Solidi eparadosso meccanico

PON In viaggio con ArchimedeProf. Mennea Giovanni

Introduzione

Archimede ha sempre guardato alla geometria con attenzione con cura nei dettagli, utilizzando il concetto di troncatura in maniera disinvolta, suddividendo un grande problema in più piccoli problemi infinitesimi.

Difatti, il fatto che tra le sue opere sia così amplificato l'uso delle forme geometriche e dei solidi ci fa comprendere la sua continua attenzione alla scomposizione e al passaggio dal quadrato al cerchio.

Argomenti di questa lezione

● La sfera, il cono e il cilindro

● Solidi e poliedri regolari e archimedei● Realizzazione manuale di 2 poliedri

● Il paradosso meccanico

La sfera

Il fascino che la sfera ha sempre esercitato nell'immaginario greco è forse legato anche al valore astronomico:i pianeti sono sfere, e fino ad un certo tempo, nel mondo greco, sono stati considerati divinità.

Atlante - dio nella mitologia greca

La sfera e il cilindro

Il trattato Sulla sfera e sul cilindro, suddiviso in due libri, forse in origine pensati come opere distinte, fu commentato e studiato per secoli dopo la morte di Archimede, fra gli altri da Antemio di Tralles e da Isidoro di Mileto, architetti del VI secolo d. C. entrambi impegnati nei lavori di ricostruzione di Santa Sofia a Costantinopoli.

La sfera e il cilindro

Certa è l'attribuzione ad Archimede del trattato "Sulla sfera e sul cilindro", che affronta il problema del rapporto tra i volumi e le aree delle due figure geometriche:uno dei risultati che diede ad Archimede maggiore soddisfazione fu dimostrare che una sfera ha un volume pari ai 2/3 di quello del cilindro in cui è inscritta.

Il cono e il cilindro

Analogamente, Archimede dimostrò che un cono ha un volume pari ai 1/3 di quello del cilindro in cui è inscritto.

Le sezioni coniche

La procedura implicita di tagliare un determinato cono con un determinato piano dà origine all'esistenza di uno dei principali interessi matematici di Archimede: le Sezioni Coniche.

Le sezioni di cono rappresentavano all'epoca d'Archimede un campo di studio assai frequentato: era un nuovo argomento, una nuova frontiera della ricerca geometrica.

Le sezioni coniche

Attraverso l'intersezione tra un cono ed un piano, si possono ottenere tutta una serie di forme geometriche chiamate sezioni coniche o semplicemente coniche.

A seconda dell'angolo di sezione del piano rispetto alla base, la forma di una sezione conica sarà un cerchio (0°), un'ellisse (tra 0° e l'angolo del cono), una parabola (tra l'angolo di apertura del cono e un angolo retto) e un iperbole (un angolo retto).

Le sezioni coniche

Basandosi sui suoi risultati, la trattazione delle coniche maturò ulteriormente grazie ad Apollonio di Perga (262 a. C. - 190 a. C.), con esiti che rimasero sostanzialmente insuperati per diversi secoli.

Gli studi archimedei su queste figure sono alla base dello sviluppo di successive tecnologie, come ad esempio le antenne ed il telescopio.

Solidi regolariPlatone, nel Timeo, descrive i solidi cosiddetti “regolari”, poiché le loro facce sono formate da poligoni regolari congruenti (cioè sovrapponibili esattamente) e che hanno tutti gli spigoli e i vertici equivalenti. Ne consegue che anche i loro angoloidi hanno la stessa ampiezza.

I solidi platonici sono, per tanto, cinque: il cubo (formato da sei quadrati), il tetraedro (formato da quattro triangoli equilateri), l’ottaedro (formato da otto triangoli equilateri), il dodecaedro (formato da dodici pentagoni regolari) e l’icosaedro (formato da venti triangoli equilateri).

Valore filosofico dei solidi regolari

Il filosofo associava a queste figure un valore particolarmente importante: nel Timeo, associò ad ognuno di essi un elemento:

- al tetraedro il fuoco- al cubo la terra- all’ottaedro l’aria- all’icosaedro l’acqua- mentre nel Fedone ritenneche il dodecaedro fosse laforma dell’universo.

Solidi e troncature

Archimede fece progredire il sapere dei greci anche nel campo della geometria con lo studio dei solidi geometrici o stereometria.

Col suo rigoroso metodo scientifico, che pur vedendo nel mondo una tessitura geometrica, rifuggiva misticisimi di sapore pitagorico, studiò i poliedri quasi perfetti come quelli platonici. In particolare il genio siracusano lavorò sulle troncature possibili delle figure platoniche.

I solidi archimedeiNe derivarono tredici diversi elementi geometrici, e sette di loro si ottengono troncando gli angoli dei solidi platonici: tetraedro troncato, cubottaedro, icosidodecaedro, cubo troncato, ottaedro troncato, dodecaedro troncato, icosaedro troncato, rombicubottaedro, cubottaedro troncato, rombicosidodecaedro, icosidodecaedro troncato, cubo ottusangolo, dodecaedro ottusangolo.

Il solido più popolare di Archimede è senza dubbio il classico pallone da calcio: unasuperficie quasi sferica composta dapentagoni, circondata da cinque esagoni(icosaedro troncato).

Sull'equilibrio dei piani

Archimede fu il primo a descrivere, nell’opera intitolata Sull’equilibrio dei piani, l’idea di baricentro o centro di massa, e determinò il baricentro di varie figure geometriche, supponendo che avessero densità uniforme.

Il baricentro è il punto di un corpo in cui si può immaginare concentrato tutto il suo peso

Il baricentro

Nei corpi che hanno un asse di simmetria, il baricentro si trova su tale asse.Il baricentro costituisce uno degli elementi essenziali che determinano il movimento naturale dei gravi: tale movimento dipende da quello del loro baricentro, che scende verso il basso.E dipende dai loro momenti di inerzia che determinano le rotazioni di n grave.

Il paradosso meccanicoArchimede fu il primo a fondere la meccanica e la matematica, applicandosi allo studio del baricentro con una modernità incredibilmente superiore ai “fisici” del suo tempo e dei decenni immediatamente precedenti, come ad esempio Aristotele.

Le leggi della fisica sembrerebbero essere contraddette dal famoso caso del così detto “paradosso meccanico”, che si basa sulle proprietà della figura costituita da due coni uniti alla base.

Il funzionamento

Collocando una struttura a doppio cono su un supporto costituito da due rette divergenti, che dal punto di partenza salgono, si osserverà che, con una leggerissima pressione, il doppio cono darà l’impressione di salire, anziché restare fermo nel punto che appare più basso.

In realtà è un’illusione: a determinare il moto dei corpi è il baricentro, ed il baricentro del doppio cono scende, perché il punto in cui il doppio cono si arresta è collocato più in basso rispetto al punto nel quale aveva avuto inizio il rotolamento sui binari divergenti, la cui forma trae l’osservatore in inganno.

Il funzionamento

La figura si chiama “doppio cono saliente”

Rotolando, il doppio cono poggia sui binari in punti sempre più vicini ai suoi due vertici. Di conseguenza, la distanza del baricentro rispetto al piano orizzontale diminuisce man mano che il cono sale.

Il doppio cono è una trottola: dovremo aspettare la fine del secolo XIX per poter descrivere il movimento di questo oggetto semplice in apparenza.