Apertura analitica 2ª.qxd 11-10-2009 13:33 Pagina 63 ... · 66 2 Geometria analitica di base...

Geometriaanalitica di base(seconda parte)

SAPERE

Al termine di questo capitolo, avrai appreso:

il concetto di luogo geometricola definizione di funzione quadratical’interpretazione geometrica di un particolaresistema di equazioni di secondo gradol’interpretazione geometrica di un’equazionedi secondo grado in una sola incognital’interpretazione geometrica di un particolaresistema di equazioni di quarto gradola definizione di funzione di proporzionalitàinversa

SAPER FARE

Al termine di questo capitolo, sarai in grado di:

individuare il grafico di una funzionequadraticarisolvere graficamente un particolaresistema di equazioni di secondo gradorisolvere graficamente un’equazionenumerica intera di secondo grado in unasola incognitarisolvere graficamente un particolaresistema di equazioni di quarto gradoindividuare il grafico di una funzionedi proporzionalità inversa

Apertura_analitica 2ª.qxd 11-10-2009 13:33 Pagina 63

64

Equazioni, disequazioni, sistemi di grado superiore al primonel piano cartesiano

Equazione di un luogo geometricoNon è possibile dare la definizione di linea curva.La sua idea nasce facendo scorrere la punta di una matita su un foglio e immaginando chesi estenda all’infinito da entrambe le parti. Una curva può essere intesa come un luogo geometrico ovvero come l’insieme di tutti e solii punti del piano che soddisfano una certa proprietà. Poiché un punto qualsiasi del pianocartesiano è esprimibile mediante le coordinate generiche (x; y), tale proprietà può essererappresentata dall’equazione di una funzione della forma f(x, y) = 0 che esprime in simboli illegame tra l’ascissa, rappresentata dalla lettera x, e l’ordinata, rappresentata dalla lettera y,di un punto qualsiasi della curva stessa.

Funzione quadraticaÈ noto che, quando a ciascun numero appartenente a un sottoinsieme D dell’insieme Rviene associato uno e un solo numero reale y, si dice che è definita una funzione reale divariabile reale f sull’insieme D.La funzione avente per dominio R e così definita: f: x ax2 + bx + c, con a, b, c ∈R ∧ a ≠ 0,che a x associa f(x) = ax2 + bx + c, prende il nome di funzione quadratica.

a

2Geometria

analiticadi base

(secondaparte)

PARTE

DEFINIZIONELa funzione quadratica è la funzione avente dominio D = R e equazione:

y = ax2 + bx + c, con a ∈R0 e b, c ∈R

CASIPARTICOLARI

Se a = 0, b ≠ 0 e c ≠ 0, l’equazione f(x) = ax2 + bx + c assume la forma f(x) = bx + cche rappresenta l’equazione della funzione affine.

Se a = 0, b ≠ 0 e c = 0, l’equazione f(x) = ax2 + bx + c assume la forma f(x) = bxche rappresenta l’equazione della funzione lineare.

Se a ≠ 0, b = 0 e c = 0, l’equazione f(x) = ax2 + bx + c assume la forma f(x) = ax2

che rappresenta l’equazione della funzione della proporzionalità diretta al

quadrato.

• f(x) = 3x2 + 5x + 1 è una funzione quadratica. La seguente tabella illustra i valori assunti da y = f(x) al variare di x nell’insiemeD = {1, 5, 8, 9}.

esempio

x 1 5 8 9

f(x) 3 ⋅ 12 + 5 ⋅ 1 + 1 = 9 101 233 289


2Geometriaanaliticadi base(secondaparte)

PARTE

65

Rappresentazione grafica di una funzione quadraticaÈ noto che le coordinate di un punto appartenente a una retta, sostituite alle variabili del-l’equazione della retta stessa, trasformano l’equazione in un’uguaglianza numerica vera e,in tal caso, si dice anche che le coordinate soddisfano l’equazione della retta.La stessa proprietà può essere generalizzata alle curve per cui, se le coordinate di un punto,sostituite alle variabili dell’equazione di una curva, trasformano l’equazione in un’ugua-glianza numerica vera, allora il punto appartiene alla curva. Viceversa, se un punto appar-tiene a una curva, allora le sue coordinate, sostituite alle variabili dell’equazione dellacurva, trasformano l’equazione in un’uguaglianza numerica vera.La rappresentazione grafica di una funzione quadratica in un piano cartesiano è una curvache prende il nome di parabola.Essa è l’insieme di tutti i punti del piano aventi coordinate (x; ax2 + bx + c).Per tracciare una parabola nel piano cartesiano, è necessario conoscere e congiungere uncongruo numero di suoi punti. Cercare le coordinate di tali punti significa individuare un certo numero di coppie dinumeri x e y che si ottengono dall’equazione della funzione quadratica (associata allaparabola) assegnando a x dei valori reali e ricavando, per ciascuno di essi, i corrispon-denti valori di y.Si esaminino i seguenti casi:caso 1 : a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0;caso 2 : a ≠ 0, b = 0 e c = 0.

Caso 1: a ≠≠ 0, b ≠≠ 0 e c ≠≠ 0È utile tener presenti alcune proprietà che caratterizzano la parabola e che saranno studia-te in modo approfondito nei prossimi anni scolastici.

• Una parabola di equazione y = ax2 + bx + c è dotata di un asse di simmetria parallelo all’as-

se y, di equazione .

Preso un punto qualsiasi della parabola, il suo simmetrico rispetto all’asse di simmetriaè un punto della parabola.

• Se il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, a > 0, la parabola rivolge lasua concavità verso la direzione positiva dell’asse y; se a < 0, la parabola rivolge la suaconcavità verso la direzione negativa dell’asse y.

x ba

= −2

• y = 3x2 è una funzione di proporzionalità diretta al quadrato. La seguente tabella illustra i valori assunti da y = f(x) al variare di x nell’insiemeD = {1,2,3,4,6,8,12}.

Dalla tabella si evince facilmente che, se x raddoppia, y quadruplica, ovvero diventa22 = 4 volte più grande; se x triplica, y diventa 32 = 9 volte più grande; se x quadrupli-ca, y diventa 42 = 16 volte più grande, ….

x 1 2 3 4 6 8 12

f(x) 3 12 27 48 108 192 432


66

2Geometria

analiticadi base

(secondaparte)

PARTE• La parabola e il suo asse di simmetria hanno un punto V in comune, detto vertice della

parabola. Le sue coordinate,

si individuano risolvendo il sistema tra l’equazione della parabola e l’equazione dell’as-se di simmetria:

Se la parabola rivolge la sua concavità verso la direzione positiva dell’asse y, l’ordinatadel suo vertice corrisponde al valore minimo che la funzione quadratica può assumere;se la parabola rivolge la sua concavità verso la direzione negativa dell’asse y, l’ordinatadel suo vertice corrisponde al valore massimo che la funzione quadratica può assumere.

• Le coordinate dell’eventuale punto di intersezione tra una parabola e l’asse y sono (0; c)e si determinano risolvendo il sistema tra l’equazione della parabola e l’equazione del-l’asse y:

y ax bx cx

= + +=

⎧⎨⎩

2

0

y ax bx c

x ba

= + +

= −

⎧⎨⎪

⎩⎪

2

2

V ba

b aca

− −−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟2

4

4

2

;

Asse di simmetria

Vertice

Vertice

Concavità verso la direzione positivadell’asse y

Concavità verso la direzione negativadell’asse y

a < 0a > 0

V

V

c

cVertice

1

2

3

4

1

–1

–2

2

3

4

1 2 3

1 2 3

–1

–1–2

yy

x

x

Caso 2: a ≠ 0, b = 0 e c = 0

Se a ≠ 0, b = 0 e c = 0, l’equazione f(x) = ax2 + bx + c assume la forma f(x) = ax2, che rap-presenta l’equazione della funzione della proporzionalità diretta al quadrato. Il suo gra-fico è una parabola avente vertice nell’origine del piano cartesiano e l’asse y per asse disimmetria.Si demanda allo studente di esaminare i casi:a = 0, b ≠ 0 e c ≠ 0;a = 0, b ≠ 0 e c = 0.



PARTE

67

Individuare le coordinate del vertice, l’equazione dell’asse di simmetria e la concavitàdelle parabole che corrispondono alle seguenti equazioni:

• y = 3x2 − 5x + 2. All’equazione assegnata corrisponde nel piano cartesiano una para-bola che rivolge la sua concavità verso la direzione positiva dell’asse y, che ha verti-ce nel punto:

e asse di simmetria di equazione:

• y = −3x2 + 5x + 2. All’equazione assegnata corrisponde nel piano cartesiano una para-bola che rivolge la sua concavità verso la direzione negativa dell’asse y, che ha verti-ce nel punto:

e asse di simmetria di equazione:

• y = 3x2. All’equazione assegnata corrisponde nel piano cartesiano una parabola cherivolge la sua concavità verso la direzione positiva dell’asse y, che ha vertice nell’ori-gine e per asse di simmetria l’asse y.

x =5

6V 5

6

49

12;

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x =5

6V 5

6

1

12;−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

• y = −3x2. All’equazione assegnata corrisponde nel piano cartesiano una parabola cherivolge la sua concavità verso la direzione negativa dell’asse y, che ha vertice nell’ori-gine e per asse di simmetria l’asse y.

esempio

y

3

2

1

1 2–1 x

y

–3

–1

–2

1–1 x


68

Risoluzione grafica di un particolare sistema di equazionidi secondo grado

Risolvere graficamente in un piano cartesiano un sistema di secondo grado costituito daun’equazione numerica intera di secondo grado in due incognite, della forma y = ax2 + bx + c(equazione di una funzione quadratica), e da un’equazione numerica intera di primo gradonelle stesse due incognite (equazione di una funzione affine), della forma y = mx + q, signi-fica individuare le posizioni reciproche della parabola corrispondente all’equazione disecondo grado e della retta corrispondente all’equazione di primo grado.Tre sono i casi possibili e, ovviamente, per ciascuno di essi, vale anche il viceversa.

• Se retta e parabola sono secanti e si intersecano in due punti diversi, allora il sistema èdeterminato in R (il discriminante dell’equazione risolvente del sistema è maggiore dizero: Δ > 0) e le coordinate dei due punti di intersezione rappresentano le due coppie dinumeri reali soluzioni del sistema (le eventuali soluzioni reali dell’equazione risolvente

2Geometria

analiticadi base

(secondaparte)

PARTE

• Tracciare il grafico della funzione di equazione: f(x) = |x2 − 9|.

Tenendo conto di quanto già studiato riguardo alla funzione modulo, la funzione diequazione: f(x) = |x2 − 9| è così definita:

Il grafico della funzione di equazione f(x) = |x2 – 9| è quindi dato:

• dal tratto del grafico della parabola di equazione y = x2 – 9 (che rivolge la sua conca-vità verso la direzione positiva dell’asse y) appartenente al semipiano positivo dell’as-se y e corrispondente alle x appartenenti all’insieme (–∞, –3] ∪ [3, +∞);

• dal tratto della parabola di equazione y = 9 – x2 (che rivolge la sua concavità verso ladirezione negativa dell’asse y) corrispondente alle x appartenenti all’insieme (–3, 3)“riportato” al di sopra dell’asse delle x.

f xx x

x xf x( ) (=

− − ≥− + − <

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒

2 2

2 2

9 0

0

9 se

9 se 9)) =

− ≤ − ∨ ≥− + − < <

⎧⎨⎪

⎩⎪x x x

x x

2

2

3 3

3

9 se

9 se 3

–2

–1

2

1

3

5

7

9

4

6

8

10y

21 4–2 –1–3 3–4 x



PARTE

69

• Se retta e parabola sono tangenti (si intersecano in un solo punto), allora il sistema èdeterminato in R (il discriminante dell’equazione risolvente del sistema è uguale a zero:Δ = 0) e le coordinate del punto di intersezione rappresentano la coppia di numeri realisoluzione del sistema.

• Se retta e parabola sono l’una esterna all’altra (non si intersecano in alcun punto), allo-ra il sistema è impossibile in R (il discriminante dell’equazione risolvente del sistema èminore di zero: Δ < 0).

sono le ascisse dei punti di intersezione; le ordinate si individuano sostituendo le solu-zioni in una delle due equazioni del sistema).

CASIPARTICOLARI

Ai tre casi precedenti si deve aggiungere il caso particolare relativo all’interse-zione della parabola con una retta parallela al suo asse di simmetria o coinciden-te con uno degli assi cartesiani. Se retta e parabola sono secanti e si intersecanoin un solo punto, allora il sistema è determinato in R e le coordinate del punto diintersezione rappresentano la coppia di numeri reali soluzione del sistema.


70

2Geometria

analiticadi base

(secondaparte)

PARTE

Risolvere graficamente il seguente sistema:

La parabola di equazione y = 3x2 − 4x + 1 e la retta di equazione y = x − 1 devono esse-re rappresentate graficamente in un piano cartesiano, al fine di individuare le loro even-tuali intersezioni.

y x xy x

= − += −

⎧⎨⎩

3 4 1

1

2

La rappresentazione grafica informa che parabola e retta si intersecano in due punti. La risoluzione algebrica conferma ciò che si deduce dal grafico:

L’equazione risolvente è:

3x2 − 5x + 2 = 0, con Δ > 0

Se si risolve il sistema, si ottengono le coordinate dei punti di intersezione.

La parabola e la retta sono secanti e si intersecano nei due punti

P(1;0) e Q 2

3

1

3;−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

y x xy x

x x xy x

= − += −

⎧⎨⎩

⇒ − = − += −

⎧⎨⎩

3 4 1

1

1 3 4 1

1

2 2

esempio

y

1

2

–1

x1 2

P

Q



PARTE

71

Individuare le intersezioni della parabola di equazione y = 3x2 − 4x + 1 con le rette aven-ti le seguenti equazioni:

• y = 2x − 2.Dalla rappresentazione grafica si deduce che la parabola di equazione y = 3x2 − 4x + 1e la retta di equazione y = 2x − 2 sono tangenti nel punto (1; 0):

La risoluzione algebrica conferma ciò che si deduce dal grafico:

L’equazione risolvente è: 3x2 − 6x + 3 = 0, con Δ = 0. Se si risolve il sistema, si otten-gono le coordinate del punto di intersezione: (1; 0).

• y = x − 2Dalla rappresentazione grafica si deduce che la parabola di equazione y = 3x2 − 4x + 1e la retta di equazione y = x − 2 sono l’una esterna all’altra (la parabola e la retta nonsi intersecano in alcun punto).

y x xy x

x x xy x

= − += −

⎧⎨⎩

⇒ − = − += −

⎧⎨⎩

3 4 1

2 2

2 2 3 4 1

2 2

2 2

y

1

–1

–2

x

y

1

1 2

2

–1

–2

x


72

Risoluzione grafica di un’equazione numerica interadi secondo grado in una sola incognita

In virtù di quanto già appreso, un’equazione numerica intera di secondo grado in una solaincognita, della forma ax2 + bx + c = 0, con a, b, c ∈R e a ≠ 0, può essere consideratal’equazione risolvente del seguente sistema di secondo grado:

Risolvere graficamente l’equazione significa quindi cercare le ascisse dei punti di interse-zione della parabola con l’asse x.

y ax bx cy

= + + →=

2

0

equazione di una parabola

equazione dell'asse →⎧⎨⎩ x

2Geometria

analiticadi base

(secondaparte)

PARTE


L’equazione risolvente è: 3x2 − 5x + 3 = 0, con Δ < 0.

• Individuare le intersezioni della parabola di equazione y = 3x2 − 4x + 1 con la retta diequazione: x = 2.Dalla rappresentazione grafica si deduce che la parabola e la retta hanno un solo puntoin comune, P(2;5), ma non sono tangenti (infatti la retta di equazione: x = 2 è paralle-

la all’asse di simmetria della parabola, che ha equazione ).x =2

3

y x xy x

x x xy x

= − += −

⎧⎨⎩

⇒ − = − += −

⎧⎨⎩

3 4 1

2

2 3 4 1

2

2 2


La parabola e la retta si intersecano nel punto di coordinate (2; 5).

y x xx

yx

yx

= − +=

⎧⎨⎩

⇒= − +=

⎧⎨⎩

⇒==

⎧⎨⎩

3 4 1

2

12 8 1

2

5

2

2

y

1

–1

2

3

4

5

6

7

–1–2 1 2 3 x



PARTE

73

Tre sono i casi possibili:

• Se la parabola e l’asse x si intersecano in due punti distinti P e Q, allora il discriminan-te dell’equazione risolvente è positivo e le coordinate dei punti di interse-zione sono le seguenti:

e

• Se la parabola e l’asse x sono l’una tangente all’altra in un punto P (ovvero la parabolainterseca l’asse x in un solo punto), allora il discriminante dell’equazionerisolvente è nullo e le coordinate del punto di intersezione sono:

corrispondenti al vertice della parabola.

• Se la parabola e l’asse x sono l’una esterna all’altro, allora il discriminante dell’equazione risolvente è negativo.

Ovviamente, per ciascuno dei casi esaminati, vale anche il viceversa.

Δ = −b ac2 4

P ba

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

0;

Δ = −b ac2 4

Q ba

− + Δ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

20; P b

a− − Δ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

20;

Δ = −b ac2 4

• Risolvere graficamente l’equazione 3x2 − 4x + 1 = 0.Si devono individuare le intersezioni della parabola di equazione y = 3x2 − 4x + 1 conl’asse x.

Il grafico informa che la parabola e l’asse x si intersecano in due punti distinti. La risoluzione algebrica lo conferma:

L’equazione risolvente è: 3x2 − 4x + 1 = 0 ⇒…

La parabola e l’asse x sono secanti: si intersecano nei due punti P(1; 0) e.

Q 1

30;

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

y x xy

x xy

= − +=

⎧⎨⎩

⇒ = − +=

⎧⎨⎩

3 4 1

0

0 3 4 1

0

2 2

esempio

y

1

–1

2

3

4

5

6

7

–1–2 1 2 x

PQ


74

Risoluzione grafica di un particolare sistema di equazioni di quarto gradoRisolvere un sistema di equazioni di quarto grado della forma:

con a, d ∈R0 ∧ b, c, e, f ∈R, significa cercare le coordinate dei punti di intersezione delle dueparabole rappresentate dalle due equazioni del sistema. Pertanto, se le due parabole sono: • secanti, allora il sistema è determinato in R e le sue soluzioni sono due coppie di nume-

ri, coordinate dei punti di intersezione;• tangenti, allora il sistema è determinato in R e la sua soluzione è data da una coppia di

numeri, coordinate del punto di tangenza;• l’una esterna all’altra, allora il sistema è impossibile in R.

Ovviamente, per ciascuno dei casi esaminati, vale anche il viceversa.

y ax bx cy dx ex f

= + += + +

⎧⎨⎪

⎩⎪

2

2

2Geometria

analiticadi base

(secondaparte)

PARTE

• Individuare l’intersezione della parabola di equazione y = −x2 − x + 1 con l’asse y.Si rappresenti la parabola di equazione y = −x2 − x + 1 in un piano cartesiano.

La risoluzione algebrica del sistema:

conferma che la parabola e l’asse y sonosecanti e si intersecano nel punto di coordi-nate: P(0; 1).

y x xx

= − − +=

⎧⎨⎩

2 1

0

y

x

1

1

• Risolvere graficamente il sistema: .

La rappresentazione grafica delle due parabole è la seguente.

y x xy x x

= − −= − + +

⎧⎨⎪

⎩⎪

2

2

2

3 4

esempio

y

–1–1

–2

–3

–2–3 32 5 641

1

2

3

4

5

6

7

8

xLe due parabole sono secanti. Esse si interseca-no nei punti di coordinate: (–1; 0) e (3; 4).La risoluzione algebrica del sistema confermal’asserzione.



PARTE

75

6

5

4

3

2

1

0E

0 1 2 3 4–4 –3 –2 –1

–1

–2

–3

D x

y

6

5

4

3

2

1

0E

0 1 2 3 4–4 –3 –2 –1

–1

–2

–3

D

x

y

Funzione di proporzionalità inversaSi prenda in considerazione la funzione di equazione:

, ∀n ∈R∧x ≠ 0

Dall’esame dell’equazione, si evince che al crescere (o al decrescere) di x, decresce (o cresce)

allo stesso modo anche .

Per tale motivo, la funzione di equazione , ∀n ∈R ∧ x ≠ 0, è anche detta funzione di

proporzionalità inversa di coefficiente di proporzionalità n.Essa è una funzione avente per dominio l’insieme dei numeri reali privato dello zero:D = R − {0}.La funzione di proporzionalità inversa corrisponde nel piano cartesiano a una curva parti-colare che prende il nome di iperbole equilatera riferita al centro e ai propri asintoti.Se n > 0, la curva è situata nel primo e terzo quadrante; se n < 0, nel secondo e nel quartoquadrante. Le due parti di cui è costituita l’iperbole prendono il nome di rami.L’iperbole è inoltre simmetrica rispetto all’origine O del piano cartesiano.I punti E e D (nelle due rappresentazioni) sono i vertici dell’iperbole equilatera. Essi si determinano intersecando l’iperbole con la bisettrice del primo e del terzo quadran-te, se n > 0; con la bisettrice del secondo e quarto quadrante, se n < 0. La bisettrice a cui appartengono i vertici prende il nome di asse trasverso dell’iperboleequilatera.Gli assi rappresentano gli asintoti dell’iperbole equilatera.

y nx

=

y nx

=

y nx

=


76

2Geometria

analiticadi base

(secondaparte)

PARTE

Completare la seguente tabella, che si riferisce all’equazione di una funzione di propor-zionalità inversa, e rappresentare nel piano la corrispondente iperbole:

Per completare la tabella è necessario sostituire a x, contenuto nell’equazione ,i valori contenuti nella prima riga:

yx

=2

Per rappresentare in un piano cartesiano l’iperbole di equazione , è necessario

individuare i vertici dell’iperbole: essi sono i punti di intersezione dell’iperbole con labisettrice del primo e del terzo quadrante (perché n = 2 è un numero positivo), di equa-zione y = x.Le loro coordinate, e , si determinano risolvendo il sistema costi-tuito dall’equazione dell’iperbole e dall’equazione della bisettrice:

Il grafico dell’iperbole di equazione è il seguente:yx

=2

yx

y x

=

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

2

( ; )− −2 2( ; )2 2

yx

=2

esempio

E

D

–5–6–7–8–9–10 –4 –3 –2 –1–1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

–2–3–4–5

–6

12345

6

y

x

x −2 −1 1 2

yx

=2

1

2−

1

2

x −2 −1 1 2

−2 −4 4 2 1y =−

= −2

21y

x=

2

1

2−

1

2


x −4 −2 0 1 2 3

y = –x2 + 2x

1

4

1

2−

1

2

77

Esercizi

unpo’ diaiuto

x −1 0 1 2

y = 4x2 + x + 1 4 1 6 193

2

5

2

3

2

1

4

1

2−

1

2

x −4 −3 −2 0 1 2

y = x2 + x + 1

1

2−

1

2

x −1 0 1 2 3

y = 6x2 + 4x – 1

1

2

1

4−

1

2

x −3 −2 0 1 2 3

y = –x2 + x

1

3−

1

3

Completare le seguenti tabelle che si riferiscono a equazioni di funzioniquadratiche

4

3

2

1

SAPER FARE

Analitica_esercizi 2ª.qxd 11-10-2009 13:34 Pagina 77

2Geometria

analiticadi base

(secondaparte)

PARTE

ESERCIZI

78

x −4 −2 0 1 2 3

y = –x2

1

4

1

2−

1

2

x −4 −3 −2 0 1 2

y = 2x2

1

2−

1

2

x −1 0 1 2 3

y = –2x2

1

2

1

4−

1

2

x −3 −2 0 1 2 3

y = –3x2

1

3−

1

3

x −3 −2 0 1 2 3

y = 5x2

1

5−

1

5

x −3 −2 0 1 2 3

y = 5x2 + 1

1

5−

1

5

10

9

8

7

6

5



PARTE

ESERCIZI

79

unpo’ diaiutoy = 5x2 + 6x + 1.

L’equazione della funzione rappresenta una parabola che rivolge la sua concavitàverso la direzione positiva dell’asse y, dato che il coefficiente del termine di secondogrado possiede segno positivo (5 > 0).L’asse di simmetria ha equazione:

Poiché a = 5 e b = 6, si avrà:

Il vertice ha coordinate:

Poiché Δ = 16, si avrà:

V − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3

5

4

5;

− −−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

ba

b aca2

4

4

2

;

x = −3

5

x ba

= −2

Rappresentare graficamente le seguenti funzioni

y = x2 − 4x + 4

y = −x2 + 6x

y = 3x2 − 12x

y = −x2 − 2x + 1

y = x2 − 8x + 1

y = 2x2 − 1

y = −x2 + 14x − 33

y = −x2 + 1

y = −2x2 + 3x + 1

y = 3x2 + 7x

y = −4x2 − 5x + 1

y = −2x2 + 3x − 2

y = x2 + x

y = −6x2 + 5x − 124

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11


y x xy

= − + −=

⎧⎨⎩

2 15 26

032

y x xy

= − + +=

⎧⎨⎩

2 6

0

2

31

y x xy

= + −=

⎧⎨⎩

2 8 48

030

y x xx

= − + +=

⎧⎨⎩

12 43 1

0

2

29

y x xx

= − + −=

⎧⎨⎩

13 40 5

0

2

28y x xx

= − −=

⎧⎨⎩

5 6 2

0

2

27

y x xx

= − + +=

⎧⎨⎩

3 10 12

0

2

26y x xx

= + −=

⎧⎨⎩

2 4 1

0

2

25

2Geometria

analiticadi base

(secondaparte)

PARTE

ESERCIZI

80

unpo’ diaiuto

La prima equazione del sistema è l’equazione di una parabola che rivolge la conca-vità verso la direzione positiva dell’asse y e interseca l’asse x in due punti distinti(Δ > 0).La seconda equazione del sistema è l’equazione di una retta.La rappresentazione grafica delle due curve è la seguente.

y x xy x

= + += +

⎧⎨⎩

2 7 5

1

2

La parabola e la retta sono quindi secanti e i punti di intersezione hanno coordinate:(−2; −1) e (−1; 0).La risoluzione algebrica del sistema conferma l’asserzione.

5

4

3

2

1

–1

–1–2–3

y

x

Risolvere graficamente i seguenti sistemi numerici interi di secondo grado


Risolvere graficamente le seguenti equazioni numeriche intere di secondo grado

y x xx y

= − ++ − =

⎧⎨⎩

4 9 6

2 0

2

36y x xy x

= − + += +

⎧⎨⎩

2 3 1

1

2

35

y x xy x

= − += +

⎧⎨⎩

2 5 2

2

2

34y x xy x

= − += −

⎧⎨⎩

2 4 4

2 133 2

Geometriaanaliticadi base(secondaparte)

PARTE

ESERCIZI

81

unpo’ diaiutox2−7x + 12 = 0.Risolvere graficamente l’equazione assegnata significa cercare le ascissedei punti di intersezione della parabola di equazione y = x2−7x + 12 con l’asse x.La rappresentazione grafica della parabola nel piano cartesiano è la seguente.

Dalla rappresentazione grafica si deduce che la parabola interseca l’asse x in due puntidistinti P e Q di coordinate: P(3; 0) e Q(4; 0).La risoluzione algebrica dell’equazione assegnata conferma l’asserzione.

8

6

7

4

5

1

2

3

2 4 6 x531

y

2x2 + x + 1 = 0 3x2 − 7x + 4 = 0

4x2 − 5x + 1 = 0 −2x2 + 3x − 2 = 0

3x2 − 2x = 0 x2 + x = 0

−6x2 + 5x − 1 = 0 x2 − 7x + 6 = 0

−4x2 − 5x − 1 = 0 3x2 − 5x + 2 = 0

4x2 − 7x − 2 = 0 −3x2 + 7x − 4 = 0

x2 − 4x + 4 = 0 −x2 + 6x + 16 = 0

−x2 + x = 0 2x2 − 1 = 05251

5049

4847

4645

4443

4241

4039

3837


2x2 + 3x + 1 < 0

x2 − 7x + 12 > 0

x2 − 5x + 4 ≥ 0

−x2 + 3x − 4 ≤ 0

5x2 − 20x ≥ 0

x2 + 4x < 0

6x2 + 5x + 1 ≤ 0

−x2 + 7x − 6 > 0

−x2 − 5x − 4 ≥ 0

6x2 − 5x + 1 ≤ 0

8x2 − 7x − 1 < 0

−x2 + 7x − 12 > 0

4x2 − 4x + 1 ≤ 0

−2x2 + 15x − 18 < 0

2x2 − 8 ≥ 0

−x2 + 7x ≤ 068

67

66

65

64

63

62

61

60

59

58

57

56

55

54

53

2Geometria

analiticadi base

(secondaparte)

PARTE

ESERCIZI

82

unpo’ diaiutox2 − 6x + 5 > 0.La rappresentazione della parabola di equazione y = x2 − 6x + 5 nel piano cartesianoè la seguente.

Dal grafico si deduce che i punti della parabola aventi ordinate positive hanno ascis-se minori di 1 o maggiori di 5.

6

3

4

5

2

1

1 2 3 4 5 6

–1

–2

–3

y

x

Risolvere graficamente le seguenti disequazioni numeriche interein un’incognita


y x xy x x

= − += + +

⎧⎨⎪

⎩⎪2 6 1

2 4 7

2

278

y x xy x x

= − += − +

⎧⎨⎪

⎩⎪2 5 6

2 1

2

277

y x xy x x

= − −= +

⎧⎨⎪

⎩⎪

2

2

1

276

y x xy x

= − + += −

⎧⎨⎪

⎩⎪

2

2

3 275

y x xy x

= + +=

⎧⎨⎪

⎩⎪

2

2

2 174

y x

y x x

= − +

= +

⎧⎨⎪

⎩⎪

2

2

5

1

12

1

3

73

y x xy x x

= − += − +

⎧⎨⎪

⎩⎪

2

2

6 5

5 472

y x xy x x

= − + += − +

⎧⎨⎪

⎩⎪

2

2

2 1

371

y x xy x x

= − += − − +

⎧⎨⎪

⎩⎪4 3

2 3

2

270

y x xy x x

= + −= +

⎧⎨⎪

⎩⎪

2

2

2 369


PARTE

ESERCIZI

83

unpo’ diaiutoy x xy x x

= − += − +

⎧⎨⎪

⎩⎪6 11 5

4 5 1

2

2

Dall’esame della rappresentazione grafica si deduce che le due parabole si interseca-no nel punto (1; 0).La risoluzione algebrica avalla l’asserzione.

3

4

2

1 2 3 4 5 6

1

–1

–2 –1

y

x

Risolvere graficamente i seguenti sistemi numerici interi di quarto grado


Completare le seguenti tabelle che si riferiscono a equazioni di funzioni di proporzionalità inversa e rappresentare nel piano le corrispondenti iperboli

y x xy x

= + −= −

⎧⎨⎪

⎩⎪2 5

3

2

283

y x xy x x

= − − += − + +

⎧⎨⎪

⎩⎪3 4

4

2

282

y x xy x x

= − += − +

⎧⎨⎪

⎩⎪2 3 1

4

2

281

y x xy x

= − − += − +

⎧⎨⎪

⎩⎪3 2 1

2 1

2

280

y x x

y x x

= + +

= − −

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

3

2

3

21

2

2

2

792Geometria

analiticadi base

(secondaparte)

PARTE

ESERCIZI

84

unpo’ diaiuto

Per completare la tabella è necessario sostituire a x, contenuto nell’equazione

i valori contenuti nella prima riga:

yx

=3

Per rappresentare in un piano cartesiano l’iperbole di equazione , è necessario

individuare i vertici dell’iperbole: essi sono i punti di intersezione dell’iperbole con labisettrice del primo e del terzo quadrante (perché n = 3 è un numero positivo), di equa-zione y = x.Le loro coordinate, e , si determinano risolvendo il sistemacostituito dall’equazione dell’iperbole e dall’equazione della bisettrice ovvero ilseguente sistema:

yx

y x

=

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

3

( ; )− −3 3( ; )3 3

yx

=3

x −3 −1 1 3

yx

=3

1

2−

1

2

x −3 −1 1 3

−3 −6 6 3 1y =−

= −3

31y

x=

3

1

2−

1

2


x −3 −2 0 1 2 3

yx

=1

1

6

1

3−

1

3


PARTE

ESERCIZI

85

Il grafico dell’iperbole di equazione è il seguente:yx

=3

–6–8–10 –4 –2 2 4 6 8 10–2

–4

–6

2

4

6

y

x

x −3 −2 0 1 2 3

yx

= −1

1

6

1

3−

1

3

x −4 −2 0 1 2 3

yx

= −2

1

4

1

2−

1

2

86

85

84


2Geometria

analiticadi base

(secondaparte)

PARTE

ESERCIZI

86

x −4 −3 −2 0 1 2

yx

= −3

1

4

1

2−

1

2

x −3 −1 0 1 2 3

yx

=4

1

4

1

2−

1

2

x −3 −2 0 1 2 3

yx

= −4

1

6

1

2−

1

2

x −3 −2 0 1 2 3

yx

=5

1

6

1

3−

1

3

x −4 −3 −2 0 1 2

yx

= −5

1

4

1

2−

1

2

91

90

89

88

87


Apertura analitica 2ª.qxd 11-10-2009 13:33 Pagina 63 ... · 66 2 Geometria analitica di base...

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