cioè trovare 4).

Infatti: 5 + 5 + 5 + 5 = 20 (4 volte 5 = 20). Ecco perché 20 / 5 = 4

Questo spiega, tra l’altro, perché il risultato della divisione di un numero per un altro più

piccolo di 1 (ma maggiore di 0) è un numero più grande di quello di partenza.

Ad esempio: 5 / 0,2 = 25 in quanto per arrivare a 5 devo sommare un sacco di volte (25 volte) il

piccolo numero 0,2; e così ancora, se con la calcolatrice provate a fate: 120 / 0,001 troverete

come risultato 120.000 in quanto per arrivare a 120 bisogna sommare 120.000 volte il numero

(piccolissimo) 0,001 (un millesimo).

Ecco perché si può anche dire che la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione:

dividere per un numero è la stessa cosa che moltiplicare per l’inverso del numero

Ad esempio: 120 ÷ 0,001 = 120 × 1.000 e ciò perché 1 / 1.000 (0,001 cioè un millesimo) è l’inverso di 1.000.

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E così ancora: 8 ÷ 5 = 8 × ----------------------- (un quinto è l’inverso di 5); 60 ÷ 2 = 60 × ½ (un mezzo è l’inverso di 2) ecc.

5

Ricordatevi:

30 1

io uso indifferentemente tutte queste forme: 30 : 5 ---------------------- 30 ÷ 5 30 / 5 30 × ---------------------

5 5

così come per indicare l’operazione di moltiplicazione uso indifferentemente “×” e l’asterisco “ * ” o, in presenza di lettere, anche nessun simbolo (a x b = a*b = ab)

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4) L’uso della calcolatrice.

4.1) I calcoli in sequenza.

Spero che tutti sappiate fare, con la calcolatrice, questa operazione: 45 × 22 (= 990), e anche

questa: 1.836 ÷ 36 (= 51).

Ancora nessun problema dovreste avere con questo calcolo: 21,5 × 12 × 7 (= 1.806), e anche

35 × 0,78 × 5

con questo: --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (= 11,375) .

12

30 × 5,6

Provate ora con questo: --------------------------------------------- ;

12 × 1,25

è probabile che qualcuno di voi abbia prima moltiplicato 30 × 5,6 e scritto da qualche parte il

risultato (168) e poi abbia fatto 12 ×1,25 memorizzando anche questo risultato (15), e infine abbia

calcolato 168 ÷ 15 trovando così il risultato finale corretto (11,2).

Chi avesse fatto in questo modo avrebbe sprecato un po’ di tempo e rischiato inutilmente di

commettere qualche errore nello scrivere i risultati parziali del numeratore e del denominatore

(rispettivamente 168 e 15).

Il modo più efficace di fare i calcoli con la calcolatrice quando sono presenti solo

moltiplicazioni e divisioni (e non ci sono, quindi, anche somme o sottrazioni) è fare tutte le operazioni di

seguito, senza trascrivere alcun risultato parziale.

Il calcolo, cioè, può essere fatto digitando in questa sequenza: 30 × 5,6 ÷ 12 ÷ 1,25 (oppure

anche quest’altra: 30 ÷ 1,25 × 5,6 ÷ 12 o anche 5,6 ÷ 12 ÷ 1,25 × 30 o qualsiasi altra combinazione che veda il 30 e il 5,6 agire come

fattori e il 12 e l’1,25 funzionare da divisori) e il risultato è sempre corretto (11,2); in caso di presenza di sole

moltiplicazioni e divisioni l’ordine con cui si effettuano le operazioni è ininfluente.

Attenzione! Sia il 12 che l’1,25 sono dei divisori (sono al denominatore della frazione), e quindi prima di

essi occorre digitare il tasto ÷ .

Digitando, invece, 30 × 5,6 ÷ 12 × 1,25 si commetterebbe un errore grossolano. In questo

modo si moltiplicherebbe per 1,25 anziché dividere per quel numero, arrivando così al risultato

sbagliato di 17,5. Il risultato corretto è 11,2 e se a qualcuno è risultato 17,5 (o altro) ha sbagliato.

Quando in un calcolo ci sono, oltre a moltiplicazioni e divisioni, anche delle somme o delle

sottrazioni, l’ordine con cui si fanno le operazioni fa cambiare il risultato. In assenza di

parentesi, le moltiplicazioni e le divisioni hanno la precedenza sulle somme e sulle sottrazioni.

Ad esempio, in “10 + 6 × 5 – 3” prima si moltiplica 6 × 5 e poi si fa il resto (+ 10 e – 3) o anche prima

(R. 37); a meno che non abbiate una calcolatrice particolare, digitare i tasti nell’ordine in cui i

calcoli appaiono porta a un risultato sbagliato [schiacciando i tasti con questo ordine: “10 + 6 × 5 – 3” il visore di una

calcolatrice “normale” segnala un risultato sbagliato di 77 perché ha proceduto così: 10+6 = 16; 16 x 5 =80; 80 – 3 = 77 (invece di 37)].

8 + 4 × 2,5

Nel caso di calcoli come, ad esempio, questo -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- in cui, oltre a moltiplicazioni

3 × 9 – 14,5

e divisioni, ci sono anche somme o sottrazioni, è inevitabile dover scrivere o memorizzare dei

risultati parziali (a meno di avere e di saper usare una calcolatrice “sofisticata”, ad esempio con le parentesi).

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Nell’esempio appena fatto alla fine della pagina precedente, se si ha una calcolatrice “normale”

si deve procedere in questo modo:

4 × 2,5 + 8 (Rparz.1: 18); 3 × 9 – 14,5 (Rparz.2: 12,5); → 18 ÷ 12,5 = 1,44

Fare, quando è possibile, i calcoli in sequenza (cioè, lo ripeto, senza interrompere la digitazione sulla calcolatrice per

scrivere dei risultati parziali) permette spesso di arrivare al risultato finale preciso; se invece si interrompe

la digitazione sulla calcolatrice per scrivere uno o più risultati parziali si arriva a un risultato

finale non del tutto corretto ogni volta che il risultato parziale è un numero con molte cifre

decimali (= molte cifre dopo la virgola).

5 ÷ 17

Provate, ad esempio, a fare questo calcolo: ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- . Il risultato corretto è 218,837535…;

0,112 × 0,012

Se, invece di fare i calcoli in sequenza, avete annotato anche solo un risultato parziale per poi

riscriverlo e arrivare al finale, allora avreste potuto arrivare al risultato esatto solo prestando

molta attenzione nel ricopiare tutte le cifre decimali.

5 ÷ 17 + 4 ÷ 6

Provate ora a fare quest’altro: ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- . Il risultato corretto è 2,385694685… ;

3 ÷ 11 + 0,13

A differenza dell’esempio di prima, qui non è possibile (a meno, come già detto, di avere una calcolatrice con le

parentesi e di saperla usare) fare tutti i calcoli in sequenza, e quindi è quasi inevitabile utilizzare dei

risultati parziali, un po’ come è inevitabile interrompere i lunghi viaggi procedendo per tappe

lungo il percorso.

Attenzione! Quando scrivete i risultati parziali dovete ricopiare molte delle loro (eventuali) cifre decimali

Se non lo fate rischiate di arrivare a un risultato finale impreciso in misura tale da non poter

essere accettato come valido. Provate a fare gli ultimi due esempi limitandovi a riportare solo

tre cifre decimali e constaterete (= verificherete, vi accorgerete) quanto ho appena scritto.

Queste ultime righe ci portano a parlare del prossimo argomento:

4.2) Gli arrotondamenti. Capita spesso che il risultato di un calcolo sia un numero con molte cifre decimali, non di rado

addirittura infinite; ad esempio: 18 ÷ 7 = 2,571428571 …

E’ chiaro che in casi come questi è necessario interrompere, presto o tardi, la scrittura delle

cifre decimali. Ad esempio, quando si esprimono dei valori monetari ci si limita quasi sempre

alla seconda cifra decimale (cioè ci si ferma al centesimo, come 13,75 € (euro) o 99,99 $ (dollari) o 4,20 CHF (franchi svizzeri)).

Ogni volta che non si scrivono tutte le cifre decimali, però, si commette un errore più o meno

grande; nell’esempio di prima (18 ÷ 7 = 2,571428571 …), se mi limito a scrivere una sola cifra dopo la

virgola (scrivendo 2,5) scrivo un numero che è inferiore di oltre 0,07 (cioè di oltre 7 centesimi) al

risultato corretto dell’operazione; e se proseguo fino alla seconda cifra (scrivendo 2,57)

commetto (= faccio) un errore certamente inferiore (poco più grande di 0,001 cioè di un millesimo) ma continuo

comunque a non esprimere il risultato corretto.

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Insomma, spesso è opportuno o addirittura necessario togliere una o più cifre finali a un numero,

ed è chiaro che in questo modo il numero cambia e quindi è inevitabile commettere un errore.

Una volta deciso il numero di cifre decimali da indicare occorre, però, commettere l’errore più

piccolo, e per fare questo bisogna imparare ad arrotondare (si dice anche ad “approssimare”) i

numeri nel modo giusto, quello appunto che minimizza (= fa diventare più piccolo possibile) l’errore.

. arrotondare correttamente significa commettere l’errore minore.

Non ci si può limitare a troncare (a cancellare, a non scrivere) le cifre decimali successive a quelle che si

è stabilito di conservare, bisogna anche verificare se l’ultima cifra decimale deve o no essere

modificata.

Nell’esempio di prima (18 ÷ 7 = 2,57142 …), se si scrive il risultato fermandosi alla prima cifra decimale

(si dice anche “approssimando” alla prima cifra decimale o “approssimando” al decimo), occorre scrivere 2,6 e non 2,5 !

Infatti, scrivendo 2,5 si fa un errore maggiore; si indica un valore inferiore a quello corretto di

oltre 7 centesimi (2,5714... meno 2,5 = 0,07142 ...), mentre se si scrive 2,6 l’errore (2,6 meno 2.5714 = 0,02858 …) è di

meno di 3 centesimi, cioè meno della metà di prima; scrivendo 2,6 si è perciò ridotto l’errore.

Quando si arrotonda indicando un valore superiore al reale si dice che “si approssima (o si arrotonda)

per eccesso”, quando invece si arrotonda riportando un numero inferiore a quello preciso, allora

si dice che si è scritto un numero “approssimato (o arrotondato) per difetto”.

Quando l’approssimazione per eccesso e quella per difetto causano un errore esattamente

uguale, allora stabiliamo di arrotondare per eccesso. Così se nel calcolo 2.121,025 ÷ 1.850 vi

dico di approssimare il risultato (1,1465) alla terza cifra decimale, voi dovrete scrivere 1,147 e

non 1,146

A meno che non vi siano date indicazioni diverse (= a meno che non vi venga detto di fare diversamente), nei calcoli e nei

problemi che farete dovrete scrivere i risultati numerici arrivando almeno fino alla seconda cifra

decimale. Quindi, se vi chiedessi di determinare quanto ho pagato al litro il gasolio sapendo che

ho speso 77,40 € per comprarne 50 litri, (77,40 ÷ 50 = 1,548 €/l):

- se vi dico di arrotondare alla seconda cifra decimale voi dovete indicare 1,55 €/l (approssimando perciò in eccesso per commettere un errore di + 2 millesimi; se, invece, scriveste 1,54 approssimando per difetto,

fareste un errore di – 8 millesimi, il quadruplo dell’errore precedente, e io vi boccerei);

- se vi dico di arrotondare alla prima cifra decimale voi dovete scrivere il risultato 1,5 €/l (arrotondando questa volta in difetto per commettere un errore di – 48 millesimi che è più piccolo dell’errore, di + 52 millesimi che si

farebbe arrotondando per eccesso a 1,6);

- se vi dico di arrotondare all’unità intera dovete scrivere 2 (con un errore di 0,452 e cioè 452 millesimi) e

non 1 (perché in questo caso l’errore sarebbe di 0,548 o 548 millesimi e quindi maggiore di prima);

- se vi dico nulla sulle cifre decimali da tenere, allora voi potete sia scrivere 1,548 €/l, senza

approssimare il risultato, sia arrotondare alla seconda cifra decimale scrivendo 1,55. Scrivendo

1,5 sbagliereste (nonostante l’arrotondamento fatto alla prima cifra sia quello giusto) perché la nostra regola è di

tenere, quando non ci sono indicazioni diverse, almeno due cifre dopo la virgola.

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I CALCOLI PERCENTUALI

(Questo argomento lo trovate, se volete, anche sul libro di testo dell’anno scorso. Se vi risulta più chiaro come là queste cose sono trattate, mi sta benissimo che vi prepariate sul libro: l’importante è che le capiate e siate in grado di maneggiare i calcoli percentuali).

5) La percentuale.

Sono certo tu sia in grado di dare l’esatto significato alla frase “in una scuola sono stati bocciati sessanta alunni su duecentoquaranta”: leggendola capisci che in quella scuola

c’erano 240 studenti e che 60 di questi sono stati bocciati. Se è così, se cioè ti viene naturale

dare questo senso a quella frase, allora hai già capito le percentuali. Perché “sessanta su duecentoquaranta” (60/240) è già una percentuale.

Infatti, stampatelo bene nella mente,

. la percentuale è un rapporto (cioè una divisione) .

e

qualsiasi rapporto può essere espresso come percentuale.

60 Nell’esempio, la divisione 60 ÷ 240 o, se preferisci, ----------------- [che, non per niente, si scrive mettendo il

240

60 sopra, cioè “su” il 240 “sessanta (bocciati) su duecentoquaranta (alunni)”] significa 0,25 (se hai dei

dubbi prova a digitare sulla calcolatrice 60 ÷ 240 e otterrai 0,25), numero che, come dovresti già sapere, puoi

anche leggere “25 centesimi” o “25 ÷ 100” o “25 / 100”. L’unica cosa nuova che devi imparare

adesso è che il numero “0,25” lo si può scrivere anche 25% (oltre a poter essere scritto anche “25 centesimi” e

“25 ÷ 100” e “25 / 100”) e leggerlo “venticinque per cento”. Ma, stampatelo bene nella mente,

25% significa 0,25 (o, se preferisci, 25 centesimi o 25 ÷ 100 o 25 / 100) ,

infatti la frase da cui siamo partiti (“in quella scuola sono stati bocciati 60 alunni su 240”) poteva

anche essere scritta cosi: “in quella scuola sono stati bocciati i 25 centesimi degli studenti” .

Per una diabolica congiura organizzata allo scopo di bocciare più studenti, in Italia c’è

l’abitudine di leggere il dato “25%” come “25 per cento” e non, come sarebbe logico e

corretto, “25 centesimi” o “25 diviso cento”.

In realtà la forma diffusissima “25 per cento” con cui si legge il dato “25%” ha il significato di

“25 per ogni cento” (nell’esempio: 25 bocciati per ogni 100 studenti), ma voi dovete sempre tenere ben

presente che il significato corretto di 25% è “25 su cento” o anche “25 diviso cento” o “25

centesimi” o, se proprio volete, “25 per ogni cento” , ma mai dovete commettere la

mostruosità di pensare che 25% centri qualcosa con l’operazione 25 x 100.

Gli studenti di lingua inglese [altre lingue non ne conosco, provate voi a chiedere a chi parla lingue diverse come si

esprime la moltiplicazione (ad esempio “30 x 2”) e come la percentuale (“30%”)] sono più fortunati di voi perché nella

loro lingua il simbolo della percentuale si legge sì, “per”, come in italiano, (10% loro lo leggono “ten

per cent”), ma il simbolo della moltiplicazione NON lo leggono con la stessa parola “per”, ma in

modo totalmente diverso: loro 4 x 2 lo leggono “four times two” o anche “four by two”, e così

lo studente madrelingua inglese non ha difficoltà a mettersi in testa che la percentuale è una

divisione e non una moltiplicazione.

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6) A cosa servono le percentuali.

Partiamo con un altro esempio: in una verifica in cui occorreva fare 32 calcoli, 20 alunni di

una classe hanno fatto in tutto 288 errori. Poiché complessivamente i calcoli da fare

erano 640 (32 x 20 = 640), si può quindi dire che “gli studenti hanno sbagliato 288 calcoli su 640”.

Trasformando l’italiano in linguaggio matematico, lo stesso concetto si esprime con una

frazione, cioè con una divisione o un rapporto, termini che, come già sai, sono tutti sinonimi

(= parole che hanno tutte lo stesso significato): 288 --------------------------------

640

Dire “288 errori su 640 calcoli” dà un’informazione corretta e precisa, questo è vero, ma se

vogliamo dare con maggiore evidenza l’idea del rapporto fra gli errori e il totale dei calcoli,

se vogliamo cioè segnalare con più immediatezza la frequenza degli errori, allora piuttosto

che riportare la frazione dicendo “288 su 640” o “288 seicentoquarantesimi” è meglio indicare

il suo valore, cioè indicare il risultato del “rapporto”.

Insomma, invece che dire “288 / 640” troviamo il risultato della divisione (288 : 640 = 0,45) e poi lo

esprimiamo non in unità (0,45 unità) ma in centesimi, dicendo 45 centesimi (hanno sbagliato i 45 centesimi

dei calcoli, cioè hanno sbagliato 45 calcoli su 100).

Per abitudine ormai antica, il valore del rapporto è espresso con questa grafica: 45% , forma il

cui significato, come abbiamo visto più volte, è “45 centesimi” o “45 diviso 100” o “45 su 100” .

Se hai compreso quanto scritto fino qui, sei ora in grado di capire questa definizione:

La percentuale è uno strumento matematico che descrive la grandezza di una

quantità rispetto a un'altra

e anche quest’altra, ancor più precisa (tranquilli, non impongo di impararla a memoria, però pretendo che la leggiate con attenzione e vi sforziate di comprenderla:

La percentuale è la rappresentazione del rapporto tra due quantità (a e b), in cui una

(a) viene espressa in centesimi (centesime parti) dell'altra (b); operativamente la percentuale si

ottiene moltiplicando per 100 il quoziente (a / b) della divisione tra le due quantità.

La risposta alla domanda “a cosa servono le percentuali” è quindi:

le percentuali servono per esprimere in modo più semplice e immediatamente comprensibile l’idea del rapporto esistente fra due grandezze.

Infatti, dire “gli studenti hanno sbagliato il 45% dei calcoli” informa meglio (meglio nel senso di

più efficacemente, non però di più esattamente) sulle capacità di calcolo di quella classe che dire “gli

studenti hanno sbagliato 288 calcoli su 640”, anche se il significato delle due frasi è

assolutamente lo stesso; oppure, invece che dire: “nella scuola 132 studenti su 480 hanno

l’insufficienza in economia aziendale” si può esprimere lo stesso concetto dicendo; “il 27,5% degli

studenti ha l’insufficienza”, essendo il rapporto 132 ÷ 480 uguale a 0,275, numero che,

espresso in centesimi, equivale a 27,5 % .

9

Spesso le due grandezze di cui si segnala il rapporto sono una parte rispetto al suo intero (è il

caso di entrambi gli esempi fatti: i bocciati sono una parte dell’intera classe e i calcoli sbagliati sono una parte di tutti i calcoli della

verifica); quando è così, la percentuale non può ovviamente mai essere superiore al 100% (la parte

non può essere più grande dell’intero, i bocciati non possono essere più degli studenti).

Capita non di rado, però, di esprimere il rapporto fra due grandezze che non sono l’una un

“sottoinsieme” dell’altra: se, ad esempio, voglio dare l’idea di quanto guadagna un cassiere di

banca tedesca rispetto a un suo collega italiano e so che il tedesco guadagna 2.730 € al mese

mentre lo stipendio dell’italiano è 1.780 €, allora metto in rapporto le due grandezze (cioè divido

l’una per l’altra facendo 2.730 ÷ 1.780) e poi esprimo il risultato (1,53 circa) non in unità ma in centesimi

dicendo che lo stipendio di un cassiere tedesco è il 153% (153 centesimi) di quello di un

cassiere italiano, e il significato è che per ogni 100 euro guadagnati dal cassiere italiano

quello tedesco ne guadagna 153 (o, è la stessa cosa, per ogni euro dell’italiano il cassiere tedesco ne guadagna 1,53).

7) La variazione percentuale

7.1) L’aumento percentuale

Zoe aveva, a inizio anno, 130,00 € di risparmi nel salvadanaio; ora ne ha 221,00. Di quanto

sono aumentati, in euro, i suoi risparmi? Sono convinto che tu sappia rispondere

correttamente facendo la sottrazione 221 – 130 (Ris. 91,00 €).

Come però ho già scritto nel paragrafo precedente, se vogliamo dare un’idea più chiara e

immediata di quanto sono aumentati i risparmi di Zoe rispetto, in rapporto, a prima, allora

esprimiamo il dato in termini percentuali, cioè segnaliamo di quanti euro sono aumentati per

ogni 100 euro iniziali.

Per fare ciò, e l’abbiamo già imparato, dividiamo l’aumento (91 €) per il valore iniziale (130 €),

e il risultato (0,7) lo esprimiamo non in unità (0,7) bensì (= ma) in centesimi dicendo 70 centesimi

o, più abitualmente, settanta per cento (70%).

Ecco allora che la risposta alla domanda “di quanto sono aumentati, in percentuale, i

risparmi di Zoe dall’inizio dell’anno?” è “i risparmi di Zoe sono aumentati, da inizio anno,

del 70%”, con questo intendendo dire che i risparmi di Zoe sono aumentati di 70 € per ogni 100 € che aveva prima dell’aumento (o, ed è la stessa cosa, di 70 centesimi per ogni

euro che aveva).

Se Zoe, che a inizio anno aveva130 €, avesse oggi 338,00 € (e non solo i 221 € dell’esempio di prima),

la risposta sarebbe: “i risparmi di Zoe sono aumentati, da inizio anno, del 160%”. Infatti:

l’aumento in euro (o, come si dice, l’aumento “in cifra assoluta”) diventerebbe ora pari a 208 € (338 – 130) e

il rapporto fra l’aumento e il valore di partenza sarebbe 1,6 (208 / 130 = 1,6); poiché 1,6 unità

equivalgono a 160 centesimi, allora il risultato nella forma percentuale viene espresso così:

“160%”.

10

Con l’esempio precedente constatiamo (= verifichiamo, ci rendiamo conto) di nuovo che i dati percentuali

possono anche essere superiori al 100%. Certamente, lo ripeto, non è così (e quindi il dato non può

superare il 100%) quando le due grandezze che si rapportano sono l’una una parte dell’altra: i

rimandati in economia, per quanto possa essere carogna fetente l’insegnante, non potranno

mai superare il 100% degli alunni; ma quando le due grandezze che si mettono in rapporto

fra loro non sono una un “sottoinsieme” dell’altra, cioè una sua parte, allora sono normali

anche dati superiori al 100%.

Ad esempio, gli abitanti in Italia (circa 60.000.000) sono circa il 140% dei residenti in Ucraina

(circa 43.000.000), oppure, considerando che gli abitanti della Cina sono circa 1.400.000.000,

possiamo dire che i cinesi sono il 2.333% (duemilatrecentottrentatre per cento) degli italiani; (infatti: 1.400.000.000 / 60.000.000 = 23,33 e 23,33 espresso in centesimi è 2.333). Così come il primo dato ci diceva che

ci sono 140 italiani su 100 ucraini (140 italiani per ogni 100 ucraini), il secondo ci avverte che ci sono

2.333 cinesi per ogni 100 italiani, e in questo modo ci dà un’idea più immediata, evidente e

chiara di quanti siano più numerosi i cinesi degli italiani.

7.2) La diminuzione percentuale.

Ora vediamo quest’altro esempio, che ti serve anche per abituarti ai numeri grandi: Unicredit

è tra le banche italiane più grandi (capirai più avanti cosa è una banca, ma ai fini dell’esempio non è necessario che tu abbia

le idee chiare in proposito); nel marzo 2011 per comprare l’Unicredit (per diventare proprietario del 100% delle “azioni”

Unicredit, e anche questa parentesi la capirai più avanti) occorrevano circa 37.000.000.000 di € (37 miliardi, o anche

37.000 milioni di euro, e se hai dei dubbi torna al volo alla prima pagina di “Aritmetica e equazioni”). Sei mesi dopo, in

settembre 2011, bastavano circa 12.950.000.000 di € (12 miliardi e 950 milioni, o anche 12.950 milioni). Di

quanto diminuì, in percentuale, in quei sei mesi il valore della banca Unicredit?

Come visto prima nel caso della ricerca dell’aumento percentuale, anche nel caso della

diminuzione percentuale dobbiamo per prima cosa trovare la variazione assoluta, cioè

calcolare di quanti euro è diminuito il valore dell’Unicredit: (37.000.000.000 – 12.950.000.000) =

24.050.000.000 (*), e poi mettiamo in rapporto (cioè dividiamo) la variazione con il valore

originario (24.050.000.000 ÷ 37.000.000.000) = 0,65 e esprimiamo questo risultato non in unità ma

in centesimi, dicendo che il valore di quella banca è diminuito del 65% .

Vediamo ora un altro esempio: nel 2007 il reddito medio degli abitanti in Italia (o, come si dice

spesso e in modo meno chiaro, il P.I.L. pro capite in Italia) era di circa 29.500 € l’anno (in € dal potere di acquisto del 2014); nel

2014, a causa della crisi economica, scese, a parità di prezzi, a circa di 25.800 € l’anno (**). Quale fu la variazione percentuale?

Seguiamo il solito percorso: troviamo la diminuzione “assoluta” del reddito medio in Italia tra

il 2007 e il 2014 (29.500 – 25.800 = 3.700 € l’anno); rapportiamo la variazione al valore iniziale (3.700

÷ 29.500 = 0,125) ed esprimiamo il risultato, invece che in unità, in centesimi scrivendo 12,5% .

Così facendo, chi legge coglie più facilmente la misura della diminuzione: a causa della crisi

economica iniziata alla fine del 2007, nel 2014, dopo sette anni di crisi, in media ogni

abitante in Italia ha perso 12,50 € di reddito per ogni 100 € che guadagnava sette anni prima.

11

(*) Quando dovete fare dei calcoli con numeri talmente grandi da non poter essere scritti nella calcolatrice,

avete due strade:

1. dividete tutti i numeri presenti nel calcolo per uno stesso importo tondo (ad esempio per 1.000.000.000 o 1.000.000

o per 1.000, ed è opportuno che il divisore sia un numero “tondo” per poter effettuare la divisione semplicemente spostando la virgola di

qualche posto), poi eseguite i calcoli con i numeri così ridotti e infine, arrivati al risultato, lo moltiplicate per

l’importo utilizzato prima per ridurre i numeri; nell’esempio del testo se dividiamo per un milione (cioè

spostiamo la virgola di 6 posti) la sottrazione diventa: 37.000 – 12.950 = 24.050 e il numero così trovato (24.050) lo

moltiplichiamo per 1.000.000 arrivando al risultato corretto di 24.050.000.000;

2. utilizzate una calcolatrice dotata di “notazione scientifica” (vedi sempre le prime due pagine “ Aritmetica e equazioni”) e poi

non dovete spaventarvi alla vista di numeri espressi in questo modo:

3,7 * 1010 – 1,1295 * 1010 = 2,405 * 1010 , in quanto la calcolatrice sta semplicemente scrivendo il numero 37

miliardi come 3,7 moltiplicato per 10 miliardi (1010 è 1 seguito da 10 zeri, cioè 10 miliardi). In pratica la calcolatrice con

notazione scientifica fa la stessa cosa che fate voi seguendo la strada 1. : è come se dividesse i numeri per il

valore tondo 10 miliardi, anche se poi lascia il risultato nella forma “strana” della notazione scientifica. Lo

studente attento, però, capisce che 2,405 * 1010 lo si può trasformare nella forma “normale” spostando la

virgola di dieci posizioni, e quindi in 24.050.000.000 .

(**) Il dato del reddito annuo medio dei residenti in Italia (che sostanzialmente coincide con il cosiddetto “PIL pro-capite) è

ottenuto dividendo il reddito annuo complessivo degli italiani (più o meno il cosiddetto PIL – “Prodotto Interno Lordo” – italiano)

per il numero degli abitanti in Italia in quell’anno. Non stupirti se leggi che in media quest’anno ogni

italiano ha un reddito annuo così (apparentemente) alto, superiore a 25.000 € (e quindi una famiglia di quattro persone

oltre 100.000 €): il reddito di cui si tiene conto, infatti, non è quello “disponibile”, cioè spendibile, dalla famiglia;

ad esso si aggiunge anche la parte del reddito (pari a circa altrettanto, cioè circa il 100% del reddito spendibile) prodotto dai

cittadini ma che essi non possono spendere come vogliono perché viene loro tolto dallo stato (detto meglio: dalla

pubblica amministrazione) che poi in cambio offre i servizi pubblici gratuiti (o a prezzi più bassi del costo che sopporta per

produrli) come l’istruzione (con le scuole e le università pubbliche ecc.), la sanità (con ospedali, medici delle A.S.L. ecc.), l’ordine pubblico e la sicurezza (con polizia, carabinieri, vigili del fuoco, vigili urbani, esercito, marina ecc.), la giustizia (con magistrati, tribunali, carceri ecc.), le strade, le pensioni, i cimiteri ecc. ecc. . I dati precisi li trovi su http://dati.istat.it/Index.aspx?DataSetCode=DCCN_PILPRODQ&Lang=#

7.3) Un aumento dell’X% non compensa una diminuzione dell’X%.

Nell’estate del 2008 il prezzo del petrolio era circa 140 $ al barile; pochi mesi dopo, in ottobre,

il prezzo precipitò a circa 70 $ al barile. La diminuzione assoluta fu perciò di 70 $ (140 – 70) e la

variazione percentuale fu del 50% (70 / 140 = 0,5 e ½ equivale a 50 centesimi o 50%). Come potete

constatare, una diminuzione del 50% significa il dimezzamento del valore iniziale.

Dopo il crollo subito fra l’estate e l’autunno, il prezzo del petrolio cominciò a risalire

registrando, all’inizio del 2011, un aumento del 60% rispetto ai 70 € di ottobre 2008.

Chi non ha dimestichezza con le percentuali (= chi non le usa abitualmente) in genere pensa che se, come

nell’esempio, una grandezza prima diminuisce del 50% e poi aumenta del 60%, alla fine è

maggiore di quanto era all’inizio. Invece non è così.

Torniamo all’esempio del petrolio: abbiamo visto che il suo prezzo iniziale (dell’estate 2008) di

140 € diminuì del 50% portandosi così a 70 € (la metà di prima); ora vedremo come il successivo

aumento del 60% non fu in realtà sufficiente a riportarlo al valore iniziale (e tanto meno, quindi, a

valori superiori a 140 $): l’aumento del 60% c’è effettivamente stato, ma deve essere applicato al

prezzo di 70 €, e non a quello iniziale di 140.

12

Questo significa che dopo essersi dimezzato scendendo a 70 $ al barile, se il prezzo è

aumentato del 60% (di 70 $) vuol dire che è aumentato di 42 $ (70 x 60%, cioè 70 x 0,6) e quindi ha

raggiunto i 112 $ (70 + 42) e non è certamente tornato ai precedenti 140 (né tanto meno li ha superati).

Per poter tornare a 140 $ al barile, il prezzo di 70 $ doveva raddoppiare, vale a dire che

doveva aumentare del 100% (detto in altre parole: avrebbe dovuto aumentare di 100 € per ogni 100 € di prezzo precedente).

Questo capita perché la diminuzione percentuale la si calcola in rapporto al valore iniziale (che è

maggiore), mentre il successivo aumento percentuale si applica a un valore che è diventato minore.

Se avessi fatto un esempio con una diminuzione ancora più forte del dimezzamento (più elevata,

cioè, del 50%), l’effetto sarebbe risultato ancor più evidente: se un valore si riduce, ad esempio, del

95% (come, tornando a un caso precedente, è capitato negli ultimi quattro anni al prezzo di qualche banca) significa che si riduce a un

ventesimo (100 – 95 = 5 e 5 è un ventesimo di 100), e una volta arrivato così in basso (5 €) per tornare a

dove era prima (100 €) dovrà riguadagnare i 95 € persi, ma 95 su 5 (95 ÷ 5) è il 1.900% (millenovecento %).

Riprendiamo, infine, un altro esempio, quello del reddito annuo medio degli italiani che si è

ridotto, tra il 2019 e il 2020, di 2.325 €, circa dell’8,3% (passando da 28.000 a 25.675 €): per tornare ai

valori iniziali (per tornare cioè a 28.000 € l’anno) il reddito dovrà aumentare non dell’8,3% bensì di un

po’ di più, circa del 9,1% [ i 2.325 € necessari per riconquistare la posizione di partenza (28.000 €) sono, rispetto ai 25.675

€ da cui occorre risalire, il: 2.325 ÷ 25.675 = 0,0906 e cioè, arrotondando, il 9,1% ]

Per lo stesso motivo, mentre la diminuzione percentuale non può essere superiore al 100% (se

una grandezza diminuisce del 100% si annulla e di una qualunque cosa non può esserci meno di niente) (*), l’aumento

percentuale non ha limiti: pensiamo ad esempio ai canguri che dal momento in cui vengono

partoriti a quando sono adulti vedono il loro peso aumentare da circa 2 grammi a circa 100 kg

(cioè 100.000 grammi), e quindi l’aumento percentuale del loro peso negli anni successivi alla nascita

è pari al 4.999.900% [ l’aumento assoluto è di 99.998 grammi (100.000 – 2); il rapporto fra l’aumento e il valore

iniziale è: (99.998 ÷ 2) = 49.999 che, espresso non in unità ma in centesimi è quindi 4.999.900% ].

(*) In realtà quanto scritto non vale in tutti i casi in cui una grandezza può assumere valori

negativi, come ad esempio la temperatura: se tra luglio e gennaio la temperatura media mensile

in una località alpina passa da + 25° a – 15°, la temperatura è scesa di 40° [25 – (– 15)], e una

diminuzione di 40 rispetto al valore iniziale di 25 è una diminuzione del 160% (40 / 25 = 1,6 → 160%)

13

Le EQUAZIONI (di primo grado)

8) La proprietà convertitrice del segno “ = ” (uguale)

Se leggete “ 3 + 5 – 1 = 7 ” oppure “ 4 × 2 = 24 ÷ 3 ” non vi stupite e siete anche in grado di

comprenderne il senso. Questo perché conoscete, oltre al significato dei simboli delle

operazioni e delle cifre, anche il significato del simbolo “ = ” (uguale).

Non tutti, probabilmente, conoscono invece la proprietà “convertitrice” che il simbolo “ = ” ha

sulle quattro operazioni.

Prendiamo .3 + 5 – 1 = 7 n . ; usando gli stessi numeri possiamo scrivere, tra le tante, anche queste

altre uguaglianze:

➢ 3 – 1 = 7 – 5 (2 = 2) e verificare così che spostandolo dall’altra parte dell’=, il “sommatore” 5 si è trasformato in un “sottrattore”. Possiamo anche dire che il 5 per scavalcare l’= ha dovuto

invertire la sua funzione: da + 5 si è trasformato in – 5.

➢ 5 – 1 = 7 – 3 (4 = 4); qui è il 3 che, per trasferirsi dall’altra parte dell’= e far sì che l’uguaglianza

sia ancora rispettata, ha dovuto invertire la sua funzione, e da + 3 si è trasformato in – 3.

➢ 3 + 5 = 7 + 1 (8 = 8); in questa è l’1 che ha voluto farsi un viaggio al di là dell’=, ma per

farlo ha dovuto trasformarsi da “sottrattore” in “sommatore” (da – 1 a + 1);

➢ 3 = 7 – 5 + 1 (3 = 3); si sono spostati il + 5 e il – 1 trasformandosi in – 5 e in + 1;

➢ 0 = 7 – 5 – 3 + 1 (0 = 0); qui son voluti partire tutti – a parte il 7 – per trasferirsi dall’altra

parte dell’= , e così a sinistra c’è rimasto il nulla (lo zero) e a destra dell’uguale si sono tutti

convertiti (a parte il 7 che non si è spostato).

Gli spostamenti possono essere fatti sia da sinistra a destra che da destra a sinistra: la regola del

cambio di segno non cambia; se il 7 scavalca l’= da destra a sinistra si avrà: 3 + 5 – 1 – 7 = 0

Procediamo allo stesso modo partendo, questa volta, da 4 × 2 = 24 ÷ 3 ... (8 = 8) Tra le

tante combinazioni possiamo ad esempio scrivere:

24 ÷ 3

♦ 4 = ------------------------------------------------------- ; il 2 prima era un “moltiplicatore” e ora, scavalcato l’=, è diventato un “divisore”;

2

♦ 4 × 2 × 3 = 24; qui è il 3 che per trasferirsi da destra a sinistra dell’= ha dovuto rassegnarsi a

convertirsi da “divisore” a “moltiplicatore”.

♦ 4 × 3 = 24 ÷ 2; in questo caso il × 2 passando da sinistra a destra dell’uguale è diventato ÷ 2,

mentre il ÷ 3 che era a destra dell’= è diventato, a sinistra, un × 3.

24 ÷ 3

♦ 2 = ------------------------------------------------------- ; il 4 prima era un “moltiplicatore” e ora, scavalcato l’=, è diventato un “divisore”.

4

Nota per gli appassionati di matematica: quanto visto in questa pagina è un modo diverso di illustrare quelli che i libri di testo definiscono i “principi di equivalenza delle equazioni” che, un po’ semplificati, possono essere così esposti:

primo principio di equivalenza: data un'equazione, aggiungendo o togliendo ad entrambi i membri uno stesso numero si ottiene un'equazione equivalente;

secondo principio di equivalenza: data un'equazione, moltiplicando ambo i membri per un numero diverso da zero si ottiene un'equazione equivalente.

14

9) La semplicità e l’utilità delle equazioni (di primo grado).

Alle medie alcuni di voi hanno già fatto le equazioni di primo grado e altri, invece, non le

hanno mai viste. Sia in un caso sia nell’altro non dovete preoccuparvi: se avete capito il

paragrafo di prima (8)) siete ormai in grado di “risolvere le equazioni”. E saper usare le

equazioni è estremamente importante (e non certo solo per poter essere promossi da me).

I problemi semplici si possono risolvere con strumenti matematici semplici e minime dosi di

logica. Ad esempio: un uomo di 48 anni ha un figlio di 12; quanti anni aveva il padre quando nacque suo figlio?

Risp.: 48 – 12 = 36 anni. E’ bastato conoscere la sottrazione e avere un po’ di logica.

Man mano, però, che i problemi si fanno più complessi, la loro soluzione richiede dosi più

impegnative di logica e strumenti matematici più potenti.

Ad esempio: un uomo ha 48 anni e suo figlio 12; tra quanti anni il padre avrà il doppio degli anni del figlio?

Questa volta l’applicazione degli strumenti matematici più elementari (cioè le quattro operazioni) non

permette di giungere alla soluzione (a meno di andare, stupidamente, a tentativi fino a che si è trovato il valore corretto che

verifica le condizioni). Le equazioni sono uno strumento estremamente utile per risolvere i problemi, e

l’equazione di primo grado (l’unica che useremo almeno fino alla terza) ha il duplice pregio (= il doppio merito) di essere

uno strumento ancora piuttosto semplice da maneggiare (= da usare) e contemporaneamente di avere

già una buona potenza, nel senso che con essa si riescono a risolvere problemi anche non banali.

Un’equazione è una uguaglianza (come, ad esempio, “ 6 + 5 - 1 = 12 – 2 ”) di cui però non si conoscono

tutti i dati: ad esempio “ 15 + x = 20 - 2 ” è un’equazione (con una sola incognita), e risolvere

un’equazione significa trovare il dato nascosto (o i dati nascosti se le incognite sono più di una).

Nella soluzione dei problemi serve prima la logica (per impostare l’equazione

corretta) e poi la tecnica (per padroneggiare lo strumento dell’equazione e risolverla senza errori).

L’esercizio (nel senso di allenamento) non saltuario (= regolare, costante) è indispensabile per acquisire naturalezza

in entrambi i campi (cioè nell’usare la logica e cavarsela con la matematica).

Ricordati: uscire dal banco e venire alla lavagna per scrivere “oggi c’è un bel sole” ti sembra una

prova facilissima, mentre in realtà è straordinariamente complessa: solo per mantenere

l’equilibrio usi contemporaneamente centinaia di muscoli e devi coordinare in modo perfetto i

loro movimenti; la scrittura corretta della frase implica poi l’utilizzo di regole grammaticali

tutt’altro che semplici. Se ora ti sembra facile è perché per anni hai fatto continui esercizi e,

soprattutto all’inizio, tanti errori (hai continuato a cadere almeno fino ai tre anni e ancora a sette scrivevi “ogi ce un bel sole”).

Ecco perché, anche se all’inizio non ti sarà facile, devi impegnarvi a risolvere i problemi

utilizzando lo strumento delle equazioni: col tempo diventerà più semplice fino a risultare

naturale come ti sembra semplice e naturale il camminare. E una volta che ti sembrerà naturale

usare le equazioni di primo grado, sarai in grado di cominciare a maneggiare strumenti più

complessi e più potenti, che ti permetteranno di risolvere situazioni davanti alle quali la gran

parte delle persone si arrende immediatamente. Il processo di crescita mentale e culturale è

graduale, esattamente come il miglioramento nelle attività sportive: solo con tanto allenamento

si arriva, gradualmente, a giocare bene a pallavolo, e non puoi sperare di riuscire nella “veloce

avanti” se prima con l’esercizio e l’abitudine non hai acquisito naturalezza nell’esecuzione dei

fondamentali più semplici.

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Per risolvere i problemi usando lo strumento delle equazioni si segue questo percorso:

➢ a) prima si battezza con un simbolo (normalmente si usano le lettere X, Y ecc., ma vanno benissimo anche a, b, z, o

anche #, §, ☺ ╜ o quello che vi pare) il (o i) dato (i) ignoto (i) che si vuole arrivare a conoscere;

➢ b) poi si formalizza in linguaggio matematico il problema, impostando l’equazione: si

tratta, cioè, tradurre il testo dall’italiano al matematichese;

➢ c) infine si risolve l’equazione applicando la funzione convertitrice del segno “ = ” vista

nel paragrafo precedente a pagina 7.

10) Soluzione di problemi con le equazioni (di primo grado): primi esempi.

Premetto subito di essere ben consapevole che i primi problemi sono talmente semplici da fare

apparire stupida l’idea di risolverli con le equazioni. Se ve li propongo, è per cominciare a

familiarizzare con il percorso ( a) b) c) ) descritto appena sopra.

Esempio 1: Giada ha speso 1.662,50 € per comprare 50 grammi d’oro; quale è il prezzo al grammo dell’oro che ha comprato?

a) Chiamo X (o P o quello che ti pare) il prezzo al grammo dell’oro;

b) Riscrivo il problema in questi termini: X × 50 = 1.662,50 [il prezzo di un grammo d’oro ( X ) moltiplicato per 50 è pari a 1.662,50 €]

c) Isolo (= lascio da sola) l’incognita X portando il suo moltiplicatore “50” dall’altra parte [e convertendolo così in divisore]: X = 1.662,50 ÷ 50 e calcolo così il prezzo al grammo dell’oro [ Ris. 33,25 € ].

Esempio 2: Telemaco ha comprato un televisore da 450 € e 30 DVD. In tutto ha speso 585,00 €. Quanto ha pagato ogni DVD?

a) Chiamo X (o P o ☺ o quello che ti pare) il prezzo di un DVD;

b) Traduco il testo del problema in questo modo: 450 + 30 × X = 585 [il prezzo del televisore (450) più 30 volte il prezzo di un DVD ( X ), in totale fa 585 €];

c) Isolo l’incognita (questa volta in due passaggi): 30 * X = 585 – 450; → X = 135 ÷ 30 [ Ris. 4,50 € ].

Adesso qualche problema un po’ meno semplice da risolvere se non si usano le equazioni.

Esempio 3: Anna vuole acquistare un’auto che costa 13.900 €. Se riuscisse a raddoppiare i risparmi che ha adesso, per comprare l’auto dovrebbe comunque trovare altri 3.400 €. Quanti risparmi ha ora Anna?

a) Chiamo X (o R o ♥ o quello che ti pare) l’importo dei risparmi che attualmente possiede Anna;

b) Traduco in matematichese il testo: 2 * X + 3.400 = 13.900 [il doppio dei risparmi attuali (2*X) più 3.400 €

sono pari al totale di 13.900 € che deve spendere per comprare l’auto);

c) Isolo l’incognita: 2 * X = 13.900 – 3.400; → X = 10.500 ÷ 2 [ Ris. 5.250 € ].

16

Quando vi è solo un dato da trovare (o, come si dice, quando c’è solo una “incognita”), allora è sufficiente

avere a disposizione una sola equazione che mette in relazione fra loro i dati del problema; è

stato il caso dei tre esempi fatti fino a ora. Quando, invece, ci sono due dati da trovare (o, come si

dice, ci sono due “incognite”), allora è necessario individuare due equazioni, cioè scrivere due

uguaglianze che mettono in relazione i dati del problema.

Se ho a disposizione una sola equazione con due incognite allora i risultati possibili sono

infiniti: se ad esempio sapessimo soltanto che Leporello ha il quadruplo delle figurine del suo

amico Masetto, non potremmo mai sapere quante figurine possiedono i due amici: i risultati

possibili sono infiniti: Leporello potrebbe avere 4 figurine e Masetto 1, o anche Leporello 8 e

Masetto 2 come pure Leporello 400 e Masetto 100 ecc.

Adesso un esempio di problema con due incognite che è risolvibile solo con l’uso delle

equazioni. Senza di esse la soluzione può essere trovata solo andando a tentativi e impiegando

così un sacco di tempo e facendo anche la figura dello stupido o, quantomeno, dell’ignorante.

Esempio 4: Leporello ha il quadruplo (= quattro volte di più) delle figurine di Masetto, e le figurine che ha Masetto sono 111 in meno di quelle possedute da Leporello. Quante figurine ha Leporello e quante Masetto?

a) Chiamo L (o X o ♣ o quello che ti pare) il numero di figurine possedute da Leporello, e invece

chiamo M (o Y o ♫ o quello che ti pare) il numero di figurine in mano a Masetto;

b) Traduco il testo in queste due equazioni: la prima è: L = 4 * M (il numero di figurine di Leporello è pari

al quadruplo delle figurine di Masetto); e la seconda è: M = L – 111 (il numero di figurine di Masetto è pari a quelle di

Leporello meno 111). Sostituisco poi una delle due incognite (ad esempio M) di una equazione (ad esempio la

prima) con il suo valore indicato nell’altra equazione (e quindi, nel nostro caso, nella seconda): L = 4 * (L – 111);

[ ho cioè messo al posto della M della prima equazione (“L = 4 * M”) il suo valore (L – 111) che ho letto nella seconda equazione

(“M = L – 111”); in questo modo L = 4 * M è diventato L = 4 * (L – 111) ]

c) Isolo, nella nuova equazione così trovata, l’unica incognita rimasta (L): L = 4* L – 444 →

→ 444 = 4* L – L → 3* L = 444 → L = 444 ÷ 3 [ Ris. Leporello 148 figurine ].

d) Sostituisco ora il valore trovato di L (148) in una delle due equazioni iniziali, ad esempio

nella seconda: M = 148 – 111 [ Ris. Masetto 37 figurine ]. [e, infatti, 4 × 37 = 148].

E ora finiamo gli esempi con il problema proposto all’inizio, uno dei tanti che possono essere

risolti solo con l’uso delle equazioni (a parte il sistema “stupido” di andare a tentativi finché si arriva al risultato giusto):

Esempio 5: un uomo ha oggi 48 anni e suo figlio 12; tra quanti anni il padre avrà il doppio degli anni del figlio?

a) Chiamo a (o X o ► o quello che ti pare) il numero di anni che devono trascorrere prima che le due

età diventino una il doppio dell’altra;

b) Trasformo il testo del problema in questa equazione: 48 + a = 2 * (12 + a); in questo modo ho

imposto che l’età che il padre avrà fra “a” anni (ne avrà “48 + a”) sia il doppio di quella che nello stesso momento avrà il figlio (l’età del figlio sarà “12 + a”);

c) Isolo l’incognita: a = 2 * (12 + a) – 48 → a = 24 + 2a – 48 → 48 – 24 = 2a – a →

→ 24 = a [ Ris fra 24 anni il padre avrà il doppio degli anni di suo figlio].

[e, infatti, 48 + 24 = 72 mentre 12 + 24 = 36; e 72 è il doppio di 36].

17

Per tentare di alleggerire un po’ l’argomento e contemporaneamente rassicurarvi sulla

possibilità di comprenderlo, vi propongo la spiegazione che Albert Einstein diede a suo nipote

di otto anni del metodo per risolvere le equazioni di 1° grado, cioè per cavarsela con l’aspetto

“tecnico” del problema (ma non della parte che coinvolge la “logica”).

Sembra che il bimbo, che pure – al contrario di suo nonno – non era un genio, non abbia in seguito

mai avuto difficoltà con le equazioni di primo grado. Io non sono certo Einstein, però voi di

anni non ne avete 8 ma quasi il doppio, per cui anche voi – se solo vi impegnerete a sufficienza – dovete

riuscire a risolvere le equazioni di primo grado.

Discorso un po’ diverso è l’impostazione delle equazioni necessarie a risolvere i problemi: qui,

come già detto, più della tecnica conta la logica; anche la logica, però, la si acquisisce

soprattutto con l’allenamento, perciò molto dipende dalla vostra volontà.

Comunque, ecco come Einstein spiegò al nipote di otto anni come si risolvono equazioni:

“X” è tuo nemico ma tu non conosci chi è e, per batterlo, devi scoprire la sua identità.

Comincia la battaglia tra te e X. Il campo di combattimento è questo: . 10,5 = 2,5 * X + 6,5 . e il

simbolo = rappresenta un fiume: tu sei da una parte con il tuo alleato 10,5 mentre X, il nemico,

sta dall’altra parte insieme ai suoi alleati 2,5 e 6,5.

Per batterlo tu devi isolare X, facendo in modo che chi adesso è con lui lo abbandoni e passi con

te, dalla tua parte del fiume. E, allo stato attuale, il moltiplicatore 2,5 e il sommatore 6,5 stanno

con X alla destra del fiume.

Per fare in modo che cambino alleanza e vengano dalla tua parte, gli alleati di X devono

convertirsi, devono quindi cambiare la loro natura: perciò una volta che passano dalla tua parte

(e cioè a sinistra del fiume “ = ”), 2,5 da moltiplicatore si trasforma in divisore, e il sommatore 6,5 si

converte diventando un sottrattore. 10,5 – 6,5

Ecco allora che la nuova situazione è: ---------------------------------- = X .

2,5

Ora il nemico, X, è isolato, solo e indifeso. Finalmente puoi, senza sforzo, capire quale identità

si cela (= si nasconde) dietro la sua maschera: ti basta fare il calcolo (10,5 – 6,5) / 2,5 = 1,6 .

Seguire le indicazioni di Einstein può servire per risolvere le equazioni, cioè nella parte finale

dello svolgimento del problema; prima, però, occorre impostare la (o le) equazioni corrette, ed

è qui che, come già detto, ancor più della tecnica occorre allenare la logica.

Ecco perché ti consiglio di applicare le equazioni anche nella soluzione dei problemi più

semplici alla cui soluzione ritieni di poter giungere procedendo come facevi alle elementari e

alle medie: devi acquisire familiarità col procedimento fino a quando ti risulterà naturale e

automatico.