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Appunti diMetodi Matematici

Fabio Ortolani

19 febbraio 2013

Indice

1 Funzioni olomorfe 11.1 Il piano complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Una curiosita: i quaternioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Funzioni di variabile complessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1 Lesponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.2 Funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.3 Funzioni iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.4 Differenziabilita ed olomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.5 Condizioni di olomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.6 Curve e domini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2.7 Integrali di contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3 Teorema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3.1 Rappresentazione integrale di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.3.2 Rappresentazioni integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.3.3 Teorema di Morera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.3.4 La serie di Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.3.5 La serie di Laurent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.3.6 Zeri e punti singolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.3.7 Comportamento locale di una funzione analitica . . . . . . . . . . . 52

1.4 Residui. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.4.1 Teorema dei residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.4.2 Calcolo dei residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.4.3 Residuo allinfinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.4.4 Indicatore logaritmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621.4.5 Calcolo di integrali definiti col metodo dei residui . . . . . . . . . . 641.4.6 Poli semplici in prossimita del cammino di integrazione. . . . . . . . 71

1.5 Cenni sulle funzioni polidrome. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791.5.1 Logaritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791.5.2 La radice quadrata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831.5.3 Calcolo di integrali che coinvolgono funzioni polidrome. . . . . . . . 85

1.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911.6.1 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2 Topologia. 1132.1 Spazi topologici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2.1.1 Insiemi aperti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142.1.2 Insiemi chiusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1162.1.3 Topologia indotta e topologia generata . . . . . . . . . . . . . . . . 118

iii

iv INDICE

2.1.4 Punti interni, esterni, di frontiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1192.1.5 Sistemi fondamentali di intorni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

2.2 Spazi metrici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1252.3 Proprieta topologiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

2.3.1 Insiemi compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312.3.2 Spazi di Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1322.3.3 Densita e separabilita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

2.4 Continuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1402.4.1 Continuita e compattezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

2.5 Successioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1472.5.1 Completezza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

2.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1622.6.1 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

3 Spazi lineari. 1713.1 Strutture algebriche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

3.1.1 Spazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1733.1.2 Sottospazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1763.1.3 Dipendenze lineari e basi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

3.2 Applicazioni lineari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1863.3 Somme dirette. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

3.3.1 Dualita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1993.4 Spazi normati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

3.4.1 Norme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2033.4.2 Spazi di Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2073.4.3 Serie infinite di vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2103.4.4 Applicazioni lineari tra spazi normati. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2133.4.5 Norma operatoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2193.4.6 Norme equivalenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

3.5 Spazi Lp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2263.5.1 Disuguaglianza di Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2283.5.2 Disuguaglianza di Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2323.5.3 Spazi lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2353.5.4 Appendice: lim sup e lim inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

3.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2413.6.1 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

4 Spazi di Hilbert. 2594.1 Prodotti scalari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

4.1.1 Forme sesquilineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2594.1.2 Prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

4.2 Geometria di uno spazio di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2684.2.1 Ortogonalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

INDICE v

4.2.2 Decomposizione in sottospazi ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . 2704.2.3 Duale topologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

4.3 Sistemi ortonormali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2774.3.1 Basi hilbertiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2834.3.2 Serie di Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2884.3.3 Polinomi ortogonali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

4.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3054.4.1 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

5 Operatori 3155.1 Applicazioni lineari limitate tra spazi normati. . . . . . . . . . . . . . . . . 315

5.1.1 Convergenza forte di applicazioni continue. . . . . . . . . . . . . . . 3205.1.2 Estensione continua di applicazioni continue. . . . . . . . . . . . . . 327

5.2 Serie operatoriali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3295.2.1 Serie esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3335.2.2 Serie di Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3355.2.3 Serie di potenze di un operatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

5.3 Operatore aggiunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3385.3.1 Operatori autoaggiunti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3425.3.2 Operatori unitari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3435.3.3 Operatori di proiezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

5.4 Trasformate di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3505.4.1 Convoluzione di funzioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3535.4.2 Funzioni a decrescenza rapida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3575.4.3 Formula di inversione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3615.4.4 Trasformate di Fourier in L2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

5.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3715.5.1 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

vi INDICE

Capitolo 1.

Funzioni olomorfe

1.1 Il piano complesso

Lestensione dal sistema dei numeri reali al sistema dei numeri complessi e molto impor-tante sia in matematica che in fisica. Larea della fisica dove i numeri complessi sonopraticamente indispensabili e la meccanica quantistica, in quanto la funzione donda as-sociata ad un sistema fisico e generalmente a valori complessi. In matematica il loro usoe diffuso in quasi tutte le aree.

Non vogliamo trattare le teorie algebriche che introducono i numeri complessi in ma-niera astratta, ma li consideriamo come una estensione naturale dei numeri reali, basatasullesistenza di un numero, lunita immaginaria, che indicheremo sempre con la letterai e che soddisfa la regola algebrica:

i2 1 . (1.1)La qualifica immaginaria denota la natura puramente matematica di tale numero, inquanto nessuna esperienza fisica fornisce come risultato di una misura il numero i, masempre uno o piu numeri reali. Combinando aritmeticamente (cioe tramite le operazioniel