Analisi Logiche Delle Prove Ontologiche

8/14/2019 Analisi Logiche Delle Prove Ontologiche

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ANALISI LOGICHE DELLE PROVE ONTOLOGICHE DELLESISTENZA DI DIO:RUSSELL,GDEL E ODIFREDDI SU CARTESIO,LEIBNIZ E ANSELMO.

Esaminiamo ora la formalizzazione della provaontologica, ossia la versione di Gdel della versione diLeibniz della versione di Cartesio della versione di An-selmo.

PIERGIORGIO ODIFREDDI1

I

In un passo marginale di On Denoting2, Russell applic en passantla suaanalisi logica dei sintagmi denotativi, e in particolare delle descrizioni definitedella forma Il cos e cos (ovvero il termine che ha la propriet F, come

Lattuale Presidente del Consiglio), alla versione cartesiana della prova onto-logica dellesistenza di Dio, per mostrare che essa non affatto una prova. Laversione sillogistica tradizionale di tale prova (formalmente valida) la se-guente:

LEssere perfettissimo ha tutte le perfezioni;

Lesistenza una perfezione;

Dunque, lEssere perfettissimo ha lesistenza (cio esiste).3

Nellanalisi di Russell essa diventa:

1. C una e una sola entit x che perfettissima ed ha tutte le perfezioni;

2. Lesistenza una perfezione;

3. Dunque questa entit esiste.

Anche se Russell non lo fa, tuttavia possibile formalizzare la versioneprecedente dellargomento ontologico utilizzando una notazione del calcolo deipredicati analoga a quella contenuta in On Denoting. Indicando con P il predicatoessere perfettissimo, conC la classe di tutte le perfezioni, cio, per definizione,

1 Piergiorgio Odifreddi,Il vangelo secondo la scienza, Torino, Einaudi, 1999, Dimostrazioni,p. 144. Il saggio di Odifreddi Una dimostrazione divina, stampato come Appendice A in KurtGdel,La prova matematica dellesistenza di Dio, a cura di Gabriele Lolli e Piergiorgio Odi-freddi, Torino, Bollati Boringhieri, 2006, pp. 77-94, che verr menzionato anche in seguito, inmassima parte un estratto delle pp. 134-150 del citato capitolo sulle Dimostrazioni deIl van-gelo secondo la scienza.2 Bertrand Russell, On Denoting, Mind, 14, 1905, pp. 479-493, tr. it. Sulla denotazione, in A.Bonomi (a cura di),La struttura logica del Linguaggio, Milano, Bompiani, 1973, ried. 2001, pp.179-195 (il passo qui discusso si trova a p. 193).3 Tale forma giustificata, ad esempio, dal seguente passo della 5a meditazione di Cartesio: (...) necessario ammettere che Dio esista, una volta ammesso che egli abbia tutte le perfezio-

ni, dal momento che anche lesistenza una perfezione (Ren Descartes, Meditazioni metafisi-che, traduzione e introduzione di Sergio Lanucci, Roma-Bari, Laterza, 1997, 20002, p. 111).


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di tutti i predicati puramente positivi4, con un qualsiasi elemento di C, con Eil predicato dellesistenza e con d lunico individuo che gode della propriet diessere perfettissimo, la precedente formulazione assume la seguente forma:

1. ( x) (Px () (( C ) x) (y) (Py y =x) (x = d))2. E C3. Ed

La derivazione di 3 da 1 e 2 formalmente valida e si pu dimostrare conuna semplice applicazione del modus ponens eliminando il quantificatore esi-stenziale e le congiunzioni da 1 e sostituendox con ded E con . Tuttavia, con-clude Russell, la correttezza della derivazione non deve far dimenticare che man-ca una prova della premessa, cio dellesistenza effettivadellentit perfettissima,

e cos tutta la dimostrazione finisce per assumere implicitamente ci che devedimostrare, cadendo in una circolarit disastrosa. Ma la nota a pie di pagina re-lativa al passo in questione di On Denoting che costituisce la parte forse pi inte-ressante, perch Russell dice una cosa che sembra rendere impossibile in anticipola futura prova di Gdel: Largomento pu essere addotto per dimostrare vali-damente che tutti i membri della classe degli esseri perfettissimi esistono; si puanche dimostrare formalmente che questa classe non pu avere pi di un mem-bro; ma, assumendo la definizione della perfezione quale possesso di tutti i pre-dicati positivi, si pu dimostrare quasi altrettanto formalmente che la classe nonha neanche un membro.

Presumibilmente Russell pensa al fatto che gi per un numero sufficien-temente ampio di predicati positivi, comunque siano intesi, diventa molto diffici-le definire un membro che li possieda tutti (si pu essere, ad esempio, sia som-mamente giusti che sommamente misericordiosi allo stesso tempo?); per un nu-mero di predicati tendente allinfinito, poi, la probabilit di trovare un membro ingrado di soddisfarli tutti tende a zero.

II

Anche se Gdel non cita mai Russell negli appunti relativi alla lunga ela-

borazione della sua prova (concepita nei primi anni 40 e portata a termine nel1970), egli sembra tuttavia lanciare una sfida proprio allosservazione di Russell,visto che sua intenzione dimostrare che la classe di tutte le propriet positive

4 Qualunque cosa ci voglia dire: per Leibniz, ad esempio, saranno qualit positive e assolute,mentre per Gdel, nella versione del 10 febbraio 1970 della prova ontologica (quella definitiva),saranno propriet positive nel senso morale estetico (cfr. Gdel, La prova matematica

dellesistenza di Dio, cit., p. 62), dotate per di caratteristiche logico-formali ben precise poste

come assiomi, come vedremo. Per una discussione dettagliata di questa nozione in Leibniz eGdel, cfr. la Nota Introduttiva di Robert M. Adams a Gdel, op. cit., pp. 23-57.


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non contraddittoria, non vuota ed soddisfatta da un solo membro, cio Dio.5Di fatto, quella di Gdel una formalizzazione ultrasofisticata (calcolo dei predi-cati del secondo ordine e operatori modali) della formulazione leibniziana della

prova ontologica (Lessere perfettissimo e necessario, se possibile, esiste; ma

possibile, dunque esiste6), e dunque va un passo oltre rispetto alla prova di-scussa da Russell. La definizione di Dio da cui parte Gdel per assai vicina daquella che abbiamo visto in precedenza: x ha la propriet D di essere Dio se esolo se per ogni propriet , se essa ha la propriet Pdi essere positiva, allora

x ha la propriet . In simboli:

Dx () (P() x),

che quasi la stessa cosa del precedente () (( C ) x). Per il resto, i 5assiomi, le 3 definizioni e i 2 teoremi della complessa prova di Gdel, che peral-tro ha il merito di definire alcune caratteristiche formali e modali delle propriet

positive, servono a ricavare una stringa modale che asserisce lesistenza neces-

saria di un dio siffatto, che per dipende dalla suapossibilit.Trascrivendo per esteso i passaggi formalizzati della prova di Gdel del

1970, essa procede come segue:

Assioma 1: Se due o pi propriet sono positive, allora lo anche il loro prodottologico (cio la loro intersezione).

5 Curiosamente, pur senza menzionare Russell, Roberto Magari mostr nel 1988, cio un annodopo la prima pubblicazione dellinedito di Gdel che conteneva la sua prova ontologica, chequestultima esponeva il fianco, tra laltro, proprio alla confutazione preconizzata da Russell. Inun universo booleano infinito, infatti, la probabilit che lintersezione di tutte le propriet pos i-tive non sia vuota infinitesima (cio quasi zero), laddove per Gdel cruciale che tale inter-sezione sia necessariamente non vuota, ovvero sia non vuota con grado di probabilit uguale a1, visto che essa alla fine coincide con Dio (cfr. Roberto Magari,Logica e teofilia. Osservazionisu una dimostrazione attribuita a Kurt Gdel, in Notizie di Logica, vol. 7, n. 4, 1988, pp. 11-20; ora ristampato come Appendice B in Gdel, op. cit., pp. 99-120: cfr. in part. 2, p. 111).6 Sin dal 1676 (per esempio in un breve scritto dal titolo Sullesistenza dellEnte perfettissimo) efino allaMonadologia (1714), Leibniz cerc di dimostrare la verit di un asserto modale che af-fermasse la possibilit logica, cio la non contraddittoriet del concetto dellEssere perfettiss i-mo. In tal modo laffermazione dellesistenza necessaria di Dio, cio dellEssere la cui Essenzaimplica lEsistenza, sarebbe seguita per modus ponensdallenunciato condizionale gi implici-tamente dimostrato da Cartesio: se Dio possibile, allora esiste in atto (e necessariamente). Ilpunto cruciale della costruzione di un tale concetto consisteva nel considerare positive e indi-pendenti tutte le perfezioni, in modo tale che il loro prodotto logico non contenesse alcunch dinegativo e non corresse il rischio di essere reso falso da una contraddizione tra propriet logi-camente opposte. Nella versione dei celebri 44 e 45 della Monadologia, largomento diLeibniz il seguente: allEssere necessario sufficiente essere possibile per essere in atto. C o-s, solamente Dio, ovvero lEssere necessario, ha questo privilegio: Posto che il suo Essere siapossibile, Egli non pu non esistere. Ora, gi questo sufficiente per conoscere a priorilEsistenza di Dio; nulla pu infatti impedire la possibilit di ci che non comporta nessuna l i-

mitazione, nessuna negazione e, di conseguenza, nessuna contraddizione (Gottfried W. Leib-niz,Monadologia, a cura di Salvatore Cariati, Milano, Rusconi, 1997, p. 77).


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Assioma 2: data una qualsiasi propriet, o essa positiva o lo la sua negazione(disgiunzione esclusiva).

Definizione 1: Dio gode di tutte le propriet positive.Definizione 2: Una propriet lessenza di qualcosa se e solo se ogni altra pro-priet di questultima implicata necessariamente dalla prima.Assioma 3: Se una propriet positiva, allora lo necessariamente, e viceversa.Teorema 1: Se qualcosa ha la propriet di essere Dio, allora tale propriet ne lessenza.

Definizione 3: Qualcosa esiste necessariamente se e solo se, per ogni propriet, seessa lessenza di qualcosa, questultima necessariamente esiste e gode di talepropriet (ovvero, nel linguaggio tradizionale: qualcosa esiste necessariamente see solo se la sua essenza ne implica lesistenza).

Assioma 4: Lesistenza necessaria una propriet positiva.Teorema 2: Se qualcosa Dio, allora necessario che esista qualcosa che sia Di-o.

Assioma 5: Se una propriet positiva ed essa ne implica necessariamenteunaltra, allora anche questultima positiva (da ci segue anche che la proprietdi essere identici a se stessi positiva, e la sua negazione negativa).

LAssioma 5 garantisce che le propriet positive formano un sistemacompatibile (cio non contraddittorio), per cui, conclude Gdel un po troppocircolarmente (come nota Adams7), il sistema di tutte le propriet positive compatibile8. Ma questo equivale a dire semplicemente che possibile che Dioesista, ovvero, in simboli, ( x) Dx (dove loperatore modale della possibili-t, il cui duale, cio loperatore della necessit, ). esattamente questoco-me ben sapeva Leibnizche permette la decisiva applicazione del modus ponensal condizionale di Cartesio: se Dio possibile, allora esiste in atto (e necessa-riamente). Gdel, infatti, deduce tale condizionale piuttosto sorprendente, insimboli ( x) Dx ( y) Dy, dal Teorema 2 per successive trasformazioni for-malmente valide, usando anche il cosiddetto sistema S5 di Lewis, un potente si-stema di logica modale che include il seguente assioma: p p. Infatti, dalTeorema 2, in simboli Dx ( y) Dy, si ha successivamente:

( x) Dx ( y) Dy (per introduzione di nellantecedente)( x) Dx ( y) Dy (per introduzione di )( x) Dx ( y) Dy (per lassioma di S5).

A questo punto, da ( x) Dx ( y) Dy e ( x) Dx, per modus ponens,segue immediatamente ( y) Dy, ovvero la stringa che asserisce lesistenza ne-cessaria di Dio.

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Cfr. Adams, Nota introduttiva, cit., p. 45.8 Gdel, op. cit., p. 62.


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A quanto pare, lo stesso Gdel era perplesso sulla liceit dellapplicazionedel controverso assioma di S5 in una prova di questo tipo9. Tuttavia, il punto ve-ramente debole di tutta la sua prova resta il vizio di circolarit che serpeggia inessa e che stato rilevato da molti. Come accennato, la decisiva affermazionedella possibilit logica dellesistenza di Dio, ( x) Dx, gi implicitanellAssioma 5, per cui quod erat demonstrandum era gi praticamente e surret-tiziamente assunto, e non solo nellAssioma 5. Il Teorema 1, la Definizione 3 elAssioma 4, per esempio, gi presuppongono che essere Dio, cio esserelEssere che esiste necessariamente, positivo, il che equivale ad assumere con

largo anticipo lesistenza di Colui di cui si sta cercando la possibilitdellesistenza. Per non dire del fatto imbarazzante che, come nota Odifreddi,Dio definito come un essere con certe propriet, ma le propriet sono godutedagli oggetti del mondo: dunqueDio unentit che fa parte del mondo, un esse-re immanente e non trascendente. Inoltre, lunicit di Dio solo relativa alla clas-se di propriet positive considerate: ogni classe ha un suo unico Dio, ma le classisono tante. Pi che di Dio, si dovrebbe forse parlare di un capoclasse10.

III

A proposito di Odifreddi, vorrei discutere qui una sua analisi logica dellaprima versione della prova ontologica, quella avanzata nellXI secolo da Ansel-mo dAosta. Odifreddi torna spesso sulla prova di Anselmo

11, ma qui io mi sof-fermer su un passo de Il diavolo in cattedra,perch Odifreddi ne riconduce e-splicitamente la forma argomentativa alla Consequentia mirabilis. Come cerche-r di mostrare sulla base di una pi attenta lettura del secondo capitolo del Pro-slogion, questo un errore, perch la prova di Anselmo, nella parte in questione, una pi complessa forma diReductio ad absurdum. La Consequentia mirabilis,che ha una forma del tipo (-p p) p, gi attestata in Sesto Empirico (Contro imatematici, VIII, 281-284) ed attribuita allo stoico Crisippo, un caso particola-re, degenerato su una sola proposizione, di Reductio ad absurdum, e la prova diAnselmo non di questo tipo.

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Cfr. Adams, Nota introduttiva, cit., p. 31. Anche seprima facie sembra in contrasto con i te-oremi fondamentali della logica modale, asserendo unimplicazione dalla possibilit alla neces-sit, lassioma derivabile. Esso, infatti, equivale ai due seguenti condizionali: ( p p) e( p p). Il secondo valido perch non altro che una forma della regola (valida)

, con = p. Il primo si deriva dalla forma modale del principio del terzo escluso: p- p, da cui, per la definizione della disgiunzione, - - p p, ovvero p p, dato

che per i due operatori modali vale la seguente equivalenza: - - p def p (p non necessa-riamente falso equivale a p possibile). Su questo punto, cfr. ad es. Odifreddi,Ildiavolo incattedra. La logica da Aristotele a Gdel, Torino, Einaudi, 2003, p. 122.10 Odifreddi, Una dimostrazione divina, in Gdel, op. cit., p. 93 (=Il vangelo secondo la scien-

za, cit., p. 149).11

Cfr. ad es.Il vangelo secondo la scienza, cit., pp. 137-139 (riprese in Una dimostrazione divi-na, cit., pp. 79-81) eLe menzogne di Ulisse, Milano, Longanesi, 2004, pp. 92-93.


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Scrive Odifreddi: Poich sia la perplessit che lattrazione suscitate dallaconsequentia mirabilis derivano dal fatto che essa permette di dimostrare una

proposizione in maniera autonoma, senza appelli a nientaltro che a se stessa, non

sorprendente che Anselmo abbia anche cercato, con scarso successo, di appli-carla allesistenza di Dio. Largomento del suo Proslogion il seguente. Anzitut-to, definiamo Dio come ci di cui non si pu pensare niente di pi grande: se

dio non esistesse, potremmo pensarne uno con le stesse propriet ma esistente, edunque pi grande. Il che dovrebbe dimostrare che se Dio non esiste, allora e-siste. Dunque, che esiste.12. Alla luce dellargomentazione svolta da Anselmotra i 2 e 5 del secondo capitolo del Proslogion, si pu dire che qui Odifreddicommette un duplice errore: 1) a voler essere schematici, la forma generaledellargomentazione, che, come vedremo, passa anche attraverso un modus tol-lens, tuttaltro che di scarso successo ed del tipo: Se Dio non esiste, alloraDio non Dio; dunque, Dio esiste (per Reductio ad absurdum); 2) comunquesemplicistico e fuorviante trattare largomento di Anselmo nellambito del calco-lo proposizionale (come fa Odifreddi), perch esso formalizzabile rigorosamen-te solo nellambito del calcolo dei predicati, ovvero in un linguaggio del primoordine con identit.

Innanzi tutto, va precisato che nel 3 Anselmo introduce unimportantedistinzione nella nozione di esistenza, precisando che si danno unesistenza in in-

tellectu, cio puramente mentale (indichiamo con Em questo predicato), eunesistenza in re, cio reale (indichiamo con Er questo predicato). Questa doppiaarticolazione della nozione di esistenza, lecito inferire dal testo, determina unagerarchia ontologicaben precisa di quattro livelli nellessere che, dal pi alto alpi basso, possono ordinarsi nel modo seguente:

1) Ci che gode sia di Em che di Er(le cose reali e di cui c concetto)2) Ci che gode di Er ma non di Em (le cose reali e di cui non c concetto)3) Ci che gode di Em ma non di Er (i concetti senza riferimento nella realt)4) Ci che non gode n di Em n di Er (il nulla).

La mossa di Anselmo, a questo punto, consiste nel mostrare chelinevitabile definizione concettuale di Dio come aliquid quo nihil maius cogitari

possit(gi avanzata come oggetto di credenza per fede alla fine del 1) implicanecessariamente, cio analiticamente, che egli appartiene alla prima categoria dienti, tra i quali peraltro lente supremo. Chiamando D la propriet di essere Dio

e M la propriet di essere il maggiore in assoluto dal punto di vista ontologico,

avremo per definizione:

(1) Dx Mx

e, come teorema,

12 Odifreddi,Ildiavolo in cattedra, cit., p. 70.


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(2) (x) (Mx (Emx Erx))

Un corollario immediato di tale teorema che vi un solo ente che soddi-sfa la propriet M, sicch, russellianamente, possiamo scrivere:

(3) ( x) (Mx (y) (My y =x))Da (2) e (3), eliminando i quantificatori e la congiunzione, e ponendo al-

tres x = d(dove d una costante individuale che denota lunico ente che godedella propiet D, equivalente a M), per modus ponens si ricava Emd Erd, ovveroche Dio esiste sia in intellectu che in re.

Quello sopra esposto largomento diretto di Anselmo (implicito ma ine-quivocabile), che sta alla base di quello indiretto (esplicito e ben pi noto) volto aconfutare linsipiens di Salmi 14,1 e 53,1, il quale dixit in corde suo: non est deus( 2). Largomento contro linsipiente non altro che una prova, basata

sullontologia gerarchica suddetta e sul teorema (2), dellimpossibilit di asserireche Dio gode solo di Em. Per Anselmo, linsipiente deve intanto assumere neces-sariamente la definizione (1), perch altrimenti non saprebbe di cosa sta parlando( 2). Nel fare questa assunzione, linsipiente ammette automaticamente che Dio

gode di Emnella sua stessa mente. Ma nel momento in cui nega verbalmente cheDio goda anche di Er, per il teorema (2) egli cade nella contraddizione di affer-mare e negare contemporaneamente che Dio goda di M, dato che ha gi assuntola (1). Linsipiente, in sostanza, non capisce che, assumendo la (1), egli deve ne-

cessariamente arrendersi allevidenza di (2) e (3), altrimenti ci che esiste nellasua mente risulterebbe unentit contraddittoria (sarebbe e non sarebbe quella che). Infatti, godendo solo di Em, cio collocandosi al terzo livello della gerarchiaontologica, sarebbe possibile definire concettualmente unentit che, godendo ad

esempio anche di Er, cio collocandosi al primo livello della gerarchia, sarebbemaggiore di essa. In tal modo ci che il maggiore non sarebbe il maggi o-re: Si ergo id quo maius cogitari non potest, est in solo intellectu: id ipsum quo

maius cogitari non potest, est quo maius cogitari potest ( 5). questa laReductio ad absurdum di Anselmo, che evidentemente non una Consequentiamirabilis, perch contiene, tra laltro, unassunzione, un teorema e

unapplicazione del modus tollens, come si vede chiaramente svolgendo in ma-niera formale largomento:

1. Md (Assunzione)2. Emd (Assunzione)3. Erd (Tesi di Anselmo)4. - Erd (Tesi dellinsipiente, posta per assurdo)5. (x) (Mx (Emx Erx)) (Teorema)6. Emd - Erd (da 2 e 4 per introduz. di )7. Md (Emd Erd) (da 5 per eliminazione del QU)8. (Emd - Erd) - (Emd Erd) (da 6 per def. di )


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9. - (Emd Erd) (da 6 e 8 per modus ponens)10.- Md (da 7 e 9 per modus tollens)11.Md - Md (da 1 e 10 per introduz. di )12.- (- Erd) (da 4 e 11 per RAA)13.Erd (da 12 per doppia negazione)Come si vede, largomento di Anselmo, ben pi articolato della esemplifi-

cazione di Odifreddi, perfettamente valido sul piano formale e si fonda su pre-cise assunzioni di carattere ontologico relative a una gerarchia dellessere, a suavolta legata a una precisa distinzione tra le due modalit dellesistenza in intel-

lectu e in re. La fallacia dellargomento, dunque, non risiede nella sua forma lo-gica, ma nelle assunzioni metafisiche di sfondo, che gi presuppongonolesistenza in re dellordine dellessere e del suo artefice.

Marco Trainito, 13-14 e 21 agosto 2007

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