Appunti Ummarino Fisica II

FISICA II Appunti delle lezioni del prof. G. Ummarino Politecnico di Torino III Facoltà di Ingegneria

Indice

I Elettromagnetismo 3

1 Campo Elettrostatico 5

1.1 Campo Elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Campo elettrico generato da un corpo qualunque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2 Carica che si muove in un campo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3 Campo Elettrico, estensione di un campo puntiforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Potenziale 9

2.1 Energia in un sistema di cariche puntiformi fisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Potenziale di un campo macroscopico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Dipolo Elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.1 Potenziale geneato da un dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.2 Dipolo all’interno di un campo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.3 Momento di un dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.4 Dipolo in un campo elettrico non costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.5 Applicazioni del concetto di dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Teorema di Gauss 13

3.1 Esempi di Applicazione del teorema di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.1 Campo elettrico di una carica puntiforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1.2 Campo elettrico generato da un filo carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1.3 Campo elettrico generato da un piano infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1.4 Campo elettrico generato da un guscio carico omogeneo . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1.5 Campo elettrico di una sfera carica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.6 Calcolo del campo generato da una sfera carica, cava in un punto . . . . . . . . . . 15

3.1.7 Teorema di Gauss in forma differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Condensatori e Dielettrici 17

4.1 Conduttori all’interno di un campo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2 Condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2.1 Collegamento tra condensatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3 Lavoro di carica di un condensatore e densità di energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.4 Pressione elettrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 Dielettrici 23

5.1 Rigidità dielettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.2 Dipolini all’interno di un dielettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.3 Condittori metallici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.3.1 Corrente elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.3.2 Legge di conservazione della carica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.3.3 Legge di Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.3.4 Effetto Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.3.5 Resistenze in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.3.6 Resistenze in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.3.7 Carica di un condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.3.8 Scarica di un condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.3.9 Leggi di Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

I

6 Campo magnetico 35

6.1 Forza di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.2 Seconda legge di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.3 Momento di un dipolo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.4 Effetto Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.4.1 Spettrometro di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.4.2 Selettore di velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.4.3 Ciclotrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.5 Prima legge di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.5.1 Formulazione 1−D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.5.2 Formulazione 3−D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.5.3 Definizione dell’unità di misura dell’Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.6 Teorema di Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.6.1 Applicazione del teorema di Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.7 Flusso e Controflusso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.7.1 Calcolo di coefficienti di induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.8 Comportamento di materiali in un campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.8.1 Classificazione dei materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.8.2 Ridefinizione del teorema di Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.8.3 Induzione magnetica in presenza di un’interfaccia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.8.4 Comportamento di χm nei diversi materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.9 Smagnetizzazione di un magnete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.10 Legame tra campo elettrico e campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.10.1 Esperimenti di Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.11 Terza e Quarta equazione di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.12 Legge di Felici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.13 Forza elettromotrice e correnti indotte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.13.1 Spira rettanglare che ruota attorno al suo asse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.13.2 Energia assorbita nel campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.13.3 Densita di energia magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.13.4 Pressione magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.13.5 Trasformatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.14 Calcolo della corrente in circuiti RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.14.1 Circuito RLC con generatore non costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.15 Cenni di Relatività ristretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.15.1 Invarianza di Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.16 Fenomeni ondulatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.16.1 Intensità di un’onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.16.2 Onde sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.16.3 Onde cilindriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.16.4 Ona di lunghezza finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.16.5 Somma di onde distinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.17 Onde elettromagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.17.1 Relazione tra l’onda del campo elettrico e l’onda del campo magnetico . . . . . . . 71

6.17.2 Energia associata all’onda elettromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.17.3 Vettore di Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.17.4 Riflessione di un’onda elettromagnetica in un metallo . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.17.5 Legame tra velocità di gruppo e velocità di fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.17.6 Spettro di onde elettromagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.17.7 Onda elettromagnetica in un dielettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

II Ottica 79

7 Riflessione e rifrazione della luce 81

7.1 Principio di Huygens-Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.2 Teorema di Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.3 Leggi di Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.4 Intensità delle onde riflesse e rifratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7.4.1 Onda incidende perpendicolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Parte I

Elettromagnetismo

3

Capitolo 1

Campo Elettrostatico

Il campo elettrostatico è il risultato analiico effettuato da Coulomb.In seguito a tutte le prove effettuate si è raggiunti al risultato che:

~F =1

4 · π · ε0· q1 · q2

r3· ~r =

1

4 · π · ε0· q1 · q2

r2· r

dove r indica il versore di r, vettore con modulo unitario e direzione di r.

analisi dimensionale [ε0] =

[q2

r2 · F

]=

[C2

N ·m2

]ε0 = 8.85 · 10−12 C2

N ·m2

Il Coulomb è una unità di misura derivata, in quanto le unita fondamentali sono:

• Intensità di corrente [A]

• Intensità luminosa [cd]

• Lunghezza [m]

• Massa [kg]

• Quantità di sostanza [mol]

• Temperatura termodinamica [K]

• Tempo [sec]

Poichè [A] =[Cs

]si ha che [C] = [A] · [s].

Un oggetto si dice puntiforme si le sue dimensioni sono molto trascurabili rispetto all’ambiente in cui sitrovano, pertanto la legge di coulomb vale solo se le cariche sono molto distanti.

1.1 Campo ElettricoIl campo elettrico indica la modificazione che si ha nello spazio in presenza di una carica, pertanto sipone all’interno del campo una carica che non modifichi le caratteristiche del campo.

~E = limq0→0

~F

q0

~E(x, y, z) = Ex(x, y, z) · i+ Ey(x, y, z) · j + Ez(x, y, z) · kSupponiamo di avere q1, q2 e q3 e se volessimo determinare la forza complessiva avenge su q1 si sfrutta ilprincipio di sovrapposizione delle forze1

~F1 = ~F21 + ~F31

~Etot =

3∑i=1

qi4 · π · ε0

· rr

Se volessi calcolare il campo elettrico generato da un corpo esteso potrei scomporlo in infiniti corpiinfinitesimi (puntiformi).Ogni zona conterrà una carica

dq = ρ(x, y, z) · d3~x

1non in tutti i campi della fisica questo principio è valido, ma in questo si

5

dove ρ(x, y, z) indica la densità di carica, dipende dalla posizione perchè non è deto che sia costante.

Quindi:

Q =

∫∫∫dx dy dz · ρ(x, y, z)

Se la densità fosse costante allora Q = ρ · V .

1.1.1 Campo elettrico generato da un corpo qualunqueLa definizione compatta è la seguente:

~E(~r) =1

4 · π · ε0·∫d~r′ · ρ(~r′)

|~r − ~r′|3· (~r − ~r′)

Poichè |~r − ~r′| =√

(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2, allora:

Ex(x, y, z) =1

4 · π · ε0·∫dx′ ·

∫dy′ ·

∫dz′ · ρ(x′, y′, z′) · (x− x′)

[(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2]32

Ey(x, y, z) =1

4 · π · ε0·∫dx′ ·

∫dy′ ·

∫dz′ · ρ(x′, y′, z′) · (y − y′)

[(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2]32

Ez(x, y, z) =1

4 · π · ε0·∫dx′ ·

∫dy′ ·

∫dz′ · ρ(x′, y′, z′) · (z − z′)

[(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2]32

1.1.2 Carica che si muove in un campo elettricoSi sfrutta la seconda legge della dinamica

m · ~a = ~F = q · ~E

Scomponendo per componenti si ottiene un sistema differenziale del secondo ordine in tre equazioni.Risolvendolo si può ottenere x(t), y(t) e z(t) (traiettoria della carica).

d2xdt2 = q

m · Ex

d2ydt2 = q

m · Ey

d2zdt2 = q

m · Ez

1.1.3 Campo Elettrico come estensione del campo elettrico puntiformePer effettuare tale passaggio dimostrativo è necessario introdurre una funzione matematica denominatadelta di dirac.

Delta di Dirac

É la formulazione della curva Guassiana in cui σ → 0

δ(x) = limσ→0

1√2 · π · σ

· e−x2

σ2 =

0 x 6= 0+∞ x = 0

Proprietà del delta di Dirac∫ b

a

δ(x− x0) dx =

1 a < x0 < b0 x0 < a o x0 > b∫ b

a

F (x)δ(x− x0) dx =

F (x0) a < x0 < b0 x0 < a o x0 > b

δ(x) = δ(−x)

δa · x =1

|a|· δ(x)

δ(~x) = δ(x) · δ(y) · δ(z)

6

Poichè la densità di carica in un corpo puntiforme è:

limV→0

ρ = limV→0

Q

V= +∞

quindi ha un corportamento simile al delta di Dirac, pertanto:

ρ(x′, y′, z′) = q · δ(x− x′) · δ(y − y′) · δ(z − z′)

7

Capitolo 2

Potenziale

Si ha potenziale in prsenza di forze conservative, forse che compiono un lavoro nullo su un percorso chiuso(W =

∫ aaγ~F · d~s = 0).

Una carica q genera un campo elettrico:

~R =1

4 · π · ε0· qr2· r

e si pone q0 in a e si osserva che essa subisce uno spostamento, traslandola in b. DISEGNOWa,b =

∫ b

a

~F · d~s = q0 ·∫ b

a

~E · d~s

I risultati trovati valdono per tutti i tipi di campi elettrostatici, poichè vale il principio di sovrapposizione.

Wa,b = q0 ·∫ b

a

~E · d~s =q0 · q

4 · π · ε0·∫ rb

ra

r · d~sr2

=

=q0 · q

4 · π · ε0·∫ rb

ra

ds · cos(ϑ)

r2=

q0 · q4 · π · ε0

·∫ rb

ra

dr

r2=

q0 · q4 · π · ε0

·[

1

ra− 1

rb

]DISEGNO

W = q0 · [Va − Vb] = Ua − UbVa =

q

4 · π · ε0 · raVb =

q

4 · π · ε0 · rbIl potenziale si misura in Volt, grandezza derivata [V ] = [J ] · [C]−1.Il vantaggio di aggiungere il potenziale è che essendo una grandezza scalare, legata al campo elettrico, icalcoli sono estremamente semplificati.

2.1 Energia in un sistema di cariche puntiformi fisse

U(n) =

n∑i=1

n∑j=1

qi · qj4 · π · ε · ri,j · 2

i 6= j

2.2 Potenziale di un campo macroscopico

V (x, y, z) =1

4 · π · ε0·∫

dx′ ·∫

dy′ ·∫

dz′ρ(x′, y′, z′)√

(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2

Una distribuzione di cariche qualunque mi genera in (x, y, z) un potenziale nel punto P . Quanto vale ilpotenziale in P ′, punto a distanza infinitesima da P?

dV = −V (x+ dx, y + dy, z + dz) + V (x, y, z) =

= −V (x, y, z)− ∂V

∂x· dx− ∂V

∂y· dy − ∂V

∂z· dz + V (x, y, z)

= −∂V∂x· dx− ∂V

∂y· dy − ∂V

∂z· dz

9

dW = q0 · dV = q0 · ~E · d~s⇒ dV = ~E · d~sEx · dx = −∂V∂x · dx

Ey · dy = −∂V∂y · dy

Ez · dz = −∂V∂z · dz

Ex = −∂V∂x

Ey = −∂V∂y

Ez = −∂V∂z

~E = −~∇V

Richiamo di Analisi II La circuitazione di un vettore in un intervallo chiuso, l, è:∮l

~E · d~s =

∫Σ

~∇× ~E · ~n · dΣ

dove Σ è una superficie chiusa da l e ~n è il vettore normale a Σ. Si definisce rotore di ~E:

~∇× ~E =

∣∣∣∣∣∣∣∣i j k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zEx Ey Ez

∣∣∣∣∣∣∣∣Poichè la circuitazione è una scrittura equivalente di un integrale di curva, se si ha un campo conservativoallora la circuitazione è nulla.

Dimostrazione 1 ∮l

~E · d~s = 0

Poichè ∀Σ, ~n · d~Σ 6= 0, allora~∇× ~E = 0

Dimostrazione 2 Se il campo è conservativo:

~∇× ~E = =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

−∂V∂x

−∂V∂y

−∂V∂z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= i ·

[∂

∂y·(−∂V∂z

)− ∂

∂z·(−∂V∂y

)]+

−j ·[∂

∂x·(−∂V∂z

)− ∂

∂z·(−∂V∂x

)]+ k ·

[∂

∂x·(−∂V∂y

)− ∂

∂y·(−∂V∂x

)]=

= i ·[∂2V

∂y · ∂z− ∂2V

∂z · ∂y

]− j ·

[∂2V

∂x · ∂z− ∂2V

∂z · ∂x

]+ k ·

[∂2V

∂x · ∂y− ∂2V

∂y · ∂x

]= 0

[∂2V

∂y · ∂z− ∂2V

∂z · ∂y

]= 0, se V è una funzione continua.

2.3 Dipolo ElettricoIl dipolo elettrico è un concetto abbastanza semplice le cui applicazioni sono tantissime.

Definizione 1 Si definisce dipolo elettrico un oggetto costituito da due cariche, q, uguali e oppostedistanti a.

2.3.1 Potenziale geneato da un dipolo

É possibile calcolare il potenziale generato da un dipolo solo se il punto, P , si trova a una distanza molto

superiore di a. disegnoV (P ) =

q

4 · π · ε0 · r1− q

4 · π · ε0 · r2=

q

4 · π · ε0·[

1

r1− 1

r2

]10

Se P è molto lontano, allora ϑ ' ϑ′ e r2 − r1 = a · cos(ϑ).

V (P ) =q

4 · π · ε0·(r2 − r1

r2 · r1

)' q

4 · π · ε0· a · cos(ϑ)

r2=

~p · ~r4 · π · ε0

dove ~p = q · ~a indica il momento del dipolo.

Differenziazione dei sistemi coordinati

Sistema di Riferimento Cartesiano Caratterizzato dalla presenza di tre coordinate x, y e z.

~∇f =∂f

∂x· i+

∂f

∂y· j +

∂f

∂z· k

Sistema di Riferimento Polare o Sferico Caratterizzato dalla presenza di tre coordinate:

• ρ che indica la distanza euclidea dall’origine (r ∈ [0,+∞[)

• ϑ che indica l’angolo formato con l’asse x (ϑ ∈ [−π,+π[)

• ϕ che indica l’angolo formato con l’asse z (ϕ ∈ [0, 2 · π[)

~∇f =∂f

∂r· r +

1

r· ∂f∂ϑ· ϑ+

1

r · sin(ϑ)· ∂f∂ϕ

Sistema di coordinate Cilindriche Caratterizzato dalla presenza di tre coordinate:

• ρ che indica la distanza euclidea dall’origine (r ∈ [0,+∞[)

• ϑ che indica l’angolo formato con l’asse x (ϑ ∈ [−π,+π[)

• z che indica la distanza del punto dal piano xy (z ∈ [0,+∞[)

~∇f =∂f

∂r· r +

1

r· ∂f∂ϑ· ϑ+

∂f

∂z· k

In coordinate sferiche~E = −∂V

∂r· r − 1

r· ∂V∂ϑ· ϑ− ∂V

∂z· k

Riprendendo il calcolo precedente:

V (P ) =q

4 · π · ε0· a · cos(ϑ)

r2

Er =2 · q · a · cos(ϑ)

4 · π · ε0 · r3=

~p · ~r4 · π · ε0 · r4

Eϑ =q · a sin(ϑ)

4 · π · ε0 · r3

Eϕ = 0

~E(r, ϑ) =p

4 · π · ε0 · r3·[2 · cos(ϑ) · r + sin(ϑ) · ϑ

]p = q · a

2.3.2 Dipolo all’interno di un campo elettricoHo un dipolo immerso in un campo elettrostatico esterno al dipolo. DISEGNO

p1 = (x, y, z)p2 = (x+ ax, y + ay, z + az)

La sua energia elettrostatica vale:

Udipolo = −q · V (p1) + q · V (p2) = −q · V (x, y, z) + q · V (x+ ax, y + ay, z + az)

Si pone a trascurabile (si può quindi fare lo sviluppo in serie), si considera il campo conservativo e,pertanto, si ha:

Udipolo = −q · V (x, y, z) + q · V (x, y, z) + q ·(∂V

∂x· ax +

∂V

∂y· ay +

∂V

∂z· az)

= q · (−Ex · ax − Ey · ay − Ez · az) = −(Ex · px + Ey · py + Ez · pz) =

= −~P · ~E

11

2.3.3 Momento di un dipoloIn un campo elettrostatico costante un dipolo può solo ruotare, non può traslare.

~M = ~r1 × ~F1 + ~r2 × ~F2 = ~r1 × (−q · ~E) + ~r2 × (q · ~E) =

= (~r2 − ~r1)× (q · ~E) = q · (~r2 − ~r1)× ~E = q · ~a× ~E = ~p× ~E

2.3.4 Dipolo in un campo elettrico non costanteSe un dipolo è immerso in un campo elettrico non costante, nel quale quindi la risultante non è nulla~R 6= 0, il dipolo oltre a ruotare può anche traslare.

~Ftot = ~F1 + ~F2 = −q · ~E1 + q · ~E2

~E1 = ~E(x, y, z) ~E2 = ~E(x+ ax, y + ay, z + az)

Sviluppando in serie ~E2 si ha

~E2 = q ·

(~E(x, y, z) +

∂ ~E

∂x· ax +

∂ ~E

∂y· ay +

∂ ~E

∂z· az

)

~Ftot = q ·

(~E(x, y, z) +

∂ ~E

∂x· ax +

∂ ~E

∂y· ay +

∂ ~E

∂z· az − ~E(x, y, z)

)=

= Px ·∂ ~E

∂x+ Py ·

∂ ~E

∂y+ z ·

∂ ~E

∂z= ~P · ~∇ ~E

In un campo conservativo~Rtot = −~∇U = −~∇

(−~P · ~E

)2.3.5 Applicazioni del concetto di dipoloVoglio conoscere il potenziale della carica in G.

V (~r) =1

4 · π · ε0·∫d~r′ · ρ(~r′)

|~r − ~r′|=

1

4 · π · ε0·∫

d~r′ · ρ(~r′)

r ·∣∣∣1− ~r′

~r

∣∣∣poichè ~r′

~r è una quantita molto piccola è possibile effettuare lo sviluppo in serie1

V (~r) ∼ 1

4 · π · ε0·

[1

r·∫d~r′ · ρ(~r′) +

1

r·∫ ~r′

~r· d~r′ · ρ(~r′)

]

=1

4 · π · ε0·[

1

r·∫d~r′ · ρ(~r′) +

1

r2·∫~r′ · d~r′ · ρ(~r′)

]=

q

4 · π · ε0 · r+

~P · ~r4 · π · ε0 · r3

~P = −∫~r′ · ρ(~r′) · d3~r′

Il copenziale di un corpo qualunque posto a grande distanza può essere visto come il potenziale di unacarica puntiforme a cui viene aggiunto il potenziale di un dipolo.

1 11−x

∼ 1 + x

12

Capitolo 3

Teorema di Gauss

É un teorema di valenza generale, vale in campi in cui si ha un andamento del tipo 1r2 .

Se ho una superficie, Σ, e ne prendo una parte infinitesima, dΣ, il flusso di ~E attraverso Σ è:

dΦ = ~E · ~n · dΣ

con ~E = ~E(x, y, z) e ~n = ~n(x, y, z).Il teorema di Gauss afferma che il flusso attraverso una superficie chiusa è:

Φ(~E)

=

∫Σ

~E · ~n · dΣ =

n∑i=1

qiε0

con qi interno alla superficie

Nel caso di un corpo macroscopico∫Σ

~E · ~n · dΣ =1

ε0

∫v

ρ(x, y, z) · dx · dy · dz v = volume racchiuso da Σ

Dimostrazione 3 (Teorema di Gauss) Dimostrando il teorema per una carica puntiforme lo si puòdimostrare anche per n cariche e quindi anche per un corpo macroscopico.Se q è una carica interna alla superficie IMAMGINE

dΦ = ~E · ~n · dΣ =q

4 · π · ε0 · r2ur · ~n · dΣ

ur · ~n · dΣ

r2= dΩ angolo solido

dr · r2 · sin(ϑ) · dϑ · dϕ = dv = dr · dΣdΣ

r2= sin(ϑ) · dϑ · dϕ = dΩ∫

dΩ =

∫ π

0

sin(ϑ) · dϑ ·∫ 2·π

0

dϕ = 4 · π

Φ =

∫dΦ =

∫q

4 · π · ε0· ur · ~n · dΣ

r2=

q

4 · π · ε0·∫dΩ =

q

ε0

Se q fosse una carica esterna alla superficie il flusso è nullo

Φ = 0

in quanto attraversa, per entrare, la superficie in un punto con ~n in una direzione e la riattraversa lasuperficie, per uscire, con ~n in direzione opposta perciò l’angolo solido che si forma è nullo.

3.1 Esempi di Applicazione del teorema di Gauss

Il teorema di Gauss è utile nel calcolare in modo semplice, in determinate condizioni, il campo elettrico.

13

3.1.1 Campo elettrico di una carica puntiformeIMMAGINE Per definire il campo elettrico per una carica puntiforme, poichè la carica ha simmetriasferica, si sceglie come superficie una sfera1.

Φ(~E)

=

∫~E · ~n · dΣ =

q

ε0

Sulla superficie della sfera il campo è costante, quindi lo si può portare fuori dall’integrale

Φ(~E)

= E ·∫ur · ~n · dΣ = E ·

∫dΣ = E · Σ

ur e ~n sono paralleli quindi ur · ~n = 1

In una sfera la superficie esterna è Σ = 4 · π · r2

E · Σ = 4 · π · r2 =q

ε0⇒ E =

q

4 · π · ε0 · r2

3.1.2 Campo elettrico generato da un filo caricoPoichè un filo carico ha simmetria cilindrica, si sceglie come superficie un cilindro coassiale con il filo.IMMAGINE

Φ(~E)

=

∫Σtot

~E · ~n · dΣ =Q

ε0

Φ(~E)

=

∫Σlaterale

~E · ~n · dΣ =

∫Σsuperiore

~E · ~n · dΣ =

∫Σinferiore

~E · ~n · dΣ∫Σsuperiore

~E · ~n · dΣ =∫

Σinferiore~E · ~n · dΣ = 0

Φ(~E)

= E ·∫dΣlaterale = E · 2 · π · l · r =

Q

ε0⇒ ~E =

q

4 · π · ε0 · l· ur

3.1.3 Campo elettrico generato da un piano infinitoSi ha un piano infinito uniformemente carico IMMAGINE si pone un cilindro che attraversa il piano, ilcontributo sarà dato solo dalle superfici circolari del cilindo (la superficie laterale è perpendicolare a ~E,quindi prodotto scalare nullo).

Φ = 2 ·∫

Σbase_cilindro

~E · ~n · dΣ = 2 · E∫

Σbase_cilindro

dΣ =Q

ε0=σ · Σbase

ε0

2 · E · Σbase = σ · Σbaseε0

~E =σ

2 · ε0· ur

3.1.4 Campo elettrico generato da un guscio carico omogeneoSi prendono sempre superfici concentriche al guscio. IMMAGINE Se r < R, cioè la superficie è internaal guscio

Φ( ~E) = 0⇒ ~E = 0

Se r > R, cioè la superficie è esterna al guscio

Φ( ~E) =Q

ε0=

∫~E · ~n · dΣ = E ·

∫ur · ~n · dΣ = E ·

∫dΣ

E · Σ =Q

ε0⇒ E · 4 · π ·R2 =

Q

ε0⇒ E =

Q

4 · π · ε0 · r2

Il risultato ottenuto è esattamente come se ci fosse un unica carica puntiforme posta al centro del guscio.

V (r) = −∫E · dr = −

∫Q

4 · π · ε0 · r2dr =

Q

4 · π · ε0 · r

V (r) =

Q

4 · π · ε0 · rr ≥ R

Q

4 · π · ε0 ·Rr < R

1la superficie si può scegliere a piacimento, in quanto il teorema suppone solo superfici chiuse. Quindi è utile scegliere lesuperfici atte a semplificare i conti

14

3.1.5 Campo elettrico di una sfera caricaIMMAGINE Se P , punto della carica campione, è esterno alla sfera (cioè r ≥ R). Il flusso di una sferadi raggio r, concentrica alla sfera carica, è∫

~E · ~n · dΣ = E ·∫dΣ =

Q

ε0

E · Σ =Q

ε0

E · 4 · π · r2 =Q

ε0⇒ ~E =

Q

4 · π · ε0 · r2· ur

Se P è interno alla sfera (cioè r ≤ R). Il flusso di una sfera di raggio r, concentrica alla sfera carica, è∫~E · ~n · dΣ =

q′

ε0q′ carica interna alla sfera di raggio r

E · 4 · π · r2 =q′

ε0⇒ ~E =

q′

4 · π · ε0 · r2· ur

Poichè q′ non è in funzione dei dati del problema bisogna ricondurla a tali valori. Si definisce ρ la densitàdi carica la seguente quantità

ρ =Q

v=

Q43 · πR3

Q =4

3· π ·R3 · ρ⇒ q′ = Q(r) =

4

3· π · r3 · ρ

~E =43 · π · r

3 · ρ4 · π · ε0 · r2

· ur =ρ

3 · ε0· ~r

L’andamento del campo è completamente diverso all’interno e all’esterno del campoQ

4 · π · ε0 · r2· ur r ≥ R

ρ

3 · ε0· ~r r ≤ R

Poichè il potenziale è una funzione continua, in quanto derivabile ho che

V (+∞)− V (r) = −∫ +∞

r

E · dr ⇒ V (r) =

∫ +∞

r

E · dr =

[− q

4 · π · ε0 · r

]+∞

r

=Q

4 · π · ε0 · r

V (R) =Q

4 · π · ε0 ·R

V (R)− V (r) = −∫ R

r

E · dr =ρ

3 · ε0·∫ R

r

r · dr =ρ

3 · ε0·[R2

2− r2

2

]V (r) =

ρ

3 · ε0·[R2

2− r2

2

]+ V (R) =

ρ

3 · ε0·[R2

2− r2

2

]+

Q

4 · π · ε0 ·R

V (r) =ρ

ε0·[R2

6− r2

6+

1

4 · π

]

3.1.6 Calcolo del campo generato da una sfera carica, cava in un puntoSi utilizza il principio di sovrapposizione degli effetti, ipotizzando la cavità come una sfera carica ma concarica opposta. Definiremo quindi R1 il raggio della sfera, R2 il raggio della cavitò, Q1 la carica dellasfera, Q2 la carica della cavità, ~r1 la posizione di P rispetto al centro della sfera e ~r2 la posizione di Prispetto al centro della cavità. Se P è esterno alle sfere (r > r′)

~E =Q1

4 · π · ε0 · r13· ~r1 +

Q2

4 · π · ε0 · r23· ~r2 =

43 · π ·R1

3 · ρ4 · π · ε0 · r1

3· ~r1 −

43 · π ·R2

3 · ρ4 · π · ε0 · r2

3· ~r2 =

=ρ

3 · ε0

((R1

r1

)3

· ~r1 −(R2

r2

)3

· ~r2

)

15

Se P è interno alla cavità

~E =Q1

4 · π · ε0 · r13· ~r1 +

Q2

4 · π · ε0 · r23· ~r2 =

43 · π · r1

3 · ρ4 · π · ε0 · r1

3· ~r1 −

43 · π · r2

3 · ρ4 · π · ε0 · r2

3· ~r2 =

=ρ

3 · ε0· [~r1 − ~r2] =

ρ

3 · ε0· ~R

Se il buco è concentrico alla sfera, si ha che il campo all’interno della cavità è nullo (è un guscio sferico).

3.1.7 Teorema di Gauss in forma differenzialeTeorema di Gauss, di analisi matematica

Il teorema di Gauss consente di portare un integrale di volume di un campo vettoriale generico in unintegrale di superficie (se la superficie è la superficie che racchiude il volume).∫∫∫

v

~∇ · ~E · dx · dy · dz =

∫∫Σ

~E · ~n · dx · dy

~∇ · ~E =

(i · ∂∂x

+ j · ∂∂y

+ k · ∂∂z

)·(Ex · i+ Ey · j + Ez · k

)T=∂Ex∂x

+∂Ey∂y

+∂Ez∂z

Forma differenziale

In fisica il teorema di Gauss è ∫~E · ~n · dΣ =

Q

ε0=

1

ε0·∫ρ · dv∫∫∫

~∇ · ~E · dv =1

ε0·∫∫∫

ρ · dv ⇒∫∫∫ [

~∇ · ~E − ρ

ε0

]· dv = 0⇒ ~∇ · ~E =

ρ

ε0

16

Capitolo 4

Condensatori e Dielettrici

4.1 Conduttori all’interno di un campo elettrico

Un conduttore è un materiale che può condurre cariche elettriche. Si tratteranno, nel prosieguo del corso,solo i conduttori solidi (di tipo metallico).Un metallo può essere rappresentato mediante il metodo a nuvola di elettroni.Se si pone un metallo in un campo elettrostatico il campo resta statico (il sistema si pone immediatamentein equilibrio, in un tempo stimato di 10−13s).L’unica posizione di equilibrio possibile si ha quando nel metallo si ha un campo elettrico nullo (deveessere così altrimenti gli elettroni risentono di una forza e quindi si muovono, non è statico). Se il metalloè carico (vi è un eccesso di elettroni), le cariche aggiuntive possono stare solo sulla superficie esterna, inmodo da avere campo nullo all’interno.Se supponessimo di avere un metallo cavo IMMAGINE

I( ~E) = 0

Calcolando la circuitazione lungo l si ha ∮l

E · dr = 0

ma all’interno della cavità si ha un contributo, mentre all’interno del metallo non ci sono contributi;pertanto le cariche si dispongono solo sulla superficie esterna (gabbia di Faraday). Poiche ~E = 0 alloraall’interno del metallo ho sempre lo stesso potenziale.Definiamo ~E2 il campo elettrico fuori dal metallo, ~E1 il campo elettrico all’interno del metallo.

E2n − E1n =σ

ε0

ma E1n = 0, mentre

E2t = E1t = 0

All’esterno del metallo il campo è sempre normale al metallo (se si è vicini).

~E =σ

ε0· ~n legge di Coulomb

Poichè σ = QΣ allora si ha che nelle punte il campo è molto più intenso che sulle superfici piane.

4.2 Condensatore

Introducendo un metallo in un campo elettrico le cariche si spostano in modo che il campo all’interno delmetallo sia nullo.

Etot = E + E′ = 0⇒ E′ = −E

17

Se ho n conduttori si avrà:

V1 = a11 · q1 +a12 · q2 + . . . +a1n · qn

V2 = a21 · q1 +a22 · q2 + . . . +a2n · qn

......

......

...

Vn = an1 · q1 +an2 · q2 + . . . +ann · qn

aij sono i coefficienti di potenziale (si può dimostrare che aij = aji, aij > 0, aii > aij)

q1 = c11 · v1 +c12 · v2 + . . . +c1n · vn

q2 = c21 · v1 +c22 · v2 + . . . +c2n · vn

......

......

...

qn = cn1 · v1 +cn2 · v2 + . . . +cnn · vn

cij sono i coefficienti di capacità (si può dimostrare che cij = cji, cij < 0, cii > 0)Se si mette un metallo in un campo elettrico occorre usare l’equazione di Laplace con le giuste condizionia contorno, in quanto per pendere Emet = 0 si crea uno pseudo-dipolo.

Esercizio 1 In una zona dello spazio è presenta un campo elettrico il cui potenziale vale

V (x, y) = a · x2 + b · y a, b ∈ R

Calcolare:

• il modulo del campo elettrico nel punto di coordinate P = (x, y, z)

• la carica complessiva presente in un cubo di lato L con un vertice nell’origine, gli spigoli paralleliagli assi e giacente nel primo ottante

~E = −~∇V ⇒

Ex = −2 · a · x

Ey = −b

Ez = 0

~E(x, y, z) = −2 · a · x · i− b · j∣∣∣ ~E(x, y, z)∣∣∣ =

√4 · a2 · x2 + b2

Occorrebbe calcolare il flusso su ogni faccia del cubo, ma si ottiene un calcolo estremamente lungo, pertantosi prova a calcolare la divergenza di E, ~∇ · ~E = ρ

ε0.

~∇ · ~E =∂Ex∂x

+∂Ey∂y

+∂Ez∂z

= −2 · a+ 0 + 0 =ρ

ε0⇒ ρ = −2 · a · ε0

Q =

∫v

ρ · dv = −2 · a · ε0 · L3

Esercizio 2 Data una sfera di raggio a entro cui esiste una densità di carica

ρ(r) =k

r2

con r pari alla distanza dal centro.Calcolare il campo elettrico e il potenziale in un generico punto P .Si utilizzano le coordinate sferiche per semplificare i conti (nel caso specifico è molto utile).

dv = r2 · dr · sin(ϑ) · dϑ · dϕ

18

• r ≥ a

Q =

∫v

dv · ρ =

∫ a

0

k

r2· r2 · dr ·

∫ π

0

sin(ϑ) · dϑ ·∫ 2·π

0

dϕ = k · a · [−(−1− 1)] · 2 · π = 4 · π · k · a

Φ(~E)

=Q

ε0=

4 · π · k · aε0

E · Σ =4 · π · k · a

ε0⇒ ~E =

4 · π · k · aε0 · 4 · π · r2

· ur =k · aε0 · r2

· ur

Φ(~E)

=q′

ε0⇒ E · Σ =

q′

ε0⇒ E =

q′

4 · π · r2 · ε0

V (r) = −∫E · dr = −

∫k · aε0 · r2

dr =k · aε0 · r

• r ≤ a

q′ =

∫ r

0

k

r2· r2 · dr ·

∫ π

0

sin(ϑ) · dϑ ·∫ 2·π

0

dϕ = k · r · [−(−1− 1)] · 2 · π = 4 · π · k · r

~E =4 · π · k · r

4 · π · r2 · ε0· ur =

k

ε0 · r· ur

V (r) = −∫E · dr + V0 = −

∫k

ε0 · rdr = − k

ε0· log(r) + V0

poichè il potenziale è continuo allora

− k

ε0· log(a) + V0 =

k · aε0 · a

⇒ V0 =k

ε0· (1 + log(a))

Si ha un condensatore ogni volta che si hanno due superfici con cariche opposte, sono in tale condizionepoichè la carica complessiva è sempre nulla.

Definizione 2 (Capacità) Si definisce capacità il rapporto tra la carica e il potenziale, qv , tale rapportoè dipendente solo dalla forme geometrica del conduttore. Non dipende dalla densità in quanto le densitàsaranno presenti sia in q che in v e si semplificano.

C =q

v

La capacità si misura in farad, [F ]; 1 farad indica una capacità estremamente grande.

4.2.1 Collegamento tra condensatoriDue condensatori possono essere collegati in serie o in parallelo.

Definizione 3 (Condensatore in serie) Due condensatori si dicono collegati in serie se sono attra-versati dalla stessa corrente, pertanto sono attraversati dalla stessa carica. IMMAGINE

vc − va = vc − vb + vb − va =q

C1+

q

C2= q ·

(1

C1+

1

C2

)= q · 1

Ceq

Ceq =

(1

C1+

1

C2

)−1

Ovviemnte il discorso può essere estesi a n condensatori in serie

Ceq =

(n∑i=1

1

Ci

)−1

Definizione 4 (Condensatore in parallelo) Due condensatori si dicono collegati in parallelo se ailoro capi è presente la stessa differenza di potenziale. IMMAGINE

Ceq = C1 + C2

Ovviemnte il discorso può essere estesi a n condensatori in serie

Ceq =

n∑i=1

Ci

19

Calcolo della capacità di un condensatore sferico

Un condensatore sferico è composto da due sfere concentriche di raggio r1 e r2, tra le due sfere vi èinduzione completa. IMMAGINE

−(V2 − V1) =q

4 · π · ε0 · r1− q

4 · π · ε0 · r2= − q(r1 − r2)

4 · π · ε0 · r1 · r2=

q(r2 − r1)

4 · π · ε0 · r1 · r2

V1 − V2

q=

1

C=

r2 − r1

4 · π · ε0 · r1 · r2

C = 4 · π · ε0 ·r1 · r2

r1 − r2

Se h = r2 − r1 e h r1, r2 allora r1 ' r2 ' r (r è la media geometrica tra r1 e r2).

C ' 4 · π · ε0 ·R2

h=ε0 · Σh

si ha quindi che l’area è proporzionale all’area dell’armatura e inversamente proporzionale alla distanza.

Calcolo della capacità di un condensatore cilindrico

Un condensatore cilindrico è composto da due cilindri coassiali di raggio r1 e r2, tra i due cilindri vi èinduzione completa. IMMAGINE

V1 − V2 =

∫ r2

r1

~E · d~l =

∫ r2

r1

λ · dr2 · π · ε0 · r

=λ

2 · π · ε0· log

(r2

r1

)

q = d · λ V1 − V2

q=

log(r2r1

)2 · π · ε0 · d

Se h = r2 − r1 e h r1, r2 allora r1 ' r2 ' r (r è la media geometrica tra r1 e r2).

C ' 2 · π · ε0 · d

log(

1 + r2−r1r1

) =2 · π · ε0 · dlog(1 + h

R

)poichè h

R → 0 allora

log

(1 +

h

R

)∼ h

R

C =2 · π · ε0 · dlog(1 + h

R

) ∼ 2 · π · ε0 · d ·Rh

=Σ

h· ε0

Si osserva che il valore di C è dipendende solo dalla superficie.

Calcolo della capacità di un condensatore piano

Un condensatore piano è composto da due piani infiniti paralleli tra loro.

V1 − V2 =

∫~E · d~l

Ma abbiamo dimostrato che E è costante tra i piani e vale E = σε0, mentre è nullo all’esteno dei piano.

V1 − V2 =σ · hε

=σ · Σ · hε0 · Σ

=q

ε0 · Σ· h

C =q

V1 − V2=ε0 · Σh

Esempio 1 Si calcola la circuitazione di E lungu un percorso chiuso quadrato di lato l. In un campogenerato da due piani paralleli è sempre costante e parallelo alle armature.∮

~E · d~l =σ

ε0· l + 0 + 0 + 0 =

σ

ε0

Il secondo e il quarto ternine sono entrambi nulli perche paralleli ai piani, mentre il terzo termine è nulloperchè esterno al campo.Si ha una contraddizione in quanto la circuitazione non è nulla, anche se si trova in un campo elettrostati-co. La contraddizione è spiegabile dal fatto che uscendo dai piani il campo non è nullo, come considerato,inoltre vicino ai bordi E 6= σ

ε0. Le condizioni poste si hanno se i piani sono piani infiniti.

20

4.3 Lavoro di carica di un condensatore e densità di energiaSi hanno due lastre pooste come le armature di un condensatore piano. Tali lastre sono inizialmentescariche, se si collega un generatore di tensione alle piastre tale generatore sposte le cariche dalle piastreimponendo una differenza di potenziale di V (il condensatore si carica).Per spostare una carica bisogna compiere un lavoro

dW = dq′ · V ′

ma poiche qV = C allora V ′ = q′

C quindi

dW = dq′ · q′

C⇒W =

∫ q

0

q′

C· dq′ =

q2

2 · C=C · V 2

2

poichè in un condensatore piano C = e0·Σd e q = σ · Σ allora si ha che

W =q2

2 · C=

q2 · d2 · ε0 · Σ

=σ2 · Σ2

2 · ε0 · Σ· d =

ε0

2· σ

2

ε02· (Σ · d) =

ε0

2· E2 · V

W = U

Si definisce densità di energia il rapporto

W

V=ε0

2· E2

Dimostrazione 4 Si fa un ragionamento diverso, il cui risultato può comunque essere esteso, l’energiainterna al sistema è

U =1

2·

N∑i, j = 1i 6= j

qi · qj4 · π · ε0 · rij

=1

2·N∑i=1

qi · vi vi =

N∑j = 1j 6= i

qj4 · π · ε0 · rij

In un campo carioco macroscopico si ha che

U =1

2·∫dq · V =

1

2·∫v

dV · ρ · V

bisogna sempre integrare in coordinate spaziali, dq = ρ · dV

Sfruttando la divergenza di E (teorema di Gauss in forma differenziale) si ha

~∇ · ~E =ρ

ε0⇒ ρ = ε0 · ~∇ · ~E

1

2·∫v

dV · ρ · V =1

2·∫v

dV · ε0 · ~∇ · ~E · V =ε0

2·∫v

~∇ · ~E · V · dV =

=ε0

2·∫dV ·

[~∇ ·(~E · V

)− ~∇ ·

(V · ~E

)]=ε0

2

∫dV · ~∇ ·

(~E · V

)+ε0

2·∫E2 · dV =

=ε0

2

∫Σ

dΣ · V · ~E · ~n+ε0

2

∫v

E2 · dV

Il risultato ottenuto è più generale in quanto se prendo tutto il volume il campo sulla superficie è nullo,mentre se non èrendo tutto il volume il campo non è nullo.

4.4 Pressione elettrostaticaSi otterrà che il campo elettrico esercita una pressione, in quanto se c’è carica nelle armature le piastre siattraggono e si si attraggono c’è una forza e quindi anche una pressione. All’interno di una campo elettricfonon è intuivito pensare alla presenza di una pressione, ma questo vale anche per onde elettromagnetichecome il raggio di una luce (essendo gli effetti troppo bassi si è portati a pensare che non ci sia).

U =q2

2 · C=

q2

2 · ε0 · Σ· h

21

dU =q2

2 · ε0 · Σ· dh

dh < 0 in quanto la lastra muovendosi compie un lavoro.

dU =σ2 · Σ2

2 · ε0 · Σ· dh =

ε0

2· σ

2

ε02· Σ · dh

−dUdh

= −ε0

2· σ

2

ε02· Σ

F = −ε0

2· E2 · Σ

P =F

Σ= −ε0

2· E2

Si osserva che |P | = |densità di energia|Poichè si hanno solo forze conservative allora F = −∇U

22

Capitolo 5

Dielettrici

I dielettrici sono i materiali isolanti. Gli atomi negli isolanti (a differenza dei conduttori) si tengono strettiattorino a loro la nuvola di elettroni (non essendo molto liberi di muoversi non si ha conduzione), ma sepongoun atomo isolante in un campo elettrico gli elettroni vengono spostati su un lato, quindi si generaun dipolo.

Definizione 5 (dielettrico polare) Si definisce polare un dielettrico che in un campo nullo è un dipolo

Definizione 6 (dielettrico a-polare) Si definisce a-polare un dielettrico che in un campo nullo non èun dipolo.

Se in un condensatore piano si pone un metallo, lastra (di lato s), si ha

V0 = Eh

Vm = E · (h− s) = E · h · h− sh

= v0 ·h− sh

Se invece si pone una lastra di dielettrico (di lato s) si ha

Vk =E · kk

=V0

k

Si ha sempre che Vm < Vk, ponendo un metallo all’interno di un condensatore si ha un potenziale sempreinferiore al potenziale che si ottiene mettendo un dielettrico all’interno del condensatore.Poichè nel dielettrico le cariche non possono muoversi come è possibile spiegare la riduzione del potenziale?Succede che ogni atomo diventa un dipolo, ottenendo così equilibrio interno e resta la carica solo sul bordo(le cariche interne si elidono a due a due). L’effetto è più piccolo perchè non contribuiscono tutte le carichema solo quelle esterne.

Dimostrazione 5 Sperimentalmente si ha che k ≥ 1.

k =V0

Vk

Vkh

=V0

k · h

Ek =E0

k

E0 − Ek =σ0

ε0− σ0

ε0 · k=σ0

ε0·(

1− 1

k

)=σ0

ε0·(k − 1

k

)

Ek = E0 −σ0

ε0·(k − 1

k

)=σ0

ε0− σ0

ε0·(k − 1

k

)

σp = σ0 ·(k − 1

k

)Ek =

σ0

ε0− σpε0

23

Nella nuova modellizzazione si ha che

V0 → V0

k

E0 → E0

k

ε0 → ε = k · ε0

Ck = qVk

= k · qV0= k · C0

Si osserva che la capacità dello stesso condensatore in presenza di un dielettrico aumenta di un fattore k.k è dipendente dalla temperatura (le tabelle sono spesso scritte alla temperatura di 20C), i k indicatisono unici per materiali isolanti isotropi, mentre sono due valori (k‖ e k⊥ ai piani).

5.1 Rigidità dielettricaDefinizione 7 (Rigidità dielettrica) Si definisce rigidità dielettrica il valore massimo di campo elet-trico che un dielettrico può sopportare

(è dell’ordine di 106 ÷ 107 V

m

).

Se il campo elettrico, nel quale è immerso il dielettrico, è maggiore della rigidità dielettrica dell’area siha che il campo distrugge la struttura atomica del dielettrico, si ha la formazione del plasma.

Esempio 2 (Fulmine) Un esempio tangibile di tale fenomeno è un fulmine. Il fulmine si ha in presenzadi una grandissima differenza di potenziale tra nuvole e terreno, pertanto si forma un campo elettrico moltoelevato che distrugge la struttura atomica dell’aria, la velocità delle particelle dissociate è estremamenteelevata quindi aumenta moltissimo anche la temperatura (temperatura ∝ velocità).

5.2 Dipolini all’interno di un dielettricoCosa succede ai dipolini elementari che fi formano ponendo un dielettrico all’interno di un campo elettrico?

Definizione 8 (Momento medio di dipolo elementare) Si definisce momento medio di dipolo ele-mentare la media del momento di un numero finito di dipoli, è valido solo se ilo numero di dipoli elementariha l’ordine di almeno un milione di lementi.

〈p〉

Definizione 9 (Vettore di polarizzazione o momento di dipolo di un volumetto infinitesimo)

~P =∆N

∆τ· 〈p〉 = n · 〈p〉

con N pari al numero di atomi presenti nel volume, τ il volume indicato e n il numero di atomi presentiper unità di volume.

Sperimentalmente si ha~P = ε0 · (k − 1) · ~E = ε0 · χ(t) · ~E

In quasi tutti i materiali ~P ∝ ~E, in generale si ha

~P = ε0 · χ(t, ~E

)· ~E

ma χ(t, ~E

)si può sviluppare in serie, quindi

~P ' ε0 ·[χ(t, 0) +

∂χ(t, E → 0)

∂E· E + . . .

]· ~E

In generale ∂χ(t,E→0)∂E · E è molto piccolo (molti ordini di grandezza inferiori) pertanto lo si ignora, ma

nei materiali ferro elettrici tale valore non è trascurabile. IMMAGINE

P =dp

dτ⇒ dp = P · dτ = P · dΣ · dh

dp = dq · dh = σp · dΣ · dh

24

Si ricava che il vettore di polarizzazione per unità di volume, ~P , è P = σp.Se i campi non hanno una struttura estremamente regolare come quella dell’immagine precedente si hache

σp = ~P · ~n

IMMAGINE ∫Σ

σp · dΣ =

∫~p · ~n · dΣ = 0

La somma delle cariche deve essere nulla, poichè da un lato si ha +q e dall’altro lato c’è −q pertanto siequivalgono.Se il materiale è onogeneo la supposizione che i dipoli interni si annullano è veta, mentre se il materialenon è omogeneo vi saranno dei termini correttivi.

Analisi con materiale non omogeneo

IMMAGINE dτ è un volumetto infinitesimo Se il materiale non è omogeneo dqp − dq′p 6= 0, pertanto siavrà una carica netta

dqp − dq′p = −[P ′ − P ] · dΣ

P ′ = σ′p · dΣ

P = σp · dΣ

dΣ = dx · dy · dzP ′ ≡ P (x+ dx+ y + z)

P ≡ P (x, y, z)

P ′ − P = P (x, y, z) +∂P

∂x· dx− P (x, y, z) =

∂P

∂xdx

La carica netta che rimane è

dq = dqp − dq′p = −∂P∂x· dx · dΣ = −∂P

∂x· dx · dy · dz = −∂P

∂x· dτ

Lo stesso procedimento andrà effettuato anche lungo y e lungo z. Si avrà quindi che

dq = −[∂P

∂x+∂P

∂y+∂P

∂z

]· dτ = −~∇ · ~P

~∇ · ~P = −ρp

Esempio 3 (applicativo) IMMAGINE Se si vol determinare il potenziale presente nel punto F , bisognaconsiderare, oltre al potenziale generato dal campo del corpo C, anche gli effettu delle cariche presentisull’isolante I.

V (F ) =1

4 · π · ε0·∫

ΣC

σc · dΣcr′︸︷︷︸

corpo C

+1

4 · π · ε0·∫

Σ

σp · dΣ

r︸︷︷︸isolante I

+1

4 · π · ε0·∫τ

dτ · ρpr︸︷︷︸

se il materiale non è omogeneo

ρp = ~∇ · ~Pσp = ~P · ~n

non si usa εisolante perche F è fuori dall’isolante

Se ho un campo generato da q esterno all’isolante e nell’isolante ~E 6= 0, allora nell’isolante avrò dellecariche di polarizzazione (qp). In tale situazione comunque vale il teorema di Gauss

Φ(~E)

=

∫~E · ~n · dΣ =

q + qpε0

~∇ · ~E =ρ− ρpε0

⇒ ε0 · ~∇ · ~E = ρ− ~∇ · ~P

~∇ ·(ε0 · ~E + ~P

)= ρ

25

Definizione 10 (Induzione elettrica) Si definisce induzione elettrica la seguente quantità

~D = ε0 · ~E + ~P

Si ha quindi che ~∇ · ~D = ρ

Φ(~D)

= q

É possibile quindi definire l’elettrostatica con due equazioni~∇ · ~E =

ρtotaliε0

~∇× ~E = 0≡

~∇ · ~D = ρlibere~∇× ~E = 0

Se si considera la ~∇ · ~E devo avere traccia di tutte le cariche interne, mentre considerando la ~∇ · ~D devoconsiderare solo le cariche libere, quelle cariche non appartenenti all’isolante. É chiaro quindi che è piùsemplice considerare ~∇ · ~D, non si usa il ~∇× ~D in quanto in genere non è nullo.

Dimostrazione 6 (Conservazione della componente normale di un campo elettrico) In un cam-po elettrico si è dimostrato che sull’interfaccia si ha la conservazione dela componente tangenziale, macosa succede se si considera l’induzione elettrica?IMMAGINE Per seemplicità di calcolo si pone ~D costante, ma i risultati trovati sono del tutto generali.

Φ(~D)

= ~D1 · ~n1 · Σ1 + ~D2 · ~n2 · Σ2 = 0

~n1 = − ~n2

Φ(~D)

= D1n · Σ1 −D2n · Σ2 = 0⇒ D1n · Σ1 = D2n · Σ2

Poichè Σ1 = Σ2 si ha cheD1n = D2n

Si ha quindi che la componente normale di ~D si conserva, in presenza di un’interfaccia.

Osservazione

~D = ε0 · ~E + ~P = ε0 · ~E + ε0 · χ · ~E = ε0 · ~E + ε0 · (k − 1) · ~E = ε0 · k · ~E = εr · ~E ⇒ ~E =~D

εr

~P = ε0 · (k − 1) · ~E = ε0 · (k − 1) · ~E = ε0 · (k − 1) ·~D

εr=ε0 · (k − 1) · ~D

ε0 · k=

(k − 1

k

)· ~D

Se il materiale è omogeneo non si hanno cariche libere, quindi

~∇ · ~P =k − 1

k· ~∇ · ~D = 0

mentre se il materiale non è omogeneo

~∇ · ~P =k − 1

k· ~∇ · ~D + ~D · ~∇

(k − 1

k

)6= 0

Il primo termine è nullo, in quanto non vi sono cariche libere; mentre il secondo termine vale ~D·~∇(k−1k

)=

−ρpolarizzazione.Nel caso di materiali non isotropi

P1 = ε0 · (χ11 · E1 + χ12 · E2 + χ13 · E3)

P2 = ε0 · (χ21 · E1 + χ22 · E2 + χ23 · E3)

P3 = ε0 · (χ31 · E1 + χ32 · E2 + χ33 · E3)

χij = −χji

Quindi χ è una mtrice quadrata di lato 3, tale matrice è caratterizzata da 6 elementi distinti.

26

Esercizio 3 In un condensatore puiano l’area totale delle armature è S = 200cm2 e la distanza tra diesse è d = 0.2cm.Se la distanza tra le armature viene dimezzata, calcolare di quanto varia l’energia del condensatore neiseguenti casi:

1. il condensatore rimane sempre collegato a una batteria di forza elettromotrice V = 300V

2. il condensatore, originariamente collegato alla batteria, viene disconnesso prima di avvicinare learmature.

Ci = ε0 ·S

d

Cf = ε0 ·Sd2

= 2 · ε0 ·S

d= 2 · Ci

Soluzione caso:

1.

Wi =1

2· Ci · V 2

Wf =1

2· Cf · V 2 =

1

2· 2 · Ci · V 2 = Ci · V 2

∆W = Wf −Wi = Ci · V 2 − 1

2· Ci · V 2 =

1

2· Ci · V 2

∆W =1

2· ε0 · S · V 2

2 · d=

8.85 · 10−12 · (300)2 · 2 · 10−2

2 · 2 · 10−3=

9.95 · 92

· 10−7J ' 39.83 · 10−7J

2. il sistema viene isolato, quindi si ha la conservazione della carica

Wi =Q2

2 · C

Wf =Q′2

2 · C=

Q2

4 · C

∆W = Wf −Wi =Q2

2 · C·[

1

2− 1

]= − Q2

4 · C

Q = C · V

∆W = Wf −Wi = −C2 · V 2

4 · C= −C · V

2

4= −ε0 · S · V 2

4 · d' −2 · 10−6J

Si osserva che nel primo caso si ha un lavoro positivo, effettuato dalla batteria, mentre nel secondo casosi ha un lavoro negativo in quanto per avvicinare le armature bisogna compiere un lavoro.

Esercizio 4 Le armature di un condensatore piano sono costutuite da piastre quadrate di lato l e distantid.Il condensatore viene caricato alla tensione V , successivamente le armature vengono isolate in modo chela carica su ogni piastra rimanga costante.Si introduce, poi, fra le armature e parallelemente ad esse una lamina metallica piana molto estesa espessa h.Calcolare:

1. il lavoro che si deve effettuare per introdurre tale lamina

2. la nuova tensione V ′ tra le armature

IMMAGINE

Se interpone una lamina metallica, all’interno della lamina si ha campo nullo, quindi è come se avessidue condensatori collegati in serie.

27

Wi =1

2· Ci · V 2 =

1

2· ε0 ·

l2

d· V 2

Dopo aver posto la lamina

C1 = ε0 ·l2

d− h− x

C2 = ε0 ·l2

x

1

Cf=

1

C1+

1

C2=d− h− xε0 · l2

+x

ε0 · l2=d− hε0 · l2

⇒ Cf =ε0 · l2

d− h

Wf =1

2· Cf · V 2

∆W = Wf −Wi =Q2

2 · Cf− Q2

2 · Ci=Q2

2·(

1

Cf− 1

Ci

)=Q2

2·(d− hε0 · l2

− d

ε0 · l2

)= − Q2

2 · ε0 · l2· h

Poichè Q = Ci · V =ε0 · l2

d· V , allora

∆W = − ε02 · l4 · V 2

2 · d2 · ε0 · l2· h = −ε0 · l2 · V 2

2 · d2· h

Si ha che ∆W < 0 in quanto tutti i valori sono positivi ed è presente il segno meno.

Cf =ε0 · l2

d− h=ε0 · l2

d· d

d− h= Ci ·

d

d− h

V ′ =Q

Cf=

Q

Ci · dd−h

=Q

Ci· d− h

d= V ·

(1− h

d

)Si osserva subito che V ′ < V .

Esercizio 5 Calcolare il valore della capacità se la variazione dell’energia elettrostatica di un conden-satore piano, con le armature di area S poste alla distanza d e caricato con una carica Q, quando siinserisce tra le armature un foglio di materiale dielettrico di spessore sp < d, avente le stesse dimensionidelle armature e con costante dielettrica εr. IMMAGINE

Se interpone una lamina di dielettrico, all’interno della lamina si ha campo non nullo, quindi è come seavessi tre condensatori collegati in serie, in quanto è come se all’interno del dielettrico ci fosse un altro

condensatore.

1

Cf=

1

C1+

1

C2+

1

C3=

1ε0·S

d−sp−x+

1εr·Ssp

+1ε0·Sx

=1

S·[d− sp − x

ε0+spεr

+x

ε0

]er = k · ε0

1

Cf=

1

ε0 · S·[d− sp − x+

spk

+ x]

=1

ε0 · S·[d− sp ·

(1− 1

k

)]Ci =

ε0 · Sd

Wi =1

2· Q

2

Ci

Wf =1

2· Q

2

Cf

∆W = Wf −Wi =1

2· Q

2

Cf− 1

2· Q

2

Ci=Q2

2·(

1

Cf− 1

Ci

)=

=Q2

2·

[d− sp ·

(1− 1

k

)ε0 · S

− d

ε0 · S

]=

Q2

2 · ε0 · S·[d− sp ·

(1− 1

k

)− d]

=

=Q2

2 · ε0 · S·[−sp ·

(k − 1

k

)]=sp · (1− k) ·Q2

2 · ε0 · S · k< 0 poichè k > 1

28

Esercizio 6 Tra le armature di un condensatore piano di larghezza m e lunghezza l, distanti d vieneintrodotto per t < d un materiale dielettrico di permiabilità εr.Calcolare la forza con cui il materiale viene risucchiato all’interno del condensatore all’atto in cui sistabilisce tra le armature una differenza di potenziale V . IMMAGINE

In tale configurazione, si ha una parte (t) delle armature nel quale è presente il dielettrico, mentredall’altra parte (l − t) non vi è il dielettrico, poiche in entrame le parti si ha la stessa V allora è come

se vi fossero due condensatori in parallelo.εr = k · ε0

Ci =ε0 ·m · l

d

Cf (t) = C1 + C1 =εr ·m · t

d+ε0 ·m · (l − t)

d=

=k · ε0 ·m · t

d+ε0 ·m · (l − t)

d=ε0 ·md· [(k − 1) · t+ l]

Wf (t) =1

2· Cf (t) · V 2 =

ε0 ·m · V 2

2 · d· [(k − 1) · t+ 1]

L’energia prodotta dal generatore è W (t) più l’energia necessaria per tirare “dentro” il dielettrico.

dWg = V · dq = V · V · dC = V 2 · dC

Wg è l’energia prodotta complessivamente dal generatore.

dWe =V 2

2· dC

We è l’energia elettrostatica immagazinata.

dWg = dW + dWe ⇒ dW = dWg − dWe =V 2

2· dC =

V 2

2· dCdt· dt

dq = F · dt⇒ F =dW

dt=V 2

2· dCfdt

=V 2

2· m · (k − 1)

d· ε0

5.3 Condittori metalliciSe ho un metallo in un campo non conservativo si ha la formazione di ua corrente (l’alettrone lasciatolibero dall’atomo si muove con una velocità di un ordine di grandezza inferiore alla velocità della luce, simuove con v ' 106m

s ). Questo non è contraddittorio con cià che è stato detto precedentemente in quantoavere velocità media nulla non imploca chte tutte le velocità siano nulle.

~vitot = ~vi + ~vderiva ~vderiva velocità casuata dal campo esterno

1

N·N∑i=1

~vitot =1

N·N∑i=1

~vi + ~vderiva ⇒⟨~vtot⟩

= 0 + ~vderiva

vderiva ∼ 10−4m

sv ∼ 106m

s

Può sembrare strano ma per le considerazioni che faremo la grandezza fondamentale è vderiva1.

5.3.1 Corrente elettricaDefinizione 11 (Corrente elettrica) Si definisce corrente elettrica la variazione temporale della cari-ca.

i =dq

qt

[i] =[C]

[s]= [A]

[A] è una unità di misura fondamentale.

1Nel proseguo della trattazione vd = vderiva

29

Quanto vale la variazione della carica in un filo (cilindro) di oro? IMMAGINE Si prende un trattoinfinitesimo e si considera la sezione dΣ.Si considera n densità di elettroni, portatori, per unità di volume, mentre si considera e la carica di unportatore (presa in valore assoluto).

∆q = n · e ·∆τpoichè ∆τ = vd ·∆T · dΣ · cos(ϑ)

∆q = n · e · vd ·∆T · dΣ · cos(ϑ)

∆q

∆T= n · e · vd · dΣ · cos(ϑ)

i =

∫Σ

n · e · vd · dΣ · cos(ϑ) =

∫Σ

~J · ~n · dΣ

Definizione 12 (Densità di corrente elettrica) Si definisce densità di corrente elettrica la seguentequantità

~J = n · e · ~vdSi misura in [A]

[m]2 .

Se ho un metallo come portatori non si hanno solo gli elettroni ma possono essere presenti anche deiportatori positivi (generati da lacune), si ha che

~J = n+ · e · ~vd+ − n− · e · ~vd− = e ·[n+ · ~vd+ − n− · ~vd−

]Poichè le cariche si muovono con verso opposto allora vd+ = vd− .

~J = e · vd− ·[n+ · vd+ − n− · vd−

]Pertanto misurando la densità di corrente, non si può sapere se tale valore è dovuto a portatori positivio portatoni negativi.

5.3.2 Legge di conservazione della caricaIn sistemi isolati si ha la conservazione di molte caratteristiche del sistema.

Supponiamo di avere un corpo di volume τ e di superficie Σ da cui esce una carica (se la carica esce siusa il segno negativo). IMMAGINE

i = −dQdT

−dQ = i · dT =

∫Σ

~J · ~n · dΣ · dT

−dQdT

=

∫Σ

~J · ~n · dΣ

−∂[∫dτ · ρ

]∂T

= −∫dτ · ∂ρ

∂T=

∫Σ

~J · ~n · dΣ

−∫dτ · ∂ρ

∂T=

∫Σ

~J · ~n · dΣ =

∫τ

~∇ · ~J · dτ

L’ultima sostituzione la si può fare mediante il teorema di Gauss di analisi.∫τ

~∇ · ~J · dτ +

∫τ

∂ρ

∂T· dτ = 0⇒

∫τ

(~∇ · ~J +

∂ρ

∂T

)· dτ = 0

L’integrale è nullo se la funzione integranda è nulla

~∇ · ~J +∂ρ

∂T= 0

Nel caso di un campo statico ~∇ · ~J = 0, quindi ~J è un vettore solenoidale e quindi ~J può essere scrittocome rotore di un altro vettore. Il flusso di ~J è nullo poichè

~∇ · ~J = 0⇒∫

~J · ~n · dΣ = 0

30

Definizione 13 (Vettore solenoidale) É un vettore con divergenza nulla e tale vettore può esserescritto come rotore di un altro vettore.

~∇ · ~J = 0⇒ ~J = ~∇× ~V

Definizione 14 (Vettore irrotazionale) É un vettore con rotore nullo e tale vettore può essere scrittocome l’opposto di una derivata.

~∇× ~E = − ~∇V

5.3.3 Legge di Ohm∆V = i ·R

Dimostrazione 7 (Legge di Ohm) Supponiamo di avere un filo di rame con ~J costante, poichè nellatrattazione si lavorerà in una sistuazione unidimenzionale, semplice, si evita l’uso dei vettori.

ρ(t) · J = Σ

h · ρ(t) · J · E = E · h · Σpoichè ∆V = E · h allora

h · ρ(t) · i = ∆V · Σ

∆V = i ·(ρ(t) · h

Σ

)= i ·R

[R] =[∆V ]

[i]=

[V ]

[A]= [Ω]

i calcoli precedenti sono stati effettuati su un filo omogeneo di sezione costante, in generale

R =

∫dh

Σ· ρ

Si osserva sperimentalmente che la resistività, ρ, è in funzione della temperatura. IMMAGINE

Definizione 15 (Superconduttore) Si definisce superconduttore quel conduttore che in determinatiintervalli di temperatura hanno resistività nulla, un esempio di superconduttore è il piombo al di sottodella temperatura critica di 2.22K.Vi sono superconduttori con una temperatura critica molto elevata, intorno agli 138K ma non sono usatiperche contengono elementi tossici, essi sono composti da:

• HgSrBaCaO

• TlSrCaBaCuO

I conduttori (fatta eccezione dei superconduttori) hanno sempre una resistività residua ρ0.

5.3.4 Effetto JouleDefinizione 16 (Effetto Joule) L’effetto Joule in un resistore è

W =

∫ t

0

i2 ·R · dt

Dimostrazione 8 (Effetto Joule) Si suppone di avere una carica dq e la si fa muovere con unadifferenza di potenziale V , quindi

dW = V · dq = V · i · dt

P =dW

dt= V · i = i2 ·R

W =

∫ t

0

i2 ·R · dt

in genere R la si può portare fuori perchè la si condidera costante.

In un resistore si ha che la potenza P saràP = i2 ·R

Pertanto si ha che all’aumentare della resistenza si ha una potenza maggiore, ma potenza maggioresignifica dissipare più calore, ma poichè all’aumentare della temperatura aumenta il valore di resistività(e quindi anche la resistenza) il conduttore sarà costretto a fondere.In tutti gli esercizi si supporrà che ρ sia in regione lineare (con T ' TAMB).

31

5.3.5 Resistenze in serieSi definiscono in serie i resistori attraversati dalla stessa corrente, quindi per la conservazione della carica

∆V = i ·R1 + i ·R2

∆V = i ·R = i · (R1 +R2)⇒ R = R1 +R2

5.3.6 Resistenze in paralleloSi definiscono in parallelo i resistori a cui è applicata la stessa differenza di potenziale

i1 ·R1 + i2 ·R2 = ∆V

ii =∆V

Ri

∆V

R1+

∆V

R2= i1 + i2 = i =

∆V

R(1

R1+

1

R2

)=

1

R⇒ R =

(1

R1+

1

R2

)−1

In un circuito ∮~e · dl = ε

dove ε è la batteria e poichè la circuitazione non è nulla allora significa che il campo non è conservativo.All’interno dei calcoli delle potenze per avere il valore corretto occorrre tener presente che i generatorihanno una resistenza interna e i fili sono sempre delle resistenze, di solito li si considera nulli perchè è diordine di grandezza inferiore alla resistenza del circuito, ma ciò non è sempre vero.

Calcolo del moto di un dipolo all’interno di un campo elettrico costente Se ho un dipolo inun campo elettrico ~E costante, se sposto il dipolo dalla sua posizione di equilibrio (lo sposto di un angoloinfinitesimo), il dipolo subirà di un momento.

~M = I · ~α = −~P × ~E

I · ∂2ϑ

∂t2= −P · E · sin(ϑ)

∂2ϑ

∂t2+P · EI· sin(ϑ) = 0

ma se ϑ→ 0 allora∂2ϑ

∂t2+P · EI· ϑ = 0

si osserva che è l’equazione di un moto armonico con ω =√

P ·EI

ϑ(t) = A · sin

(√P · EI· t+ ϕ

)A e ϕ dipendono dalle condizioni iniziali, il periodo di oscillazione è

T =2 · πω

= 2 · π ·√

I

P · E

5.3.7 Carica di un condensatoreSia un circuito RC, composto da resistenza e condensatore, inizialmente aperto e con condensatore scarico.IMMAGINE Al tempo t = 0 si chiude il circuito, il condensatore si carica e passerà corrente fino a che latensione ai capi di C è esattamente ε

ε = VC + VR =q

C+ i ·R⇒ dq

dt+

q

R · C=

ε

R

pertanto è necessaria la condizione a contorno q(0) = 0

dq

dt=ε · C − qR · C

= −q − ε · CR · C

32

si osserva che è una equazione differenziale a variabile separabili si ha

dq

q − ε · C= − dt

R · Cintegrando tra t = 0 e t = t∗ allora ∫ q(t∗)

0

dq

q − ε · C= −

∫ t∗

0

dt

R · C

lnq(t∗)− ε · C−ε · C

= − t∗

R · C

q(t∗)− ε · C = −ε · C · e− t∗R·C

q(t∗) = ε · C ·(

1− e− t∗R·C

)IMMAGINE

i =dq

dt=

d

dt·(ε · C − ε · C · e− t

R·C

)=

ε

R· e− t

R·C

IMMAGINE [R · C] = [sec] è necessario in quanto l’argomento dell’esponenziale deve essere un numeropuro, altrimenti se l’argomento fosse una quantità dimensionata allora sviluppando la funzione in serie sisommerebbero quantità diverse, la cui somma non è lecita.

5.3.8 Scarica di un condensatoreSia un circuito RC, composto da resistenza e condensatore, inizialmente aperto e con condensatore carico(q(0) = q0). IMMAGINE Al tempo t > 0 si ha che

Vc + VR = 0 non c’è più il generatore

q

C+dq

dt·R = 0

dq

dt= − q

R · CÉ un integrale a variabili separabili pertanto integrando tra t = 0 e t = t∗ si ha∫ q(t∗)

q0

dq

q= −

∫ t∗

0

dt

R · C

lnq(t∗)

q0= − t∗

R · C

q(t∗) = q0 · e−t∗R·C

IMMAGINEi(t) =

dq

dt= − q0

R · C· e− t

R·C

IMMAGINE

5.3.9 Leggi di KirchhoffSi distinguono due leggi distinte

• la somma di tutte le correnti entranti al nodo2 è nulla (conservazione della carica)

N∑k=1

ik = 0

si considerano positive le correnti entranti al nodo.

• la somma di tutte le tensioni su una maglia è nulla, bisogna considerare anche le cadute di tensionesui resistori

N∑k=1

Rk · ik =

N ′∑n=1

εk

si considerano positive le tensioni con verso uguale alla percorrenza scelta.

2il ramo è il congiungimento di almeno tre ramo

33

Capitolo 6

Campo magnetico

Il campo magnetico è un campo vettoriale che in qualche modo altera lo spazio-tempo.Il campo elettrico e il campo magnetico sono distinguibili dal fatto che ci muoviamo a bassissima velocità(rispetto alla velocità della luce), ad alta velocità (comparabile alla velocità della luce) non si ha più ladistinzione tra i due campo, pertanto in tali situazioni si tratta solo di un campo elettro-magnetico.Per lo studio del campo magnetico la forma che più semplifica il problema è una bacchetta molto lunga(nel caso del campo elettrico l’oggetto più semplificativo è la sfera).In seguito a molte osservazioni, Coulomb, si è osservato che si comportavano in molto simile ai dipoli.Coulomb ricavò una formula che si è dimostrata dare una visione distorta della realtà. I passi avanti piùimportanti sono stati effettuati dopo la scoperta della pila di Volta, si osservò che una bussola passandovicino a un filo, nel quale si ha il passaggio di corrente elettrica, aveva l’ago “impazzito”.Il campo magnetico si ottiene per mezzo di cariche in modo, nel caso di conduttori anche se non collegatia batterie possono realizzare un campo magnetico grazie alla presenza di correnti a livello atomico.Coulomb osservo che la forza attrattiva/repulsiva di due macchette magnetiche è sempre uguale, cioè duebacchette si attraggono e si respingono con la stessa forza, poichè la forza è uguale allora significa che lacarica della bacchetta è complessivamente nulla, pertanto ha flusso nullo.∫

Σ

~B · ~n · dΣ = 0⇒ ~∇ · ~B = 0

Poichè ~∇ · ~B = 0 allora B = ~∇× ~A.~A′ = ~A+ ~∇F

con F una funzione scalare qualsiasi

~B′ = ~∇× ~A′ = ~∇× ~A+ ~∇×(~∇F)

= ~B

In fisica vi sono delle grandezze non misurabili ma sono solo grandezze matametiche.

6.1 Forza di LorentzQuesta forza aggiunta alle quattro equazioni di Maxwell sono sufficienti per spiegare compiutamente icampi elettrici e l’ottica.

Definizione 17 (Forza di Lorentz) Si definisce forza di Lorenz la forza

~FL = q ·(~E + ~v × ~B

)La forza può essere scomposta in due forze, forza elettrica e forza magnetica

~FL = ~FE + ~FM

~FE = q · ~E~FM = q · ~v × ~B

Si può osservare, analizzando l’espressione di ~FM , che FM = 0 se v = 0 o se ~v‖ ~B. Il lavoro compito dallaforza di Lorentz è

dWM = FM · ds = q · ~v × ~B · d~s = q · d~sdt× ~B · d~s

35

poichè d~s× ~B ⊥ d~s allora d~s× ~B · d~s = 0 quindi

dWM = 0

Il lavoro, della forza magnetica, è sempre nullo poichè perpendicolare allo spostamento.Supponiamo che una particella si muove in una regione di spazio con ~v perpendicolare al campo magnetico

~F = q · ~v × ~B F = |~F | = q · v ·B

Calcolo del moto di una carica con velocità perpendicolare a un campo magnetico

Supponendo ~B costante

F = m · a = m · v2

r

si suppone lo spostamento di tipo circolare, perchè sempre perpendicolare al campo

F = m · v2

r= q · v ·B ⇒ r =

m · vq ·B

q · ~v × ~B = m · ~ω × ~v

~v × (q · ~B) = −~v × (m · ~ω)⇒ q · ~B = −m · ~ω ⇒ ~ω = −q ·~B

m

|~ω| = q ·Bm

T =2 · πω

=2 · π ·mq ·B

La particella si muoverà nel campo magnetico con moto circolare uniforme di periodo T e raggio dicurvatura r.

Calcolo del moto di una carica con velocità qualsiasi a un campo magnetico

~FL = q ·((~v⊥ + ~v‖

)× ~B

)= q ·

(~v⊥ × ~B + ~v‖ × ~B

)~v‖ × ~B = 0, poichè parallela a ~B.

~FL = q ·(~v⊥ × ~B

)v⊥ = v · sin(ϑ)

FL = q · v · sin(ϑ) ·B

r =m · v · sin(ϑ)

q ·B

T =2 · πω

=2 · π ·mq ·B

La carica avrà un moto a elica e il passo dell’elica è

v‖ · T =v · cos(ϑ) · 2 · π ·m

q ·B

Questo ci fa capire che il campo magnetico terrestre in qualche modo ci “protegge”. Le particelle chearrivano verso la Terra si scontrano con il campo magnetico e le particelle iniziano a ruotare in una zonadi spazio estremamente limitata.

6.2 Seconda legge di Laplace

Laplace ha formulato due leggi che mettono in relazione il campo magnetico con la corrente che circolain un circuito.Partendo dalla forza magnetica di Lorentz, per ogni elettrone si ha

~F = −e · ~vD × ~B

36

In un filo scorreranno elettroni (scorre una corrente elettrica), pertanto si cerca la forza che subiscono glielettroni, se si prende un pezzo infinitesimo di filo (ds) si ha IMMAGINE

dF = dN ·(−e · ~vD × ~B

)N è il numero di portatori per unità di volume, quindi dN = n · dτ = n · ds · Σ

dF = −n · e · ~vD × ~B · Σ · ds = ds · ~J · Σ× ~B = J · Σ · d~s× ~B

d~s‖ ~B

dF = i · d~s× ~B

In generale la seconda legge di Laplace in forma finita è

~F =

∮i · d~s× ~B

Dall’analisi dimensionale si ha che

[F ] = [i] · [ds] · [sin(ϑ)] · [B]⇒ [B] =[F ]

[i] · [ds] · [sin(ϑ)]=

[N ]

[A] · [m]= [T ] [T ] = tesla

6.3 Momento di un dipolo magnetico

Prendiamo una spira rettangolare e la mettiamo in un campo magnetico costante, la spira è percorsa dacorrente, quindi sarà sottoposta a delle forze.Se il campo magnetico è costante la forza totale è nulla quindi la spira1 non trasla ma può ruotare. F1

e F3 l’ungo l’asse non hanno braccio, mentre F2 e F4 sono uguali ma di verso opposto (F2 è uscente,mentre F4 è entrante al piano).

F =

∫a

i · d~s× ~B = i · a ·B · sin(ϑ)

M = F · b = i · a · b ·B · sin(ϑ) = i · Σ ·B · sin(ϑ)⇒ ~M = i · Σ · ~n× ~B

Definizione 18 (Momento magnetico) Si definisce momento magnetico la quantità

~m = i · Σ · ~n

~M = ~m× ~B

Tutte le formule per il dipolo magnetico e campo magnetico sono uguali a quelle ricavate per il bipolo ecampo elettrico sostituendo P ed E con n ed B.Se B è costante, si può ricavare il parallelismo con un campo elettrostatico, ma la stessa legge vale per Bnon uniforme infatti dividendo le spire in pezzi infinitesimi, sopravvivono solo le correnti sui bordi esternidi ogni infinitesimo di spira e le altre si annullano, quindi la formula resta la stessa.Spostendo un ago in un campo magnetico

M = −I · d2ϑ

dt2

~M = ~m× ~B ⇒ | ~M | = m ·B · sin(ϑ)

−I · d2ϑ

dt2= m ·B · sin(ϑ)⇒ d2ϑ

dt2+m ·BI· sin(ϑ) = 0

con ϑ sufficientemente piccolo (ϑ < ϑmax = 7)

d2ϑ

dt2+m ·BI· ϑ = 0

1la spira è un elemento di forma indeformabile e fissata su un asse

37

Si osserva che è l’equazione di un moto armonico con ω2 =m ·BI

, l’ago quindi oscilla intorno alla posizione

di equilibrio, aggiungendo all’equazione m · dϑdt

si tiene conto anche degli attrici (che ne influenzano lavelocità).Avendo un circuito immerso in un campo magnetico, spostandolo si ha una variazione del flusso che ècausato da una variazione dell’energia interna (si è compiuto lavoro sulle spire). La formula è validasolo se la corrente è costante. Ogni volta che si varia la posizione di un circuito, il flusso genera dellecorrenti indotte quindi non è più costante, questa corrente quindi bisogna modificarla esternamente perriequilibrare il sistema.Poichè

UP = −~P · ~E ⇒ UP = −~m · ~B

In termini infinitesimi si ha

dUP = −d~m · ~B = −i · dΣ · ~n · ~B = −i · dΦ = −dW ⇒ dW = i · dΦ

Spostando il circuito si haW = i ·∆Φ = i · (Φfin − Φin)

Supponendo di essere in 1−D allora

dW = F · dx = i · dΦ = i · dΦ

dx· dx ⇒ F = i · dΦ

dx

Riportandoci in 3−D allora~F = i · ~∇Φ

Se la spira al posto di traslare ruota si ha

dW = M · dϑ = i · dΦ = i · dΦ

dϑ· ϑ ⇒ M = i · dΦ

dϑ

6.4 Effetto Hall

Tale effetto è molto utile per calcolare la densità dei portatori o l’intensite del campo magnetico (notealcune condizioni iniziali). É un effetto della forza di Lorentz (l’effetto è visibile in materiali semplici).Per semplicità di calcolo si considera il filo come un nastro, non più un cilindo. Posto il nastro in uncampo magnetico tra le due facce del nastro si instaura una differenza di potenziale. IMMAGINE

~vD‖x ~B‖y

~FL = e · ~vD × ~B ⇒ FLe

= ~vD × ~B = EH

In base alle ipotesi fissate allora si ha che ~EH‖z.Al campo sarà associata una forza elettromotrice

εH =

∫EH · dz = vd ·B · b

Si raggiunge l’equilibrio quando~EH + ~Ea = 0

εH = vD ·B · b =j

n · e·B · b =

i

a · b· 1

n · e·B · b =

i ·Bn · e · a

Con misure dirette di εH note i, B, e ed a allora si ricava la densità dei potratori nel metallo (n).

εH = α ·B α è una caratteristica dello strumento elettrico

Se si pone il nastro in un campo magnetico con intensità nota, B, si può ricavare α =εHB

(εH è misurata);

mentre si può calcolare l’intensità di un campo magnetico se è noto α(B =

εHα

).

38

6.4.1 Spettrometro di massa

Il funzionamento di uno spettrometo di massa è basato sulla forza di Lorentz.Mediante uno spettrometro di massa si riesce a stabilire il rapporto tra la massa e la carica di un elemento(in tali condizioni si può anche stabilire l’isotropo dell’elemento).Differenti isotopi dello stesso elemento hanno il medesimo comportamento ma ai fini della fisica nuclearehanno un comportamento completamente diverso.Lo spettrometro di massa è uso strumento molto semplice: IMMAGINE una carica che entra nel campomagnetico sottostante, per le condizioni indicate, inizia a ruotare e colpisce la lastra fotografica, calcolandoil punto in cui si ha la collisione con la lastra fotografica si può stabilire il raggio di curvatura, poichèl’energia cinetica è

1

2·m · v2 = q · V

la carica nel campo magnetico ha v = q · B · rm

, sostituendo si ha

1

2·m · q2 · B

2 · r2

m2= q · V

1

2· q · B

2 · r2

m= V ⇒ m

q=B2 · r2

2 · VSe ho due isotropi diversi ho due raggi diversi

m1

q=

B2

2 · V· r1

2

m2

q=

B2

2 · V· r2

2

⇒ m1

m2=

(r1

r2

)2

6.4.2 Selettore di velocità

Il selettore di velocità è una modificazione introdotta in quanto utilizzando lo spettrometro di massa si haun legame di tipo quadratico (dipendono da r2) e un piccolo errore in r genera una grande imprecisionenel rapporto m

q . Il selettore di velocità ha la seguente schematizzazione: IMMAGINE Le uniche particelleche riescono a passare attraverso a sono quelle che subiscono una forza di Lorentz nulla, cioè E+v ·B = 0

v = −EB

poichè r =m · vq ·B0

r = −mq· E

B ·B0⇒ m

q= −r · B ·B0

E

Si osserva ora che il rapporto mq ha un legame lineare con r.

6.4.3 Ciclotrone

É un accelleratore di particelle ed è necessario nello studio del nucleo (poichè le forze nucleare sonoestremamente forti occorre far scontrare le particeelle a velocità prossime a quelle della luce, in tal modosi genera un’energia così ampia da rompere i legami nucleari).Per accellerare un fascio di particelle occorre imporle in una differenza di potenziale, ma per avere grandiaccellerazioni occorre avere grandi differenze di potenziale (non si può avere valori alti a piacere in quantovi è il vincolo imposto dalla rigidità dielettrica). Per ovviare a tale problema si realizza uno strumento ingrado di modificare la polarità di un “condensatore” in modo da far andare avanti e indietro le cariche,accellerandole di volta in volta.Il ciclotrone è realizzato da due semidischi di raggio R affacciati dal loro diametro.Si impone tra i dischi una differenza di potenziale V (t) e facendo passare attraverso l’interfase tra i duedischi si ha una accellerazione, si ha una modifica dell’energia cinetica

1

2·m · v1

2 = q · V0

Se sui semidischi è posto un campo magnetico perpendicolare ai dischi, pertanto per effetto della forza diLorentz si ha la modifica del verso della velocità (non si modifica il modulo), a questo punto la particella

39

si ritrova all’interfase e attraversandola subisce nuovamente un’accellerazione (occorre che la polarità siastata invertita)

1

2·m · v2

2 =1

2·m · v1

2 + q · V0

Il tempo di percorrenza della carica sul disco è:

t1 =1

2· 2 · π · r1

v1=π ·m · v1

q ·B · v1=π ·mq ·B

Si osserva che il tempo in cui la carica ruota è indipendente dalla velocità, pertanto si pone V (t) come unafunzione che cambia periodicamente la periodicità, si pone una tensione alternata V (T ) = VMAX ·sin(ω ·t)Si osserva che a ogni attraverso il raggio di curvatura nel campo magnetico aumenta fino a quando nonesce dal ciclotrone, si può dimostrare che

vMAX =q ·Bm·R

occorre quindi scegliere ω appropriato per poter rendere possibile il corretto funzionamento:

T =2 · πω

= 2 · t⇒ ω =π

t=q ·Bm

Per ottenere valori di velocità confrontabili con la velocità della luce la trattazione non è sufficiente inquanto occorre anche considerare gli effetti relativistici.

6.5 Prima legge di LaplaceUn circuito attarversato da corrente genera un campo magnetico, per la prima legge di Laplace si hannodue formulazioni che tengono conto della trascurabilità di alcuni elementi, si ha la formulazione unidi-mensionale se si calcola il campo magnetico generato in un punto molto lontano dal filo conduttore.In generale, in forma infinitesima è

d ~B = km ·i · d~s× ~r

r3

non si può avere una forma finita in quanto è dipendente dalla forma del circuito.

6.5.1 Formulazione 1−D

dB = km ·i · ds · sin(ϑ) · r

r3= km ·

i · ds · sin(ϑ)

r2

[km] =

[dB · r2

i · ds · sin(ϑ)

]=

[dB · r2

i · ds

]=

[T ] · [m]2

[A] · [m]=

[T ] · [m]

[A]=

[N ]

[A]2

km =µ0

4 · π

Definizione 19 (Permiabilità magnetica) Si definisce permiabilità magnetica la quantità µ0

~B =µ0

4 · π· i ·∮d~s× ~rr3

~∇ · ~B = ~∇ ·(µ0

4 · π· i ·∮d~s× ~rr3

)=

µ0

4 · π· i ·∫ [

urr2· ~∇× d~s−

(~∇× ur

r2

)· d~s]

Ma ~∇× d~s = 0, in quanto tutti gli incrementi sono indipendenti, mentre ~∇× urr2

= ~∇× ~∇ ·(−1

r

)= 0

~∇ · ~B = 0

6.5.2 Formulazione 3−DSi usa tale formulazione nel caso in cui le componenti del circuito non sono trascurabili

~B =µ0

4 · π·∫

Σ

~j · ~n · dΣ ·∫d~s× ur

r2=

µ0

4 · π·∫τ

dτ ·~j × urr2

Le quantità dΣ è la sezione del filo, ds è la lunghezza del filo mentre dτ è il volume del filo, inoltre l’ultimauguaglianza è valida in quanto d~s‖~j.

40

Calcolo di ~B se il circuito non è posto nell’origine

IMMAGINE

~B(~r) =µ0

4 · π

∫τ

dτ ·~j(~r′)×(~r − ~r′

)∣∣∣∣∣∣~r − ~r′∣∣∣∣∣∣3

~B(x, y, z) =µ0

4 · π·∫dx′ ·

∫dy′ ·

∫dz′ ·

~j(x′, y′, z′)×[(x− x′) ·~i+ (y − y′) ·~j + (z − z′) · ~k

][(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2]

32

Un campo magnetico lo si può avere anche con il movimento di una sola carica (non è necessaria unacorrente elettrica).

d ~B =µ0

4 · π·~j × ~rr3· dτ =

µ0

4 · π· n · e~vD × ~r

r3· dτ =

µ0

4 · π· e · ~vD × ur

r2· n · dτ

ma n è il numero di particelle e dτ è il volume infinitesimo, quindi n · dτ è il numero di cariche per unitàdi volume n · dτ = dN

d~B =µ0

4 · π· e · ~vD × ur

r2· dN

d~B = ~B|e · dN

~B|e =µ0

4 · π· e · ~vD × ur

r2

Si osserva che ~B si può avere anche con una sola carica (dN = 1), l’importante è che vi sia movimento.

~B|e =µ0

4 · π· ~vD × ur · e

r2= µ0 · ε0 · ~vD ×

ur · e4 · π · ε0 · r2

= ε0 · µ0 · ~vD × ~E|e

posto per definizione1

c2= ε0 · µ0 si ha

~B|e =~vDc2× ~E|e

Calcolo del campo generato da un filo lungo il suo asse Si considera un filo di lunghezza 2 · aIMMAGINE

dB =∣∣∣d ~B∣∣∣ =

µ0

4 · π· i · ds · sin(ϑ)

r2⇒ B =

µ0

4 · π·∫ds · sin(ϑ)

r2

Per poter risolvere l’integrale è necessario definire ds e r in funzione di ϑ. IMMAGINE

r · sin(π − ϑ) = r · sin(ϑ) = R⇒ 1

r=

sin(ϑ)

R⇒ 1

r2=

(sin(ϑ)

R

)2

s · tan(π − ϑ) = R

tan(π − ϑ) = − tan(ϑ)

s = − R

tan(ϑ)= −R · cot(ϑ)

[cot(ϑ)]′

= − 1

sin2(ϑ)

ds =R · dϑsin2(ϑ)

ds · sin(ϑ)

r2=

R · dϑsin2(ϑ)

· sin(ϑ) · sin2(ϑ)

R2=dϑ · sin(ϑ)

R

B =µ0

4 · π·∫ds · sin(ϑ)

r2=

µ0

4 · π·∫dϑ · sin(ϑ)

R=

µ0

4 · π ·R

∫sin(ϑ) · dϑ

l’integrale ha come estremi di integrazione ϑ1 e ϑ2, ma poichè ϑ1 e ϑ2 sono simmetrici allora si integratra ϑ1 e π

2 e si raddoppia il valore letto

B =µ0

2 · π ·R·∫ π

2

ϑ1

sin(ϑ) · dϑ =µ0

2 · π ·R· [− cos(ϑ)]

π2

ϑ1=

µ0

2 · π ·R· cos(ϑ1)

41

mar · cos(ϑ1) = a⇒ cos(ϑ1) =

a

r=

a√a2 +R2

B =µ0

2 · π ·R· a√

a2 +R2

~B =µ0

2 · π ·R· a√

a2 +R2· uΦ

uΦ è un versore perpendicolare a d~s e a ~r

Teorema 1 (Legge di Biot-Savart) Quest’ultima formulazione nota come la legge di Il campo ge-nerato da un filo rettilineo di lunghezza infinita vale, in base alla relazione precedente (posto a →+∞)

~B = lima→+∞

µ0

4 · π ·R· a√

a2 +R2· uΦ = lim

a→+∞

µ0

4 · π ·R· a√

a2· uΦ =

µ0

4 · π ·R· uΦ

Il teorema di Biot-Savart è utile quando è possibile approssimare il filo a lunghezza infinita, tale teoremaè una buona approssimazone del campo generato da un filo in un punto a distanta praticamente nulladal filo.

6.5.3 Definizione dell’unità di misura dell’AmpereSi hanno due fili rettilinei posti a una distanza d (d = 1m).Il filo uno genera B1 sul filo due, quindi agisce una forza

d~F12 = i2 · d~s2 ×µ0 · i12 · π · d

· u1 =i1 · i2

2 · π · d· d~s2 × u1

d~F21 =i1 · i2

2 · π · d· d~s1 × u2

Si osserva che le due forze sono uguali e opposte (soddisfano il principio di azione e reazione), supponiamoi1, i2 e d costanti

F12l =F12

l=i1 · i2 · µ0

2 · π · d

F21l =F21

l=i1 · i2 · µ0

2 · π · dSe i1 = i2 allora

Fl =i2 · µ0

2 · π · d

Definizione 20 (Ampere) Se hanno due fili rettilinei infiniti, paralleli e distanti d = 1m, 1 ampere èla corrente che scorre tra nei due fili per ottenere la forza per metro di F = 2 · 10−7N

Esempio 4 (Calcolo della corrente in una spira attraverso misure di massa) d RIMMAGINE Il sistema è in equilibrio quando

m · g =µ0 · i2

2 · π · d· 2 · π ·R

i2 =m · g · dµ0 ·R

⇒ i =

√m · g · dµ0 ·R

Tale strumento non è molto adoperato in quanto non vi è un rapporto lineare tra la corrente e la massa.

Esempio 5 (Calcolo del campo magnetico di una spira circolare) Ci si pone nella situazione piùsemplice, cioè sull’asse della spira circolare. IMMAGINE

d ~B =µ0

4 · π· d~s× ur

r2=

µ0 · i4 · π · r2

· u1 · ds⇒ |d ~B| =µ0 · i

4 · π · r2· ds

Se si considerano insieme i punti k e k′ (punti opposti rispetto al diametro) si ha che le componenti lungox si sommano, mentre le componenti lungo y si annullano.

Bx =

∫dB · cos(ϑ) =

µ0 · i4 · π · r2

· cos(ϑ) ·∫ds =

µ0 · i4 · π · r2

· cos(ϑ) · 2 · π ·R

42

r =√x2 +R2

cos(ϑ) =R

r=

R√x2 +R2

Bx =µ0 · i

4 · π · (x2 +R2)· R√

x2 +R2· 2 · π ·R =

µ0 · i ·R2

2 · (x2 +R2)32

Nel caso in cui x R (x→ +∞)

Bx =µ0 · i ·R2

2 · x3=µ0 · 2 · π ·R2 · i

4 · π · x3=µ0 · 2 ·m4 · π · x3

Sostituzioni per relazione delle formule del campo elettrico con il campo magnetico

~E → ~B~P → ~mµ0 → 1

ε0

~B =µ0 ·m

4 · π · r3· (2 · cos(ϑ) · ur + sin(ϑ) · uϑ)

U = −~m2 · ~B1 =µ0

4 · π · r3· (~m1 · ~m2 − 3 · (~m1 · ur) · (~m2 · ur))

~B =µ0

4 · π · r3· (3 · (~m · ur) · ur − ~m)

~F = − ~∇ · U = − ~∇ · (~m1 · ~B2)

| ~M | = ∂ ~m1 · ~B2

∂ϑ

Esempio 6 (Calcolo del campo magnetico in un solenopide infinito) Un solenoide è un elemen-to che idealmente ha campo magnetico costante all’interno e nullo all’esterno, nel caso reale non è esat-tamente così ma se ri rapporto tra la lunghezza del solenoide a il suo raggio è molto piccolo allora ilsolenoide infinito fornisce un’ottima apprissimazione.IMMAGINE L’immagine sopra rappresenta una sezione del solenoide (un solenoide ha la forma tipicadella molla) IMMAGINE

dB =µ0 ·R2

2 · r3· dN · i =

µ0 ·R2

2 · r3· n · dx · i

n è il numero di spire per unità di lunghezza

r · sin(Φ) = R

x− x0 = −R · cot(Φ)

dx =R · dΦ

sin2(ϑ)

dB =µ0 ·R2 · n · i

2· sin2(Φ)

r3· R · dΦ

sin2(Φ)=µ0 · n · i

2· sin(Φ) · dΦ

B =µ0 · n · i

2·∫ Φ2

Φ1

sin(Φ) · dΦ =µ0 · n · i

2· [cos(Φ1)− cos(Φ2)]

B =µ0 · n · i

2·

d2 + x√(

d2 + x

)2+ 4 ·R2

+d2 − x√(

d2 + x

)2+ 4 ·R2

Se la spira avesse lunghezza infinita (d→ +∞)

B =µ0 · n · i

2· 2 = µ0 · n · i

43

6.6 Teorema di Ampere

Il teorema di Ampere è la terza equazione di Maxwell, pertanto la si prende come un postulato, ma sidarà un’argomentazione attraverso la prima legge di Laplace (in realtà il teorema di Ampere è più estesa).IMMAGINE Si ha un filo infinito percorso da una corrente i, si ha che a distanza r dal filo

~B =µ0 · i

2 · π · r· uΦ

ds = r · dΦ⇒ ds

r= dΦ

~B · d~s =µ0 · i

2 · π · r· uΦ · d~s∮

B · ds =

∮µ0 · i2 · π

· dsr

=

∮µ0 · i2 · π

· dΦ =µ0 · i2 · π

∫ 2·π

0

dΦ = µ0 · i

Teorema 2 La circuitazione di un campo magnetico lungo una linea chiusa è la somma algebrica dellecorrenti contatenate. (si considera la somma delle sole correnti contenute dalla linea chiusa).∮

B · ds = µ0 ·∑k

ik

ii > 0 se ha verso consorde con il prodotto esterno tra la linea di circuitazione e il filo.

Se la circuitazione non contiene nessuna corrente, allora la corrente è nulla.∮~B · d~s = µ0 · i = µ0 ·

∫~j · ~n · dΣ

Se si estende Σ in modo tale che Σ′ comunque non contenga nessun filo al suo interno allora si ha che∫Σ′

~∇× ~B · ~n · dΣ′ = µ0 ·∫

Σ′

~j · ~n · dΣ′

∫Σ′

(~∇× ~B − µ0 ·~j

)· ~n · Σ′ = 0⇒ ~∇× ~B = µ0 ·~j 3a equazione di Maxwell

6.6.1 Applicazione del teorema di Ampere

Solenoide rettilineo infinito ∮~B · d~l = µ0 ·

∑k

ik

IMMAGINE ∮~B · d~l =

∫ B

A

~B · d~l +

∫ D

B

~B · d~l +

∫ C

D

~B · d~l +

∫ A

C

~B · d~l =

∫ A

C

~B · d~l

Si ha che

∫ B

A

~B · d~l = 0 AB ⊥ ~B

∫ D

C

~B · d~l = 0 CD ⊥ ~B

∫ D

B

~B · d~l = 0 BD è esterno al solenoide

∮~B · d~l =

∫ A

C

~B · d~l = B · (xC − xA) = B · l = µ0 · n · l · i

con n che è la densida di spire per unità di lunghezza.

B = µ0 · n · i

44

Toriode ∮~B · d~l = µ0 ·

∑k

ik

IMMAGINE Poichè B è costante allora∮B · dl = B ·

∮l = B · 2 · π ·R = µ0 ·N · i⇒ B =

µ0 ·N · i2 · π ·R

B è solo all’interno del toroide, in una circonferenza interna o esterna al toroide si ha campo magneticonullo.

Cono ∮~B · d~l = µ0 ·

∑k

ik

IMMAGINE Posto:

• r < R si ha ∮~B · d~l = µ0 · i

i =

∫~j · ~n · dΣ = j ·

∫dΣ = j · Σ = j · π ·R2 ⇒ j =

i

π ·R2

i′ =

∫~j · ~n · dΣ′ = j ·

∫dΣ′ = j · π · r2 ⇒ i′ =

i

π ·R2· π · r2 = i ·

( rR

)2

B · 2 · π · r = µ · i′ ⇒ B =µ0 · i · r2

2 · π · r ·R2=

µ0 · r2 · π ·R2

· i

• r > R si ha ∮~B · d~l = B · 2 · π · r = µ0 · i⇒ B =

µ0

2 · π · r· i

Campo su un’interfaccia

Si calcola il flusso del campo magnetico nelle condizioni in cui dΣa, dΣb = o(dΣ) IMMAGINE∫~B · ~n · dΣ +

∫~B · ~n · dΣa +

∫~B · ~n · dΣb =

∫~B1 · ~n1 · dΣ1 +

∫~B2 · ~n2 · dΣ2 = 0

poichè dΣ1 = dΣ2 e n1 = −n2 allora∫~B1 · ~n1 · dΣ1 +

∫~B2 · ~n2 · dΣ2 =

∫(B1n −B2n) · dΣ = 0⇒ B1n = B2n

6.7 Flusso e ControflussoDati due circuiti IMMAGINE ci si interessa a studiare il flusso di B1 su Σ2 e di B2 su Σ1

Φ12( ~B1) =

∫~B1 · ~n2 · dΣ2

Φ21( ~B2) =

∫~B2 · ~n1 · dΣ1

Φ12( ~B1) =

∫Σ2

∫S1

µ0

4 · π· i1 ·

(d~S1 × ~rr3

)· ur · dΣ2 =

µ0

4 · π·

(∫Σ2

∫S1

d~S1 × ~rr3

· ur · dΣ2

)· i1 = M12 · i1

Φ21( ~B2) =

∫Σ1

∫S2

µ0

4 · π· i2 ·

(d~S2 × ~rr3

)· ur · dΣ1 =

µ0

4 · π·

(∫Σ1

∫S2

d~S2 × ~rr3

· ur · dΣ1

)· i2 = M21 · i2

Se si considerano i due circuiti in modo isolato si ha

Φ11( ~B1) =

∫~B1 · ~n1 · dΣ1 =

[∫µ0

4 · π·

(d~S1 × ~rr3

· u1 · dΣ1

)]· i1 = M11 · i1

Φ22( ~B2) =

∫~B2 · ~n2 · dΣ2 =

[∫µ0

4 · π·

(d~S2 × ~rr3

· u2 · dΣ2

)]· i2 = M22 · i2

I coefficienti Mij sono detti coefficienti della matrice di induzione, in particolare M11 = L1 e M22 = L2

(induttanza del circuito).

45

6.7.1 Calcolo di coefficienti di induzioneToroide rettangolare

IMMAGINE

Φ(B) = N ·∫ R+b

R

µ0 · i ·N · a2 · π · r

· dr =µ0 · i ·N2 · a

2 · π·∫ R+b

R

dr

r

=µ0 · i ·N2 · a

2 · π· log

(R+ b

R

)= L · i⇒ L =

µ0 ·N2 · a2 · π

· log

(R+ b

R

)Solenoidi coassiali rellilinei infiniti

IMMAGINEΦ12(B1) = µ0 · n1 · i1 · Σ2 · n2 · l = (µ0 · n1 · n2 · Σ2 · l) · i1 = M12 · i1Φ21(B2) = µ0 · n2 · i2 · Σ1 · n1 · l = (µ0 · n1 · n2 · Σ1 · l) · i2 = M21 · i2

Poichè ~B è un vettore sinusoidale allora ~B = ~∇× ~A~A′ non si misura e si ha che ~A′ = ~A+ ~∇s, con s una funzione scalare

~B′ = ~∇× ~A′ = ~∇× ~A+ ~∇×(~∇s)

= ~∇× ~A = ~B

~∇× ~B = ~∇×(~∇× ~A

)= µ0 ·~j

Sfruttando una proprietà di Analisi si ha che

~∇ · ~A = ~∇ · ~A+∇2s = µ0 ·~j

scegliendo s cha abbia laplaciano nullo ∇2s = 0 allora si ha

~∇ · ~A = µ0 ·~j

Ai =µ0

4 · π·∫i

ji · dτM

dτ = Σ · ds

~Ai =µ0

4 · π· i ·∮d~S1

r

Φ12 =

∫Σ2

~B1 · ~n2 · dΣ2 =

∫Σ2

(~∇× ~A

)· ~n2 · dΣ2 =

∫S2

~A1 · d~S2 =

∮µ0

4 · π· i1 ·

∮S1

d~S1 · d~S2

r=

=µ0

4 · π

∫S2

∫S1

d~S1 · d~S2

r· i1 = M12 · i1

Φ21 =

∫Σ1

~B2 · ~n1 · dΣ1 =

∫Σ1

(~∇× ~A

)· ~n1 · dΣ1 =

∫S1

~A2 · d~S1 =

∮µ0

4 · π· i2 ·

∮S2

d~S2 · d~S1

r=

=µ0

4 · π

∫S1

∫S2

d~S1 · d~S2

r· i2 = M21 · i2

Si osserva cheM12 = M21

6.8 Comportamento di materiali in un campo magneticoNella trattazione si esamineranno solo la cui suscettività magnetica è uno scalare, cioè nel caso di mate-riali isotropi.Si suppone di avere un solenoide finito, in cui scorre una corrente i, alla cui sommità è posto un dinamo-metro a cui è collegato in circuito in cui scorre una corrente i′.

Il circuito risente F = ±m · dBdz

, dBdz 6= 0 poichè si ha un solenoide finito, si ottiene che m = i′ · Σ′.Si suppone ancora che al posto del circuito vi è un campione de un materiale collegato al dinamometro.

46

6.8.1 Classificazione dei materiali

I materiali possono essere classificati in:

• Diamagnetici, se posti nel solenoide vengono debolmente respinti

• Paramagnetici, se posti nel solenoide vengono debolmente attratti

• Ferromagnetici, se posti nel solenoide vengono fortemente attratti

Si possono ipotizzare quindi che i materiali

• Diamagnetici, siano assimilabili con un circuito con i′ discorde a i

• Paramagnetici, siano assimilabili con un circuito con i′ concorde a i

• Ferromagnetici, siano assimilabili con un circuito con i′ concorde a i, ma con i′ molto grande

All’interno del solenoide vi è inizialmente un campo pari a B0, dopo l’introduzione del materiale in camposubisce una modifica e vale Bk

km =BkB0⇒

km < 1 materiali diamagneticikm > 1 materiali paramagneticikm 1 materiali ferromagnetici

Definizione 21 (Suscettività magnetica) Si definisce suscettività magnetica χm la quantità

χm = km − 1

Valori standard per la suscettività magnetica sono:

• circa −10−5 per materiali diamagnetici

• circa 10−5 per materiali paramagnetici

• circa 103 ÷ 105 per materiali ferromagnetici

χm è un valore scalare nel caso di materiali diamagnetici, mentre è dipendente dalla temperatura permateriali paramagnetici e infine è dipendente anche dal campo magnetico se il materiale è ferromagnetico.

Bk = km ·B0 = km · µ0 · n · i = µ · n · i

mu = µ0 · km, analogia con i dielettriciNei ferromagneti essendo µ funzione del campo allora occorre prestare più attenzione.

Bk −B0 = km · µ0 · n · i− µ0 · n · i = (km − 1) · µ0 · n · i = χm · µ0 · n · i

É come se vi fosse un soilenoide che genera un campo pari a B = χm · µ0 · n · i.

Un suoerconduttore è un diamagnete perfetto, ha campo interno nullo quindi χm = −1

Relazioni tra E e B

E B

P M contributo dovuto alla materia

D = ε0 · E + P H =B

µ0−M

É possibile associare ad ogni elettrone di valenza di un atomo un momento magnetico che compone ilcontributo diamagnetico del materiale.Si ha, inoltre, un contributo dovuto dovuto alla somma degli spin, se la somma degli spin è nullo allorasi ha un diamagnete altrimenti si ha un paramagnete o ferromagnete.

47

Vettore di magnetizzazione

~M =∆Nτ∆τ

· 〈~m〉 ∆Nτ > 106

∆τ < 10−18

Se si assume il volumetto ad una spira~M =

d~m

dτdm = M · dτ = M · dΣ · dzdm = dim · dΣ

⇒ dim = M · dz ⇒ im = M ·∫ h

0

dz = M · h

M =imh

= Jsn

Jsn è la densità lineare e si misura in [A][m]

Analogia~Jsn = ~M × un ' σp = ~P · un

Se il materiale non fosse omogeneo le correnti interne non si elidono, quindi sviluppando in serie ~M ′− ~M ′′

si ha che~Jm = ~∇× ~M

analogia con ρp = −~∇ · ~P ; ~Jm è la densità delle correnti interne

6.8.2 Ridefinizione del teorema di Ampere

Si introduce ~M partendo dal teorema di Ampere∮~B · d~s = µ0 · i = µ0 · (i0 + im)

1

µ0·∮

~B · d~s = i0 +

∮~M · d~s′

~M è definito solo dovevi è la materia, quindi restringendo il percorso della circuitazione si ha che∮ ( ~B

µ0− ~M

)· d~s′ = i0

~H =~B

µ0− ~M∮

~H · d~s = i0

~H =~B

µ0− ~M ⇒ ~B = µ0 ·

(~H + ~M

)[H] = [M ] = [B] = [Tesla]

Per materiali diamagnetici e paramagnetici vale che

~M = χm · ~H

per materiali ferromagnetici vale che~M = χm

(~H)· ~H

In generale

~B = µ0 ·(~H + ~M

)= µ0 ·

(~H + χm · ~H

)= µ0 · (1 + χm) · ~H = µ0 · km · ~H = µ · ~H

Nel vuoto km = 1, quindi µ = µ0

48

6.8.3 Induzione magnetica in presenza di un’interfacciaSi pone in un’interfaccia un percorso chiuso di forma rettangolare, di base dl e altezza (che interseca idue campi) dl′ = o(dl). IMMAGINE∮

~H · d~l = 0 non si hanno correnti concatenate

H1t = H2t

non si ha la componente normale, in quanto di dimensioni trascurabili

6.8.4 Comportamento di χm nei diversi materialiMateriali diamagnetici

χm = costante

Materiali paramagnetici

χm(t) =c · ρt

1a legge di Curie

Materiali ferromagnetici

χm(t) =

c · ρt− tc

t > tc comportamento simile a un paramagnete

da caso a caso t < tc

Se il ferromagnete è posto ad alte temperatura, al di sopra della sua temperatura critica (tc), si ha laperdita irreversibile della proprietà magnetica.Un ferromagnete ha una struttura divisa in regiori di grandezza non trascurabile, tali regioni sono divisedalle pareti di Block.Dalle formule sopra esposte si ha che nei diamagneti e nei paramagneti χm ha un andamento lineare,mentre nei ferromagneti si ha un ciclo detto di isteresi (caratteristico di ogni materiale). IMMAGINELord Raylegh dimostro che se i campi sono piccoli si ha un ciclo di isteresi universali, non si ha mai lasaturazione.

M = α · (H ±HM )± β · (H ±HM )2 ∓MM

Si osserva che M = M(H) e α, β sono costati che dipendono dal materiale. IMMAGINE

Esercizio 7 Uno ione di carica q viene accellerato mediante una d.d.p. V e penetra successivamentecon velocita ~v0 in una regione dello spazio dove esistono un campo elettrico ~E e un campo magnetico ~Bentrambi uniformi: il campo magnetico è diretto come vecv0 e il campo elettrico è perpendicolare a ~v0.Determinare la traiettoria dello ione.All’uscita del condensatore lo ione ha energia cinetica

1

2·m · v0

2 = q · V ⇒ v0 =

√2 · q · Vm

IMMAGINE Dai dati del problema e dalle supposizioni fatte nel grafico si ha che

• ~B0 = B0 · uz

• ~E0 = E0 · ux

• ~v0 = v0 · uz

m · ~a = ~FL + ~Fg + ~Fatt

Non si considerano gli effetti gravitazionali e di attrito in quanto li si suppongono trascurabili.

~a =~FLm

=q ·(~E + ~v × ~B

)m

Occorre osservare che ~v 6= ~v0

~v × ~B =

∣∣∣∣∣∣i j kvx vy vz0 0 B0

∣∣∣∣∣∣ = (vy ·B0) · i− (vx ·B0) · j + 0 · k

49

d2x

dt2=

q

m· E0 +

q

m· vy ·B0 =

q

m· E0 +

q

m·B0 ·

dy

dt

d2y

dt2= − q

m·B0 ·

dx

dt

d2z

dt2= 0

Si suppone, per ottenere le condizioni iniziali, che al tempo t = 0 la carica si trova nell’origine quindix(0) = 0 y(0) = 0 z(0) = 0

dx

dt

∣∣∣∣t=0

= 0 dydt

∣∣∣t=0

= 0 dzdt

∣∣t=0

= v0

Integrando rispetto al tempo d2xdt2 e sfruttando le condizioni iniziali si ha che

dx

dt− dx

dt

∣∣∣∣t=0

=q

m· E0 · t+

q

m·B0 · (y(t)− y(0))⇒ dx

dt=

q

m· E0 · t+

q

m·B0 · y

Sostituendo dxdt appena calcolato nell’equazione d2y

dt2 si ha

d2y

dt2= − q

m·B0 ·

( qm· E0 · t+

q

m·B0 · y

)⇒ d2y

dt2+

q2

m2·B2

0 · y = − q2

m2· E0 ·B0 · t

Si tratta di risolvere un’equazione differenziale del secondo ordine non omogenea, y(t) = yo(t) + yp(t)

d2yodt2

+q2

m2·B2

0 · yo = 0⇒ yo(t) = A · sin(q ·B0

m· t+ Φ

)A e Φ sono dipendenti dalle condizioni inizialiLa soluzione particolare, yp, si ricava per tentativi

yp = c · t

d2ypdt2

+q2

m2·B2

0 · yp = − q2

m2· E0 ·B0 · t⇒

⇒ q2 ·B02

m2· c · t = −q2 · E0 ·B0

m2· t⇒ c = −E0

B0

y(t) = yo(t) + yp(t) = A · sin(q ·B0

m· t+ Φ

)− E0

B0· t

Cercando ad applicare le condizioni a contorno occorre conoscere anche dydt

dy

dt=q ·B0

m·A · cos

(q ·B0

m· t+ Φ

)− E0

B0y(0) = 0 = A · sin

(q ·B0

m· t+ Φ

)− E0

B0· t = A · sin(Φ)⇒ Φ = 0

dy

dt

∣∣∣∣t=0

= 0 =q ·B0

m·A · cos(0)− E0

B0⇒ A =

m · E0

q ·B02

y(t) =m · E0

q ·B02 · sin

(q ·B0

m· t)− E0

B0· t

Per il calcolo di x(t)si utilizza la relazione d2ydt2 = − q

m ·B0 · dxdy , in quanto risulta più semplice

dx

dt= − m

q ·B0· d

2y

dt2

d2y

dt2= −m · E0

q ·B02 ·(q ·B0

m

)2

· sin(q ·B0

m· t)

50

dx

dy=

m

q ·B0·m · E0

q ·B02 ·(q ·B0

m

)2

·sin(q ·B0

m· t)

=m2 · E0 · q2 ·B0

2

q2 ·B03 ·m2

·sin(q ·B0

m· t)

=E0

B0·sin

(q ·B0

m· t)

x(t) =

∫ t

0

E0

B0· sin

(q ·B0

m· t)· dt+ x(0) = −m · E0

q ·B02 · cos

(q ·B0

m· t)

z(t) = v0 · t

Lo ione ha quindi traiettoria

x(t) = −m · E0

q ·B02 · cos

(q ·B0

m· t)

y(t) =m · E0

q ·B02 · sin

(q ·B0

m· t)− E0

B0· t

z(t) = v0 · t

Si osserva che anche in condizioni particolarmente semplificative, come nell’esercizio proposto, si hannonotevoli complicazioni calcolative.

Esercizio 8 Un cilindro indefinito di raggio R è percorso da una corrente di intensità i. Trovare laleggge con cui la densità di corrente dipende da r (r distanza dall’asse del filo) in modo che B siacostante all’interno del cilindo. IMMAGINE Si prende una circonferenza di raggio r centrata sull’asse,per il teorema di Ampere si ha ∮

~B · d~l = µ0 · i′

Poichè si vuole B costante all’interno del cilindro si ha

B ·∮dl = B · 2 · π · r = µ0 · i′ = µ0 ·

∫ r

0

~j · ~n · dΣ′ = µ0 ·∫ r

0

j(r′) · 2 · π · r′ · dr′

B · 2 · π · r = 2 · π · µ0 ·∫ r

0

j(r′) · r′ · dr′

B · r = µ0 ·∫ r

0

j(r′) · r′ · dr′

Derivando rispetto a r si ha

B = µ0 · j(r) · r ⇒ j(r) =B

µ0 · r

i =

∫ R

0

j(r) · dΣ =

∫ R

0

B

µ0 · r· 2 · π · r · dr =

B

µ0· 2 · π ·R⇒ B =

µ0 · i2 · π ·R

Esercizio 9 Nel circuito in fugura gli archi BC e AD sono un quarto di circonferenze concentriche ilcui centro è nel punto O e di raggi rispettivamente r1 e r2. Supponendo che tale circuito sia percorsoda corrente stazionaria i0, calcolare l’intensità del campo magnetico nell’origine. IMMAGINE Si risolvel’esercizio applicando esplicitamente la 1a legge di Laplace

B =µ

r · π· i0 ·

∮d~s× urr2

=µ0

4 · π· i0 ·

[∫ B

A

d~s× urr2

+

∫ C

B

d~s× urr2

+

∫ D

C

d~s× urr2

+

∫ A

D

d~s× urr2

]∫ B

A

d~s× urr2

=

∫ D

C

d~s× urr2

= 0 poichè d~s‖ur

Negli integrali restanti d~s ⊥ ur

B =µ0

4 · π· i0 ·

[1

r12·∫ C

B

ds− 1

r22·∫ A

D

ds

]=

µ0

4 · π· i0 ·

[1

r12· π · r1

2− 1

r22· π · r2

2

]=µ0

8· i0 ·

(1

r1− 1

r2

)

51

6.9 Smagnetizzazione di un magnete

Per smagnetizzare un magnete si possono procedere tre strade distine:

• scaldando il magnete, ma modifica strutturalmente il materiale

• fornendo al magnete grandi sollecitazione meccaniche, ma anche in questo caso si ha una sostanzialemodifica della struttura del materiale

• si effettuano infiniti cicli di isteresi di piccola ampiezza (non fino alla saturazione), in questo modola struttura del magnete non subisce “strappi” e si può avere un momento magnetico nullo (magnetesmagnetizzato).

Nel caso di un materiale non omogeneo si ha

~∇× ~M = ~∇×(χm · ~H

)= ~∇ · χm × ~H + χm · ~∇× ~H

Nel caso in cui si ha:

un materiale omogeneo ~∇× ~M = χm · ~∇× ~H = χm · Jmacroscopica

un materiale non omogeneo ~∇× ~M 6= Jmacroscopica

6.10 Legame tra campo elettrico e campo magnetico

In base alle definizioni poste nel corso del capitolo vi avrà una modificazione delle definizioni di ~∇× ~B e~∇× ~E rendendole estese anche nel caso di campi non statici.Si osserverà che le definizioni di ~∇× ~B e ~∇× ~E verranno accoppiate.Tali legami si sono potuti avere grazie:

• agli esperimenti effettuati da Faraday

• alla formalizzazione degli esperimenti da parte di Maxwell

• alle applicazioni proposte da Tesla

6.10.1 Esperimenti di Faraday

Faraday effettuò una serie di esperimenti tra cui i più significativi sono semplicemente due.

1. Si muove una calamite verso un circuito, composto unicamente da un resistore e un galvanometro,si osserva che nel circuito si ha un passaggio di corrente.

2. Si muove un circuito, composto da un generatore di tensione e un resistore, verso un circuito,composto da un resistore e un galvanometro; oppure aprendo e chiudendo un interruttore sul primocircuito; in entrambi i casi il galvanometro segna passaggio di corrente.

6.11 Terza e Quarta equazione di Maxwell

Tutti gli esperimenti effettuati da Faraday sono legati dalla modificazione del flusso magnetico, pertantosi ha

Teorema 3 (Legge di Faraday - Lens)

εindotta = −∂∫

Σ~B · ~n · dΣ

∂t

In un circuito con n resistore di valore R e una differenza di potenziale genera una corrente

iindotta = − 1

R·∂∫

Σ~B · ~n · dΣ

∂t

52

É bene notare che la presenza del segno − è interpretabile nel seguente modo: si genera un nuovo campomagnetico che “tende” a rallentare la variazione del flusso magnetico.

εindotta =

∮~Eindotta · d~l = −

∂∫

Σ~B · ~n · dΣ

∂t

Poichè la εindotta 6= 0 allora il campo elettrico indotto, ~Eindotto, non è conservativo.Per il teorema di Gauss (analisi)∮

~Eindotto · d~l =

∫Σ

(~∇× ~E

)· ~n · dΣ Σ è una superficie racchiusa da l

∫Σ

(~∇× ~E

)· ~n · dΣ = −

∂∫

Σ~B · ~n · dΣ

∂t⇒ ~∇× ~E = −∂

~B

∂tterza equazione di Maxwell completa

Poichè ~B è un vettore solenoidale allora ~B = ~∇× ~A da cui

~∇× ~E = −∂~∇× ~A

∂t⇒ ~∇×

[~E +

∂ ~A

∂t

]= 0 =⇒ ~E +

∂ ~A

∂t= −~∇V

~E = −~∇V − ∂ ~A

∂t

Nel caso statico ~A è indipendente dal tempo quindi ∂ ~A∂t = 0⇒ ~E = −~∇V . Occorre ricordare che

~∇ · ~B = 0 ~B = ~∇× ~A

~∇×(~∇× ~B

)= 0

Nel caso statico ~∇×(~∇× ~B

)= µ0 · ~∇ · ~J = 0.

In generale~∇ · ~J =

∂ρ

∂t

pertanto occorre aggiungere una nuova condizione per rendere nullo ~∇×(~∇× ~B

)~∇×

(~∇× ~B

)= µ0 · ~∇ ·

[~J + ε0 ·

∂ ~E

∂t

]= µ0 ·

[~∇ · ~J + ε0 ·

∂~∇ · ~E∂t

]= µ0 ·

[−∂ρ0

∂t+ ε0 ·

∂ ρ0

ε0

∂t

]= 0

La serie di uguaglianze è valida in quanto ~∇ · ~E =ρ0

ε0Si è quindi anche ricavata la quarta equazione di Maxwell

~∇× ~B = µ0 · ~J + µ0 · ε0 ·∂ ~E

∂t= µ0 · ~J +

1

c2· ∂

~E

∂t

6.12 Legge di FeliciLa legge di Felici fornisce un legame tra la carica indotta in un circuito e il flusso magnetico.

iindotta = − 1

R· ∂Φ( ~B)

∂t

poichè i = ∂q∂t

iindotta =∂qindotta

∂t= − 1

R· ∂Φ( ~B)

∂tintegrando rispetto al tempo tra il tempo 0 e il tempo t∫ t

0

∂qindotta∂τ

= − 1

R·∫ t

0

∂Φ( ~B)

∂τ

qindotta(t)− qindotta(0) = −Φf ( ~B)− Φi( ~B)

Rqindotta(0) = 0

qindotta(t) = −Φf ( ~B)− Φi( ~B)

R= −∆Φ( ~B)

R

53

Esempio 7 Si pone un circuito in un campo magnetico e lo si sposta in una regione di spazio con campomagnetico nullo.Per la legge di Felici si ha che

qindotta =Φf ( ~B)

R=Biniziale · Σ

R⇒ B =

R · qindottaΣ

Pertanto si può avere una misura del campo magnetico, conoscendo la resistenza del circuito, la caricaindotta e l’area del circuito.

6.13 Forza elettromotrice e correnti indotte

Si ha un circuito come in figura il cui lato MN è mobile, tale circuito è immerso in un campo magneticocostante perpendicolare al circuito. IMMAGINE Gli elettroni nel tratto mobile risentono della forza diLorentz

~FL = q · ~v × ~B

nel caso specifico poichè ~v ⊥ ~B

FL = q · v ·B

Si può ipotizzare la presenza di un campo legato alla forza di Lorentz

~EL =~FLq

= ~v × ~B

εMN

= −∫ N

M

~v × ~B · d~s

Nel caso specifico εMN

= −v ·B · b

Φ( ~B) =

∫~B · ~n · dΣ = B ·

∫dΣ = B · Σ = B · b · x

∂Φ( ~B)

∂t= B · b · ∂x

∂t= B · b · v

Si osserva che

εMN

= −∂Φ( ~B)

∂tlegge di Faraday-Lens

εMN

= −∮~v × ~B · d~s = −

∫ N

M

~v × ~B · d~s

iL =εiR

= −v · b ·BR

Poichè il circuito è attraversato da correnteper la seconda legge di Laplace allora il circuito risente di unaforza.

d~F = i · d~s× ~B

poichè d~s× ~B allora

FMN

=

∫ N

M

i · d~s× ~B = i ·B ·∫ N

M

ds =B · b · bR

·B · b =B2 · b2

R· v

La forza è diretta nel senso opposto della velocità, è una forza di attrito che tende a rallentare la variazionedel flusso magnetico.La potenza dissipata è

P = ~F · ~v =B2 · b2

R· v2

In un circuito in genere la potenza dissipata vale P = i2 ·R da cui

P = i2 ·R =

(B · b · vR

)2

·R =B2 · b2 · v2

R

54

6.13.1 Spira rettanglare che ruota attorno al suo asse

La spira ruota con velocità angolare costante ω.IMMAGINE

ε =

∮~v × ~B · d~s

Si può dimostrare che nel calcolo, nella situazione specifica, resano nel calcolo solo le parti verticali dellaspira.

ε =

∫ A

D

~v × ~B · d~s+

∫ D

C

~v × ~B · d~s = 2 · v ·B · sin(ϑ) = 2 · v ·B · b · sin(ω · t)

i =ε

R=

2 · v ·B · b · sin(ω · t)R

poichè la spira ruota con velocità v = ω · a

i =2 · a · b ·B · ω

R· sin(ω · t) = i0 · sin(ω · t)

i0 =2 ·B · a · b · ω

R

Definizione 22 (Potenza media) Poichè la corrente varia nel tempo anche la potenza varia nel tempo,pertanto si definisce la potenza media

P =1

T·∫ T

0

i2(t) ·R · dt

poichè il periodo è costante e vale T = 2·πω

P =1

2·πω

·∫ 2·π

ω

0

i02 · sin2(ω · t) ·R · dt =

R · i02 · ω2 · π

·∫ 2·π

ω

0

sin2(ω · t) · dt =

=R · i02 · ω

2 · π·[t

2− sin(ω · t) · cos(ω · t)

2 · ω

] 2·πω

0

=R · i02 · ω

2 · π· πω

=R · i02

2

Definizione 23 (Corrente efficace) Si definisce quindi una corrente efficace, una corrente costanteche dia come risultato la stessa potenza media

P = R · Ieff 2 ⇒ Ieff2 =

i02

2⇒ Ieff =

I0√2

Definizione 24 (Tensione efficace) Si definisce una tensione efficace, una tensione costante che diacome risultato la stessa potenza media

Veff =V0√

2

Esempio 8 (Circuito con barra mobile in presenza di un generatore) Si ha il seguente circuitoIMMAGINE la velocità con cui la barra mobile è costante e che il campo magnetico è perpendicolare alcircuito.Si considera il comportamento del circuito considerando sia l’attrito radente che l’attrito opposto dall’aria.

ε0 + εi = i ·R⇒ i =ε0 + εiR

=ε0 −B · b · v

R

Poichè il problema è unidimensionale allora si possono tralasciare i simboli di vettore.

F = m · a = m · dvdt

= i ·B · b− F0 − k · v

i ·B è data dalla seconda legge di LaplaceF0 è la forza di attrito radente

k · v è la forza di attrito opposta dall’aria

55

m · dvdt

=ε0 −B · b · v

R·B · b− F0 − k · v ⇒

dv

dt=B · b · (ε0 −B · b · v)− (R · F0 +R · k · v)

R ·mdv

dt= −v · (B

2 · b2 + k ·R)− ε0 ·B · b+ F0 ·RR ·m

⇒ dv

v · (B2 · b2 + k ·R)− ε0 ·B · b+ F0 ·R= − dt

m ·R

dv

v − ε0 ·B · b− F0 ·RB2 · b2 + k ·R

= −B2 · b2 + k ·Rm ·R

· dt

integrando tra il tempo 0 e il tempo t si ha

∫ v(t)

0

dv

v − ε0 ·B · b− F0 ·RB2 · b2 + k ·R

= −B2 · b2 + k ·Rm ·R

·∫ t

0

dτ ⇒ log

v(t)− ε0 ·B · b− F0 ·RB2 · b2 + k ·R

−ε0 ·B · b− F0 ·RB2 · b2 + k ·R

= −B2 · b2 + k ·Rm ·R

·t

v(t)− ε0 ·B · b− F0 ·RB2 · b2 + k ·R

−ε0 ·B · b− F0 ·RB2 · b2 + k ·R

= e−B2·b2+k·R

m·R ·t ⇒ v(t) =ε0 ·B · b− F0 ·RB2 · b2 + k ·R

·(

1− e−B2·b2+k·R

m·R ·t)

poichè si ha un esponenziale negativo dopo poco tempo l’esponensiale è praticamente nullo, quindi si avràuna tensione costante

v = v(+∞) =ε0 ·B · b− F0 ·RB2 · b2 + k ·R

Esempio 9 (Funzionamento dei vecchi interruttori, motivo della scossa all’apertura dello stesso)IMMAGINE

Φ(B) = L · i

Si inizia supponendo che il circuito al tempo t = 0 viene chiuso, pertanto per la legge di Faraday-Lens

εL = −dΦ

dt= −L · di

dt− i · dL

dt

Il secondo termine è nullo solo se il circuito è indeformabile (in questo caso si suppone il circuito inde-formabile).Poichè si ha una variazione di flusso si ha una tensione indotta

ε0 + εi = R · i⇒ ε0 − L ·di

dt= R · i⇒ L · di

dt+R · i = ε0

Per risolvere l’equazione differenziale sopra è necessaria una condizione iniziale i(0) = 0.

di

dt=ε0

L− R

L· i =

ε0 −R · iL

= −R · i− ε0

L⇒ di

R · i− ε0= −dt

L⇒ di

i− ε0R

= −RL· dt

integrando dal tempo 0 al tempo t si ha∫ i(t)

0

di

i− ε0R

= −RL·∫ t

0

dτ ⇒ log

(i(t)− ε0

R

− ε0R

)= −R

L·t⇒ i(t)−ε0

R= −ε0

R·e−RL ·t ⇒ i(t) =

ε0

R·(

1− e−RL ·t)

iind =εiR

= −LR· didt

= −LR· ε0

R·(R

L

)e−

RL ·t = −ε0

R· e−RL ·t

Osservando i risultati ottenuti si osserva che la i indotta diminuisce nel tempo. Si considera ora lasituazione opposta, cioè la situazione nel quale l’interruttore viene aperto al tempo t = 0

i(0−) =ε0

R

aprendo l’interruttore si ha una variazione di flusso e una nuova resistenza R′ (R′ R).

ε0 + εl = R′ · i⇒ ε0 − L ·di

dt= R′ · i⇒ L · di

dt+R′ · i = ε0

di

dt= −R

′ · i− ε0

L⇒ di

i− ε0R′

= −R′

L· dt

56

integrando si ha ∫ i(t)

ε0R

di

i− ε0R′

= −R′

L·∫ t

0

dτ ⇒ log

(i(t)− ε0

R′ε0R −

ε0R′

)= −R

′

L· t

i(t)− ε0R′

ε0R −

ε0R′

= e−R′L ⇒ i(t) =

ε0

R′+(ε0

R− ε0

R′

)· e−R

′L =

ε0

R′·[1 +

(R′

R− 1

)· e−R

′L ·t]

t→ 0 i(t) ≈ ε0

R′· R′

R· e−R

′L ·t =

ε0

R· e−R

′L ·t

La tensione indotta vale

εi(t) = −L · didt

= −L · ε0

R·(−R

′

L

)· e−R

′L ·t =

ε0 ·R′

R· e−R

′L ·t

t→ 0+ εi =R′

R· ε0

poichè R′ R allora εi(0+) è molto grande, poichè molto porbabilmente supera la rigidità dielettrica

dell’area e quindi si genera un fulmine, cioè la scintilla che si ha alla chiusura dell’interruttore.

Esercizio 10 Una spira circolare di raggio a = 5cm costituita da un filo conduttore di sezione S = 1mm2

e resistività ρ = 1.7 ·10−8 Ωm viene portaa da una regione in cui esiste un campo B = 0.5T , diretto secondo

un angolo α = 60 rispetto alla normale al piano della spira, in una regione in cui il campo è nullo. Qualeè la carica totale che percorre la spira in conseguenza di tale spostamento?Si ha una variazione del flusso magnetico, quindi si ha una corrente indotta e anche delle cariche simuovono.

ii = − 1

R· ∂Φ(B)

∂t

qi =

∫ +∞

0

ii · dt = − 1

R·∫ Φ(t=+∞)

Φ(t=0)

∂Φ(B)

∂t· dt = − 1

R·∫ Φ(t=+∞)

Φ(t=0)

dΦ(B) =Φt=0(B)

R=B · cos(α) · Σ

R

Φt=0(B)

R=B · π · a2

2 ·RR = ρ · 2 · π · a

S

Φt=0(B)

R=

B · π · a2

ρ · 2·π·aS · 2

=B · S · a

4 · ρ=

0.5 · 5 · 10−2 · 10−6

4 · 1.7 · 10−8=

2.5

6.8C ≈ 0.368C

Esercizio 11 Un lungo filo rettilineo è percorso da una corrente di intensità variabile con legge

i(t) = i0 · sin(ω · t)

Nel piano del filo è posto un pacchetti di N spire quadrate di lato a con un lato del quadrato parallelo alfilo. La distanza dal filo rettilineo al lato più vicino delle spire quadrate è b.Determinare

1. il flusso dell’induzione magnetica attraverso il filo

2. la forza elettromotrice ai capi del pacchetto di spire

3. l’ampiezza della forza elettromotrice nel caso particolare che i0 = 1A, N = 1000, ω = 2 · π · 50Hze a = b = 10cm.

B =µ0

2 · pi · r· i0 · sin(ω · t) sulla spira B non è costante

Φ1( ~B) =

∫~B · ~n · dΣ =

∫ a+b

b

µ0 · i0 · sin(ω · t)2 · π · r

· a · dr =µ0 · i0 · sin(ω · t) · a

2 · π·∫ a+b

b

dr

r=

=µ0 · i0 · sin(ω · t) · a

2 · π· log

(b+ a

a

)ΦN ( ~B) = N · Φ( ~B) =

µ0 · i0 ·N · sin(ω · t) · a2 · π

· log

(b+ a

a

)poichè il flusso è dipendente dal tempo allora avrò una corrente/teonsione indotta

εi = −∂ΦN ( ~B)

∂t=µ0 · i0 ·N · ω · a

2 · π· log

(b+ a

a

)· cos(ω · t) = ε0 · cos(ω · t)

57

Esercizio 12 Una spira circolare di raggio a = 1cm viene fatta ruotare in un campo magnetico uniforme(H = 106 A

m

)attorno a un suo diametro normale alle linee del campo magnetico (la resistenza della spira

è R = 10Ω).Quale lavoro si deve compiere per mantenere in moto la spira con velocità angolare costante ω = 314 radsec ?(Si trascurino l’autoinduzione e gli eventuali attriti).

ii = − 1

R· ∂Φ(H)

∂t= − 1

R· ∂Φ(B)

∂t∫~B · ~n · dΣ = B · Σ · cos(ω · t) = µ0 ·H · π · a2 · cos(ω · t)

∂Φ( ~B)

∂t= −µ0 · ω ·H · π · a2 · sin(ω · t)⇒ ii =

µ0 ·H · π · a2 · ω · sin(ω · t)R

= i0 · sin(ω · t)

i0 =µ0 · ω ·H · π · a2

R

P = i2(t) ·R = i02 ·R · sin2(ω · t)

P =1

T·∫ t

0

p(τ) · dτ =i0

2 ·R2

=µ2

0 ·H2 · π2 · a4 · ω2

2 ·R=dQ

dt

Esercizio 13 Una spira rettangolare avente lati a, e b e resistenza R giace nel piano xy (di figura) epuò ruotare attrorno al vertice A. Se il campo ~B è dato dall’espressione

~B = 3 · c · x · k

Si calcoli la variazione di flusso quando la spira ruota di 90 e passa dalla posizione 1 alla posizione 2;la carica che percorre la spira durante lo stesso spostamento. IMMAGINE

qind = −Φ2 − Φ1

R

Φ1 =

∫~B · ~n · dΣ1 = dΣ1 = b · dx

=

∫ d

d−a3 · c · x · b · dx = 3 · c · b ·

[x2

2

]dd−a

=3

2· c · b ·

(d2 − d2 + 2 · a · d− a2

)= 3 · a · b · c · d− 3

2· a2 · b · c

Φ2 =

∫~B · ~n · dΣ2 = dΣ2 = a · dx

=

∫ d+b

d

3 · c · x · a · dx = 3 · c · a ·[x2

2

]d+b

d

=3

2· c · a

(d2 + 2 · b · d+ b2 − d2

)= 3 · a · b · c · d+

3

2· a · b2 · c

Q =Φ1 − Φ2

R=

3 · a · b · c · d− 32 · a

2 · b · c− 3 · a · b · c · d− 32 · a · b

2 · cR

= −3

2· a · b · c

R· (a+ b)

6.13.2 Energia assorbita nel campo magnetico

Analizzando il problema in una condizione molto semplificata IMMAGINE

ε+ εi = R · i⇒ ε− L · didt

= R · i

ε · i− i · L · didt

= R · i2

Si ricava l’energia associata al circuito

W =

∫P · dt⇒

∫ε =

∫R · i · dt+ L ·

∫i · didt· dt = ∆Q+ L · i

2

2

Il campo magnetico ~B è legato alla corrente del circuito, in particolare Φ( ~B) = L · i.

58

6.13.3 Densita di energia magneticaIn un solenoide infinito posto L = µ0 · n2 · σ · d

UM =1

2· L · i2 =

1

2· µ0 · n2 · Σ · d · i2 =

1

2 · µ0·(µ0

2 · n2 · i2)· Σ · d =

1

2 · µ0·B2 · Σ · d

WM =UMΣ · d

=B2

2 · µ0

In un problema dato ~A, se ho un materiale

µ0 → µ = km · µ0

~B = ~∇× ~A

1

2

∫τ

B2

2 · µ· dτ

Se il materiale è ferromagnetico B = B(x) e µ = µ(B(x))

WM =UMτ

=B

2 · µ0

poichè nel vuoto ~B = µ0 · ~H si ha che ~H =~Bµ0

e quindi

WM =UMτ

=~H · ~B

2

UM =

∮~H · d ~B

Tale valore rappresente l’area racchiusa dal ciclo di isteresi del materiale

6.13.4 Pressione magneticaNelle applicazioni la pressione magnetica è molto importante, in quanto sono estremamente limitati i casiin cui è possibile trascurara la pressione magnetica.Un circuito collegato a un generatore di corrente costante e tale circuito ha la possibilità di deformarsiquindi

dUM =i2

2· dL

dW = εi · i · dt

εi = −i · dLdt

dW = −i2 · dLdt· dt = −i2 · dL

dUtot = dW + dUM = −i2 · dL+i2

2· dL = − i

2

2· dL = −dUM

In generale ~F = −~∇U , da cui~F = ~∇UM

~UM =L

2· i2 =

B2

2 · µ0· π · r2 · d

se il solenoide è infinito allora è idealmente unidimensionale

F =dUMdt

=d(B2

2·µ0· π · r2 · d

)dt

=B2

2 · µ0· 2 · π · r · d =

B2

2 · µ0· Σlat ⇒ PM =

F

Σlat=

B2

2 · µ0

Esempio 10 Si ha un solenoide, all’interno si pone per un tratto un cilindro, di egual sezione del sole-noide, di materiale.IMMAGINE si usa l’approssimazione di solenoide infinito R

d 1

L = µ · n2Σ · x+ µ0 · n2 · Σ · (d− x)

UM =1

2· L · i2

F =∂UM∂x

=1

2·(µ · n2 · Σ− µ0 · n2 · Σ

)·i2 =

1

2(km·µ0·n2·Σ−µ0·n2·Σ)·i2 =

1

2·µ0·n2·Σ·(km−1)·i2 =

1

2·µ0·n2·Σ·χm·i2

59

6.13.5 TrasformatoreDalla legge di Joule si ha che P = i2 ·R IMMAGINE attraverso l’uso delle leggi di Kirchhoff si ha

ε(t)− L1 ·dI1dt−M · dI2

dt= I1 ·R1

−L2 ·dI2dt−M · dI1

dt= I2 ·R2

Supponiamo che ε(t) sia alternata, quindi si ipotizza una soluzione simile alla seguente

ε(t) = ε0 · ei·ω·t

I1(t) = I01 · ei·(ω·t+ϕ1)

I2(t) = I02 · ei·(ω·t+ϕ2)

ε(t)− L1 · ω · i · I1(t)−M · ω · i · I2(t) = I1 ·R1

−L2 · i · ω · I2(t)−M · i · ω · I1(t) = I2 ·R2

⇒

I1 =

(R2 + i · ω · L2) · ε(t)(R1 + i · ω · L1) · (R2 + i · ω · L2) + ω2 ·M2

I2 =i · ωM · ε(t)

(R1 + i · ω · L1) · (R2 + i · ω · L2) + ω2 ·M2

I1I2

= −R2 + i · ωL2

i · ω ·Mnei sistemi applicativi si ha che R2 ω · L2 pertanto

I1I2' i · ω ·M ·R2 − ω2 ·M · L2

ω2 ·M2=i · ω ·R2 − ω2 · L2

ω2 ·M' −L2

M

L2 = µ · N22

d2· Σ · d

M = µ · N1 ·N2

d2· Σ · d

⇒ L2

M=N2

N1

I2 ' −N1

N2· I1

i2 ·R2

ε(t)' −N2

N1⇒ v2 = −i2 ·R2 '

N2

N1· ε(t)

Si osserva quindi che manipolando il numero di spire del trasformatore si può modificare la corrente/ten-sione di utilizzo (i2/v2) in un modo semplice.

Dimostrazione 9 (La matrice di autoinduzione è simmetrica) Supponiamo che IMMAGINE Sipossono effettuare due casi diversi

Caso 1 Si chiude prima il circuito uno

U1 =1

2· L1 · i12 +

1

2· L2 · i22 +

∫M21 ·

di2dt· i1 · dt

M21 · di2dt è la tensione generata dal circuito due sul circuito uno

U1 =1

2· L1 · i12 +

1

2· L2 · i22 +M21 · i1 · i2

Caso 2 Si chiude prima il circuito due

U2 =1

2· L2 · i22 +

1

2· L1 · i12 +

∫M12 ·

di1dt· i2 · dt

U2 =1

2· L2 · i22 +

1

2· L1 · i12 +M12 · i2 · i1

Poichè lo stato finale è indupendente da quale circuito si chiude per primo allora

U1 = U2 ⇒M12 = M21

Nel caso di N circuiti

UM =1

2·

N∑k,j=1

Mkj · ik · ij

60

6.14 Calcolo della corrente in circuiti RLCNel caso di circuito posto con un filo di materiale semiconduttivo (tenuto a temperatura in cui R = 0Ωè equivalente al seguente circuito IMMAGINE pertanto, supponendo che il circuito sia indeformabile, siha

VC = VL ⇒q

C= −L · di

dt

derivando rispetto al tempo si ha

i

C= −L · d

2i

dt2⇒ d2i

dt2+

i

L · C= 0

si osserva che il risultato è l’equazione del moto armonico e quindi

i(t) = A · sin(

1

L · C· t+ ϕ

)Se il resistore non ha valore nullo in circuito da analizzare sarà il seguente IMMAGINE supponendo cheal tempo t = 0 l’interruttore venga chiuso si ha

VL = VC + VR

−L · didt

=q

C+ i ·R⇒ −L · di

dt=

∫i · dt

C+ i ·R

si osserva che l’ultima equazione è una equazione integro-differenziale, pertanto derivando rispetto altempo si ha

−L · d2i

dt2=

i

C+di

dt·R⇒ L · d

2i

dt2+R · di

dt+

1

C· i = 0

per risolvere l’equazione sopra, equazione differenziale del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti,occorre imporre due condizioni a contorno (condizioni iniziali)

i(0) = 0

di

dt

∣∣∣∣t=0

= − q0

L · C

Si osserva che l’espressione è analoga all’equazione del moto di una molla sottoposta al solo attrito viscoso.

m · d2x

dt2+ λ · dx

dt+ k · x = 0

Se nel circuito fose presente un generatore di tensione costante ε0 non si ha la modificazione dell’equazionedifferenziale ma solo di una sua condizione a contorno i(0) = ε0

R .Dall’equazione differenziale si osserva subito che i(t) ∝ eβ·t con β ∈ R

L · β2 · eβ·t +R · β · eβ·t +eβ·t

C= 0⇒ L · β2 +R · β +

1

C= 0⇒ β2 +

R

L· β +

1

L · C= 0

β =−RL ±

√(RL

)2 − 4L·C

2= − R

2 · L·

(1±

√1− 4

R2 · C

)

Posto ∆ =(RL

)2 − 4L·C si ha

∆ > 0

i(t) = e−R

2·L ·(A · e

√∆2 ·t +B · e−

√∆2 ·t)

∆ = 0i(t) = e−

R2·L ·t · (A+B · t)

∆ < 0 Si hanno radici complesse(√

∆ = i ·√|∆|)

i(t) = eR

2·L ·t ·(A · ei·

√|∆|2 ·t +B · e−i·

√|∆|2 ·t

)61

poichè è necessario che A+B = 0⇒ B = −A

i(t) = A · e R2·L ·t ·

(ei·√|∆|2 ·t − e−i·

√|∆|2 ·t

)

inoltre poichèei·x − ei·x

2 · i= sin(x) si ha

i(t) = 2 · i ·A · e R2·L ·t · sin

(√|∆|2· t

)

Rappresentando le tre soluzioni di i(t) si osserva che dopo un lasso di tempo molto breve la rispostatransitoria si elimina, dando quindi corrente sarà praticamente nulla.

6.14.1 Circuito RLC con generatore non costanteSi ha il seguente circuito IMMAGINE

ε(t) + VL = VC + VR

ε(t)− L · didt

=q

C+ i ·R⇒ L · d

2i

dt2+R · di

dt+

i

C=dε(t)

dt

É una equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenea, quindi ha soluzione

i(t) = io(t) + ip(t)

La soluzione dell’omogenea associata, io(t), è stata già calcolata in precedenza

io(t) =

e−R

2·L ·

(A · e

√(RL )

2− 4L·C

2 ·t +B · e−√

(RL )2− 4L·C

2 ·t

) (RL

)2 − 4L·C > 0

e−R

2·L ·t · (A+B · t)(RL

)2 − 4L·C = 0

2 · i ·A · e R2·L ·t · sin

√∣∣∣(RL )2− 4

L·C

∣∣∣2 · t

(RL

)2 − 4L·C < 0

Per ricavare la soluzione particolare occorre conoscere bene la formulazione di ε(t).Si sceglie

ε(t) = ε0 · cos (ω · t+ ϕ)

anche se la scelta può sembrare arbitraria si può subito intendere che si ottiene un risultato estremamentegenerale; attraverso l’analisi di Fourier una qualsiasi funzione periodica può essere espressa mediante lasomma di infinite sinusoidi e cosinusoidi (sinusoidi sfasate di 90).

dε(t)

dt= −ε0 · ω sin(ω · t+ ϕ)

L · d2i

dt2+R · di

dt+

i

C= −ε0 · ω sin(ω · t+ ϕ)

Si suppone cheiP (t) = I0 · cos(ω · t)

occorre ricavare I0 in modo che l’equazione differenziale precedente sia valida

−L · I0 · ω2 · cos(ω · t)− I0 ·R · ω · sin(ω · t) +I0C· cos(ω · t) = −ε0 · ω · sin(ω · t+ ϕ)

Sfruttando la relazione trigonometrica

sin(α± β) = sin(α) · cos(β)± sin(β) · cos(α)

si ha

−L ·I0 ·ω2 ·cos(ω · t)−I0 ·R ·ω · sin(ω · t)+I0C·cos(ω · t) = −ε0 ·ω · sin(ω · t) ·cos(ϕ)−ε0 ·ω · sin(ϕ) ·cos(ω · t)

cos(ω · t) ·(−I0 · L · ω2 +

I0C

+ ε0 · ω · sin(ϕ)

)+ sin(ω · t) · (−I0 · ω ·R+ ε0 · ω · cos(ϕ)) = 0

62

poichè le funzioni sin(x) e cos(x) sono funzioni perpendicolari allora perchè la somma sia nulla allora ènecessario che entrambi gli elementi tra le parentesi siano nulli, quindi

−I0 · L · ω2 +I0C

+ ε0 · ω · sin(ϕ) = 0

−I0 · ω ·R+ ε0 · ω · cos(ϕ) = 0

Dato che R, L, C e ω sono dati dal problema è necessario ricavare I0 e ϕ.I0 =

−ω · ε0 · sin(ϕ)1C − L · ω2

=ω · ε0 · sin(ϕ)

L ·(ω2 − 1

L·C)

ω · ε0 · cos(ϕ) =ω2 · ε0 · sin(ϕ) ·RL ·(ω2 − 1

L·C) =

I0 =

−ω · ε0 · sin(ϕ)1C − L · ω2

=ω · ε0 · sin(ϕ)

L ·(ω2 − 1

L·C)

tan(ϕ) =L · ω − 1

C·ωR

mediante la seguente relazione trigonometrica si ha

sin(α) =1√

1 +(

1tan(α)

)2

sin(ϕ) =1√

1 +(

RL·ω− 1

C·ω

)2=

L · ω − 1C·ω√

R2 +(L · ω − 1

C·ω)2

I0 =

ε0√R2 +

(L · ω − 1

C·ω)2

tan(ϕ) =L · ω − 1

C·ωR

da cui

i(t) =ε0 · cos(ω · t)√

R2 +(L · ω − 1

C·ω)2

i(t) è massimo se(L · ω − 1

C·ω)2

= 0

L · ω − 1

C · ω= 0⇒ L · ω2 − 1

C= 0⇒ ω2 =

1

L · C⇒ ωR =

√1

L · C

Definizione 25 (Frequenza di risonanza) Si definisce frequenza di risonanza di un circuito RLC laquantità

ωR =1√L · C

Si può osservare che il valore massimo per I0 è

max I0 =ε0

R

e tracciando il grafico di I0 in funzione della frequenza ω si avrà una campana asimmetrica con valoremassimo in ωR, tracciando una retta parallela all’asse x

y =1√2· ε0

Rvalore efficace di i(t)

si interseca la campana in due punti aventi frequenza ω1 e ω2.

63

I0(ω)

ω1

ωR

ω2

y = ε0

/ R

y = ε0

/ (sqrt(2) * R)

I0(ω)

ω1

ωR

ω2

y = ε0

/ R

y = ε0

/ (sqrt(2) * R)

Figura 6.1: Andamento di I0(ω) in un circuito RLC

Modificando adeguatamente i parametri R, L e C si può realizzare un amplificatore.Ogni amplificatore ha un suo fattore di merito. Per calcolare in modo analitico i punti di intersezionedella retta

y =ε0√2 ·R

con la curva rappresentata da I0(ω) si esegue semplicementey =

ε0√2 ·R

y =ε0√

R2 +(L · ω − 1

C·ω)2

ε0√2 ·R

=ε0√

R2 +(L · ω − 1

C·ω)2 ⇒ 2 ·R2 = R2 +

(L · ω − 1

C · ω

)2

⇒ R2 =

(L · ω − 1

C · ω

)2

⇒

⇒ L · ω − 1

C · ω= ±R

• L · ω − 1

C · ω= R

L · C · ω2 − 1 = R · C · ω ⇒ ω2 − R

L· ω − 1

L · C= 0

ω =

RL ±

√(RL

)2+ 4

L·C

2

poichè è significativa la sola frequenza positiva si ha

ω2 =R

2 · L+

1

2·

√(R

L

)2

+4

L · C

• L · ω − 1

C · ω= −R

L · C · ω2 − 1 = −R · C · ω ⇒ ω2 +R

L· ω − 1

L · C= 0

ω = −RL ±

√(RL

)2+ 4

L·C

2

si prende nuovamente la sola soluzione positiva e si ha

ω1 = − R

2 · L+

1

2·

√(R

L

)2

+4

L · C

64

La distanza tra tali punti è

ω2 − ω1 =R

2 · L+

1

2·

√(R

L

)2

+4

L · C−

− R

2 · L+

1

2·

√(R

L

)2

+4

L · C

=R

L

Ogni amplificatore ha un fattore di merito e nel caso di amplificatore con circuito RLC tale valore vale

Q =ω0

ω2 − ω1=ω0 · LR

La potenza, istantanea, dissipata in questa tipologia di circuiti è

P (t) = ε(t) · i(t) = ε0 · cos(ω ·+ϕ) · I0 · cos(ω · t) =

= ε0 · I0 ·[cos2(ω · t) · cos(ϕ)− sin(ω · t) · cos(ω · t) · sin(ϕ)

]=

= ε0 · I0 ·[cos2(ω · t) · cos(ϕ)− sin(2 · ω · t)

2· sin(ϕ)

]L’uguaglianza precedente è valida sfruttando la relazione sin(2 ·α) = 2 · sin(α) · cos(α). Poichè si trattanosegnali sinusoidali è più interessante conoscere la potenza media

PM =1

T·∫ T

0

P (t) · dt T =2 · πω

PM = ε0 · I0 ·ω

2 · π·∫ 2·π

ω

0

(cos2(ω · t) · cos(ϕ)− sin(2 · ω · t)

2· sin(ϕ)

)· dt =

= ε0 · I0 · cos(ϕ) · ω

2 · π·∫ 2·π

ω

0

cos2(ω · t) · dt− ε0 · I0 · sin(ϕ)

2· ω

2 · π·∫ 2·π

ω

0

sin(2 · ω · t) · dt =

= ε0 · I0 · cos(ϕ) · ω

2 · π·[

sin(ω · t) · cos(ω · t)2 · ω

+t

2

] 2·πω

0

− ε0 · I0 · sin(ϕ)

2· ω

2 · π·[−cos(2 · ω · t)

2 · ω

] 2·πω

0

=

= ε0 · I0 · cos(ϕ) · ω

2 · π·[0 +

π

ω− 0− 0

]− ε0 · I0 · sin(ϕ)

2· ω

2 · π·[− 1

2 · ω−(− 1

2 · ω

)]

=ε0 · I0 · cos(ϕ)

2

Definendo i valori di tensione efficace e corrente efficace (definizione dovuta a Galileo Ferraris)

εeff =ε0√

2ieff =

I0√2

si ha chePM = εeff · oeff · cos(ϕ)

6.15 Cenni di Relatività ristretta

6.15.1 Invarianza di Gauge

Partendo dalle equazioni di Maxwell~∇ · ~E =

q

ε0

~∇ · ~B = 0⇒ ~B = ~∇× ~A

~∇× ~E = −∂~B

∂t⇒ ~E = −~∇V =

∂ ~A

∂t

~∇× ~B = µ0 ·~j + ε0 · µ0 ·∂ ~E

∂t

65

É possibile scrivere le quattro equazioni precedenti solo in funzione di A e V .Se si pone ~A′ = ~A+ ~∇s con s una funzione scalare qualsiasi.

~B′ = ~∇× ~A′ = ~∇× ~A+ ~∇× ~∇s = ~∇× ~A

~E′ = −~∇V − ~∇∂A∂t− ∂~∇s

∂t6= ~E

Se si pone

V ′ = V − ∂s

∂t

si ha~E′ = −~∇V ′ − ∂A

∂t− ∂~∇s

∂t= −~∇V + ~∇∂s

∂t− ∂A

∂t− ∂~∇s

∂t

(1)= −~∇V − ∂A

∂t= ~E

L’uguaglianza (1) è valida in quanto la derivata temporale e il gradiente (derivata spaziale) sono indipen-denti. Perciò con la trasformazione di Gauge vi sono infinite A e V che restituiscono gli stessi campi ~Ee ~B.

trasformazione

V ′ = V − ∂s

∂t

~A′ = ~A+ ~∇s

~∇ · ~A = − 1

c2· ∂V∂t

Gauge di Lorentz

~∇

(−~∇V − ∂ ~A

∂t

)=

ρ

ε0⇒ −∇2V − ~∇ · ∂

~A

∂t= −∇2V − ∂~∇ · ~A

∂t=

ρ

ε0

L’ultima relazione è il teorema di Gauss espresso in funzione di V e A.

−∇2V −∂(− 1c2 ·

∂V∂V

)∂t

=ρ

ε0

∇2V − 1

c2· ∂

2V

∂t2= − ρ

ε0

L’ultima relazione è il teorema di Gauss espresso solo in funzione di V .In molti testi si utilizza la seguente notazione

V = ∇2V − 1

c2· ∂

2V

∂t2⇒ V = − ρ

ε0

~∇× ~∇× ~A = µ0 ·~j + ε0 · µ0 ·∂(−~∇V − ∂ ~A

∂t

)∂t

Per la proprietà di analisi si ha che ~∇× ~∇× ~A = ~∇(~∇ · ~A

)−∇2A

~∇(~∇ · ~A

)−∇2A = µ0 ·~j − ε0 · µ0 ·

∂~∇V∂t− ε0 · µ0 ·

∂2 ~A

∂t2

~∇(− 1

c2· ∂V∂t

)−∇2A = µ0 ·~j − ε0 · µ0 ·

∂~∇V∂t− ε0 · µ0 ·

∂2 ~A

∂t2

poichè per definizione si ha che1

c2= ε0 · i0

allora~∇(− 1

c2· ∂V∂t

)= −ε0 · µ0 ·

∂~∇V∂t

∇2 ~A− 1

c2· ∂

2 ~A

∂t2= −µ0 ·~j ⇒ ~A = −µ0 ·~j

Si hanno quindi le seguenti “nuove” relazioni

V = − ρ

ε0

66

~A = −µ0 ·~j~B = ~∇× ~A

~E = −~∇V − ∂ ~A

∂t

~∇ · ~A = − 1

c2· ∂V∂t

Tali relazioni sono equivalenti alle equazioni di Maxwell, ma consentono di avere una visione molto piùampia, in quanto poichè si vive in un mondo in 4 dimensioni (3 spaziali e 1 temporale)2.

xi = (x1, x2, x3) ≡ (x, y, z)

xµ = (x1, x2, x3, x4) ≡ (x, y, z,∈C

i · c · t)

d =

√|xµ|2 =

√|xµ| · |xµ| =

√x2 + y2 + z2 − c2 · t2 ∈ C

d ∈ C in quanto l’argomento della radice potrebbe anche essere negativo.

~∇ · ~xi =

(∂x1

∂x,∂x2

∂x,∂x3

∂x

)~∇ · ~xµ =

(∂x1

∂x,∂x2

∂x,∂x3

∂x,

1

i · c· ∂x4

∂t

)Si definiscono due nuovi vettori quadridimensionali

Aµ ≡(Ax, Ay, Az, i ·

V

c

)Jµ ≡ (Jx, Jy, Jz, i · c · ρ)

Si possono verificare banalmente le seguenti relazioni(~∇ · ~xµ

)·(~∇ · ~xµ

)= xµ

Aµ = −µ0 · Jµ

A4 = −µ0 · J4 ⇒ i · Vc = −i · c · ρ · µ0

V = −c2 · µ0 · ρ = − µ0

ε0 · µ0· ρ = − ρ

ε0

Aµ fornusce tutte le informazioni fornite dalle equazioni di Maxwell.

~∇ · ~Jµ rappresenta la legge di conservazione della carica

~∇ · ~Aµ = 0⇒ ~∇ · ~A+1

i · C·∂i · Vc∂t

= ~∇ · ~A+1

c2· ∂v∂t

= 0 Gauge di Lorentz

6.16 Fenomeni ondulatoriLe onde sono l’aspressione di perturbazione del sistema, non si ha spostamento di materia ma solotrasporto di energia e/o quantità di moto.In generale si ha che

∂2Ψ(x, y, z, t)

∂x2+∂2Ψ(x, y, z, t)

∂y2+∂2Ψ(x, y, z, t)

∂z2=

1

v2· ∂

2Ψ(x, y, z, t)

∂t2

∇2Ψ =1

v2· ∂

2Ψ(x, y, z, t)

∂t2

con v è la velocità di propagazione dell’onda.Per semplicià di calcolo si tratteranno equazioni di onde che si muovono solo lungo un asse (si sceglie

2NOTAZIONE : si metterà un pedice latino nel caso di vettori tridimensionali; mentre si metterà un pedice greco nelcaso di vettori quadridimensionali

67

l’asse x); si può modificare il sistema di riferimento in modo da posizionarsi in questa situazione. Si hache

∂2Ψ(x, t)

∂x2=

1

v2· ∂

2Ψ(x, t)

∂t2

equazione alle derivate parziali in cui le condizioni a contorno forniscono la forma della soluzione.

Ψ(x, t) = a1 ·H(x− v · t) + a2 ·G(x+ v · t)⇒ Ψ(x, t) = F (x± v · t) a1, a2 ∈ R

Dimostrazione 10 Definendo u = x± v · t si ha

∂Ψ

∂x=∂Ψ

∂u· ∂u∂x

=∂Ψ

∂u=⇒ ∂2Ψ

∂x2=∂2Ψ

∂u2· ∂u∂x

=∂2Ψ

∂u2

∂Ψ

∂t=∂Ψ

∂u· ∂u∂t

=∂Ψ

∂u· (±v) =⇒ ∂2Ψ

∂t2=∂2Ψ

∂u2· (±v)2 =

∂2Ψ

∂u2· v2

∂2Ψ(x, t)

∂x2=

1

v2· ∂

2Ψ(x, t)

∂t2⇒ ∂2Ψ

∂u2=

1

v2· ∂

2Ψ

∂u2· v2

Si impone Ψ sempre di tipo seno o coseno in quanto ogni funzione è la somma di insinite sinusoidi ecosinusoidi (Serie di Fourier), ma è necessario che si trattino elementi lineari (fisica classica).

Ψ(x, y, z) = Ψ0 · sin(~k · ~x− ~k · ~v · t

)Poichè si suppone che l’onda si propaghi solo lungo l’asse x si ha che

Ψ(x, t) = Ψ0 · sin [k · (x− v · t)]

[k] = [m]−1, ω = k · v

Ψ(x, y) = Ψ0 · sin (k · x− ω · t)

Definizione 26 (Lunghezza d’onda) Si definisce lunghezza d’onda la distanza, spaziale, minima tradue “picchi”.

k · (x2 − x1) = k · λ = 2 · π ⇒ λ =2 · πk

Definizione 27 (Periodo) Si definisce periodo la distanza, temporale, minima tra due “picchi”.

k · (t2 − t1) = 2 · π ⇒ ω · T = 2 · π ⇒ T =2 · πω

Si può osservare facilmente la seguente relazione

ω = k · v ⇒ 2 · πT

=2 · πλ· v =⇒ λ = T · v

L’equazione d’onda può essere riscritta nel seguente modo:

Ψ(x, t) = Ψ0 · sin[2 · π ·

(x

λ− t

T

)]Nel caso più generale si dovrebbe aggiungere all’argomento della funzione seno/coseno una fase iniziale

Ψ(x, t) = Ψ0 · sin[2 · π ·

(x

λ− t

T

)+ ϕ0

]Vi sono essenzialmente due tipologie di onde:

onde longitudinali descritte da un vettore che è funzione di x e ha come unica componente la x

onde trasversali descritte da componenti dell’onda solo in direzione perpendicolari al moto dell’onda

Esempio 11 (Polarizzazione di un’onda)

Ψy = Ψy0 · sin(k · x− ω · t+ ϕy)

Ψz = Ψz0 · sin(k · x− ω · t+ ϕz)

Se ϕz − ϕy = 0 l’onda è polarizzata linearmenteSe ϕz − ϕy = π

2 + k · π k ∈ N l’onda è polarizzata in modo ellittico; se Ψy0 = Ψz0 si dice che l’onda èpolarizzata in modo circolare.

68

6.16.1 Intensità di un’onda

Pm =energia

tempo=W · Σ · l

t= w · Σ · v

Si definisce intensità di un’onda la quantità

I =PmΣ

=

w · v

F · lt · Σ

= Pressione · v

6.16.2 Onde sfericheImportanti poichè si ha la propagazione dell’onda a partire da un punto, si potrà notare che l’onda saràsolo funzione del raggio (quindi della distanza).

Ψ = Ψ(r, ϑ, ϕ, t)

∇2Ψ =1

r2·∂(r2 · ∂Ψ

∂r

)∂r

+1

r2 · sin(ϑ)·∂ sin

(∂Ψ∂ϑ

)∂ϑ

+1

r2 · sin(ϕ)· ∂

2Ψ

∂ϕ2=

1

v2· ∂

2Ψ

∂t2

poichè Ψ è indipendente dall’angolo si ha

1

r2·∂(r2 · ∂Ψ

∂r

)∂r

=1

v2· ∂

2Ψ

∂t2⇒ 1

r· ∂

2(r ·Ψ)

∂r2=

1

v2· ∂

2Ψ

∂t2⇒ ∂2(r ·Ψ)

∂r2=

1

v2· ∂

2(r ·Ψ)

∂t2

Si osserva che è una equazione di onde, infatti F = r ·Ψ soddisfa l’equazione delle onde

Φ(r, t) =F (k · r − v · t)

r

Ψ(r, t) =F0

r· sin(k · r − v · t)

Si può osservare che l’ampiezza dell’onda descesce con la distanza.

6.16.3 Onde cilindricheSe si hanno tante sorgenti poste su un asse, si vedrà che l’onda risultante sarà solo dipendente dalladistanza dall’asse.

∇2Ψ =1

r·∂(r · ∂Ψ

∂r

)∂r

+1

r2· ∂

2Ψ

∂ϑ2+∂2Ψ

∂z2=

1

v2· ∂

2Ψ

∂t2

poichè l’onda è solo dipendente da x si ha

1

r·∂(r · ∂Ψ

∂r

)∂r

=1

v2· ∂

2Ψ

∂t2⇒ 1

r·(∂Ψ

∂r+ r · ∂

2Ψ

∂r2

)=

1

r· ∂Ψ

∂r+∂2Ψ

∂r2=

1

v2· ∂

eΨ

∂t2

L’equazione sofra, equazione di Bessel, non è una equazione delle onde nella forma in qui è stata definita,ma si può dimostrare che

Ψ(r, t) =Ψ0√r· sin(k · r − ω · t)

Per spiegare il fattore 1√rsi può eseguire questo semplice passaggio logico.

PM = I · Σ

I ∝ w ∝ Ψ2 −→ PM ∝ Ψ2 · Σ = Ψ2 · 2 · π · r · l = costante

Ψ2 =costante

2 · π · r · l⇒ Ψ =

√costante

2 · π · r · l= costante′f · 1√

r

Definizione 28 (Onda piana) Si definisce onda piana un’onda che giace su un piano di lunghezzainfinita.

Teorema 4 (Principio di indeterminazione di Heisenberg) Dato un microsistema quantico, nonè possibile conoscere esattamente la posizione e la velocità di un elemento, perchè tale misurazione nealtererebbe lo stato.

69

6.16.4 Ona di lunghezza finita

IMMAGINE∆x = N · λ ∆t = N · T

con N non definito (al più varia di 1 dal valor vero).

k =2 · πλ

=2 · π∆x·N ω =

2 · πT

=2 · π∆T

·N

∆k =2 · π∆x·∆N ∆ω =

2 · π∆T

·∆N ∆x ·∆k ≥ 2 · π

∆ω ·∆t ≥ 2 · π

p = ~ · k permiabilità

E = ~ · ω energia

~ è la costante di Plank.

In sintesi avendo un’onda finita si ha necessariamente un’indeterminazione.

6.16.5 Somma di onde distinte

Se Ψ è la somma di due onde distinte si ha

Ψ(x, t) = A · sin(k1 · x− ω1 · t) +A · sin(k2 · x− ω2 · t)

utilizzando la seguente proprietà trigonometrica si ha sin(α)+sin(β) = 2·sin(α+β

2

)·sin

(α−β

2

)Definendo

∆k =k2 − k1

2∆ω =

ω2 − ω1

2km =

k1 + k2

2ωm =

ω1 + ω2

2

Ψ(x, t) = 2 · cos

(∆k

2· x− ∆ω

2· t)· sin(km · x− ωm · t)

A′ = 2 · cos

(∆k

2· x− ∆ω

2· t)

Ψ(x, t) = A′ · sin(km · x− ωm · t)

IMMAGINEvfase =

ωmkm

vgruppo =∆ω

∆k

vfase è la velocità della sinusoide interna (quella con frequenza maggiore, mentre vgruppo è la velocitàdell’inviluppo A′.In generale vgruppo < c; nel caco in cui risulti maggiore di c l’onda si disperde e quindi non può più essereconsiderato un segnale.Generalizzando

vgruppo =dω

dk

se si prende k · v = ω(k) e si deriva rispetto a k si ha

v + k · dvdk

=dω

dk

di conseguenza

vgruppo = vfase + k · dvdk

6.17 Onde elettromagnetiche

Per lo studio delle onde elettromagnetiche è necessario riscrivere le equazioni di Maxwell

~∇ · ~E =ρ

ε0

~∇ · ~B = 0 ~∇× ~E = −∂~B

∂t~∇× ~B = µ0 · ~J + ε0 · µ0 ·

∂ ~E

∂t

70

6.17.1 Relazione tra l’onda del campo elettrico e l’onda del campo magnetico

Supponendo di essere in uno spazio vuoto (senza cariche e circuiti) ρ = 0 e ~J = 0, perciò ~E = 0 e ~B = 0

è una soluzione banale ma si può dimostrare che vi è una soluzione di ~E e ~B dipendente dal tempo (nonpossono essere costanti perchè in tal caso si suppone per ~E una distribuzione statica di cariche e quindinon si può avere un’onda).

Si è certi di avere un’onda basandosi sulla relatività ristretta.A = µ0 · ~J = 0Φ = − ρ

ε0= 0

Supponendo per semplicità che l’onda si propaghi solo sull’asse x e che tutte le proprietà dipendano dax e t (i risultati avranno validità generale).

∂Ex∂x

+∂Ey∂y

+∂Ez∂z

=ρ

ε0= 0

poichè ~E è indipendente da y e z si ha che

∂Ex∂x

= 0⇒ Ex = costante = 0

~E ≡ (0, Ey(x, t), Ez(x, t))

∂Bx∂x

+∂By∂y

+∂Bz∂z

= 0

poichè ~B è indipendente da y e z si ha che

∂Bx∂x

= 0⇒ Bx = costante = 0

~B ≡ (0, By(x, t), Bz(x, t))

~∇× ~E = det

∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

0 Ey Ez

∣∣∣∣∣∣ = i ·(∂Ez∂y− ∂Ey

∂z

)− j ·

(∂Ez∂x

)+ k ·

(∂Ey∂x

)= −∂By

∂t· j − ∂Bz

∂t· k

uguagliando le singole componenti si ha che∂Ez∂x

=∂By∂t

∂Ey∂x

= −∂Bz∂t

~∇× ~B = det

∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

0 By Bz

∣∣∣∣∣∣ = i·(∂Bz∂y− ∂By

∂z

)−j ·

(∂Bz∂x

)+k·

(∂By∂x

)= ε0 ·µ0 ·

∂Ey∂t·j+ε0 ·µ0 ·

∂Ez∂t·k

uguagliando le singole componenti si ha che∂Bz∂x

= −ε0 · µ0 ·∂Ey∂t

∂By∂x

= ε0 · µ0 ·∂Ez∂t

si hanno quindi quattro relazioni tra le componenti di ~E e ~B

∂Ez∂x

=∂By∂t

∂Ey∂x

= −∂Bz∂t

∂Bz∂x

= −ε0 · µ0 ·∂Ey∂t

∂By∂x

= ε0 · µ0 ·∂Ez∂t

71

Derivando rispetto a t l’equazione ∂Ez∂x =

∂By∂t e rispetto a x l’equazione ∂By

∂x = ε0 · µ0 · ∂Ez∂t si ha

∂2Ez∂x · ∂t

=∂2By∂t2

∂2By∂x2

= ε0 · µ0 ·∂2Ez∂x · ∂t

da cui(

1

c2= ε0 · µ0

)∂2By∂t2

= c2 · ∂2By∂x2

⇒ ∂2By∂x2

− 1

c2· ∂

2By∂t2

= 0 equazione delle onde per By

Derivando rispetto a x l’equazione ∂Ez∂x =

∂By∂t e rispetto a t l’equazione ∂By

∂x = ε0 · µ0 · ∂Ez∂t si ha

∂2Ez∂x2

=∂2By∂x · ∂t

∂2By∂x · ∂t

= ε0 · µ0 ·∂2Ez∂t2

da cui∂2Ez∂x2

= ε0 · µ0 ·∂2Ez∂t2

⇒ ∂2Ez∂x2

− 1

c2· ∂

2Ez∂t2

= 0 equazione delle onde per Ez

Derivando rispetto a t l’equazione ∂Ey∂x = −∂Bz∂t e rispetto a x l’equazione ∂Bz

∂x = −ε0 · µ0 · ∂Ey∂t si ha

∂2Ey∂x · ∂t

= −∂2Bz∂t2

∂2Bz∂x2

= −ε0 · µ0 ·∂2Ey∂x · ∂t

da cui∂2Bz∂t2

= c2 · ∂2Bz∂x2

⇒ ∂2Bz∂x2

− 1

c2· ∂

2Bz∂t2

= 0 equazione delle onde per Bz

Derivando rispetto a x l’equazione ∂Ey∂x = −∂Bz∂t e rispetto a t l’equazione ∂Bz

∂x = −ε0 · µ0 · ∂Ey∂t si ha

∂2Ey∂x2

= − ∂2Bz∂x · ∂t

− ∂2Bz∂x · ∂t

= ε0 · µ0 ·∂2Ey∂t2

da cui∂2Ey∂x2

= ε0 · µ0 ·∂2Ey∂t2

⇒ ∂2Ey∂x2

− 1

c2· ∂

2Ey∂t2

= 0 equazione delle onde per Ey

Dai passaggi precedenti si evince che tutte le componenti di ~E e ~B sono onde che si propagano convelocità c. (Nel caso in cui non si è nel vuoto la velocità passa da c a v)

~E = ~E(x− c · t) ~B = ~B(x− c · t)

Sostituendo nella prima equazione(∂Ez∂x =

∂By∂t

), i valori delle componenti ricavate si ha

∂Ex(x− c · t)∂x

=∂By(x− c · t)

∂t

integrando rispetto al tempo si ha

By =

∫∂By(x− c · t)

∂t· dt =

∫∂Ex(x− c · t)

∂x· dt

ponendo u = x− c · t(−c · dt = du⇒ dt = −1

c· du⇒ du

dx= 1

)si ha

By =

∫∂Ex(x− c · t)

∂x· dt = −1

c·∫∂Ex(x− c · t)

∂x· du = −Ez

c

Sostituendo nella seconda equazione(∂Ey∂x = −∂Bz∂t

), i valori delle componenti ricavate si ha

∂Ey(x− c · t)∂x

= −∂Bz(x− c · t)∂t

integrando rispetto al tempo si ha

Bz =

∫∂Bz(x− c · t)

∂t· dt = −

∫∂Ey(x− c · t)

∂x· dt =

Eyc

72

In definitiva si ha che

~E = (0, Ey(x, t), Ez(x, t)) ~B =

(0,−Ez(x, t)

c,Ey(x, t)

c

)Si dimostra che ~E e ~B sono perpendicolari tra loro

~E · ~B = 0 · 0 + Ey ·(−Ezc

)+ Ez ·

Eyc

= −Ey ·Ezc

+ Ez ·Eyc

= 0

Se l’onda si muove in uno spazio isotropo si definisce

n =c

v≥ 1

c =1

√ε0 · µ0

v =1

√ε · µ

=1√

ε0 · kε · µ0 · kµ

n =

√ε0 · kε · µ0 · kµ√

ε0 · µ0=√kε · kµ

in generale si trattano materiali con kµ ≈ 1 pertanto n ≈√kε

6.17.2 Energia associata all’onda elettromagnetica

W =1

2· ε0 · E2 +

1

2 · µ0·B2

| ~E| = E =

√Ey

2 + Ez2

| ~B| = B =

√Ez

2

c2+Ey

2

c2=E

c

W =1

2· ε0 · E2 +

1

2 · µ0·B2 =

1

2· ε0 · E2 +

1

2 · µ0· E

2

c2=

1

2· ε0 · E2 +

ε0 · µ0

2 · µ0· E2 = ε0 · E

In un’onda elettromagnetica si hanno due contributi, in egual misura, dipendenti da ~E e ~B.

6.17.3 Vettore di PoyntingUn’onda elettromagnetica è sempre racchiusa in un volume finito τ

U =1

2·∫ε · E2 · dτ +

1

2·∫B2

µ· dτ

poichè E · ε = D e H = Bµ si ha

∂U

∂t=

∫ε · ~E · ∂

~E

∂t· dτ +

∫1

µ· ~B · ∂

~B

∂t· dτ =

∫~E · ∂

~D

∂t· dτ +

∫~H · ∂

~B

∂t· dτ

poichè si ha (per la terza e quarta equazione di Maxwell) ~∇× ~H = ~J + ∂ ~D∂t e ~∇× ~E = −∂ ~B∂t

∂U

∂t=

∫~E · ∂

~D

∂t· dτ +

∫~H · ∂

~B

∂t· dτ =

∫~E ·[~∇× ~H − ~J

]· dτ +

∫~H ·[−~∇× ~E

]· dτ =

=

∫ [~E · ~∇× ~H − ~H · ~∇× ~E − ~E · ~J

]· dτ = −

∫ [~∇ ·(~E × ~H

)+ ~E · ~J

]· dτ =

= −∫

Σ

(~E × ~H

)· ~n · dΣ−

∫~E · ~J · dτ = −

∫Σ

(~E ×

~B

µ

)· ~n · dΣ−

∫~E · ~J · dτ

Definizione 29 (Vettore di Poynting) Si definisce vettore di Poynting

~I =~E × ~B

µ

73

−∂U∂t

=

∫Σ

~I · ~n · dΣ +

∫~E · ~J · dτ

Si può dimostrare semplicemente che∫~E · ~J · dτ = 0

Dimostrazione 11 La carica presente in un’unità di volume è

q · dN = n · dτ · q

n è il numero di elettroni per unità di volume, dτ è il volume considerato e dN è il numero di elettronipresenti nel volume considerato.

d~F = dN · q ·(~E + ~v × ~B

)forza di Lorenz che le cariche del volumetto dτ risentodo per effetto dell’onda elettromagnetica

dP = d~F · ~v = dN · q · ~E · ~v + dN · q · ~v ·(~v × ~B

)= dN · q · ~E · ~v

Si ha quindi che ~E · ~J · dτ è l’effetto Joule dell’onda; pertanto nel vuoto tale integrale è nullo.

Se l’onda si propaga nek vuoto si ha che Pressione =~I

c

6.17.4 Riflessione di un’onda elettromagnetica in un metallo

Dall’esperienza diretta si può osservare che su un metallo le onde elettromagnetiche vengono riflesse, bastipensare a uno specchio sulle quali è certo che le onde elettromagnetiche con frequenza nella regione delvisibile vengono riflesse.Tali affermazioni possono essere dimostrate utilizzando le leggi di Maxwell.Si effettua l’analisi nel vuoto

(~D = ε · ~E, ~J = σ · ~E, ~B = µ · ~H

)~∇ · ~D = ρlibere = 0 ~∇ · ~B = 0 ~∇× ~E = −∂

~B

∂t~∇× ~H = ~Jlibere +

∂ ~D

∂t

~∇× ~∇× ~E = −∂[~∇× ~B

]∂t

= −∂[~∇×

(µ · ~H

)]∂t

⇒ ~∇(~∇ · ~E

)−∇2 ~E = −µ ·

∂[σ · ~E + ε · ∂ ~E∂t

]∂t

poichè si considera la riflessione in un metallo ~∇ · ~E = 0 si ha

−∇2 ~E = −µ · σ · ∂~E

∂t− µ · ε · ∂

2 ~E

∂t2

~∇× ~∇× ~H = σ ·(~∇× ~E

)+∂[~∇× ~D

]∂t

⇒~∇(~∇ · ~B

)µ

− ∇2 ~B

µ= −σ · ∂

~B

∂t− ε · ∂

2 ~B

∂t2

poichè ~∇ · ~B = 0 si ha

−∇2 ~B = −µ · σ · ∂~B

∂t− µ · ε · ∂

2 ~B

∂t2

Si osserva che entrambe le relazioni ottenute per ~E e ~B sono nella stessa forma e late forma è nota comeequazione del telegrafo; pertanto è sufficiente risolvere solo una delle due per avere una soluzione perentrambe.Supponendo che l’onda si propaghi solo lungo l’asse x si ha

∂2E(x, t)

∂x2− µ · σ · ∂E(x, t)

∂t− µ · ε · ∂

2E(x, t)

∂t2= 0

supponendo E(x, t) = Φ(x) · ei·ω·t si ha

∂2Φ(x)

∂x2· ei·ω·t − i · ω · µ · σ · Φ(x) · ei·ω·t + ω2 · µ · ε · Φ(x) · ei·ω·t = 0

dividendo per ei·ω·t (poichè sempre non nullo) si ha

∂2Φ(x)

∂x2− i · ω · µ · σ · Φ(x) + ω2 · µ · ε · Φ(x) = 0

74

Se ω ·µ ·σ ε ·µ ·ω2 si ha che σ ε ·ω; tali relazioni valgono per tutti i metalli in presenza di radiazioniluminose, pertanto ci si riduce a studiare

∂2Φ(x)

∂x2− i · ω · µ · σ · Φ(x) = 0 equazione di un oscillazione/moto armonico

pertanto si pone Φ(x) = A · ei·β·x

∂2Φ(x)

∂x2− i · ω · µ · σ · Φ(x) = 0 =⇒ −A · β2 · ei·β·x − i · ω · µ · σ ·A · ei·β·x = 0

poichè ei·ω·x 6= 0 allora

−A·β2−i·ω·µ·σ·A = 0⇒ β2+i·ω·µ·σ = 0⇒ β =√−i · ω · µ · σ =

√−i·√ω · µ · σ =

√2

2·(1+i)·√ω · µ · σ

da cuiE(x, t) = A · ei·

√2

2 ·(1+i)·√ω·µ·σ·x · ei·ω·x = A · ei·ω·t · ei·√

22 ·√ω·µ·σ·x · e−

√2

2 ·√ω·µ·σ·x

A · ei·ω·t · ei·√

22 ·√ω·µ·σ·x è l’onda standard, mentre e−

√2

2 ·√ω·µ·σ·x è un fattore che indica di quando l’onda

penetra nel metallo, minore è tale valore tanto più la radiazione verrà riflessa. Poichè nei metalli√

22 ·√

ωvisibile · µ · σ è un valore molto elevato e si ha un esponenziale negativo allora si potrà calcolare chel’onda penetri nel metallo per una distanza pari a 10−6 ÷ 10−8m.

6.17.5 Legame tra velocità di gruppo e velocità di fase

Riepilogando quanto espresso precedente si ha

n =c

v

∂2E(x, t)

∂x2− 1

v2· ∂

2E(x, t)

∂t2= 0 v =

1√ε · µ

=1√

ε0 · kε · µ0 · kµ=

c√kε · kµ

⇒ c =√kε · kµ

In generale si trattano materiali diamagnetici (kµ ≈ 1) pertanto c ≈√kε∣∣∣ ~E∣∣∣∣∣∣ ~B∣∣∣ = v se il materiale è isotropo

∣∣∣ ~E∣∣∣∣∣∣µ · ~H∣∣∣ ⇒∣∣∣ ~E∣∣∣∣∣∣ ~H∣∣∣ = µ·v = µ· 1

√ε · µ

=

√µ

ε= Z[Ω] impedenza del materiale

Z =

√µ

ε=

√µ0 · kµε0 · kε

= se kµ ≈ 1 =1√kε·√µ0

ε0=Z0

nZ0 = 377Ω impedenza nel vuoto, costante

I =1

2· ε · v · E0

2 =1

2· ε√ε · µ

· E02 =

1

2·√ε

µ· E0

2 =1

2· nZ0· E0

2 =n

Z0· Eeff 2

densità di energia W =1

2· ε0 · E2 +

B2

2 · µ0=

1

2· ε0 · E2 +

E2

2 · µ0 · c2=

1

2· ε0 · E2 +

1

2· ε0 · E2 = ε0 · E2

Ora si ha che

vg =dω

dkvF =

c

n

vg = vF + k · dvFdk

dvFdk

=dvFdω· dωdk

=dvFdω· vg

dvFdω

= c ·d(

1n

)dω

= − c

n2· dndω

⇒ vg = vF +k ·vg ·(− c

n2· dndω

)= vF −vF ·vg ·

k

n· dndω

= vF −ω

n·vg ·

dn

dω

⇒ vg =vF

1 +ω

n· dndω

=vF · n

n+ ω · dndω

=c

n+ ω · dndω

= vg

nell’ultima relazione dndω potrebbe anche essere negativo, pertanto si potrebbe anche avere vg > c ma in

tal caso l’onda si disperde pertanto non lo si considera più un segnale.

75

6.17.6 Spettro di onde elettromagneticheLe onde elettromagnetiche possono essere classificate in diverse classi, in base alla lunghezza dell’ondaelettromagnetica

onde Herziane sono onde televisive/radiofoniche, hanno lunghezza d’onda λ ∈ [3 · 10−1, 106]m

micro onde λ ∈ [10−3, 3 · 10−1]m

onde infrarosse onde dovute alla temperatura dell’oggetto λ ∈ [7.8 · 10−7, 10−3]m

onde visibili onde elettromagnetiche visibili dall’occhio umano λ ∈ [3.8 · 10−7, 7.8 · 10−7]m

onde ultraviolette raggi UV λ ∈ [6 · 10−10, 3.8 · 10−7]m

raggi X con λ ∈ [6 · 10−12, 6 · 10−10]m

raggi γ con λ < 10 · 10−10m

l’occhio umano è in grado di percepire solo una piccolissima dello spettro elettromagnetico (meno di un ordine digrandezza)

Le onde elettromagnetiche sono dannose per l’organismo umano se hanno lunghezza d’onda comparabilecon la scala atomico, infatti una lunga esposizione ai raggi ultravioletti può provocare cancro all’epider-mide, mentre i raggi γ procurano gravissime mutazioni alla struttura del DNA.Attraverso approfonditi studi sugli spettri elettromagnetici sono state formulate due leggi, generali, chesftuttano le caratteristiche di tale spettro

Teorema 5 (Legge di Wien) É possibile stabilire la temperatura massima di un corpo se è nota lalunghezza d’onda, λmax, per la quale l’emissione elettromagnetica è massima

λmax · T = b =⇒ T =b

λmax

con T[Kelvin], λmax[m] e b = 2.8977685 · 10−3[m·K]

Fmax = k · T 5 =⇒ T =5

√Fmaxk

con T[Kelvin], Fmax[Hz] e k = 1.287 · 10−6 Wattm3·K5

Teorema 6 (Legge di Stefan-Boltzmann) Tale legge affera che l’energia emessa da tutto lo spettroè pari a

∫ +∞

0

F (λ) · dλ = k · T 4 =⇒ T =

4

√√√√√∫ +∞

0

F (λ) · dλ

k

con T[Kelvin], λ[m] e k = 5.67 · 10−8[ Wattm2·K4 ]

6.17.7 Onda elettromagnetica in un dielettricoL’analisi parte dalle equazioni di Maxwell espresse in presenza di un dielettrico

~∇ · ~E =ρpε0

~∇× ~E = −∂~B

∂t~∇ · ~B = 0 ~∇× ~B = µ0 · ~Jp + ε0 · µ0 ·

∂ ~E

∂t

σp = ~P · ~m ρp = −~∇ · ~P

si ha ρ0 e ~Jp in funzione di ~P e ~P è in funzione di ~E

in un dielettrico vi sono solo cariche di polarizzazione e correnti di polarizzazione (queste ultime non sonovere correnti ma sono movimenti di cariche dovuti alle cariche di polarizzazione); nell’analisi le modifichedel campo elettrico/magnetico dovute al dielettrico sono intrinseche nei valori numerici di ρp e ~Jp (nonsi usano quindi ε e µ ma si continuano ad usare ε0 e µ0).

~P = N · ~p se ho N atomi e ogni atomo ha ~p come momento magnetico

~P =∑i

qi · ~di =

∫~d · dq =

∫~d · ρ · dV

76

~d è uno sposamento

Per semplicità di analisi si considera un volume sufficientemente piccolo tale da contenere un’unico atomo,pertanto nel caso specifico ~P = ~p

∂ ~P

∂t=

∫~v · ρ · dV

~Jp = n · q · ~v =N

dτ· q · ~v = N · ρ · ~v ⇒ ~Jp = ρ · ~v =⇒ ∂ ~P

∂t=

∫~Jp · dV

Poichè NV · ~p = ~P si ha

1

V· ∂~p∂t

=∂ ~pV

∂t=∂ ~P

∂t= ~Jp

sostituendo si ha ~∇× ~B = µ0 ·∂ ~P

∂t+ ε0 · µ0 ·

∂ ~E

∂t

Applicando il rotore alla definizione del ~∇× ~E si ha che

~∇× ~∇× ~E = −∂(~∇× ~B

)∂t

⇒ ~∇(~∇ · ~E

)−∇2 ~E = −

∂[µ0 · ∂

~P∂t + ε0 · µ0 · ∂

~E∂t

]∂t

poichè ~∇ · ~E =~∇·~Pε0

si ha

− 1

ε0· ∇2 ~P −∇2 ~E = −µ0 ·

∂2 ~P

∂t2− ε0 · µ0 ·

∂2 ~E

∂t2⇒ ∇2 ~E − 1

c2· ∂

2 ~E

∂t2= − 1

ε0·

[∇2 ~P − 1

c2· ∂

2 ~P

∂t2

]

Si osserva che ~E e ~P sono delle onde.Si può definire ~E(x, t) = E0 · e−i·(ω·t−k·x) · k, cioè ~E si propaga lungo x e ha componenti solo lungo zNella maggior parte dei materiali si ha che ~P ∝ ~E (se i materiali sono isotropi si ha che ~E‖~P )

~∇ · ~P =∂Px∂x

+∂Py∂y︸︷︷︸

perche ~P è solo lungo x

+∂Pz∂z

=∂Pz∂z

= −ρp

poichè ~P ∝ ~E e ~E dipende solo da x si ha che ∂Pz∂z = 0, pertanto si ha che

∇2 ~E − 1

c2· ∂

2 ~E

∂t2= µ0 ·

∂2 ~P

∂t2⇒ −k2 · ~E +

ω2

c2· ~E = − ω2

ε0 · c2· ~P ⇒ ~E − ω2

k2 · c2~E =

ω2

k2 · c2 · ε0· ~P

poichè ωk = v si ha che ω2

k2·c2 = v2

c2 = 1n2

~E − 1

n2· ~E = ~E ·

(1− 1

n2

)=

1

n2 · ε0· ~P

Per trovare il legame tra ~P e ~E si ipotizza di avere un atomo con gli elettroni che ruotano attorno alnucleo (si immagina di considerare gli elettroni legati al centro attraverso delle molle); si ha

me ·∂2z

∂t2= −k · z − γ · ∂z

∂t− e · E

me massa dell’elettrone, −k · z forza elastica, −γ · ∂z∂t forza tra gli elettroni

Si pone z(t) = Z0 · ei·ω·t (poichè E = E0 · ei·ω·t), sostituendo si ha

me ·∂2z

∂t2+ γ · ∂z

∂t+ k · z = −e · E ⇒ −me · ω2 · Z0 − i · γ · ω · Z0 + k · Z0 = −e · E0

Z0 ·(−ω2 − i · ω · γ

me+

k

me

)= −e · E0

me⇒ Z0 = −e · E0

me· 1

ω02 − ω2 − i·ω·γ

me

ω02 = k

me

77

P = N ·p = e·z(t)·N = − 1

ε0·

(−N · e

2 · E0 · ei·ω·t

me· 1

ω02 − ω2 − i·ω·γ

me

)=N · e2 · E0 · ei·ω·t

ε0 ·me· 1

ω02 − ω2 − i·ω·γ

me

~P =N · e2 · E0 · ei·ω·t

ε0 ·me· 1

ω02 − ω2 − i·ω·γ

me

poichè ~P = N · α · ~E si ha che

~E è il campo all’interno del dielettrico

α(ω) =N · e2

ε0 ·me· 1

ω02 − ω2 − i·ω·γ

me

α si dice costante di polarizibilità e dipende dalla frequenza.In generale

α(ω) =e2

ε0 ·me·∑k

(Fk

ω0k2 − ω2 − i·γk·ω

me

)Nel caso analizzato si una un solo atomo; in tale situazione il campo elettrico è dato dala somma del campoelettrico esterno con il campo elettrico generato dalle cariche di polarizzazione. Si considera IMMAGINE

d ~E =1

4 · π · ε0· σp · dΣ

R2· ur σp · dΣ = dq ur‖n

Si può dedurre che σp = ~P · ~n da cui

d ~E =1

4 · π · ε0·~P · ~n · dΣ

R2· ur

∣∣∣ ~E∣∣∣ =

∫d ~E · k =

∫d ~E · cos(β) =

∫1

4 · π · ε0· P · cos2(β)

R2·R2 · dΩ

poichè il volume è estremamente piccolo si considera P costante∣∣∣ ~E∣∣∣ =

∫1

4 · π · ε0· P · cos2(β)

R2·R2 · dΩ =

P

4 · π · ε0·∫

cos2(β) · dϕ · sin(ϑ) · dϑ︸︷︷︸dΩ

=

=P

4 · π · ε0·∫ 2·π

0

dϕ ·∫ π

0

cos2(π − ϑ) · sin(ϑ) · dϑ =P

4 · π · ε0· 2 · π ·

(2

3

)=

P

3 · ε0

~Etot = ~E +~P

3 · ε0

pertanto poichè

~P = N · α · ~Etot = N · α ·

(~E +

~P

3 · ε0

)⇒ ~P ·

(1− 1

3 · ε0

)= N · α · ~E ⇒ ~P =

N · α1− 1

3·ε0· ~E

~E ·(

1− 1

n2

)=

1

ε0 · n2· ~P =

1

ε0 · n2· N · α

1− 13·ε0· ~E ⇒

⇒ n2 − 1

n2=

1

ε0 · n2· N · α

1− 13·ε0· ε0

LA MOLTIPLICAZIONE PER ε0 NON É MOLTO CHIARA

n2 =N · α

1− 13·ε0

+ 1

Si ha anche che

N · α = 3 · n2 − 1

n2 + 2⇒ poichè n2 ≈ kε N · α = 3 · kε − 1

kε + 2equazione di Clausius-Mossotti

78

Parte II

Ottica

79

Capitolo 7

Riflessione e rifrazione della luce

In questa branca si trattano onde elettromagnetiche con una lunghezza d’onda tale che sia nella regionedel visibile. Verranno analizzati fenomeni “strani” come capire perchè la luce si propaga in modo rettilineo(evidenzia la natura corpuscolare) e come la luce si propaga come un’onda sferica (evidenzia la naturaondulatoria); a volte si riesce anche ad avere luce anche dove si immagina che non vi debba essere luce.

7.1 Principio di Huygens-Fresnel

Se in un punto vi è un’intensità di onde luminose allora nel punto è, come se fosse, presente una sorgentedi onde sferiche. L’onda secondaria sarà così fatta

1 + cos(ϑ)

2·A · cos

(ω · t+ k · t− π

2

)pertanto l’onda secondaria avrà tutte le caratteristiche dell’onda principale fatta eccezione dell’ampiezzache varia al variare dell’angoloCon tale principio è possibile spiegare il fatto che un onda piana che attraversa una fenditura possapropagarsi, oltre alla fenditura, come un’onda piana (se la fendutura ha un’ampiezza maggiore dellalunghezza d’onda) o come un’onda sperica (se la fendutura ha un ampiezza minore della lunghezzad’onda).

7.2 Teorema di Kirchhoff

Si suppone di avere un punto P qualsiasi, si suppone inoltre che attorno a P vi è un volume τ nel qualesono presenti tutte le eventuali sorgenti (cariche e correnti), si va a considerare il vettore ~n in ogni punto.IMMAGINE

~r1 indentifica il punto P ; ~r2 identifica un punto qualsiasi in τ in cui ci possono essere ρ e ~J .

Si ricava la soluzione in Ψ (tale variabile può essere sostituita, per i calcoli, indifferentemente con A o V ,della relatività ristretta),

Ψ ≡ A, V S ≡ −µ0 · ~Ji,ρ

ε0r12 =

√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2

Ψ(x, y, z, t) =1

4 · π·∫∫∫

τ

S(r1, t− r12

c

)r12

· dτ+

+1

4 · π·∫∫

Σ

dΣ1 ·1

r12· ∂r12

∂u·

[Ψ(r2, t− r12

c

)r12

+∂Ψ(r2, t− r12

c

)∂r12

+1

c·∂Ψ(r2, t− r12

c

)c · ∂t

]

Si può osservare semplicemente che tale formulazione è molto più generale, ma il suo utilizzo è suffi-cientemente complicato, pertanto si preferisce usare una sua approssimazione, in quanto le differenze sipongono solo se in presenza di distanze molto grandi (dell’ordine delle distanze astronomiche).

81

7.3 Leggi di Snell

Se un’onda luminosa che si propaga attraversa un materiale e poi ne attraversa un altro materiale, taleonda verrà modificata.In generale un’onda, attraverso l’analisi di Fourier, può essere intesa come somma di sinusoidi, pertanto

A(~r, t) =A0

r· cos(~k · ~r − ω · t+ ϕ0)

Nella trattazione si considera la fase iniziale nulla (ϕ0 = 0); nel caso trattato non si ha variazione dellafrequenza ω, si avrà solo una modificazione dell’ampiezza A0

r e del numero d’onda ~k. IMMAGINE

~k1 =ω

~v1

~k2 =ω

~v2λ1 =

v1

νλ2 =

v2

ν

ν = 2·πω

L’onda incidente si muove solo sul piano zy (la situazione dell’esempio è comunque molto generale inquanto si può cambiare a piacere il sistema di riferimento), ci si aspetta che l’onda venga riflessa maanche che l’onda attraversi il secondo materiale. IMMAGINE Si analizzeranno le relazioni tra

ϑi, ϑr, ϑt E0i, E0r, E0t ϑi, E0i note in partenza

E(~r, t) = E0 · cos(k · r − ω · t)

~r = x · i+ y · j ~ki = ky · j + kz · k ~kr = krx · i+ kry · j + krz · k ~kt = ktx · i+ kty · j + ktz · k

Ei(~r, t) = E0i · cos(~ki · ~r − ω · t)

Er(~r, t) = E0r · cos(~kr · ~r − ω · t)

Et(~r, t) = E0t · cos(~kt · ~r − ω · t)

ma le onde devono essere funzioni continue, quindi sulla superficie si ha che

~ki · ~r = ~kr · ~r = ~kr · ~r ⇒ kiy · j = krx · i+ kry · j = ktx · i+ kty · j

pertanto si ha chekrx = ktx = 0 kiy = kry = kty

IMMAGINE Dall’immagine si ha immediatamente che

kiy = ki · sin(ϑi) =ω

v1· sin(ϑi) kry = kr · sin(ϑr) =

ω

v1· sin(ϑr)⇒

ω

v1· sin(ϑi) =

ω

v1· sin(ϑr) ≡ ϑi = ϑr

Teorema 7 (I Legge di Snell) L’onda riflessa ha lo stesso angolo, rispetto alla direzione normale alpunto di incidenza, dell’onda incidente.

ϑi = ϑr

kiy = kty = kt · sin(ϑt) =ω

v2· sin(ϑt) =

ω

v1· sin(ϑi)⇒

sin(ϑi)

v1=

sin(ϑt)

v2⇒ c

v1· sin(ϑi) =

c

v2· sin(ϑt)

Teorema 8 (II Legge di Snell) L’angolo dell’onda trasmessa è legata all’angolo dell’onda incidentedalla relazione

n1 · sin(ϑi) = n2 · sin(ϑt) ≡n1

n2=

sin(ϑt)

sin(ϑi)

Se n2 > n1 si ha che sin(ϑt) = n1

n2· sin(ϑi)⇒ ϑi > ϑt, mentre se n2 < n1 si ha che sin(ϑt) = n1

n2· sin(ϑi)⇒

ϑt > ϑiPoichè max sin(ϑt) = 1 e sin(ϑt) = n1

n2· sin(ϑi), supponendo n1

n2> 1 si ha che al massimo che

ε > 0 1 ≤ (1 + ε) · sin(ϑi)

pertanto èsiste un angolo limite ϑL oltre il quale non si ha un’onda trasmessa in quanto non si verifica ladisequazione sopra.

82

7.4 Intensità delle onde riflesse e rifratte (trasmesse)

PoichèEi(~r, t) = E0i · cos(~r · ~k − ω · t)

per conoscere tutte le caratteristiche dell’onda è necessario conoscere E0i, ~k, ~r e ω, inoltre poichè l’ondavaria anche al cambiamento di mezzo di propagazione si ha anche una relazione con l’indice di rifrazionen.Si può dedurre facilmente ch e ~k varia al ariare di n (dalle leggi di Snell) in quanto k = ω

v e v = cn . Dato

che le onde sono comunque onde elettromagnetiche allora in presenza di un’interfaccia (zona in cui si hal’attraversamento dell’onda all’interfaccia tra i due materiali) si ha la conservazione della componenteparallela all’interfaccia di ~E e ~H e della componente normale (perpendicolare) di ~D e ~B. IMMAGINE

ϑi = ϑr (I Legge di Snell)

Si considerano per semplicità due situazioni limite per ~Ei ( ~Ei ⊥ ~ki nel piano Π : zy e ~Ei ⊥ ~ki nel pianoσ : σ ⊥ Π,~ki ⊂ σ), in realtà ~Ei non si trova ne su Π ne su σ ma tale vettore può essere scomposto in duecomponenti appartenenti a Π e σ.

~E ⊂ Π E0i · cos(ϑi) + E0r · cos(ϑr) = E0t · cos(ϑt) conservazione di ~E‖ε0 · kε1 · E0i · sin(ϑi) + ε0 · kε1 · E0r · sin(ϑr) = ε0 · kε2 · E0t · sin(ϑt) conservazione di ~D⊥

D0i = ε0 · kε1 · E0i; D0r = ε0 · kε1 · E0r; D0t = ε0 · kε2 · E0t

Nel sistema sopra si hanno come incognite E0r e E0t (gli angoli sono “noti” attraverso le leggi diSnell). Supponendo che

E0r = rΠ · E0i E0t = tΠ · E0iE0i · cos(ϑi) + E0r · cos(ϑr) = E0t · cos(ϑt)ε0 · kε1 · E0i · sin(ϑi) + ε0 · kε1 · E0r · sin(ϑr) = ε0 · kε2 · E0t · sin(ϑt)

⇒

⇒

E0i · cos(ϑi) + rΠ · E0i · cos(ϑi) = tΠ · E0i · cos(ϑt)

E0i · sin(ϑi) + rΠ · E0i · sin(ϑi) = kε2

kε1· tΠ · E0i · sin(ϑt) = n2

2

n12 · tΠ · E0i · sin(ϑt)

⇒

cos(ϑi) + rΠ · cos(ϑi) = tΠ · cos(ϑt)

sin(ϑi) + rΠ · sin(ϑi) = n22

n12 · tΠ · sin(ϑt)

sin(ϑt) =n1

n2·sin(ϑi); cos(ϑt) =

√1− n1

2

n22· sin2(ϑi)

Si hanno come incognite rΠ e tΠ. Risolvendo si harΠ =

sin(ϑi) · cos(ϑi)− sin(ϑt) · cos(ϑt)

sin(ϑi) · cos(ϑi) + sin(ϑt) · cos(ϑt)=

tan(ϑi − ϑt)tan(ϑi + ϑt)

=n2 · cos(ϑi)− n1 · cos(ϑt)

n2 · cos(ϑi) + n1 · cos(ϑt)

tΠ =2 · n1 · cos(ϑi)

n2 · cos(ϑi) + n1 · cos(ϑt)=

2 · sin(ϑt) · cos(ϑi)

sin(ϑi) · cos(ϑi) sin(ϑt) · cos(ϑt)=


sin(ϑi + ϑt) · cos(ϑi − ϑt)

Le varie formulazioni sono equivalenti pertanto la scelta di una di esse dipende dal tipo di calcolida eseguire (le differenze di rappresentazione riguardano solo delle modifiche analitiche effettuate).Attraversando il mezzo ci si aspetta che l’onda perda parte della sua energia

Ii =n1

2 · z0· E0i

2 potenza

superfice

Wi = Ii · Σi

dove Σi rappresenta la superfice incidente IMMAGINE

Σi = Σ0 · cos(ϑi) Σr = Σ0 · cos(ϑr) = Σi Σt = Σ0 · cos(ϑt)

83

Definizione 30 (Coefficienti di riflessione, trasmissione (Π)) Si definisono fattori di rifles-sione e trasmissione le seguenti quantità

RΠ =WrΠ

WiΠ

=n1

2·z0 · E0r2 · Σ0 · cos(ϑr)

n1

2·z0 · E0i2 · Σ0 · cos(ϑi)

=E0r

2

E0i2 = rΠ

2

TΠ =WtΠ

WiΠ

=n2

2·z0 · E0t2 · Σ0 · cos(ϑt)

n1

2·z0 · E0i2 · Σ0 · cos(ϑi)

=n2

n1· E0t

2

E0i2 ·

cos(ϑt)

cos(ϑi)=n2

n1· cos(ϑt)

cos(ϑi)· tΠ2

RΠ è l’energia dell’onda incidente che è presa dall’onda risflessa (per unitàà di tempo), mentre TΠ

è l’energia dell’onda incidente che è presa dall’onda trasmessa (rifranta) (per unitàà di tempo).Poichè si ha la conservazione dell’energia si può dimostrare che RΠ + TΠ = 1

~E ⊂ σ , per evitare complicazioni grafiche si considera inizialmente il vettore B, per poi ricondursi a ~E.IMMAGINE

−H0Πi · cos(ϑi) +H0

Πr · cos(ϑr) = −H0

Πt · cos(ϑt)

B0Πi · sin(ϑi) +B0

Πr · sin(ϑr) = B0

Πt · sin(ϑt)

⇒

⇒

−B0

Πi

µ1· cos(ϑi) +

B0Πr

µ1· cos(ϑr) = −B0

Πt

µ2· cos(ϑt)

B0Πi · sin(ϑi) +B0

Πr · sin(ϑr) = B0

Πt · sin(ϑt)

⇒

⇒

− E0

σi

µ1 · v1· cos(ϑi) +

E0σr

µ1 · v1· cos(ϑr) = − E0

σt

µ2 · v2· cos(ϑt)

E0σi

v1· sin(ϑi) +

E0σr

v1· sin(ϑr) =

E0σt

v2· sin(ϑt)

Poichè si trattano solitamente materiali ferromagnetici µ1 ≈ µ2, pertanto−E0

σi

v1· cos(ϑi) +

E0σr

v1· cos(ϑr) = −E0

σt

v2· cos(ϑt)

E0σi

v1· sin(ϑi) +

E0σr

v1· sin(ϑr) =

E0σt

v2· sin(ϑt)

Risolvendo si ha rσ =

n1 · cos(ϑi)− n2 · cos(ϑt)

n1 · cos(ϑi) + n2 · cos(ϑt)= − sin(ϑi − ϑt)

sin(ϑi + ϑt)

tσ =2 · n1 · cos(ϑi)

n1 · cos(ϑi) + n2 · sin(ϑt)=


sin(ϑi + ϑt)

Definizione 31 (Coefficienti di riflessione, trasmissione (σ)) Si definisono fattori di rifles-sione e trasmissione, su σ, le seguenti quantità

Rσ = rσ2 Tσ =

n2

n1· cos(ϑt)

cos(ϑi)· tσ2

Si ha una completa trasmissione dell’onda solo se ϑi + ϑt = π2 , in quanto rΠ = 0, questa condizione è

nota come condizione di Brewster, grazie a tale condizione è possibile ricavare il rapporto n2

n1.

7.4.1 Onda incidende perpendicolare

Un caso particolare dell’analisi precedente si ha quando l’onda incidente incide la superficie in modoperpendicolare, in questa condizione vi è solo la condizione di conservazione di ~E‖, pertanto non avendopiù una seconda equazione si impone la conservazione dell’energia. E1 = E2

E0i + E0r = E0t

n1

2 · z0· E0i

2 · Σ0 =n1

2 · z0· E0r

2 · Σ0 +n2

2 · z0· E0t

2 · Σ0

84

da cui E0i + E0r = E0t

n1 · E0i2 = n1 · E0r

2 + n2 · E0t2

r =n1 − n2

n1 + n2

t =2 · n1

n1 + n2R = r2

T =n1

n2· t2

85

Appunti Ummarino Fisica II

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