ARITMETICA Y ALGEBRA
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Estrategias para un mejor desarrollo de la Aritmética y el Álgebra Secundaria 2015 Sonia Antezana Huillca
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Estrategias para un mejor desarrollo de la Aritmética y el
Álgebra
Secundaria 2015
Sonia Antezana Huillca
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Contactos:
1. Prof. Jacobo Miranda C. Subgerente de capacitaciones y proyectos especiales Correo electrónico: [email protected] Cel: 946043976 2. Prof. Katheíne Esquía F.
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1. LA DIMENSION AFECTIVA DE LOS ESTUDIANTES EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA Y
APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA.
En las últimas décadas, se han realizado investigaciones sobre la influencia de la dimensión
afectiva en el aprendizaje y enseñanza de la matemática. Se ha demostrado que las cuestiones
afectivas juegan un papel esencial en el éxito o fracaso del aprendiz frente a la actividad
matemática, tal como veremos en las siguientes reflexiones:
Creencias, actitudes y emociones en matemática.
ACTITUDES HACIA LA
MATEMATICA
ACTITUDES MATEMATICAS
Se refiere a la valoración, aprecio e
interés por la matemática y su
aprendizaje.
Actitud hacia la matemática y los
matemáticos.
Interés por el trabajo matemático
científico.
Actitud hacia la matemática como
asignatura.
Actitud hacia determinadas partes de la
matemática.
Actitud hacia los métodos de
enseñanza.
Se refiere al modo de utilizar
capacidades generales, como la
flexibilidad del pensamiento, la apertura
mental, el espíritu crítico, la objetividad,
la organización y hábitos de trabajo, la
curiosidad y el interés por investigar y
resolver problemas y la confianza en su
propia capacidad de aprender y
resolver problemas
Nosotros como docentes, frente al grupo de estudiantes, debemos reconocer las creencias,
actitudes y emociones de los aprendices con respecto a la matemática y acerca de sí mismos.
Sigamos a Gómez (2000: 23 - 25), quien hace un deslinde sobre estos términos:
“Las creencias matemáticas se definen en términos de las experiencias subjetivas,
conocimientos subjetivos que posee el estudiante”. Según Gómez, las creencias que el
estudiante tiene, pueden referirse a:
Creencias acerca de la matemática como ciencia; acerca de uno mismo, sobre sus
habilidades, limitaciones.
Acerca de la enseñanza de la matemática.
Creencias acerca del contexto en el cual aprende matemática. (contexto social)
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Villa y Callejos M.L. (2005) nos hacen referencia a un componente cognitivo y un componente
afectivo de las creencias, los cuales están relacionados con el contexto en lo que estos son
adquiridos. El componente cognitivo se refiere a las creencias en torno a la enseñanza de la
matemática, mientras que el afectivo se sustenta en las creencias de las personas sobre sí
mismas, relacionadas con la autoestima, autopercepción, autorregulación, el autoconcepto, los
cuales influyen en la capacidad de aprender o no matemática y que van a dar como resultado
el éxito o el fracaso.
Algunas creencias que favorecen las actitudes negativas de los estudiantes hacia la matemática
y que nosotros hemos de considerar con especial atención para el éxito y el logro de
aprendizajes en dicha ciencia:
La escasa relación de la matemática escolar con el pensamiento y el mundo real.
Las demostraciones formales o rigurosas no se consideran en el proceso de descubrimiento
o construcción de los conocimientos.
El objetivo de aprender matemática es obtener respuestas correctas y solamente el profesor
es quien tiene la autoridad de juzgar si estas son o no correctas.
Aprender matemática significa memorizar y aplicar algoritmos de las operaciones aritméticas
y memorizar propiedades, teoremas, etc. Para obtener resultados y respuestas numéricas.
Los únicos que pueden descubrir y crear matemáticas son los genios.
Si un estudiante es bueno en matemática, entonces, es bueno en resolver problemas.
En el proceso de resolver un problema, cada paso debe ser correcto, no pueden haber
errores.
Solo hay una forma de resolver problemas: aplicar el método que enseño el profesor.
La resolución de un problema acaba cuando se encuentra la respuesta.
En cuanto al concepto de actitud, esta es considerada como una predisposición evaluativa,
positiva o negativa, que determina las intenciones personales e influye en el comportamiento.
Se puede distinguir dos tipos: actitudes hacia la matemática y actitudes matemáticas.
Los estudiantes desde el ingreso a la etapa escolar, e incluso desde el hogar, van formándose
una idea sobre su competencia matemática. Estas ideas se afirman como creencias y actitudes
que pueden influir como:
Un fuerte componente afectivo y cognitivo, que motive a actuar de forma positiva o negativa.
Bloqueadoras del aprendizaje.
Inhibidoras de las habilidades de los estudiantes.
Nuestro estudiante debe lograr un adecuado auto concepto como tal y la confianza en sus
propias habilidades para hacer matemática en los diversos contextos en los que se utiliza: hogar,
escuela, vida diaria y al relacionarse con distintas personas como sus padres, familiares,
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amigos, compañeros de clase, etc. El auto concepto tiene una fuerte influencia en la visión de
la matemática y en su reacción hacia ella.
En ese sentido proponemos las siguientes pautas para mejorar las actitudes hacia la matemática
y hacia su capacidad de hacerla:
ACTIVIDADES DE
APRENDIZAJE
Proponer a nuestros estudiantes situaciones de
aprendizaje que capten el interés en matemática.
Promover una motivación intrínseca y sensación de
éxito.
ATRIBUCIONES SOBRE
SU ÉXITO
Ayudarles a realizar adecuadas atribuciones sobre su
éxito o fracaso en actividades relacionadas con al
matemática. En ese sentido, analizar las expresiones
“justo vino lo que leí”, “me salió de puro chispazo”, “es
que el profesor se ha agarrado conmigo”, entre otras.
CONTEXTO SOCIAL
Contribuyamos a que cada estudiante sea valorado y
acreciente su sentimiento de confianza y capacidad en
hacer matemática. Manejemos la situación de burla o
descalificación entre compañeros.
Seguro nos sorprenderán las respuestas de algunos de nuestros estudiantes, cuando por
ejemplo, señalen que es cuestión del azar obtener una nota aprobatoria, o porque en el examen
vinieron “justo las preguntas que el sabia”; también encontraremos valoraciones positivas sobre
su interés y perseverancia en el estudio. El análisis de las fortalezas, habilidades y debilidades
de una manera objetiva y realista ayudará a que nuestros estudiantes adquieran un mejor
concepto sobre sí mismos.
2. EL USO DEL ERROR EN SENTIDO POSITIVO
En las actividades matemáticas que desarrollan nuestros estudiantes, es relevante el
tratamiento que otorgaremos a los errores o dificultades que experimenten desde la dimensión
afectiva de la matemática.
Gonino y otros (2004) puntualizan la diferencia entre error y dificultad. El error se produce
cuando el estudiante realiza una acción (emita una respuesta, argumenta, discusiones
grupales, uso de una técnica, etc.) que no es válida. El termino dificultad, indica el mayor o
menor grado de éxito de los estudiantes ante una tarea o tema de estudio. Si el porcentaje de
respuestas incorrectas es elevado, se dice que la dificultad es alta, mientras que si dicho
porcentaje es bajo, la dificultad es baja.
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Los errores que cometen nuestros estudiantes durante el proceso de aprendizaje de la
matemática son una fuente rica para el conocimiento de su forma de pensar y razonar,
ayudándonos a identificar las estructuras relacionales que se han establecido sobre los
contenidos, a determinar las causas de los errores y a organizar la enseñanza teniendo en
cuenta esta información.
3. ENSEÑAR A TRAVES DE LA RETROALIMENTACION
Una forma eficaz de que nuestros estudiantes aprendan a emitir juicios orientados a la mejora
de su desempeño es a través de nuestra propia acción en la retroalimentación. La forma como
proveemos información a nuestros estudiantes les servirá de modelo para que ellos actúen en
iguales condiciones.
La retroalimentación es la información que se brinda al estudiante acerca de su trabajo o
conducta actual que se puede emplearse para mejorar su desempeño en el futuro. Se han
realizado investigaciones muy completas acerca de la retroalimentación y es clara su
importancia en el mejoramiento del aprendizaje. Los estudiantes tienen la necesidad de
información acerca de su desempeño y la forma como brindamos esa retroalimentación es
crucial para que mejore la calidad de dicho desempeño.
La retroalimentación, tanto verbal como escrita, para ser efectiva, tiene que responder a los
siguientes aspectos:
Ser lo más inmediata posible.
Ser específica, señalando lo que se debe mejorar o lo que no se hizo correctamente, así
como aquello que está bien hecho.
Debe tener un tono emocional positivo, pues la retroalimentación en forma de crítica,
sarcasmo o ridículo, destruye la motivación y disminuye el aprendizaje, así como la
confianza y seguridad del estudiante.
4. CRITERIOS PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Contextualizamos el aprendizaje de la matemática en actividades significativas para sus
estudiantes.
Activamos y empleamos como punto de partida el conocimiento matemático previo de los
estudiantes.
Orientamos el aprendizaje de los estudiantes hacia la comprensión y la resolución de
problemas.
Vinculamos el lenguaje formal matemático con su significado referencial.
Avanzamos de manera progresiva hacia niveles cada vez más altos de abstracción y
generalización.
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Enseñamos explicita e intencionalmente estrategias y habilidades matemáticas.
Ordenamos adecuadamente los contenidos matemáticos, asegurándonos la interrelación
entre las distintas capacidades implicadas en la adquisición del conocimiento matemático.
Apoyamos la interrelación y la cooperación entre estudiantes.
Ofrecemos a nuestros estudiantes oportunidades suficientes de “hablar matemática” en el
aula.
Atendemos los aspectos afectivos y motivacionales implicados en el aprendizaje y dominio
de la matemática.
5. VARIABLES QUE INFLUYEN EN EL RENDIMENTO ESCOLAR
La naturaleza de la matemática: disciplina que tiene un simbolismo especial como lenguaje de
abstracciones.
Los principios de aprendizaje matemático: hechos, conceptos, lenguaje, algoritmos, principios,
resolución de problemas.
Los fines de la matemática: propósitos, logros, de aprendizaje, competencias a lograr en cada
nivel.
El clima del aula: la relación del profesor-estudiante, relación entre estudiantes, niveles de
participación, resolución de conflictos, organización para el trabajo, variables físicas del ambiente,
etc.
El profesor: afectividad, experiencias, conocimiento de la matemática, conocimiento didáctico,
creatividad, estilo de enseñar, perfeccionamiento del profesor, etc.
El estudiante: afectividad, actitudes, nivel de ansiedad, concepto de sí mismo, experiencias
previas, estilo de aprendizaje, etc.
Las variables cognitivas de los estudiantes: nivel de desarrollo del pensamiento, capacidad
de atención, memoria, razonamiento, abstracción, rol de la cognición, etc.
El currículo escolar: contenidos matemáticos, plan de estudios, perfil del estudiante, etc.
Las variables instruccionales: secuencia didáctica, tareas, atención individual, trabajo grupal,
material manipulativo, juegos y problemas matemáticos, razonamiento y uso del tiempo escolar,
etc.
La evaluación: criterios de evaluación, tipos de instrumentos, uso de la información y su
aplicación, seguimiento del progreso del estudiante.
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6. LA MANERA MÁS FÁCIL PARA ENSEÑAR PRE ÁLGEBRA
La pre-álgebra no tiene por qué ser aburrida y confusa.
La pre-álgebra normalmente se enseña en la secundaria. Es el vínculo entre la aritmética
elemental y la matemática más compleja que es el álgebra. Las matemáticas de la primaria
utilizan números específicos en las operaciones básicas. En la pre-álgebra hay transiciones a la
utilización de variables en las que a veces hay más de una respuesta correcta. La sociedad
actual espera que las personas alfabetizadas tengan un conocimiento básico de los conceptos
algebraicos y muchas ocupaciones requieren de algo de álgebra.
Presentamos un conjunto de actividades lúdicas que se pueden aplicar en el aula, para lograr
la motivación permanente de los estudiantes y el deseo de aprender aritmética y álgebra:
PUZZLE BLANCO DE POLINOMIOS
Objetivos: Trabajar destrezas algebraicas básicas con
adición, sustracción y multiplicación de polinomios.
Materiales: Un tablero puzzle de polinomios.
Metodología:
El rompecabezas consta de 9 fichas desordenadas.
Cada ficha tiene en cada uno de sus cuatro lados una expresión donde aparece la letra x;
esta expresión, en muchos casos representa a una operación que no está efectuada, (4x+1)
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Lo primero que se debe hacer es desarrollar todas las expresiones efectuando las
operaciones necesarias.
Cuando todas las expresiones estén reducidas, se debe recortar las 9 fichas para intentar
formar un nuevo rectángulo igual al anterior, pero en que las expresiones simplificadas que
estén juntas en los bordes, sean las mismas.
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LA CRUZ ALGEBRAICA
Objetivos: Resolver ecuaciones de primer grado y calcular valores numéricos de expresiones
algebraicas.
Materiales: Un tablero con la cruz algebraica.
Metodología:
En esta cruz se han escondido los números de sus 12 casillas y se han sustituido por
expresiones algebraicas.
Esta cruz tiene en efecto, unas propiedades ciertamente asombrosas: Si se suman los
números de estas cuatro casillas, la suma siempre es 26.
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Averiguar los valores de las letras que aparecen, x, y, z, resolviendo cada una de las
ecuaciones que obtiene en los tres casos.
CRUCIGRAMA ALGEBRAICO
Observaciones
Para resolver esta actividad lúdica algebraico, aprovechamos
el soporte de los crucigramas.
El crucigrama consta de 15 preguntas que tienen que ver con
los siguientes contenidos:
Término independiente de un polinomio
Grado de un polinomio
Valor numérico de un polinomio ( en el caso de las
incógnitas negativas)
Cambio de signo cuando se tiene un signo menos delante de un paréntesis
Resolución de ecuaciones de primer grado sencillas
Actividad
Es necesario responder a las interrogantes verticales y horizontales de este crucigrama y
rellenar los resultados en las casillas. Escribir los resultados en forma literal, DOS, CUATRO
etc. Recordar que cuando se trata de varias palabras, se debe dejar espacio entre ellas.
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LABERINTO CON LETRAS
El gran pedagogo y profesor Pedro Puig Adam escribía hace más de
cincuenta años en su libro “La matemática y su enseñanza actual” la
siguiente reflexión sobre las dificultades del paso de la aritmética al
álgebra:
El uso de las letras en lugar de números para expresar las propiedades
generales de las operaciones y las relaciones entre magnitudes no ofrece
dificultades si se sabe graduar convenientemente. Es posible hacer sentir
como cosa viva la necesidad de su empleo. Debe cuidarse de forma exquisita el método en la
iniciación al cálculo literal. Toda formalización y verbalización prematuras y exageradas
engendrarán los inevitables errores.
No debe de extrañarnos por lo tanto, las grandes dificultades de nuestros estudiantes que se
inician con las letras para operar con expresiones algebraicas sencillas y asumir las reglas que
rigen en el cálculo algebraico.
Se presentan tres pequeños pasatiempos en forma de laberintos, de niveles crecientes, donde
los estudiantes deben reconocer como iguales, expresiones bajo distintas formas.
Ejemplo 1: Recorre este laberinto, desde la entrada hasta la salida, pasando únicamente por
las casillas que tiene una igualdad verdadera:
Ejemplo 2: Recorrer este laberinto, desde la entrada hasta la salida, pasando únicamente por
las casillas que contienen una expresión equivalente.
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Ejemplo 3: Recorrer este laberinto, desde la entrada hasta la salida, pasando únicamente por
las casillas que contienen una expresión equivalente a 12a2
SISTEMAS DE ECUACIONES EN UN TRIÁNGULO NUMÉRICO
Observaciones
Se trata en general de pirámides que se rellenan teniendo en cuenta
que en cada casilla, el número es la suma de los dos números que
tiene debajo. Pero el pasatiempo que presentamos a continuación,
utiliza en lugar de pirámides un triángulo. El principio para rellenarlo
sigue siendo el mismo:“en cada casilla, el número es la suma de los
dos números que tiene abajo”
Vamos aprovechar este soporte para reforzar la resolución de
sistemas de ecuaciones sencillos, profundizando en el álgebra y el uso de las letras.
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Actividad
Debes encontrar los números que faltan en las casillas de este triángulo, sabiendo que “en cada
casilla, el número es la suma de los dos números que tiene abajo”
PASATIEMPO NUMÉRICO CON ECUACIONES
Observaciones:
Los pasatiempos numéricos nos ofrecen la ocasión de reforzar la
resolución de ecuaciones, y como no, el razonamiento lógico y la
observación cuidadosa.
Actividad:
Las letras desde x1 a x9 representan los números de 0 al 8 pero no en ese orden. Sumando los
números que representan las letras de cada fila y cada columna se obtienen los números que
aparecen al final. Averigua que número esconde cada letra.
DIAGRAMAS DE FLECHAS: DE LA ARITMÉTICA AL ÁLGEBRA
Metodología: Se trata de una actividad individual aunque también se puede realizar por parejas
cooperativas.
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Actividad
Todas las flechas de este diagrama apuntan al final al
número 164. Completa los espacios que quedan vacíos para
que las expresiones sean ciertas.
Por ejemplo se puede escribir:
164 = 84 + 80
EL CUBO MÁGICO ALGEBRAICO
Objetivos:
Mostrar a nuestros estudiantes la potencia del
álgebra para resolver problemas.
Simbolizar cantidades en función de una incógnita.
Resolver pequeñas ecuaciones de primer grado.
Fomentar la perseverancia en la resolución de un
problema.
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Observaciones:
La utilización del álgebra y el uso de las letras como incógnitas facilitan
muchas veces la resolución de acertijos. Se trata de rellenar las casillas
vacías de este cubo teniendo en cuenta que se trata de un cubo mágico.
Al ser una figura mágica, se puede escoger una incógnita en una casilla
estratégicamente situada que permita obtener, en función de ella, el
número mágico del panal. Aquí, sugerimos a los alumnos de escoger la
incógnita “x” en esta casilla:
El número mágico del cubo es entonces: 17 + 3 + x = 20 + x
A partir de eso, se pueden expresar los contenidos no conocidos, de las diferentes celdas en
función de la incógnita y obtener así ecuaciones que permiten hallar el valor de x y por lo tanto
de todas las celdas.
LA OCA FUTBOLISTICA
Objetivos:
Resolución de ecuaciones de primer grado
Planteamiento:
El Juego de la Oca es un juego de mesa tradicional
que se puede jugar con dos, tres o más jugadores.
Cada jugador tiene una ficha de color y avanza su
ficha a lo largo del tablero, siguiendo los valores
obtenidos con un dado. Las casillas están
numeradas y dependiendo de la casilla en la que se
caiga, se debe avanzar, retroceder o en algunos casos se recibe un castigo. Como el tablero
que vamos a utilizar está ambientado en el futbol, los castigos aparecerán cuando se caiga en
una casilla amarilla (tarjeta amarilla) o más grave, en una casilla roja (tarjeta roja).
Con el pretexto de “jugar al tradicional juego de la OCA”, los estudiantes deben resolver
pequeñas ecuaciones de la baraja de ecuaciones de primer grado. Como planteamos en la
presentación de la baraja de ecuaciones de primer grado, lo que se utiliza para jugar a este
juego de la OCA es, en lugar de un dado, una baraja de 30 cartas que contienen ecuaciones de
primer grado.
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Esta baraja está formada por 6 familias de 5 cartas cada una. Las 5 cartas de cada familia tienen
todas, la misma solución. Así, tendremos la familia de solución 1, la familia de solución 2, 3, 4,
5 y la familia de solución 6. El valor de cada carta es la solución de la ecuación que lleva.
La baraja se puede usar directamente o puede utilizarse como una forma de simular la tirada de
un dado. En efecto, sacando una carta de la baraja (con reposición) y calculando su valor se
obtiene un número del 1 al 6 igual que con la tirada de un dado. En este juego, se trata de usar
las cartas de la baraja como sustitución a tirar un dado, forzando así a los alumnos a resolver
las ecuaciones que les van saliendo en cada carta.
Aunque siempre que se juega por primera vez a un juego, hace falta un cierto tiempo de
familiarización al juego, cualquier partida que se quiera jugar con la baraja de ecuaciones
necesita de una preparación previa: durante la hora anterior a la partida, los alumnos deben
dedicarse a clasificar las cartas según sus valores (soluciones) e incluso apuntar en su
cuaderno, si es necesario, las diversas ecuaciones que componen la baraja y su valor (solución).
Material necesario:
Una baraja de ecuaciones de primer grado.
Un tablero de la OCA FUTBOLISTICA.
Una ficha por jugador.
Reglas del juego:
Juego para dos, tres o cuatro jugadores.
El orden de salida se hace por turno en cada partida.
Para empezar es necesario sacar una carta con una ecuación de solución 6. Esta condición,
habitual en el juego de la OCA tradicional, se puede relajar si el ambiente del grupo de clase
lo aconseja, pudiendo empezar la partida también con otros valores.
Cada jugador va sacando por turno una carta, y reponiéndola a continuación en la baraja,
avanzando su ficha las casillas que le indique la solución (1, 2, 3, 4, 5, 6) de la ecuación que
aparece.
Si se cae en un círculo con un futbolista, se interpreta el dibujo para avanzar o retroceder.
Si se cae en una casilla amarilla (tarjeta amarilla) se debe dejar de jugar una vuelta.
Si se cae en la casilla roja (tarjeta roja) se debe volver a empezar.
Gana el jugador que consigue primero meter un GOL con una TIRADA exacta.
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CUATRO EN RAYA ALGEBRAICO: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Objetivos:
Trabajar la resolución mental de ecuaciones de segundo grado, utilizando su factorización.
Las ecuaciones que se presentan son resolubles sin utilizar la fórmula, aunque en algunos casos
es necesario recurrir a las propiedades de la suma y el producto de las soluciones de una
ecuación de 2º grado para resolver mentalmente ecuaciones del tipo:
x2 – 5x + 6 = 0 o x2 + 4x + 3 = 0 o x2 + 3x + 2 = 0
En el resto de los casos se trata de ecuaciones de 2º grado que no tienen coeficiente b o c y
de identidades notables como: x2 + 2x + 1 = 0 y x2 -8x +16 = 0
Material necesario:
Un tablero de expresiones de segundo grado.
Una regleta de factores de primer grado.
16 fichas por jugador, una de ellas diferente para que sea el testigo.
Reglas del juego:
Juego para dos jugadores.
Los jugadores tiran el dado para decidir quién empieza el juego.
El primer jugador empieza el juego colocando sobre un factor de la regleta, su ficha testigo,
y colocando a continuación sobre otro factor (o sobre el mismo) la ficha testigo del otro
jugador. Hace el producto de los dos factores señalados y rellena con una de sus quince
fichas restantes la casilla correspondiente al resultado.
El segundo jugador, coge su ficha testigo de la regleta y la coloca sobre otro factor, hace el
producto de su factor y del que señalaba la ficha del primer jugador y ocupa con una ficha
la casilla del tablero donde aparece el resultado.
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Para escoger su factor, el segundo jugador debe seguir la estrategia del juego clásico del
cuatro en raya:
o Tratar de impedir con la casilla que va a ocupar que su adversario consiga alinear
cuatro fichas.
o Conseguir él también y lo antes posible tener cuatro fichas en el tablero alineadas.
El juego continua, con cada jugador moviendo únicamente su ficha testigo y colocando a
cada vez, una ficha en una casilla del tablero.
Se puede ocupar la regleta por dos fichas a la vez.
Si un jugador se equivoca en los cálculos pierde su turno.
Gana el jugador que consigue primero un CUATRO
